Passive lineare Netzwerke

Protokoll zum Versuch
Passive lineare Netzwerke
Chris Bünger / Christian Peltz
24. Januar 2005
Inhaltsverzeichnis
1 Versuchsbeschreibung
1.1 Ziel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Lineare Netzwerke bei sinusförmiger Anregung
1.2.2 Schaltverhalten der Netzwerke . . . . . . . . .
1.3 Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Versuchsdurchführung
2.1 Lineare Netzwerke bei sinusförmiger Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Messung der Teilspannungen und Phasenverschiebungen als Funktion der Frequenz
zwischen Eingangsspannung und Strom an einer Reihenschaltung aus R, L, und C . .
2.1.2 Logarithmische Darstellung der Resultate und Diskussion des Verlaufs . . . . . . . . .
2.1.3 Ermittlung der Resonanzfrequenz f0 , der Güte Q, der Bandbreite ∆f und des Phasenwinkels ϕ bei fgu , f0 und fgo . Vergleich dieser Werte mit den aus den Bauelementdaten
gewonnenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Schaltverhalten der Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Die Reihenschaltung aus (1.2.1) ist an eine Rechteckspannung mit f ¿ f0 anzuschließen. Für unterschiedliche Dämpfungen sind die Spannungsverläufe an R zu oszillographieren, darzustellen und zu diskutieren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Für den Schwingfall ist das logarithmische Dekrement experimentell und rechnerisch
zu bestimmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Aufbau einer Reihenschaltung aus R und C. Oszillographieren des Spannungsverlaufs
an R und C für τ = R · C <, =, > ti . Diskussion der experimentellen mit den theoretisch zu erwartenden Kurven (Berechnung aus Bauelementdaten). Berücksichtigung
des Innenwiderstandes des Generators (50Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
1
1
2
2
3
3
3
5
5
7
7
8
9
Versuchsbeschreibung
1.1
Ziel
Kennenlernen des Übertragungsverhaltens linearer Netzwerke für sinus- und rechteckförmige Eingangsspannungen unterschiedlicher Frequenzen.
1.2
1.2.1
Aufgaben
Lineare Netzwerke bei sinusförmiger Anregung
1. Gleichzeitige Messung der Teilspannungen und Phasenverschiebungen als Funktion der Frequenz zwischen Eingangsspannung und Strom an einer Reihenschaltung aus R, L, und C.
2. Darstellung der Resultate auf einfachlogarithmischem Papier und Diskussion des Verlaufs.
3. Ermittlung der Resonanzfrequenz f0 , der Güte Q, der Bandbreite ∆f und des Phasenwinkels ϕ bei
fgu , f0 und fgo . Vergleich dieser Werte mit den aus den Bauelementdaten gewonnenen.
1
1.2.2
Schaltverhalten der Netzwerke
1. Die Reihenschaltung aus (1.2.1) ist an eine Rechteckspannung mit f ¿ f0 anzuschließen. Für unterschiedliche Dämpfungen sind die Spannungsverläufe an R, L und C zu oszillographieren, darzustellen
und zu diskutieren.
2. Für den Schwingfall ist das logarithmische Dekrement experimentell und rechnerisch zu bestimmen.
3. Aufbau einer Reihenschaltung aus R und C. Oszillographieren des Spannungsverlaufs an R und C
für τ = R · C <, =, > ti . Diskussion der experimentellen mit den theoretisch zu erwartenden Kurven
(Berechnung aus Bauelementdaten). Berücksichtigung des Innenwiderstandes des Generators (50Ω).
1.3
Schwingkreis
Nach der Kirchhoff’schen Maschenregel gilt
U=
N
X
Ui .
(1)
i
Für einen Serien-RCL-Kreis folgt aus Gl. (1)
U = UR + UC + UL
Q
˙ Hiermit läßt sich nach Differentiation eine
und UL = LI.
mit den Spannungsabfällen UR = RI, UC =
C
Differentialgleichung in t
Q̇
LI¨ + RI˙ +
= ωU0 · cos ωt
(2)
C
aufstellen mit der Sinusförmigen Anregung ωU0 · cos ωt. Gl. (2) läßt sich auch schreiben als
I¨ + 2γ I˙ + ω02 C = ωU0 · cos ωt
(3)
R
1
ωU0
, der Eigenfrequenz ω0 = √
und der Erregeramplitude A0 =
. Eine Lösung
2l
L
LC
der Differentialgleichung (3) ist
I = I0 cos(ωt + α) = I0 sin(ωt − ϕ)
mit der Dämpfung γ =
mit
A0
I0 = q
2
2
(ω02 − ω 2 ) + (2γω)
µ
¶
2γω
α = arctan
ω02 − ω 2


1
ωL −

ωC 
ϕ = arctan 
.
R
Die Amplitude wird maximal für
r
q
ω=
ω02
2
+ (2γω) =
√
R2
1
1
R¿ 2L
C √
−
=
ω
−→
= ω0 .
r
LC
2L2
LC
In der Nähe der Resonanzfrequenz ω = ω0 ist die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ϕ = 0.
Bei kleineren Frequenzen ω < ω0 überwiegen die die kapazitiven Widerstände ist ϕ < 0 und der Strom eilt
der Spannung voraus. Bei ω > ω0 → ϕ > 0 überwiegen die induktiven Widerstände und die Spannung eilt
dem Strom voraus. Weitere Kenngrößen des Schwingkreises sind die Dämpfung
δ=
R
,
2L
die Band- oder Halbwertsbreite
∆f = f0 − fu =
2
δ
R
=
,
π
2Lπ
die Güte
Q=
und das logarithmische Dekrement
Λ = ln
2
2.1
2.1.1
f0
ω0 L
=
∆f
R
URn
RT0
= δT0 =
.
URn+1
2L
Versuchsdurchführung
Lineare Netzwerke bei sinusförmiger Anregung
Messung der Teilspannungen und Phasenverschiebungen als Funktion der Frequenz
zwischen Eingangsspannung und Strom an einer Reihenschaltung aus R, L, und C
Abbildung 1: Schaltung
Der Aufbau erfolgte wie in Abb. (1). Um die Grenzfrequenzen 30 − 50kHz nicht zu überschreiten, wurde
ein Kondensator C = 10nF und eine Spule L = 33mH gewählt. Der Innenwiderstand der Spule wurde mit
RL = 293,88Ω gemessen, der Innenwiderstand des Frequenzgenerators ist mit 50Ω angegeben. Der Widerstand R = 10Ω wurde klein gewählt um eine möglichst geringe Dämpfung zu erhalten. Die Spannung UL
wurde über der Spule und die Spannung UC über dem Kondensator mit einem Digitalmultimeter gemessen.
Die Phasenverschiebung ϕ, die Spannung UR über dem Widerstand und die Generatorspannung U werden
mit dem Oszillographen bestimmt. Die Messung ergab folgenden Werte (Tab. (2)).
3
φ/◦
f /kHz
1, 441
1, 761
2, 198
2, 408
3, 416
3, 937
4, 413
4, 978
5, 400
5, 513
5, 660
5, 845
5, 988
6, 180
6, 325
6, 566
6, 771
6, 866
7, 008
7, 078
7, 164
7, 223
7, 377
7, 553
7, 950
8, 078
8, 447
8, 897
9, 497
10, 060
11, 249
12, 675
15, 326
19, 490
24, 150
29, 220
UR /mV
-78
-82
-75
-76
-76
-75
-72
-68
-62
-60
-57
-51
-48
-42
-36
-25
-17
-10
-4
0
5
8
15
23
37
40
47
55
58
61
69
73
77
81
85
87
UL /V
8, 5
9, 7
12, 2
13, 8
21, 9
28, 0
35, 8
48, 5
62, 5
66, 5
72, 5
81, 0
88, 0
97, 0
104, 0
114, 5
120, 0
123, 0
125, 0
125, 5
124, 5
124, 7
121, 0
115, 8
102, 4
98, 7
86, 5
76, 8
66, 0
57, 5
45, 5
35, 6
26, 1
17, 9
13, 2
10, 2
UC /V
0, 357
0, 450
0, 663
0, 798
1, 657
2, 405
3, 371
5, 120
7, 120
7, 790
8, 720
10, 040
11, 150
12, 690
13, 980
15, 940
17, 400
17, 950
18, 590
18, 810
18, 980
19, 060
18, 960
18, 490
17, 080
16, 630
15, 470
14, 270
13, 050
12, 130
10, 700
9, 560
8, 310
7, 360
6, 870
6, 600
Tabelle 2: Messwerte
4
U/V
6, 58
6, 32
6, 52
6, 64
7, 45
8, 12
8, 98
10, 48
12, 12
12, 64
13, 37
14, 36
15, 16
16, 22
17, 01
18, 09
18, 66
18, 79
18, 74
18, 58
18, 33
18, 10
17, 33
16, 08
13, 51
12, 82
11, 13
9, 50
7, 92
6, 79
5, 11
3, 82
2, 45
1, 43
0, 89
0, 59
6, 25
5, 95
5, 95
5, 95
5, 95
5, 94
5, 90
5, 86
5, 80
5, 78
5, 74
5, 70
5, 70
5, 60
5, 50
5, 43
5, 37
5, 38
5, 30
5, 33
5, 32
5, 32
5, 36
5, 40
5, 51
5, 57
5, 68
5, 72
5, 79
5, 82
5, 89
5, 91
5, 92
5, 93
5, 93
5, 93
2.1.2
Logarithmische Darstellung der Resultate und Diskussion des Verlaufs
Die Messwerte aus Tab. (2) sind in Abb.en (2) und (3) dargestellt. Deutlich zu kennen sind die überwiegend
kapazitiven Widerstände bei f ¿ f0 und die überwiegend induktiven Widerstände im Fall f À f0 . Im ersten
Fall eilt der Strom der Spannung voraus, in zweiten Fall eilt die Spannung dem Strom voraus. Wenn die
Erregerfrequenz nahe der Eigenfrequenz f ≈ f0 ist, schwingt das System in Phase. Der Ohm’sche Widerstand
erreicht sein Maximum, kapazitiver und induktiver Widerstand sind gleich groß.
Abbildung 2: Phasenverschiebung
2.1.3
Ermittlung der Resonanzfrequenz f0 , der Güte Q, der Bandbreite ∆f und des Phasenwinkels ϕ bei fgu , f0 und fgo . Vergleich dieser Werte mit den aus den Bauelementdaten
gewonnenen
Mit dem Oszillographen wurde eine Eigenfrequenz f0,Osz = 7,143kHz gemessen. Aus der graphischen Darstellung (Abb. 2) wurde die Eigenfrequenz als Resonanzfrequenz f0 = 7,100kHz ermittelt. Rechnerisch ergibt
sich die Eigenfrequenz zu
f0,re =
1
1
√
√
=
= 8,761kHz.
2π LC
2π 33mH · 10nF
Hieraus ergeben sich folgende Abweichung:
1,618
|f0,Osz − f0,re |
=
= 18,5%
f0,re
8,761
|f0 − f0,re |
1,661
=
= 19,0%
f0,re
8,761
Die Grenzfrequenzen fgu und fgo liegen bei einer Phasenverschiebung von ±45◦ vor. Aus Abb. (2) lassen sie
sich zu
fgu = 6,018kHz
und
fgo = 8,319kHz
5
Abbildung 3: Spannungen
bestimmen. Dies entspricht einer Bandbreite von
∆f = fgo − fgu = 2,301kHz.
Rechnerisch ergibt sich
∆fre =
was eine Abweichung von
Rges
10Ω + 50Ω + 293,88Ω
=
= 1,706kHz
2π · L
2π · 33mH
595kHz
|∆f − ∆fre |
=
= 34,9%
fre
1,706kHz
zur Folge hat. Die Güte ergibt sich aus
Q=
und rechnerisch zu
Qre =
f0
7,100kHz
=
= 3,08
∆f
2,301kHz
ω0 L
2π · 8,761kHz · 33mH
=
= 5,13.
Rges
10Ω + 50Ω + 293,88Ω
Aus dem experimentell ermittelten Wert resultiert eine Abweichung von
|Q − Qre |
2,05
=
= 39,9%.
Qre
5,13
Die große Abweichung der experimentell ermittelten Werte liegt hauptsächlich in der ungenauen Bestimmung
der Eigen- und Grenzfrequenzen begründet.
6
Abbildung 4: Schaltung
2.2
2.2.1
Schaltverhalten der Netzwerke
Die Reihenschaltung aus (1.2.1) ist an eine Rechteckspannung mit f ¿ f0 anzuschließen.
Für unterschiedliche Dämpfungen sind die Spannungsverläufe an R zu oszillographieren,
darzustellen und zu diskutieren.
Der Aufbau wurde wie in Abb. (4) modifiziert. Es wird jetzt das Schwingungsverhalten des Systems untersucht für unterschiedliche Dämpfungen, wobei
δGrenz =
RGrenz
= ω0
2L
2L
RGrenz = √
− RL − Ri = 3,3kΩ
LC
Schwingfall In Abb. (5) ist der Schwingungsverlauf für eine Frequenz f = 600Hz und einen Widerstand
R = 10Ω dargestellt. Der obere Spannungsverlauf ist die anregende Rechteckspannung des Oszillators, der
untere Spannungsverlauf ist der über dem Ohm’schen Widerstand. Am Widerstand R sind Strom und
Spannung in Phase. Fließt der Strom über die Spule baut sich, durch die Induktivität langsam ein Gegenstrom
auf. Hat der Strom sein Maximum erreicht, sinkt er durch die vollständige Aufladung des Kondensator wieder
ab.
starke Dämpfung/aperiodischer Grenzfall Der Widerstand R wurde jetzt weiter erhöht. Bei R = 1kΩ
ergab sich nach Abb. (6 ) eine stark gedämpfte Schwingung. Die Dämpfung wurde so gewählt, dass das System
gerade eine Schwingung vollführt. In Abb. (7) wurde bei R = 1,9kΩ der aperiodische Grenzfall festgestellt.
7
Abbildung 5: Schwingfall
Abbildung 6: Starke Dämpfung
Kriechfall In Abb. (11) ist der Spannungsverlauf über dem Widerstand R = 10kΩ zu sehen. Durch
den hohen Widerstand wird der Maximalstrom sofort erreicht. In der Spule wird ein gegenläufiger Strom
induziert. Die Dämpfung über dem Widerstand ist jedoch so stark, dass kein Magnetfeld aufgebaut werden
kann. Der Kondensator wird nur einmal aufgeladen. Beim Entladen geht die Spannung über dem Widerstand
verloren.
2.2.2
Für den Schwingfall ist das logarithmische Dekrement experimentell und rechnerisch
zu bestimmen.
Rechnerisch ergibt sich das logarithmische Dekrement aus
√
√
Rges π LC
(100Ω + 293,88Ω + 50Ω)π 33mH · 10nF
Rges
=
=
= 0,77.
Λre =
2Lf0
L
33mH
Experimentell läßt sich die Spannungsdifferenz zwischen zwei Amplituden mit dem Oszillographen bestimmen. Die Messung ergab U1 = 98,44mV und U2 = 42,19mV. Das logarithmische Dekrement ergibt sich dann
8
Abbildung 7: aperiodischer Grenzfall
Abbildung 8: Kriechfall
zu
Λ = ln
Un
98,44mV
= ln
= 0,85.
Un−1
42,19mV
Hieraus ergibt sich eine Abweichung
|Λ − Λre |
0,00
=
= 10,4%.
Λre
0,77
2.2.3
Aufbau einer Reihenschaltung aus R und C. Oszillographieren des Spannungsverlaufs
an R und C für τ = R · C <, =, > ti . Diskussion der experimentellen mit den theoretisch
zu erwartenden Kurven (Berechnung aus Bauelementdaten). Berücksichtigung des Innenwiderstandes des Generators (50Ω)
Im folgenden Versuch wurden die Spannungen über dem Kondensator und die Eingangsspannung oszillographiert. Hieraus errechnet der Oszillograph den Spannungsabfall als dritte Kurve. Der Aufbau erfolgt wie in
Abb. (9). Im folgenden wird mit einem Widerstand R = 1,1kΩ und einer Kapazität C = 10nF gearbeitet.
Die Frequenz wird variiert. In den Abb.en (10) bis (12) sind die Spannungsverläufe für unterschiedliche
9
Abbildung 9: Schaltung3
Frequenzen f dargestellt. Es ist deutlich die Frequenzabhängkeit des Kondensatorverhaltens zu kennen. Bei
niedriger Frequenz f lädt der Kondensator sich innerhalb einer Halbperiode vollständig auf. Nun wird f
weiter erhöht (f = 10kHz), so dass der Kondensator gerade noch innerhalb einer Halbperiode aufgeladen
wird. Bei noch höheren Frequenzen (f = 50kHz) erreicht er die volle Ladung nicht mehr.
10
Abbildung 10: 3000 Hz
Abbildung 11: 10.000 Hz
11
Abbildung 12: 50.000 Hz
12