Zusammenfassung 1

Zusammenfassung 1
Elektrische Ladung ist eine fundamental wichtige Eigenschaft von Materie. Ladung
• existiert in 2 Polaritäten
– positiv: z.B. bei geriebenem Glas
– negativ: z.B. bei geriebenem Hartgummi
1
• kann durch Übertragen addiert, subtrahiert werden;
• wird durch seine Kraftwirkung nachgewiesen:
– gleichartige Ladungen stossen sich ab
– ungleichartige Ladungen ziehen sich an
• existiert nur in ganzzahligen Vielfachen einer Elementarladung e:
q = n · e, n = 0, ±1, ±2, ...
Das leichteste stabile geladene Elementarteilchen ist das Elektron (e).
• ist streng erhalten, d.h. sie kann weder erzeugt noch vernichtet werden. Dies gilt
auch in Prozessen der Elementarteilchenphysik, wo geladene Teilchen immer nur in
entgegen gesetzt geladenen Paaren erzeugt werden.
Die Einheit der Ladung ist das Coulomb (C):
1 C = 6.2 · 1019 e
Leiter, Halbleiter, Isolatoren werden nach ihrer Fähigkeit sortiert, elektrischen Strom
(= bewegte Ladung) zu transportieren:
• Leiter: Elektronen sind quasi-frei beweglich;
• Halbleiter: Elektronen sind nur nach zusätzlichem Energieaufwand beweglich;
• Isolatoren: Elektronen sind verschiebbar, aber nicht beweglich.
1
bzgl. der Reibungselektrizität sind die Materialien in der so genannten triboelektrischen Reihe angeordnet
Zusammenfassung 2
Das Coulombsche Gesetz beschreibt die Kraft zwischen zwei Punktladungen q1 , q2 , die
sich im Abstand r12 von einander befinden:
F~ =
1 q1 q2 ~r12
2
4π0 r12
r12
Dabei ist ~r12 der Ortsvektor von der Ladung q1 zur Ladung q2 . Die Dielektrizitätskonstante
ist 0 = 8.8 · 10−12 C2 /Jm. Beachte die mathematisch gleiche Form wie das Gravitationsgesetz; elektrische Kräfte sind aber viel stärker.
Felder Kräfte werden durch Felder übertragen, um die
Vorstellung von einer Fernwirkung zu vermeiden. Ein Raumgebiet sei gegeben, in dem elektrisch geladene Körper Kräfte erfahren, die nicht als Nahwirkung oder Gravitation erklärbar
sind:
• Coulombkräfte treten aich bei ruhenden Körpern auf: es
herrscht ein “elektrisches Feld”.
• Lorentzkräfte treten nur auf, wenn die Ladungen in Bewegung sind: es herrscht ein “Magnetfeld”.
~ werden durch ihre Kraftwirkung (F~ ) auf
Elektrische Felder (E)
Probeladungen q definiert:
~ = F~ /q
E
Feldlinien geben die Kraft auf eine positive Probeladung an.
Sie beginnen in positiven Ladungen und enden in negativen
Ladungen (oder im Unendlichen)(Graphik (a), (b)). Die Dichte
von Feldlinien ist ein Mass für die Feldstärke (Graphik (c)).
Superpositionsprinzip Kräfte aufgrund verschiedener Ladungen addieren sich vektoriell. Dies gilt auch bei homogenen
Ladungsverteilungen (Graphik (d)).
Ladungsdichte kann (unter Vernachlässigung der Quantelung) in mehreren Dimensionen definiert sein:
• dreidimensional als Raumladungsdichte: ρ = dq/dV ;
• zweidimensional als Flächenladungsdichte: σ = dq/dA;
• eindimensional als Linienladungsdichte: λ = dq/dl.
Zusammenfassung 3
Der elektrische Fluss durch eine Fläche A ist definiert als
Z
Z
~ · dA
~=
Φel. =
E
En dA
A
A
~ der Normalenvektor zur Fläche ist.
wobei En die Normalkomponente des Feldes ist und A
Der Gauss’sche Satz verknüpft den el. Fluss, der durch eine geschlossene Fläche tritt,
mit der darin eingeschlossen Gesamtladung:
I
I
Qinnen
~ · dA
~=
Φel. =
E
En dA =
0
A
A
Homogen geladene Kugel: Eine homogen geladene Kugel mit Radius r0 trage die Gesamtladung Q, die Ladungsdichte ist ρ = Q/VK mit dem Kugelvolumen VK = 34 πr03 . Die
Anwendung des Gausschen Satzes im Innenraum (r < r0 ) ergibt eine mit dem Radius
r kubisch wachsende eingeschlossene Ladung; im Aussenraum ist das Feld wie das einer
Punktladung Q:
• Einnen =
1 Q
r,
4π0 r03
r < r0
• Eaussen =
1 Q
,
4π0 r2
r > r0
Das elektrische Potenzial ist definiert als die Änderung der potenziellen elektrischen
Energie normiert auf die Ladungsmenge bei einer Verschiebung um ein Wegstück d~r im
~
Feld E:
dWel.
~ · d~r
= −E
dφel. =
q
Das Potenzial (die Potenzialdifferenz ) zwischen zwei Punkten a, b ist entsprechend
∆φel.
∆Wel.
= φb − φa =
=−
q
Das Potenzial einer Punktladung ist
φ=
1 q
4π0 r
Z
a
b
~ · d~r
E
Zusammenfassung 4
Das Potenzial eines Elektrons im Wasserstoffatom auf der “Umlaufbahn” mit Radius
r0 = 0.529·10−10 m ist φ = 1/(4π0 )·e/r0 = 27.2 V. Der Virialsatz fordert jedoch Gleichheit
von kinetischer und potenzieller Energie; die Ionisationsenergie ist also 12 · 27.2 eV = 13.6
eV.
Die Bindungsenergie schwerer Kernbruchstücke nach einer Spaltung eines Kerns mit
Radius R kann ebenfalls sinnvoll aus dem Coulombpotenzial abgeschätzt werden:
∆Esp. = 1/(4π0 )(q1 q2 /R)
Typische Werte sind 200 MeV/c2 .
Atomkerne sind leichter als die Summe der
Massen ihrer Z Protonen und N Neutronen.
Die Bindungsenergie pro Nukleon ist
EB = ∆m · c2 mit dem Massendefekt
∆m = (M − Zmp − N mn )/(A),
wobei M die tatsächliche Kernmasse und
A = Z + N die Massenzahl ist (Abb.).
E. Rutherford streute u.a. α-Teilchen an
Goldfolien. Die Streurate als Funktion des Winkels liess sich durch die Ablenkung im
Coulombpotenzial eines kleinen massiven Kerns beschreiben: Entdeckung der Atomkerne!
Die Streurate bei festem Winkel als Funktion der Energie folgte nur bis zu einer gewissen
Maximalenergie seiner Rutherford-Formel : bei dieser Energie berührte das Alphateilchen
dann den Kern; der zugehörige Radius ergibt sich aus dem Coulombpotenzial zu einigen
Femtometern!
Teilchenbeschleunigung im elektrischen Feld bei einer Spannung U gibt einem Teilchen
der Ladung q die Energie E = qU . Bei Geschwindigkeiten <<Lichtgeschwindigkeit kann
man dies gleich der kinetischen Energie 21 mv 2 setzen und daraus v berechnen.
Das Potenzial eines Punktladungssystems ergibt sich aus der Addition der Potenziale
der Einzelladungen (Superpositionsprinzip!).
Ein Dipol ist eine Anordnung von zwei entgegengesetzten Ladungen ±q im Abstand a.
In grossem Abstand x >> a vom Dipol ist das Potenzial auf der Dipolachse gegeben durch
1/(4π0 )D/x2 wobei das Diplomoment D = 2qa ist.
Potenzial und Feld: Das elektrische Feld ist der negative Gradient des Potenzials:
~ = −gradφ = −∇φ = −(x̂ ∂ + ŷ ∂ + ẑ ∂ +)φ
E
∂x
∂y
∂z
Zusammenfassung 5
Potenzialberechnungen Das Potenzial auf der Achse einer Ringladung mit Radius R,
die die Gesamtladung Q trägt, ist
φ(x) =
1
Q
2
4π0 (x + R2 )1/2
Auf der Achse einer geladenen Scheibe ergibt sich
φ(x) =
Q 2
(x + R2 )1/2 − x
2
2π0 R
Äquipotenzialflächen sind Flächen mit konstantem Wert für das Potenzial, φ = const.
Abbildungen zu Potenzial und E-Feld siehe Gerthsen/Physik.
Die Kapazität C eines Objektes gibt an, mit welcher Ladung Q es bei einer Spannung
U geladen werden kann:
Q = C · U ; die Einheit der Kapazität ist das Farad (F); 1 F = 1 Coulomb pro Volt.
Es ergibt sich für die Kapazität
• einer leitenden Kugel mit Radius R: CKugel = 4π0 R
• eines Plattenkondensators mit Plattenfläche A, die den Abstand d haben:
CKond. = 0 · A/d
Die Schaltung von Kondensatoren kann parallel oder seriell erfolgen. Die jeweilige
Gesamtkapazität berechnet sich aus den Einzelkapazitäten C1 und C2 wie folgt:
• in Parallelschaltung liegt an den Elementen die gleiche Spannung, die Ladungen
addieren sich und es gilt Cges = C1 + C2
• in Serienschaltung addieren sich die Spannungen und die Ladung ist jeweils gleich:
1/Cges = 1/C1 + 1/C2
Die Energie im Kondensator ergibt sich aus der Integration der mechanischen Arbeit,
wenn man die Platten trennt:
WKond. = 12 C U 2 = Q2 /(2C)
Die Energiedichte des elektrischen Feldes kann man mit Hilfe des Plattenkondensators
herleiten, indem die darin gespeicherte Energie (s.o.) durch das Volumen dividiert wird.
Das Resultat ist aber unabhängig von diesem speziellen Fall allgemein gültig:
wE = 12 0 E 2
Zusammenfassung 6
Dielektrika sind nichtleitende Stoffe, die in elektrische Felder eingebracht werden. Das
elektrische Feld wird im Dielektrikum geschwächt und die Kapazität um um den Faktor
rel erhöht. Für die Kapazität des Plattenkondensators gilt
CDiel. = rel · CV ak. = 0 rel. · A/d
Oft wird der Faktor 0 rel. einfach zu zusammen gefasst.
In der mikroskopischen Deutung bewirkt das Feld im Dielektrikum eine Polarisation
der (vorhandenen und/oder induzierten) molekularen Dipole. Diese richten sich aus und
erzeugen ein dem äusseren Feld entgegengesetztes Feld. Das elektrische Feld im Innern ist
daher E = E0 /rel. = E0 − P/rel. . Die Grosse P wird als Polarisation bezeichnet und ist
~ D.
mit der Suszeptibilität χ verknüpft: P~ = 0 χ E
Typische Werte für die relative Dielektrizitätszahl sind:
Luft: 1.000576
Glas: 5-10
Wasser: 81
Gleichstrom Elektrischer Strom ist definiert als die Ladungsmenge dQ, die in der Zeit dt
durch eine Fläche tritt: I = dQ/dt = Q̇. Die Einheit des Stroms ist das Ampere (A): 1 A
= 1 C/s. Als Konvention gilt, dass die technische Stromrichtung die Bewegung positiver
Ladungsträger beschreibt. Für Gleichstrom gilt I = const. bzw. I˙ = 0.
Tritt der Strom I durch die Fläche A, so herrscht eine (mittlere) Stromdichte j = I/A.
Ein mikroskopisches Bild des Ladungstransports in Leitern geht davon aus, dass die
Ladungsträger (Elektronen) quasi frei beweglich sind; im Mittel trägt etwa ein (1) Elektron
pro Atom zur Leitfähigkeit bei. Der thermischen, ungeordneten Bewegung der Elektronen
ist eine gerichtete allgemeine Driftbewegung mit der Geschwindigkeit ~v überlagert, die
~ bzw. der Spannung herrührt. Die mittlere Driftvom angelegten elektrischen Feld E
geschwindigkeit lässt sich dann mit Hilfe der mittleren Zeit τ zwischen Stössen von Elektronen am Gitter bzww. Gitterfehlern durch < vD >= qE/m · τ ausdrücken. Sei n die
~ · ~v ist der Strom durch
Ladungsträgeranzahldichte, dann ist ~j = nq~v = ρe~v und I = nq A
die Fläche A.
~ worin σe = nq 2 τ /m die
Daraus folgt das differentielle Ohm’sche Gesetz ~j = σe E,
Leitfähigkeit ist. Der makroskopische Widerstand eines Leiters der Länge L mit dem
Querschnitt A ist dann R = L/(σe A). Es gilt das Ohm’sche Gesetz
U
U
U = RI
R=
R
I
Die Einheit des elektrischen Widerstands ist das Ohm (Ω): 1 Ω = 1 Volt/Ampere.
Der lineare Zusammenhang zwischen Strom und Spannung muss nicht für alle Materialien gelten, es gibt ‘nicht-ohmsche’ Leiter.
Entlang ohm’scher Leiter tritt ein Potenzialgefälle auf, das z.B. bei der Wheatstone’schen
Brücke zum Vergleich von Widerständen benutzt wird.
I=
Zusammenfassung 7
Elektrischer Widerstand kann teilweise dramatisch von der Temperatur abhängen; Anwendungsbeispiel: Auslese von Kristalldetektoren für Dunkle Materie bei tiefen Temperaturen. Als Leitwert G wird der inverse Widerstand bezeichnet. Reale Strom- oder Spannungsquellen können als ideale Quelle mit einem Innenwiderstand betrachtet werden.
Die Kirchhoff’schen Regeln sind anwendungsbezogene Formulierungen der Ladungserhaltung und Energieerhaltung. Es gilt die Knotenregel: die Summe der Ströme in einem
Leitungsknoten ist gleich Null (die Ladung häuft sich nirgends an). DieMaschenregel,
dass die Summe der Spannungen in einer Masche gleich Null ist (Energieerhaltung).
Schaltungen von Widerständen kommen in zwei fundamentalen Ausprägungen vor:
• Serienschaltung: durch zwei Widerstände R1 und R2 in Serie fliesst der gleiche
Strom I, die Spannungen U1 und U2 addieren sich zur Gesamtspannung U . Das
Ohm’sche Gesetz liefert sofort Rges = U/I = (U1 + U2 )/I = U1 /I + U2 /I = R1 + R2 ;
Widerstände in Serie addieren sich.
• Parallelschaltung: an zwei parallel geschalteten Widerständen R1 und R2 liegt die
gleiche Spannung U an, der Gesamtstrom I teilt sich proportional zu den Leitwerten
auf: I = I1 +I2 . Wieder liefert das Ohm’sche Gesetz I = U1 /R1 +U2 /R2 = U ·(1/R1 +
1/R2 ), d.h. 1/R = 1/R1 + 1/R2 ; die Leitwerte addieren sich zum Gesamtleitwert.
Komplexe Widerstandsnetzwerke werden zur Berechnung in elementare Serien- und
Parallelschaltungen zerlegt.
Messgeräte für Spannung und Strom sollen die Messung möglichst nicht verfälschen.
Ihr Messbereich wird ggfs. durch Vorwiderstände angepasst. Voltmeter sind hochohmig,
damit möglichst wenig Strom durch sie fliesst. Amperemeter sind niederohmig, damit sie
keinen zusätzlichen Spannungsabfall verursachen.
Energie und Leistung von Strömen Elektrische Energie kann in realen Leitern und/oder
Verbrauchern in Wärme, chemische Arbeit oder in mechanische Arbeit umgesetzt werden.
Leistung ist die pro Zeiteinheit umgesetzte Energie: P = dW/dt. Mit W = QU und
U = const. folgt für die elektrische Leistung eines Stroms P = U · I (Joule’sches Gesetz).
Mit Hilfe der Formeln für Stromdichte und Leitfähigkeit erhält man die Leistungsdichte
~ = σ · E 2 = j 2 /σ.
p = ~j · E
Kondensatorentladung Eine Kapazität C werde über einen Widerstand R entladen.
Ladung, Spannung und Strom folgen Exponentialgesetzen: Q(t) = Q0 · exp(−t/(RC))
etc.. Das Produkt τ = RC wird auch als Zeitkonstante des RC-Kreises bezeichnet.
Zusammenfassung 8
Stromtransport in Leitern wird durch die Drfitgeschwindigkeit beschrieben, die sich
aus einem einfachen Modell ableiten lässt. Die Ladungsträgerdichte ist n = N/V =
NA /(mmol /ρ), womit sich die Stromdichte ausdrücken lässt als j = I/A = −nevD ; es
folgt vD = I/(Ane), wobei A der Leiterquerschnitt ist. Es zeigt sich, dass die Driftgeschwindigkeiten von Elektronen in typischen Metalldrähten sehr klein sind (einige Meter
pro Stunde).
Magnetfelder zeigen sich durch eine Kraftwirkung auf bewegte Ladungen. Es handelt
sich um eine zweiwertige Eigenschaft, die als Nordpol und Südpol bezeichnet wird. Gleichnamige Pole ziehen sich an, ungleichnamige stossen sich ab; Pole treten immer als N-S-Paar
auf, magnetische Monopole wurden bisher nicht beobachtet. Die mikroskopische Erklärung
für magnetische Materialien sind ausgerichtete Kreisströme. Magnetische Feldlinien sind
stets geschlossen, sie haben die Richtung von N nach S.
Magnetfeld-Erzeugung durch Ströme Demonstrationsversuch und Strommessung mit
mechanischen Mitteln: zwei Leiter von 1 m Länge, die sich in 1 m Abstand befinden und
durch die eine Strom von je 1 Ampere fliesst, üben eine Kraft von 2·10−7 N aufeinander aus.
Es gilt die Rechte-Hand-Regel: Daumen in (technische) Stromrichtung halten und mit den
Fingern den Leiter ‘umschliessen’; die Finger zeigen dann in Richtung der Magnetfeldlinien.
Analoges Vorgehen auch bei Leiterschleifen und Spulen!
Lorentzkraft ist die von Magnetfeldern auf Ladungen ausgeübte Kraft:
~
~
F~L = I · ~s × B
bzw. F~L = q · ~v × B
wobei die erste Form für ein Stromelement in ~s-Richtung und die zweite Form für eine
einzelne Ladung q gilt. Die Lorentzkraft steht senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor
und senkrecht zum Magnetfeld, woraus sich bei freier Bewegung eine Kreisbahn ergibt.
Magnetfelder können also den Impuls über die Richtung ändern, aber nicht die kinetische
Energie. Der Radius der Kreisbahn ergibt sich aus dem Gleichgewicht von Lorentzkraft
und Zentripetalkraft zu r = mv/(qB), d.h. die Bahnradien bestimmen sich aus dem Impuls
der Teilchen: p = qBr.
Anwendungen
Zyklotron: Kreisbeschleuniger, bei dem ein elektrisches Wechselfeld Teilchen in einem
Magnetfeld auf immer höhere Impulse (und Bahnradien) bringt.
Teilchenoptik: magnetische Dipole, Quadrupole etc. lenken geladen Teilchen ähnlich
wie Linsen ab.
Geschwindigkeitsfilter lassen sich durch senkrecht zueinander stehende E- und B-Felder
erreichen. Massenspektrometer lassen sich realisieren, wenn der geschwindigkeitsgefilterte
Teilchenstrahl in einem weiteren B-Feld entsprechend der Masse auf verschiedene Radien
gebracht und dann z.B. auf einem Film nachgewiesen wird.
Zusammenfassung 9
Geschwindigkeitsfilter Teilchen mit der Geschwindigkeit v = −E/B gehen gerade durch
senkrecht zueinander stehende E- und B-Felder hindurch; Masse und Ladung spielen keine
Rolle.
Massenspektrometer Geladene Teilchen werden durch eine Spannung U beschleunigt:
qU = 21 mv 2 und nach einem Geschwindigkeitsfilter durch ein homogenes Magnetfeld B
auf eine Kreisbahn miit dem Radius r = mv/(qB) gelenkt. Es ergibt sich die Relation
m/q = B 2 r2 /(2U ). Mit ‘normalen’ Werten von einigen kV als Beschleunigungsspannung,
B ≈ 0.1 T ergeben sich Bahnradien von 0.5 m, so dass man z.B. Nickel-Isotope 58 Ni+ und
60
Ni+ mit 16 mm Versatz nach einem halben Umlauf problemlos trennen kann.
Hall-Effekt nennt man die Querspannung, die in einem stromdurchflossenen Leiterplättchen
der Dicke d in einem Magnetfeld auftritt:
UH = I · B/(nqd)
wobei der Faktor 1/(nq) als ‘Hall-Konstante’ des Materials bezeichnet wird. Hohe Hallspannungen (mehr als µV) lassen sich durch sehr dünne Plättchen oder Halbleiter mit höheren
Driftgeschwindigkeiten erzielen.
Magnetfeldkonfigurationen wurden in Demonstrationsversuchen gezeigt.
Das Magnetfeld einer Punktladung berechnet sich zu
~ = µ0 · q~v × r̂
B
4π
r2
~ eines Stromelements I · ~s am Ort ~r
Das Gesetz von Biot-Savart gibt den Beitrag dB
an, wobei der Ortsvektor vom Stromelement zum Aufpunkt zeigt:
~ =
dB
µ0 I d~s × r̂
·
4π
r2
Magnetfeldberechnungen
• Gerader Leiter im Abstand r: B = µ0 I/(2πr)
• Auf der Achse einer Leiterschleife mit Radius R im Abstand x von der Mitte der
Schleife: B = µ0 IR2 /(2(R2 + x2 )3/2 )
• Auf der Achse einer Spule mit n Windungen auf der Länge ` ist im Zentrum Bx =
µ0 nI/`. An den Enden ist das Feld auf die Hälfte gesunken.
Zusammenfassung 10
Helmholtz-Spulen sind Leiterschleifen mit Radius R, die im Abstand d = R angebracht
werden. Im Innenbereich (±d/2)ergibt sich ein sehr homogenes Magnetfeld von ungefähr
B = µ0 I/((5/4)3/2 R).
Der Gauss’Sche
Satz für Magnetfelder lautet
H
~
~=0
Φmag = A BdA
weil Magnetfeldlinien geschlossene Schleifen bilden.
Das Ampere’sche Gesetz eignet sich zur Berechnung des Magnetfelds einfacher symmetrischer Stromkonfigurationen (es entspricht insoweit em Gauss’schen Gesetz für die
Berechnung elektrischer Felder aus der Ladungsverteilung). Sei C eine beliebige geschlossene
Kurve,
H die einen
H Strom IC umschliesst; d~s ist ein Linienelement auf C. Dann gilt
~
Bd~s = C Bt ds = µ0 IC
C
In Worten: das Linienintegral über die Tangentialkomponente des Magnetfeldes entlang
einer Kurve C ist gleich dem gesamten Strom, der von C umschlossen wird, multipliziert
mit µ0 .
~ auf C konstant
Diese Beziehung ist dann vorteilhaft und einfach anzuwenden, wenn B
ist.
Anwendung auf eine toroidale Spule: Im Innenraum des Torus ist BT orus = µ0 N I/(2πr),
im Aussenraum verschwindet das Magnetfeld.
Curiepunkt: Ein Permanentmagnet verliert seinen Magnetismus, wenn er über die CurieTemperatur erhitzt wird. Für Eisen ist dies 1043 Kelvin. Die mikroskopische Deutung führt
auf folgendes BIld von Permanentmagnetismus: atomare Kreisströme heben sich im Mittel
im Innern des Materials auf, aber an der Oberfläche bleibt ein sogenannter Ampere’scher
Kreisstrom, der zu einem Magnetfeld führt. Die permanente Ausrichtung kann auch durch
ein externes Magnetfeld erreicht werden (Ferromagnetismus). DIe Ausrichtung kann sich
mikroskopisch lokal auf kleine Bereiche (Domänen) erstrecken, die bei unmagnetischem
Material global ungeordnet sind und sich unter einem externen Feld global ausrichten.
Der Barkhausen-Effekt macht das Umklappen der magntischen Domänen akustisch
hörbar.
Zusammenfassung 11
Arten von Magnetismus Es werden unterschieden:
• Ferromagnetismus: Eine Luftspule mit n Windungen auf der Länge L erzeugt mit
dem Strom I ein Magnetfeld B0 = µ0 nI/L, wogegen eine mit Eisen gefüllte Spule ein
um die Magnetisierung erhöhtes Feld B = B0 + BM zeigt. Es kann auch mit HIlfe
der relativen magnetischen Permeabilität µr beschrieben werden: B = µnI/L mit
µ = µ0 · µrel . Für Ferromagneten ist µrel >> 1. Die magnetische Suszeptibilität ist
definiert als χm = µrel − 1.
• Paramagnetismus: Die Moleküle tragen ein permanentes magn. Dipolmoment, das
sich nicht (permanent) ausrichten lässt. In der Folge ist µrel,para > µ0 und χm,para > 0.
Beispiel: χm (Aluminium) = 2.3 · 10−5 .
• Diamagnetismus: Das äussere B-Feld erzeugt ein entgegengesetztes inneres Dipolmoment, welches das äussere Feld schwächt. In der Folge ist µrel,dia < µ0 und χm,dia > 0.
Beispiel: χm (Blei) = −1.7 · 10−5 .
Hysterese ist der nichtlineare Zusammenhang zwischen der magnetischen Induktion durch
ein äusseres Feld (z.B. durch den Strom in einer Spule) und dem Magnetfeld z.B. in einem
Eisenkern. Die Fläche unter der Hysteresekurve ist ein Mass für den Energieaufwand zum
Umklappen/Ausrichten der magnetischen Domänen im Material.
Der Magnetische
Fluss durch ein Fläche A ist definiert durch
R
~
~
Φ = A B × A = B⊥ · A = BAcos(θ)
wobei die zweite und dritte Formulierung ein über A konstantes Feld annimmt. Die Einheit
des magnetischen Flusses ist das Weber (Wb):
1 Wb = 1 Tm2
Faraday’sches Induktionsgesetz: Es wird eine Spannung induziert, wenn sich die Konfiguration von Leiterschleifen und B-Feld geeignet ändert. Die entscheidende Grösse ist die
Änderungsrate von Φ:
dΦ
Uind = −
dt
Das Induktionsgesetz wurde in mehreren Demonstrationsversuchen erläutert.
Die Lenz’sche Regel präzisiert das Induktionsgesetz. Eine allgemeine Formulierung
lautet “Die von einer Zustandsänderung verursachte Induktionsspannung ist stets so gerichtet,
dass sie ihrer Ursache entgegen zu worken sucht.” Eine speziellere Formulierung besagt:
“Ändert sich der magnetische Fluss durch eine Fläche, so wird ein Strom induziert, der
seinerseits ein Magnetfeld und damit einen magnetischen Fluss durch dieselbe Fläche hervor ruft, der seiner Ursache entgegen gerichtet ist.”
Beide Formulierungen sind Spezialfälle der Energieerhaltung.
Zusammenfassung 12
Induktion durch Bewegung Eine Leiterschleife
werde durch einen Leiter mit dem ohm’schen Widerstand R und einer leitenden beweglichen Schiene
gebildet.
Ein Magnetfeld B stehe senkrecht zur
Schleifenebene, siehe Abbildung. Sowohl mit Hilfe der
Lorentzkraft als auch mit dem Induktionsgesetz kann
man zeigen, dass die Leistung P aufgebracht werden
muss, um die Schiene mit der Geschwindigkeit V zu
bewegen:
P = I 2 R = B 2 s2 v 2 /R
wobei U die induzierte Spannung ist.
Wirbelströme entstehen in leitendem Material durch
Induktion auf atomarem Niveau.
Wegen der
Lenz’schen Regel wirken sie der äusseren Kraft entgegen (Wirbelstrombreme, Waltenhofen’sches Pendel).
Sie sind z.B. in Transformatoren unerwünscht, weswegen dort segmentierte Leiter zum Einsatz kommen.
Induktivität L bezeichnet die Eigenschaft einer Spule (oder anderer Objekte), einen magnetischen Fluss aus einem Strom I zu erzeugen:
Φ=L·I
Der gleiche Zusammenhang besteht auch zwischen Stromänderung und induzierter Spannung:
Uind = −(dΦ/dt) = −L · I˙
Reale Spulen besitzen ausser ihrer Induktivität stets auch einen ohm’schen Widerstand.
Energie des Magnetfelds Die Herleitung kann mit Hilfe der Entladung eines Kondensators über einen Widerstand und eine Spule erfolgen. Es zeigt sich, dass die Energie im
Magnetfeld einer Spule mit Induktivität L gleich Emag = 21 LI 2 ist, wenn der Strom I fliesst.
Aus dem Volumen der Spule folgt die Energiedichte des Magnetfelds zu wmag = B 2 /(2µ0 );
diese Gleichung gilt auch für beliebige Magnetfelder.
RL-Stromkreis: Der Einschaltvorgang (Anlegen der Spannung U0 zur Zeit t = 0 an die
Serienschaltung von Widerstand R und Spule L führt zu einem Stromverlauf
I(t) = (U0 /R) · (1 − exp(−(R/L)t)) = I0 · (1 − e−t/τ )
mit τ = R/L als Zeitkonstante des RL-Kreises.
Zusammenfassung 13
Supraleitung Manche Materialien verlieren ihren elektrischen Widerstand schlagartig
und vollständig, wenn eine kritische Temperatur unterschritten wird. In normalleitendem
Zustand kann das Material von Magnetfeldern durchdrungen werden. In supraleitendem
Zustand wird das äussere Magnetfeld verdrängt, womit z.B. Supraleiter zum Schweben
gebracht werden können (Demonstrationsversuch).
Der restliche Inhalt von v13 wurde wegen einer Terminüberschneidung bei zahlreichen
Studierenden in v14 wiederholt.
Zusammenfassung 14
Erzeugung von Wechselstrom Gleichmässige Rotation (konstante Winkelgeschwindigkeit
ω) einer Leiterschleife induziert eine sinusförmige Spannung.
Effektivwerte Strom oder Spannung können auf verschiedene Arten gemittelt werden:
• einfacher Mittelwert: hU i =
RT
0
U (t)dt
RT
0 dt
=0
• Gleichrichtwert:
erst alles auf die positive Seite ”umpolen”, dann wird gemittelt:
R
Ū =
T
0 |U (t)|dt
RT
0 dt
=0
für U (t) = U0 sin(ωt) folgt dann Ū = π2 U0 ≈ 0.64 · U0
• Effektivwert: es wird so gemittelt, dass die gleiche Leistung wie bei einem Gleichstrom anfällt,
RT
√
[U (t)]2 dt
2
Uef f = 0 R T dt ; für U (t) = U0 sin(ωt) folgt dann Uef f = U0 / 2
0
Wechselstromwiderstände und Frequenzverhalten:
• (ohmscher) Wirkwiderstand XR = R = UR /IR = U/I;
Strom und Spannung sind in Phase. Alle Frequenzen werden gleichmässig übertragen.
1
;
• kapazitiver Blindwiderstand XC = UC /IC = ωC
der Strom eilt der Spannung um 90◦ voraus. Kondensatoren blockieren Gleichstrom
und lassen hohe Frequenzen besser durch als niedrige.
• induktiver Blindwiderstand: XL = UL /IL = ωL;
die Spannung eilt dem Strom um 90◦ voraus. Spulen haben keinen Gleichstromwiderstand und lassen niedrige Frequenzen besser durch als hohe.
Zeigerdiagramm Ströme oder Spannungen werden als zeitabhängige komplexe Zahlen
behandelt und wie Vektoren in der komplexen Ebene addiert.
Schaltung von Wechselstromwiderständen Der Quotient aus Gesamtspannung
und
q
1 2
.
Gesamtstrom heisst Scheinwiderstand oder Impedanz: Z = Uges /Iges = R2 + ωL − ωC
q
1 2
• Reihenschaltung: überall der gleiche Strom und U = I R2 + ωL − ωC
q
1 2
• Parallelschaltung: überall die gleiche Spannung und I = U R12 + ωC − ωL
Resonanz Minimierung der Blindwiderstände sowohl in Reihen- als auch in Parallelschaltung führt auf die Resonanzbedingung ω 2 LC = 1.
Zusammenfassung 15
Leistungsberechnungen in Wechselstromkreisen erfordern die Berücksichtigung der
Phasen von Strom und Spannung:
• Die mittlere Wirkleistung für ideale Spulen und Kondensatoren ist Null. In der realen
Welt sind Strom und Spannung um einen Winkel φ verschoben;
• Der ”Leistungsfaktor” λ = cos(φ) =
P
UI
ist oft auf elektrischen Geräten angegeben.
• Der Wirkstrom ist Iw = I · cos(φ); die Wirkleistung P = U Icos(φ) = U Iλ
• Der Blindstrom ist Ib = I · sin(φ); die Blindleistung Q = U Isin(φ);
• Die Scheinleistung ist S = U I.
Blindströme verrichten keine Arbeit im Verbraucher, belasten die Netze und verursachen
Verluste in Zuleitungen. Sie können durch Leistungsanpassung vermieden werden, indem
eine induktive Last mit der Blindleistung QL durch eine parallel geschaltete Kapazität
mit der Blindleistung QC kompensiert, d.h. der Kondensator muss die Kapazität C =
QL /(U 2 ω) haben.
Schwingkreise In einem einfachen RC-Kreis entlädt sich der
Kondensator exponentiell über den Widerstand, es kann keine
Schwingung statt finden. In einem idealen LC-Kreis flutet die
gespeicherte Energie zwischen Spule und Kondensator hin und
her. In einem RLC-Kreis kommt es zu gedämpften Schwingungen, die wir hier als Ladung
q(t) betrachten:
P
• Die Maschenregel fordert
Ui = 0; i = R, L, C
• Die Teilspannungen sind UR = RI = Rq̇ am Widerstand, UC = q/C am Kondensator
und UL = LI˙ = Lq̈ an der Spule;
• Die Dgl. lautet Rq̇ + q/C + Lq̈ = 0; Ansatz: q(t) = q0 · eiω̃t ;
R
t) ·
• Für unsere Anfangsbedingung q(t = 0) = q0 ist die Lösung q(t) = q0 · exp(− 2L
cos(ωt). Man kann exponentielle, kritische und überkritische Dämpfung je nach
relativer Grösse von 1/LC und R2 /4L2 unterscheiden.
q
1
R2
Dabei ist ω =
− 4L
2 die Resonanzfrequenz des gedämpften Schwingkreises, die
LC
p
für R → 0 in die eines ungedämpften Systems ω0 = 1/(LC) übergeht.
Erzwungene Schwingungen stellen sich ein, wenn z.B. der Schalter durch einen ext.
Generator ersetzt wird (UG (t) = UG0 cos(ωt)). Dieser Term muss zur Dgl. auf der rechten
Seite addiert werden und führt zu Lösungen I = Imax cos(ωt − δ). Stromresonanz tritt auf,
wenn Imax = UG0 /Z maximal wird (Z siehe z14.pdf). Die Phase ist tanδ = (XL − XC )/R.
Zusammenfassung 16
Der Gütefaktor Qel. ist die Zeitkonstante für die Energieabnahme im Schwingkreis,
R
Qel. = 2π · E/(∆E)1 P eriode . Da die Ladung q wie exp(− 2L
t) gedämpft wird und Eel. ∝ q 2
ist, folgt Qel. = ω0 · L/R
Vergleich von mechanischen und elektrischen Schwingungen Das mechanische Analogon eines RLC-Kreises ist z.B. ein mit der Federkonstante D elastisch aufgehängter Körper
der Masse m, der in einem Medium gedämpfte periodische Bewegungen ausführt, wobei
die Reibungskraft Fr = ρv proportional zur Geschwindigkeit v sei (es gibt auch andere
Abhängigkeiten, z.B. Fr = ρv 2 bei turbulenter Strömung).
Elektromagn. Schwingungen
Lq̈ + q/C + Rq̇ = 0
L, C, R
q, I, U
Mechan. Schwingungen
mÿ + Dy + ρẏ = 0
m, D, ρ
y, v = ẏ, a = ÿ
Der Maxwell’sche Verschiebungsstrom Das Ampere’sche Gesetz verknüpft das Integral
~ · d~l über eine geschlossene Kurve C mit dem gesamten Strom I, der durch die von C
von B
umschlossene Fläche tritt. Die Gleichung kann offenbar Kondensatoren und andere nichtstationäre Ströme nicht beschreiben und muss um einen “Verschiebungsstrom” Iv erweitert
werden, der die Änderung des elektrischen Flusses durch die von C umschlossene Fläche
darstellt:
dΦel
Iv = 0
dt
Das verallgemeinerte Ampere’sche Gesetz lautet dann
I
~ · d~` = µ0 (I + Iv ) = µ0 I + µ0 0 dΦel
B
dt
C
Für Stromdichte und Ladungsdichte gilt eine Kontinuitätsgleichung:
∂ρ
div~j = −
∂t
Die Maxwell-Gleichungen lauten
I
~ · dA
~ = Q/0
Gauss für E-Felder:
E
AI
~ · dA
~=0
Gauss für B-Felder:
B
~ = ρ/0
div E
~ =0
div B
A
I
~ · d~` = − d
E
dt
C
Faraday’:
I
Ampere:
Z
~ · dA
~
B
A
~ · d~` = µ0 I + µ0 0 d
B
dt
C
~ =−
rotE
~
∂B
∂t
~
~ · dA
~ rotB
~ = µ0~j + µ0 0 ∂ E
E
∂t
A
Z
Zusammenfassung 17
Physikalische Bedeutung der Maxwell-Gleichungen:
1. Die Quellen des elektrischen Feldes sind Ladungen (Verallgemeinerung des Coulomb’schen
Gesetzes); elektrische Feldlinien beginnen und enden in Ladungen (oder im Unendlichen).
~
2. Es gibt keine magnetischen Ladungen; B-Linien
sind in sich gecshlossen.
3. Ein elektrisches Feld wird durch ein zeitlich veränderliches Magnetfeld erzeugt.
4. Ein Magnetfeld wird einen elektrischen Strom und/oder durch ein zeitlich veränder~
liches E-Feld
erzeugt.
Die wechselseitige Erzeugung von elektrischen und magnetischen Felder geschieht
auch ausserhalb von Leitern: es entstehen elektromagnetische Wellen!
Die elektrischen und magnetischen Feldlinien stehen stets senkrecht aufeinander und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung; elektromagnetische Wellen sind Transversalwellen.
Die ursprüngliche zeitliche Form bleibt bei der Ausbreitung erhalten, weil sich Sinusund Kosinus-Funktionen bei fortgesetztem Ableiten selbst reproduzieren. Dies ist auf beliebige Wellenformen (auch Rechtecke und Sägezähne) übertragbar, weil sich alle solche
Verläufe aus einer geeigneten Superposition von trigonometrischen Funktionen zusammensetzen lassen (“Fourier-Methoden”).
Sichtbares Licht stellt einen kleinen Ausschnitt aus dem Spektrum elektromagnetischer
Wellen dar:
Allgemeine Geichung für eine Welle, die sich mit der Amplitude f0 in x-Richtung ausbreitet:
2π
ω
f = f0 · sin(kx − ωt) mit k =
; ω = 2πf ; f · λ = = v.
λ
k
Aus den 3. und 4. Maxwell’schen Gleichungen folgt die Ausbreitungsgeschwindgkeit
√
elektromagnetischer Wellen = Lichtgeschwindigkeit zu v = c = 1/ µ0 0
Zusammenfassung 18
Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
Die Energiedichte einer e.m. Welle ergibt sich aus der Addition und Integration
der
q
0
B2
1
B2
2
2
elektrischen und magnetischen Anteile: wem = 2 0 E + 2µ0 = 0 E = µ0 = µ0 EB
Die Intensität einer e.m. Welle ist definiert als die mittlere Energie, die pro Zeit durch
eine senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehende Fläche fliesst. Der Energietransport folgt
~ = (1/µ0 )(E
~ × B)
~ mit S̄ = (1/2µ0 )E0 B0 .
dem Poynting-Vektor: S
Der Strahlungsdruck berechnet sich aus der Intensität dividiert durch die Lichtgeschwindigkeit, P = I/c.
Technik-Beispiele: Amplitudenmodulation, Frequenzmodulation. . .
Stabantennen sind auf die E-Felder, Leiterschleifen auf die B-Felder empfindlich.
Grundlagen der Schwingungsvorgänge Die Projektion einer gleichmässigen Kreisbewegung ergibt eine harmonische Schwingung y(t) = Asin(ωt + δ).
Der harmonische Oszillator ist durch eine Rückstellkraft gekennzeichnet, die proportional zur Auslenkung ist: F~ = −k~x. Beispiele: Federpendel, Fadenpendel mit kleiner
Auslenkung. Aus dem Newton’schen Gesetz ergibt sich die Differentialgleichung der Bewegung ẍ+(k/m)x = 0, die i. A. durch x = A1 sin(ωt)+A2 cos(ωt) gelöst wird; die Koeffizienp
ten müssen aus Anfangs- und Randbedingungen bestimmt werden. Es gilt ω = k/m.
Die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators ist Etot = 12 kA2 , also proportional
zum Quadrat der Amplitude.
Bei gedämpften Schwingungen wirke eine der Geschwindigkeit proportionale und
entgegengesetzte Kraft FR = −bẋ. Die Dgl. ẍ + (k/m)x + (b/m)ẋ = 0 führt auf drei
Szenarien:
• starke Dämpfung: es findet keine Schwingung statt, sondern sehr langsames Abklingen der anfänglichen Auslenkung, wenn (b/2m) > ω0 .
• aperiodischer Grenzfall: (b/2m) = ω0 führt zum schnellstmöglichen Abklingen ohne
Schwingung.
• schwache Dämpfung ist für (b/2m) < ω0 gegeben und führt zu Schwingungen x(t) =
b
A · e− 2m t · cos(ωt)
b 2
wobei gilt ω 2 = ω02 − ( 2m
) mit ω0 = (k/m)2 aus dem ungedämpften Fall.
Erzwungene Schwingungen werden durch einen weiteren Term Fe = F0 cos(ωt)
beschrieben. Ansatz und Lösung ist x(t) = A · cos(ωt − δ). Die Phase ist durch tanδ =
2
2
(bω)/(m(ω
p0 − ω )) gegeben, d.h. sie geht stets bei ω = ω0 durch 90 Grad. Die Amplitude
2
A = F0 / m (ω02 − ω 2 ) + (b2 ω 2 ) geht bei der Resonanzfrequenz ωr2 = ω02 − (b2 /2m2 ) durch
ein Maximum2 .
Der Grenzübergang von gekoppelten Oszillatoren auf ein homogenes elastisches
Medium führt zu Wellenvorgängen.
2
Beispiel: Tacoma-Brücke, siehe http://www.archive.org/download/Pa2096Tacoma/Pa2096Tacoma edit.mp4)
Zusammenfassung 19
Eine Saite ist ein eindimensionales elastisches Medium, das durch eine Massenbelegung
µ = δm/δx und eine Zugkraft F zur Spannung in x-Richtung gekennzeichnet ist. Newton’sche Dynamik liefert die Wellengleichung für Auslenkungen y senkrecht zur x-Richtung:
ÿ − v 2 y 00 = 0 mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit v 2 = F/µ
Reflexion von Wellen erfolgt mit einem Phasensprung von 90 Grad am ‘festen Ende’,
ohne Phasensprung am ‘losen Ende’. Der Vorgang kann beschrieben werden durch eine
einlaufende Welle y1 (x, t) = A · cos(ωt − kx) und eine reflektierte Welle y2 (x, t) = A0 ·
cos(ωt + kx + π). Mit dem Superpositionsprinzip für Kräfte und Auslenkungen behandelt
man die Überlagerung von einzelnen Wellenpaketen oder langen Wellenzügen. Je nach
Phasenlage ergibt sich eine konstruktive, destruktive oder partielle Interferenz.
Stehende Wellen können als Überlagerung gegenläufiger Wellen mit gleicher Frequenz
entstehen. Wir unterscheiden Fälle je nachdem ob die Enden ‘fest-fest’ (z.B. bei einer
eingespannten Saite der Länge L) oder ‘fest-lose’ sind (z.B. bei einer Orgelpfeife der Länge
L mit einem offenen Ende) sind. Die Wellenlängen der n-ten Schwingungsmode (n = 1 ist
der Grundton) sind λfnf = 2L/n und λfno = 4L/(2n + 1), n = 1, 2, 3, . . .
Schwebungen sind die Überlagerung von Wellen mit fast gleicher Frequenz. Faktorisierung
der orts- und zeitabhängigen Terme ergibt für einen festen Ort
y(t) = A · cos(∆ωt) · cos(ω̄t)
wobei ω̄ = (ω1 + ω2 )/2 die mittlere Frequenz und ∆ω = (ω1 − ω2 )/2 die halbe Frequenzdifferenz sind.
Huygens’sche Elementarwellen: Jeder Punkt einer Welle ist Ausgangspunkt einer neuen
Kugelwelle. Die Wellenfront wird daraus durch Superposition konstruiert.
Die Brechung eines Strahls (senkrecht zu seinen Wellenfronten) beim Übergang von
einem Medium (n1 ) zu einem anderen (n2 ) ergibt für die Winkel zur Flächennormalen:
sin(θ1 )/sin(θ2 ) = λ1 /λ2 . Der Brechungsindex n ist gleich dem Verhältnis der Geschwindigkeiten
oder Wellenlängen im Vakuum zu den Werten im Medium, n = c/cn = λvak /λn .
Beugung kann mit den Huygens’schen Elementarwellen konstruiert werden. Am Doppelspalt entstehen wegen des Wegunterschieds aus den beiden Spalten (Abstand d) die
Maxima unter Winkeln sin(θmax ) = λ/d · n und die Minima unter Winkeln sin(θmin ) =
λ/d · (n − 12 ).
Der Dopplereffekt tritt auf, wenn sich Beobachter und Quelle relativ zueinander mit
der Geschwindigkeit ±u bewegen. Für kleine Geschwindigkeiten im Vergleich zur Ausbreitungsgeschwindigkeit v gilt ∆f /f = ±u/v.
Zusammenfassung 20
Strahlenoptik beschreibt Licht nicht mit Hilfe der Wellen(fronten), sondern als geradlinige Strahlen, die von jedem Punkt eines Objekts ausgehen (und senkrecht auf den
zugehörigen Wellenfronten stehen). Interferenz und Beugung werden meist vernachlässigt.
Das Reflexionsgesetz lautet “Einfallswinkel = Ausfallswinkel” relativ zur Flächennormalen.
Abbildungen durch Reflexion können mit ebenen oder gekrümmten Spiegeln erreicht
werden. Ein sphärischer Spiegel mit Krümmungsradius r fokussiert parallel eintreffendes
Licht näherungsweise in den Brennpunkt, wobei die Brennweite f als Abstand des Brennpunkts von der Spiegelfläche durch f = r/2 gegeben ist. Die ideale Spiegelform ist ein
Parabolspiegel (schwieriger in der Herstellung).
Die Spiegelgleichung oder Newton’sche Abbildungsgleichung setzt die Abstände von Objekt dO und Bild dB zum Spiegel in die Relation 1/dO + 1/dB = 1/f zur Brennweite f .
Das Brechungsgesetz von Snellius ist
schon im Absatz über Brechung in “Zusammenfassung 19” enthalten.
Da die
Wellenlängen umgekehrt proportional zu
den Brechungsindizes sind, gilt n1 sin(θ1 ) =
n2 sin(θ2 . Der Strahl wird beim übergang
vom optisch dünneren Medium in das optisch dichtere Medium zum Lot hin gebrochen; entsprechend umgekehrt beim inversen Verlauf. Man beachte die Notation und
die Definition der Winkel relativ zur Normalen!
Dispersion beschreibt die Wellenlängenabhängigkeit der Brechkraft von optischen Materialien. In der Folge wird weisses Licht (die Überlagerung aller Farben) durch ein Prisma
in seine spektrale Komponenten zerlegt. Dies Phänomen tritt auch in Wassertröpfchen in
der Luft auf: Regenbogen.
Totalreflexion tritt auf, wenn beim Übergang von
einem optisch dichten in ein optisch dünneres Medium
(n2 < n1 ) der Strahl so streifend auf die Grenzfläche trifft, dass der kritische Winkel der Totalreflexion überschritten wird: sin(θ) > sin(θC ) = n2 /n1 , vgl.
Abbildung.
Zusammenfassung 21
Faseroptik ist die Kombination von Totalreflexion in dünnen Lichtleitern kombiniert
mit bildgebenden und/oder signalübertragenden Verfahren. Beispiel: Bildübertragung
durch ein Faserbündel und Auslese eines grossflächigen Szintillationsdetektors aus der Astroteilchenphysik.
Brechung an sphärischen Oberflächen kann mit Hilfe des Snellius’schen Brechungsgesetzes an allen beteiligten Grenzflächen beschrieben werden. Beim übergang vom optisch dünneren Medium mit dem Brechungsindex n1 in das optisch dichte Medium mit
Brechungsindex n2 durch eine sphärische Oberfläche mit dem Krümmungsradius r gilt für
die Entfernungen von Objekt und Bild von der Oberfläche der Zusammenhang n1 /dO +
n2 /dB = (n2 − n1 )/r.
Dünne Linsen sind mit die wichtigsten Elemente der Strahlenoptik. Es wird angenommen, dass der Strahlengang durch nur eine (1) Ablenkung in der Ebene der Linsenmitte
beschreiben werden kann. (Konvexe) Sammellinsen und (konkave) Zerstreuungslinsen
können beliebig kombiniert werden. Die Brechkraft B einer Linse wird durch den Kehrwert
der Brennweite f angegeben und hat die Einheit Dioptrie: B = 1/f ; 1 Dioptrie = 1 m−1 .
Es gilt die Linsengleichung: 1/b+1/g = 1/f , wobei gegenüber oben ein Notationswechsel zu den auch gebräuchlichen Bezeichnungen b und g für Bildweite und Gegenstantdsweite
erfolgt ist. Beachte die Symmetrie gegen Vertauschung von b und g, was physikalisch die
Umkehrbarkeit des Strahlengangs bedeutet.
Die Linsenmachergleichung lautet: 1/f = (n − 1)(1/r1 + 1/r2 ).
Es gilt folgende Vorzeichenkonvention:
• f ist positiv für Sammellinsen und negativ für Zerstreuungslinsen.
• Die Objektweite g ist positiv, wenn sich das Objekt auf derjenigen Seite der Linse
befindet, von der das Licht kommt; sonst negativ.
• Die Bildweite b ist positiv, wenn sich das Bild auf der dem einfallenden Licht gegenüberliegenden Seite befindet; das Bild ist dann real, andernfalls (b < 0) virtuell.
• Die Bildhöhe ist positiv, wenn das Bild aufrecht steht, und negativ, wenn das Bild
relativ zum Objekt invertiert ist. Die Objekthöhe wird immer als positiv genommen.
Abbildungsfehler entstehen dann, wenn die Näherungen in den geometrischen Ableitungen nicht genau genug sind und/oder wenn die Wellenlängenabhängigkeit von Phänomen
berücksichtigt werden muss. Beispiel: sphärische Abberation, chromatische Abberation.
Kamera: optisch wichtige Kenngrössen sind die Öffnung (Angabe der Blendenzahl B =
f /D), Lichtstärke, und Verschlusszeit. Die Stufen zwischen den ‘Blendenwerten’ (1, 1.4,
2, 2.8, etc.) variieren die Lichtmenge jeweils um einen Faktor zwei.
Zusammenfassung 22
Das Auge wiegt ca. 7.5 Gramm. Aus optischer Sicht besteht es aus der Hornhaut
als Eingangsfenster (Brechkraft 43 Dioptrien), der Pupille als Blende (Durchmesser 1.2
- 9 mm), der Linse (19-33 Dioptrien zum Fokussieren), dem Glaskörper, der Netzhaut
(7 Megapixel für Farbe und 120 Mpixel für S/W-Sehen) und dem Sehnerv (1 Million
Leitungen). Die Zeitauflösung für aufeinanderfolgende Bilder ist etwa 30-40 ms. Scharfes
Nahsehen wird genormt für den Nahpunkt N = 25 mm angenommen.
Das Fernrohr dient zur Vergösserung weit entfernter Gegenstände und zur besseren Lichtsammlung. Es besteht in seiner einfachsten Form aus dem Objektiv und dem Okular.
Die Vergösserung V ist durch das Verhältnis der Brennweiten von Objektiv und Okular
gegeben: V = fObj. /fOkul. . Die erste Begrenzung des Auflösungsvermögens ist durch atmosphärische Instabilitäten (‘Flimmern’ etc, seeing) gegeben. Dies kann durch adaptive
Optik und Rückkopplung mit Referenzobjekten und/oder Laserstrahlen verbessert werden.
Das Very Large Telescope VLT der ESO in Chile erreicht mit einem einzelnen Spiegel von
8 m Durchmesser eine Auslösung von 0.050” (1◦ = 600 = 360000 ≈ 15 mrad). Durch Ausnutzung von Interferenz zwischen mehreren Teleskopen (d.h. durch Rekonstruktion der
Phaseninformationen der Wellen) werden 0.004” erreicht.
Das Mikroskop dient zum Betrachten kleiner, naher Gegenstände. Die Vergrösserung
eines einfachen Mikroskops ist näherungsweise gegeben durch V = (N l)/fOkul. /fObj. , wobei
l die Länge ist (Abstand von Objektiv und Okular).
Das Auflösungsvermögen ist ultimativ nicht durch Abbildungsfehler gegeben, die durch
teilweise aufwändige Korrekturmassnahmen ausgeglichen werden können, sondern durch
die Wellennatur des Lichts und die prinzipiell unvermeidlichen Beugungseffekte. Die erreichbare Winkelauflösung ist gegeben durch θ = 1.22 · λ/D, wobei λ die verwendete
Wellenlänge und D der Durchmesser Öffnung sind.
Polarisation: Transversalwellen sind linear in der Ebene des Schwingungsvorganges polarisiert. Die Intensität einer Welle hinter einem Polarisator ist Ipol = I0 · cos2 θ, wobei
θ der Winkel zwischen ursprünglicher Schwingungsrichtung und der Polarisatorachse ist.
Als Polarisatoren kommen bestimmte Kristalle oder Folien mit langen Molekülketten zum
Einsatz. Auch bei Reflexion an transmittierenden Medien (Glas, Wasser) kommt es zur
Polarisation, wenn der Einfallswinkel durch tan(αpol ) = n gegeben ist (Brewster -Winkel).
Hologramm: Durch Beleuchten eines Objekts mit kohärentem Licht und Aufzeichnung
des Interferenzmusters aus reflektiertem und direktem Licht kann eine 3D-Abbildung gespeichert werden. Wird die Aufnahme wieder mit kohärentem Licht beleuchtet, kann man das
3D-Abbild betrachten. Das Hologramm enthält auch die Phaseninformationen der Abbildung, während ein 2D-Bild nur die Intensitäten speichert.