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Übungsblatt 13 – Stochastik für Bioinformatiker
Michael Höhle, Leonhard Held
SoSe 2004
Abgabe: Mittwoch 21. 7. 2004
Dieses Übungsblatt enthält drei der vier Aufgaben der 2003 Klausur, die von Thomas Kneib und Leonhard Held
erstellt wurde. Es gibt nur Bonuspunkte für dieses Blatt – auf der Kurshomepage unter Übungen liegt auch die
Originalversion der 2003 Klausur.
Aufgabe 51 (5 Bonuspunkte)
Betrachten Sie ein genetisches Merkmal mit der folgenden relativen Häufigkeitsverteilung der Genotypen in
einer Population:
aa
0.5
ab
0.45
bb
0.05
Der Genotyp bb‘, der durch einen Test erkannt werden soll, sei der Verursacher einer Krankheit. Der Test
’
funktioniert jedoch nur fehlerhaft, wobei bei gegebenen Genotypen die folgenden Wahrscheinlichkeiten für ein
positives Testergebnis bekannt seien:
aa
0.05
ab
0.10
bb
0.95
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einer zufällig aus der Population ausgewählten Person
ein positives Testergebnis zu erhalten.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person tatsächlich den Genotyp bb‘ hat, wenn ein posi’
tives Testergebnis vorliegt.
c) Nehmen Sie nun an, dass eine Person mit Genotyp bb‘ mit Wahrscheinlichkeit 0.3 tatsächlich erkrankt
’
und dass das Testergebnis für eine Person mit Genotyp bb‘ unabhängig davon ist, ob die Person erkrankt
’
ist oder nicht. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person erkrankt ist, wenn der Test ein
positives Ergebnis ergibt?
Aufgabe 52 (5 Bonuspunkte)
Betrachten Sie folgendes Zufallsexperiment: Eine faire Münze mit den Seiten 0 und 1 wird zweimal unabhängig
geworfen. Die Zufallsvariable Z1 beschreibe den ersten Münzwurf und Z2 den zweiten Münzwurf. Nun sei
X = min(Z1 , Z2 ) definiert als das Minimum der beiden Münzwürfe und Y = max(Z1 , Z2 ) als das Maximum der
beiden Münzwürfe.
a) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y sowie die jeweiligen Randverteilungen.
b) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von X und Y .
c) Bestimmen Sie die Kovarianz und die Korrelation zwischen X und Y .
d) Bestimmen Sie die bedingte Verteilung von Y |X = 0.
Bitte Rückseite beachten
Aufgabe 53 (5 Bonuspunkte)
Die stetige Zufallsvariable X besitze die folgende Verteilungsfunktion:

0
x≤0

FX (x) =
x

x>0
1+x
a) Berechnen Sie P (X > 1).
b) Bestimmen Sie die Dichte fX (x) von X.
c) Bestimmen Sie (mit Hilfe des Transformationssatzes für Dichten) die Dichte fY (y) der Zufallsvariablen
Y = log(X).
d) Zeigen Sie, dass fY (y) = fY (−y) gilt. Was ergibt sich damit für den Erwartungswert von Y (unter der
Voraussetzung, dass er existiert)?
e) Die Verteilungsfunktion von Y lautet
FY (y) =
1
.
1 + exp(−y)
Beschreiben Sie, wie man mit Hilfe des Inversionsverfahrens aus der Verteilung von Y Zufallszahlen ziehen
kann und bestimmen Sie die hierfür notwendigen Größen. Wie kann man nun einfach Zufallszahlen aus
der Verteilung von X erzeugen?