Musterlösung - Physik-Department E18
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Physik für Chemieingenieure und Restauratoren WS2007/08 Physik Department E18 Technische Universität München PD Dr. F. Joachim Hartmann A. Frei, S. Grabmüller, C. Höppner Blatt 8 12.12.2007 Musterlösung Seite 1 Aufgabe 1: Planparallele Glasplatte Ein Lichtstrahl fällt unter dem Einfallswinkel α = 60◦ aus einem Medium mit Brechzahl n1 = 1.2 auf eine Glasplatte der Dicke d mit Brechzahl n2 , wobei ein Teil des Lichtes reflektiert, ein Teil gebrochen wird. Der reflektierte und der gebrochene Strahl stehen senkrecht aufeinander. 1. Berechnen Sie den Winkel β, den der gebrochene Strahl mit dem Lot einschließt. Wie groß ist dann die Brechzahl n2 des Glases ? Lösung: Bei dieser Aufgabe ist eine Skizze unerlässlich: Den Winkel β, den der gebrochene Strahl mit dem Lot einschließt, erhalten wir aus einer einfachen Winkelbetrachtung: 180◦ = α + 90◦ + β ⇒ β = 90◦ − α = 30◦ Mit dem Snellnius’schen Brechungsgesetz erhalten wir die Brechzahl n2 des Glases: sin α n2 = sin β n1 n2 = n1 · sin 60◦ sin α = 1.2 · = 2.078 sin β sin 30◦ 2. An der zweiten, planparallelen Glasplattenfläche tritt der gebrochene Strahl wieder in das Medium n1 aus. Hierbei soll keine Reflexion auftreten. Unter welchem Winkel γ tritt der Lichtstrahl hier wieder aus ? http://www.e18.physik.tu-muenchen.de/chemirest Physik für Chemieingenieure und Restauratoren WS2007/08 Physik Department E18 Technische Universität München PD Dr. F. Joachim Hartmann A. Frei, S. Grabmüller, C. Höppner Blatt 8 12.12.2007 Musterlösung Seite 2 Lösung: Wir betrachten das Brechungsgesetz beim Austritt aus der Glasplatte: n1 sin β = sin γ n2 Wir wissen bereits, daß für den sin β gilt: sin β = n1 · sin α n2 Dies eingesetzt ergibt: sin α =1 sin γ ⇒ γ = α = 60◦ 3. Der Austrittspunkt besitzt von der ursprünglichen Richtung des auf die Glasplatte einfallenden Strahls den Abstand x = 2.0 cm. Berechnen Sie die Dicke d der Glasplatte ! Lösung: Zunächst wieder eine Winkelbetrachtung: 90◦ = β + δ + 90◦ − α ⇒ δ = α − β = 30◦ Dann etwas Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck: sin δ = x ` cos β = d ` Also ist: d = ` cos β = x cos 30◦ cos β = 2 cm · = 3.5 cm sin δ sin 30◦ Aufgabe 2: Lichtleiter Ein Lichtwellenleiter besteht aus einem runden Glaskern mit Brechzahl nk und einem Glasmantel mit Brechzahl nm < nk . http://www.e18.physik.tu-muenchen.de/chemirest Physik für Chemieingenieure und Restauratoren WS2007/08 Physik Department E18 Technische Universität München PD Dr. F. Joachim Hartmann A. Frei, S. Grabmüller, C. Höppner Blatt 8 12.12.2007 Musterlösung Seite 3 nm n=1 θ0 nk nm Beim Einkoppeln von Licht in die Endfläche des Lichtwellenleiters ist zu beachten, daß nur Licht bis zu einem maximalen Eintrittswinkel θ0,max im Kern geführt wird. Als numerische Apertur An bezeichnet man An = sin θ0,max . 1. Berechnen Sie die numerische Apertur An als Funktion von Kern- und Mantelbrechzahl nk und nm ! Lösung: Eine kleine Skizze: Wir betrachten zuerst die Bedingung für Totalreflexion im Lichtleiter: sin(90◦ − ϕ) = cos ϕ = nm nk Dann das Brechungsgesetz beim Einkoppeln in den Lichtleiter: sin ϑ0,max = nk sin ϕ Also ist die numerische Apertur: An = sin ϑ0,max = nk sin ϕ Den sin ϕ erhalten wir aus der ersten Gleichung und der trigonometrischen Beziehung sin2 ϕ+ cos2 ϕ = 1: s q nm n2 2 cos ϕ = = 1 − sin ϕ ⇒ sin ϕ = 1 − m nk n2k http://www.e18.physik.tu-muenchen.de/chemirest Physik für Chemieingenieure und Restauratoren WS2007/08 Physik Department E18 Technische Universität München PD Dr. F. Joachim Hartmann A. Frei, S. Grabmüller, C. Höppner Blatt 8 12.12.2007 Also ergibt sich: s An = nk · 1− n2m = n2k Musterlösung Seite 4 q n2k − n2m 2. Ein Problem bei dieser einfachen Art von Lichtleitern ist, dass Lichtstrahlen, die unter verschiedenen Winkeln eintreffen, unterschiedliche Weglängen zurücklegen, und somit am anderen Ende des Leiters ein ”verschmiertes” Signal erzeugen. Berechnen Sie allgemein den Laufzeitunterschied für einen Strahl, der axial durch den Leiter läuft, und einen Strahl, der im kritischen Winkel in einer Ebene durch die Mittelachse durch den Leiter der Länge L läuft. Lösung: Im Unterschied zum axialen Strahl, der den Weg L zurücklegt, legt der Strahl, der mit dem kritischen Winkel durch den Leiter läuft, den Weg L/ cos ϕ zurück. Also ist der Wegunterschied der beiden Strahlen: µ ¶ µ ¶ 1 nk ∆L = L −1 =L −1 cos ϕ nm Die Lichtgeschwindigkeit im Kern ist ck = c/nk . Damit ergibt sich für den Laufzeitunterschied: µ ¶ ∆L L nk ∆t = = − 1 nk ck c nm Aufgabe 3: Wandspiegel Da Weihnachten vor der Tür steht, beschliessen Sie Ihrer Freundin/Ihrem Freund einen Wandspiegel zu schenken. Also fahren Sie ins nächste Einkaufscenter (dort wo das Möbel haust) und stehen staunend vor einer riesigen Auswahl an Spiegeln. Da Sie keine Lust haben, das Geschenk später wieder umzutauschen, fragen Sie sich: Welche Länge muss ein Wandspiegel haben, damit sich die beschenkte Person der Größe h vom Kopf bis zu den Füßen im Spiegel sehen kann ? In welcher Höhe über dem Boden muss ich dann zuhause den Spiegel an der Wand befestigen ? Welchen Abstand muß die Person vom Spiegel einhalten ? Lösung: Die Augen sollen sich ein Stück y unterhalb des Scheitels befinden. Um die Füße zu sehen, muss die Person auf einen Punkt A des Spiegels blicken, der auf halber Höhe zwischen Fußsohle und Augen liegt (wegen des Reflexionsgesetzes). Um den Scheitel zu sehen, muss sie entsprechend auf http://www.e18.physik.tu-muenchen.de/chemirest Physik für Chemieingenieure und Restauratoren WS2007/08 Physik Department E18 Technische Universität München PD Dr. F. Joachim Hartmann A. Frei, S. Grabmüller, C. Höppner Blatt 8 12.12.2007 Musterlösung Seite 5 einen Punkt B blicken, der auf halber Höhe zwischen Auge und Scheitel liegt. Die minimale Größe des Spiegels ist also AB. Dann gilt: AB = h h−y y + = 2 2 2 Dies ist unabhängig vom Abstand der Person vom Spiegel. Die Unterkante des Spiegels muss in der Höhe (h − y)/2 über dem Boden sein. Setzt man nur so zum Spaß typische Zahlenwerte an (h = 180 cm, y = 15 cm, gemessen beim Aufgabensteller), so sollte der Spiegel wenigstens eine Länge von 90 cm haben, und die Unterkante sollte etwa 82.5 cm über dem Boden sein. Aufgabe 4: Linsensystem Betrachten Sie ein Linsensystem aus zwei dünnen Linsen mit den Brennweiten f1 = 15 mm und f2 = −25 mm. Der Abstand der beiden Linsen sei d = 8 cm. Ein Gegenstand wird nun im Abstand g = 2, 0 cm vor die Sammellinse gebracht. 1. Konstruieren Sie zuerst das Zwischenbild, das die erste Linse vom Gegenstand erzeugt, dann das Bild, das die zweite Linse von diesem Zwischenbild erzeugt. Handelt es sich jeweils um reelle oder virtuelle Bilder? Lösung: Um das Bild der Sammellinse (Linse 1) zu konstruieren, verfolgt man drei spezielle Strahlen, die vom Urbild ausgehen, von der Linse abgelenkt werden und sich im Bildpunkt wieder schneiden. http://www.e18.physik.tu-muenchen.de/chemirest Physik für Chemieingenieure und Restauratoren WS2007/08 Physik Department E18 Technische Universität München PD Dr. F. Joachim Hartmann A. Frei, S. Grabmüller, C. Höppner Blatt 8 12.12.2007 Musterlösung Seite 6 (a) Durch den Schnittpunkt der Linsenebene mit der optischen Achse (”Durch die Linsenmitte”) (b) Zuerst parallel zur optischen Achse bis zur Linsenebene dann durch den bildseitigen Brennpunkt (c) Zuerst durch den objektseitigen Brennpunkt bis zur Linsenebene dann parallel zur optischen Achse Bei diesem Bild handelt es sich um ein reelles Bild, weil die Lichtstrahlen tatsächlich durch diesen Punkt laufen. Würde man in die Bildebene z.B. eine photographische Platte stellen, würde diese an den entsprechenden Punkten geschwärzt und sich ein scharfes Bild ergeben. In einem Linsensystem ist generell das Bild der ersten Linse das Urbild der zweiten, das Bild der zweiten das Urbild der dritten und so weiter. Man nimmt also das soeben konstruierte Bild als Urbild der folgenden zerstreuenden Linse. Die Konstruktion des Bildes der zerstreuenden Linse (Linse 2) läuft analog zudem der sammelnden Linse, wobei aber die Rolle des bild- und des objektseitigen Brennpunktes vertauscht sind. Bei dem Bild dieser Linse handelt es sich um ein virtuelles Bild, weil sich die Lichtstrahlen nicht tatsächlich in dem Bildpunkt schneiden. Es sieht nur für den Beobachter so aus, als ob sie aus diesem kämen. 2. Berechnen Sie die Bildweite des durch die Zerstreuungslinse erzeugten Bildes. Lösung: Die Bildweite des Bildes der ersten Linse folgt aus der Formel für dünne Linsen: µ ¶−1 µ ¶−1 1 1 1 1 1 1 1 = + ⇒ b1 = − − = = 60 mm f1 g1 b1 f1 g1 15 mm 20 mm Dieses Bild ist wie beschrieben das Urbild für die nächste Abbildung. Der Objektabstand ist dann g2 = d − b1 = 80 mm − 60 mm = 20 mm und die Bildweite ¶−1 µ ¶−1 µ 1 1 1 1 − − = = −11 mm b2 = f2 g2 −25 mm 20 mm Die negative Brennweite steht für die zerstreuende Linse, das negative Vorzeichen der Bildweite bedeutet, dass es sich um ein virtuelles Bild handelt (siehe oben). http://www.e18.physik.tu-muenchen.de/chemirest Physik für Chemieingenieure und Restauratoren WS2007/08 Physik Department E18 Technische Universität München PD Dr. F. Joachim Hartmann A. Frei, S. Grabmüller, C. Höppner Blatt 8 12.12.2007 Musterlösung Seite 7 Aufgabe 5: Pfütze Auf einer Wasserpfütze (Brechzahl n = 1.33) schwimmt ein dünner Ölfilm (Brechzahl n = 1.45). Es fällt weißes Licht senkrecht ein und im reflektierten Licht herrschen die Wellenlängen 700 nm und 500 nm vor (Stichwort: konstruktive Interferenz). Wie dick ist der Ölfilm ? Tipp: Denken Sie an eventuelle Phasensprünge bei der Reflexion... Lösung: Die Brechzahl der Luft ist kleiner als die des Öls. Daher tritt bei der Reflexion an der Luft-ÖlGrenzfläche ein Phasensprung von π bzw. λ/2 auf. Dagegen ist die Brechzahl des Öls größer als die des Wassers, so dass bei der Reflexion an der Öl-Wasser-Grenzfläche kein Phasensprung auftritt. Wir bezeichnen die Dicke des Ölfilms mit s. Die Bedingung für konstruktive Interferenz zwischen den Wellen, die an der Öl-Luft-Grenzfläche, und denen, die an der Öl-Wasser-Grenzfläche reflektiert werden, lautet 1 2sn − λ = mλ, 2 m ∈ 1, 2, 3..., optische Weglänge plus Phasensprung an der Grenzfläche muss ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge sein. Nach der Wellenlänge aufgelöst erhält man λ= 2sn , m + 1/2 also ergibt sich für die beiden vorherrschenden Wellenlängen 700 nm = 2sn m + 1/2 sowie 500 nm = 2sn , m + 3/2 da die beiden Maxima im sichtbaren Licht sicher bei benachbarten m liegen. Wir bilden den Quotienten aus beiden Gleichungen und erhalten: 700 nm = 500 nm 2sn m+1/2 2sn m+3/2 = m + 3/2 m + 1/2 Diese Gleichung ist für m = 2 erfüllt, das Maximum für m = 1 liegt mit 300 nm noch außerhalb des sichtbaren Bereichs. Nun lösen wir die zweite Gleichung nach s auf und erhalten für die Dicke des Ölfilms: s = (m + 1/2) 700 nm λ = (2 + 1/2) · = 603 nm 2n 2 · 1.45 http://www.e18.physik.tu-muenchen.de/chemirest
