Feldquantisierung

Kapitel 10
Feldquantisierung
10.1 Einleitung
Nicht-relativistische Quantenmechanik: Die Wellenfunktion ψ der
nicht-relativistischen Quantenmechanik kann als “Feld” betrachtet
werden. In diesem Fall wird das Feld “klassisch” behandelt, d.h., die
Wellenfunktion ist eine Funktion des Ortsvektors x (wobei x als ein
kontinuierlicher Index für die Freiheitsgrade des Feldes wirkt), die
den Zustand eines Teilchens beschreibt:
r
r
r
Wellenfunktion ψ :
ρ( x ) ≡ ψ * ( x )ψ ( x )
Die Quantisierung kommt daher, dass wir den “klassischen” Hamilton-Operator
r r
H ≡ H ( p, x )
Teilchenphysik
147
Feldquantisierung
verwenden und die Symbole x und p als Operatoren mit Kommutationsregeln betrachten, d.h.,
[ x , p ] = iδ
i
j
ij
und
[x , x ] = [ p , p ] = 0
i
j
i
j
Relativistische Quantenmechanik: Wir haben in Kap. 5, 6 und 7
eine ähnliche Methode verwendet, um eine Wellengleichung zu finden, die mit der Relativitätstheorie übereinstimmt, d.h.,
φ Klein −Gordon ( x µ ), ψ Dirac ( x µ )
→ "klassische Felder"
pµ
→ Operator
Wir haben einige Probleme angetroffen:
1) Klein-Gordon: E<0 und ρ<0, d.h. schwierige Interpretation des
Feldes als Wellenfunktion eines Teilchens, weil die Wahrscheinlichkeit nicht positiv definiert ist.
2) Dirac: ρ>0, aber E<0 und E>0, d.h. wir erklären zuerst die
Abwesenheit von Zuständen mit negativer Energie mit Hilfe der
Loch-Theorie. Wir interpretieren nachher die Zustände mit negativer
Energie als Antiteilchen mit positiver Energie.
Es gibt noch andere Probleme, die wir noch nicht behandelt haben:
wir suchen eine allgemeine Theorie der Elementarteilchen und müssen deshalb die folgenden Fragen lösen:
a) Wie werden wir Bosonen beschreiben? Welche Feldgleichung
müssen wir in diesem Fall verwenden? Das Dirac-Teilchen wird als
Spin-1/2 Fermion interpretiert.
b) Wie werden wir Teilchen und Antiteilchen behandeln? Wegen der
Energie-Masse-Äquivalenz der Relativitätstheorie können wir nicht
eine mit der Relativitätstheorie übereinstimmende Theorie betrach-
148
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
Einleitung
ten, in der die Anzahl von Teilchen-Antiteilchen erhalten wird. Wie
werden wir die Erzeugung-Vernichtung von Teilchen-Antiteilchen formal behandeln?
Man glaubt, dass die Lösung dieser Probleme in der Quanten-FeldTheorien (QFT) liegt.
In der QFT wird das Feld als ein quantisiertes Objekt
betrachtet (sogenannte “zweite Quantisierung”).
Das Feld beschreibt ein System mit unendlich vielen kontinuierlichen Freiheitsgraden. In diesem Fall spielt der Ortsvektor
die Rolle eines kontinuierlichen Index, um die Freiheitsgrade
zu identifizieren:
ψ
{
x )
({
µ
quantisierteskontinuierlicher
Feld
Index
Der kanonische Ansatz der QFT ist der folgende: wir benutzen die
klassische Lagrangedichte, die die Dynamik des Feldes beschreibt,
und interpretieren das Feld als einen Operator mit Kommutationsregeln:
"klassische Felder"

φ ( x µ ), ψ ( x µ )

zweite
Quantisierung
}
⇒
"quantisierte Felder"
 µ
µ
φ ( x ), ψ ( x ) − Operatoren

mit Kommutationsregeln
In der QFT wird das Feld nicht mehr als Wellenfunktion eines Teilchens interpretiert, die Theorie wird als eine Vielteilchentheorie reinterpretiert.
Teilchenphysik
149
Feldquantisierung
Das Feld entspricht einer physikalischen Grösse, deren Anregungen Teilchen beschreiben:
Anregung des Feldes ⇔ ein Teilchen
(≡ ein Quant des Feldes)
Die Anregungen des Feldes werden mit Hilfe von Quantenoszillatoren beschrieben.
Beispiele:
1.
2.
3.
Quantisiertes Aµ Feld: die Anregungen entsprechen den Photonen.
Quantisiertes Dirac Spinorfeld: Spin 1/2 Fermionen
Quantisiertes Klein-Gordon Feld: Spin 0 Bosonen
10.2 Quantisierung des reellen KleinGordon-Feldes
Wir betrachten ein reelles (d.h. nicht komplexwertiges) Feld φ.
Klassische Lagrangedichte:
( )
1
1
∂ µφ (∂ µφ ) − m 2φ 2
2
2
r
2
1
1
1
2
= (∂ 0φ ) − ∇φ − m 2φ 2
2
2
2
L KG =
( )
Der kanonische Impuls des Feldes ist (Siehe Kap. 8.5)
Π≡
150
∂L KG 1
= 2(∂ 0φ ) = ∂ 0φ
∂(∂ 0φ ) 2
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
Quantisierung des reellen Klein-Gordon-Feldes
Die Hamiltondichte ist gleich
H ≡ Π(∂ 0φ ) − L
1
1 r 2 1
2
∂ 0φ ) + ∇φ + m 2φ 2
(
2
2
2
r
2
1
1
1
2
= (∂ 0φ ) + ∇φ + m 2φ 2
24 4
24 4
2
12
3 12
3 123
( )
= (∂ 0φ ) −
2
( )
≥0
≥0
≥0
d.h., sie ist immer positiv definiert, deshalb besitzt das Feld immer
eine positive Energie ! Das Feld leidet nicht am Problem der negativen Energie. Beachte: wie schon erwähnt, entspricht das Feld nicht
der Wellenfunktion eines Teilchens.
Das Feld wird dadurch quansitiert, dass wir den Feldern zur gleichen
Zeit Kommuntationsregeln auferlegen (die sogenannten gleichzeitigen Kommutationsregeln):
r
r
r r
[φ ( x, t), Π( x ′, t)] ≡ iδ 3 ( x − x ′ )
 r
r
r
r
 [φ ( x, t),φ ( x ′, t)] ≡ [Π( x, t), Π( x ′, t)] ≡ 0
ETCR ( Equal Time Comm. Rules)
Lösung: wie können wir die Anregungen des Feldes beschreiben?
Wir werden das Feld nach ebenen Wellen entwickeln:
r
r
r
r
d3 p
1
φ ( x , t) ≡ ∫
a( p)e − ip ⋅x + a + ( p)e + ip ⋅x )
(
3/2
3
2 E p 1444424444
(2π )3
1
424
Summe ebener Wellen
123
Summe über
alle Moden
Normierung
r
E p =+ p 2 + m 2
wobei a ( p ) und a + ( p ) Fourier-Koeffizienten sind, welche Operatoren
werden, wenn das Feld quantisert wird.
Teilchenphysik
151
Feldquantisierung
Man kann beweisen, dass aus den “gleichzeitigen Kommutationsregeln” folgt
r
r
r r
 a( p), a + ( p′ ) ≡ δ 3 ( p − p′ )

r
r
+ r
+ r
 [ a( p), a( p′ )] ≡ a ( p), a ( p′ ) ≡ 0
[
]
[
]
Diese Gleichungen sehen wie die Regeln von quantisierten, einfachen, harmonischen Oszillatoren aus !
10.2.1 Einfacher harmonischer Oszillator
Der Hamilton-Operator ist gleich (m=1)
H HO =
1 2 1 2 2
p + ω x
2
2
wobei ω = Frequenz
Man benutzt die Leiter-Operatoren (“Ladder operators”)
x=
1
a + a+ )
(
2ω
ω
a − a+ )
(
2
und
p = −i
( aus
[ x, p] = i)
wobei
[a, a ] = 1
+
Der Hamilton-Operator wird danach so ausgedrückt
1

H HO = ω  a + a + 

2
1

= ω N + 

2
152
wobei
N ≡ a + a = Anzahl − Operator
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
Quantisierung des reellen Klein-Gordon-Feldes
Der Grundzustand wird als |0> bezeichnet, und wird so definiert,
dass
a0 =0
und
1
E 0 = ω ( Nullpunktenergie)
2
Wir nehmen an, dass die Energie-Eigenzustände die folgenden sind:
Nn =nn
1

mit E n = ω  n + 

2
und es gilt,
Na + n = a + aa + n = a + ( a + a + 1) n = a + ( N + 1) n = ( n + 1) a + n
Die n-te Anregung wird dann durch sukzessive Anwendungen des
Erzeugungsoperators a+ gewonnen:
n = (a+ ) 0
n
Der a-Operator spielt die Rolle des Vernichtungsoperators.
Na n = a + aa n = ( aa + − 1) a n = a( a + a − 1) n
= a( N − 1) n = ( n − 1) a n
10.2.2 Das Klein-Gordon-Feld aus einfachen
harmonischen Oszillatoren
Analog zum Fall des einfachen harmonischen Oszillators führen wir
den Teilchenzahl-Operator ein:
r
r r
r
N ( p) ≡ a + ( p) a( p) wobei p = kont. Index
Teilchenphysik
153
Feldquantisierung
Dieser Operator beschreibt den Zustand des Oszillators “ p “. Weil wir
ein kontinuierliche Impulsspektrum betrachten, entspricht der Operator N(p) der Teilchendichte, d.h. Anzahl Teilchen / d3p.
Weil p eine kontinuierliche Variable ist, gibt es unendlich viele Oszillatoren. Das Feld ist die Summe von unendlich vielen, voneinander
unabhängigen, Oszillatoren.
Der Grundzustand (das Vakuum) wird definiert als
r
r r
r
Vakuum: N ( p) 0 = a + ( p) a( p) 0 = 0 für alle p
Um bestimmte Moden des Feldes anzuregen, benuzten wir den
Erzeugungsoperator, d.h. den Leiteroperator eines bestimmten Impulses:
r
a + ( p) 0 = 1 pr
r
r
a + ( p) a + (q ) 0 = 1 pr1qr
r
r
r
a + ( p) a + (q ) a + (q ) 0 = 1 pr 2 qr
usw.
10.2.3 Energie- und Impulsspektrum des Feldes
Wir suchen die Energie und den Impuls des Feldes (Siehe Kap. 8.5):
r
r
H = ∫ d 3 xH = ∫ d 3 xT00
und
r
r
Pi ≡ ∫ d 3 xTi 0 = ∫ d 3 xΠ(∂ iφ )
154
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
Quantisierung des reellen Klein-Gordon-Feldes
Wir nehmen die Zeit t=0 an. Es gilt,
r
r
r
r ipr ⋅xr
d3 p
1
+
φ ( x, t = 0) = ∫
a
(
p
)
+
a
(
−
p
))e
(
(2π ) 3 / 2 2 E p
und
r
Ep
r
r
r rr
d3 p
Π( x, t = 0) = ∫
a( p) − a + (− p))e ip ⋅x
(
3 / 2 (− i)
2
(2π )
Die Hamiltondichte ist gleich
1
1 r 2 1
2
∂ 0φ ) + ∇φ + m 2φ 2
(
2
2
2
r
2
1
1
1
2
= (Π) + ∇φ + m 2φ 2
2
2
2
H =
( )
( )
wobei
r
r
r r r
d 3 p d 3 p′
2 1
E p E p ′ e i( p + p ′)⋅x ×
(Π) = ∫ ∫
3/2
3 / 2 (− i)
2
(2π ) (2π )
(a( pr ) − a+ (− pr ))(a( pr ′) − a+ (− pr ′))
2
und der Gradient wirkt als
r
r
∇φ =" (ip)"φ
oder
r
∇φ
( )
2
r
r
r r r
d 3 p d 3 p′
1
2 r r
i( p + p ′)⋅ x
(
)
= ∫∫
i
p
⋅
p
e
×
′
(
)
2 E p E p′
(2π ) 3 / 2 (2π ) 3 / 2
(a( pr ) + a+ (− pr ))(a( pr ′) + a+ (− pr ′))
Teilchenphysik
155
Feldquantisierung
Es gilt auch
(φ )
2
r
r
r r r
d 3 p d 3 p′
1
= ∫∫
e i( p + p ′)⋅x ×
3/2
3/2
(2π ) (2π ) 2 E p E p ′
(a( pr ) + a+ (− pr ))(a( pr ′) + a+ (− pr ′))
Schliesslich können wir die verschiedenen Terme in der Hamiltondichte gruppieren und erhalten für den Hamilton-Operator:
r
H = ∫ d 3 xH =
r r
d 3 pd 3 p′ 1 i( pr + pr ′)⋅xr  1
3r
= ∫ d x ∫∫
e
E p E p′ ×
−
(2π ) 3 2
 2
(a( pr ) − a+ (− pr ))(a( pr ′) − a+ (− pr ′)) +
r r
−( p ⋅ p′ ) + m 2
r
r
r
r 
a( p) + a + (− p))( a( p′ ) + a + (− p′ ))
(
2 E p E p′

Die räumliche Integration liefert eine Dirac-Delta-Funktion:
r r
r
d 3 pd 3 p′
3 3 r
H = ∫∫
3 (2π ) δ ( p + p′ ){...}
(2π )
weshalb wir eine Integration über den Impuls durch die Bedingung
p’=–p ersetzen können:
r

p2 + m 2
1 3 r  1
...
H = ∫ d p− E p ( ) +
(...)
2
2E p
 2

156
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
Quantisierung des reellen Klein-Gordon-Feldes
Wir können die Terme neu anordnen als
H=
r
r
r
r
1 3r 1
d p
− E 2p ( a( p) − a + (− p))( a(− p) − a + ( p)) +
∫
2
2E p
r2
( p + m 2 )(a( pr ) + a+ (− pr ))(a(− pr ) + a+ ( pr ))
{
}
oder
r
r
r
r
r
1 d3 p 2
E p −( a( p) − a + (− p))( a(− p) − a + ( p)) +
H= ∫
2 2E p
(a( pr ) + a+ (− pr ))(a(− pr ) + a+ ( pr ))
{
}
=
=
r
r
r
r
1 3r Ep
d p {− a( p) a(− p) + a( p) a + ( p) +
∫
2
2
r
r
r
r
+ a + (− p) a(− p) − a + (− p) a + ( p)
r
r
r
r
+ a( p) a(− p) + a( p) a + ( p)
r
r
r
r
+ a + (− p) a(− p) + a + (− p) a + ( p)}
r
r
r r
1 3 r 2E p
d p
a( p) a + ( p) + a + ( p) a( p)}
{
∫
2
2
wobei wir den Teilchenzahl-Operator N(p) erkennen:
r
r
r r
r
a( p) a + ( p) + a + ( p) a( p) = 2 N ( p) + C
wobei C als eine C-Zahl betrachtet werden kann1. Schliesslich ist der
Hamilton-Operator gleich
H=
r
1 3r
d pE p {2 N ( p) + C}
∫
2
1. Für ein kontinuierliches Impulsspektrum ist C gleich der Dirac-Delta-Funktion δ(0). Für
ein diskretes Spektrum ist C gleich 1.
Teilchenphysik
157
Feldquantisierung
Er beschreibt die Energie des Feldes.
In ähnlicher Weise kann der Impuls des Feldes berechnet werden:
r 1
rr
r
r r r
P = ∫ d 3 pp{2 N ( p) + C} = ∫ d 3 pN ( p) p
2
Wir bemerken, dass das Feld als eine unendliche Summe von quantisierten einfachen harmonischen Oszillatoren dargestellt wird.
Ein berühmtes Problem liegt in der Nullpunktsenergie des Feldes.
Wir bemerken, dass das Integral der Energie nach unendlich geht:
H=
r
r r
r
1
1 3r
d pE p {2 N ( p) + 1} = ∫ d 3 pN ( p) E p + ∫ d 3 pE p {1}
∫
2 4
2
1
4244
3
Nullpunktenergie →∞
In der QFT wird die Nullpunktsenergie vernachlässigt, weil nur Energieunterschiede eine physikalische Bedeutung besitzen, und dehalb
können wir den Nullpunkt so definieren, dass die Energie des Feldes
gleich
r r
H = ∫ d 3 pN ( p) E p
ist.
Physikalische Interpretation:
Das Vakuum haben wir so definiert
r
r r
Vakuum: N ( p) 0 = a + ( p) a( p) 0 = 0
Es folgt,
r r
E 0 = ∫ d 3 pN ( p) E p = 0
158
und
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
r
für alle p
r
P=0
Quantisierung des reellen Klein-Gordon-Feldes
Für die folgenden Zustände erhalten wir
r r
r
1 pr
E = E p = + p2 + m 2 P = p
r r r
1 pr1qr
E = E p + Eq P = p + q
Es ist ganz natürlich, diese Anregungen mit Teilchen zu assoziieren.
Energie-Problem: in der “klassischen” Quantenmechanik (wenn wir
das Feld als die Wellenfunktion des Teilchens betrachten) haben wir
das Problem der negativen Energie angetroffen, weil
e − iEt
→ E>0
e + iEt
→ E<0
Lösungen liefern. Das Vorzeichen der Phase gibt das Vorzeichen der
Energie an.
In der QFT haben wir das Feld so geschrieben,
r
r − ip ⋅x
r + ip ⋅x
φ ( x , t) ∝ 1
)e 4
( p2
)e43
a(4
p2
a +4
3 + 1
positive Frequenz
negative Frequenz
wobei a ( p ) ein Teilchen mit positiver Energie vernichtet, und a + ( p )
ein Teilchen mit positiver Energie erzeugt !
Die QFT hat die relativistische Bedingung, die positive und negative
Frequenzen verlangt, mit einer Theorie in Einklang gebracht, in der
Teilchen und Antiteilchen mit positiver Energie erzeugt und vernichtet werden können.
Statistik des Feldes:wir bemerken, dass wegen der Kommutationsregeln der Erzeugung- und Vernichtungoperatoren, der Zustand mit
Teilchenphysik
159
Feldquantisierung
zwei identischen Teilchen symmetrisch unter der Vertauschung der
Teilchen ist:
r
r
r
r
a + ( p) a + (q ) 0 = a + (q ) a + ( p) 0
weil
[a ( pr ), a ( pr ′)] ≡ 0
+
+
Zusätzlich kann ein Impulsmode viele Teilchen besitzen, wie z.B.
r
r
r
a + ( p) a + ( p) a + ( p) 0 = 3 pr
Wir schliessen daraus, dass die Klein-Gordon Teilchen Bosonen
sind. Sie folgen Bose-Einstein-Statistik.
10.3 Quantisierung des komplexen
Klein-Gordon-Feldes
Wir studieren die Eigenschaften eines Feldes φ, das komplexwertig
ist. Wir zerlegen das Feld in reelle und komplexe Teile:
φ=
1
(φ1 + iφ2 )
2
und
1
(φ1 − iφ2 )
2
φ+ =
wobei φ1 und φ2 reelle (hermitische) Felder sind. Beide Felder φ1 und
φ2 erfüllen die Klein-Gordon-Gleichung:
(∂ ∂
µ
160
µ
)
+ m 2 φ1 = 0
und
(∂ ∂
µ
µ
)
+ m 2 φ2 = 0
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
Quantisierung des komplexen Klein-Gordon-Feldes
Jedes Feld wird nach Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren entwickelt:
r

r
r
d3 p
1
a1 ( p)e − ip ⋅x + a1+ ( p)e + ip ⋅x
φ1 ( x ) ≡ ∫
3/2
2E p
(2π )


r
r
r
d3 p
1
φ ( x ) ≡
a2 ( p)e − ip ⋅x + a2 + ( p)e + ip ⋅x
2
3
/
2
∫

2E p
(2π )

(
)
(
)
wobei ai (i=1,2) Operatoren sind.
Wir führen die folgenden Operatoren ein:
r
r
1
 r
a( p) = 2 ( a1 ( p) + ia2 ( p))

b + ( pr ) = 1 a + ( pr ) + ia + ( pr )
1
2

2
(
)
Mit diesen Definitionen werden die Felder so ausgedrückt:
r

r
r
d3 p
1
a( p)e − ip ⋅x + b + ( p)e + ip ⋅x )
(
φ ( x ) ≡ ∫
3/2
2E p
(2π )


r
r
r
d3 p
1
φ + ( x ) ≡
a + ( p)e + ip ⋅x + b( p)e − ip ⋅x )
(
/
3
2
∫

2E p
(2π )

wobei die Kommutationsregeln der zwei Arten von Erzegungs- und
Venichtungsoperatoren die folgenden sind:
r
r
r
r
r r
a( p), a + ( p′ ) = b( p), b + ( p′ ) = δ 3 ( p − p′ )
[
] [
alle anderen = 0
]
d.h. sie besitzen dieselbe Algebra wie die a1 und a2 Operatoren.
Teilchenphysik
161
Feldquantisierung
Wir definieren zwei Teilchenzahl-Operatoren:
r
r r
r
r r
N + ( p) ≡ a + ( p) a( p) und N − ( p) ≡ b + ( p)b( p)
Man kann zeigen, dass in diesem Fall der 4-Energie-Impuls-Operator
gleich
r
r
r
Pµ = ∫ d 3 p pµ N + ( p) + N − ( p)
( )[
]
ist. Wir intepretieren dieses Ergebnis folgendermassen:
Das komplexwertige skalare Feld beschreibt ein System, das
zwei a priori unabhängige Arten von Teilchen enthält. Die
Anzahl dieser Teilchen werden durch die N+ und N– Operatoren beschrieben.
Wir betrachten den (erhaltenen) Strom der Form
j µ = i(φ *∂ µφ − φ∂ µφ * )
Die zeitliche Komponente definiert eine (erhaltene) Grösse, die
gleich
r
r
Q ≡ ∫ d 3 x j 0 = i ∫ d 3 x (φ +∂ 0φ − φ∂ 0φ + )
r
r
r
= ∫ d 3 p N + ( p) − N − ( p)
[
]
ist.
Wegen des negativen Vorzeichens interpretieren wir die
Grösse Q als die “Ladung”. Das komplexwertige Feld
beschreibt zwei Arten von Teilchen, die entgegengesetzte
Ladungen besitzen.
162
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
Quantisierung des Dirac-Feldes
Der a+ Operator erzeugt ein Teilchen der Ladung +1, der b+ Operator
erzeugt ein Teilchen der Ladung –1.
10.4 Quantisierung des Dirac-Feldes
Schliesslich betrachten wir das quantisierte Dirac-Spinorfeld ψ. Die
Lagrangedichte ist gleich
L Dirac ≡ iψγ µ ∂ µψ − mψψ
Lösung: das Feld muss als Linearkombination von 4 unabhängigen
Spinoren ausgedrückt werden. Wir benutzen die u(1), u(2), v(1), v(2)
Spinoren als Basis:
r

r
r
r
r
d3 p
1
as ( p) u( s) ( p)e − ip ⋅x + bs+ ( p)v ( s) ( p)e + ip ⋅x
∑
ψ ( x ) ≡ ∫
3/2
2 E p s=1,2
(2π )


r
d3 p
1
ψ ( x ) ≡
(a+ s ( pr )u ( s) ( pr )e ip⋅x + bs ( pr )v ( s) ( pr )e − ip⋅x )
∫ (2π )3/ 2 2 E p s∑

=1, 2

(
)
wobei wir 4 Operatoren eingeführt haben:
r
r
r
r
as ( p), a + s ( p), bs ( p), bs+ ( p)
wobei s=1,2 dem Spinzustand entspricht und p dem Impulsmode.
Kommutationsregeln: wir können dieselben Kommutationsregeln
wie im Fall des Klein-Gordon-Feldes nicht auferlegen. Die Kommutationsregeln des KG-Feldes führen auf Bosonen. Im Fall des DiracFeldes sind wir an der Beschreibung von Fermionen interessiert. Deshalb werden wir Antikommutationsregeln auferlegen.
Teilchenphysik
163
Feldquantisierung
D.h,
{b,b } = bb
+
+
+ b +b = 1
|1>=b+|0>
Vakuum: b|0>=0; Erste Anregung:
Es gilt,
Nb + 1 = b +bb + 1 = b + (1 − b +b) 1 = b + (1 − N ) 1 = 0 !
d.h.,
b+ 1 = 0
oder
b +b + 0 = 0
Es gibt nur zwei unabhängige Zustände für einen Mode:|0> und |1>.
Die Antikommutationsregeln führen auf Fermionen. Das Auschliessungsprinzip verhindert alle Zuständen ausser |0> oder |1>.
Diese Bedingung besagt, dass die Dirac-Spinorfelder durch Antikommutationsregeln quantisiert werden müssen:
r
r
r r
ψ i ( x, t),ψ +j ( x ′, t) = δ 3 ( x − x ′ )δ i, j
{
}
alle anderen = 0
wobei die Indizes i,j die Komponenten des Spinorsfeldes angeben. Es
folgt daraus,
r
r
r
r
r r
ar ( p), as+ ( p′ ) = br ( p), bs+ ( p′ ) = δ 3 ( p − p′ )δ r,s
{
164
} {
}
Teilchenphysik II&III, WS 01/02-SS02, Prof. A. Rubbia
Quantisierung des Dirac-Feldes
Energie-Impuls des Feldes: in ähnlicher Weise wie im Fall des
Klein-Gordon-Feldes kann man die Energie und den Impuls des Feldes berechnen. Wir erhalten:


r
r
r
+ r
+ r

H = ∫ d p ∑ E p a s ( p) as ( p) + b s ( p)bs ( p)
43 1424
3
 142
s =1, 2
r
 = N sa ( pr )

= N sb ( p )
3
wobei Nas(p) und Nbs(p) die Teilchenzahl-Operatoren sind für beide
Arten von Teilchen mit Spinzustand s und Mode p, und
r
r
r
r
r
r
r
P = ∫ d 3 p ∑ p( a + s ( p) as ( p) + b + s ( p)bs ( p))
s =1, 2
Physikalische Interpretation: das Dirac-Spinorfeld beschreibt zwei
Arten von Teilchen, d.h. z.B. Elektronen und Positronen.
a+s(p) erzeugt ein Elektron mit Energie +Ep >0 und Impuls p
b+s(p) erzeugt ein Positron mit Energie +Ep >0 und Impuls p
Nas(p) ist gleich der Anzahl (pro d3p) von Elektronen und Nbs(p)
gleich der Anzahl (pro d3p) von Positronen.
Der Feldzustand mit einem einzigen Elektron mit Spin s wird so
erzeugt:
r
r
e − ( p, s) = a + s ( p) 0
und im Fall eines einzigen Positrons wird der Feldzustand sein:
r
r
e + ( p, s) = b + s ( p) 0
Teilchenphysik
165
Feldquantisierung
Statistik:wegen der Antikommutationsregeln gilt
r
r
r
r
a + ( p) a + (q ) 0 = − a + (q ) a + ( p) 0
d.h. der Zustand ist antisymmetrisch unter der Vertauschung der Teilchen.
Dirac-Spinorfelder beschreiben Teilchen, die der FermiDirac-Statistik folgen.
Im Allgemeinen kann man zeigen, dass die Bedingung, dass die Energie des Teilchens immer positiv definiert wird, die Antikommutationsregeln erzwingen. Dieses Ergebnis ist ein Teil des allgemeinen
Spin-Statistik-Theorems (Pauli, 1940), das voraussagt:
Spin-Statistik-Theorem: Lorentz-Invarianz, positive Energien, positiv definierte Wahrscheinlichkeiten und Kausalität
zwingen Teilchen mit ganzzahligem Spin Bosonen zu sein, und
Teilchen mit halb-zahligem Spin Fermionen.
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