Übungsaufgaben zu den reellen Zahlen

Übungsaufgaben zu den reellen Zahlen
√
Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass 2 6∈ Q gilt, dass es also keine Zahl q ∈ Q gibt mit
q 2 = 2.
Tipp: Nehmen Sie an, dass es eine Zahl q = ab ∈ Q gibt mit q 2 = 2 und a und b seien
so gewählt, dass sie teilerfremd sind. Können Sie einen Widerspruch erzeugen?
Aufgabe 2. Zeigen Sie: Wenn die Folge (xj )j∈N in Q (also xj ∈ Q für alle j ∈ N)
gegen einen Grenzwert x ∈ Q konvergiert, dann ist die Folge (xj )j∈N eine CauchyFolge.
Aufgabe 3. Welche der unten definierten Folgen sind Cauchy-Folgen, welche sind
keine Cauchy-Folgen? Welche Cauchy-Folgen haben einen Grenzwert in Q?
• x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, . . .
• x1 = 0.9, x2 = 0.99, x3 = 0.999, x4 = 0.9999, . . .
• Für eine beliebige Zahl q ∈ Q sei x1 = q, x2 = q, x3 = q, x4 = q, . . .
• x1 = 1, x2 = 1 + 21 , x3 = 1 + 12 + 13 , x4 = 1 + 12 + 13 + 14 , . . .
• x1 = 1, x2 = −1, x3 = 1, x4 = −1, . . .
• x1 = 1, x2 = 12 , x3 = 13 , x4 = 14 , . . .
• x1 = 3, x2 = 3.1, x3 = 3.14, x4 = 3.141, x5 = 3.1415, . . . (jeweils eine Nachkommastelle von π mehr)
• x1 = 1, x2 = 2, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 3, x6 = 3, x7 = 4, . . .
• x0 =
5
2
und alle weiteren Folgenglieder sind definiert durch
1
2
xn+1 =
xn +
,
2
xn
also x1 = 1.65, x2 = 1.43106, x3 = 1.41431272759 . . . ,
x4 = 1.414213565849 . . . , . . .
• x0 = 5 und alle weiteren Folgenglieder sind definiert durch
1
9
xn +
,
xn+1 =
2
xn
also x1 = 3.4, x2 = 3.02352941176 . . . , x3 = 3.0000915541 . . . ,
x4 = 3.00000000139698 . . . , . . .
1
Übungsaufgaben zu den reellen Zahlen
Die letzten beiden Folgen sind auch als Heron-Verfahren bekannt. Eine geometrische
Interpretation ist die folgende: Ein Rechteck mit Seiten xn und x2n hat immer einen
Flächeninhalt von 2 mit einer längeren und einer kürzeren Seite. Im neuen Iterationsschritt wird nun der Mittelwert aus beiden Seitenlängen genommen. Das Rechteck
2
mit Seiten xn+1 und xn+1
ist also „quadratischer“.
Für die letzte Folge ist der Flächeninhalt von xn und x9n immer 9.
Aufgabe 4.
1. Es sei (xj )j∈N eine Cauchy-Folge. Zeigen Sie, dass dann auch die Folge
(x21 , x22 , x23 , . . . )
eine Cauchy-Folge ist.
2. Es seien (xj )j∈N und (yj )j∈N Cauchy-Folgen und die Folge (x1 − y1 , x2 − y2 , x3 −
y3 , . . . ) konvergiere gegen 0. Zeigen Sie, dass dann auch die Folge (x21 − y12 , x22 −
y22 , x23 − y32 , . . . ) gegen 0 konvergiert.
Aufgabe 5. Zeigen Sie, dass Q ⊆ R gilt im folgenden Sinne: Für alle q ∈ Q existiert
eine Cauchy-Folge (xj )j∈N in Q derart, dass diese Folge gegen q konvergiert.
Aufgabe 6. Welche der folgenden Relationen sind Äquivalenzrelationen? Welche
der Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität sind erfüllt?
• Es sei M die Menge aller Dreiecke und es gelte für T, K ∈ M , dass T ∼ K
genau dann, wenn T und K einen gleichen Innenwinkel besitzen.
• Es sei M = N und es gelte für m, n ∈ M , dass m ∼ n genau dann, wenn
m = n + 1.
• Es sei M die Menge aller Menschen und es gelte für m, n ∈ M , dass m ∼ n
genau dann, wenn m und n sich schon einmal begegnet sind.
• Es sei M eine Menge und es gelte für a, b ∈ M , dass a ∼ b genau dann, wenn
a = b.
• Es sei M die Menge aller Paare in Z, also M = {(a, b) | a ∈ Z und b ∈ Z}.
Es gelte für (a, b) ∈ M und (p, q) ∈ M , dass (a, b) ∼ (p, q) genau dann, wenn
bp = aq.
• Es sei M = Z und es gelte für a, b ∈ Z, dass a ∼ b genau dann, wenn a und b
das gleiche Vorzeichen haben.
• Es sei M die Menge aller Schüler einer Schule und es gelte für a, b ∈ M , dass
a ∼ b genau dann, wenn a jünger ist als b oder das gleiche Alter hat.
• Es sei M = N und es gelte für m, n ∈ M , dass m ∼ n genau dann, wenn m und
n beim Teilen durch 5 den gleichen Rest haben.
2
Übungsaufgaben zu den reellen Zahlen
Aufgabe 7. Es sei r eine nicht-abbrechende Dezimalzahl (also eine reelle Zahl, wie
sie in der Schule vorkommt). Zeigen Sie, dass es eine (Cauchy-)Folge (xj )j∈N mit
xj ∈ Q gibt, sodass (xj )j∈N gegen r konvergiert. In der Definition der reellen Zahlen
wird dann die Zahl r mit (der Äquivalenzklasse) der Folge (xj )j∈N identifiziert. Diese
Aufgabe zeigt also, dass r ∈ R gilt.
Aufgabe 8. Zeigen Sie, dass 0.99999 . . . = 1 gilt.
Aufgabe 9. Wenn wir eine Zahl r ∈ R betrachten, die nicht in Q ist, und sie uns
auf einem Zahlenstrahl vorstellen, dann liegen rings um r unendlich viele Zahlen in Q.
Wenn wir nun „hineinzoomen“, dann liegen auch dort wieder unendlich viele Zahlen in
Q. Dies wird durch Aufgabe 7 gezeigt. Daher könnte der Eindruck entstehen, es gäbe
„mehr“ oder „genau so viele“ rationale Zahlen wie irrationale Zahlen, also Zahlen, die
reell sind, aber nicht rational. Dies soll in dieser Aufgabe aber widerlegt werden.
• Zeigen Sie, dass man alle positiven rationalen Zahlen in einer Folge aufschreiben kann, dass man also eine Folge (xj )j∈N derart finden, dass jede positive
rationale Zahl mindestens einmal in dieser Folge vorkommt.
Tipp: Die positiven rationalen Zahlen pq für p, q ∈ N kann man wie folgt aufschreiben:
p
q
1
2
3
4
5
6
..
.
1
2
3
4
5
6
...
1/1
1/2
1/3
1/4
1/5
1/6
..
.
2/1
2/2
2/3
2/4
2/5
2/6
..
.
3/1
3/2
3/3
3/4
3/5
3/6
..
.
4/1
4/2
4/3
4/4
...
...
..
.
5/1
5/2
5/3
...
6/1
...
...
...
Gibt es nun einen „Weg“ durch dieses Tableau, der jede Zahl erreicht?
• Zeigen Sie, dass es keine Folge (xj )j∈N gibt mit xj ∈ R, sodass jede reelle Zahl
mindestens einmal vorkommt.
Tipp: Nehmen Sie an, es gäbe eine solche Folge und schreiben Sie die Nachkommastellen der Folgenglieder als unendliche Dezimalzahlen untereinander,
also zum Beispiel
0.453218512135845 . . .
0.654862385786985 . . .
0.456833225488876 . . .
0.488563251448233 . . .
0.248741441477777 . . .
..
.
Kann man eine Zahl konstruieren, die nicht in der Folge vorkommen kann?
3