T6_MF_Korrelationsanalyse_neu

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Marktforschung
Sommersemester 2011
Thema 6:
Korrelationsanalyse
2
Gliederung
1.
2.
3.
4.
5.
Situation
Fragestellung
Datenlage
Funktionstypen
Korrelationen
5.1 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
5.2 Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman
5.3 Rangkorrelationskoeffizient nach Kendall
6. Zusammenfassung
7. Probleme
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1. Situation
Den Marketingleiter des Pizzaherstellers interessiert die Frage nach
dem Zusammenhang zwischen Verkaufspreis und Absatzmenge von
Tiefkühlpizzen im Monat.
Zu diesem Zweck wurde die Absatzmenge bei unterschiedlichen
Preisen der Tiefkühlpizza im Monat ermittelt.
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2. Fragestellung
Stellen Sie die erfassten Daten zunächst mit Hilfe eines
Streudiagramms dar. Liefert Ihnen das Streudiagramm bereits erste
Hinweise auf einen möglichen Zusammenhang.
Beschreiben Sie den Zusammenhang mithilfe sog.
Korrelationskoeffizienten, wobei Sie einen linearen Zusammenhang
zwischen den Werten unterstellen sollten.
Gehen Sie bei Ihren Berechnungen davon aus, dass die beiden
Merkmale der Stichprobe normalverteilt sind.
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3. Datenlage
Folgende Daten wurden erfasst:
Tiefkühlpizza
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Preis in Euro
5,10
1,80
2,10
2,05
1,99
1,90
2,20
1,95
2,50
2,25
Absatzmenge
im Monat
110
1200
100
43
910
1000
760
970
685
860
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4. Funktionstypen
Ausgewählte Grundformen linearer Funktionen ( f ( x )  ax  b )
Beispiel:
Beispiel:
Zusammenhang
zwischen Zahl der
Vertreterbesuche und
Höhe des
Verkäuferumsatzes
Zusammenhang
zwischen Preis und
Absatzmenge
Beispiel:
Zusammenhang
zwischen Preis A
und Preis B
verschiedener Güter
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4. Funktionstypen
Ausgewählte Grundformen nicht-linearer Funktionen
(z. B.: f ( x )  log a x , f ( x )  a x , f ( x )  ax 2  bx  c )
Beispiel:
Beispiel:
Zusammenhang
zwischen Artikelanzahl und Zahlungsbereitschaft
Zusammenhang
zwischen Mund-zuMund Propaganda
und Ausbreitung
einer Werbebotschaft
Beispiel:
Beispiel:
Zusammenhang
zwischen Preis und
Absatz bei
bestimmten Gütern
Zusammenhang
zwischen Vertrautheit und Attraktivität
eines Produktes
Beispiel:
Beispiel:
Werbewirkungsfunktion
Trendprognose
zum Absatz
eines Automobils
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5. Korrelationen
Streu(ungs)diagramme sind grafische
Hilfsmittel, die die Anordnung der
Beobachtungspunkte
veranschaulichen
jedes xi/yi - Beobachtungspaar wird in
ein x/y-Koordinatensystem
eingetragen
es lässt sich ein erster Eindruck
gewinnen, ob und wie stark zwei
Merkmale zusammenhängen
Funktionstypen können abgeleitet
werden
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5. Korrelationen
•
•
•
als Korrelation bezeichnet man den wechselseitigen
Zusammenhang zwischen Größen
Korrelation bedeutet nicht das Vorhandensein von Kausalität.
Besteht eine Korrelation zwischen X und Y, so gibt es mindestens
drei alternative Möglichkeiten einer Kausalitätsbeziehung:
- X bewirkt Y
- Y bewirkt X und
- X und Y werden durch Z bewirkt (Scheinkorrelation bzw. partielle
Korrelation).
die Korrelationsanalyse liefert ein Maß für die Stärke des
Zusammenhangs; erfasst jedoch nur monotone bzw. lineare
Zusammenhänge
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5. Korrelationen
•
•
•
•
die Stärke des Zusammenhangs wird durch den
Korrelationskoeffizienten r gemessen
r liegt stets in den Grenzen von -1 bis +1
für die Stärke des Zusammenhangs ist allein der Betrag des
Korrelationskoeffizienten maßgebend
das Vorzeichen gibt an, ob der Zusammenhang gleichläufig (+) oder
gegenläufig (–) ist
Korrelationskoeffizient
│r│≤ 0.25
0.25 <│r│≤ 0.66
0.66 <│r│< 1
│r│= 1
Einstufung
schwache Korrelation
mittlere Korrelation
starke Korrelation
perfekte Korrelation
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5.1 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
Vermutung:
Zwischen den Variablen
Preis und Verkaufsmenge
besteht ein linearer und
gegenläufiger
Zusammenhang; je höher
der Verkaufspreis umso
geringer die Absatzmenge.
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5.1 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
• zur Beschreibung des Zusammenhangs zwischen metrisch
skalierten und normalverteilten Variablen
• misst die Stärke des linearen Zusammenhangs
 (xi
n
r xy 
es gilt:
i 1
 (x
n
i 1
Erläuterung
i
- x
- x
)(y - y )
i
) (y
²
n
i 1
i
- y
xy
 s
s xs y
²
)
sx bzw. sy stehen für die Standardabweichungen der Merkmale X
bzw. Y
sxy bezeichnet die empirische Kovarianz
n
s xy  1 / n  (x i - x )(y i - y )
i1
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5.1 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
zur Kovarianz:
• um einen Zusammenhang zwischen zwei
Merkmalen zu erfassen, beschreibt man die
Lage eines Beobachtungspunktes mit Bezug
zu dem Schwerpunkt ( x , y ) des
Streudiagramms
y
• Punkte im ersten und dritten Quadranten y
deuten auf einen positiven Zusammenhang
hin; Punkte im zweiten und vierten
Quadranten auf einen negativen
Zusammenhang
• formal wird dies für jeden Punkt durch das
Produkt (xi- x )(yi- y ) erfasst
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IV
I
x x
x x
x
x
x
x x
x
x
x
(x / y )
x
x x
x x
x
x x
III
x
II
x
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5.1 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
•
•
•
•
Es gilt:
Quadrant 1:
x i  x ; y i  y  ( x i - x )( y i - y )  0
Quadrant 2:
x i  x ; y i  y  ( x i - x )( y i - y )  0
Quadrant 3:
x i  x ; y i  y  ( x i - x )( y i - y )  0
Quadrant 4:
x i  x ; y i  y  ( x i - x )( y i - y )  0
Liegen die Punkte hauptsächlich in den Quadranten 1 und 3, so ist die Summe der
Produkte stark positiv.
Liegen die Punkte hauptsächlich in den Quadranten 2 und 4, so ist die Summe der
Produkte stark negativ.
Sind die Punkte gleichmäßig verteilt, so heben sich positive und negative Summanden
weitgehend auf und die Summe der Produkte wird weitgehend Null.
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5.1 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
• Kovarianz: durchschnittliche Summe von Abweichungsprodukten
• die Kovarianz gibt die Tendenz an, in welche Richtung die
Merkmale variieren
• sxy > 0 mit x steigt (tendenziell) auch y (und umgekehrt)
• sxy < 0 hohe Werte der einen Zufallsvariablen gehen mit niedrigen
Werten der anderen Zufallsvariablen einher
• sxy = 0 x und y sind unabhängig
• Kovarianzen deuten (ggf.) auf lineare Abhängigkeiten hin. Sie sind
von den Maßeinheiten der Merkmale abhängig!
• Wertebereich : -  bis  
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5.1 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
• Normierung der Kovarianz:
Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson (ProduktMoment-Korrelation) rxy
Division der Kovarianz durch die Standardabweichungen beider
Merkmale (=Eliminierung der Streuung der einzelnen Verteilungen)
Wertebereich von rxy : -1 bis +1
positive rxy
negative rxy
rxy = 0
 die Merkmale variieren tendenziell in der
gleichen Richtung
 die Merkmale variieren tendenziell in entgegengesetzter Richtung
 kein (linearer) Zusammenhang!
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5.1 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
Die statistische Absicherung des Korrelationskoeffizienten nach
Bravais-Pearson gegen Null erfolgt über die t-verteilte
Prüfgröße.
t
rxy
n-2
1 - rxy ²
bei df = n-2 Freiheitsgraden
Der Korrelationskoeffizient ist dann signifikant, wenn die
Prüfgröße größer ist als der kritische Wert der t-Verteilung.
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5.1 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
Folgende Ergebnisse liefert die Berechnung des
Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
Korrelation
Preis
Preis
Korrelation nach
Pearson
Absatzmenge
1
Sig. (2-s eitig)
N
Absatzmenge
-,631
,050
10
10
Korrelation nach
Pearson
-,631
1
Sig. (2-s eitig)
,050
N
10
10
• rxy = -0,631
• im vorliegenden Fall liegt mit p=0,05 ein nicht signifikanter
Wert vor
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5.1 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
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5.1 Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
• rxy misst den linearen Zusammenhang zweier Variablen
 Konsequenz: einzelne Ausreißer, d.h. einzelne extreme
Datenpunkte, können einen starken, unerwünschten Effekt auf den
numerischen Wert von rxy haben; hohe Korrelationen können als
gering erscheinen und umgekehrt.
 Lösung: Ermittlung von Rangkorrelationskoeffizienten, die von
Ausreißern wesentlich weniger beeinflusst werden, da ihre
Ermittlung auf den Rängen der Beobachtungen basiert.
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5.2 Rangkorrelationskoeffizient nach
Spearman (rs)
Ausreißer!
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5.2 Rangkorrelationskoeffizient nach
Spearman (rs)
• wird zwischen zwei Variablen berechnet, die mindestens
ordinalskaliert sind; für metrisch skalierte Variablen, bei Unsicherheit
hinsichtlich der Normalverteilungsanahme
• misst die Stärke des monotonen Zusammenhangs
• basiert auf Rangzahlen, die den Messwerten zugeordnet sind
• für beide Variablen wird eine Rangreihe der Werte erstellt, dem
höchsten Wert wird der Rangplatz 1 verliehen; bei gleichen Werten
werden gemittelte Rangplätze vergeben
• die Differenz di der zugehörigen Rangplatzpaare wird bestimmt
n
es gilt:
6 di²
rs  1 -
i 1
n ( n ² - 1)
• die Absicherung erfolgt über die t-verteilte Prüfgröße t 
bei df = n – 2 Freiheitsgraden
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rs
n-2
1 - rs ²
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5.2 Rangkorrelationskoeffizient nach
Spearman (rs)
• Wertebereich von rs: -1 bis +1
• gehen mit steigenden x-Werten auch steigende y-Werte einher, so
nimmt rs tendenziell einen großen Wert an
• sind die Rangzahlen bei den Merkmalen beider Variablen völlig
gleich, so nimmt rs den Wert 1 an (die Rangpaare liegen auf einer
Geraden mit positiver Steigung liegen)
• bei entgegengesetzt laufenden Rangzahlen wird rs = -1 (die
Rangpaare liegen auf einer Geraden mit negativer Steigung)
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5.2 Rangkorrelationskoeffizient nach
Spearman (rs)
Rechenschritte zur Rangkorrelation nach Spearman rs :
Tiefkühlpizza
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Preis in Euro
5,10
1,80
2,10
2,05
1,99
1,90
2,20
1,95
2,50
2,25
Absatzmenge im
Monat
110
1200
100
43
910
1000
760
970
685
860
Rang Preis
1
10
5
6
7
9
4
8
2
3
Rang Absatzmenge
8
1
9
10
4
2
6
3
7
5
di
-7
9
-4
-4
3
7
-2
5
-5
-2
d²i
49
81
16
16
9
49
4
25
25
4
25
5.2 Rangkorrelationskoeffizient nach
Spearman (rs)
Es ergibt sich
rs  1 -
6 * 278
10 * (100 - 1)
 - 0 , 685
Die Absicherung erfolgt über die t-verteilte Prüfgröße mit
t
0 , 685 * 8
1 - 0 , 685 ²
 2 , 65
df
α =0,05
α =0,01
8
1,860
2,896
9
1,833
2,821
t-Tabelle
Nach der t-Tabelle ist dies bei df = 8 Freiheitsgraden und α = 0.05 ein
signifikanter Wert.
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5.2 Rangkorrelationskoeffizient nach
Spearman (rs)
Interpretation des Ergebnisses
rs= -0,685
=> starker Zusammenhang
rs< 0 => gegenläufiger monotoner Zusammenhang
Es zeigt sich ein mittlerer gegenläufiger Zusammenhang zwischen
Preis und Absatzmenge: Je höher der Preis einer Tiefkühlpizza, umso
niedriger ist die verkaufte Menge an Tiefkühlpizzen.
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5.3 Rangkorrelationskoeffizient nach Kendall (rk)
• wird zwischen zwei Variablen berechnet, die mindestens
ordinalskaliert sind
• misst die Stärke des monotonen Zusammenhangs
• stellt darauf ab, ob Rangzahlen in gleicher Richtung oder
entgegengesetzter Richtung verlaufen
• Rangreihe der ersten Variablen wird in aufsteigender Folge notiert
• Rangreihe der zweiten Variablen wird entsprechend zugeordnet; für
jeder dieser Rangzahlen wird die Anzahl der Ränge festgestellt, die
kleiner oder gleich der Zahl sind und in der Reihe rechts davon
stehen (Qi)
n
4 Qi
• es gilt:
rk  1 -
i 1
n ( n - 1)
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5.3 Rangkorrelationskoeffizient nach Kendall (rk)
• nicht die Absolutbeträge der Stichprobenwerte sind entscheidend,
sondern nur die relative Anordnung der Ränge
• Anwendung insbesondere dann, wenn Daten nicht normalverteilt
sind
• für kleinere Stichprobenumfänge weniger empfindlich gegen
Ausreißer-Rangpaare
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6. Zusammenfassung
Die Rangkorrelation kann nur dann berechnet werden, wenn die
beteiligten Variablen mindestens ordinalskaliert sind; die Korrelation i.e.S
(Korrelation nach Bravais-Pearson) allerdings nur für metrische
Variablen.
Y
X
nominal
ordinal
metrisch
nominal
Kontingenz
Kontingenz
Kontingenz
ordinal
Kontingenz
Rang-Korrel.
Rang-Korrel.
metrisch
Kontingenz
Rang-Korrel.
Korrelation i.e.S.
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6. Zusammenfassung
Übersicht bivariater Korrelationsarten in Abhängigkeit
vom Skalenniveau
Y
ordinal
metrisch
ordinal
Rangkorrelation
(Spearman (5.2),
Kendall (5.3))
Rangkorrelation
(Spearman (5.2),
Kendall (5.3))
metrisch
Rangkorrelation
(Spearman (5.2),
Kendall (5.3))
Produkt-MomentKorrelation
(Pearson (5.1))
 Korrelation i.e.S
X
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7. Probleme
• für die Korrelation i.e.S gilt:
Einzelne Fälle können einen
starken Einfluss auf den
Korrelationskoeffizienten
ausüben.
• Korrelationen lassen sich für
alle Funktionstypen berechnen;
allerdings werden nur monotone
bzw. lineare Zusammenhänge
erfasst.
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7. Probleme
• Kausalzusammenhänge können nicht erfast werden
• Scheinkorrelationen (Korrelation zwischen Merkmalen, die inhaltlich
nicht gerechtfertigt ist) können auftreten; Zusammenhänge ergeben
sich dann, wenn ein mit beiden beobachtbaren Merkmalen
hochkorreliertes drittes Merkmal übersehen wird und unberücksichtigt
bleibt.
• bleibt ein entscheidendes Merkmal unberücksichtigt, kann dies
zudem vorhandene Korrelationen verschleiern oder hinsichtlich des
Vorzeichens umkehren
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33
Literatur
Berekoven, Ludwig, Eckert, Werner & Ellenrieder, Peter (2004).
Marktforschung. Methodische Grundlagen und praktische Anwendung,
10. Auflage, Wiesbaden: Gabler, S.204-206.
Bortz, Jürgen (2005). Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler,
6. Aufl., Heidelberg: Springer, S.203-207 und S.232-234.
Fahrmeir, Ludwig, Künstler, Rita, Pigeot, Iris & Tutz, Gerhard
(2004). Statistik, 5. Aufl., Berlin-Heidelberg-New York etc.: Springer,
S.134-145 und S.147-152.
Zöfel, Peter (2003). Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, MünchenBoston-San Francisco etc: Pearson, S.150-161.
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