Einführung in die Physik III

Einführung in die Physik III
Vorlesung von Prof. Dr. D. Trautmann
ausgearbeitet von Dr. Andreas Aste
und Dr. Oliver Conradt
Wintersemester 2001/2002
2
Dieses Skript ist als wissenschaftliches Werk geschützt durch das Bundesgesetz über das Urheberrecht und verwandte Schutzrechte (URG) vom 9. Oktober 1992, gemäss Art. 2, 2a des URG. Die gemeinschaftliche Urheberschaft wird geteilt durch die oben genannten Autoren gem. Art. 7, 1 URG.
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
Einleitung
1.1 Inhalt der Vorlesung . . . . . . . .
1.2 Lehrbücher . . . . . . . . . . . .
1.3 Grundlagen der Quantenphysik . .
1.3.1 Beispiele . . . . . . . . .
1.4 Einheiten . . . . . . . . . . . . .
1.5 Fundamentale Wechselwirkungen
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Einführung in die spezielle Relativitätstheorie
2.1 Inertialsysteme und Galilei-Transformation . . . .
2.2 Einsteinsche Postulate und Lorentz-Transformation
2.3 Relativität von Längen und Zeiten . . . . . . . . .
2.4 Relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . .
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Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik
3.1 Hohlraumstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Kirchhoffsches Gesetz . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition des Raumwinkels . . . . . . . . . .
3.1.4 Stefan-Boltzmann-Gesetz . . . . . . . . . . .
3.1.5 Gesetz von Wien . . . . . . . . . . . . . . . .
Wiensches Verschiebungsgesetz . . . . . . . .
3.1.6 Gesetz von Raleigh-Jeans . . . . . . . . . . .
3.1.7 Planck’sches Strahlungsgesetz . . . . . . . . .
3.1.8 Herleitung des Planck’schen Strahlungsgesetzes
3.1.9 Spezifische Wärme von Festkörpern . . . . . .
Definition der Dirac’schen -Funktion . . . . .
3.2 Comptoneffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Atombau und Korrespondenzprinzip . . . . . . . . . .
3.4 Franck-Hertz-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Welleneigenschaften der Materie . . . . . . . . . . . .
3.6 Doppelspaltexperimente . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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43
Theoretische Grundlagen der Quantenphysik
4.1 Wellenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsinterpretation . . . . . . . . . . .
4.2 Zeitabhängige und zeitunabhängige Schrödingergleichung . . . . . . . . . .
4.3 Die relativistische Form der Schrödingergleichung (Klein-Gordon-Gleichung)
4.4 Einführung von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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nach Einstein
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INHALTSVERZEICHNIS
4.4.1
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5
Einige lösbare quantenmechanische Probleme
5.1 Eindimensionale Streuprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Eindimensionale gebundene Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Zentralsymmetrische dreidimensionale Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
Grundlagen des Atombaus
6.1 Magnetisches Moment und Zeemaneffekt . . . .
6.2 Elektronenspin . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Spin-Bahnkopplung und anomaler Zeemaneffekt
6.4 Feinstruktur und Hyperfeinstruktur . . . . . . . .
6.5 Pauliprinzip und Periodensystem . . . . . . . . .
6.6 Röntgenspektren . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Atommodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Exotische Atome . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.8
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7
Der Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . .
Drehimpulsoperatoren . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.1 Fundamentale Vertauschungsrelationen
4.4.2.2 Fundamentale Vertauschungsrelationen
Einige mathematische Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Funktionensysteme . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Erwartungswerte von Operatoren . . . . . . . .
4.5.4 Eigenschaften hermitescher Operatoren . . . . .
Heisenberggleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wahrscheinlichkeitsdichte und Kontinuitätsgleichung . .
Postulate der Quantentheorie . . . . . . . . . . . . . . .
Allgemeine Formulierung der Quantentheorie . . . . . .
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für Ort und Impuls
für den Drehimpuls
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Grundlagenprobleme der Quantenphysik
7.1 Quantenmechanischer Zustand, Kausalität und Determinismus
7.2 Quantenmechanische Interferenzen . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 EPR-Paradoxon und Bell’sche Ungleichung . . . . . . . . . .
7.4 Interpretationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Abbildungsverzeichnis
1.1
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1.3
1.4
Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ablösearbeit beim Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . .
Elektromagnetische Streuung des Projektils p am Target t
Im elektostatischen Feld beschleunigtes Elektron . . .
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2.7
2.8
Freie Bewegung bezüglich zwei verschiedener Inertialsystemen S und S Geschwindigkeitsaddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schematischer Aufbau des Michelson & Morley-Experiments . . . . .
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Längenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Impulserhaltung im System S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relativistische Verallgemeinerung der kinetischen Energie . . . . . . .
Relativistisches Energie-Geschwindigkeits Diagramm . . . . . . . . . .
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3.21
3.22
3.20
3.23
3.24
Hohlraum innerhalb eines Wärmebades . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zur Herleitung des Kirchhoffschen Gesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zur Herleitung der Universalität der spektralen Energiedichte . . . . . . . .
Zur Berechnung des Energieanteils, der aus d nach d abgestrahlt wird. .
Zur Definition des Raumwinkels d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kegel zum Winkel und der Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abstrahlung von dem Oberflächenelement eines schwarzen Körpers . . . .
Impulsdichte pro Zeit und Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Impulsdichte mit Einfallswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Carnot’scher Kreisprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modes zu der totalen Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abstand
zweier Moden im Wellenzahlintervall . . . . . . . . . . . .
Dreidimensionaler Kasten, in welchem sich stehende Wellen ausbreiten. . .
Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quantenmechanische und klassische Oszillatorenergie im Vergleich. . . . .
Energieabstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energie-Niveauschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Absorption und Emission von Photonen durch ein Atom . . . . . . . . . .
Oszillatorgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einstein- und Debeye-Modell für die temperaturabhängige Wärmekapazität
Allgemeines Spektrum für die Eigenschwingungen . . . . . . . . . . . . .
Schwingung in Gegenphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schematischer Aufbau zur Messung des Comptoneffektes . . . . . . . . . .
Streuung eines Photons an einem Elektron . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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42
43
4.1
4.2
„Unerlaubtes“ Verhalten einer Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein (typisches) Energiespektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
4.3
Drehimpuls eines Teilchens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Kapitel 1
Einleitung
1.1 Inhalt der Vorlesung
Die Vorlesung ist eine Einführung in die Quantenphysik auf relativ einfachem mathematischen Niveau.
Im Wesentlichen wird die sogenannte Wellenmechanik, d.h. Lösungen der Schrödingergleichung diskutiert. Damit ist die Vorlesung einerseits die Vorbereitung auf die Quantenmechanik-Kursusvorlesung,
andererseits führt sie in quantenmechanische Überlegungen ein, die in der Festkörperphysik sowie Kernund Teilchenphysik verwendet werden.
Als Anwendungen diskutieren wir einfache Fragestellungen aus der Atomphysik.
Die Vorlesung berücksichtigt vor allem theoretische Aspekte der elementaren Quantenphysik. Die experimentellen Aspekte werden im Rahmen der Physik IV-Vorlesung behandelt.
1.2 Lehrbücher
Es gibt zahlreiche Lehrbücher, die in die Quantenphysik einführen und Anwendungen vorstellen; z.B.:
M. Alonso & E. J. Finn, Fundamental University Physics, Volume III, Quantum and Statistical
Physics. Addison-Wesley
R. Eisberg & R. Resnick, Quantum Physics. John Wiley & Sons
Beide Bücher sind sehr gute Einführungen, enthalten aber auch zahlreiche Anwendungen, die über diese
Vorlesung hinausgehen.
T. Mayer-Kuckuk, Atomphysik. Teubner
(recht gute, „elementare“ Darstellung der Atomphysik)
H. Haken & H. C. Wolf, Atom- und Quantenphysik. Springer
(moderne Darstellung, die viele zusätzliche Details enthält)
G. Otter & R. Honecker, Atomphysik. Teubner
(gute Darstellung der in dieser Vorlesung behandelten Physik)
Weiterhin benutzen wir zahlreiche andere Lehrbücher in Auszügen, z.B.
R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, Volume III. Addison-Wesley
F. Schwabl, Quantenmechanik. Springer
7
1. Kapitel. Einleitung
8
einfallendes Licht
mit Frequenz ν
Vakuumröhre
Metallplatten
eee-
herausgeschlagene Elektronen
mit kinetischer Energie Tkin
einfallendes Licht
mit Frequenz ν
Durch geeignete negative Spannung V
wird die Bewegung der Elektronen
kompensiert und damit die kinetische
Energie Tkin bestimmt.
0
V
Abbildung 1.1: Photoeffekt
1.3 Grundlagen der Quantenphysik
Die Gesetze der Quantenmechanik (QM) beschreiben bisher ohne Ausnahme alle mikroskopischen Phä
nomene über riesige Längen- (
cm bis
cm) und Energieskalen ( eV bis
eV) hinweg. Auch
bei Fragestellungen im makroskopischen Bereich wird sie benötigt, so z.B. zur Erklärung der Stabilität
der Materie, zum Verständnis der Energieerzeugung in Sternen (Sonne) und zur technischen Realisation
von Lasern, Transistoren, Supraleitern und so weiter.
Die QM muss zwingend angewendet werden, wenn die fundamentale Naturkonstante nicht mehr vernachlässigbar ist. Sie wird als Grösse
(1.1)
mit der Dimension einer Wirkung
Impuls Länge
Drehimpuls Winkel
Energie Zeit
Drehimpuls
(Winkel im dimensionslosen Bogenmass gemessen).
eingeführt.
Der Wert der Planck’schen Konstante (auch „Wirkungsquantum“ genannt) ist in SI-Einheiten
"! #%$
Js
(1.2)
und damit die Quantenkonstante (1.1) („reduzierte Planck’sche Konstante“)
&(')&* #%$ Js +
#%$
Js (1.3)
1.3. Grundlagen der Quantenphysik
9
Eν
T
Vakuum
Metall
W
-
Abbildung 1.2: Ein Elektron wird durch die Lichtenergie aus der Metalloberfläche herausgelöst. Da verrichtet. Die verbleibende Energiedifferenz tritt in Form der kinetischen
bei wird die Ablösearbeit
Energie des Elektrons auf.
In den meisten quantenmechanischen Rechnungen tritt die Konstante (und nicht ) als die wirklich
fundamentale Naturkonstante auf.
Die experimentelle Bestimmung der Planck’schen Konstante erfolgt z.B. aus dem photoelektrischen Effekt, der in Abbildung 1.1 schematisch dargestellt ist. Durch geeignete negative Spannung wird die
der Elektronen gemesBewegung der Elektronen e kompensiert und damit die kinetische Energie sen. Aus dem Experiment erhält man,
1. dass proportional zu der Frequenz des einfallenden Lichts ist, und
2. dass die Elektronen erst von einer gewissen Grenzfrequenz an aufwärts durch den Lichteinfall
aus dem Metall losgelöst werden können. Die Grenzfrequenz ist materialabhängig.
Nach dem Vorschlag von Einstein (1905) setzen wir den Energiesatz an,
(1.4)
wobei die aus diesem Experiment zu bestimmende Planck’sche Konstante und
die vom Material
abhängige Ablösearbeit für ein Elektron ist (siehe Abbildung 1.2). In Übereinstimmung mit dem Experiment erhalten wir aus Gleichung (1.4) den Ausdruck für die kinetische Energie
(1.5)
Bei der Wechselwirkung mit dem Metall tritt die Energie des Lichtes „portionenweise“ in Form von
auf. Weitere Diskussion in den Übungen.
Lichtquanten (Photonen) mit der Energie Die so ermittelte Planck’sche Konstante bestimmt nun den Quantencharakter eines physikalischen
Prozesses. Dazu bilden wir für das gegebene physikalische Problem eine Grösse vom Typ „Wirkung“
und vergleichen sie mit . Die Quantenphysik ist zur korrekten Beschreibung notwendig, wenn diese
charakteristische Wirkung von der Grössenordung ist! Dabei sollte sie nicht viel kleiner als sein, da
dies eine „neue Physik“ jenseits der Quantenphyik erfordern würde. Bisher ist dieser Fall nicht beobachtet worden.
1.3.1 Beispiele
(i) Mechanische Uhr:
$
m, Masse Unruh +
+
$
kg und charakteristische Zeiteinheit
s
1. Kapitel. Einleitung
10
Die charakteristische Wirkung der Uhr ist
) +
Js +
( (1.6)
d.h., es handelt sich also um ein klassisches System, wo die Quantenphysik unnötig ist.
(ii) Radioantenne:
Leistung +
kW und Frequenz +
MHz bzw. Kreisfrequenz Auch hier zeigt die charakteristische Wirkung
+ Js + # +
s .
(1.7)
dass es sich um ein klassisches System handelt.
(iii) Elektrischer Schwingkreis:
$
#
Kapazität
F, Induktivität
Hz und Strom +
A
+
+
Energie und LC
Zeit erhalten wir durch Vergleich der charakteristischen WirMit kung mit ,
Js +
(1.8)
+
erneut ein klassisches System.
(iv) Wasserstoff-Atom:
Charakteristische Ionisationsenergie J und charakteristische Wellen eV +
#
+
länge +
Å, bzw. s
Die charakteristische Wirkung des Wasserstoffatoms ist vergleichbar mit .
#%$
+
+
(1.9)
Es kann vollständig nur durch die Quantenphysik beschrieben werden, wobei gewisse Teilaspekte
durchaus klassisch diskutiert werden können.
(v) Atomkern:
!
! J, mittlerer Radius
Typische Bindungsenergie pro Nukleon +
MeV
eV +
!
%#
+
fm), Masse mit dem Atomgewicht und der
m
( +
Nukleonmasse kg
Die charakteristische Wirkung ist vergleichbar mit #" $ +
# Js +
(1.10)
Atomkerne müssen also mit der Quantenphysik beschrieben werden!
(vi) Coulombstreuung:
Positive Ionen mit der Ladung %'&)(+* — (+* bezeichnet die Elementarladung — bewegen sich mit
Geschwindigkeit , im Coulombfeld eines Atomkerns, der die Ladung %.-/(+* trägt. Die elektrostatische Kraft zwischen Projektil p und Target t ist mit der Definition
0 durch
( *
'&21
%43%65 0 (1.11)
(1.12)
1.4. Einheiten
11
p
Zp q e
t
Zt qe
Abbildung 1.3: Elektromagnetische Streuung des Projektils p am Target t
# # .
gegeben. Die Definition (1.11) legt 0 in rein mechanischen Einheiten fest: 0 %43%65 0 ist ein Mass für die Stärke der Wechselwirkung und führt zur charakteristischen Wirkung
0 ,
% 3 % 5
(1.13)
Mit der dimensionslosen Geschwindigkeit
,
(1.14)
die in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit gemessen wird, der dimensionslosen Feinstrukturkonstante
0 (1.15)
* ! +
*
und dem dimensionslosen Coulombparameter
0 % 3)%45
gilt
% 3 % 5 (1.16)
(1.17)
ist ein direktes Mass für die „Klassik“ der Bewegung: Für kann die Streuung klassisch
beschrieben werden, für +
werden quantenmechanische Überlegungen wichtig.
1.4 Einheiten
Die quantenphysikalische Beschreibung von mikroskopischen Prozessen wird erleichtert, wenn die auftretenden physikalischen Grössen von der Grössenordnung 1 und benachbarte Grössenordungen sind.
Durch geeignete Wahl der Einheiten lässt sich dies erreichen.
Nach oben ist die Stärke der elektrostatischen Wechselwirkung von zwei Einheitsladungen durch
0 # kg m s (1.18)
gegeben. Dazu kommen im atomaren Bereich als charakteristische Einheiten die Masse des Elektrons
* und die Quantenkonstante . Abgeleitete Einheiten sind:
(i) Rydberg-Energie (charakteristische Energie)
$
*0
eV
Ry
(1.19)
1. Kapitel. Einleitung
12
E
-
+
F
me
d
Abbildung 1.4: Im elektostatischen Feld
beschleunigtes Elektron
(ii) Bohr’scher Radius (charakteristische Länge)
*0 * *(' m+
(iii) Charakteristische Geschwindigkeit im Atom
,
0 0 Å
(1.20)
+
*
(1.21)
Dabei haben wir die in Gleichung (1.15) definierte Feinstrukturkonstante benutzt. Aus Gleichung
(1.21) folgt, dass die Geschwindigkeiten im Atom im allgemeinen klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sind und das Atom deshalb meist nichtrelativistisch beschrieben werden kann.
Alle Quantenphänomene mit Elektronen, sei es in der Atom-, Molekül- oder Festkörperphysik, werden
durch die drei Grössen 0 , * und bestimmt.
Im Allgemeinen benutzt man als Energieeinheit im mikroskopischen Bereich nicht , sondern das
Elektronenvolt (eV). Die kinetische Energie eines Teilchens mit der Ladung ( * , das durch die Span
nungsdifferenz längs einer Strecke der Länge beschleunigt wurde, ist
(1.22)
(+* 1 eV definiert die kinetische Energie, die ein Elektron ((*
As) durch die Beschleunigung
innerhalb der Spannungsdifferenz
V erhält.
As J eV
V ( *
(1.23)
#
(Siehe Abbildung 1.4.) Entsprechend benutzt man in der Kernphysik keV
eV bzw. MeV
eV und in der Teilchenphysik GeV
eV bzw. TeV
eV.
Sobald innerhalb physikalischer Vorgänge sehr hohe Geschwindigkeiten auftreten - z.B. bei Strahlungs
prozessen in der
Quantenelektrodynamik - tritt als weitere fundamentale Konstante noch die Lichtgeschwindikeit hinzu. Man spricht dann von relativistischen Prozessen (siehe unten). Als charakteristische Grössen in diesem Kontext benutzen wir:
(i) die Ruheenergie des Elektrons
(ii) die Comptonwellenlänge des Elektrons
* keV
+
#
! " m +
MeV !
fm
1.5. Fundamentale Wechselwirkungen
13
Analog benutzt man in der relativistischen Teilchenphysik die gleichen charakteristischen Grössen, wobei die Elektronenmasse * durch die entsprechende Elementarteilchenmasse ersetzt wird:
(i)
Energie
(ii)
Länge
(iii)
Zeit
1.5 Fundamentale Wechselwirkungen
Abschliessend führen wir in Tabelle 1.5 einen kurzen, schematischen Überblick über die fundamentalen
Wechselwirkungen an, bei denen zur genauen Diskussion die Quantentheorie verwendet werden muss.
Wechselwirkung
Reichweite
starke Farb-Wechselwirkung (QCD)
sehr kurz
fm
Kopplungskonstante
starke hadronische
Wechselwirkung
kurz
elektromagnetische
Wechselwirkung
lang
van der Waals
Wechselwirkung
mittel
schwache
Wechselwirkung
sehr kurz
fm
GravitationsWechselwirkung
lang
# fm
Austauschteilchen
mikroskopische
spiele
Gluonen
Nukleonenaufbau
durch WW zwischen
Quarks
Mesonen
(Pionen,
Kaonen,
u.a.)
Bindung zwischen
Hadronen durch
Mesonen (Kernkräfte)
Photonen
( )
Atomaufbau durch
WW von Elektronen
mit Kernen
Photonen
Molekülaufbau durch
elektromagnetische
Restwechselwirkung
zwischen den Atomen
Vektorbosonen
)
(% radioaktiver
-Zerfall
Graviton
Bei-
?
Tabelle 1.1: Übersicht über die fundamentalen Wechselwirkungen
Die elektromagnetische und schwache Wechselwirkungen bilden zusammen die elektroschwache Wechselwirkung.
Es gibt zahlreiche Versuche, die elektroschwache und starke Wechselwirkungen als Grenzfall einer fundamentalen Wechselwirkung zu interpretieren, der sogenannten „grossen vereinigten Wechselwirkung“.
Sie sagt z.B. vorher, dass das Proton langsam zerfalle, was bisher — trotz vieler Experimente — nicht
beobachtet werden konnte. Bis heute ist der Ansatz also ohne endgültigen Erfolg geblieben.
Das Verhältnis der Gravitations-Wechselwirkung zur elektromagnetischen ist z.B. im Wasserstoffatom
# ca.
(siehe Übungen) und spielt daher im mikroskopischen Bereich praktisch keine Rolle. Sie ist
# hingegen entscheidend beteiligt an den Prozessen in den ersten ungefähr
s nach dem Urknall, der
sogenannten Planckzeit.
14
1. Kapitel. Einleitung
Kapitel 2
Einführung in die spezielle
Relativitätstheorie
In diesem Kapitel werden die wichtigsten Resultate der speziellen Relativitätstheorie diskutiert. Die
experimentellen Aspekte werden in der Physik IV-, die elegante mathematische Formulierung in der
Mechanik- bzw. Elektrodynamik-Vorlesung behandelt.
2.1 Inertialsysteme und Galilei-Transformation
Ein freier Massenpunkt P ist per definitionem ohne Wechselwirkung mit anderen Massenpunkten. Ein
Inertialsystem (IS) ist ein Bezugssystem, in dem sich ein Massenpunkt P auf einer geraden Bahn mit
konstanter Geschwindigkeit bewegt, wenn keine Kräfte auf ihn einwirken. Freie Massenpunkte bewegen
sich in Inertialsystemen also mit konstanter Geschwindigkeit auf Geraden.
Wir wollen zeigen, dass es unendlich viele Inertialsysteme gibt. Seien S und S zwei Bezugssysteme,
die sich mit der Geschwindigkeit , relativ zueinander bewegen, und deren Ursprünge zur Zeit
. Der Abstand der Ursprünge voneinander ist dann durch , gegezusammenfallen: ben. Die zurückgelegten Wege des im System S mit der Geschwindikeit und im System S mit der
. Es gilt
und Geschwindigkeit sich bewegenden, freien Massenpunktes P sind OP offensichtlich
OP
,
bzw.
y
(2.1)
y‘
P
S
u
u‘
v
x, x‘
S‘
z
z‘
Abbildung 2.1: Die Bewegung des freien Massenpunktes P wird von den Inertialsystemen S und S aus
betrachtet.
15
2. Kapitel. Einführung in die spezielle Relativitätstheorie
16
y
y‘
u‘
P
u
S
x, x‘
v
S‘
z
z‘
Abbildung 2.2: Geschwindigkeitsaddition
und damit für die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen
, , (2.2)
Sei nun S ein Inertialsystem, d.h. P bewegt sich in S unbeschleunigt:
(2.3)
Wenn sich die Bezugssysteme S und S mit konstanter Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen,
folgt erstens, dass
(2.4)
und zweitens, dass auch S ein Inertialsystem ist. Jedes gleichförmig zu einem Inertialsystem bewegte
System ist also wieder ein Inertialsystem. Q . E . D .
Die Bewegungen von P sehen in verschiedenen Inertialsystemen verschieden aus. Die zugrundeliegenden
Bewegungsgesetze (z.B. Newtonsche Gleichungen) sollen hingegen unabhängig von oder — wie man
auch sagt — invariant bezüglich der Wahl des spezifischen Inertialsystems sein. Wir fordern daher das
Relativitätsprinzip der Mechanik: Zur Beschreibung mechanischer Vorgänge sind alle Inertialsysteme
gleichberechtigt. D.h. aber, dass es kein absolut ruhendes System und keine absolute Zeit gibt.
Wenn die Relativgeschwindigkeit , von S in S parallel zur positiven -Achse gerichtet ist, folgen aus
Figur 2.1 sofort die Transformationsgleichungen
, (2.5)
Dies sind die sogenannten (speziellen) Galilei-Transformationen (GT). Das Relativitätsprinzip der Mechanik fordert daher die Invarianz der Gleichungen der Mechanik unter diesen Galilei-Transformationen.
2.2 Einsteinsche Postulate und Lorentz-Transformation
Wir wählen wieder zwei zueinander mit der Geschwindigkeit , bewegte Inertialsysteme (Abbildung 2.2).
Nach der Galilei-Transformation gilt sofort das klassische Additionstheorem der Geschwindigkeiten
, (2.6)
wo und die Geschwindigkeiten von P parallel zur -Achse bzw. -Achse sind. Gleichung (2.6)
sollte eigentlich auch für die Ausbreitung von Licht gelten. Experimente wiederlegen diese Vermutung
jedoch. Das erste Mal wurde die Ungültigkeit des Additionstheorems (2.6) für Geschwindigkeiten nahe
2.2. Einsteinsche Postulate und Lorentz-Transformation
17
Spiegel 1
t1
l1
t2
h
lä alb
Pl ssig du
at e r c
hte
l2
Spiegel 2
Lichtquelle
Beobachter
Abbildung 2.3: Schematischer Aufbau des Michelson & Morley-Experiments
der Lichtgeschwindigkeit 1887 durch das Experiment von Michelson & Morley gezeigt. Der in Abbildung 2.3 schematisch dargestellte experimentelle Aufbau bewegt sich — beobachtet in einem Inertial
system, in welchem die Sonne ruht — als ganzes mit der Erdbahngeschwindigkeit , + km/h. Sei
z.B. Lichtstrahl (1) parallel zur Erdbahngeschwindigkeit gerichtet, dann müsste nach der Galilei’schen
Transformation die Lichtgeschwindigkeit entlang (1) um , verringert bzw. vergrössert werden, wohingegen die Lichtgeschwindigkeit entlang (2) von der Erdbahngeschwindigkeit unberührt bleibt. Die
ist
Gangdifferenz der beiden Strahlen
und die zugehörige Zeitdifferenz (Herleitung in den
Übungen)
+ , , wobei + ist.
Nach Drehen der
Apparatur um
, , die für +
ergibt sich eine einmalige Gangdifferenz m von der
+
Grösse +
m
Åist. Beim Drehen der Apparatur sollte daher eine sichtbare Änderung
des Interferenzmusters zu beobachten
sein, was jedoch nicht eintraf und -trifft (Nullexperiment). Das
Experiment sagt also: entlang des Lichtstrahles (1). Wenn wir weiterhin an der Gültigkeit der
Galilei-Transformation festhalten, führt dies zu ,
; ein offensichtlicher Widerspruch!
Offensichtlich ist die Galilei’sche Transformation nur für kleine Geschwindigkeiten von Gültigkeit. Einstein ging deshalb von zwei neuen Postulaten aus:
(i) Allgemeines Relativitätsprinzip:
Alle physikalischen Gesetze (nicht nur die mechanischen Gleichungen) müssen in allen Inertialsystemen die gleiche Form haben, d.h. sie müssen kovariant sein.
(ii) Konstanz der Lichtgeschwindikeit:
Die Lichtgeschwindigkeit ist in jedem Inertialsystem gleich gross, d.h., die Lichtgeschwindigkeit
ist unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle und des Beobachters.
Wir diskutieren nun, was aus den Einstein’schen Postulaten (i) und (ii) in Bezug auf Koordinatentrans formationen folgt. Gegeben seien die in Abbildung 2.4 dargestellten Inertialsysteme S und S mit zur Zeit . Nach (ii) folgt sofort
(2.7)
2. Kapitel. Einführung in die spezielle Relativitätstheorie
18
y
y‘
S
Beobachter
r
r‘
Lichtquelle
x, x‘
v
S‘
z
z‘
Abbildung 2.4: Der Beobachter wird von einer Lichtkugelwelle erreicht, die vom Koordinatenursprung
herkommt.
und nach (i) fordern wir, dass sowohl in S wie auch in S die Lichtgeschwindigkeit als Kugelwelle
beobachtet wird,
in in (2.8)
Mit diesen Gleichungen folgt für die Lichtausbreitung
&
(2.9)
Wir definieren nun den sogenannten Ereignisabstand zweier Raum-Zeit-Punkte im Inertialsystem S (ana
log in S’)
(2.10)
O.B.d.A. können wir einen Punkt in O resp. O legen und erhalten damit
in S
bzw.
in S
(2.11)
Für den Ereignisabstand
von
Ursprung und Lichtwellenfront erhalten wir nach Gleichung (2.9) in jedem
.
Inertialsystem Im Allgemeinen ist der Ereignisabstand in S eine zunächst beliebige Funktion
, (2.12)
von Grössen, die zum Inertialsystem S gehören. Zur Einschränkung von benutzen wir die offensichtlichen Forderungen:
) Homogenität
von Raum und Zeit, d.h. alle Raum-Zeit-Punkte sind gleichberechtigt.
darf nicht explizit enthalten, d.h. ,
) Isotropie
des Raumes,
d.h.
ist nicht
richtungsabhängig
, ,
, und dem Relativitätsprinzip: ., Insbesondere gilt dann nach
folgern,
.,
, , , , , und es lässt sich
Da für , sich die Quadrate der Ereignisabstände immer weniger unterscheiden, , kann nur die Identität darstellen, , und wir erhalten die allgemeine Forderung, die ganz allgemein und
nicht nur für Licht gilt:
(2.13)
2.2. Einsteinsche Postulate und Lorentz-Transformation
19
Ihr liegen nur die Einstein’schen Postulate (i) und (ii) sowie die Homogenität von Raum und Zeit und die
Isotropie des Raumes zugrunde.
Die gesuchten Lorentz-Transformationen von S nach S und umgekehrt müssen die Forderung (2.13)
erfüllen,
&
(2.14)
Wenn wir , entlang der positiven -Achse wählen,
reduziert sie sich mit und auf
(2.15)
Das Einstein’sche Postulat (i) erlaubt nicht, dass sich durch Transformation physikalische Grössen ändern, z.B. dürfen Geschwindigkeiten nicht in Beschleunigungen übergehen. Es ist daher sinnvoll einen
linearen Ansatz für die Lorenztransformation zu machen
, ,
(2.16)
muss die Galilei-Transformation (2.5) gelten, d.h. Im Grenzfall , daraus für die der Möglichkeit nach von , abhängigen Koeffizienten , und
Am Ort ,
,
,
und . Es folgt
(2.17)
muss nach Voraussetzung für jede Geschwindikeit , gelten
,
,
und damit
(2.18)
Einsetzen des linearen Ansatzes (2.16) in Gleichung (2.15) führt zu
% , ,
(2.19)
was für alle
und gelten muss und deshalb die drei Bestimmungsgleichungen liefert
, , (2.20)
(2.21)
(2.22)
Die Lösungen dieser Gleichungen sind
und
(2.23)
mit der in Einheiten von gemessenen Geschwindigkeit
, (2.24)
Einsetzen der Lösungen (2.23) in den linearen Ansatz (2.16) ergibt die spezielle Lorentz-Transformation (LT)
, Die inverse Transformation ist dann
, ,
, (2.25)
(2.26)
Die allgemeine Form der Lorentz-Transformation erhält man durch zusätzliche Drehung und Verschiebung der Koordinatensysteme zueinander. (Wird hier nicht weiterverfolgt.)
Zusammenfassend können wir bemerken, dass aus den obigen Postulaten folgt, dass physikalische Gleichungen lorentzinvariant, d.h. invariant unter Lorentz-Transformation sein müssen.
2. Kapitel. Einführung in die spezielle Relativitätstheorie
20
y
y‘
S
S‘
x‘1
x‘2
v
z
x, x‘
l0
z‘
Abbildung 2.5: Längenkontraktion
2.3 Relativität von Längen und Zeiten
Wir besprechen nun drei direkte Konsequenzen der Lorentz-Transformation.
(i) Längenkontraktion
Ein Stab der Länge ruht im Koordinatensystem S (Abbildung 2.5). Mit welcher
Länge
wird der gleiche Stab im System S beobachtet? Die Lorentz-Transformation
(2.25) ergibt
(2.27)
, , Die Stablänge ist also kleiner, wenn er sich gegenüber dem Beobachter bewegt!
(ii) Zeitdilatation
Wir messen ein Zeitintervall
in S und entsprechend ruhe während des ganzen Zeitintervalls im Ursprung von S , Transformation folgt dann sofort
in S . Die Uhr
. Mit der Lorentz-
(2.28)
Eine bewegte Uhr läuft also langsamer!
Die Zeitdilatation zeigt sich in sehr eindrücklicher Weise beim Zerfall von Elementarteilchen. Die mittlere Lebenszeit des Teilchens in dessen Ruhesystem S sei ; im Laborsystem S wird die mittlere Lebensdauer gemessen. Der Zusammenhang dieser beiden im Allgemeinen unterschiedlichen Lebenszeiten
ein und desselben Teilchens ist durch die Zeitdilatation gegeben
(2.29)
Für , (d.h. ) ergeben sich also beträchtliche Unterschiede: .
Die Zeitdilatation spielt auch bei Teilchenbeschleunigern eine wesentliche Rolle.
(iii) Relativistisches Additionstheorem der Geschwindigkeiten
Im System S sei die Geschwindikeit von P - . Gesucht ist die Geschwindigkeit von P im
. Mit der Lorentz-Transformation (2.26) erhalten wir die totalen Differentiale
System S: , und und daraus das gewünschte Additionstheorem
, Spezialfälle des Additionstheorems:
,
+
,
Das relativistische Additionstheorem ist mit der Galilei-Transformation kompatibel.
(2.30)
2.4. Relativistische Mechanik
21
Dies entspricht dem Postulat (ii). ist die maximale Geschwindigkeit für Materie und Signale.
(iv) Dopplereffekt
Der Beobachter B befinde sich im Ursprung des Systems S. Die Quelle einer elektromagnetischen
S .
Welle bewege sich bezüglich S mit der Radialgeschwindigkeit und ruhe im Inertialsystem
Zwei im Zeitintervall aufeinanderfolgende Pulse strahlen mit der Geschwindigkeit von der
Quelle Q in Richtung Beobachter B. In S wird die Zeitdifferenz
(2.31)
vom Beobachter gemessen. Damit erhalten wir den relativistischen Dopplereffekt zu
(2.32)
oder, falls der Winkel zwischen Quelle und -Achse ist, (
Spezialfälle: Für die rein radiale Bewegung ( Beispiel: Bei , +
,
)
(2.33)
und ) gilt:
Bei der rein transversalen Bewegung, d.h. tischen Effekt,
(2.34)
, handelt es sich um einen rein relativisi-
erscheint eine rote Ampel ( 5 +
*
(2.35)
) grün ( 5 +
).
2.4 Relativistische Mechanik
Wir diskutieren einige im Rahmen dieser Vorlesung wichtige Aspekte. Eine detailliertere Untersuchung
mechanischer Probleme erfolgt in den Vorlesungen Mechanik und Elektrodynamik.
Zur Behandlung relativistischer Phänomene ist es häufig zweckmässig, sogenannte Minkowski-Koordinaten
einzuführen,
# $ (2.36)
Dabei ist die Einführung der imaginären Zeitkoordinate rein formal und ohne physikalische Bedeutung.
Den speziellen Vierervektor kürzen wir mit
# $
(2.37)
ab, sodass sich das lorentzinvariante Abstandsquadrat dieses Vierervektors als Summe der quadrierten
Komponenten schreiben lässt,
$
(2.38)
2. Kapitel. Einführung in die spezielle Relativitätstheorie
22
Im Folgenden werden wir allerdings die üblichere Notation für Vierervektoren bevorzugen. Wir füh und „kovariante“ Komponenten eines Vieren daher sogenannte „kontravariante“ Komponenten
rervektors ein gemäss
#
(2.39)
#
(2.40)
sodass sich das lorentzinvariante Abstandsquadrat schreiben lässt als
#
(2.41)
Die Raumkomponenten des Vierervektors unterscheiden sich also durch das Vorzeichen. Die Definition
(2.41) für das Abstandsquadrat unterscheidet sich von (2.38) ebenso durch das Vorzeichen, stellt aber die
in der modernen Literatur übliche Variante dar. Ein Vektor mit positiver Lorentznorm
, , ,
(2.42)
nennt man zeitartig, ein Vektor mit negativer Norm , heisst raumartig, und bei verschwindender
Norm , spricht man von einem lichtartigen Vektor. In Gleichung (2.42) haben wir die Einstein’sche
Summenkonvention vorausgesetzt, welche besagt, dass in formalen Ausdrücken automatisch über gleiche
ko- und kontravariante Indices summiert wird.
Wir versuchen nun weitere mechanischen Grössen zu Vierervektoren zusammenzufassen, um lorentzinvariante Grössen zu erhalten. Physikalische Gleichungen mit Vierervektoren (und abgeleiteten Grössen) sind lorentzinvariant oder — was per definitionem das gleiche bedeutet — kovariant.
Differential
i) Totales
von
. In einfacher Weise erhalten wir den
ist das totale Differential von
Lorentzskalar des infinitesimalen Abstandsquadrates,
(2.43)
im Ursprung des Ruhesystems von P.
das eine Mal in einem beliebigen System, das andere Mal
, oder
ist die differentielle Eigenzeit. Damit gilt: "
(2.44)
ist also ebenfalls ein Lorentzskalar, und hat für jeden Beobachter denselben Wert.
ii) Vierergeschwindigkeit
Die Vierergeschwindigkeit ist der nach der Eigenzeit abgeleitete spezielle Eigenvektor:
(2.45)
iii) Viererimpuls
Bezeichnen wir die Masse eines Teilchens im Ruhesystem mit (sogenannte Ruhemasse) und
multiplizieren
die Vierergeschwindigkeit (2.45) mit dieser, so erhalten wir wieder einen Vierer
vektor,
. Wir definieren zunächst rein formal den relativistischen Impuls und die
relativistische Energie durch:
und
(2.46)
2.4. Relativistische Mechanik
23
p1
S
P
x-Richtung
p2
Abbildung 2.6: Impulserhaltung im System S
Mit diesen Definitionen kann der Impulsvierervektor als
(2.47)
geschrieben werden.
Die speziell in -Richtung verlaufenden Lorentz-Transformationen von und erhalten wir analog zur
Lorentz-Transformation des speziellen Vierervektors ,
(2.48)
, , erhalten wir + vergleiche (2.25). Für , 5 und die Energie + . ist per definitionem die Ruheenergie eines Teilchens. Wir müssen nun noch zeigen, dass für die in (2.46)
definierten relativistischen Formen von Impuls und Energie in jedem System die Erhaltungssätze gelten.
Wir nehmen dazu an, dass im System S die Erhaltungssätze
und
(2.49)
gelten. Betrachten wir denselben Vorgang vom System S aus. Aus der Lorentz-Transformation (2.48)
folgt erstens
,
,
(2.50)
und zweitens
,
,
(2.51)
Der Beweis zeigt, dass die in (2.46) definierten relativistischen Impulse
und Energie die Erhaltungssätze in allen Inertialsystemen erfüllen. Sie gehen zudem für , in die bekannten nichtrelativistischen Grössen über.
Q . E . D.
iv) Ruheenergie
Das Skalarprodukt des Viererimpulses mit sich selbst führt auf einen weiteren wichtigen Lorentz
skalar: die Ruheenergie. Im Ruhesystem verschwindet der Impuls,
, und wir erhalten mit der
Definition der Energie (2.46) sofort
(2.52)
Im Ruhesystem reduziert sich die Gesamtenergie
auf die Ruheenergie bzw. innere Energie
(2.53)
Diese Beziehung stellt die bekannte Masse-Energie-Äquivalenz dar.
2. Kapitel. Einführung in die spezielle Relativitätstheorie
24
E
m oc 2
E=pc
E2=(pc)2+(m0c 2)2
0
pc
Abbildung 2.7: Die gestrichelte Linie stellt die Energie-Impuls-Abhängikeit von Teilchen mit verschwin Bei Teilchen mit der Ruhemasse ist der minimale Wert der Gesamterergie
dender Ruhemasse dar.
die Ruheenergie .
v) Gesamtenergie
In einem beliebigen Inertialsystem besteht die Gesamtenergie aus mehr als nur der Ruheenergie.
Die allgemeine Form für ein relativistisches Teilchen ergibt sich aus Gleichung (2.52) zu
" (2.54)
der totalen Energie vom Impuls des Teilchens
dargestellt.
In Abbildung 2.7 ist die typische Abhängigkeit
Im ultrarelativistischen Grenzfall (
) ist die Beziehung annähernd
linear: +
. Die Linea
rität gilt exakt für Teilchen mit verschwindender Ruhemasse , also für Photonen und Neutrinos
(?).
Die relativistische Verallgemeinerung der kinetischen Energie eines Teilchens mit der Masse ist per
definitionem die Arbeit, die benötigt wird, um die Masse von Null auf die Endgeschwindigkeit zu
bringen.
(2.55)
"
vi) Kinetische Energie
Der relativistische Ausdruck für die kinetische Energie eines Teilchens mit der Masse Geschwindikeit ist:
Für
und der
(2.56)
lässt sich in einer Taylorreihe
"
entwickeln. Ebenso die kinetische Energie:
$
! $
!
$
$
!
(2.57)
(2.58)
2.4. Relativistische Mechanik
25
8.0
Energie ε=E/E0
6.0
4.0
2.0
0.0
0.00
0.50
1.00
Geschwindigkeit β=v/c
1
Abbildung 2.8: Abhängigkeit der relativistischen Gesamtenergie eines Teilchens von der Geschwindikeit.
mit der nicht-relativistischen Definition der kinetiDie Übereinstimmung des relativistischen Ausdrucks
schen Energie für kleine Geschwindigkeiten ist wiederum offensichtlich.
Wenn die Definition des relativistischen Impulses (2.46) in die Gesamtenergie (2.54) eingesetzt wird,
erhält man
(2.59)
Vergleichen wir diesen Ausdruck für die Gesamtenergie mit der Ruheenergie (2.53) und der kinetischen
Energie (2.56), so ergibt sich die einprägsame Beziehung
(2.60)
Die kinetische Energie ist also nichts anderes als der „Überschuss“ der totalen Energie über die Ruheenergie.
vii) Relativistische Masse
Rein formal lässt sich auch eine relativistische Masse
(2.61)
definieren. Gesamtenergie und relativistischer
Impuls (2.46) nehmen dann die aus der klassischen
Mechanik bekannten Formen an:
und .
1
Die Abhängigkeit der in Einheiten von gemessenen totalen Energie von der Geschwindigkeit
ist in Abbildung 2.8 dargestellt. Für
reduziert sich die Gesamtenergie auf die Ruheenergie,
1
1
. Für wächst die Gesamtenergie gegen Unendlich, . Trotz immer grösser werdender
Beschleunigungsarbeit resultiert ein immer kleiner werdender Zuwachs in der Geschwindigkeit, sodass
nie über 1 hinauswächst. Die Lichtgeschwindikeit ist die maximale Geschwindigkeit für Materie und
Energie!
26
2. Kapitel. Einführung in die spezielle Relativitätstheorie
Kapitel 3
Experimentelle Grundlagen der
Quantenphysik
In diesem Kapitel diskutieren wir einige, auch historisch wichtige Experimente, die zwingend zur Quantentheorie führen, d.h., mit der klassischen Physik alleine nicht erklärbar sind.
3.1 Hohlraumstrahlung
Die Hohlraumstrahlung ist der historische Ausgangspunkt der
T
Quantenphysik. Der experimentelle Aufbau besteht aus einem Hohlraum, der von einem Wärmebad der Temperatur umgeben ist. Das
Wärmebad wird von der Wandung der Temperatur gebildet. Siehe
Abbildung 3.1. Wir betrachten den Zustand, wo die elektromagnetiWand W
sche Strahlung im Hohlraum im thermodynamischen Gleichgewicht
Abbildung 3.1: Hohlraum innerhalb
mit der Wandung steht. Gleichgewicht bedeutet dabei
eines Wärmebades
Absorption von Strahlungsenergie
Flächeneinheit
Emission von Strahlungsenergie Flächeneinheit
3.1.1 Definitionen
i) Strahlungsleistung pro Flächeneinheit
emittierte Strahlungsenergie
ii) Absorptionsgrad
absorbierte Strahlungsenergie auffallende Strahlungsenergie iii) Schwarzer Körper
Man spricht von einem schwarzen Körper, wenn im ganzen Wellenlängenbereich gilt.
3.1.2 Kirchhoffsches Gesetz
Für einen Hohlraumstrahler gilt das Gesetz von Kirchhoff :
konst.
27
(3.1)
3. Kapitel. Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik
28
ideale Spiegel (A=0)
Hohlraum
Wand W1
Wand W2
Es
E
A=1 (schwarz)
T
A< 1
Abbildung 3.2: Zur Herleitung des Kirchhoffschen Gesetzes
Das Verhältnis von emittierter Strahlungsleistung pro Flächeneinheit und dem Absorptionsgrad wird
Emissionsvermögen
genannt. Gleichzeitig ist
gerade die Strahlungsleistung eines schwarzen Strah
lers: .
Das Kirchhoffsche Gesetz hat universelle Gültigkeit für die Hohlraumstrahlung. Es hängt weder von der
Temperatur noch vom Material und der Form der Hohlraumstrahlung ab.
Die Herleitung des Kirchhoffschen Gesetzes führen wir anhand der Anordnung in Abbildung 3.2. Die
horizontal liegenden Flächen spiegeln die Hohlraumstrahlung vollständig. Bei der ’schwarzen’ Wand absorbiert. Die Absorption setzt sich aus der von
wird die Strahlung
emitiert und ist die Emission und die Absorption .
emitierten und reflektierten Stahlung zusammen. Bei
Durch Gleichgewichtsbildung erhalten wir an beiden Wänden das Kirchhoffsche Gesetz.
bei
bei
Die experimentelle Überprüfung des Gesetzes geschieht im sogenannten ’Würfel von Leslie’.
3.1.3 Energiedichte
Die elektromagnetische Strahlung im Hohlraum wird durch die sogenannte spektrale Energiedichte
(3.2)
beschrieben, wobei d die Energie pro Volumeneinheit im Frequenzintervall . . . #
Durch Integration erhält man die totale Energiedichte (in ).
d d ist.
(3.3)
Frequenz ν0
29
Hohlraum A
Hohlraum B
Filter für die
Wandung mit Temperatur T
3.1. Hohlraumstrahlung
Wandung mit Temperatur T
Abbildung 3.3: Zur Herleitung der Universalität der spektralen Energiedichte. Über die Öffnungen tauschen die Hohlräume Strahlung der Frequenz aus.
Die spektrale Energiedichte
Form des Hohlraumes!
ist eine universelle Funktion, d.h. unabhängig von Material und
dV
Die Herleitung dieser Behauptung führen wir anhand des in Abbildung
. Durch den
3.3 dargestellten Aufbaues. O.B.d.A. sei Ausgleich über den Filter nimmt im Hohlraum B die Energie zu, im Hohlraum A die Energie ab. Damit verbunden ist eine Temperaturzunahme in B
r
. Da die Temperaturdiffeund eine Temperaturabnahme in A: '
ϑ
renz ohne Arbeitsleistung entsteht, handelt es sich bei der
2
df‘=df cosϑ
Anordnung um ein perpetuum mobile zweiter Art. Widerspruch zum zweidf
ten Hauptsatz der Thermodynamik.
Mit ist auch eine universelle Funktion. Wir suchen die Form Abbildung 3.4: Zur Berechdieser Funktion und betrachten dazu den mit isotroper Strahlung ausge- nung des Energieanteils, der aus
d nach d abgestrahlt wird.
füllten Hohlraum. d beschreibt die gesamte Energie im Volumenelement d . d sei der Energieanteil, der aus dem Volumenelement d nach d abgestrahlt wird. Siehe
Abbildung 3.4. Wegen der Isotropie der Strahlung entspricht das Verhältnis von d zur zugehörigen
Kugeloberfläche dem Verhältnis von d zur Gesamtenergie.
d
d d '&
d d
'&
(3.4)
Definition des Raumwinkels
Sei eine beliebige, aber berandete Fläche und ein (nicht in ihr liegender) Punkt gegeben.
Der Raumwinkel dieser Fläche bezüglich des Punktes ist durch den Kegel gegeben, dessen
Spitze mit zusammenfällt und dessen Mantel durch die Berandung von aufgespannt
wird. Das Mass des Raumwinkels ist die Fläche, die der Raumwinkel auf der Oberfläche der
Einheitskugel mit der Spitze als Mittelpunkt herausschneidet. Damit ist der zum Flächenelement d der Kugel mit Radius gehörige Raumwinkel d durch
d
d d d
(3.5)
gegeben. Siehe Abbildung 3.5. Den totale Raumwinkel erhält man durch Integration; er ist
3. Kapitel. Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik
30
z
dF = dφ r2 sinθ dθ
r sinθ
gesamte Schnittfläche:
2 Π r2 sinθ dθ
r
θ
y
O
dφ
x
Abbildung 3.5: Zur Definition des Raumwinkels d F
F‘
df
r=ct
θ
r‘
dV = dq dr‘
df
Abbildung 3.6: Kegel zum Winkel und der
Fläche Abbildung 3.7: Abstrahlung von dem Oberflächenelement eines schwarzen Körpers
gerade die Oberfläche der Einheitskugel.
- -
d
d
'&
(3.6)
Der Energieanteil , der im Raumwinkelkegel d enthalten ist, berechnet sich durch Integration über
die Volumenelemente des Kegels, die Energie nach d abstrahlen. Siehe Abbildung 3.6 für die Notation.
d
'&
'&
d
'&
d
d
d( d d
d
(3.7)
3.1. Hohlraumstrahlung
31
df
c
θ
df
j Impuls / Volumen
Abbildung 3.8: Die Impulsdichte durchsetzt in der Zeit d das
Flächenelement d .
Abbildung 3.9: Auffall des Impulses
einer ebenen Welle unter dem Winkel auf das Flächenelement d .
Im letzten Schritt wurde ausgenützt, dass die Integration über d ( gerade die Fläche d ergibt:
d
d(
(3.8)
Die Strahlungsintensität und ihre spektrale Zerlegung
sind folgendermassen definiert.
'& '&
(3.9)
(3.10)
Die pro Sekunde und Flächeneinheit aus dem Raumwinkelkegel d abgestrahlte Energie d
aus Gleichungen (3.7) und (3.9) zu
d
d
d
d
(3.11)
durch Integration über
Bei angenommener Isotropie der Hohlraumstrahlung ist die Gesamtenergie
den oberen Halbraum gegeben,
d
d
ergibt sich
und umgekehrt wird die Energie
d
(3.12)
d
'
(3.13)
von der Oberfläche eines schwarzen Körpers in den Halbraum
abgestrahlt. Siehe Abbildung 3.7.
Für den Energiefluss (Energie pro Fläche und Zeit) und
die
Impulsdichte
gilt das Gesetz
mit dem Einheitsvektor 0
0
(3.14)
in Richtung von . Denn von den Teilchen, die dem betrachteten Strah
, und die relativistische
lungspacket angehören,
trägt jedes Teilchen den relativistischen Impuls
Energie
. In beiden Fällen bezeichnet die relativistische Masse (2.61). Für den Energiefluss
und die Impulsdichte gilt dann
,
,
(3.15)
(3.16)
3. Kapitel. Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik
32
Druck
isotherme Expansion bzw. Kompression
um das Volumen dV bei der Temperatur
T+dT bzw. T
p+dp
adiabatische Expansion
bzw. Kompression
F
p
Volumen
V+dV
V
Abbildung 3.10: Carnot’scher Kreisprozess mit Hohlraumstrahlung als Arbeitssubstanz
und damit offensichtlich das Gesetz (3.14).
Aus der Elektrodynamik übernehmen wir den Energiefluss einer ebenen Welle
(3.17)
d einer ebenen Welle durchsetzt in dem Zeitelement d
mit der Energiedichte . Der Impuls d
die Flächeneinheit (Abb. 3.8). Mit Gesetz (3.14) und unter Berücksichtigung des Auffallwinkels der
Strahlung (Abb. 3.9) folgt für den gesamten zeitlichen Impulsübertrag bei Reflexion
d
d
(3.18)
Gesetzt den Fall, die aus dem Raumwinkel d auffallende Energie sei durch Gleichung (3.11) gegeben ( d ), so beträgt der Impulsübertrag aus dem Raumwinkelkegel bzw. dem gesamten oberen
Halbraum gerade
d
d
d
d
d
d
(3.19)
d
d
(3.20)
wobei den Strahlungsdruck (totale Impulsänderung pro Fläche und Zeit) bezeichnet.
3.1.4 Stefan-Boltzmann-Gesetz
Wir zeigen in diesem Abschnitt, dass die Energiedichte vollständig durch den ersten und zweiten
Hauptsatz der Thermodynamik bestimmt ist.
Bei dem in Abbildung 3.10 dargestellten Carnotschen Kreisprozess ist der Wirkungsgrad von gewonnener Arbeit d zu hineingesteckter Wärmeenergie
einerseits durch den zweiten
Hauptsatz der Thermodynamik gegeben.
d
(3.21)
33
n=1
n=2
n=4
n=3
3.1. Hohlraumstrahlung
0
δk
L
k
dk
Abbildung 3.11: Modes zu der totalen
Länge Abbildung 3.12: Abstand
zahlintervall Andererseits folgt mit dem ersten Hauptsatz
d
zweier Moden im Wellen-
(3.22)
und der schon hergeleiteten Formel (3.20) für den Strahlungsdruck ein zweiter Ausdruck für den
Wirkungsgrad.
d
(3.23)
' Gleichsetzten der beiden Ausdrücke für den Wirkungsgrad und Integration führt zu dem Gesetz $
mit der Integrationskonstante . Die Gesamtstrahlung des schwarzen Strahlers aus Gleichung
$
(3.13) nimmt also proportional zu zu mit der Proportionalitätskonstante
$ .
$
(3.24)
$
*(& Wm K
(3.25)
Diese Gesetzmässigkeit der Schwarzkörperstrahlung wurde 1879 von Stefan empirisch entdeckt und
1884 von Boltzmann theoretisch begründet. (3.24) wird deshalb Stefan-Boltzmann-Gesetz genannt.
3.1.5 Gesetz von Wien
Durch die Betrachtung geeigneter adiabatischer Kompressionen im Carnotschen Kreisprozess mit der
Hohlraumstrahlung lässt sich in analoger Weise das Gesetz von Wien
d +
#
d
(3.26)
herleiten. ist wie eine universelle Funktion und nimmt im Grenzfall hoher Frequenzen die Form + an. Durch Übergang zur Wellenlänge , d / d ,
d
für die spektrale Energiedichte der Ausdruck / . Für das
folgt mit d
Maximum der spektralen Energiedichte gilt damit das Wiensche Verschiebungsgesetz (Beweis in den
Übungen).
!&* * mK
(3.27)
3.1.6 Gesetz von Raleigh-Jeans
Im folgenden betrachten wir die Eigenschwingungen (‘Modes’) der Holraumstrahlung im Frequenzin
.
,
tervall . Für eindimensionale stehende Wellen der totalen Länge gilt: 3. Kapitel. Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik
34
Lx
z
Lz
Ly
x
y
Abbildung 3.13: Dreidimensionaler Kasten, in welchem sich stehende Wellen ausbreiten.
Die zugehörige Wellenzahl des -ten Modes ist
(3.28)
Über den Abstand zweier benachbarter Wellenzahlen (Abbildung 3.12) zweier Moden
der Moden im Intervall .
ergibt sich die Anzahl (3.29)
(3.30)
Der Faktor ist Konvention und tritt auf, weil die positiven und negativen Moden separat gezählt
werden. Die Anzahl Moden einer stehenden Welle im dreidimensionalen Kasten der Abbildung
ist nur vom Betrag von abhängig.
3.13 und im Intervall
# # # (3.31)
Der Faktor 2 berücksichtigt, dass die elektromagnetische Wellen in zwei senkrecht zueinander stehende
Polarisationszuständen vorkommen. Die Modes im Frequenzintervall und pro Volumeneinheit ergibt sich damit zu
!
(3.32)
# Der Gleichverteilungssatz (Äquipartitionstheorem oder Äquipotentialprinzip) der Thermodynamik for dert, dass jeder Freiheitsgrad eines physikalischen Systems mit der mittleren Energie
belegt ist,
wobei
! # (3.33)
die Boltzmann-Konstante ist. Unter der Annahme des Gleichverteilungssatzes folgt das Gesetz von RaleighJeans für die spektrale Energiedichte. Jeder Mode besitzt durch das elektrische und magnetische Feld
zwei Freiheitsgrade; die Anzahl Modes müssen wir also mit der mittleren Energie pro Eigenschwingung
multiplizieren, um die spektrale Energiedichte zu erhalten.
!
# (3.34)
3.1. Hohlraumstrahlung
35
#
Das Raleigh-Jeans-Gesetz erfüllt die Forderung des Wienschen Gesetzes (3.26): . Die
Integration der spektralen Energiedichte über die Frequenz sollte zum Stefan-Boltzmann-Gesetz führen.
Dazu im Widerspruch steht aber die sogenannte Ultraviolettkatastrophe.
(3.35)
Das Raleigh-Jeans-Gesetz beschreibt die Hohlraumstrahlung also nicht korrekt und führt zum Schluss,
dass der Gleichverteilungssatz der klassischen Thermodynamik in diesem Fall nicht anwendbar ist.
Da nach dem Kirchhofschen Gesetz die Beschaffenheit des Hohlq
f
f
raumes und der Kontakt zum Wärmebad keine Rolle spielen, ist es
möglich, die Hohlraumstrahlung in Kontakt mit harmonischen Oszilm
latoren (Hertzsche Dipole) zu denken. Aus der Elektrodynamik ist bekannt, dass ein harmonischer Oszillator pro Zeiteinheit aus der Hohl- Abbildung 3.14: Harmonischer Oszilraumstrahlung im Mittel die Energie absorbiert sowie die mitt- lator
lere Energie emittiert,
!
( '&21
( '&21
(3.36)
(3.37)
wobei die mittlere Energie des harmonischen Oszillators ist. Im Gleichgewichtszustand
folgt sofort
!
#
(3.38)
Wird entsprechend der Forderung des Gleichverteilungssatzes der klassischen Thermodynamik jedem
harmonische Oszillator (2 Freiheitsgrade) die Energie
zugeordnet, so folgt wiederum das Gesetz
von Raleigh-Jeans (3.34), das im Widerspruch zur gemessenen Hohlraumstrahlung steht.
3.1.7 Planck’sches Strahlungsgesetz
Planck steht am Beginn der Quantenphysik. Er wurde durch die Interpretation der Daten auf phänomenologischem Wege zu der Formel
(3.39)
geleitet, die die mittlere Energie eines harmonischen Oszillators angibt, der im Kontakt mit der Hohl
raumstrahlung steht. ist eine neue Konstante, die von Planck zur Beschreibung der Hohlraumstrahlung
eingeführt wurde. Wir haben
die Planck’sche Konstante schon im 1. Kapitel eingeführt. Siehe Gleichung
hängt von der Frequenz ab und nähert sich im Bereich hoher Tem(1.2). Die Oszillatorenergie
, dem klassischen Ausdruck . Siehe Abbildung 3.15. Die spektrale
peraturen, d.h. für Energiedichte ergibt sich nun sofort durch Einsetzen von (3.39) in (3.38). Wir geben die resul
tierende Planck’sche Strahlungsformel
einmal in den Grössen und und einmal in den ‘natürlichen’
Grössen und an.
!
#
#
#
Die spektrale Energieabstrahlung eines schwarzen Strahlers ergibt sich dann zu
' (3.40)
(3.41)
3. Kapitel. Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik
36
S( ν, T)
<Eos> / kBT
1
Planck-Formel zu
verschiedenen Temeraturen
T1 < T2 < T3 < T4
T
klassischer Grenzfall
(Raleigh-Jeans)
klassischer Wert
quantenmechanischer Wert
4
T3
T2
T1
hν
0
ν
Abbildung 3.16: Energieabstrahlung quantenmechanisch korrekt nach Planck und
im klassischen Grenzfall.
Abbildung 3.15: Quantenmechanische und
klassische Oszillatorenergie im Vergleich.
und ist in Abbilung 3.16 graphisch aufgetragen. Es ist dort auch ersichtlich, dass das Gesetz von RaleighJeans den klassischen Grenzfall der Hohlraumstrahlung beschreibt. Die Planck’sche Strahlungsformel
(3.40) erfüllt die Wien’sche Bedingung (3.26) und das Wien’sche Verschiebungsgesetz (3.27) (siehe
Übungen). Aus dem Planck’schen Gesetz folgt sofort das Stefan-Bolzmann-Gesetz (siehe Übungen):
! $ $
#
#
! $
#
#
$ ! $
$
(3.42)
"
#
$
$
$
(3.43)
' # Die Stefan-Boltzmann-Konstante
$
#
(3.44)
lässt sich also durch die Boltzmann-Konstante (3.33), die Lichtgeschwindigkeit und die reduzierte Planck’sche
Konstante (1.3) ausdrücken.
Wir fragen nun nach der physikalischen Bedeutung des phänomenologischen Ansatzes und behautpen
mit Planck, dass der Ausdruck für die die Oszillatorenergie (3.39) zu den folgenden zwei Annahmen
äquivalent ist:
(i) Energiequantisierung
Ein Oszillator im Hohlraum kann nur diskrete Energiewerte annehmen, d.h.,
(3.45)
(ii) Besetzungswahrscheinlichkeit
Bei gegebener Temperatur gilt für die Menge der Oszillatoren mit der festen Energie
,
dass sie mit dem Gewicht
(3.46)
zur Gesamtenergie beitragen.
wird Besetzungswahrscheinlichkeit oder Boltzmannfaktor genannt.
Aus (i) und (ii) folgt sofort, dass die Gesamtenergie aller Oszillatoren
55
(3.47)
3.1. Hohlraumstrahlung
37
hν << kBT
.
.
.
.
.
.
N4
E4=4hν
N3
E3=3hν
N2
E2=2hν
N1
E1=hν
hν >> kBT
hν
hν
hν
N0
Abbildung 3.17: Auf der linken Seite ist das Niveauschema mit den gleichbleibenden Energieabständen
gezeigt. Auf der rechten Seite sind die Spezialfälle gezeigt, wo thermische Anregung (fast) aller Niveaus möglich ist (kleine Frequenzen) und wo eine solche kaum möglich ist (hohe
Frequenzen).
und die Gesamtanzahl aller Oszillatoren
55
sind. Mit der Abkürzung
Energie pro Oszillator
55
55
, wobei
(3.48)
im Intervall liegt, erhält man für die mittlere
(3.49)
Damit haben wir gezeigt, dass die Planck’sche Strahlungsformel
(3.39) aus den Annahman (i) und (ii)
folgt. Es gilt auch die Umkehrung, wenn man
ansetzt und für den vorgegebenen Mittelwert die Taylorreihen bildet. Die Planck’sche Strahlungsformel ist also äquivalent zur Quantisierung
der möglichen Energiewerte für den harmonischen Oszillator! Im sogenannten Niveauschema wird die
Energiequantisierung dargestellt. Siehe Abbildung 3.17 Die thermische Energie ,
# +
'& eV +
eV +
keV (3.50)
legt die Grenze fest für die thermische Anregung. Bei kleinen Frequenzen ist eine thermische
Anregung für fast alle Niveaus möglich und die Besetzungswahrscheinlichkeit verteilt sich ungefähr
gleiche auf die verschiedenen Energien:
(3.51)
+ + + + konst.
Bei hohen Frequenzen ist die thermische Anregung verhindert durch die zu hohen Energieabstände und das Verhältnis der Besetzungszahlen eines angeregten Zustandes zum Grundzustand
verschwindet:
+
(3.52)
Am Beispiel des klassischen harmonischen Oszillators zeigen wir, dass bei klassischen Systemen die
Energiequantisierung vollständig vernachlässigt werden kann. Aus der Mechanik kennen wir die Aus-
" und " und denjenigen für die Energie
drücke für die Frequenz , wo
bei die Federkonstante ist und die Amplitude. Bei einer Masse kg, einer Federkonstante
3. Kapitel. Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik
38
Nm und einer Amplitude
Energie auf
. Dies entspricht
ein Energieniveau beträgt nur noch
' ' * s und die
m beläuft sich die Frequanz auf #
+
Energiequanten
und
die
Änderung
um
#
. Man spricht auch von einem Quasikontinuum.
3.1.8 Herleitung des Planck’schen Strahlungsgesetzes nach Einstein
Aufgrund der folgenden Annahmen geben wir eine konsistente Herleitung der Planck’schen Strahlungsformel nach Einstein (1917).
Es gibt Atome im Hohlraum mit diskreten Energiezuständen, z. B.
und ( ), die mit der
Strahlung wechselwirken.
(3.53)
Vgl. Photoeffekt, wo die Energie eines Lichtquantes
gilt dann auftritt. Für .
Atome im Zustand
(ii) Es seien
Boltzmann vorhanden, d.h.,
und
oder
(iii) Für hohe Temperaturen, d.h. für
gelten:
+
mit dem Einstein’schen Absorptionskoeffizienten
(bzw. stimulierter) Form auf:
Abbildung 3.18: Absorption und
Emission von Photonen durch
ein Atom
#
mit den Besetzungszahlen nach
(3.54)
(3.55)
(3.56)
erhalten wir die Absorption
(3.57)
. Die Emmission tritt in spontaner und induzierter
En
soll der klassische Grenzfall von Rayleigh-Jeans
Wir betrachten nun die Übergänge pro Zeiteinheit . Von
n
Atome im Zustand
Emission
Absorption
Em
m
(i) Ein Atom absorbiert oder emittiert Photonen (Lichtquanten) aus
dem elektromagnetischen Feld mit der Energie
(3.58)
Die spontane Emission ist unabhängig von der spektralen Energiedichte, die induzierte hängt von der
letzteren ab. und werden wieder als Einstein’sche Emissionskoeffizienten bezeichnet. Im
Gleichgewicht
gilt offensichtlich
(3.59)
(3.60)
3.1. Hohlraumstrahlung
39
f
m
f
Abbildung 3.19: Oszillatorgitter
und im Grenzfall übergehen,
soll die spektrale Energiedichte in das Gesetz von Raleigh-Jeans (3.56)
+
#
(3.61)
Dies wird erfüllt, wenn die Einstein’schen Koeffizienten die Werte
#
(3.62)
annehmen. Das Planck’sche Strahlungsgesetz folgt damit sofort:
#
(3.63)
Das Verhältnis von spontaner zu induzierter Emission ist
3 5
5
(3.64)
und spielt eine wichtige Role bei der stimulierten Emission von Laserlicht.
3.1.9 Spezifische Wärme von Festkörpern
Eine wichtige Anwendung der Beziehung (3.39) bzw.
(3.65)
für die mittlere Energie des harmonischen Oszillators ist die spezifische Wärme von Festkörpern.
Wir gehen von 1 Mol eines Festkörpers mit
Molekülen aus. Die (gleichartigen) Moleküle schwingen zueinander harmonisch um die ihre Ruhelage (=Eigenschwingungen). Das Oszillatorgitter im Raum
besitzt somit Freiheitsgrade/Mol für die Schwingungen. Klassisch erhält man mit dem Gleichverteilungssatz (s.o.) die innere Energie/Mol gemäss
(3.66)
3. Kapitel. Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik
40
mit der universellen Gaskonstante
!&*
(3.67)
Aus der inneren Energie folgt, dass die Wärmekapazität des Festkörpers bei konstantem Volumen nicht
von der Temperatur abhängt,
(3.68)
das sogenannte Gesetz von Dulong-Petit, welches nur im Bereich hoher Temperaturen gilt. Empirisch
stellt man fest, dass die Wärmekakazität mit fallender Temperatur gegen Null geht:
.
Wir nehmen nun an, dass die Energien der Oszillatoren nur quantisiert auftreten können, d.h., dass die
Energien im Frequenzintervall durch (3.65) gegeben sind. Zusätzlich benötigen wir noch
die Verteilung der Frequenzen bzw. das Spektrum der Eigenschwingungen % mit der Normierung
da die Gesamtanzahl der Eigenschwingungen % (3.69)
beträgt. Die innere Energie nimmt damit die Form
% (3.70)
an.
Wir betrachten drei verschiedene Modelle für das Spektrum der Eogenschwingungen.
(i) Einstein-Modell
Bei diesem einfachten Modell sind alle Frequenzen gleich, d.h.
% (3.71)
Das Spektrum benutzt die Dirac’sche Deltafunktion bzw. -Distribution, die über das Integral
(3.72)
definiert ist. Sie ist keine Funktion im klassischen Sinne,
Das Spektrum
sondern ein Funktional.
(3.71) ist in der angegebenen Form bereits normiert: % .
Für die innere Energie und die Wärmekapazität benutzen wir die Einsteintemperatur (Materialkonstante)
und die Abkürzung
Das Grenzverhalten der Wärmekapazität ist:
(3.73)
(3.74)
(3.75)
(3.76)
3.1. Hohlraumstrahlung
CV
41
klassischer Grenzfall
α T3
Z(ω)
Debeye-Modell
3R
Debeye-Modell
Einstein-Modell
materialabhängiges
komplexes Modell z.B.
Einstein-Modell
ω0=ωE
T/Θ
Für , d.h.
, d.h.
:
:
Bei kleinen Temperaturen gilt näherungsweise
ω
Abbildung 3.22: Im allgemeinen ist das Spektrum
der Eigenfrequenzen eine materialabhängige Funktion. Ein Beispiel ist gezeigt im Vergleich mit dem
Debeye- und Einstein-Modell.
Abbildung 3.21: Einstein- und Debeye-Modell
für die temperaturabhängige Wärmekapazität
Für ωD
(3.77)
(3.78)
(3.79)
Die Wärmekapazität (3.76) nach Einstein stimmt bei mittleren und hohen Temperaturen gut mit
dem Experiment überein, die Daten zeigen jedoch für ein im Vergleich mit (3.79) schwä#
cheres -Verhalten.
(ii) Debeye-Modell
Wir nehmen an, dass die Anzahl der Eigenschwingungen pro Frequenzintervall wie bei der Hohlraumstrahlung (siehe (3.32)) verteilt sind, d.h. das Spektrum ist proportional zu ,
% (3.80)
Aus der Normierungsbedingung (3.69) folgt, dass eine
obere Grenzfrequenz eingeführt werden muss. Physikalisch entspricht die Grenzfrequenz der Schwingung
mit der kleinstmöglichsten Wellenlänge . Sie2a
he Abbildung 3.20. Die Atome des Gitters in Abbildung
3.19 schwingen dann gerade in Gegenphase. Damit er- Abbildung 3.20: Schwingung in Gegenphase
halten wir sofort für das Spektrum der Eigenschwingungen
% (3.81)
#
Mit der Debeye-Temperatur
(3.82)
3. Kapitel. Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik
42
Kristall-Reflektor
λ'
λ
Θ
Röntgendetektor
Graphit-Streukörper
mit freien Elektronen
Abbildung 3.23: Schematischer Aufbau zur Messung des Comptoneffektes
erhalten wir die innere Energie und die Wärmekapazität.
#
#
(3.83)
$
(3.84)
Das Grenzverhalten der Wärmekapazität ist:
Für , d.h. Für , d.h. :
:
#
#
$
$
"
$ (3.85)
#
(3.86)
Die experimentellen Werte bei einfachen Kristallen stimmen völlig mit den Vorhersagen des DebeyModelles überein. In Abbildung 3.21 sind die Wärmekapazitätskurven des Einstein- und DebeyeModelles dargestellt.
(iii) Realistisches Modell
Für einen komplizierter aufgebauten Festkörper muss ein entsprechend komplexeres Spektrum
der Eigenschwingungen benutzt werden. (Siehe Vorlesung über Festkörperphysik) Die Abbildung
3.22 zeigt ein Beispiel.
3.2 Comptoneffekt
Beim lichtelektrischen Effekt verhält sich das Licht wie ein Teilchenstrom mit der Energie
pro Photon. Was passiert nun, wenn Licht auf ein freies Elektron trifft und an ihm gestreut wird? —
Abbildung 3.23 zeigt den experimentellen Aufbau zur Messung des Comptoneffektes (Compton, 1923).
Man misst die gestreute Wellenlänge in Abhängikeit des Streuwinkels und halten als erstes fest,
dass sie immer grösser als die einfallende Wellenlänge ist: . Wir analysieren den Comptoneffekt
nun im Rahmen des Photonenmodells als klassischen Stoss zweier Teilchen. Siehe Abbildung 3.24.
3.3. Atombau und Korrespondenzprinzip
43
λ'
au
λ
sl
n
fe
au
de
s
o
Ph
n
to
Θ
e
einfallendes Photon
e'
v
Abbildung 3.24: Streuung eines Photons an einem Elektron
vor dem Stoss:
nach dem Stoss:
Energie
Impuls
Energie
Impuls
Photonen
Elektron
*
* * * * , $*
$
*,
Tabelle 3.1: Energie und Impuls von Photon resp. Elektron vor und nach dem Stoss
3.3 Atombau und Korrespondenzprinzip
3.4 Franck-Hertz-Versuch
3.5 Welleneigenschaften der Materie
3.6 Doppelspaltexperimente
3.7 Unschärferelation
44
3. Kapitel. Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik
Kapitel 4
Theoretische Grundlagen der
Quantenphysik
4.1 Wellenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsinterpretation
Wie wir z.B. beim Doppelspaltexperiment gesehen haben, tritt bei Quantenobjekten das Phänomen des
Welle-Teilchen-Dualismus auf. Deshalb machen wir nun den Versuch, Teilchen mit Hilfe einer orts- und
zeitabhängigen Funktion
(4.1)
zu beschreiben. Diese Funktion muss Welleneigenschaften haben, damit unter anderem Interferenzeffekte beschreibbar sind. An die Wellenfuktion stellen wir noch die Anforderung, dass sie im relevanten
Konfigurationsraum endlich, stetig und eindeutig sein soll. Zuerst betrachten wir aber nur einzelne Teilchen, und interpretieren als ein Mass für die Wahrscheinlichkeitsdichte , die die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchen zur Zeit am Ort beschreibt. muss natürlich reell und grösser
als Null sein, und die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen in einem kleinen (infinitesimalen) Volumen
auffindbar ist, ist dann gegeben durch
element Der folgende einfache Ausdruck für (4.2)
bietet sich an:
(4.3)
wobei der Stern die komplex konjugierte Grösse bezeichnet. Gleichung (4.3) beinhaltet die sogenannte
Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion und geht auf Max Born (1926) zurück. Eine tiefere Begründung, weshalb (4.3) die richtige Wahl für die Wahrscheinlichkeitsdichte ist, wird in diesem
Kapitel durch Gleichung (4.156) gegeben. Da die Gesamtwahrscheinlichkeit, das (stabile) Teilchen im
zur Verfügung stehenden Gebiet zu finden gleich ist, muss die Wellenfunktion die Normierungsbedingung
(4.4)
erfüllen. Daraus folgt die Forderung, dass quadratintegrabel sein muss (d.h.
), also im
Unendlichen hinreichend schnell gegen geht, wenn
unendlich ausgedehnt ist. Im Folgenden werden wir häufig mit ebenen Wellen rechnen, die die Normierungsbedingung (4.4) nicht erfüllen.
Dies ist aber kein wirkliches Problem, da ja ebene Wellen mittels der Fouriertransformation gerade dazu
verwendet werden können, quadratintegrable Funktionen darzustellen (s.u.).
45
4. Kapitel. Theoretische Grundlagen der Quantenphysik
46
Ψ
r oder t
Abbildung 4.1: „Unerlaubtes“ Verhalten einer Wellenfunktion
4.2 Zeitabhängige und zeitunabhängige Schrödingergleichung
Wir suchen nun nach einer Gleichung, die es uns erlaubt, (und damit P) zu bestimmen. Da das quantenmechanische Teilchen Wellencharakter haben soll, starten wir heuristisch mit der klassischen skalaren
Wellengleichung, die z.B. in der Optik breite Anwendung findet:
(4.5)
wobei die abstrakte Feldgrösse (bespielsweise ) mit der Intensität der Welle durch
in Beziehung steht. Das Symbol in (4.5) steht für den d’Alembert-Operator, welcher definiert
ist durch (siehe auch Kap. 4.5, mathematische Hilfsmittel)
#
(4.6)
ist die für das betrachtete Problem charakteristische Wellengeschwindigkeit. Aus der Wellengleichung
folgt für monochromatische Wellen (mit einer Frequenz) bei periodischer Zeitabhängigkeit
oder, mit der Wellenzahl
0 )
- (4.7)
(4.8)
d.h. wir erhalten als stationäre (zeitunabhängige) Wellengleichung die sogenannte Helmholtzgleichung.
Die Lösungen dieser Gleichung sind spezielle ebene Wellen
0 -
Wir betrachten nun ebene Materiewellen
und fordern, dass für
(4.9)
0 -
(4.10)
und die de Broglie- beziehungsweise die Einsteinbeziehungen gelten sollen:
(4.11)
(4.12)
4.2. Zeitabhängige und zeitunabhängige Schrödingergleichung
47
Dann erfüllt die Wellenfunktion für Materiewellen die Gleichungen
diff.
(4.13)
(4.14)
Im nichtrelativistischen, klassischen Fall sind aber Impuls und Energie eines freien Teilchens durch die
Beziehung
(4.15)
verknüpft, und daher schreiben wir
(4.16)
Schliesslich postulieren wir noch zusätzlich, dass der entsprechende Zusammenhang zu (4.15) auch für
ein Teilchen in einem Potenzial gelten soll, also
& -
(4.17)
Dann erhalten wir die zeitabhängige Schrödingergleichung (Schrödinger, 1926):
(4.18)
Man darf mit Fug und Recht behaupten, dass die Schrödingergleichung die wohl wichtigste Gleichung der Quantenmechanik ist, deren „Richtigkeit“ durch zahlreiche Experimente immer wieder voll
bestätigt wurde.
Analog zum klassischen Zweikörperproblem lässt sich auch beim quantenmechanischen Zweikörperproblem die Schwerpunktskoordinate abseparieren, sodass die Schrödingergleichung auch Zweiteilchensysteme mit abstandsabhängiger Wechselwirkung zu beschreiben vermag. Auch hier muss dann die
reduzierte Masse *
eingeführt werden.
Die Schrödingergleichung ist ein lineare Gleichung und erfüllt damit das Superpositionsprinzip:
Falls und
Lösungen der Schrödingergleichung sind, dann auch die Linearkombinati
on ( )
(4.19)
Insbesondere sind also nicht nur ebene Wellen, sondern allgemeinere Wellenpakete der Form
-
0
# (4.20)
eine Lösung der (freien) Schrödingergleichung. Das Superpositionsprinzip ist von fundamentaler Bedeutung für die gesamte Quantenmechanik ( verschränkte Zustände, keine chaotischen (nicht-linearen !)
Lösungen der Schrödingergleichung etc.).
Wir untersuchen nun die Schrödingergleichung für den wichtigen Spezialfall eines zeitunabhängigen
Potenzials (z.B. ein Coulomb-, Molekül- oder Gravitationspotenzial):
(4.21)
4. Kapitel. Theoretische Grundlagen der Quantenphysik
48
Um diese Gleichung zu lösen, machen wir einen Separationsansatz, mit dem wir die Variablen und
trennen, und betrachten Lösungen, die sich als Produkt eines zeit- und eines ortsabhängigen Anteils
schreiben lassen
(4.22)
Setzen wir den Ansatz (4.22) in Gleichung (4.21) ein, so erhalten wir
(4.23)
Dividieren wir (4.23) durch
, so erhalten wir die eine Gleichung, deren linke Seite nur von und
deren rechte Seite nur von anhängt (man überlege sich, weshalb die Division durch erlaubt ist):
-
-
(4.24)
Eine solche Gleichung kann nur gelten, wenn beide Seiten gleich einer Konstanten sind (Separations
konstante), die wir in weiser Voraussicht nennen. Die zeitunabhängige Wellenfunktion erfüllt dann
die sogenannte zeitunabhängige Schrödingergleichung
(4.25)
schliesslich mit der
Durch Vergleich mit der zeitabhängigen Schrödingergleichung identifizieren wir
totalen Energie des Teilchens. Für finden wir
0 -
(4.26)
und somit erhält man bei geeigneter Normierung
0
d.h. für die zeitunabhängige Schrödingergleichung separiert die Wellenfunktion
hängigen Raum- und Zeitanteil !
Trivialerweise folgt für die Wahrscheinlichkeitsdichte sofort
in einen unab-
0 - 0 - und für zeitunabhängige Potenziale ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (4.27)
(4.28)
im
Volumenelement zeitlich unabhängig. Diese Tatsache stellt einen Spezialfall der sogenannten Wahrscheinlichkeitserhaltung dar. Die Forderung, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo
zu finden, konstant gleich 1 ist, kann auch als grundlegendes Postulat eingeführt werden, um so umgekehrt die Schrödingergleichung herzuleiten.
4.3 Die relativistische Form der Schrödingergleichung (Klein-Gordon-Gleichung)
Bei der „Begründung“ der Schrödingergleichung haben wir die nichtrelativistische Beziehung
(4.29)
vorausgesetzt. Wir rechnen nun relativistisch und verwenden den entsprechenden Ausdruck für die Energie eines Teilchens
"
$
(4.30)
4.4. Einführung von Operatoren
49
$ (4.31)
Fordern wir nun wie im Falle der Schrödingergleichung
(4.32)
so erhalten wir die sogenannte zeitabhängige Klein-Gordon-Gleichung:
$ die bei Verwendung der Comptonwellenlänge folgende Form annimmt:
(4.33)
Für den Spezialfall eines kräftefreien Teilchens mit Gleichung
oder in kompakter Schreibweise
(4.34)
erhalten wir die kräftefreie Klein-Gordon-
(4.35)
(4.36)
Den stationären Fall mit zeitunabhängigem Potenzial untersucht man am einfachsten wieder
mit einem Separationsansatz. Aus
0 (4.37)
folgt sofort die zeitunabhängige Klein-Gordon-Gleichung
(4.38)
Die Klein-Gordon-Gleichung hat nur einen Spin-Freiheitsgrad, d.h. sie gilt nur für Teilchen ohne inneren
Drehimpuls. Sie ist daher zur korrekten Beschreibung des Wasserstoffatoms ungeeignet, ist aber nütz lich bei der Beschreibung von pionischen Atomen, wo ein negativ geladenes Pion ( ) die Rolle des
Elektrons übernimmt (s.u.).
Die mit der Masse und den fundamentalen Naturkonstanten und verknüpfte Comptonwellenlänge
beschreibt offensichtlich die für die quantenmechanische Beschreibung des Teilches charakteristische
Längenskala.
4.4 Einführung von Operatoren
Wie wir gesehen haben, erfüllen die Wellenfunktionen für freie ebene Materiewellen die Beziehungen
und
(4.39)
d.h. den dynamischen Grössen Energie und Impuls werden die Operatoren Wir verallgemeinern diese Beobachtung und postulieren:
und
zugeordnet.
Dynamischen Observablen (Messgrössen) in der klassischen Physik werden in der Quantenmechanik Operatoren zugeordnet.
Die Bedeutung des obigen Satzes soll nun durch einige Anwendungsbeispiele verständlich gemacht werden:
4. Kapitel. Theoretische Grundlagen der Quantenphysik
50
4.4.1 Der Hamiltonoperator
im Potenzial . Die klassische
Wir betrachten wieder ein einzelnes Teilchen mit Gesamtenergie
Hamiltonfunktion des Teilchens ist gegeben durch
& !-
ist
(4.40)
. Mit der Ersetzung
Speziell für konservative Systeme mit &
erhalten wir den Hamiltonoperator aus der klassischen Hamiltonfunktion &
(4.41)
Häufig kennzeichnet man quantenmechanische Operatoren auch durch ein Hutsymbol, um sie von den
klassischen Grössen zu unterscheiden. Dann gilt beispielsweise
. Wir lassen aber im Folgenden diese zusätzlichen Markierungen weg, da Missverständnisse kaum möglich sind.
Mit Hilfe des Hamiltonoperators schreibt sich die zeitabhängige beziehungsweise die stationäre
Schrödingergleichung als
(4.42)
Die stationäre Gleichung für die Wellenfunktion ist eine Differentialgleichung, die nur für bestimmte Werte der Energie - sogenannte Eigenwerte - normierbare Lösungen besitzt; es handelt sich daher
um eine sogenannte Eigenwertgleichung, wie man sie auch aus der klassischen Physik kennt (z.B. bei
der Beschreibung von schwingenden Saiten, Membranen etc.). Die zu den erlaubten Energieeigenwerten
gehörigen Lösungen der Schrödingergleichung sind Eigenfunktionen. Die Eigenwerte und Eigenfunktionen ergeben sich aus den vorgegebenen Randbedingungen, wie zum Beispiel der Forderung, dass die
Wellenfunktion im Unendlichen verschwinden muss.
Also gilt für die Lösungen der stationären Schrödingergleichung
mit den Energieeigenwerten
E
E3
E2
E1
(4.43)
und den dazugehörigen Eigenfunktionen
, und es
moegliches
Energiekontinuum
einzelne moegliche
Energiezustaende
Abbildung 4.2: Ein (typisches) Energiespektrum
folgt somit aus der Schrödingergleichung „automatisch“ die Existenz einzelner Energiezustände (Energiequantisierung). Man beachte aber, dass in gewissen Bereichen die sonst diskreten Energieeigenwerte
auch kontinuierlich sein können. Dann ist eine diskrete Indexmenge für alle möglichen Energieindices
nicht mehr ausreichend.
4.4. Einführung von Operatoren
51
4.4.2 Drehimpulsoperatoren
Wir betrachten zuerst ein klassischen Teilchen mit Impuls
usvektor . Der klassische Drehimpuls ist dann
auf einer momentanen Kreisbahn mit Radi-
(4.44)
oder in Komponenten
zykl. vert.
(4.45)
benützen wir die „Übersetzungsvorschrift“
Wieder
toren
&
und erhalten damit sofort die Drehimpulsopera-
&
beziehungsweise
&
&
(4.46)
(4.47)
Schliesslich bilden wir noch den später wichtigen Operator für das Betragsquadrat des Drehimpulsoperators (das Symbol „op“ lassen wir im Folgenden wieder weg)
(4.48)
Offensichtlich sind nun quantenmechanische Operatoren im allgemeinen nicht kommutativ - sie ver-
z
p
L
r
Abbildung 4.3: Drehimpuls eines Teilchens
tauschen nicht. Ein einfaches Beispiel für nicht kommutierende Operatoren ist beispielsweise gegeben
durch
also
!
(4.49)
(4.50)
Da also die Reihenfolge bei der Multiplikation von Operatoren eine Rolle spielt, führen wir zur Charak
terisierung dieser Tatsache den Kommutator von zwei beliebigen Operatoren , oder aber den
Antikommutator ein:
(4.51)
4. Kapitel. Theoretische Grundlagen der Quantenphysik
52
Häufig verwendet man für den Kommutator die Notation und für den Antikommutator
beschränken uns ab sofort auf lineare Operatoren, für die gilt
/ . Wir
(4.52)
und welche das distributive und das assoziative Gesetz
(4.53)
erfüllen. Dann leitet man sofort einen Satz von allgemeinen Kommutatorbeziehungen ab: Die einfachen
Beziehungen
(4.54)
(4.55)
(4.56)
folgen direkt aus der Definition der Kommutatoren, und durch explizites Nachrechnen erhält man
(4.57)
sowie die sogenannte Jacobi-Identität
(4.58)
Analoge Beziehungen gelten für den Antikommutator, die aber im Rahmen dieses Vorlesungsskriptes
noch nicht von Bedeutung sind.
Wir betrachten nun einige Beispiele von Operatoren mit nichtverschwindenden Kommutatoren.
4.4.2.1
Fundamentale Vertauschungsrelationen für Ort und Impuls
Eine skalare Funktion , die differenzierbar sein soll, kann auch als Operator aufgefasst werden.
Dieser wirkt dann einfach mutiplikativ auf die Wellenfunktion:
(4.59)
Wir behaupten nun, dass für die -Komponente des Impulses und dem eben eingeführten Operator folgende Vertauschungsrelation gilt:
(4.60)
Dies beweist man leicht durch explizites Nachrechnen: Es gilt
(4.61)
Analoges gilt für die - und -Komponenten, so dass wir schreiben können
Wählen wir speziell (4.62)
, oder , so folgt
(4.63)
4.5. Einige mathematische Hilfsmittel
oder allgemeiner
wobei gilt
bzw.
53
(4.64)
#
(4.65)
Zusätzlich haben wir das Kroneckersymbol eingeführt, welches definiert ist durch
Trivialerweise gilt noch
4.4.2.2
(4.66)
(4.67)
Fundamentale Vertauschungsrelationen für den Drehimpuls
Wir berechnen nun den Kommutator . Wir benützen dazu die oben hergeleitete explizite Form
für die - und -Komponenten des Drehimpulses
und erhalten damit
(4.68)
(4.69)
Wir berechnen die einzelnen Kommutatoren in (4.69) im Detail:
(4.70)
(4.71)
(4.72)
(4.73)
Das Resultat ist schliesslich recht kurz:
(4.74)
und durch zyklischen Vertauschen erhalten wir endgültig
das heisst, die Komponenten des Drehimpulses (4.75)
vertauschen nicht !
4.5 Einige mathematische Hilfsmittel
Wir diskutieren hier zuerst noch die wichtigsten Eigenschaften von Differentialoperatoren, wie sie häufig bei der Behandlung der Wellengleichung oder der Schrödingergleichung gebraucht werden. Danach
wenden wir uns einigen wichtigen mathematischen Methoden zu, die im Folgenden gebraucht werden.
Wir gehen dabei nicht allzu sehr in die Tiefe und verzichten auf hohe mathematische „Eleganz“ und
Vollständigkeit.
4. Kapitel. Theoretische Grundlagen der Quantenphysik
54
4.5.1 Differentialoperatoren
Wie wir bei der Herleitung der Schrödingergleichung gesehen haben, enthält die Wellengleichung (sowie
die Schrödingergleichung) den Laplace-Operator, der in kartesischen Koordinaten definiert ist durch
(4.76)
Führen wir den Nabla-Operator ein, welcher, wenn er auf eine Funktion angewendet wird, deren Gradienten berechnet
(4.77)
so können wir schreiben
(4.78)
Mit dem Nabla-Operator lässt sich nebst dem Gradienten einer Funktion
grad auch das skalare Produkt mit einem Vektorfeld Feldes
div (4.79)
bilden, die sogenannte Divergenz des
(4.80)
Das vektorielle Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld führt auf die sogenannte Rotation
desselben
rot 0
0 0 0 zykl. vert. Terme (4.81)
Speziell gilt also auch
div grad.
Die eben betrachteten Ausdrücke lassen sich auch leicht in andere Koordinatensysteme transformieren (s.u.) und sogar koordinatenfrei definieren.
4.5.2 Funktionensysteme
Gegeben sei eine Menge von Funktionen orthogonal, wenn gilt
, definiert auf einem Intervall
Entsprechend definieren wir ein Skalarprodukt auf dem durch die . Dann nennen wir
(4.82)
aufgespannten Vektorraum
(4.83)
und wir setzten natürlich voraus, dass die Integrale in (4.82,4.83) auch existieren. Durch Multiplikation
mit geeigneten Faktoren lassen sich die Funktionen so umdefinieren, dass
gilt (wobei wir
erfüllt ist). Die Funktionen sind dann
vernünftigerweise voraussetzen, dass ursprünglich
normiert und bilden ein orthonormiertes Funktionensystem.
Existiert nun keine weitere Funktion , die zu allen Funktionen aus dem orthonormierten
System orthogonal ist (ausser der Nullfunktion), so heisst das System vollständig; man sagt, ist ein vollständiges orthonormiertes System (VONS).
Für ein VONS gilt nun der folgende wichtige Satz:
4.5. Einige mathematische Hilfsmittel
55
(Fast) jede Funktion
kann auf dem Intervall
werden, d.h. wir können etwas salopp schreiben:
nach den Funktionen entwickelt
(4.84)
Gleichung (4.84) stellt eine sogenannte Fourierreihe mit Entwicklungskoeffizienten dar (Fourierkoeffizienten). Die Fourierkoeffizienten können wie folgt bestimmt werden: Wir multiplizieren die Funktion
mit und integrieren das Produkt über das Intervall womit wir den Fourierkoeffizienten Somit kann
(4.85)
(4.86)
extrahiert haben:
durch die orthogonale Basis (4.87)
dargestellt werden
(4.88)
wobei . Man beachte dabei, dass sicher nicht alle Integrale verschwinden, ausser
gemäss der Definition
wenn
eines VONS überall auf dem Intervall verschwindet. Weiter muss derart
„beschaffen“ sein, dass alle Integrale existieren und die Reihe (4.88) konvergiert. Für Details konsultiere
man die Mathematikvorlesungen !
Gleichung (4.88) kann in vollständiger Analogie zu folgenden Beziehungen für Vektoren im euklidi
gesehen werden. Betrachten wir nämlich einen Vektor , so können wir diesen
schen Raum
als Linearkombination
(4.89)
0 0 0
von Einheitsvektoren schreiben, die bezüglich dem auf dem Raum definierten Skalarprodukt die Orthogonalitätsrelation
0 0
(4.90)
erfüllen. Aus der Vorlesung über lineare Algebra ist bekannt, dass für die Entwicklungskoeffizienten ein einfacher Ausdruck gilt:
0 0 0 (4.91)
und für das Betragsquadrat (dem Quadrat N der Norm) des Vektors gilt
0
(4.92)
Ein Vergleich mit den für die Funktionensysteme geltenden Formeln zeigt: Die entsprechen den Ein
oder unendlich dimensionalen Vektorraum - dem Hilbertraum, der in
heitsvektoren 0 in einem endlich
gewisser Weise durch die erzeugt wird. Weiter gilt: ist ein Vektor in diesem Raum, und seine
4. Kapitel. Theoretische Grundlagen der Quantenphysik
56
Entwicklungskoeffizienten bezüglich der „Einheitsvektoren“ sind durch das (definierte) Skalarprodukt
gegeben. Die Norm des Vektors ist dann analog gegeben durch
(4.93)
und es ist offensichtlich
.
Abschliessend überlegen wir uns noch explizit, dass
folgt
gilt: Aus
(4.94)
also ist
(4.95)
(4.96)
4.5.3 Erwartungswerte von Operatoren
sei eine klassische physikalische Observable, die verschiedene, diskrete Messwerte besitzen soll.
Dabei sei die Wahrscheinlichkeit, die verschiedenen Messgrössen
am betrachteten
phy
sikalischen System zu messen gegeben durch , , ... , wobei
natürlich
(4.97)
liegen. Zum Beispiel: Sei
# . Dann ist
,
'
und
#
'
sein muss. Führen wir nun eine sehr grosse Anzahl Messungen
von
Mittelwert von beliebig nahe beim Erwartungswert
, sowie durch, dann wird der ermittelte
' , (4.98)
und
(4.99)
Die obigen Betrachtungen lassen sich auch trivial auf kontinuierliche Variable (als Messwerte) verallgemeinern. Dann definiert man den Erwartungswert durch
(4.100)
Die klassischen Betrachtungen zum Messvorgang übertragen wir nun auf die Quantenmechanik:
Gegeben sei daher eine Wellenfunktion , die aus Gründen der Einfachheit hier auf einer Raumdimension definiert sei. Wir suchen nun den Mittelwert
für eine Ortsmessung des durch die Wellenfunktion
beschriebenen Teilchens, d.h. den Erwartungswert , wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung in gegeben ist durch (s.o. !)
(4.101)
4.5. Einige mathematische Hilfsmittel
57
In völliger Analogie zu oben erhalten wir dann
(4.102)
an. Ganz allgemein definieren wir daher für den Erwartungswert eines Operators
(4.103)
Der Mittelwert einer physikalischen messbaren Grösse sollte natürlich reell sein:
(4.104)
Dies gilt aber nur für hermitesche Operatoren.
4.5.4 Eigenschaften hermitescher Operatoren
Zunächst führen wir zu einem gegebenen Operator
für fordern
Ein Operator
den zu
adjungierten Operator ein, indem wir
heisst hermitesch oder selbstadjungiert, falls
(4.105)
gilt, also
(4.106)
Es ist hier angebracht zu bemerken, dass ein exaktes Verständnis der Begriffe „hermitesch“ und „selbstadjungiert“ für Operatoren in unendlichdimensionalen Hilberträumen einiges mehr an Mathematik erfordern würde, als im Rahmen dieser Vorlesung geboten werden kann. Wir wählen nun speziell in (4.106)
und erhalten
(4.107)
Deshalb gilt:
Der Erwartungswert eines hermiteschen Operators ist reell
.
Die Eigenwerte eines hermiteschen Operators sind ebenfalls reell.
Betrachten wir nämlich die Eigenwertgleichung für den Operator
dann folgt aus
die Identität für und , da
Weiter gilt:
(4.108)
(4.109)
(4.110)
4. Kapitel. Theoretische Grundlagen der Quantenphysik
58
Eigenfunktionen von hermiteschen Operatoren sind orthogonal (beziehungsweise im Falle der Entartung orthogonalisierbar), das heisst
,
für Eigenfunktionen
von
(4.111)
Der Beweis für diese Tatsache ist nicht besonders schwierig und wird in der weiterführenden
Quantenmechanik-Vorlesung besprochen.
Zwei hermitesche Operatoren mit gemeinsamen Eigenfunktionen vertauschen. Seien nämlich und
zwei (verschiedene) hermitesche Operatoren mit gemeinsamen Eigenfunktionen, dann gilt
für jede Eigenfunktion
und somit
(4.112)
(4.113)
Umgekehrt gilt auch: Vertauschen zwei Operatoren, so existiert eine Basis von gemeinsamen Eigenvektoren.
Für nicht vertauschende, hermitesche Operatoren gilt eine Unschärfebeziehung.
, d.h. die Abweichung des eigentliDazu definieren wir zunächst den Operator chen Operators von seinem Erwartungswert bezüglich eines Zustandes. Damit wird das mittlere
Schwankungsquadrat des Operators
(4.114)
und es ergibt sich daraus die (experimentelle) Unschärfe der dem Operator
Observable
* & "
weil
entsprechenden
(4.115)
(4.116)
gilt. Wir behaupten nun, dass für die Unschärfen zweier beliebiger hermitescher Operatoren und
gilt:
'
(4.117)
Dies ist eine Unschärfebeziehung für hermitesche Operatoren, und speziell gilt für kommutierende
Operatoren daher
(4.118)
Beweis: Aus den hermiteschen Operatoren und bilden wir den (nichthermiteschen) Hilfsoperator
(4.119)
Natürlich gilt
und somit
(4.120)
4.5. Einige mathematische Hilfsmittel
59
Dies schreiben wir um wie folgt
Wie man sich leicht überzeugt, ist und '
'
(4.121)
(4.122)
ein antihermitescher Operator, d.h.
(4.123)
ein hermitescher Operator. Der Erwartungswert eines antihermiteschen Operators
ist rein imaginär, da wegen nämlich hermitesch ist und reelle Eigen-
werte besitzt. Wir nützen nun diese Eigenschaft (anti-)hermitescher Operatoren aus und wählen
spezielle Werte für und :
Dann wird aus Ungleichung (4.122)
'
und somit
'
"
(4.124)
'
'
Ersetzen wir in der obigen Argumentation die Operatoren berücksichtigen wir, dass
* - * * '
(4.125)
(4.126)
und
durch , respektive und
(4.127)
da sich die Operatoren jeweils nur durch ein Vielfaches der Identität unterscheiden, so erhalten wir
schliesslich die allgemeine Form der Unschärferelation
( 0 (4.128)
Das wohl bekannteste Anwendungsbeispiel für die Unschärferelation betrifft die Orts- und Impulsunschärfe eines Teilchens. Wählen wir für den Operator für die x-Koordinate eines Teilchens
und für die x-Komponente des Teilchenimpulses , so folgt als Konsequenz der Vertauschungsrelationen die Heisenbergsche Unschärferelation
Abschliessende Bemerkungen:
(4.129)
4. Kapitel. Theoretische Grundlagen der Quantenphysik
60
– Die Unschärfebeziehung folgt auch sofort aus der Schwarzschen Ungleichung: Für zwei Vek
toren aus einem Hilbertraum und entsprechend für zwei (Wellen-)funktionen und gilt
für das Skalarprodukt
(4.130)
Durch die Ersetzungen
folgt unter Zuhilfenahme der trivialen Identität
(4.131)
(4.132)
nach kurzer Rechnung die Unschärfebeziehung (4.128). Der oben gegebene Beweis ist länger, da dort die Kenntnis der Schwarzschen Ungleichung nicht vorausgesetzt wurde.
– Für Energie- und Zeit gilt eine ähnliche und häufig verwendete Unschärferelation, die jedoch
nicht direkt aus der hier besprochenen Unschärfebeziehung folgt: Die Zeit ist in der QM
ein reeller Parameter und kein Operator.
Betrachten wir z. B. ein Wellenpaket eines Teilchens der Masse mit Impuls- und einer
entsprechenden Energieunschärfe
so ist die ungefähre Zeit, die das Wellenpaket mit Breite
Ort benötigt, gegeben durch
also ist formal
,
für einen Durchgang an einem
(4.133)
(4.134)
(4.135)
Eine vertiefte Analyse des Energiemessprozesses zeigt, dass tatsächlich die Messung der
erfordert, entEnergie eines Teilchens mit Genauigkeit
mindestens die Zeit
sprechend oben hergeleiteten Beziehung (4.135).
Matrixdarstellung eines hermiteschen Operators:
Einem hermiteschen Operator kann bezüglich eines VONS von Funktionen eine hermite Wirkt nämlich auf ein , so kann die resultierende Funktion
sche Matrix zugeordnet werden.
wieder nach den Funktionen entwickelt werden
Durch Multiplikation mit ergibt sich dann
(4.136)
von links und Integration über den betrachteten physikalischen Raum
(4.137)
4.6. Heisenberggleichung
61
d.h. die komplexen Zahlen Matrixdarstellung des Operators :
bilden die von der Wahl des Basissystems abhängige
und wegen der Hermitezität von
#
..
.
(4.138)
ist auch die Matrix hermitesch
mit
Speziell kann man als orthonormale Basis die Eigenfunktionen
rators wählen, dann ist die Matrixdarstellung des Operators diagonal.
..
.
(4.139)
des Ope-
(4.140)
Oder anders formuliert: Die Diagonalisierung einer Matrix des Operators entspricht der Lösung
, und ist damit ein in der QM häufig auftretendes Problem,
des Eigenwertproblems
das in vielen Fällen numerisch gelöst werden muss. Ist die Wahl des ursprünglichen VONS dem
Problem bereits gut angepasst, d.h. findet man von Beginn an Funktionen, die die tatsächlichen
Eigenfunktionen des Operators gut annähern, so ist die Startmatrix schon ’beinahe’ diagonal, und
der Lösungsaufwand verringert sich.
4.6 Heisenberggleichung
Da ein quantenmechanischer Zustand einer zeitlichen Entwicklung unterliegt, sind i. A. die Erwartungswerte eines Operators auch zeitabhängig. Wir berechnen daher
(4.141)
wobei die Integration über ein zeitunabhängiges physikalisches Volumen ausgeführt werden soll. Unter
folgt sofort
Ausnutzung der Schrödingergleichung
(4.142)
Damit ergibt sich die Heisenbergsche Bewegungsgleichung für den Erwartungswert eines Operators
(4.143)
4. Kapitel. Theoretische Grundlagen der Quantenphysik
62
die eine explizite Zeitabhängigkeit des Operators enthält. Ist
hängig, so vereinfacht sich die Gleichung auf
Vertauscht
mit
, d.h.
wie in vielen Fällen nicht explizit zeitab
(4.144)
, dann folgt
(4.145)
also entspricht
dann einer Erhaltungsgrösse (einem Bewegungsintegral). Für den einfachsten Fall
,
folgt aus der Heisenberggleichung die Tatsache, dass die (Wahrscheinlichkeits-)
Normierung eines Zustand unabhängig von der Zeit gelten muss:
Und für die spezielle Wahl
folgt der Energiesatz
(4.146)
und einen nicht explizit zeitabhängigen Hamiltonoperator
(4.147)
4.7 Wahrscheinlichkeitsdichte und Kontinuitätsgleichung
Die Gesamtwahrscheinlichkeit, ein durch eine Wellenfunktion beschriebenes Teilchen irgendwo im
physikalischen Raum zu finden, ist konstant (sofern das Teilchen nicht zerfällt). Allerdings kann sich
die ortsabhängige Wahrscheinlichkeitsverteilung zeitlich ändern. Eine quantitative Beschreibung dieser
Tatsache folgt direkt aus der Schrödingergleichung. Diese sei also gegeben durch den Hamiltonoperator
(4.148)
Multiplizieren wir die Schrödingergleichung für von links mit
und die konjugiert komplexe Schrödingergleichung von links mit und subtrahieren die Resultate, so erhalten wir
(4.149)
(4.150)
(4.151)
Wir haben dabei vorausgesetzt, dass das Potenzial reell ist (komplexe Potenziale werden tatsächlich
beispielsweise in der Kernphysik verwendet). Die den Laplaceoperator enthaltenden Terme formen wir
noch etwas um. Aus der Produktregel für Ableitungen folgt
/, (4.152)
4.8. Postulate der Quantentheorie
63
also können wir (4.151) folgendermassen schreiben:
(4.153)
Führen wir die Wahrscheinlichkeitsdichte
(4.154)
und den Wahrscheinlichkeitsstrom
(4.155)
ein, dann wird klar, dass offensichtlich für diese Grössen die Kontinuitätsgleichung
/,
(4.156)
gilt. Dieser Umstand ist zu vergleichen mit der Elektrodynamik, wo die Ladungserhaltung durch eine
Kontinuitätgleichung für Ladungsdichte und Strom ausgedrückt wird, oder der Hydrodynamik, wo eine
Kontinuitätsgleichung für Massendichte und Massenstrom die Erhaltung der Gesamtmasse des Fluidums
ausdrückt. Im hier vorliegenden Fall beschreibt Gleichung (4.156) die Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit !
4.8 Postulate der Quantentheorie
4.9 Allgemeine Formulierung der Quantentheorie
64
4. Kapitel. Theoretische Grundlagen der Quantenphysik
Kapitel 5
Einige lösbare quantenmechanische
Probleme
5.1 Eindimensionale Streuprobleme
5.2 Eindimensionale gebundene Probleme
5.3 Zentralsymmetrische dreidimensionale Probleme
65
66
5. Kapitel. Einige lösbare quantenmechanische Probleme
Kapitel 6
Grundlagen des Atombaus
6.1 Magnetisches Moment und Zeemaneffekt
6.2 Elektronenspin
6.3 Spin-Bahnkopplung und anomaler Zeemaneffekt
6.4 Feinstruktur und Hyperfeinstruktur
6.5 Pauliprinzip und Periodensystem
6.6 Röntgenspektren
6.7 Atommodelle
6.8 Exotische Atome
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6. Kapitel. Grundlagen des Atombaus
Kapitel 7
Grundlagenprobleme der Quantenphysik
7.1 Quantenmechanischer Zustand, Kausalität und Determinismus
7.2 Quantenmechanische Interferenzen
7.3 EPR-Paradoxon und Bell’sche Ungleichung
7.4 Interpretationen
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