Lösung - TFT / KIT

Institut für
Thermische Verfahrenstechnik
Prof. Dr.-Ing. Matthias Kind
Dr.-Ing. Thomas Wetzel
Wärmeübertragung I
Lösung zur 10. Übung (Wärmeübergang bei Konvektion I)
Durchströmte Kanäle
Bei einer Strömung durch Kanäle (z.B. Rohr oder ebener Spalt) wird der Wärmeübergang
gegenüber dem Wärmeübergang bei Wärmeleitung aufgrund der Konvektion beschleunigt.
Da der Wärmeübergang stark vom Strömungszustand abhängt, muss zunächst festgestellt
werden, ob die Strömung laminar oder turbulent ist. Dafür berechnet man die Reynolds
Zahl: Re = u ⋅ d h / ν . Hier ist u
die mittlere Geschwindigkeit der Strömung, ν die
kinematische Viskosität.
Als charakteristische Länge gilt bei allen Kennzahlen (Re, Nu) der s.g. hydraulischer
Durchmesser dh, der wie folgt berechnet wird: dh = 4f/U, mit f –Strömungsquerschnitt und U –
benetzter Umfang der Strömung. So ergibt sich für ein durchströmtes Rohr mit kreisförmigem
Querschnitt: d h = 4 ⋅ π ⋅ d 2 /(4 ⋅ π ⋅ d ) = d , also der Durchmesser des Rohres, und für einen
ebenen Spalt d h = 4 ⋅ b ⋅ s /(2b + 2s ) ≈ 2s , also zwei Spaltweiten (wenn b >> s ist).
Mit diesen charakteristischen Längen wird Re berechnet. Falls diese kleiner 2300 ist, wird die
Formel für die Nu-Zahl in laminarer Strömung verwendet. Falls Re größer 10000 ist, gilt die
Gnielinski-Formel für die Nu-Zahl in turbulenter Strömung. Wenn die Re-Zahl zwischen den
beiden Grenzwerten liegt, wird die Nu-Zahl durch lineare Interpolation zwischen der Nu–Zahl
für laminare Strömung bei Re = 2300 und der Nu–Zahl für turbulente Strömung bei
Re = 10000 berechnet.
Laminare Strömung Re < 2300:
Nu = 3 Nu13 + b 3 + ( Nu 2 − b) 3 + Nu 33
Rohr
b = 0,7
Nu1 = 3,66
Nu 2 = 1,615 ⋅ 3 Gz
Spalt
b=0
Nu1 = 7,54
Nu 2 = 1,849 ⋅ 3 Gz
Nu 3 = 6
2
⋅ Gz
1 + 22 ⋅ Pr
Gz = Re·Pr·dh/L – Graetz Zahl (L – Länge des Kanals); Pr – Prandtl Zahl (Stoffeigenschaft)
Turbulente Strömung Re > 10000 (Gnielinski-Formel):
Nu =
⎛ ⎛ dh ⎞2 3 ⎞
(ξ 8) ⋅ Re ⋅ Pr
⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟
⋅
12
1 + 12,7(ξ 8) (Pr 2 3 − 1) ⎜⎝ ⎝ L ⎠ ⎟⎠
mit ξ = (1,8 ⋅ lg Re − 1,5)
−2
Übergangsbereich 2300 < Re < 10000: lineare Interpolation zwischen Nulam(Re = 2300) und
Nuturb(Re = 10000): Nu = (1 − γ ) ⋅ Nu lam ( Re = 2300) + γ ⋅ Nu turb ( Re = 10 4 ) mit γ =
Re − 2300
10 4 − 2300
10. Übung
Übungen zur Wärmeübertragung I
Lösung 1. Aufgabe.
Freier Querschnitt Luft: F F = F − FL = 0,0064 − 0,0016 = 0,0048 m²
mit F - Querschnitt gesamt, FL - Querschnitt Lamellen
Geschwindigkeit der Luft: u = VL FF = 0,01528 0,0048 = 3,183 m/s
Hydraulischer Durchmesser Kanal (mit a ≈ 0,0015 m – Abstand zwischen den Lamellen):
4 ⋅ FF
4 ⋅ Querschnitt
4 ⋅ 0,0048
=
=
= 0,0030
Umfang
39 ⋅ (2a + 2 B ) 39 ⋅ (2 ⋅ 0,0015 + 2 ⋅ 0,08)
m
u ⋅ dh
= 625,97
Re =
νL
=> Strömung zwischen Lamellen laminar!
dh =
Laminare Strömung in einem ebenen Spalt:
b = 0; Nu1 = 7,54
Nu 2 = 1,849 ⋅ 3 Re ⋅ Pr ⋅
2
⎛
⎞
Nu 3 = ⎜
⎟
⎝ 1 + 22 ⋅ Pr ⎠
1
6
α=
Nu = 8,34; Æ
Nu = 3 Nu13 + b 3 + ( Nu 2 − b) 3 + Nu 33
dh
= 4,95
L
⋅ Re ⋅ Pr ⋅
dh
= 3,08
L
Nu ⋅ λ L
= 71,38 W/(m² ⋅ K )
dh
Oberfläche der Lamellen: A = 39 ⋅ 2 ⋅ L ⋅ B = 39 ⋅ 2 ⋅ 0,07 ⋅ 0,08 = 0,4368 m²
Maximaler Wärmestrom von Lamellen an die Luft:
Q
= A ⋅ α ⋅ (T
− T ) = A ⋅ α ⋅ (T − T ) = 311,8 W
L , max
Lamellen
U
S
U
2
10. Übung
Übungen zur Wärmeübertragung I
Lösung 2. Aufgabe.
Bilanz um die gesamte Apparateanordnung: M ⋅ c P ⋅ (Taus − Tein ) = k ⋅ A ⋅ ΔTLM
sR
1
1
1
1
=
+
+
≈
k ⋅ A α a ⋅ Aa λ R ⋅ Am , R α i ⋅ Ai α i ⋅ Ai
da
sR
1
+
≈0
α a ⋅ Aa λ R ⋅ Am , R
(Wärmeübergangswiderstände auf der Außenseite und in der Wand sind zu vernachlässigen)
ΔTLM =
ΔTein − ΔTaus
(TO − Tein ) − (TO − Taus )
Taus − Tein
=
=
ln (ΔTein / ΔTaus ) ln ((TO − Tein ) /(TO − Taus ) ) ln ((TO − Tein ) /(TO − Taus ) )
⎛ α ⋅A
T − Tein
damit folgt aus der Bilanz: M ⋅ c P ⋅ ln O
= α i Ai ; Taus = TO − (TO − Tein ) ⋅ exp⎜⎜ − i i
TO − Taus
⎝ M ⋅ cP
Berechnung von αi (in einem durchströmten Rohr):
Volumenstrom V = M / ρ = 2 / 879 = 0,0022753 m³/s
Anordnung 1
Anordnung 2
Innendurchmesser di = 0,008 m; z = 40
Innendurchmesser di = 0,02 m; z = 85
Querschnitt f = z ⋅ πd i2 / 4 = 2,011 ⋅ 10 −3 m²
Querschnitt f = z ⋅ πd i2 / 4 = 2,670 ⋅ 10 −2 m²
Geschwindigkeit: u = V / f = 1,132 m/s
Geschwindigkeit: u = V / f = 0,085 m/s
Re =
u ⋅ dh
ν
=
1,132 ⋅ 0,008
= 12 237,8
0,74 ⋅ 10 −6
Re =
u ⋅ dh
ν
=
0,085 ⋅ 0,02
= 2 297,3
0,74 ⋅ 10 −6
Strömungszustand: turbulent (Re > 10 000)
Strömungszustand: laminar (Re < 2300)
⎛ ⎛ di ⎞2 3 ⎞
(
ξ 8) ⋅ Re ⋅ Pr
⋅ ⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟
Nu =
12
1 + 12,7(ξ 8) (Pr 2 3 − 1) ⎜⎝ ⎝ L ⎠ ⎟⎠
Nu = 3 Nu13 + b 3 + ( Nu 2 − b) 3 + Nu 33
b = 0,7 Nu1 = 3,66 L = 1,25 m
ξ = (1,8 ⋅ lg Re − 1,5)−2 = 0,02914
Nu 2 = 1,615 ⋅ 3 Gz = 10,46
Pr = 7,4 ; L = 1 m
Nu = 109,11 ; α i =
mit Gz = Re ⋅ Pr ⋅
Nu ⋅ λ
W
= 2086,71
di
m²K
und Pr =
Ai = 2 ⋅ z ⋅ πd i L = 2,01 m²
Taus = 34,5 °C (ausreichend!)
Nu 3 = 6
Trotz der viel kleineren Übertragungsfläche
di
= 271,9
L
ν ⋅ ρ ⋅ cP
= 7, 4
λ
2
⋅ Gz = 7,91
1 + 22 ⋅ Pr
Nu = 11,38 ; α i =
(Faktor 10!) der Anordnung 1 ist nur diese
Anordnung dazu geeignet, die gewünschte
Nu ⋅ λ
W
= 87,06
di
m²K
Ai = 3 ⋅ z ⋅ πd i L = 20,03 m²
Austritttemperatur zu erreichen.
Taus = 23,8 °C (nicht ausreichend!)
3
⎞
⎟⎟
⎠