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Stetige Verteilungsfamilien
Stetige Verteilungsfamilien
Stetige Gleichverteilung
Zur Beschreibung von Zufallsvorgängen, deren Werte gleichmäßig über einem
Intervall [a,b] verteilt sein sollen, verwendet man die
Stetige Gleichverteilung
Eine stetige Zufallsvariable heißt gleichverteilt auf dem Intervall [a, b],
wenn sie die Dichte
 1
 b − a , a ≤ x ≤ b,
f (x ) = 

0, sonst

besitzt.
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
171
Stetige Verteilungsfamilien
Bezeichnungsweise:
Zur verkürzten Bezeichnung von Funktionen, die auf gewissen Intervallen
unterschiedlich definiert sind, verwendet man die Indikatorfunktion. J sei ein
Intervall, z.B. J=[a,b], dann gilt

I J (x ) = 

1, wenn x ∈ J ,
0,
sonst.
Wie in der Definition der Indikatorfunktion haben wir solche Funktionen bisher
mit Hilfe von Fallunterscheidungen definiert. Die Dichtefunktion der stetigen
Gleichverteilung auf [a,b] ist dann
f (x ) =
1
I[ a ,b ] ( x).
b−a
Bei mehr als zwei Bedingungen kann man auch mehrere Indikatorfunktionen
verwenden:
 - 2, wenn x < -1,

g ( x ) = −2 ⋅ I ( −∞, −1) ( x) + 2x ⋅ I[ −1,1] ( x) + 2 ⋅ I (1,∞ ) ( x) = 2x, wenn - 1 ≤ x ≤ 1,
 2,
wenn x > 1.

I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
172
Stetige Verteilungsfamilien
Verteilungsfunktion der stetigen Gleichverteilung: Fallunterscheidung
x < a : F (x ) = ∫
f (t ) dt = ∫ 0 dt = 0.
−∞
x
x 1
1
x−a
a ≤ x ≤ b : F ( x ) = ∫ f (t ) dt = ∫
I [a,b ] (t ) dt = ∫
dt =
,
−∞
−∞ b − a
ab−a
b−a
x
x
x
b
x > b : F ( x ) = ∫ f (t ) dt = ∫ f (t ) dt + ∫ f (t ) dt = F (b) + ∫ 0 dt = 1.
x
x
−∞
x
−∞
−∞
b
b
x−a
(
)
F x =
I [a , b ] ( x ) + I (b , ∞ ) ( x )
b−a
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
173
Stetige Verteilungsfamilien
Erwartungswert der stetigen Gleichverteilung:
∞
∞
b
1
1
E ( X ) = ∫ x ⋅ f (x ) dx = ∫ x ⋅
I[ a ,b ] (x ) dx =
⋅∫ x dx
−∞
−∞
b−a
b−a a
1 1 2
b2 − a 2 a + b
=
⋅ x =
=
.
b − a 2 a 2(b − a)
2
b
Varianz der stetigen Gleichverteilung:
( )
EX
2
∞
∞
b
1
1
= ∫ x ⋅ f (x ) dx = ∫ x ⋅
I[ a ,b ] ( x ) dx =
⋅∫ x 2 dx
−∞
−∞
b−a
b−a a
2
2
1 1 3
b 3 − a 3 a 2 + ab + b 2
=
⋅ x =
=
.
b − a 3 a 3(b − a)
3
a 2 + ab + b 2 (a + b) 2 (b − a ) 2
2
2
Var ( X ) = E ( X ) − ( E ( X )) =
−
=
.
3
4
12
b
a+b
(b − a) 2
.
E( X ) =
, Var ( X ) =
2
12
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
174
Stetige Verteilungsfamilien
Beispiel: Wartezeit an einer Bushaltestelle. (aus Schira)
Zwischen Mitternacht und sechs Uhr morgens kommt der Bus gemäß Fahrplan alle
halbe Stunde. Ein Fahrgast treffe ohne Kenntnis des Fahrplans zufällig an der
Bushaltestelle ein.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 10 Minuten warten muss?
Wie groß ist der Erwartungswert und die Varianz der Wartezeit T?
Gehen Sie davon aus, dass T über die Periode 0≤t≤30 (in Minuten) stetig
gleichverteilt ist.
Lösung: Es gilt mit a=0 und b=30
P(T > 10) = 1 − P(T ≤ 10) = 1 − FT (10) = 1 −
10 − 0 2
= .
30 − 0 3
0 + 30
(30 − 0) 2 900
E (T ) =
= 15 und Var (T ) =
=
= 75.
2
12
12
Die Wahrscheinlichkeit, mehr als 10 Minuten warten zu müssen, beträgt 0.667; die
mittlere Wartezeit 15 Minuten.
I.Steinke, T.Stocker
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175
Stetige Verteilungsfamilien
Exponentialverteilung
Zur Beschreibung von Lebensdauern und Wartezeiten verwendet man häufig
Verteilungen, die beliebige positive Werte annehmen können.
Exponentialverteilung
Eine stetige Zufallsvariable heißt exponentialverteilt mit dem Parameter λ > 0,
kurz X ~ Exp(λ), wenn sie die Dichte
 λ e − λx , x ≥ 0,
f (x ) = 
x < 0,
 0,
besitzt. Alternativ lässt sich f(x) schreiben als
f (x ) = λ e − λx I [0,∞ ) ( x ) .
Exponentialverteilte Zufallsvariablen nehmen positive Werte an und eignen sich
deshalb zur Beschreibung von Lebensdauern und Wartezeiten.
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
176
Stetige Verteilungsfamilien
Dichten der Exponentialverteilung
Bemerkungen:
• Die Dichten sind (linkssteil)
rechtsschief.
• Kleine Realisierungen sind
„wahrscheinlicher“ als große
Realisierungen.
• Umso größer λ wird, umso
schneller fällt die Dichte ab
und ist konzentrierter um 0.
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
177
Stetige Verteilungsfamilien
Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung
x < 0 : F (x ) = ∫
x ≥ 0 : F (x ) = ∫
x
−∞
x
−∞
f (t ) dt = ∫ 0 dt = 0.
x
−∞
x
f (t ) dt = ∫ λ ⋅ e I[ 0,∞ ) dt =λ ⋅ ∫ e −λt dt
x
− λt
−∞
x
0
(
)
1 − λt
=λ⋅
e
= − e − λ x − e 0 = 1 − e − λx .
−λ
0
F (x ) = (1 − e − λx ) I[ 0,∞ ) ( x).
Ähnliche, aber analytisch
anspruchsvollere Rechnungen
liefern
E( X ) =
1
λ
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, Var ( X ) =
1
λ
2
.
Spezielle Verteilungen
178
Stetige Verteilungsfamilien
Beispiel: Lebensdauer von Glühbirnen. (aus Schira)
Nach den Angaben des Herstellers beträgt die mittlere Lebensdauer seiner 100Watt-Glühbirnen 5000 Stunden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne
a) weniger als halb so lange oder
b) mehr als doppelt so lange brennt?
Die Lebensdauer X einer Glühbirne sei hierbei exponentialverteilt.
Lösung: Da E(X)=1/λ und die mittlere Lebensdauer 5000 (in Stunden) betragen
soll, berechnen wir aus 1/λ=E(X)=5000 den Wert λ=1/5000.
a) P( X < 2500) = P( X ≤ 2500) = F (2500) = 1 − e
−
2500
5000
= 1 − e −0.5 = 0.3935.
10000
−

 −2
5000
 = e = 0.1353.
b) P( X > 10000) = 1 − F (10000) = 1 − 1 − e



Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne weniger als 2500 Stunden brennt
beträgt 0.3935. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne mehr als 10000
Stunden brennt, beträgt 0.1353.
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179
Stetige Verteilungsfamilien
Normalverteilung
Bedeutung: „Wichtigste“ Verteilung überhaupt
Gründe: - bei vielen Phänomenen in der Natur beobachtbar,
- tritt auf, falls viele zufällige Einflüsse zusammenwirken,
- theoretische Begründung über zentralen Grenzwertsatz (später),
- herausragende Bedeutung in der induktiven Statistik
(Schätz- und Testtheorie).
Beispiele:
- Verteilung von Messfehlern
- Abweichungen von Sollwerten bei der Produktion bestimmter Teile
- Punktezahlen in Tests
- Größen von Pflanzen bei ähnlichen Anbaubedingungen
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
180
Stetige Verteilungsfamilien
Normalverteilung
Eine Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit Parametern
(
)
2
und Varianz σ 2 > 0, kurz X ~ N µ , σ , wenn sie die Dichte
 ( x − µ )2 
,
f (x ) =
exp  −
2
2
2σ 
2πσ

1
besitzt. Es gilt E ( X ) = µ , Var ( X ) = σ 2 .
Speziell für µ = 0 , σ 2 = 1 erhält man die Standardnormalverteilung N (0, 1)
mit der Dichte
 x2 
1
ϕ (x ) =
exp  − 
2π
 2
und der Verteilungsfunktion Φ( x ) = ∫ ϕ (t ) dt .
x
−∞
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
181
Stetige Verteilungsfamilien
Dichten von Normalverteilungen
Anmerkung: Die Dichten sind symmetrisch um µ. Daher E(X)=µ.
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182
Stetige Verteilungsfamilien
Dichte und Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
ϕ (− x ) = ϕ ( x )
Φ (− x ) = 1 − Φ(x )
Anmerkung: Die Verteilungsfunktion Φ lässt sich nicht mit elementaren
Funktionen berechnen. Man kann ihre Werte aber z.B. in Tafeln nachschlagen.
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183
Stetige Verteilungsfamilien
Transformation von Zufallsvariablen
Wenn X eine Zufallsvariable ist und g eine reellwertige Funktion, dann ist Y=g(X)
wieder eine Zufallsvariable. Die Betrachtung solcher Transformationen ist u.U.
nützlich, um die Verteilung von Y auf diejenige von X zurückzuführen.
Falls g streng monoton wachsend und damit invertierbar ist, d.h. man kann die
Gleichung y=g(x) nach x umstellen, x=g-1(y), so gilt
FY ( y ) = P(Y ≤ y ) = P( g ( X ) ≤ y ) = P( X ≤ g −1 ( y )) = FX ( g −1 ( y )).
Beispiel: Logarithmische Normalverteilung.
Eine Zufallsvariable Y heißt logarithmisch normalverteilt mit Parametern µ und
σ2, wenn X=ln(Y) normalverteilt ist mit Erwartungswert µ und Varianz σ2. Dann
gilt
FY ( y ) = P(Y ≤ y ) = P(ln(Y ) ≤ ln( y )) = P( X ≤ ln( y )) = FX (ln( y )).
Durch Ableiten der Verteilungsfunktion kann man die Dichte von Y und
anschließend Erwartungswert und Varianz bestimmen.
Die logarithmische Normalverteilung wird häufig in der Finanzmathematik
angewandt.
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
184
Stetige Verteilungsfamilien
Lineare Transformation von Zufallsvariablen
Die lineare Transformation von Zufallsvariablen spielt eine besondere Bedeutung.
Es seien b und c reelle Zahlen und X eine Zufallsvariable sowie Y=b+cX. Es sei
c>0. Dann gilt
FY ( y ) = P(Y ≤ y ) = P(b + cX ≤ y ) = P( X ≤
y −b
y −b
) = FX (
).
c
c
Transformationsformel für lineare Transformationen
X sei eine Zufallsvariable, c≠0 und Y=b+cX. Wenn c>0, dann ist
FY ( y ) = FX (
y −b
).
c
Wenn X stetig verteilt ist mit Dichte fX, so ist auch Y stetig verteilt mit der
1
y −b
Dichtefunktionen
f (y) =
⋅f (
).
Y
|c|
X
c
Beweis: Durch Ableiten erhalten wir die Dichte von Y (c>0).
d
1 1
y −b
' y −b
fY ( y ) =
FY ( y ) = FX (
)⋅ = ⋅ fX (
).
dy
c
c c
c
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
185
Stetige Verteilungsfamilien
Beispiel: Benzinumsatz.
Auf S. 121 wurde die Dichte f für den Benzinumsatz U einer Tankstelle in 10000
Liter angegeben.
f (x ) = (4 x − 3 x 2 ) I[ 0,1] ( x).
Möchte man den Umsatz Y in Litern
angeben, so ist Y=10000·U, d.h. für b=0
und c=10000 gilt für die Dichte fY von Y
1
y
fY ( y ) =
⋅f(
).
10000
10000
An der Gestalt der Dichte ändert sich
nichts. Außerdem gilt, vgl. S.121,
P(Y > 5000) = P(U > 0.5) = 0.625.
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
186
Stetige Verteilungsfamilien
Lineare Transformation einer normalverteilten Zufallsvariable
(
)
Für X ~ N µ , σ 2 ist die linear transformierte Variable Y = b + cX , c ≠ 0,
(
)
wieder normalverteilt mit Y ~ N b + cµ , c 2σ 2 .
Beweis: Gemäß Transformationsformel für lineare Transformationen ist die
Dichte von Y gleich
 (x − µ )2 
1
1
 y −b
.
fY ( y ) =
fX 
exp  −
, wobei f X ( x) =
2
2
|c|  c 
2σ 
2πσ

Einsetzen liefert
2
  ( y − b)




−
µ
 
 [ y − (b + cµ )]2 
1
1
1
  c
.
fY ( y ) =
⋅
exp  −
=
exp  −
2 2
2


2
2
2
| c | 2π σ
2σ
2c σ
2
π
c
σ








2 2
Das ist die Dichte von N (b + cµ , c σ ).
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
187
Stetige Verteilungsfamilien
Standardisierung einer Zufallsvariablen
Durch Standardisierung können die Verteilungen von Zufallsvariablen auf
standardisierte Typen von Verteilungen zurückgeführt werden.
Eine Zufallsvariable heißt standardisiert, genau dann wenn
E ( Z ) = 0, Var ( Z ) = 1.
Durch eine lineare Transformation kann man Zufallsvariablen standardisieren:
Ist X eine Zufallsvariable mit Erwartungswert µ und Standardabweichung
X −µ
σ>0, dann ist die transformierte Zufallsvariable
Z=
σ
standardisiert.
Beweis: Unter Anwendung der Rechenregeln für Erwartungswert und
Varianz gilt:
µ 1
µ
1
E ( Z ) = E  X −  = E ( X ) − = 0,
σ σ
σ
σ
µ 1
1
Var ( Z ) = Var X −  = 2 ⋅ Var ( X ) = 1.
σ σ
σ
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
188
Stetige Verteilungsfamilien
Standardisierung einer normalverteilten Zufallsvariable
(
)
Ist X eine N µ , σ 2 − verteilte Zufallsvariable, so ist die standardisierte
Zufallsvariable
Z=
X −µ
σ
standardnormalverteilt, d.h. Z ~ N (0, 1) .
Beweis: Siehe lineare Transformation einer normalverteilten Zufallsvariable.
(
)
Somit gilt für X ~ N µ , σ 2 :
x−µ 
 X −µ x−µ 

 x−µ 
FX ( x ) = P( X ≤ x ) = P
≤
 = P Z ≤
 = Φ
.
σ 
σ 
 σ

 σ 
Also
(
X ~ N µ, σ
I.Steinke, T.Stocker
2
)
x−µ
 x−µ 
z
=
FX ( x ) = Φ
 = Φ(z ) mit
σ
 σ 
Spezielle Verteilungen
189
Stetige Verteilungsfamilien
Zahlreiche Berechnungen für normalverteilte Zufallsvariablen kann man durch
lineare Transformation auf eine standardnormalverteilte zurückführen.
Beispiel
Angenommen, X sei N(1, 4)-verteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für
X<0?
Lösung:
 X −1 0 −1 
P ( X < 0 ) = P
<
 = P(Z < −0.5) = Φ(− 0.5)
2 
 2
z.B. aus
= 1 − Φ(0.5) = 1 − 0.6915 = 0.3085.
Tabelle
Die Quantile einer Standardnormalverteilung sind auch, z.B. durch Tabellen,
zugänglich. Wie lautet das 0.95-Quantil der N(1, 4)-Verteilung?
Ansatz: P( X ≤ q0.95 ) = FX (q0.95 ) = 0.95
 X − 1 q0.95 − 1 
P
≤
 = 0.95
2 
 2
q0.95 − 1
= Φ −1 (0.95) =: z0.95
2
I.Steinke, T.Stocker
 q −1 
Φ 0.95  = 0.95
 2 
Tabelle
q0.95 = 2 z0.95 + 1 = 2 ⋅1.64 + 1 = 4.28.
Spezielle Verteilungen
190
Stetige Verteilungsfamilien
Beispiel:
(1) Ermittlung von
Φ(0.51):
Eintrag in Zeile 0.5 und
Spalte 0.01 liefert Wert
zu 0.5+0.01: 0.6950.
(2) Ermittlung von
Φ-1(0.95):
Nach Eintrag in der
Tabelle suchen, der am
nächsten an 0.95 liegt.
Wir wählen 0.9495
(auch 0.9505 wäre
möglich).
Der Zeile- und Spaltenwert liefern den
gesuchten Wert:
1.6 + 0.04 = 1.64.
I.Steinke, T.Stocker
Werte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
P(Z≤z)=Φ(z).
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
0.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
Spezielle Verteilungen
0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
191
Stetige Verteilungsfamilien
Quantile und zentrale Schwankungsintervalle der Normalverteilung
(
)
Sei X eine N µ , σ 2 − verteilte Zufallsvariable. Dann gilt:
zα =
qα − µ
σ
bzw. qα = µ + σ zα ,
wobei qα die α-Quantile von X und zα die α-Quantile der Standardnormalverteilung bezeichnen.
Allgemein gilt:
P(µ − z1−α / 2σ ≤ X ≤ µ + z1−α / 2σ ) = 1 − α .
Speziell folgt daraus für z1−α / 2 = k :
P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) = 0.6827, k = 1,
P(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ ) = 0.9545, k = 2,
P(µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ ) = 0.9973, k = 3.
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
192
Stetige Verteilungsfamilien
Beachte:
Aufgrund der
Symmetrie der
Dichtefunktion φ
gilt für beliebiges
0<α<1:
zα = − z1−α
1−α
bzw.
α /2
µ − kσ
k = z1−α / 2 :
α /2
µ
µ + kσ
P(µ − z1−α / 2σ ≤ X ≤ µ + z1−α / 2σ )
I.Steinke, T.Stocker
zα / 2 = − z1−α / 2
X −µ


= P − z1−α / 2 ≤
≤ z1−α / 2  = 1 − α
σ


Spezielle Verteilungen
193
Stetige Verteilungsfamilien
Beispiel: Lebensdauern von Batterien.
Batterien der Firma Nimmermüde seien normalverteilt mit einer mittleren
Lebensdauer von 400 Stunden und einer Standardabweichung von 120
Stunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Batterie mindestens
300 Stunden hält.
Lösung: X bezeichne die Lebensdauer der Batterien. Dann ist X~N(400,1202).
Gesucht ist P(X≥300).
Nach Standardisierung ist Z=(X-400)/120 ~N(0,1).
5
 X − 400 300 − 400 

P( X ≥ 300) = P
≥
 = P Z ≥ − 
120 
6
 120


 5
 5 
5
= 1 − Φ −  = 1 − 1 − Φ   = Φ  = 0.7977.
 6
 6 
6

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Batterie länger als 300 Stunden hält, beträgt
0.7977.
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
194
Stetige Verteilungsfamilien
Beispiel: Rasendünger.
Die Firma Gartengrün besitzt eine Maschine zum Abfüllen von Rasendünger.
Die Maschine füllt im Mittel 25 kg in einen Sack. Die Abfüllungen haben
eine Standardabweichung von 0.3 kg und seien normalverteilt.
Wie groß ist der Anteil der Säcke, deren Abweichungen vom Mittelwert 25kg
größer als 0.5 kg ist.
Lösung:
P(| X − 25 |≥ 0.5) = 1 − P(| X − 25 |< 0.5) = 1 − P(24.5 < X < 25.5)
0.5 
 24.5 − 25 X − 25 25.5 − 25 
 0.5
= 1 − P
<
<
<Z<
 = 1 − P −

0.3
0.3 
0.3 
 0.3
 0.3
 5
 5
 5 
5 
5
= 1 −  Φ  − Φ −   = 1 −  Φ  − (1 − Φ )  = 2(1 − Φ )
 3 
3 
 3
  3
  3
= 2 ⋅ (1 − 0.9522) = 0.0956.
9,56% der Säcke weisen Abweichungen der Abfüllungsmengen vom
Mittelwert von mindestens 0.5 kg auf.
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Spezielle Verteilungen
195
Stetige Verteilungsfamilien
Multipliziert man normalverteilte Zufallsvariablen mit Konstanten oder bildet
man Summen von unabhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen, so sind die
resultierenden Zufallsvariablen erneut normalverteilt.
Verteilung der Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen
(
Sind X ~ N µ X , σ X2
(
)
(
und Y ~ N µY , σ Y2
)
)
unabhängig, so gilt:
X + Y ~ N µ X + µY , σ X2 + σ Y2 .
(
)
2
Sind X i ~ N µi , σ i , i = 1, K , n unabhängig, so ist jede Linearkombination
Y = c1 X 1 + K + cn X
wieder normalverteilt mit
(
)
Y ~ N c1µ1 + K + cn µ n , c12 σ 12 + K + cn2 σ n2 .
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
196
Stetige Verteilungsfamilien
Beispiel: Asset Allocation (aus Wewel)
Ein Anleger möchte einen bestimmten Geldbetrag (30 000€) in Aktien
anlegen. Wir gehen davon aus, dass sich die Renditen der Aktien A1 und A2
als unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert µi
(erwartete Rendite) und Standardabweichung σi (Volatilität) beschreiben
lassen. Am sei ein Portfolio, dass 50% der Anlagesumme in A1 und 50% der
Anlagesumme in A2 investiert.
Wie groß sind die erwartete Rendite und die Volatilität für Am? Bestimmen
Sie für A1, A2 und Am die Wahrscheinlichkeit, einen Verlust zu realisieren!
Aktie
Rendite
erwartete
Rendite
Volatilität
A1
R1
24%
15%
A2
R2
10%
5%
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Spezielle Verteilungen
197
Stetige Verteilungsfamilien
Lösung: Nach Voraussetzung sind R1~N(0.24,0.152) und R2~N(0.1,0.052)
unabhängig und es gilt Rm = 0.5·(R1+R2).
Nach der Aussage über die Verteilung der Summe unabhängiger
normalverteilter Zufallsvariablen ist Rm wieder normal verteilt. Es gilt
Rm ~ N (0.5 ⋅ 0.24 + 0.5 ⋅ 0.1, 0.52 ⋅ 0.152 + 0.52 ⋅ 0.052 ) = N(0.17,0.00625).
Damit ist die erwartete Rendite von Am gleich dem Erwartungswert von Rm,
E ( Rm ) = 0.17,
und die Volatilität ist gleich der Standardabweichung von Rm, also
Var ( Rm ) = 0.00625 = 0.079.
Das Portfolio Am liefert also eine bessere Rendite als A2, besitzt aber ein
kleineres Risiko als A1.
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
198
Stetige Verteilungsfamilien
Die Aktien machen Verlust, wenn ihre Rendite negativ ist.
 0 − 0.24 
P( R1 < 0) = Φ
 = Φ(−1.6) = 1 − Φ(1.6) = 1 − 0.9452 = 0.0548.
 0.15 
 0 − 0.1 
P( R2 < 0) = Φ
 = Φ(−2) = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.0228.
 0.05 
 0 − 0.17 
P( Rm < 0) = Φ
 = Φ(−2.15) = 1 − Φ(2.15) = 1 − 0.9842 = 0.0158.
 0.079 
Die Wahrscheinlichkeit, Verlust zu machen, ist für das Portfolio Am am
kleinsten. Aus dieser Sicht mag es für risikoscheue Anleger interessanter sein
als beispielsweise A2.
Anmerkung: Die Unabhängigkeit der Aktien ist i.A. eine unrealistische
Annahme. Mit der Beschreibung von Abhängigkeiten zwischen
Zufallsvariablen beschäftigt sich Kapitel 4.
I.Steinke, T.Stocker
Spezielle Verteilungen
199