Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig

Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig
Fakultät Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften
Prof. Dr.-Ing.habil. Dr.rer.nat. Wolfgang S. Wittig
Mathematik-Beleg 4
Matrikel 11 BI
Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik
Ausgabe: 10.01.12
Abgabe: 31.01.12
1) Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung und (evtl.) Schiefe folgender
Verteilungen und geben Sie die wahrscheinlichsten Werte und deren Wahrscheinlichkeit an:
a) 3-Punkt-Verteilung mit x1 = 1, p1 = 0.2, x2 = 2, p2 = 0.5, x3 = 5, p3 = 0.3 .
b) Binomial-Verteilung mit p = 0.8 und n = 5 . c) Geometrische Verteilung mit p = 0.5 ,
d) Poisson-Verteilung mit λ = 6 .
e) Rechteck-Verteilung mit a = 1 und b = 4 .
2
f) Normal-Verteilung mit µ = 80 und σ = 4 .
g) Exponential-Verteilung mit a = 5 .
2) Der Durchmesser einer Welle sei normalverteilt mit µ = 680 und σ2 = 16 . Geben Sie an:
a) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wellendurchmesser kleiner als 676 ist,
b) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wellendurchmesser größer als 682 ist,
c) die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wellendurchmesser zwischen 676 und 682 liegt,
d) ein zu µ symmetrisches Intervall, in dem 90% aller Wellendurchmesser liegen,
e) ein zu µ symmetrisches Intervall, in dem 95% aller Wellendurchmesser liegen.
3) Die Lebensdauer eines bestimmten technischen Gerätetyps wird exponentialverteilt angenommen mit
einem Erwartungswert von 350 Betriebsstunden. Ermitteln Sie für ein derartiges Gerät
a) die Wahrscheinlichkeit, dass es höchstens 300 Stunden funktioniert,
b) die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens 330 Stunden funktioniert,
c) die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens 300 Stunden, höchstens 400 Stunden funktioniert,
d) eine Betriebsdauer, die zu mindestens 90% erreicht wird.
4) Es liegt folgende Urliste mit 40 Einzelwerten vor: 40,1; 42,2; 44,1; 41,6; 44,2; 43,7; 43,6; 45,1;
39,6; 45,3; 45,6; 42,4; 47,4; 47,1; 41,0; 40,9; 42,3; 43,9; 43,2; 45,7; 43,9; 45,4; 39,9; 45,6; 45,9;
42,7; 47,2; 47,4; 41,3; 41,2; 42,6; 44,2; 43,4; 46,0; 40,4; 42,9; 44,3; 41,9; 44,6; 44,0;
a) Ermitteln Sie den statistischen Mittelwert und die empierische Varianz. Wo liegen bei diesen
Werten das 1-s-Intervall und das 2-s-Intervall? Wieviel Werte liegen in diesen Intervallen?
b) Führen Sie eine Klasseneinteilung mit 8 Klassen mit Klassenbreiten 1 und einem Minimalwert
39,5 durch und bestimmen Sie damit den Mittelwert und die empierische Varianz.
c) Stellen Sie die Werte aus b) in einem Histogramm dar und geben Sie Modalwert und Median an.
5) Für eine physikalische Messgröße ist aus 60 Werten der statistische Mittelwert 184 errechnet worden.
a) Geben Sie ein (zum Mittelwert symmetrisches) Intervall für den Erwartungswert an, das bei
bekannter Varianz von 16 mit einem Signifikanzniveau von 90% erreicht wird.
b) Geben Sie ein derartiges Intervall bei einem Signifikanzniveau von 95% an.
c) Geben Sie ein (zum Mittelwert symmetrisches) Intervall für den Erwartungswert bei einem
Signifikanzniveau von 95% an, wenn die Varianz nicht gegeben ist und für die empierische
Varianz der Wert 36 errechnet wurde.
d) Ermitteln Sie mit den statistischen Werten ein Intervall für die Varianz bei einem
Signifikanzniveau von 95%.
e) Ist die Null-Hypothese, dass der Erwartungswert 180 ist, bei einem Signifikanzniveau von 90%
abzulehnen? Wie lautet die Antwort bei einem Signifikanzniveau von 95%
f) Ist die Null-Hypothese, dass die Varianz den Wert 20 hat, bei einem Signifikanzniveau von 90%
abzulehnen?