Von den rationalen zu den reellen Zahlen

Skript zur Schülerwoche 2016, zweiter Tag:
Von den rationalen zu den reellen Zahlen
Dr. Mira Schedensack
1. September 2016
1
Einführung
Dieser Vorlesung geht von der Menge der rationalen Zahlen aus und definiert die reellen
Zahlen. Der Ausgangspunkt für die Definition von Zahlen ist die Menge der natürlichen
Zahlen
N := {1, 2, 3, . . . }.
In dieser Menge können Zahlen addiert werden. Will man aber beliebige Zahlen subtrahieren, dann liegen Ergebnisse eventuell nicht in N, sondern in der Menge der ganzen
Zahlen
Z := {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
In dieser Menge kann man Zahlen addieren, subtrahieren und multiplizieren und das Ergebnis liegt immer in Z. Die Division führt aber auf Zahlen, die nicht mehr in Z, sondern
in der Menge der rationalen Zahlen
p Q :=
p ∈ Z, q ∈ Z
q liegen. In dieser Menge können Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert
werden und das Ergebnis ist immer eine Zahl in Q. Es gibt allerdings auch hier Rechenoperationen, die kein Ergebnis in Q haben, wie zum Beispiel das Wurzelziehen.
Seit der √
Antike ist bekannt, dass es beispielsweise keine Zahl r ∈ Q gibt, die r2 = 2
erfüllt, d.h. 2 ∈
/ Q.
Warum glauben wir aber, dass es eine Zahl“ r gibt (wobei wir von dem ausgehen,
”
was wir intuitiv unter dem Wort Zahl“ verstehen) mit r2 = 2? Warum glauben wir nicht,
”
dass es eine Zahl“ r gibt mit r2 = −1?
”
Um diese Frage zu beantworten und die reellen Zahlen mathematisch korrekt zu definieren, wenden wir uns als erstes Grenzwerten von Folgen zu.
2
Rationale Folgen und ihre Grenzwerte
Definition 1 (Rationale Folge). Eine Folge (xn )n∈N = (x1 , x2 , x3 , . . .) in Q besitzt für
jedes n ∈ N ein Folgenglied xn ∈ Q.
Definition 2 (Cauchy-Folge). Eine Folge (xn )n∈N in Q heißt Cauchy-Folge, falls für jedes
> 0 ein N ∈ N derart exisitiert, dass für alle m, k ≥ N gilt, dass
|xm − xk | < .
1
xn
ε1
ε2
ε3
n
M 1 M2 M3
xn
ε2
ε3
ε1
n
M1
M2 = M3
Abbildung 1: Bildliche Darstellung zweier Cauchy-Folgen. Für jedes > 0 liegen ab einem gewissen
Folgenglied xM alle weiteren Folgenglieder in einem Intervall der Länge .
Die Definition einer Cauchy-Folge besagt also, dass für ein beliebig kleines Intervall
alle Folgenglieder xN +1 , xN +2 , xN +3 , . . . in diesem Intervall liegen falls N groß genug ist.
Beispiel 3. Wir definieren nun folgende Folge:
Sei a0 := 1 und b0 := 2. Wir nehmen an, dass für ein j ∈ N aj und bj gegeben sind und
definieren aj+1 und bj+1 wie folgt:
aj + bj 2
a +b
• Falls
≥ 2, setze aj+1 = aj und bj+1 = j 2 j ,
2
aj + bj 2
a +b
• falls
< 2, setze aj+1 = j 2 j und bj+1 = bj .
2
Setze nun xj = aj . Dann ergeben sich die ersten Folgenglieder der Folge (xn )n∈N so:
a0 + b0 2
1+2 2 9
3
=
= ≥2
⇒ a1 = 1, b1 = , x1 = 1,
(2.1)
2
2
4
2
2
5
25
5
3
5
a1 + b1 2
=
=
<2
⇒ a2 = , b2 = , x2 = ,
(2.2)
2
4
16
4
2
4
2
a2 + b2 2
11
121
11
3
11
=
=
<2
⇒ a3 = , b3 = , x3 = ,
(2.3)
2
8
64
8
2
8
usw. Die Folgenglieder aj und bj nähern sich immer weiter aneinander an. Dies ist in
Abbildung 2 dargestellt.
Für diese Folge gilt:
2
a0 = 1
b0 = 2
a1 = 1
1
a2 =
1
5
4
5
4
a3 =
11
8
b1 =
3
2
2
b2 =
3
2
2
b3 =
3
2
2
Abbildung 2: Die ersten vier von den Folgengliedern aj und bj eingegrenzten Intervalle.
1. a2j ≤ 2 für alle j ∈ N,
2. b2j ≥ 2 für alle j ∈ N,
3. |bj − aj | = 2−j ,
4. [aj , bj ] ⊆ [aj−1 , bj−1 ],
5. bj ≤ 2 und aj ≤ 2.
Diese vier Eigenschaften werden wir nicht formal beweisen (dazu bräuchte man das Konzept der vollständigen Induktion), man kann sie sich aber wie folgt verdeutlichen:
Für a0 gilt a20 ≤ 2 nach Definition. Für a1 gilt a1 = a0 , also auch a21 ≤ 2. Für a2 gilt
a1 +b1 2
2
1
a2 = a1 +b
2 , aber a2 wurde genau so gesetzt, weil a2 = ( 2 ) < 2 gilt. Wenn man diese
Argumentation so weiterführt, erhält man für jedes j ∈ N, dass a2j ≤ 2 gilt.
Die zweite Eigenschaft folgt mit der gleichen Argumentation.
Die dritte Eigenschaft gilt für j = 0 und in jedem Schritt wird das Intervall [aj , bj ] in der
Mitte geteilt. Damit halbiert sich in jedem Schritt der Abstand |bj − aj |, was genau die
Aussage von 3. ist.
Die vierte Aussage gilt, da aj ≥ aj−1 und bj ≤ bj−1 . Daher gilt
[aj , bj ] ⊆ [aj−1 , bj−1 ] ⊆ . . . ⊆ [a0 , b0 ] = [1, 2],
woraus auch die fünfte Aussage folgt.
Wir zeigen nun, dass die Folge (xj )j∈N mit xj = aj für alle j ∈ N eine Cauchy-Folge ist.
Wenn ein (beliebig kleines) > 0 gegeben ist, dann finden wir ein N ∈ N mit 2−N < .
Da außerdem 2−j < 2−N für alle j ∈ N mit j > N gilt, folgt, dass 2−j < für alle j ∈ N
mit j > N . Seien nun k, l ∈ N mit k > N und l > N . Zudem gelte l ≥ k. Dann gilt
xl = al ∈ [al , bl ] ⊆ [al−1 , bl−1 ] ⊆ . . . ⊆ [ak , bk ]
und xk = ak , also
|xk − xl | ≤ |bk − ak | = 2−k < .
Dies ist auch in Abbildung 3 illustriert.
Für den Fall k ≥ l können wir die Benennung von k und l vertauschen und erhalten
so ebenfalls |xk − xl | < . Damit haben wir also gezeigt, dass die Folge (xn )n∈N eine
Cauchy-Folge ist.
3
ak−1 = xk−1
ak = xk
x`
bk
bk−1
<ε
Abbildung 3: Folgenglieder xj , die eine Cauchy-Folge bilden.
Als nächstes definieren wir den Begriff des Grenzwertes für Folgen.
Definition 4 (Grenzwert einer rationalen Folge). Ein Punkt x ∈ Q heißt Grenzwert einer
Folge (xn )n∈N , wenn es für jedes > 0 ein N ∈ N derart gibt, dass für alle k ≥ N gilt:
|x − xk | < .
Wir sagen dann, dass die Folge (xn )n∈N gegen x konvergiert.
Wir kommen noch einmal auf unser Beispiel zurück.
Beispiel 5 (Fortsetzung Beispiel 3). Wir nehmen nun an, es gäbe eine Zahl x ∈ Q, gegen
die die in Beispiel 3 definierte Folge (xj )j∈N konvergiert. Zusätzlich nehmen wir uns nun
ein beliebig kleines > 0 und ein j ∈ N mit |x − xj | < und 2−j < . So ein j exisitiert
nach der Definition des Grenzwerts. Dann gilt
2 − x2 = (2 − x2j ) + (x2j − x2 ).
Da b2j ≥ 2 und aj = xj , folgt wegen Eigenschaften 3 und 5, dass
2 − x2j ≤ b2j − a2j = (bj − aj )(bj + aj ) ≤ 2−j · 4 < 4.
(2.4)
Andererseits gilt auch wegen |x − xj | < und xj = aj ≤ 2 (siehe Eigenschaft 5), dass
x2j − x2 = (xj − x)(xj + x) ≤ (xj − x)(2xj + x − xj ) < (4 + ).
(2.5)
Wenn wir diese beiden Ungleichungen (2.4) und (2.5) addieren, ergibt sich
2 − x2 = (2 − x2j ) + (x2j − x2 ) ≤ 4 + (4 + ).
Da aber beliebig klein gewählt werden kann, wird die rechte Seite beliebig klein und wegen
der Ungleichung also auch die linke Seite. Andererseits gilt x2 ≤ 2, da x der Grenzwert
der Folge (xn )n∈N ist und x2j = a2j ≤ 2 gilt. Also folgt x2 = 2. Da wir am Anfang x ∈ Q
angenommen haben, steht dies im Widerspruch dazu, dass es kein r ∈ Q gibt mit r2 = 2
(dies wird in Übungsaufgabe 1 gezeigt werden).
Dieses Beispiel zeigt, dass es Cauchy-Folgen in Q gibt, die keinen Grenzwert in Q besitzen. Diese Eigenschaft bezeichnet man als Nicht-Vollständigkeit“.√Anders ausgedrückt
”
zeigt das Beispiel, dass wir zwar rationale Zahlen finden, die fast“ 2 sind, also Zahlen
”
xj ∈ Q für die |x2j − 2| beliebig klein ist. Es gibt aber keine Zahl r ∈ Q, für die der Abstand
|r2 − 2| tatsächlich Null ist.
√
Wir würden gerne die irrationale Zahl 2 definieren als den Grenzwert der CauchyFolge aus dem obigen Beispiel. Es ist aber nicht klar, was dieser Grenzwert (der ja keine
rationale Zahl ist) sein soll. Um dies zu umgehen, würde man gerne die irrationale Zahl
4
√
2 als die Cauchy-Folge aus dem obigen Beispiel definieren, denn diese Cauchy-Folge
beschreibt ja den Grenzwert“. Dabei tritt √
aber ein neues Problem auf: Wenn wir nun
”
eine andere Cauchy-Folge wählen, die√auch 2 beschreibt, dann würden wir zwei unterschiedliche Zahlen“ haben, die beide 2 sind. Deswegen müssen wir die reellen Zahlen so
”
definieren, dass Cauchy-Folgen mit dem gleichen Grenzwert“ auch die gleiche reelle Zahl
”
definieren. Dies führt uns auf das Konzept von Äquivalenzklassen.
3
Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen
Definition 6. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine Relation ∼ für die gilt
1. Reflexivität: für alle a ∈ M gilt a ∼ a.
2. Symmetrie: für alle a, b ∈ M gilt: Gilt a ∼ b, so gilt auch b ∼ a.
3. Transitivität: für alle a, b, c ∈ M gilt: Gilt a ∼ b und b ∼ c, dann gilt auch a ∼ c.
Beispiel 7. Ein Beispiel für Äquivalenzrelationen sind die Klassen einer Schule. Für dieses
Beispiel sei M die Menge der Schüler einer Schule und für zwei Schüler a, b ∈ M gelte a ∼ b
genau dann, wenn die Schüler a und b gemeinsam in eine Klasse gehen. Die Eigenschaften
aus der Definition oben bedeuten dann:
1. Jeder Schüler geht mit sich selbst in eine Klasse.
2. Wenn Schüler a mit Schüler b in eine Klasse geht, so geht auch Schüler b mit Schüler
a in eine Klasse.
3. Wenn Schüler a mit Schüler b in eine Klasse geht und Schüler b mit Schüler c in eine
Klasse geht, so geht auch Schüler a mit Schüler c in eine Klasse.
Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M führt automatisch zur Aufteilung der Menge in Äquivalenzklassen.
Definition 8. Für ein a ∈ M ist die Äquivalenzklasse von a, [a] ⊆ M definiert durch
[a] := {b ∈ M | a ∼ b}.
Die Menge aller Äquivalenzklassen auf M ist {[a] ⊆ M | a ∈ M }.
Beispiel 9. Es sei wieder M die Menge aller Schüler einer Schule und wir betrachten
wieder die Äquivalenzrelation aus Beispiel 7. Wenn wir einen Schüler a ∈ M betrachten,
so enthält die Äquivalenzklasse von a, [a], genau alle Schüler, die mit a gemeinsam in eine
Klasse gehen. Auf den ersten Blick könnte man denken, dass die Menge der Äquivalenzklassen {[a] ⊆ M | a ∈ M } genau so viele Elemente enthält wie es Schüler an der Schule
gibt, doch das stimmt nicht, denn für alle Schüler a, b ∈ M , die in eine Klasse gehen (also
a ∼ b), gilt, dass ihre Äquivalenzklassen gleich sind, also [a] = [b]. In unserem Beispiel
wäre die Menge der Äquivalenzklassen {[a] ⊆ M | a ∈ M } dann gleich aller Klassen der
Schule.
Wir können uns nun der Definition der reellen Zahlen zuwenden, die wir über eine
Vervollständigung der rationalen Zahlen erreichen. Dies sieht auf den ersten Blick sehr
kompliziert aus, weil die reellen Zahlen dadurch nicht wie Zahlen“ nach unserem in”
tuitiven Verständnis aussehen. Die Definition ist aber nötig, um zu erklären, was diese
5
Zahlen“ eigentlich sind.
”
Für die Konstruktion der reellen Zahlen definieren wir nun eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Cauchy-Folgen in Q. Dazu sei M = {(xj )j∈N | xj ∈
Q, (xj )j∈N ist Cauchy-Folge} die Menge der Cauchy-Folgen auf Q. Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf M durch:
(xj )j∈N ∼ (yj )j∈N ⇔ Die Folge (x1 − y1 , x2 − y2 , x3 − y3 , ...) konvergiert gegen 0. (3.1)
Wir müssen noch nachweisen, dass die durch (3.1) definierte Relation tatsächlich eine
Äquivalenzrelation auf M ist.
Proposition 10. Die durch (3.1) definierte Relation ist tatsächlich eine Äquivalenzrelation.
Beweis. Zu zeigen sind die drei Eigenschaften aus der Definition für Äquivalenzrelationen:
Symmetrie, Reflexivität und Transitivität.
1. Es sei (xj )j∈N eine Cauchy-Folge. Wir betrachten die Folge
(x1 − x1 , x2 − x2 , x3 − x3 , ...) = (0, 0, 0, ...).
Diese konvergiert gegen 0 und ist eine Cauchy-Folge. Damit gilt
(xj )j∈N ∼ (xj )j∈N .
2. Es seien (xj )j∈N und (yj )j∈N zwei Cauchy-Folgen und es gelte (xj )j∈N ∼ (yj )j∈N , das
heißt (x1 − y1 , x2 − y2 , x3 − y3 , ...) konvergiert gegen 0. Dann gilt aber, dass
(y1 − x1 , y2 − x2 , y3 − x3 , ...) = (−(x1 − y1 ), −(x2 − y2 ), −(x3 − y3 ), ...)
ebenfalls eine Cauchy-Folge ist und gegen 0 konvergiert. Damit folgt
(yj )j∈N ∼ (xj )j∈N .
3. Es seien (xj )j∈N , (yj )j∈N und (zj )j∈N Cauchy-Folgen und es gelte (xj )j∈N ∼ (yj )j∈N
und (yj )j∈N ∼ (zj )j∈N , das heißt, dass die Folgen (x1 − y1 , x2 − y2 , x3 − y3 , ...) und
(y1 − z1 , y2 − z2 , y3 − z3 , ...) gegen 0 konvergieren.
Wir betrachten nun die Folge (x1 − z1 , x2 − z2 , x3 − z3 , ...) und wollen zeigen, dass
diese Folge gegen 0 konvergiert, denn daraus folgt dann
(xj )j∈N ∼ (zj )j∈N .
(3.2)
Sei also > 0 gegeben. Da die Folgen (x1 − y1 , x2 − y2 , x3 − y3 , ...) und (y1 − z1 , y2 −
z2 , y3 − z3 , ...) gegen 0 konvergieren, gibt es also ein N ∈ N und ein M ∈ N derart,
dass für alle j ≥ N und k ≥ M gilt, dass
|(xj − yj ) − 0| ≤
und |(yj − zj ) − 0| ≤ .
2
2
Es sei nun ` ≥ max{N, M }. Dann gilt:
|(x` − z` ) − 0| = |(x` − y` ) − 0 + (y` − z` ) − 0|
≤ |(x` − y` ) − 0| + |(y` − z` ) − 0| ≤ + = .
2 2
Also konvergiert die Folge (x1 − z1 , x2 − z2 , x3 − z3 , ...) gegen 0 und damit gilt auch
(3.2).
6
Wir haben also alle drei Eigenschaften nachgewiesen. Damit ist die durch (3.1) definierte
Relation eine Äquivalenzrelation.
Die reellen Zahlen definieren wir jetzt als die Menge der Äquivalenzklassen auf M .
Definition 11. Die reellen Zahlen sind definiert durch
R := {[(xj )j∈N ] | die Folge (xj )j∈N ist eine Cauchy-Folge in Q.}.
Sich eine Äquivalenzklasse von Cauchy-Folgen vorzustellen mag erstmal schwierig erscheinen. Wie können wir uns die reellen Zahlen also besser vorstellen? In der Schule
wird häufig erklärt, dass die reellen Zahlen nicht-abbrechende Dezimalzahlen sind. Was
aber ist eine nicht-abbrechende Dezimalzahl? Eine nicht-abbrechende Dezimalzahl entspricht genau einer Cauchy-Folge, die beispielsweise dadurch definiert ist, dass man für
jedes Folgenglied eine weitere Dezimalstelle dazunimmt. Somit kann man sich reelle Zahlen
tatsächlich als nicht-abbrechende Dezimalzahlen vorstellen. Definition 11 sagt aber auch,
dass man beliebige Cauchy-Folgen betrachten kann und sie gibt auch Auskunft darüber,
wann zwei reelle Zahlen gleich sind; siehe dazu auch Übungsaufgabe 8.
Wir wollen die Vorlesung nun mit dem folgenden Beispiel abschließen, das zeigt, dass
es eine reelle Zahl r ∈ R gibt, die r2 = 2 erfüllt.
Beispiel 12. Wir betrachten wieder die Cauchy-Folge aus Beispiel 3 der ersten Vorlesungshälfte. Wir wollen zeigen, dass die Äquivalenzklasse r dieser Cauchy-Folge r2 = 2
erfüllt. Dazu müssen wir als erstes erklären, was die Multiplikation r · r bedeuten soll.
Dafür nehmen wir uns eine Cauchy-Folge (xj )j∈N aus der Klasse r her und definieren eine
neue Folge (yj )j∈N durch
(yj )j∈N = (x2j )j∈N = (x21 , x22 , x23 , . . . ).
In Übungsaufgabe 4 wird gezeigt, dass diese Folge wieder eine Cauchy-Folge ist. Die reelle
Zahl r2 wird dann definiert als die Äquivalenzklasse von (yj )j∈N . An dieser Stelle müssen
wir noch beweisen, dass dies wohldefiniert ist. Wohldefiniert heißt, dass die Definition nicht
auf Widersprüche führt. Denn in der Klasse r können sehr viele Cauchy-Folgen sein und für
jede dieser Cauchy-Folgen könnte die Äquivalenzklasse der Folge (x2j )j∈N unterschiedlich
sein. Dann würde sich das Ergebnis von r · r aber unterscheiden, wenn wir unterschiedliche
Folgen auswählen. Dass dem nicht so ist und die Äquivalenzklasse von (x2j )j∈N immer
die gleiche ist, unabhängig davon, welche Folge wir aus der Klasse r auswählen, zeigt die
Übungsaufgabe 4.
Wir wählen nun die in Beispiel 3 definierte Folge aus der Äquivalenzklasse r aus und
betrachten die Folge (x2j )j∈N . Außerdem betrachten wir die konstante Folge (2, 2, 2, . . . ).
In (2.4) haben wir gezeigt, dass
|2 − x2j | ≤ 2−j · 4
gilt. Wenn nun also ein ε > 0 gegeben ist, dann können wir ein N ∈ N finden, für das
4 · 2−N < ε gilt. Dann gilt aber für alle j ≥ N , dass
|2 − x2j | < ε.
Die Folge (2 − x1 , 2 − x2 , 2 − x3 , . . . ) konvergiert also gegen 0. Das heißt, dass die Folge (x2j )j∈N in derselben Äquivalenzklasse wie die konstante Folge (2, 2, 2, . . . ) ist. Diese
konstante Folge entspricht der Zahl 2. Wir haben also gezeigt, dass in den reellen Zahlen
r2 = 2 gilt.
7
Für die vollständige Definition der reellen Zahlen müssen wir eigentlich auch noch die
Addition von zwei reellen Zahlen definieren und zeigen, dass auch diese wohldefiniert ist.
Außerdem kann auch gezeigt werden, dass die reellen Zahlen angeordnet werden können,
das heißt man kann weiterhin sagen, dass eine Zahl größer, kleiner oder gleich einer anderen
Zahl ist, eine Eigenschaft, die übrigens die komplexen Zahlen nicht mehr besitzen. Da diese
Definitionen und Aussagen aber eher technisch sind, sollen sie hier weggelassen werden;
bei Interesse kann dies in [1] nachgelesen werden.
Zudem kann man noch beweisen, dass die reellen Zahlen im Gegensatz zu den rationalen
Zahlen vollständig sind, was bedeutet, dass eine Cauchy-Folge in R auch einen Grenzwert
in R besitzt. Deshalb sagt man auch, dass die reellen Zahlen die Vervollständigung der
rationalen Zahlen sind, weil genau die Grenzwerte“ der Cauchy-Folgen zu den rationalen
”
Zahlen hinzugenommen werden.
Literatur
[1] H.-D. Ebbinghaus. Zahlen. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992.
8