Elektrisches Feld und Potential
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Institut für mathematisch - naturwissenschaftliche Grundlagen http://www.hs-heilbronn.de/ifg Übungsaufgaben Physik II Elektrisches Feld und Potential Autor: Prof. Dr. G. Bucher Bearbeitet: Dipl. Phys. A. Szasz August 2014 Institut für mathematisch-naturwissenschaftliche Grundlagen (IFG) www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung Elektrisches Feld und Potential Ladungsverteilung (SS14) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 2 Punktladungen der Ladung q und einer geladenen Kugelschale mit dem Radius d . Die Ladung der Kugelschale beträgt − 2q . Die Koordinaten der Punktladungen bzw. des Mittelpunktes der Kugelschale stehen in folgender Tabelle: Ladung : q q − 2q 0 x - Koordinate : − d d 0 0 2d y - Koordinate : a) Skizzieren Sie diese Ladungsanordnung! b) Berechnen Sie das Potential ϕ (0 ,0) und die elektrische Feldstärke E(0 ,0) dieser Ladungsanordnung für den Ursprung des Koordinatensystems. c) Berechnen Sie das Potential ϕ und die elektrische Feldstärke E dieser Ladungsanordnung im Zentrum der geladenen Kugelschale. d) Die Kugelschale kann sich entlang der y - Achse bewegen. Die Koordinaten des Kugelzentrums werden also (0 , k ⋅ d) , wobei der Parameter k eine reelle Zahl ist und die Größe d > 0 ist. Berechnen Sie das Potential ϕ ( x , y ) dieser Ladungsverteilung für einen beliebigen Punkt P( x , y ) mit dem Ortsvektor r in der x-y-Ebene (außerhalb der kugelförmigen Ladungen). e) Berechnen Sie dieses Potential in Fernfeldnäherung. f) Berechnen Sie aus dem genäherten Potential ϕ ( x , y ) durch Gradientenbildung den Vektor der elektrischen Feldstärke E( x , y) . g) Bestimmen Sie Potential und Feldstärke speziell für die Fälle: k=0 k = 2 und k →∝ . h) Stellen Sie das genäherte Potential ϕ ( x , y ) in Zylinderkoordinaten ϕ (r0 ,θ ) dar und berechnen Sie den Winkel θ 0 , unter dem das Potential ϕ ( x , y ) als Funktion des Parameters k ein Extremum aufweist. Institut für mathematisch-naturwissenschaftliche Grundlagen (IFG) www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung Elektrisches Feld und Potential Ladungsverteilung (WS12/13) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 3 Ladungen in Form dünner Kugelschalen mit den gleichen Radien R0 . Ihre Anordnung wird durch folgende Koordinaten der Mittelpunkte der Kugelschalen fixiert: Ladung : − q − q + 2q x - Koordinate : − 2 R0 a) b) c) d) 0 0 2 R0 0 y - Koordinate : 0 Skizzieren Sie diese Ladungsanordnung! Berechnen Sie das Potential ϕ (0 ,0) und die elektrische Feldstärke E(0 ,0) dieser Ladungsanordnung für den Ursprung des Koordinatensystems. Berechnen Sie das Potential entlang der x_Achse im Koordinatensystem. (Achtung: Fallunterscheidung!) Berechnen Sie das Potential ϕ ( x , y ) dieser Ladungsverteilung für einen beliebigen Punkt P( x , y ) mit dem Ortsvektor r in der x-y-Ebene (außerhalb der kugelförmigen Ladungen). e) Berechnen Sie in erster Näherung das Potential ϕ ( x , y ) dieser Ladungsverteilung für den Fall r >> R0 . f) Berechnen Sie die Ursprungsgerade y = m ⋅ x , entlang der das genäherte Potential ϕ ( x , y ) Null ist. g) Berechnen Sie aus dem genäherten Potential ϕ ( x , y ) durch Gradientenbildung den Vektor der elektrischen Feldstärke E( x , y) . h) Berechnen Sie den Vektor der genäherten Feldstärke E( x , y) entlang der Ursprungsgeraden, für die das genäherte Potential ϕ ( x , y ) Null ist. i) Stellen Sie das genäherte Potential ϕ ( x , y ) in Zylinderkoordinaten ϕ (r0 ,θ ) dar und berechnen Sie den Winkel θ 0 , unter dem das Potential ϕ ( x , y ) ein Extremum annimmt. Institut für mathematisch-naturwissenschaftliche Grundlagen (IFG) www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung Elektrisches Feld und Potential Ladungsverteilung (SS12) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 3 Ladungen in Form dünner Kugelschalen mit den gleichen Radien R0 . Ihre Anordnung wird durch folgende Koordinaten der Mittelpunkte der Kugelschalen fixiert: Ladung : − q − q + 2q a) b) c) d) x - Koordinate : − R0 R0 0 y - Koordinate : 0 0 2 R0 Skizzieren Sie diese Ladungsanordnung! Berechnen Sie das Potential ϕ (0 ,0) und die elektrische Feldstärke E(0 ,0) dieser Ladungsanordnung für den Ursprung des Koordinatensystems. Berechnen und skizzieren Sie das Potential entlang der x_Achse im Koordinatensystem. Berechnen Sie das Potential ϕ ( x , y ) dieser Ladungsverteilung für einen beliebigen Punkt P( x , y ) mit dem Ortsvektor r in der x-y-Ebene (außerhalb der kugelförmigen Ladungen). e) Berechnen Sie in erster Näherung das Potential ϕ ( x , y ) dieser Ladungsverteilung für den Fall r >> R0 . f) Berechnen Sie die Ursprungsgerade y = m ⋅ x , entlang der das genäherte Potential ϕ ( x , y ) Null ist. g) Berechnen Sie aus dem genäherten Potential ϕ ( x , y ) durch Gradientenbildung den Vektor der elektrischen Feldstärke E( x , y) . h) Berechnen Sie den Vektor der genäherten Feldstärke E( x , y) entlang der Ursprungsgeraden, für die das genäherte Potential ϕ ( x , y ) Null ist. i) Stellen Sie das genäherte Potential ϕ ( x , y ) in Zylinderkoordinaten ϕ (r0 ,θ ) dar und berechnen Sie den Winkel θ 0 , unter dem das Potential ϕ ( x , y ) ein Extremum annimmt. Institut für mathematisch-naturwissenschaftliche Grundlagen (IFG) www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung Elektrisches Feld und Potential Punktladungen (WS11/12) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 3 Punktladungen. Die Ladungen und deren Punktkoordinaten stehen in folgender Tabelle: Ladung : − q − q + 2q x - Koordinate : y - Koordinate : d 0 0 − kd d 0 k sei ein reeller, konstanter Parameter. d sei die Länge einer Strecke und für den gesamten Rechengang konstant. a) Skizzieren und berechnen Sie das Potential ϕ (0 ,0) dieser Ladungsverteilung für den Ursprung des Koordinatensystems mit dem Wert k als Parameter. b) Bestimmen Sie den Parameter k so, dass das Potential im Ursprung ϕ (0 ,0) zu Null wird. c) Berechnen Sie für diesen Parameter k die elektrische Feldstärke E(0 ,0) dieser Ladungsverteilung im Ursprung des Koordinatensystems. d) Berechnen Sie, jetzt wieder mit dem Parameter k , das Potential ϕ ( x , y ) dieser Ladungsverteilung für einen beliebigen Punkt P( x , y ) mit dem Ortsvektor r in der x-y-Ebene. e) Berechnen Sie in erster Näherung das Potential ϕ ( x , y ) dieser Ladungsverteilung für den Fall r >> d . f) Berechnen Sie, in Abhängigkeit vom Parameter k , die Ursprungsgerade y = m ⋅ x , entlang der das genäherte Potential ϕ ( x , y ) Null ist. g) Berechnen Sie aus dem genäherten Potential ϕ ( x , y ) durch Gradientenbildung den Vektor der elektrischen Feldstärke E( x , y) . h) Berechnen Sie den Vektor der genäherten Feldstärke E( x , y) entlang der Ursprungsgeraden, für die das genäherte Potential ϕ ( x , y ) Null ist. i) Geben Sie die genäherte Feldstärke E( x , y ) für die Spezialfälle k = 1 k = −1 und k >> 1 an. j) Stellen Sie das genäherte Potential ϕ ( x , y ) in Zylinderkoordinaten ϕ (r0 ,θ ) dar und berechnen Sie in Abhängigkeit vom Parameter k den Winkel θ 0 , unter dem das Potential ϕ ( x , y ) ein Extremum annimmt. k) Bestimmen Sie diesen Winkel für die Werte k = 1 k = −1 und k >> 1 ! Institut für mathematisch-naturwissenschaftliche Grundlagen (IFG) www.hs-heilbronn.de/physik.aufgabensammlung Elektrisches Feld und Potential Punktladungen (SS11) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 4 Punktladungen. Die Ladungen und deren Punktkoordinaten stehen in folgender Tabelle: Ladung : + q − q + 2q − 2q x - Koordinate : y - Koordinate : kd − kd 0 0 0 +d 0 −d k sei ein reeller, konstanter Parameter. Ein Vorzeichenwechsel des Parameters k entspricht einem Wechsel der Polarität der Ladungen auf der x_Achse. d sei die Länge einer Strecke und für den gesamten Rechengang konstant. a) Berechnen Sie das Potential ϕ (0 ,0) und die elektrische Feldstärke E(0 ,0) dieser Ladungsverteilung für den Ursprung des Koordinatensystems mit dem Wert k als Parameter. b) Berechnen Sie, in Abhängigkeit vom Parameter k , das Potential ϕ ( x , y ) dieser Ladungsverteilung für einen beliebigen Punkt P( x , y ) mit dem Ortsvektor r in der x-y-Ebene. c) Berechnen Sie in erster Näherung das Potential ϕ ( x , y ) dieser Ladungsverteilung für den Fall r >> d . d) Berechnen Sie, in Abhängigkeit vom Parameter k , die Ursprungsgerade y = m ⋅ x , entlang der das genäherte Potential ϕ ( x , y ) Null ist. e) Berechnen Sie aus dem genäherten Potential ϕ ( x , y ) durch Gradientenbildung den Vektor der elektrischen Feldstärke E( x , y) . f) Berechnen Sie den Vektor der genäherten Feldstärke E( x , y) entlang der Ursprungsgeraden, für die das genäherte Potential ϕ ( x , y ) Null ist. g) Berechnen Sie für den Faktor k = 2 die Richtungen der Ursprungsgeraden y = m1 / 2 ⋅ x , entlang denen das genäherte Potential ϕ ( x , y ) minimal oder maximal ist. h) Geben Sie den Vektor der genäherten Feldstärke E( x , y) für die Spezialfälle k = 0 , k = 2 und k >> 1 an. i) Stellen Sie das genäherte Potential ϕ ( x , y ) in Zylinderkoordinaten ϕ (r0 ,θ ) dar und berechnen Sie in Abhängigkeit vom Parameter k den Winkel θ 0 , unter dem das Potential ϕ ( x , y ) ein Extremum annimmt. Ladungsverteilung (WS10/11) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 4 Punktladungen. Die Ladungen und deren Punktkoordinaten stehen in folgender Tabelle: Ladung : +q −q +q −q x - Koordinate : − kd + kd 0 0 y - Koordinate : 0 0 +d −d k sei ein beliebiger, positiver Parameter, d sei eine Längeneinheit. a) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) dieser Ladungsverteilung mit dem Faktor k als Parameter für einen beliebigen Punkt P ( x , y ) mit r dem Ortsvektor r in der x-y-Ebene. b) Berechnen Sie das Potential ϕ (0,0) dieser Ladungsverteilung für den Ursprung des x-y-Koordinatensystems. c) Berechnen Sie die Feldstärke E (0,0) nach Betrag und Richtung im Ursprung des x-y-Koordinatensystems. d) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) dieser Ladungsverteilung näherungsweise für große Entfernungen eines Punktes P ( x , y ) mit r dem Ortsvektor r in der x-y-Ebene ( r >> d ). e) Berechnen Sie, in Abhängigkeit vom Faktor k die Ursprungsgerade y = m ⋅ x , entlang der das genäherte Potential ϕ (x , y ) Null ist. f) Berechnen Sie, mit dem festen Faktor k als Parameter, aus dem genäherten Potential ϕ (x , y ) durch Gradientenbildung den Vektor der r elektrischen Feldstärke E ( x , y ) . r g) Berechnen Sie den Vektor der genäherten Feldstärke E ( x , y ) entlang der Ursprungsgeraden, für die das genäherte Potential ϕ (x , y ) Null ist. h) Berechnen Sie für den Faktor k = 2 die Richtungen der Ursprungsgeraden y = m1/ 2 ⋅ x , entlang denen das genäherte Potential ϕ (x , y ) minimal oder maximal ist. r i) Bestimmen Sie den Vektor der genäherten Feldstärke E ( x , y ) für die Spezialfälle k = 0 , k = 1 und k = ∞ . Ladungsverteilung (SS10) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 3 Punktladungen. Die Ladungen und deren Punktkoordinaten stehen in folgender Tabelle: −q −q x - Koordinate : a −d y - Koordinate : d − a 0 d 0 Ladung : + 2q d sei eine reelle Konstante und a ein beliebiger aber fester Wert. a) Berechnen Sie das Potential ϕ (0,0) dieser Ladungsverteilung für den Ursprung des x-y-Koordinatensystems mit dem Wert a als Parameter. b) Bestimmen Sie den Parameter a , für den das Potential ϕ (0,0) im Ursprung seinen größten Wert erreicht. c) Bestimmen Sie r für diesen Wert von a die elektrische Feldstärke E (0,0) im Ursprung . d) Nehmen Sie jetzt den Wert a = 0 an. Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) dieser Ladungsverteilung näherungsweise für große Entfernungen eines Punktes P ( x , y ) mit r dem Ortsvektor r in der x-y-Ebene ( r >> d ). e) Berechnen Sie aus dem genäherten Potential ϕ (x , y ) durch r Gradientenbildung den Vektor der elektrischen Feldstärke E ( x , y ) . Ladungsverteilung (WS09/10) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 3 Punktladungen. Die Ladungen und deren Punktkoordinaten stehen in folgender Tabelle: Ladung : + 2q x - Koordinate : y - Koordinate : −q −q 0 d cos α 0 d sinα − d cos α d sinα d sei eine reelle Konstante und α sei ein beliebiger aber fester Winkel bezüglich der x-Achse und mathematisch positiv (gegen den Uhrzeigersinn). a) Berechnen Sie, in Abhängigkeit vom Winkel α , das Potential ϕ (x , y ) dieser Ladungsverteilung für einen beliebigen Punkt P ( x , y ) mit dem r Ortsvektor r in der x-y-Ebene. b) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) näherungsweise für große Entfernungen des Punktes P ( x , y ) von der Ladungsverteilung ( r >> d ). c) Berechnen Sie die Gerade, entlang der das genäherte Potential ϕ (x , y ) Null ist. d) Berechnen Sie, wiederum mit dem Winkel α als Parameter, aus dem genäherten Potential ϕ (x , y ) durch Gradientenbildung den Vektor der r elektrischen Feldstärke E ( x , y ) . r e) Berechnen Sie das genäherte elektrische Feld E ( x , y ) entlang der Geraden, für die das genäherte Potential ϕ (x , y ) Null ist. f) Berechnen Sie die Ursprungsgeraden y = m ⋅ x , entlang denen das genäherte Potential ϕ (x , y ) minimal oder maximal ist. g) Gibt es einen Winkel α so, dass das genäherte Potential in der ganzen x-y-Ebene identisch verschwindet? Ladungsverteilung (SS08) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 3 Punktladungen. Die Ladungen und deren Punktkoordinaten stehen in folgender Tabelle: Ladung : + q +q x - Koordinate : d 0 y - Koordinate : 0 d − 2q d cos α 2 d sinα 2 d sei eine reelle Konstante und α sei ein beliebiger aber fester Winkel bezüglich der x-Achse und mathematisch positiv (gegen den Uhrzeigersinn). a) Berechnen Sie, in Abhängigkeit vom Winkel α , das Potential ϕ (x , y ) dieser Ladungsverteilung für einen beliebigen Punkt P ( x , y ) mit dem r Ortsvektor r in der x-y-Ebene. b) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) näherungsweise für große Entfernungen des Punktes P ( x , y ) von der Ladungsverteilung ( r >> d ). c) Berechnen Sie, in Abhängigkeit vom Winkel α , die Gerade, entlang der das genäherte Potential ϕ (x , y ) Null ist. d) Berechnen Sie für einen festen Punkt P (x 0 , y 0 ) den Winkel α der beweglichen Ladung, für den das genäherte Potential ϕ (x , y ) an diesem Punkt maximal oder minimal wird. e) Berechnen Sie, wiederum mit dem Winkel α als Parameter, aus dem genäherten Potential ϕ (x , y ) durch Gradientenbildung den Vektor der r elektrischen Feldstärke E ( x , y ) . r f) Berechnen Sie das genäherte elektrische Feld E ( x , y ) entlang der Geraden, für die das genäherte Potential ϕ (x , y ) Null ist. g) Berechnen Sie, in Abhängigkeit vom Winkel α , die Ursprungsgeraden y = m ⋅ x , entlang denen das genäherte Potential ϕ (x , y ) minimal oder maximal ist. Geben Sie diese Geraden an für den Fall: α = π 2 . Ladungsverteilung (WS07/08) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 3 Punktladungen. Die Ladungen und deren Punktkoordinaten stehen in folgender Tabelle: Ladung : + 2q x - Koordinate : y - Koordinate : 0 0 −q −q d d cos α 0 d sinα d sei eine reelle Konstante und α sei ein beliebiger aber fester Winkel bezüglich der x-Achse und mathematisch positiv (gegen den Uhrzeigersinn). a) Berechnen Sie, in Abhängigkeit vom Winkel α , das Potential ϕ (x , y ) dieser Ladungsverteilung für einen beliebigen Punkt P ( x , y ) mit dem r Ortsvektor r in der x-y-Ebene. b) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) näherungsweise für große Entfernungen des Punktes P ( x , y ) von der Ladungsverteilung ( r >> d ). c) Berechnen Sie, in Abhängigkeit vom Winkel α , die Gerade, entlang der das genäherte Potential ϕ (x , y ) Null ist. d) Berechnen Sie, wiederum mit dem Winkel α als Parameter, aus dem genäherten Potential ϕ (x , y ) durch Gradientenbildung den Vektor der r elektrischen Feldstärke E ( x , y ) . r e) Berechnen Sie das genäherte elektrische Feld E ( x , y ) entlang der Geraden, für die das genäherte Potential ϕ (x , y ) Null ist. f) Berechnen Sie, in Abhängigkeit vom Winkel α , die Ursprungsgeraden y = m ⋅ x , entlang denen das genäherte Potential ϕ (x , y ) minimal oder maximal ist. Geben Sie diese Geraden an für den Fall: α = 0 . g) Bestimmen Sie den Winkel α so, dass das genäherte Potential in der ganzen x-y-Ebene identisch verschwindet. Ladungsverteilung (SS07) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 3 Punktladungen. Die Ladungen und deren Punktkoordinaten stehen in folgender Tabelle: Ladung : + 3q x - Koordinate : y - Koordinate : 0 0 − 2q −q d 0 0 kd d und k seien reelle Konstanten. a) Berechnen Sie, als Funktion des Parameters k , das Potential ϕ (x , y ) dieser Ladungsverteilung für einen beliebigen Punkt P ( x , y ) mit dem r Ortsvektor r in der x-y-Ebene. b) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) näherungsweise für große Entfernungen des Punktes P ( x , y ) von der Ladungsverteilung ( r >> d ). c) Berechnen Sie, in Abhängigkeit vom Parameter k , die Gerade, entlang der das genäherte Potential ϕ (x , y ) Null ist. d) Berechnen Sie, wiederum in Abhängigkeit vom Parameter k , aus dem genäherten Potential ϕ (x , y ) durch Gradientenbildung den r Vektor der elektrischen Feldstärke E ( x , y ) . r e) Berechnen Sie das genäherte elektrische Feld E ( x , y ) entlang der Geraden, für die das genäherte Potential ϕ (x , y ) Null ist. f) Berechnen Sie, in Abhängigkeit vom Parameter k , die Richtungen der Ursprungsgeraden y = m ⋅ x , entlang denen das genäherte Potential ϕ (x , y ) minimal oder maximal ist. Geben Sie diese Geraden an für den Fall: k = 0 . g) Bestimmen Sie den Parameter k so, dass das maximale oder minimale Potential entlang der Winkelhalbierenden y = x verläuft. Ladungsverteilung (SS06) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 3 Punktladungen. Die Ladungen und deren Punktkoordinaten stehen in folgender Tabelle: Ladung : + 2q x - Koordinate : y - Koordinate : −q −q 5d − 3d 0 4d − 4d − 3d d sei eine reelle Konstante. a) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) dieser Ladungsverteilung für r einen beliebigen Punkt P ( x , y ) mit dem Ortsvektor r in der x-y-Ebene. b) Berechnen Sie das Potential näherungsweise für große Entfernungen des Punktes P ( x , y ) von der Ladungsverteilung ( r >> d ). c) Berechnen Sie die Gerade, entlang der das genäherte Potential ϕ (x , y ) Null ist. d) Berechnen Sie aus dem genäherten Potential ϕ (x , y ) durch r Gradientenbildung den Vektor der elektrischen Feldstärke E ( x , y ) . r e) Berechnen Sie das genäherte elektrische Feld E ( x , y ) entlang der Geraden, für die das genäherte Potential ϕ (x , y ) Null ist. f) Berechnen Sie die Richtungen der Ursprungsgeraden y = m ⋅ x , entlang denen das genäherte Potential ϕ (x , y ) minimal oder maximal ist. Ladungsverteilung (WS05/06) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 4 Punktladungen. Die Ladungen und deren Punktkoordinaten stehen in folgender Tabelle: Ladung : + 2q x - Koordinate : y - Koordinate : +q − 2q −q 0 −d 0 kd 0 − kd d 0 d und k seien reelle Konstanten. a) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) dieser Ladungsverteilung für r einen beliebigen Punkt P ( x , y ) mit dem Ortsvektor r in der x-y-Ebene als Funktion des Parameters k . b) Berechnen Sie das Potential näherungsweise für große Entfernungen des Punktes P ( x , y ) von der Ladungsverteilung ( r >> d ). c) Berechnen Sie das genäherte Potential ϕ (x , y ) für die Fälle: k = 0 und k ⋅ d = endlich mit d ≈ 0 . d) Berechnen Sie die Gerade, entlang der das genäherte Potential ϕ (x , y ) Null ist. e) Berechnen Sie aus dem genäherten Potential ϕ (x , y ) durch r Gradientenbildung den Vektor der elektrischen Feldstärke E ( x , y ) . r f) Berechnen Sie das genäherte elektrische Feld E ( x , y ) für die Fälle: k = 0 und k ⋅ d = endlich mit d ≈ 0 . Ladungsverteilung (SS05) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 4 Punktladungen. Die Ladungen und deren Punktkoordinaten stehen in folgender Tabelle: Ladung : + q x - Koordinate : y - Koordinate : +q −q −q 0 − 2d 0 d 0 −d 2d 0 d sei eine reelle Konstante. a) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) dieser Ladungsverteilung für r einen beliebigen Punkt P ( x , y ) mit dem Ortsvektor r in der x-y-Ebene. b) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) näherungsweise für große Entfernungen des Punktes P ( x , y ) von der Ladungsverteilung ( r >> d ). c) Berechnen Sie die Gerade, entlang der das genäherte Potential ϕ (x , y ) Null ist. d) Berechnen Sie aus dem genäherten Potential ϕ (x , y ) durch r Gradientenbildung den Vektor der elektrischen Feldstärke E ( x , y ) . r e) Berechnen Sie das genäherte elektrische Feld E ( x , y ) entlang der Geraden, für die das genäherte Potential ϕ (x , y ) Null ist. Ladungsverteilung (WS04/05) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 3 Punktladungen. Die Ladungen und deren Punktkoordinaten stehen in folgender Tabelle: Ladung : + 3q x - Koordinate : y - Koordinate : 0 0 − 2q −q d − kd 0 0 d und k seien reelle Konstanten. a) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) dieser Ladungsverteilung für r einen beliebigen Punkt P ( x , y ) mit dem Ortsvektor r in der x-y-Ebene als Funktion des Parameters − k . b) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) näherungsweise für große Entfernungen des Punktes P ( x , y ) von der Ladungsverteilung ( r >> d ). c) Berechnen Sie das genäherte Potential ϕ (x , y ) für die Fälle: − k = 0 und − k = −2 . d) Berechnen Sie aus dem genäherten Potential ϕ (x , y ) durch r Gradientenbildung den Vektor der elektrischen Feldstärke E ( x , y ) für die Fälle: − k = 0 und − k = −2 . Ladungsverteilung (SS04) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 3 Punktladungen. Die Ladungen und deren Punktkoordinaten stehen in folgender Tabelle: Ladung : − q x - Koordinate : y - Koordinate : 0 d + 3q − 2q 0 0 d 0 d sei eine reelle Konstante a) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) dieser Ladungsverteilung für r einen beliebigen Punkt P ( x , y ) mit dem Ortsvektor r in der x-y-Ebene. b) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) näherungsweise für große Entfernungen des Punktes P ( x , y ) von der Ladungsverteilung ( r >> d ). c) Berechnen Sie aus dem genäherten Potential ϕ (x , y ) durch r Gradientenbildung den Vektor der elektrischen Feldstärke E ( x , y ) . d) Berechnen Sie das genäherte Potential ϕ (x , y ) entlang der Geraden y = 2⋅x . e) Berechnen Sie das genäherte elektrische Feld entlang der Geraden y = 2⋅x . Ladungsverteilung (WS03/04) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 4 Punktladungen. Die Ladungen und deren Punktkoordinaten stehen in folgender Tabelle: Ladung : + q x - Koordinate : y - Koordinate : +q −q −q 0 −d 0 d 0 −d d 0 d sei eine reelle Konstante. a) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) dieser Ladungsverteilung für r einen beliebigen Punkt P ( x , y ) mit dem Ortsvektor r in der x-y-Ebene. b) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) näherungsweise für große Entfernungen des Punktes P ( x , y ) von der Ladungsverteilung ( r >> d ). c) Berechnen Sie das genäherte Potential ϕ (x , y ) entlang der Winkelhalbierenden des ersten und des dritten Quadranten. d) Berechnen Sie aus dem genäherten Potential ϕ (x , y ) durch r Gradientenbildung den Vektor der elektrischen Feldstärke E ( x , y ) . r e) Berechnen Sie das genäherte elektrische Feld E ( x , y ) entlang der Winkelhalbierenden des ersten und des dritten Quadranten. r f) Berechnen Sie das genäherte elektrische Feld E ( x , y ) entlang der x-Achse und entlang der y-Achse. Ladungsverteilung (SS03) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 4 Punktladungen. Die Ladungen und deren Punktkoordinaten stehen in folgender Tabelle: Ladung : + 3q −q x - Koordinate : 0 0 − y - Koordinate : 0 d −q −q 3 d 2 1 − d 2 3 d 2 1 − d 2 d sei eine reelle Konstante a) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) dieser Ladungsverteilung für r einen beliebigen Punkt P ( x , y ) mit dem Ortsvektor r in der x-y-Ebene. b) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) näherungsweise für große Entfernungen des Punktes P ( x , y ) von der Ladungsverteilung ( r >> d ). c) Berechnen Sie aus dem genäherten Potential ϕ (x , y ) durch r Gradientenbildung den Vektor der elektrischen Feldstärke E ( x , y ) . Ladungsverteilung (WS97/98) Gegeben sei in einem x-y-Koordinatensystem eine Ladungsverteilung bestehend aus 5 Punktladungen. Die Ladungen und deren Punktkoordinaten stehen in folgender Tabelle: Ladung : + 4q x - Koordinate : y - Koordinate : 0 0 −q −q −q −q 0 −d 0 d 0 −d d 0 d sei eine reelle Konstante. a) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) dieser Ladungsverteilung für r einen beliebigen Punkt P ( x , y ) mit dem Ortsvektor r in der x-y-Ebene. b) Berechnen Sie das Potential ϕ (x , y ) näherungsweise für große Entfernungen des Punktes P ( x , y ) von der Ladungsverteilung ( r >> d ). c) Berechnen Sie aus dem genäherten Potential ϕ (x , y ) durch r Gradientenbildung den Vektor der elektrischen Feldstärke E ( x , y ) .
