Metrische, normierte und topologische Räume - mathematik

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Metrische, normierte und
topologische Räume
1.
Metrik, Norm und das Skalarprodukt
Toplogische Eigenschaften spielen insbesondere in der Analysis eine wichtige Rolle. Die Topologie ist
neben der Maßtheorie Grundlage für das Messen überhaupt. Deshalb induzieren sich in natürlicher Art
aus der Topologie heraus Begriff wie Skalarprodukt, Norm und Metrik.
Wir werden den intuitiven Weg beschreiten, und beginnen bei der mathematischen Formulierung des
Abstandsbegriffes.
Definition:
Sei X eine nichtleere Menge. Eine Funktion d:X × X → \ heißt Metrik (oder Distanzfunktion) auf X, und
(X,d) heißt metrischer Raum, wenn für alle x,y,z ∈ X die Beziehungen
(i)
(ii)
(iii)
d(x,y) ≥ 0 und d(x,y)=0 ⇔ x=y
d(x,y) = d(y,x)
d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)
(Definitheit)
(Symmetrie)
(Dreiecksungleichung)
gelten.
,
Beispiel:
Es sei d: \ × \ → \ mit d(x,y):=|x-y|, wobei |.| die Betragsfunktion ist, dann ist d eine Metrik auf \ .
Der Nachweis ist denkbar einfach, denn der Betrag der Differenz zweier Zahlen ist stets >0, außer die
Differenz ist gleich 0, d.h. x=y. Das die Dreiecksungleichung für den Betrag gilt ist offensichtlich, und
kann bspw. durch Fallunterscheidungen nachgewiesen werden.
,
Bemerkung 1.1:
Bei einer Metrik will man also ein „vernünftiges“ Abstandskonzept definieren. Motiviert man den Abstand
an der Alltags-Erfahrung, so ist es mehr oder weniger plausibel, dass
ƒ der Abstand zwischen zwei Punkten eine nichtnegative reelle Zahl ist (positiv Definit).
ƒ Der Abstand unabhängig von der Reihenfolge definiert ist (Symmetrie). Ob ich die Entfernung von
München nach Hamburg oder von Hamburg nach München bestimme ist irrelevant.
ƒ Umwege führen zu längeren Wegen (Dreiecksungleichung).
,
Die prominentesten Vertreter metrischer Räume sind wohl \n (n ∈ ` ) und ^ \2 mit den sog.
A p-Metriken. Es seien x=(x1, …, xn), y=(y1, …, yn) ∈ \n :
⎛ n
p⎞
d(x, y) := x − y p := ⎜ ∑ xi − yi ⎟
⎝ i=1
⎠
1
p
.
Im einfachen reellen Fall A 1 definiert man die Abstandsfunktion auf \ durch d: \ × \ → \ ,
(x, y) 6 d(x,y):= |x-y|, wobei |.| natürlich die Betragsfunktion ist. Diese elementar(st)e Metrik ist von
großer Bedeutung, denn fast alle Metriken machen von den Eigenschaften dieser Metrik und insbesondere
der Betragsfunktion gebrauch.
Ist (X,d) ein metrischer Raum, so auch jede Teilmenge M ⊆ X. Die so entstehende Metrik heißt die durch
i ∈ X und recycelt diesen durch
(X,d) induzierte Metrik. Man merkt sich den Abstand zweier Punkte m, m
die neue induzierte Metrik auf dem Teilraum. Man sieht, dass sich die Metrik-Eigenschaften intuitiv auf
einen Teilraum übertragen lassen.
Eng verwandt mit der Metrik ist die sogn. Norm. Wie wir sehen werden ist die denkbar einfachste Norm
die Betragsfunktion.
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Definition: (Norm, normierter Raum)
:X → \ , x 6 x heißt eine Norm auf X, und (X,
Sei X ein reeller Vektorraum. Eine Funktion
heißt ein normierter Vektorraum, falls für alle x,y ∈ X die Beziehungen
(i)
(ii)
(iii)
x >0, falls x ≠ 0
αx = α x für alle α ∈ \
x+y ≤ x + y
)
(Definitheit)
(positive Homogenität)
(Dreiecksungleichung)
gelten.
,
Beispiel:
Es sei . : \2 → \2 mit x = (x1 , x2 ) :=[(x1)2 +(x2)2]1/p. Dann ist . eine Norm, welche wir euklidische
Norm nennen werden. Der Nachweis nutzt natürlich die Eigenschaften der quadratischen Funktion und
der Wurzelfunktion aus.
,
Bemerkung 1.2:
Normen bilden einen Punkt aus einem reellen Vektorraum nach \ ab. Dagegen bildet eine Metrik aus
einer nichtleeren aber ansonsten beliebigen Menge X das Punktepaar (x, y) nach \ ab. Dennoch haben
Sie bis auf die positive Homogenität und Symmetrie ähnliche Eigenschaften. Dies ist kein Zufall, wie wir
feststellen werden.
,
Ein weiterer sehr wichtiger Satz stellt die Beziehung zwischen Metrik und Norm her.
Satz 1.3 (Norm und Metrik)
Sei (X,
) ein normierter Raum. Dann wird durch
d(x,y) := x − y ,
x,y ∈ X
eine Metrik auf X definiert.
Diese Metrik heißt die von der Norm induzierte oder erzeugte Metrik.
Entsprechend zu den
A p-Metriken existieren auch A p-Normen. Es seien x=(x1, …, xn), y=(y1, …, yn) ∈ \n :
1
p
⎛ n
p⎞
x p := ⎜ ∑ xi ⎟
⎝ i=1
⎠
sind dann für alle p ∈ ` Normen erklärtwobei man die Maximum-Norm als Grenzfall für p → ∞ aufassen
kann [Beweis mit Hilfe des Sandwich-Lemmas und der Äquivalenz: (max|xi|1/p) ≤ x p ≤ (n ⋅ max|xi|1/p)].
Mit Hilfe des Satzs 1.3 ist der Zusammenhang zwischen
den A p-Metriken und den A p-Normen evident.
Skiziert man sich den Einheitskreis mit Hilfe der
unterschiedlichen A p- Normen, setzen wir also x p = 1
im \2 , so erhalten wir nebenstehende Skizze.
Betrachtet man den Abstand vom Nullpunkt (d.h. vom
Nullvektor) von einer durch eine Norm induzierten Metrik,
so erhält man gerade d(x,0)= x − 0 = x , die Norm von
x. D.h. man kann die Norm als Abstandsmessung eines
Vektors x zum Nullvektor auffassen.
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Dies hat weitreichende Konsequenzen. In einem normierten Vektorraum impliziert jede Norm eine Metrik
mit d(x,y) := x − y , d.h. jeder normierte Raum ist auch ein metrischer Raum. Die Umgekehrung ist im
Allgemeinen falsch, dies erkennt man schon an den Vorraussetzungen der Definitionen, da X nicht einmal
notwendig ein Vektorraum sein muss.
Es existieren also Metriken, die nicht aus einer Norm induziert werden können:
Sei d(x, y) eine Metrik, dann ist d*(x,y):= d(x,y)/(1+d(x,y)) nicht von einer Norm induzierbar.
Eine ähnliche Beziehung kann man zwischen einem Skalarprodukt und der Norm herstellen. Dazu
definieren wir zuerst das Skalarprodukt.
Definition: (Skalarprodukt, unitärer und euklidischer Vektorräume)
Sei V ein Vektorraum über \ (oder ^ ). Eine Abbildung ⋅, ⋅ : V x V Æ \ (oder ^ ) mit den
Eigenschaften:
(i)
(ii)
(iii)
Sesquilinearität
Hermitesche Symmetrie
Positver Definitheit
bezeichnet man als Skalarprodukt oder inneres Produkt und das Paar (V, ⋅, ⋅ ) als euklidischen (oder
unitären) Vektorraum.
,
Wir gehen an dieser Stelle nicht genauer auf die Eigenschaften des Skalarproduktes ein; diese
Untersuchungen sind Teil der Linearen Algebra.
Satz (Norm und Skalarprodukt)
In einem unitären Vektorraum V lässt sich durch
x 2 :=
x, x ,
x ∈ V,
eine Norm einführen. Man sagt auch, dass die Norm . 2 durch das Skalarprodukt ⋅, ⋅ induziert wird.
Analoges gilt für den Fall n>2 nicht! Jeder Vektorraum mit Skalarprodukt (Innenproduktraum) ist mit der
mit dem Skalarprodukt induzierten Nrom ein normierter Raum und somit auch ein metrischer Raum.
Eine Norm kann, muss aber nicht durch ein Skalarprodukt <.,.> definiert sein, d.h. auch hier ist die
Umkehrung im Allgemeinen falsch. Mit Hilfe der Parallelogrammungleichung kann man z.B. schnell
feststellen, ob eine Norm durch ein Skalarprd. induziert werden kann oder nicht. Wir veranschaulichen
die Zusammenhänge in folgender Skizze:
Metrik (Abstand)
induziert
Norm
induziert
Skalarprodukt
-
Positiv definit
Sesquilinear
Hermitesche Symmetrie
-
Positiv definit
Absolute Homogenität
Dreiecksungleichung
Positiv definit
Symmetrie
Dreiecksungleichung
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2.
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Topologische Eigenschaften
Eine topologische Invariante bzw. topologische Eigenschaft ist in der Topologie eine gemeinsame
Eigenschaft topologischer Räume, die zueinander homöomorph sind. Da Homöomorphismen in der
Topologie die ausgezeichneten Äquivalenzrelationen sind, können Räume mittels topologischer
Invarianten unterschieden werden.
Die Topologie kommt ohne folgende Begriffe, welche mit Hilfe einer Metrik erklärt werden nicht aus.
Definition: ( ε -Umgebungen)
Sei (X, d) ein metrischer Raum.
(i)
Sei a ∈ X und
ε∈\
mit
ε >0 gegeben , so heißt
Uε (a) := {x ∈ X | d(x,a)< ε }
die
(ii)
,
ε -Umgebung von a (in (X,d)).
Sind a ∈ X und U ⊂ X gegeben, so heißt U Umgebung von a (in (X,d)), wenn es ein
Uε (a) ⊂ U gibt.
ε >0 mit
Tragende Elementarbegriffe der Analysis sind u.a. die Konvergenz von Zahlenfolgen und die Stetigkeit
von Funktionen. Beide Begriffe werden mit Hilfe von ε -Umgebungen –also durch Lagebeschreibungendefiniert.
Dasselbe gilt für die Konvergenz und die Stetigkeit in normierten Räumen. Andere Begriffe die mit Hilfe
einer ε -Umgebung in \ oder allgemeiner in normierten (und damit metrischen) Räumen charakterisiert
wurden, sind offene, abgeschlossene und kompakte Mengen, isolierte Punkte, innere Punkte und
Häufungspunkte.
Da Topologien mittels ε -Umgebung (offenen Mengen) charakterisiert werden können, ist es
offensichtlich, dass Eigenschaften wie Offenheit, Abgeschlossenheit, Kompaktheit oder Metrisierbarkeit
topologische Eigenschaften sind. Dagegen ist die Beschränktheit keine topologische Eigenschaft.
Zwei wichtige Konvergenztypen entziehen sich allerdings dem Einfluss der
und die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge.
ε -Umgebung, die punktweise
In diesem Zusammenhang ist von Bedeutung, dass ein normierter Raum in wohlbestimmten Sinne auch
ein metrischer Raum ist, nämlich mit der von der Norm induzierten Metrik. Der Begriff der ε -Umgebung
und der Umgebung eines Punktes ist somit auch für normierte Räume erklärt. Wir wiederholen:
Definition:
Sei (X, d) ein metrischer Raum, M eine Teilmenge von X und a ein Punkt von X. Der Punkt heißt innerer
Punkt von M, wenn M Umgebung von a ist.
,
Fasst man die Menge aller inneren Punkte eines metrischen Raumes X zu einer Menge M zusammen, so
erhält man folgende
Definition:
Sei (X,d) ein metrischer Raum und M ⊂ X. M heißt offen in (X,d), wenn M Umgebung von jedem a ∈ M ist.
,
Beispiel:
Es sei d(x,y):= x − y
2
die euklidische Metrik auf \ . Dann ist jedes offene Intervall I:=]a- ε , a+ ε [ eine
ε -Umgebungen von a ∈ \ . Dabei ist I eine offene Menge in ( \ , d) und jedes Element in I ist ein innerer
Punkt.
,
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Ganz entscheidend für die Definition der Topologie sind die grundlegenden Eigenschaften offener Mengen.
Satz 2.1 (Eigenschaften offener Mengen)
Sei (X,d) ein metrischer Raum. Dann gilt:
(i)
(ii)
(iii)
∅ und X sind offen
Die Vereinigung beliebig vieler offener Teilmengen von X ist offen.
Der Durchschnitt endlich vieler offener Teilmengen von X ist offen.
In obigem Satz sind grundlegende Eigenschaften offener Teilmengen von (X, d) zusammengestellt, auf
die immer wieder zurückgegriffen wird. Man macht daher diese Gruppe von Eigenschaften zum
Ausgangspunkt einer weiteren Abstraktionsstufe, der Topologie.
Definition: (Topologie, topologischer Raum)
Sei X eine nichtleere Menge, und sei τ eine Menge von Teilmengen von X. Dann heißt τ eine Topologie
auf X, und (X, τ ) heißt ein topologischer Raum, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(Top1) ∅ ∈ τ und X ∈ τ .
(Top2) Die Vereinigung von beliebig vielen Elementen von τ ist ein Element von τ .
(Top3) Der Durchschnitt endlich vieler Elemente von τ ist ein Element von τ .
,
Die Topologie kann auch mit Hilfe eines verallgemeinerten Umgebungsbegriffes definiert werden:
Definition: (verallgemeinerter Umgebungsbegriff)
Von nun an wollen wir jede Obermenge einer ε -Umgebungen des Punktes a ∈ \ eine Umgebung von a
nennen.
,
Beispiel:
Sei ε =1 und sei a=0 ∈ \ , dann ist U1(0)=[-1,1] die ε -Umgebung von 0. Nach Festlegung ist nun jede
Obermenge von U1 ebenfalls eine Umgebung von a=0.
,
Es wird sich sehr rasch zeigen, dass die Substanz des bisher benutzten engeren Umgebungsbegriffes
durch diese Erweiterung nicht berührt wird, dass man aber den Vorteil einhandelt, eine
Strukturbeschreibung der Umgebungen zu ermöglichen, in der ε und damit letztlich der Abstandsbegriff
explizit nicht mehr vorkommt.
Das bedeutet aber, dass man im Geiste der axiomatischen Methode diese Strukturelemente als
Grundpostulate einer Umgebungstheorie verwenden kann, die von Abstandsmessungen unabhängig und
damit auch sehr viel allgemeiner – und das heißt auch: anwendungsfähiger- ist als unsere bisherige
ε -Theorie.
Axiomensystem: (Umgebungsaxiome)
Das System aller Umgebungen von a wird mit Ψ (a) bezeichnet und Umgebungsfilter (auch Hauptfilter)
von a genannt. Es besitzt eine äußerst einfache Struktur, die in den Feststellungen ( Ψ 1) bis ( Ψ 4)
beschrieben wird:
(U1)
a ∈ U, für alle U ∈ Ψ (a)
(U2)
U ∈ Ψ (a) ∧ U ⊂ V ⇒ V ∈ Ψ (a)
(U3)
U1, U2 ∈ Ψ (a) ⇒ U1 ∩ U2 ∈ Ψ (a)
(U4)
∀ U ∈ Ψ (a) ∃ V ∈ Ψ (a), so dass gilt:
U ∈ Ψ (b), für jedes b ∈ V.
,
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Die Eigenschaften (U1) und (U2) ergeben sich unmittelbar aus der Definition der verallgemeinerten
Umgebung.
Angenommen U1, U2 ∈ Ψ (a), dann existieren
ε -Umgebungen von a Uε1
und Uε2 , infolgedessen liegt
Umin(ε1,ε2) (a) in U1 ∩ U2, und somit ist dieser Durchschnitt wieder eine Umgebung von a.
Bei (U4) ist entscheidend, dass b ∈ V gilt. Wir geben uns also eine beliebige Umgebung U von a vor, d.h.
es existiert wieder eine ε -Umgebung Uε (a) , die Teilmenge von U ist. Sei b ∈ V:= Uε (a) , dann ist
δ := ε -|b-a|>0, und für jedes c ∈ Uδ (b) gilt |c-a| ≤ |c-b|+|b-a|< δ +|b-a|= ε . Infolgedessen liegt Uδ (b)
in Uε (a) , erst recht also in U, womit U sich als eine Umgebung von b zu erkennen gibt.
,
Um zur Topologie zu gelangen, muss man mit Hilfe des allgemeinen Umgebungsbegriff nun nur noch die
inneren Punkte bzw. die offene Menge definieren und in analoger Weise wie oben den topologischen
Raum definieren.
Wir schließen die Zahlen-Konvergenz darüber hinaus in folgenden Satz mit ein.
Satz 2.2
Es sind a und an reelle Zahlen, M und X sind Teilmengen von \ .
(i)
⇔
Die Folge (an) strebt gegen a
∀ U ∈ Ψ (a) gibt es einen Index n0 mit an ∈ U ∀ n>n0.
(ii)
a ist ein innerer Punkt von M
⇔
es gibt ein U ∈ Ψ (a) mit U ⊂ M.
(iii)
⇔
M ist offen
zu jedem a ∈ M gibt es ein U ∈ Ψ (a) mit U ⊂ M.
Man kann leicht zeigen, dass die allgemeine Umgebung für analytische Zwecke dasselbe leistet, wie die
ε -Umgebung, d.h. man kann damit auch Stetigkeit, Häufungspunkte oder isolierte Punkte definieren und
nachweisen.
Dazu unterbietet man einfach die allgemeine Umgebung U durch eine
in alt bekannter Manier durch.
ε -Umgebung und führt den Beweis
Definition: (Topologie, topologischer Raum)
Eine nichtleere Menge X heißt topologischer Raum, wenn jedem a ∈ X ein System Ψ (a) von Teilmengen
von X so erzeugt ist, dass die Umgebungsaxiome (U1) bis (U4) erfüllt sind.
Unter der Topologie τ eines topologischen Raumes X verstehen wir die Gesamtheit aller Umgebungsfilter
Ψ (a) mit a ∈ X. Man schreibt auch (X, τ ) um zu betonen, dass X mit der Topologie τ versehen ist.
Man halte sich vor Augen, dass in einem topologischen Raum keine algebraischen Operationen (Addition,
Multiplikation, usw.) und keine Abstände erklärt zu sein brauchen; auch ein Vergleich seiner Elemente
der Größe nach ist im Allgemeinen nicht möglich.
Die einzige Struktur die ein topologischer Raum von Haus aus trägt ist eben nur die topologische.
Weiterhin viel Spaß mit der Mathematik!
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