Hochfrequenzsignale und Fresnelsche Formeln

M.Links & R.Garreis
Inhaltsverzeichnis
Hochfrequenzsignale und Fresnelsche
Formeln
Anfängerpraktikum SS 2013
Martin Link und Rebekka Garreis
22.04.2013 Universtität Konstanz
Inhaltsverzeichnis
1
2
Einleitung
Grundlagen
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3
2
Kirchho'sche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektrische Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Impedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Lecherleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Koaxialkabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verhalten von elektromagnetischen Wellen an Grenzächen
2.6.1 Abschluss eines Wellenleiters . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Fresnelsche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarisationsdrehung durch Reektion . . . . . . . . . . . .
Brewsterwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Totalreektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
4
4
5
5
6
6
7
8
8
9
9
Hochfrequenzsignale
9
Fresnelsche Formeln
10
5
Gesamtfazit
13
6
Anhang
13
4
3.1 Fragen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Fragen und Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
9
10
M.Links & R.Garreis
2 GRUNDLAGEN
1 Einleitung
In diesem Doppelversuch soll das Verhalten von Elektromagnetischen Wellen in und an unterschiedlichen Medien untersucht werden. Hierbei werden insbesondere die Ausbreitung kurzer Impulse und
Grenzächen betrachtet. Da Licht ebenfalls eine elektromagnetische Welle ist, kann dies auch über die
Optik geschehen.
2 Grundlagen
2.1 Kirchho'sche Regeln
In einer elektrischen Schaltung gibt es meist viele Leiter, die sich verzweigen, bzw in Knotenpunkten
zusammenlaufen. Für diese gelten folgende Regeln:
1. Kirchho'sche Regel, Knotenregel:
"Verzweigen sich mehrere Leiter in einem Punk P, so muss die Summe der einlaufenden Ströme
gleich der Summer der auslaufenden Ströme sein:"[3]
X
Ik = 0
k
2. Kirchho'sche Regel, Maschenregel:
Ïn jedem geschlossenen Stromkreis ist die Summe aller Verbraucherspannungen gleich der Generatorspannung U0
U0 =
N
X
Uk
k=1
[...]. Schlieÿt man die Generatorspannung U0 in die Summation mit ein, so folgt:"[3]
N
X
Uk = 0
k=0
2.2 Elektrische Widerstände
Aus den Kirchho'schen Regeln kann man leicht die Berechnung des Gesamtwiderstandes in einer
Schaltung herleiten:
P
Reihenschaltung: Rges = Pk Rk
1
Parallelschaltung: Rges
= k R1k
Jeder Leiter besitzt einen materialspezischen elektrischen Widerstand %s . Hängt dieser nicht von I
oder U ab, so wird der Leiter als Ohmscher Leiter bezeichnet und es gilt U = R · I (Ohmsche Gesetz).
Der elektrische Widerstand R wird in Ω angegeben.
Betrachtet man eine Leitung, die an Gleichstrom angeschlossen wird, so fällt auf, dass die Enerie,
die durch den elektrischen Widerstand, dem Wirkwiderstand, verloren geht, hauptsächlich in Wärme
umgewandelt wird.
Bei einer Leitung, die an eine Wechselspannung angeschlossen ist, tritt ein zusätzlicher sogenannter
komplexer Widerstand oder auch Blindwiderstand. Dieser bewirkt eine Phasenverschiebung vom Strom
gegenüber der Spannung. Hierbei muss man unterscheiden zwischen:
2
M.Links & R.Garreis
2 GRUNDLAGEN
1 Induktiver Widerstand
In einen Stromkreis (Aufbau siehe Abb.1) mit der angelegten Spannung Ue = U0 cos(ωt) gilt,
falls der Ohmsche Widerstand vernachlässigt wird, für die induzierte Spannung Uind = −L · dI
dt
in der Spule:
Ue + Uind = 0
⇒
U0 cos(ωt) = L ·
dI
Zdt
(1)
U0
sin(ωt)
ωL
U0
= I0 sin(ωt) mit I0 =
ωL
◦
Es ist zu erkennen, dass der Strom gegenüber der Spannung um 90 verzögert ist.
⇒
I=
U0
L
cos(ωt) dt =
(2)
Für den induktiven Widerstand deniert man
|RL | =
U0
= ω · L.
I0
(3)
Berücksichtigt man auch die Phasenverschiebung, so muss der Widerstand mittels einer komplexen Zahl Z mit dem Betrag |RL | und dem Winkel ϕ ausgedrückt werden. Bei einer idealen Spule
ohne Wirkwiderstand wäre der Realteil von Z also null. Für den komplexen Wiederstand folgt
also:
(4)
ZI = i · ω · L
Abbildung 1: Wechselstromkreis mit Induktivität L [3]
2 Kapazitiver Widerstand
Mittels zeitlicher Dierentiation ergibt sich aus der Gleichung U =
dU
1 dQ
1
=
=
·I
dt
C dt
C
Q
C
folgende:
(5)
Betrachtet man den Stromkreis aus Abb 2 wieder mit einer angelegten Spannung Ue = U0 ·cos(ωt)
ergibt sich
I = −ωC · U0 · sin(ωt)
= ωC · U0 · cos(ωt + 90◦ )
(6)
Hier eilt der Strom also der Spannung um 90◦ vorraus. Und für den komplexen Widerstand gilt:
ZK =
U
U0
−i
= e−iπ/2
=
I
I0
ωC
3
(7)
M.Links & R.Garreis
2 GRUNDLAGEN
Abbildung 2: Wechselstromkreis mit Kapazität C [3]
2.3 Impedanz
Schaltet man in einem Stromkreis einen Ohmschen Widerstand R, eine Induktivität L und eine Kapazität C in Reihe, so lässt sich der komplexe Widerstand Z wie folgt berechnen:
Z = R + ZI + ZK
1
= R + i ωL −
ωC
(8)
Dieser komplexe Widerstand kann als Vektor in einer komplexen Zahlenebene dargestellt werden.
Hierbei wird sein Betrag
s
|Z| =
R2
1
+ ωL −
ωC
(9)
als Impedanz bezeichnet. Aus Gleichung (8) kann man herauslesen, dass der komplexe Widerstand
Abbildung 3: Komplexe Darstellung des Gesamtwiderstandes Z in der komplexen Ebene [3]
trotz vorhandener Induktivität und Kapazität null werden kann. Und zwar genau dann wenn
ωL =
1
ωC
gilt.
2.4 Wellenleiter
Elektromagnetische Wellen können in sogenannten Wellenleitern transportiert werden. Diese bestehen aus zwei durch ein Dielektrikum getrennte elektrische Leiter. Geht man von einer intisimalen
4
M.Links & R.Garreis
2 GRUNDLAGEN
Abbildung 4: Ersatzschaltung für einen Wellenleiter [1]
Wellenleiterlänge ∆x aus, so lässt sich jeder Wellenleiter mittels einer Ersatzschaltung (siehe Abb. 4)
darstellen. mit
U = Spannung
R̃ = Ohmscher (Längs-)Widerstand pro Länge
C̃ = (Quer-)Kapazität pro Länge
G̃ = Ohmscher (Quer-)Leitwert pro Länge
L̃ = (Längs-)Induktivität pro Länge
Die Wellenleitergleichung beschreibt die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen auf Leitungen und
lässt sich aus den Kirchhoschen Regeln herleiten. Für die angelegte Spannung U lautet diese:
∂2U
∂U
∂2U
=
R̃
G̃U
+
(
R̃
C̃
+
G̃
L̃)
+
L̃
C̃
∂x2
∂t
∂t2
(10)
Genauso kann für den Strom I eine Gleichung aufgestellt werden.
Über die Impendanz wird daraus der Leitungswellenwiderstand deniert:
U
Z=
=
I
s
R̃ + iω L̃
G̃ + iω C̃
(11)
Im Folgenden möchte ich zwei Arten von Wellenleitern genauer erläutern.
2.4.1
Lecherleitung
Die Lecherleitung besteht aus zwei parallel zu einander verlaufenden runden Drähten. Die Abstrahlung
ist hierbei relativ gering, dafür ist die Leitung umso anfälliger gegen Störsignale.
Die Lecherleitung wird meist als Anschluss an Dipolantennen verwendet.
2.4.2 Koaxialkabel
Das Koaxialkabel kann als zylindrischer Wellenleiter mit kreisförmigen Querschnitt angesehen werden.
Es besteht aus einem Innenleiter mit dem Radius a und einem koaxialen Auÿenleiter mit dem Radius
b. Da sich die Elektromagnetische Welle nur zwischen diesen beiden Leitern aufhält ist der Abstrahlverlust noch geringer als bei der Lecherleitung. Das elektrische Feld ist dabei radial gerichtet, und die
5
M.Links & R.Garreis
2 GRUNDLAGEN
Magnetfeldlinien verlaufen in konzentrischen Kreisen um den Innenleiter.
Für den Wellenwiderstand gilt beim Koaxialleiter
1
Z0 =
ln
2π0 c
b
a
(12)
Das Triaxialkabel hat noch einen weiteren ringförmigen koaxialen Auÿenleiter, wodurch der Abstrahlungsverlust noch weiter optimiert wird.
2.5 Polarisation
Bei der elektromagnetischen Welle handelt es sich um eine transversale Welle. Die elektrische Feldstärke
~ steht senkrecht auf die magnetische Flussdichte B
~ . Es sind also weitere Informationen notwendig,
E
um die Welle komplett beschreiben zu können.
1 Linear polarisierte Wellen
~ -Feldes immer in die gleiche Richtung, sodass alle E
~ -Vektoren in einer
Zeigt der Vektor des E
Schwingungsebene liegen, so spricht man von einer linear polarisierten Welle. Das Verhältnis der
beiden Felder ist konstant.
2 Zirkular polarisierte Wellen
Hierbei haben die beiden Felder die gleiche Amplitude, sind aber um 90circ versetzt. Man unterscheidet zwischen rechst zirkularen und links zirkularen Wellen.
3 Elliptisch polarisierte Wellen
Besitzen die beiden Felder eine Phasenverschiebung ∆ϕ 6= 0, aber trotzdem mit gleicher Ampli~ -Vektor eine elliptische Spirale.
tude, so beschreibt der E
4 unpolarisierte Wellen
~ -Vektor keine zeitlich konstante Richtung oder Bahn zuordnen, weil sich seine
Kann man dem E
Richtung statistisch im Laufe der zeit ändert, liegt eine unpolarisierte Welle vor.
2.6 Verhalten von elektromagnetischen Wellen an Grenzächen
Zunächst ist zu erwähnen, dass auch bei elektromagnetischen Wellen die Energieerhaltung gilt, d.h.
dass die Gesamtenergie einer auf einer Oberäche auftreenden EM-Welle gleich der Summe, der
absorbierten, reektierten und transmittierten Energien ist.
~ und die elektrische Feldstärke E
~ jeweils in eine TangentialMan kann die Magnetische Flussdichte B
und eine Normalkomponente aufteilen. Diese müssen stetig sein und für zwei Medien 1 und 2 gilt:
~ 1k = E
~ 2k
E
1 ~
1 ~
B1k =
B
µ1
µ2 2k
~ 1⊥ = B
~ 2⊥
B
~ 1⊥ = ε2 E
~ 2⊥
ε1 E
(13)
(14)
(15)
(16)
Hierbei ist ε die Dielektrizitätszahl und µ die magnetische Suszeptibilität.
Trit eine Welle unter dem Einfallswinkel α auf eine Grenzäche, so wird sie im allgemeinen unter
dem betragsmäÿig gleichen Winkel (Reektionsgesetz) reektiert. Ein weiterer Teil dringt durch die
Grenzäche hindurch und wird transmittet. Ist β der Brechungswinkel, ni der Brechungsindex im
6
M.Links & R.Garreis
2 GRUNDLAGEN
Bereich des einfallenden Strahls und nt der Brechungsindex im Bereich des transmitteten Strahls, so
gilt das Snelliussche Brechungsgesetz:
sin(α)
nt
=
sin(β)
ni
(17)
Abbildung 5: Elektromagnetische Wellen an einer Grenzäche [2]
2.6.1 Abschluss eines Wellenleiters
In dem Versuch Hochfrequenzsignale werden drei verschiedene Reektionen am Ende des Wellenleiters
untersucht.
Mittels des Reektionsgrades r kann man beschreiben, wie eine Welle reektiert wird. Hierbei ist Zk
die Impedanz des Leiters und Za der Widerstand des Abschlusses.
r=
Za − Zk
Za + Zk
(18)
1 oenes Ende
Hier hat der Wellenleiter keinen Abschluss, der Abschlusswiderstand geht gegen unendlich und
die Welle wird ohne Phasenverschiebung komplett reektiert.
r = lim
Za →∞
Za − Zk
=1
Za + Zk
(19)
2 kurzgeschlossenes Ende
Der Abschlusswiderstand geht gegen null und die Welle wird mit einer Phasenverschiebung von
180◦ komplett reektiert.
r = lim
Za →0
Za − Zk
= −1
Za + Zk
(20)
3 abgeschlossenes Ende
Wird die Leitung mit einem Widerstand abgeschlossen, der genauso groÿ ist wie die Impedanz
des Leiters, so wird die Welle komplett absorbiert.
r = lim
Za →Zk
7
Za − Zk
=0
Za + Zk
(21)
M.Links & R.Garreis
2.6.2
Fresnelsche
2 GRUNDLAGEN
Formeln
Die Fresnelsche Formeln bilden die Grundlage aller Berechnungen für die Reektion oder Transmission elektromagnetischer Wellen an Grenzächen. Sie ermöglichen unter anderem die Bestimmung der
Polarisation von reektierter und gebrochener Welle, egal wie die einfallende Welle polarisiert ist. Für
den Reektionskoezient % und den Transmissionskoezient τ lauten die Fresnelsche Formeln unter
der Annahme, dass wir uns an einer ebenen Grenzäche zwischen zwei linear, isotopen, homogenen
und rein dielektrischen Medien benden:
Er⊥
n1 cosα − n2 cosβ
sin(α − β)
=
=−
Ei⊥
n1 cosα + n2 cosβ
sin(α + β)
Et⊥
2n1 cosα
2sinβcosα
τ⊥ =
=
=
Ei⊥
n1 cosα + n2 cosβ
sin(α + β)
Erk
n2 cosα − n1 cosβ
tan(α − β)
%k =
=
=
Eik
n2 cosα + n1 cosβ
tan(α + β)
Etk
2n1 cosα
2sinβcosα
τk =
=
=
Eik
n2 cosα + n1 cosβ
sin(α + β)cos(α − β)
%⊥ =
(22)
(23)
(24)
(25)
Dabei bezeichnet der Index i die einfallende Welle, r die reektierte Welle und t die transmittete Welle.
Abbildung 6: Graphische Darstellung der vier Amplitudenkoezienten für Reexion und Transmission
an einer dielektrischen Grenzäche als Funktion des Einfallswinkels α. [2]
2.7 Polarisationsdrehung durch Reektion
Trit eine linear polarisierte elektromagnetische Welle auf eine Grezäche, so kommt es bei der Reexion zu einer Drehung der Polarisationsebene. Betrachtet man nun den Fall, dass linearpolarisiertes Licht
auf eine Grenzäche trit und die Schwingungsebene mit der Einfallsebene den Winkel ϕi einschlieÿt,
8
M.Links & R.Garreis
3 HOCHFREQUENZSIGNALE
~ i in die Komponenten parallel und senkrecht zu Einfallsebene
so kann man die elektrische Feldstärke E
aufteilen.
Ei = (Eik , Ei⊥ ) = (Ei · cos(ϕi ), Ei · sin(ϕi ))
(26)
Die Reektion erfolg nach den Fresnelschen Formeln und nach der Reexion ergibt sich:
Er = (Erk , Er⊥ ) = (%k · Ei · cos(ϕi ), %⊥ · Ei · sin(ϕi ))
(27)
Daraus folgt für das Reektierte Licht:
tan(ϕr ) =
Er⊥
%⊥
=
· tan(ϕi )
Erk
%k
(28)
Es ergibt sich also eine Polarisationsdrehung von ϕr −ϕi . Diese kann experimentell sehr leicht bestimmt
werden.
2.8
Brewsterwinkel
Aus (24) ist zu erkennen, dass für α + β = 90◦ der parallele Amplitudenkoezient der Reexion null
wird.
Als Brewsterwinkel wird also genau der Winkel bezeichnet, bei dem die Wellenvektoren von reektierter und gebrochener Welle senkrecht aufeinander stehen.
Mittels des Snelliuschen Brechungsgesetz(17) folgt für die Berechnung des Winkels:
tanαB =
n2
n1
(29)
2.9 Totalreektion
Da sinα nicht gröÿer als 1 werden kann, muss für α
sinα ≤
n2
n1
(30)
gelten, damit die Welle ins Medium 2 eintreten kann. Dies folgt aus dem Brechungsgesetz (17) und
n1 n2 .
Für sinα nn21 wird alles Licht an der Grenzäche reektiert (Totalreexion). Der Winkel αg mit
sinαg =
n2
n1
(31)
wird als Grenzwinkel der Totalreexion bezeichnet.
3 Hochfrequenzsignale
3.1 Fragen und Aufgaben
1 Warum genügt in Aufbau 2 ein T-Stück anstatt eines Powersplitters?
Ein Powersplitter würde eine Reexion verhindern. Da die Reexion des T-Stücks am Eingang des
Oszilloskopes aber so stark gedämpft wird, dass sie nicht weiter störend ist wird kein Powersplitter
benötigt. Des weiteren waren die Reexionen deutlich unterscheidbar und Störsignale haben die
Messungen nicht weiter beinträchtigt.
9
M.Links & R.Garreis
4 FRESNELSCHE FORMELN
2 Was bedeutet "50 Ω-Ausgangäm Impulsgenerator, bzw. "1MΩ Eingangsimpedanzäm
Oszilloskop?
Der "50 Ω-Ausgangïst die Ausgangsimpedanz des Impulsgenerators. Sie gibt das Verhältnis zwischen der Kurzschlussspannung und dem Kurzschlussstrom an (R = UI ). Um eine Reexion zu
verhindern sollte sie der Impedanz des Kabels ensprechen.
Die "1MΩ Eingangsimpedanz"bezeichnet des Wellenwiderstand des Oszilloskops. Sie sollte möglichst groÿ gewählt werden, da der Messstrom sonst die Messergebnisse beeinusst. Des weiteren
ist dadurch eine Übertragung der Welle ohne Reexion und Phasensprung möglich.
3 Erklären Sie, warum jede Art von Wellenleiter durch das in Abbildung 4 gezeigte
Ersatzschaltbild beschrieben werden kann.
Siehe Kapitel 2.4.
4 Erklären Sie, warum bei der Impulserzeugung mittels Koaxialkabels keine Konden-
satorentladekurve, sondern rechteckige Impulse zu sehen sind.
Die Impulslaufzeiten im Koaxialkabel sind kürzer als die Entladezeit, das heiÿt, dass das Signal
während einer Entladung mehrfach reektiert wurde. Diese Reexionen überlagern sich mit der
Entladekurve, wodurch rechteckige Impulse auf dem Bildschirm entstehen.
5 Warum sind die Pulse nur nahezu rechteckig?
Warum sind in allen Versuchsteilen die reektierten Impulse "weniger rechteckigäls
die ursprünglichen Impulse?
Da es in der Praxis nicht möglich ist, unendlich viele harmonische sinus- und cosinus-Schwingungen
zu überlagern, wodurch eine exakt rechteckige Spannungskurve entstehen würde, sind die Ecken
der Rechtecke abgerundet.
Verstärkt wird diese Störung auÿerdem noch durch eine Dämpfung bei Reexionen an Bauteilen.
Dadurch sind die reektierten Impulse "weniger rechteckig".
6 Erklären Sie, ausgehend von Abbildung 4.11.1 für die Bandleitung, unter Zuhilfe-
nahme der Maxwellgleichungen die Feld- und Stromverteilungen einer TEM-Welle
im Koaxialkabel.
Nach den Maxwellgleichungen stehen das elektrische- und das Magnetfeld senkrecht aufeinander.
Des weiteren zeigen bei einer TEM-Welle (transversale elektromagnetische Welle) keine magnetischen oder elektrischen Feldvektoren in die Ausbreitungsrichtung. Alle drei Vektorgröÿen stehen
also senkrecht aufeinander. In Bezug auf die Bandleitung aus Abbildung 4.11.1 ist daraus zu
schlieÿen, dass die elekrischen Feldlinien die kürzeste Verbindung der beiden parallelen Platten beschreiben und die magnetischen Feldlinien parallel zu den Platten verlaufen. Somit steht
Ausbreitungsrichtung senkrecht auf den Magnetfeldlinien und den elektrischen Feldlinien.
4 Fresnelsche Formeln
4.1 Fragen und Aufgaben
1 Wie sieht die Strahlungscharakteristik eines hertz'schen Dipols aus?
Beim hertz'schen Dipol wird keine Strahlung in Richtung der Schwingungsebene abgegeben und
die magnetischen Feldlinien bilden konzentrische Kreise (vergleiche auch Abb. 7)
Trit Licht unter dem Brewsterwinkel auf Glas und zusätzlich seine Schwingungsebene parallel
zur Einfallsebene liegt, so ist die Reexionsintensität gleich Null.
Die Atome des Glases werden von dem Licht so angeregt, dass sie sich wie Dipole verhalten.
10
M.Links & R.Garreis
4 FRESNELSCHE FORMELN
Abbildung 7: Hertz'scher Dipol [4]
Desweitern gilt, dass bei Licht welches unter dem Brewsterwinkel einfällt, die zur Einfallsebene
parallel polarisierte Komponente gebrochen und die senkrecht polarisierte Komponente reektiert
wird. Die senkrechte Komponente liegt aber in Richtung des angeregten Dipols, welcher aber nach
Abb. 7 in dieser Richtung nichts abstrahlt. Es ndet also keine Reexion statt.
2 Erklären Sie die Funktionsweise der mechanischen Halbwinkelführung.
Die Halbwinkelführung besteht aus einer festen Stange, an der eine weitere beweglich xiert ist.
An dieser wiederum sind zwei Führungsstangen so angebracht, dass eine mittlere Stange auf der
Winkelhalbierenden liegt. Dadurch ist eine sehr genaue Messung möglich, da eine Auslenkung
um α der beweglichen Stange, nur eine Bewegung von α2 der mittleren Stange bewirkt.
3 Wie funktioniert eine Polarisationslterfolie?
Eine Polarisationsfolie besteht aus einer Art engem Gitter, durch welches nur Wellen mit einer
bestimmten Richtung gelangen können. Nur Wellen die genau senkrecht zu diesem Gitter stehen
11
M.Links & R.Garreis
4 FRESNELSCHE FORMELN
werden komplett ausgelöscht. Der Rest wird komponentenweise oder komplett (falls sie parallel
zum gitter polarisiert sind) hindurch gelassen.
4 Ein Lichtstrahl verlaufe in Luft und tree dann senkrecht auf eine ebene Glasäche
mit der Brechzahl n = 1.5. Welcher Intensitätsanteil des Lichtes wird reektiert?
Leiten Sie den entsprechenden Spezialfall aus den fresnelschen Formeln (3.5.15) und
(3.5.19) ab.
Spielt die Polarisation eine Rolle?
Für den Einfallswinkel gilt α = 0◦ und der Brechungsindex der Luft beträgt ca. 1. Nach dem
Brechungsgesetzt folgt daraus, dass für den Transmissionswinkel β gilt:
β = arcsin
ni
· sin(α)
nt
= 0◦
(32)
Für dieses Spezialfall lauten die fresnelschen Formeln:
n1 − n2
1 − 1.5
=
= −0.2
n1 + n2
1 + 1.5
n2 − n1
1.5 − 1
%k =
= 0.2
=
n2 + n1
1.5 + 1
2
2n1
=
= 0.8
τ⊥ =
n1 + n2
1.5 + 1
2n1
2
τk =
=
= 0.8
n2 + n1
1.5 + 1
%⊥ =
(33)
(34)
(35)
(36)
Daraus kann man sehen, dass die Polarisation bei der Transmission keine Rolle spielt, da sowohl
die senkrechte, als auch die parallele Komponete zu 80% transmittiert werden. Bei der Reektion bestimmt die polarisation jediglich über einen Phasensprung, die Intensität bleibt dabei
unverändert bei 20%
5 Beschreiben Sie unter Verwendung des Ergebnisses aus Aufgabe 4 die Funktionsweise
Christiansen-Filters.
Der Christiansen-Filter besteht aus vielen Körnern, die zwischen zwei planparallelen Platten
in eine Flüssigkeit eingebettet sind. Die Körner und die Flüssigeit müssen für die gewünschte
Wellenlänge den entsprechenden und gleichen Brechungsindex haben. Treen die Wellen wie in
Aufgabe 4 senkrecht auf die Grenzäche gilt nach den Fresnel'schen Formeln:
n1 − n2
n1 + n2
n2 − n1
%k =
n2 + n1
2n1
τ⊥ =
n1 + n2
2n1
τk =
n2 + n1
%⊥ =
=0
(37)
=0
(38)
=1
(39)
=1
(40)
Die Welle des gewünschten Wellenbereichs wird also vollständig transmittiert, wobei andere Wellenlängen zum Teil reektiert werden, wodurch ihre Intensität zur anderen Platte immer weiter
abnimmt. An der zweiten Platte kommen also hauptsächlich Wellen der gewünschten Wellenlänge
an.
12
M.Links & R.Garreis
Tabellenverzeichnis
5 Gesamtfazit
6 Anhang
Literatur
[1] Runge, Bernd-Uwe: Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz, Hochfrequenzsignale https://ap.physik.uni-konstanz.de/AP-public/Anleitungen/Hochfrequenz.pdf (entnommen
am 20.04.2013)
[2] Runge, Bernd-Uwe: Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz, Fresnelsche
Formeln https://ap.physik.uni-konstanz.de/AP-public/Anleitungen/Fresnelsche-Formeln.pdf (entnommen am 20.04.2013)
[3] Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2 Auage 5 2009
[4] http://www.ipf.uni-stuttgart.de/lehre/online-skript/edynamik/hertz.gif
28.04.2013)
(entnommen
am
1
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
Wechselstromkreis mit Induktivität L [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wechselstromkreis mit Kapazität C [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Darstellung des Gesamtwiderstandes Z in der komplexen Ebene [3] . . . . .
Ersatzschaltung für einen Wellenleiter [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektromagnetische Wellen an einer Grenzäche [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graphische Darstellung der vier Amplitudenkoezienten für Reexion und Transmission
an einer dielektrischen Grenzäche als Funktion des Einfallswinkels α. [2] . . . . . . .
Hertz'scher Dipol [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabellenverzeichnis
13
3
4
4
5
7
8
11