V3 Grundlagen der optischen Abbildung Lernziele Literatur

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Grundlagenpraktikum für Studenten der TI im 4. Semester
Versuch 3: Grundlagen der optischen Abbildung
V3 Grundlagen der optischen Abbildung
Lernziele
Im experimentellen Umgang mit optischen Abbildungssystemen sollen folgende Lerninhalte vermittelt werden:
• Umgang mit einfachen optischen Elementen
• Aufbau und Analyse eines optischen Abbildungssystems
• Untersuchung der Bildentstehung
• Untersuchung der Dispersion optischer Medien
• einfache Methoden der räumlichen Filterung
Literatur
• Skript zur Vorlesung ‘Höhere Mathematik I’ (http://hilbert.math.uni-mannheim.de/~seiler//hm1/ )
• Eugene Hecht: „Optik“, Addison-Wesley, ISBN 3-925118-86-1
• Goodman: „Introduction to Fourier Optics“, McGraw Hill San Francisco, Calif. 1968
Vorbereitung
Bereiten Sie zur Durchführung des Versuches die im folgenden kurz beschriebenen Themen vor. Es soll ein
Kenntnisstand erreicht werden, der ausreicht, um die gestellten Aufgaben lösen zu können.
Inhalt
1. ABBILDUNG DURCH DÜNNE LINSEN
2. CHROMATISCHES VERHALTEN BEI BRECHUNG UND BEUGUNG
3. FOURIER-TRANSFORMATION UND OPTISCHE FILTERUNG
1. Abbildung durch dünne Linsen
1.1.
Einführung
Die Abbildung durch Linsen wird im vorliegenden Versuch strahlenoptisch behandelt. Die Lichtausbreitung wird
lediglich durch die Richtung der Ausbreitung repräsentiert. Dazu genügt es, in Zeichnungen Strahlen einzuzeichnen.
Diese Betrachtungsweise ist nur eine Näherung, denn Licht ist eine elektromagnetische Welle. Die Abweichungen
von der Realität sind jedoch so klein, dass eine solche Vereinfachung gerechtfertigt ist. Eine Linse wird als dünn
bezeichnet, wenn sie in der mathematischen Beschreibung durch eine Ebene, an der einfallende Lichtstrahlen
geknickt werden, ersetzt werden kann. Mit einer dünnen Linse kann man eine Gegenstandsebene in eine Bildebene
abbilden. Bezeichnet g die Gegenstandsweite (Abstand zwischen Linse und Gegenstandsebene), b die Bildweite
(Abstand zwischen Linse und Bildebene) und f die Brennweite der dünnen Linse, so gilt für eine Abbildung:
1 1 1
= +
f b g
Gleichung 1: Abbildungsgleichung für eine dünne Linse
1
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Versuch 3: Grundlagen der optischen Abbildung
Für den Vergrößerungsmaßstab V bei der Abbildung gilt allgemein:
B
b
=V = ,
G
g
Gleichung 2: Vergrößerung V bei der optischen Abbildung
Hierbei ist G die Gegenstands-, und B die
Bildgröße, g die Gegenstands- und b die
Bildweite. Negative Werte von V drücken aus,
dass der Gegenstand seitenverkehrt abgebildet
wird.
Linse
Werden zwei Linsen mit den Brennweiten f1 und
f 2 hintereinander in den Strahlengang gestellt,
kann damit ebenfalls eine optische Abbildung
realisiert
werden.
Dabei
kommen
Gegenstandsebene und Bildebene in der
jeweiligen Brennebene zu liegen. Für den
Spezialfall f1 = f 2 haben die beiden Ebenen
also einen Abstand von f zueinander und man
spricht von einem 4f-System.
Bild
Gegenstand
f
f
g
b
Abbildung 1: Abbildung durch eine dünne Linse
Der Vergrößerungsmaßstab für diese Anordnung ist
V=
f2
f1
Gegenstand
Bild
Gleichung 3: Vergrößerung im 4f-System
Werden mehrere dünne Linsen mit Brennweiten
fi
direkt
hintereinander
in
den
f1
f1
f2
f2
Abbildungsstrahlengang gestellt, kann man das
Linsensystem wie eine Linse mit der
Gesamtbrennweite F behandeln.
Linse 1
Es gilt:
1
1
=∑
F
fi
i
Linse 2
Abbildung 2: Spezialfall eines zweilinsigen Abbildungssystems: 4f-System
Gleichung 4: Addition von Brechkräften bei dünnen Linsen
Den Kehrwert der Brennweite nenn man Brechkraft und man misst ihn in Dioptrien: [1/f] =1m-1 = 1 dpt.
2
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Versuch 3: Grundlagen der optischen Abbildung
1.2.
a)
Aufgaben zur Vorbereitung
Veranschaulichen Sie für die Abbildung an einer dünnen Linse die Beziehung zwischen Vergrößerung V und
der Gegenstands- bzw. Bildweite (Gleichung 2) durch eine Zeichnung. Wann erhält man reelle, wann virtuelle
Bilder? Wann erhält man verkleinerte, wann vergrößerte reelle Bilder?
b) Fertigen Sie eine Zeichnung wie in Abbildung 2 an (4f-System). Die Gegenstandsebene liegt also in der
vorderen Brennebene der Linse. Zeigen Sie durch Einzeichnen von Abbildungsstrahlengängen, dass die
Richtung der Strahlen hinter der ersten Linse nur noch von der Position ihres Ursprungs in der
Gegenstandsebene abhängt. (Orte werden also in Richtungen umgewandelt.) Welchen Winkel schließen also
Haupt- und Randstrahl eines Objektpunktes nach der ersten Linse miteinander ein? Wo liegt nach Gleichung 1
die Bildebene? Leiten Sie die Gleichung für die Vergrößerung im 4f-System her (Gleichung 3).
1.3. Versuchsaufgaben
Verwenden Sie als Lichtquelle eine Halogenlampe. Im Gehäuse ist ein Kondensor mit Reflektorspiegel enthalten,
um möglichst viel Licht der Glühwendel aufzusammeln. Benutzen Sie für diesen Versuch einen Diahalter, der auf
der Vorderseite eine Mattscheibe aufweist, um eine möglichst homogene Ausleuchtung des Dias zu erreichen.
a)
Bilden Sie ein Folien-Dia im Maßstab 1:1 ab. Beachten Sie, dass für die Gegenstands- und Bildweite Gleichung
1 erfüllt sein muss, um ein scharfes Bild zu bekommen. Messen Sie Gegenstands- und Bildweite und bestimmen
Sie daraus die Brennweite der Linse. Bestimmen Sie auf diese Weise auch die Brennweiten von den weiteren am
Versuchsplatz ausliegenden Linsen und notieren Sie alle gemessenen und berechneten Werte in einer Tabelle.
b) Bilden Sie ein Folien-Dia auf den Schirm mit 3-facher Vergrößerung (V=3) ab. Welche Vergrößerung erhält
man, wenn man die Abstände Linse / Schirm und Linse / Dia vertauscht? Belegen Sie das Ergebnis durch
Gleichung 1.
c) Stellen Sie zwei beliebige Linsen dicht hintereinander. Bestimmen Sie die Brennweite der Kombination durch
Messung und vergleichen Sie die gemessene Brennweite mit der, die sich gemäß Gleichung 4 ergibt.
d) Bilden Sie ein Folien-Dia mit einem 4f-System ab. Der Aufbau bestehe dabei aus einer f1 = 150mm und einer
f 2 = 200mm Linse. Ermitteln Sie den Abbildungsmaßstab V nach Gleichung 3 und vergleichen Sie das
Ergebnis mit der experimentell ermittelten Vergrößerung.
2. Chromatisches Verhalten bei Brechung und Beugung
2.1. Einführung
Die Wirkung optischer Komponenten hängt in der Regel von der Wellenlänge des verwendeten Lichtes ab. Dabei
unterscheidet man zwischen den Auswirkungen auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit (Brechung, refraktiv) und auf
das Interferenzverhalten (Beugung, diffraktiv)
Brechung:
Tritt ein Lichtstrahl in ein optisch dichteres Medium ein, so wird er abgelenkt (gebrochen). Der Brechungswinkel
hängt von der Brechzahl des Mediums ab. Diese Brechzahl ist abhängig von der Wellenlänge des einfallenden
Lichtes (Dispersion). Unterschiedliche Wellenlängen werden also unterschiedlich stark gebrochen.
Die Brechkraft einer dünnen Linse ist gegeben durch den Brechungsindexunterschied des Linsenmaterials bzgl. des
umgebenden Mediums und durch die Krümmungsradien der Linse:
3
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Versuch 3: Grundlagen der optischen Abbildung
 1 1 
1
= ( n − 1)  − 
f
 R1 R2 
Gleichung 5: Brechkraft einer dünnen Linse
Beugung:
Beugung beruht auf der Interferenz (Überlagerung von
Amplituden) eines Wellenfeldes. Beispielsweise
entsteht das Beugungsmuster eines periodischen
Gitters durch Überlagerung von Wellenzügen, die aus
korrespondierenden Orten aller Gitteröffnungen
entspringen. Das Beugungsbild entsteht also durch
Interferenz vieler Teilstrahlen (Mehrstrahlinterferenz)
Es wird immer dann maximale Intensität erzielt, wenn
alle Teilwellen sich mit konstruktiver Interferenz
überlagern (Gangunterschied ∆ ist ein ganzzahliges
Vielfaches der Wellenlänge). Andererseits erhält man
vollständige Auslöschung, wenn alle Teilwellen sich
mit
destruktiver
Interferenz
überlagern
(Gangunterschied ∆ ist ein ungeradzahliges Vielfaches
der halben Wellenlänge). Für andere Gangunterschiede
erhält man Zwischenwerte der Intensität.
Die Gittergleichung
k-te Beugunsordnung
α
∆
Ebene Welle
Abbildung 3: Beugung an einem periodischen Gitter
sin ϕ k = m ⋅
λ
p
Gleichung 6: Richtung der Beugungsordnungen eines Gitters
gibt die Richtung der m-ten Beugungsordnung eines Gitters mit der Periode p relativ zur Gitternormalen für
kohärentes Licht der Wellenlänge λ an. Die Lage der Beugungsordnungen wird durch ihre Richtung nach
Durchtreten des Objektes bestimmt.
Spektrale Eigenschaften
Berücksichtigt man, dass der Brechungsindex von der Wellenlänge abhängt, kann man in der erster Näherung den
Brechungsindex ausdrücken durch:
n ( λ ) = n0 +
∂n
∂λ
⋅ ( λ − λ0 )
λ0
Gleichung 7: Spektrale Abhängigkeit des Brechungsindex
Dadurch wird das Verhalten des Brechungsindex beschrieben, wie es sich bei kleinen Variationen der Wellenlänge
um die Wellenlänge λ0 einstellt. Das Material habe bei λ0 einen Brechungsindex von n0 . Je nach dem Vorzeichen
von
λ
λ0
unterscheidet man zwischen normaler (<0) und anomaler (>0) Dispersion.
λ0
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Versuch 3: Grundlagen der optischen Abbildung
Die Stärke der Dispersion ist abhängig vom Material und der zentralen Wellenlänge
Quarzglas bei λ0 = 500nm ist
∂n
∂λ
λ0 .
Ein typischer Wert für
= 10−4 nm −1
λ0
Auch im Fall der Beugung lässt sich das Verhalten unter kleinen Variationen der Wellenlänge in der erster Näherung
beschreiben durch:
sin ϑ ( λ ) = sin ϑ ( λ0 ) +
∂
( sin ϑ )( λ ) ⋅ ( λ − λ0 )
∂λ
λ0
Gleichung 8: Spektrale Abhängigkeit des Beugungswinkels
Die Stärke der Dispersion hängt hier von der Gitterperiode und der Schwerpunktswellenlänge ab.
2.2. Aufgaben zur Vorbereitung
a)
Erklären Sie den Unterschied zwischen räumlicher und zeitlicher Kohärenz anhand einer Laserlichtquelle und
einer thermischen Lichtquelle. Erarbeiten Sie die Bedingungen für konstruktive und destruktive Interferenz.
b) Leiten Sie die Gittergleichung her (Gleichung 6) und berechnen Sie die Lage der ersten Beugungsordnung für
λ=630nm und λ=530nm. Berechnen Sie den Winkelunterschied (mit Vorzeichen) der ersten Beugungsordnung
beim Wechsel von der einen zur anderen Wellenlänge.
c) Versuchen Sie aus dem Gedächtnis einen Regenbogen zu zeichnen, auch den zweiten schwächeren Bogen.
Beobachten Sie bei Gelegenheit einen Regenbogen und überprüfen Sie Ihre Zeichnung. Beobachten Sie im
Vergleich dazu die Beugungserscheinung an einer Vogelfeder. Was fällt Ihnen auf?
2.3. Versuchsaufgaben
Für die weiteren Versuche wird eine räumlich eng begrenzte Lichtquelle benötigt, um räumliche Kohährenz zu
erzielen. Stellen Sie dazu eine kurzbrennweitige Linse direkt hinter dem Kondensor auf, die die Glühwendel auf eine
Lochblende (Irisblende) abbildet. Die Lochblende kann dann in sich daran anschließenden Aufbauten als sekundäre
Lichtquelle betrachtet werden.
Bilden Sie die Lochblende mit einer Linse (z.B.: f = 40 cm) auf einem weit entfernten Schirm (Wand) ab. Es soll das
Verhalten unterschiedlicher Wellenlängen am Beispiel der Strahlablenkung durch ein Beugungsgitter (Beugung) und
durch ein Prisma (Brechung) aufgezeigt werden.
a)
Stellen Sie ein Beugungsgitter der Periode p = 10 µm in den Strahlengang. Bestimmen Sie durch Messung die
Lage der 0-ten und der ersten Beugungsordnung auf dem Schirm jeweils für λ=630nm (Rotfilter) und λ=530nm
(Grünfilter). Ermitteln Sie auch den Winkelunterschied (mit Vorzeichen) der ersten Beugungsordnung beim
Wechsel von der einen zur anderen Wellenlänge. Vergleichen Sie gemessene und berechnete Ergebnisse.
Wiederholen Sie den Versuch mit dem Beugungsgitter der Periode p = 20 µm.
b) Ersetzen Sie nun das Beugungsgitter durch ein Prisma Bestimmen Sie die Lage des Bildes der Lochblende auf
dem Schirm jeweils für λ=630nm (Rotfilter) und λ=520nm (Grünfilter). Ermitteln Sie den Winkelunterschied
(mit Vorzeichen) aufgrund der Positionen der Bilder beim Wechsel von der einen zur anderen Wellenlänge.
c) Vergleichen Sie das Ausmaß der chromatischen Dispersion zwischen brechenden und beugenden Objekten
anhand der Winkelunterschiede. Berücksichtigen Sie dabei auch das Vorzeichen der Winkeländerungen.
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Versuch 3: Grundlagen der optischen Abbildung
3. Fourier-Transformation und optische Filterung
3.1. Einführung
Ein Objekt, das in den optischen Strahlengang gestellt wird, kann das Licht bezüglich Intensität, Phase und
Polarisation beeinflussen. Im vorliegenden Versuch werden Polarisationseffekte nicht betrachtet.
Mathematisch wird die Wirkung eines Objektes auf das durchtretende Licht durch eine Transmissionsfunktion t(x,y)
beschrieben. t(x,y) läßt sich schreiben als
t ( x, y ) = γ ( x , y ) ⋅ e
iϕ ( x , y )
Gleichung 9: Transmissionsfunktion
Dabei drückt γ(x,y) das Absorptionsverhalten und ϕ(x,y) das Phasenverhalten des Objektes aus: γ(x,y) beeinfluss die
Amplitude eines ankommenden Wellenfeldes, ϕ(x,y) die Phase.
Periodische Funktionen können als eine Reihe von Elementarfunktionen dargestellt werden (Fourier-Reihe). Falls
also t(x,y) periodisch mit der Periode px bzw. py ist, lässt sich schreiben:
t ( x, y ) =
+∞
+∞
∑ ∑a
m =−∞ n =−∞
mn
e
 x
y
2π i  m + n
 px
py





Gleichung 10: Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourier-Reihe
Besteht die Periodizität nur in einer Richtung, z. B. bei einem Liniengitter, vereinfacht sich die Gleichung zu:
t ( x) =
+∞
∑ae
n =−∞
2π in
x
p
n
Gleichung 11: Eindimensionale Fourier-Reihenentwicklung
Die Entwicklungskoeffizienten aus der obigen Gleichung ergeben sich dabei gemäß:
p
x
−2π in
1 x
p
an = ∫ t ( x ) e
dx
p 0
Gleichung 12: Fourierkoeffizienten von periodischen Funktionen
Stellt man ein Objekt im Brennweitenabstand f vor eine Linse und einen Schirm ebenfalls im Brennweitenabstand
hinter eine Linse, so erhält man bei monochromatischer Beleuchtung (Licht einer Wellenlänge) auf dem Schirm eine
Amplitudenverteilung, die dem Fourier-Spektrum des Objektes entspricht:
 x
n
2
I ( x ) = ∑ an δ 
− 
n
λf p
Gleichung 13: Beugungsintensitäten periodischer Objekte in der Fernfeldnäherung
Diese Beziehung gilt auch, falls das Beugungsbild eines Objektes ohne Linse, aber in sehr großer Entfernung (einige
km) beobachtet wird.
Diese Eigenschaft wird dazu benutzt, um in der Fourier-Ebene optische Filterung vorzunehmen.
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Versuch 3: Grundlagen der optischen Abbildung
3.2. Aufgaben zur Vorbereitung
a)
Machen Sie sich anhand der angegebenen Literatur mit der komplexwertigen Exponentialfunktion und der
Fourier-Analyse periodischer Funktionen vertraut.
b) Berechnen Sie aus den Gleichungen 11 und 12 für ein binäres Gitter mit der Periode p = 20 µm die
Amplitudenverteilung I(x) in der Fourier-Ebene (hier für den eindimensionalen Fall). Nehmen Sie dabei an, dass
die halbe Periode eines Gitters durchlässig ist, die andere Hälfte nicht, d. h. für ganzzahlige n:
t ( x) = 1
t ( x) = 0
1

np < x <  n +  p ,
2

1

für  n −  p < x < np .
2

für
3.3. Versuchsaufgaben
Auch für diese Versuche wird eine räumlich kohärente Lichtquelle benötigt. Verwenden Sie deshalb einen
Halbleiterlaser. Montieren Sie direkt hinter dem Laser eine Lochblende sowie eine Linse, die im Abstand von einer
Brennweite aufgestellt wird, in den Strahlengang um den Ausbreitungswinkel zu begrenzen und das Licht zu
kollimieren (Kollimator).
Bauen Sie nach dem Kollimator ein 4f-System aus zwei Linsen mit f = 200 mm auf. Gehen Sie dabei
folgendermaßen vor: Plazieren Sie direkt hinter der Kollimationslinse das Dia. Dahinter stellen Sie im
Brennweitenabstand eine Linse mit f = 200 mm auf. Im Brennweitenabstand dahinter befindet sich die Filterebene.
Hinter der Filterebene wird eine f = 200 mm Linse im Brennweitenabstand plaziert. Sie dient zur Abbildung des
Glasdias auf die Bildebene, die sich im Brennweitenabstand hinter der zweiten Linse befindet. Zur Beobachtung der
Filter- bzw. Bildebene verwenden Sie den fertig montierten Lupenaufbau.
a)
Bilden Sie ein Gitter (Glas-Dia) mit der Periodenlänge p = 20µm auf einen Schirm ab. Beobachten Sie das
Beugungsbild in der Mitte zwischen den beiden Linsen. Vermessen Sie dort die Lage der ersten beiden
Beugungsordnungen jeweils rechts und links des unabgelenkten Strahls. Vergleichen Sie die experimentell
gefundenen Aussagen über Lage und relative Intensität mit den theoretischen Aussagen.
b) Untersuchen Sie die Auswirkung auf das Beugungsbild, wenn das Gitter im Strahlengang um die optische Achse
gedreht wird, und wenn das Gitter um die Achse gedreht wird, die senkrecht zur optischen Achse parallel zu den
Gitterlinien steht. Offensichtlich hat das Beugungsbild hinter einer Linse die gleichen mathematischen
Eigenschaften wie die Fourier-Transformierte eines Objekts, das in der vorderen Brennebene einer Linse steht.
Verifizieren Sie die Fouriertheoreme Verschiebung, Skalierung und Rotation der Ebene.
Als Objekt für die optische Filterung kommt ein Glas-Dia zur Anwendung, das ein Foto zeigt. Das Foto ist ähnlich
wie im Zeitungsdruck gerastert, um beim Beobachter den Eindruck von Graustufen hervorzurufen. Dieser Eindruck
wird erzielt durch kleine Rasterzellen, die nur binäre Werte (schwarz/weiß, bzw. absorbierend/durchlässig)
annehmen können. Grauwerte werden dann durch lokal unterschiedliche Dichte der Rasterzellen dargestellt. Um eine
Verfälschung des Bildes durch die Rasterung zu vermeiden, sollten die Rasterzellen kleiner als die feinste Struktur
im darzustellenden Bild sein.
c)
Bilden Sie das Dia eines gerasterten Fotos in der Bildebene ab. Skizzieren Sie die Lage der Beugungsordnungen
in der Filterebene. Verwenden Sie dazu den Lupenaufbau mit Millimeterpapier in der Mattscheibe. Leiten Sie
aus der Lage der Beugungsordnungen ab, entlang welcher Richtungen die Rasterung des Bildes erfolgte und wie
groß die Rasterzellen sind. Stellen Sie nun den Lupenaufbau so auf, dass Sie die Bildebene beobachten können
und entfernen Sie das Millimeterpapier. Versuchen Sie durch geeignete Filterung das feinkörnige Zeitungsraster
aus dem Bild zu entfernen. Verwenden Sie dazu eine Irisblende in der Filterebene. Stellen dazu die Lochblende
so ein, dass das Bild der Lochblende (ohne Dia) auf das Zentrum der geschlossenen Irisblende trifft. Ermitteln
Sie den Durchmesser der Irisblende, ab dem der Einfluss der Rasterung im Bild verschwindet. Vergleichen Sie
den Wert mit der Skizze der Lage der Beugungsordnungen. Versuchen Sie im Gegensatz dazu die groben
Strukturen aus dem Bild herauszufiltern, so dass nur noch das Raster zu erkennen ist. Welche Beugungsordnung
muss dafür ausgeblendet werden?
7
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