Blatt 10

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10. Übungsblatt
2 Seiten!
PHYSIK III
WS 2006/2007
Rückgabe: 11. Jan 2007 im Gruppenunterricht
10.1 Doppelspalt (10 Punkte)
Elektronen fallen auf einen Doppelspalt. Im Punkt P hinter dem Doppelspalt ist ein Zähler aufgestellt. Sei ψ1 ( P) die Amplitude im Punkt P der durch den ersten Spalt durchgelassenen Welle und
ψ2 ( P) entsprechend die der durch den zweiten Spalt. Das Verhältnis der beiden Amplituden im
Punkt P ist ψ2 /ψ1 = 3. Wenn nur der erste Spalt offen ist, registriert der Zähler N1 = 100 Elektronen pro Sekunde. Wie viele Elektronen wird der Zähler registrieren, wenn:
a) nur der zweite Spalt offen ist;
b) die beiden Spalte offen sind, und sich im Punkt P ein Interferenzmaximum befindet;
c) die beiden Spalte offen sind, und sich im Punkt P ein Interferenzminimum befindet.
10.2 Wahrscheinlichkeitsdichte (10 Punkte)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Teilchenverteilung in einer Ebene hängt vom Abstand r vom
Punkt O als f (r) = A(1 − r/a) für r ≤ a ab. Für r > a ist f (r) = 0. Dabei ist a eine vorgegebene
und A eine unbekannte Konstante; [ A] = m−2 . Finden Sie:
a) den wahrscheinlichsten Abstand rP der Teilchen bis zum Punkt O;
b) die Konstante A;
c) den mittleren Abstand der Teilchen bis zum Punkt O.
10.3 Rastertunnelmikroskop (10 Punkte)
a) Leiten Sie die exakte Formel für den Transmissionskoeffizient T einer symmetrischen rechteckigen Potenzialbarriere der Länge l und der Höhe U her. Vereinfachen Sie den Ausdruck anschliessend zu
q
2l
2m(U − E) .
(1)
T ≈ T0 exp −
h̄
Dieser Ausdruck gilt auch für eine asymmetrische rechteckige Barriere (s. Abb. unten), wobei T0
etwas komplizierter ausgerechnet wird.
b) In einem Rastertunnelmikroskop wird der Tunnelstrom von Elektronen I durch eine Vacuumstrecke zwischen der Oberfläche einer leitenden Probe und der senkrecht zur Oberfläche gebrachten Metalnadel gemessen. Schätzen Sie die Änderung des Stroms I1 /I0 ab, wenn die Nadel bei der
U
zur Oberfläche parallelen Bewegung über eine Stufe der Höhe b = 1 Å geht.
Die Austrittsarbeit der Elektronen aus der Nadel ist A1 = 4, 5 eV und aus der
d
A1
A2
Probe A2 = 4 eV. Eine Spannung von +0, 5 eV relativ zur Probe ist auf die
Probe
Nadel
Nadel gegeben. Der mittlere Abstand zwischen der Nadel und der Probenox berfläche ist d ≫ b.
10.4 Kalte Fusion (10 Punkte)
a) Erklären Sie qualitativ, wie die Näherungsformel für den Transmissionskoeffizient bei dem Tunneleffekt für eine beliebige Potenzialfunktion U ( x)
Z q
2 x2
2m [U ( x) − E] dx
(2)
T = T0 exp −
h̄ x1
1
aus der Formel (1) für eine rechteckige Potenzialbarriere hergeleitet werden kann. Eine vollständige Herleitung wird in theoretischer Quantenmechanik mit der WKB–Näherung gemacht.
b) Im Jahre 1989 kam eine sensationelle Meldung über die Verwirklichung der Fusion von in metallischem Palladium gelösten Deuteriumkernen bei Zimmertemperatur. Man kann annehmen, dass
die Deuteriumkerne nach dem Coulomb-Gesetz wechselwirken, wenn der Abstand zwischen ihnen 2 · 10−13 cm < r < 5 · 10−9 cm beträgt. Bei größeren Abständen ist die elektrische Abstoßenergie U = 0 wegen der Abschirmung durch die Leitungselektronen. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit der Fusion d + d zweier Deuterons in Palladium bei Zimmertemperatur durch den
Tunneleffekt ab. In der Formel (2) kann man T0 ∼ 1 annehmen.
Frohe Weihnachten und alles Gute für 2007 wünschen Ihnen die Dozenten der Physik III!
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