Fortgeschrittenenpraktikum für Bachelorstudenten der Physik

Fortgeschrittenenpraktikum für
Bachelorstudenten der Physik
Versuch T12
Veranschaulichung von Nachweisprinzipien
Februar 2014
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Theorie
2.1 Der β-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Das β-Spektrum . . . . . . . . . .
2.1.2 Fermi-Korrektur . . . . . . . . . .
2.1.3 Erlaubte und Verbotene Übergänge
2.1.4 Kurie-Diagramm . . . . . . . . . .
2.2 Geladene Teilchen im Magnetfeld . . . . .
2.3 Energieverlust von Elektronen in Materie .
2.3.1 Ionisation . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Bremsstrahlung . . . . . . . . . . .
2.4 Vielfachstreuung . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Nachweisgeräte radioaktiver Strahlung . .
2.5.1 Geiger-Müller-Zählrohr . . . . . . .
2.5.2 Szintillatoren . . . . . . . . . . . .
2.6 Impulsauflösung . . . . . . . . . . . . . . .
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4
4
4
6
6
7
8
11
11
13
14
15
15
17
19
3 Durchführung
20
3.1 Impulsmessung im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Energieverlust in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Vielfachstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Auswertung
22
2
1 Einleitung
In diesem Versuch sollen Ihnen die grundlegenden Detektorprinzipien veranschaulicht
werden mit denen die Teilchenidentifikation in Teilchendetektoren funktioniert. In Abbil-
Abbildung 1.1: Schnitt durch den CMS-Detektor. Im
dung 1.1 ist exemplarisch der Aufbau des CMS-Detektors, der am LHC verwendet wird,
dargestellt. Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten die Eigenschaften eines Teilchens
zu messen. Dies ist zum Einen die Krümmung der Bahn des Teilchens im Magnetfeld womit der Impuls bestimmt werden kann. Im CMS-Detektor geschieht dies zum
Beispiel im sogenannten Tracker, der eine hohe Ortsauflösung besitzt und in dem die
Trajektorie der entstehenden Teilchen damit sehr genau vermessen werden kann. Zum
Anderen kann man in einem Kalorimeter die deponierte Energie des Teilchens messen,
woraus sich Rückschlüsse auf die Geschwindigkeit des Teilchens ziehen lassen. Bei CMS
sind dies das Elektromagnetische- und das Hadronische Kalorimeter. Ersteres dient dem
Nachweis von Photonen und Elektronen (und Positronen), letzteres um Hadronen wie
Protonen oder Kaonen nachzuweisen. Durch Bestimmen der Geschwindigkeit und des
Impulses des durch den Detektor fliegenden Teilchens ist es dann möglich, dieses über
die Energie/Impuls-Beziehung zu identifizieren. Die Genauigkeit mit der dieses geschieht
ist allerdings durch den Einfluss der Vielfachstreuung limitiert, da diese dafür sorgt, dass
das Teilchen von seiner Bahn abweicht. Um ein besseres Verständnis für Detektoren zu
erlangen, sollen Sie sich daher in diesem Versuch mit den drei genannten Prinzipien
auseinandersetzen.
3
2 Theorie
2.1 Der β-Zerfall
Als β-Zerfall bezeichnet man Kernzerfälle aufgrund der schwachen Wechselwirkung, die
in Kernen mit einem großen Ungleichgewicht von Neutronen und Protonen vorkommen.
Man unterscheidet die folgenden Prozesse, namentlich β − - und β + -Zerfall:
n → p + e− + ν̃
p → n + e+ + ν
(2.1)
(2.2)
Ersterer tritt in Nukliden mit einem Überschuss an Neutronen auf. Dabei wandelt sich
ein Neutron in ein Proton um, wobei ein Elektron und ein Anti-Neutrino entstehen, die
den Kern verlassen. Umgekehrt tritt der β + -Zerfall in Kernen mit vielen Protonen auf,
hier wird ein Proton in ein Neutron umgewandelt, unter Emission eines Positrons und
eines zugehörigen Neutrinos. Die freiwerdende Energie entspricht der Massendifferenz des
Mutterkerns und seinem Zerfallsprodukt und liegt typischerweise in der Größenordnung
von 1 MeV.
2.1.1 Das β-Spektrum
Das β-Spektrum hat im Gegensatz zum α-Zerfall keine bestimmte diskrete Energie,
sondern ist kontinuierlich und reicht von null bis zur maximal verfügbaren Energie nach
dem Zerfall. Ausgangspunkt zur Berechnung des Spektrums ist Fermis Goldene Regel“,
”
die die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit von einem gewissen Anfangszustand
in einen bestimmten Endzustand beschreibt:
2 dN
2π (2.3)
N (pe )dpe = w =
hψf | ĤS |ψi i
~
dE0
In diesem Fall ist dies der Übergang eines Kerns durch β-Zerfall in den Zustand nach dem
Zerfall mit einem Elektron mit einem Impuls zwischen pe und pe + dpe . Die Übergangswahrscheinlichkeit hängt also vom Matrixelement und der Zustandsdichte dN/dE0 der
möglichen Endzustände ab.
Die Wellenfunktionen im Matrixelement lassen sich durch ebene Wellen darstellen. Dies
ist möglich, da die schwache Wechselwirkung eine sehr kurze Reichweite hat und praktisch nur im Innern des Kerns stattfindet:
2
p~~x 1 (~p~x)
i~
p~
x/~
ψ(~x) ∝ e
≈1+i −
(2.4)
~
2
~
4
Mit p ∼ 1 MeV
und r ∼ 10−15 m folgt ~r~p~ ∼ 10−2 , wobei die Wellenfunktionen als konc
stant im Bereich des Kernvolumens angenommen werden können. Somit kann man das
Matrixelement darstellen als
2 g 2 |M |2
fi
(2.5)
hψf | ĤS |ψi i =
2
V
mit g als Kopplungskonstante, die der Stärke der schwachen Wechselwirkung entspricht
und |Mf i | dem Kernmatrixelement, das die Wellenfunktionen enthält. Der Faktor V
dient der Normierung der Wellenfunktionen. Anschaulich bedeutet dies, dass das Elektron und das Neutrino keinen Drehimpuls davontragen und es sich um einen ’erlaubten’
Übergang handelt (siehe unten).
Um die Dichte der erlaubten Endzustände zu berechnen, muss die Aufteilung der Zerfallsenergie E0 = Ee + Eν auf Elektron und Neutrino berücksichtigt werden, wobei
natürlich die Impulserhaltung gilt. Da der emittierende Kern eine wesentlich größere
Masse als diese beiden hat, kann seine Energie nach dem Zerfall vernachlässigt werden.
Die gesamte Anzahl der Zustände dN setzt sich zusammen aus der Anzahl der Zustände
von Elektron und Neutrino,
dN = dne dnν
(2.6)
wobei Ort und Impuls über die Unschärferelation d3 xd3 p ≥ (2π~)3 zusammenhängen.
Jeder Zustand nimmt im Phasenraum ein Volumen von h3 ein, die Gesamtzustandsdichte
ist somit
V
16π 2 V2 2 2 dpν
V
dN
2
2 dpν
=
4πp
dp
4πp
=
pp
dpe
e
e
ν
dE0
(2π~)3
(2π~)3
dE0
(2π~)6 e ν dE0
(2.7)
wobei man annimmt, dass die Wechselwirkung nur innerhalb des Volumens V stattfindet.
Dies ist möglich, da die schwache Wechselwirkung wie bereits erwähnt, nur eine sehr
kurze Reichweite hat und damit praktisch nur im Kern stattfindet. Unter der Annahme,
dass das Neutrino masselos ist folgt
p2ν dpν =
(E0 − Ee )2
dE0
c3
(2.8)
und damit
N (pe )dpe =
2g 2
|Mf i |2 (E0 − Ee )2 p2e dpe = K |Mf i |2 p2e (E0 − Ee )2 dpe .
(2π)3 ~7 c3
(2.9)
Ersetzt man nun Ee durch die kinetische Energie des Elektrons, also die Energie die
man im Szintillator tatsächlich misst und ersetzt dpe durch dEkin , so ergibt sich
p
(2.10)
N (Ee )dEe = K |Mf i |2 (Emax − Ee )2 Ee2 + 2Ee me (Ee + me )dEe
Hinweis: In der Literatur wird als Zefallsenergie immer Emax angegeben, also die maximale kinetische Energie des Elektrons.
5
Abbildung 2.1: Impulsspektrum mit und ohne Fermi-Korrektur
2.1.2 Fermi-Korrektur
Bisher wurde noch nicht berücksichtigt, dass infolge der Coulombwechselwirkung mit
dem Kern die Elektronen eine Abbremsung, bzw. die Positronen eine Beschleunigung
erfahren. Wie stark der Effekt ist hängt von der Kernladungszahl Z und dem Impuls des
emittierten Teilchens ab, führt aber in beiden Fällen zu einer Verformung des Spektrums,
siehe Abbildung 2.1. Die Korrektur ist gegeben als das Verhältnis der Betragsquadrate
der Elektronwellenfunktion im Kern mit und ohne Coulombwechselwirkung
F (Z, η) =
2πη
Ee + me
η = Zα
±2πη
1−e
pe
(2.11)
und wird auch als Fermifunktion F(Z,pe ) bezeichnet. Das ± bezieht sich auf Positronen
bzw. Elektronen. Die differentielle Impulsverteilung hat damit die endgültige Form,
dN
= K |Mf i |2 F (Z, pe )p2e (Emax − Ee )2 .
dpe
(2.12)
2.1.3 Erlaubte und Verbotene Übergänge
Bisher wurde zur Berechnung des β-Spektrums angenommen, dass das Matrixelement
konstant ist. Genau genommen gilt dies aber nur für sogenannte Erlaubte’”Übergänge,
”
bei denen das Elektron und das Neutrino keinen Drehimpuls aus dem Kern tragen.
Erlaubte Übergänge haben eine große Übergangswahrscheinlichkeit, man unterscheidet
zwischen zwei Fällen:
Fermi-Übergang:
Die Spins von Elektron und Neutrino sind antiparallel, sie bilden daher einen SingulettZustand (sβ + s̄ν = 0) und der Kernspin I ändert sich nicht (∆I = 0).
6
Gamow-Teller-Übergang:
Elektron und Neutrino bilden einen Triplett-Zustand (sβ + s̄ν = 1). Hier kann sich der
Drehimpuls des Kerns um ∆I = ±1, 0 ändern, nicht jedoch von I = 0 → I = 0.
Andere Zerfälle bezeichnet man als Verbotene’”Übergänge, je höher der Verboten”
heitsgrad ist um so niedriger ist die Übergangswahrscheinlichkeit. Das bedeutet, dass die
Wellenfunktion im Kern nicht mehr konstant ist, wie in Gleichung 2.4 angenommen, und
man höhere Ordnungen der Näherung nicht mehr vernachlässigen kann. Damit ändert
sich das Matrixelement. Ob ein Zerfall verboten oder erlaubt ist, lässt sich damit über
folgende Überlegung beantworten. Die Gesamtzerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit
erhält man durch Integration des Impulsspektrums über alle möglichen Impulse
Z pmax
Z pmax
dN
1
2
F (Z, pe )p2e (Emax − Ee )2 dpe
(2.13)
dpe = K |Mf i |
λ= =
τ
dp
e
0
0
Ausgedrückt durch We =
0
2
Ee
me c2
als kinetische Energie pro Elektronmasse folgt
Wmax
Z
λ = K |Mf i |
F (Z, We )
p
We2 − 1(Wmax − We )2 dWe
(2.14)
1
wobei das Integral auch als Fermi-Integral f(Z,Wmax ) bezeichnet wird und nur noch von
der Kernladungszahl Z und Wmax abhängt. Ersetzt man die mittlere Lebensdauer durch
die Halbwertszeit ergibt sich
λ=
ln 2
= K 0 |Mf i |2 f (Z, Wmax ).
t1/2
(2.15)
Als ft-Wert bezeichnet man
f (Z, Wmax )t1/2 =
ln 2
,
K 0 |Mf i |2
(2.16)
mit dem man Abschätzen kann, zu welchem Übergang ein Zerfall gehört, da es nur
noch vom Matrixelement abhängig ist. Den Wert des Fermi-Integrales f(Z,Wmax für
verschiedene Z und Wmax kann man zum Beispiel Abbildung 4.2 entnehmen.
ft-Werte bis 106 klassifiziert man als erlaubte Übergänge, oberhalb von 106 bezeichnet
man den Übergang als einfach, zweifach usw. verboten, wobei die Verbotenheitsgrade
jeweils etwa. zwei Größenordnungen auseinander liegen.
Welche Übergänge liegen für Sr90 bzw. Y90 vor?
2.1.4 Kurie-Diagramm
q
e
gegen die kinetische Energie auf, so erhält man, sofern |Mf i |2
Trägt man nun FdN/dp
(Z,pe )p2e
tatsächlich konstant ist eine Gerade, wie in Abbildung 2.2 dargestellt. Auf diese Art
lässt sich die Maximalenergie als Schnittpunkt mit der x-Achse sehr genau bestimmen.
Ein weiterer Vorteil ist, dass man Spektren die aus mehreren Zerfällen bestehen leicht
voneinander trennen kann, da der Verlauf der Geraden im Fall von zwei Komponenten
einen Knick aufweist.
7
Abbildung 2.2: Kurie-Diagramm am Beispiel des Energiespektrums von Kr85
2.2 Geladene Teilchen im Magnetfeld
Bewegt sich ein elektrisch geladenes Teilchen durch ein elektromagnetisches Feld, so
erfährt es eine Kraft, siehe Gleichung 2.17, die es von seiner ursprünglichen Bahn ablenkt.
~ + ~v × B)
~
F~ = q (E
(2.17)
Hierbei ist q die Ladung, die das Teilchen mit sich führt und ~v seine Geschwindigkeit,
~ und B
~ sind die elektrische Feldstärke und die magnetische Flussdichte. Der erste
E
Summand ist die Coulombkraft F~C . Diese Kraft beschleunigt das Teilchen gleichförmig,
~
je nach Ladung, parallel oder antiparallel zu E.
Der zweite Summand wird als Lorentzkraft F~L bezeichnet und ist ebenfalls proportional zur elektrischen Ladung des Teilchens und desweiteren proportional zu seiner
Geschwindigkeit. Die resultierende Kraft steht, aufgrund des Kreuzproduktes, senkrecht
~ aufgespannten Ebene, lenkt es also seitlich ab. Die Ablenkung ist
auf der von ~v und B
maximal, wenn der Geschwindigkeitsvektor senkrecht zum Magnetfeld steht und null
~ steht. Dabei verrichtet ein konstantes Magnetfeld
wenn ~v parallel oder antiparallel zu B
keine Arbeit, wie folgende Überlegung zeigt:
~ · ~v dt = 0
dW = F~ · d~r = F~ · ~v dt = q (~v × B)
(2.18)
Dies bedeutet, dass sich die kinetische Energie und damit die Bahngeschwindigkeit des
Teilchens nicht ändert, wenn es durch ein konstantes Magnetfeld abgelenkt wird.
Was passiert nun, wenn eine geladenes Teilchen, wie in Abbildung 2.3 in ein zeitlich
konstantes und homogenes magnetisches Feld gerät?
Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass gilt,
8
Abbildung 2.3: Elektron im Magnetfeld
 
 
v0
0
~



~v = 0 , B = 0 
0
B
(2.19)
und die zugehörige Bewegungsgleichung lautet
~
m ~ẍ = q ~v × B
(2.20)
x(0) = 0, y(0) = 0, ẋ(0) = v0 , ẏ(0) = 0
(2.21)
mit den Anfangsbedingungen
wobei t = 0 den Zeitpunkt markiert, an dem das Elektron in das Magnetfeld eintritt. Für
die einzelnen Komponenten gilt also, ohne explizites Ausschreiben der Zeitabhängigkeit:
q
B ẏ
m
q
ÿ = − B ẋ
m
ẍ =
(2.22)
(2.23)
Dies stellt ein System von gekoppelten Differentialgleichungen dar, einmaliges integrieren
nach der Zeit gibt
q
By + C1
m
q
ẏ = − Bx + C2
m
ẋ =
(2.24)
(2.25)
wobei die Integrationskonstanten aus den Anfangsbedingungen ẋ(0) = v0 , y(0) = 0 und
ẏ(0) = 0, x(0) = 0 zu C1 = v0 und C2 = 0 bestimmt werden. Durch Einsetzen von
9
Gleichung 2.25 in Gleichung 2.22 werden die Differentialgleichungen entkoppelt:
ẍ = −(
q
B)2 x
m
(2.26)
Gleichung 2.26 beschreibt eine harmonische Schwingung und hat als Lösung
x(t) = A1 cos wt + A2 sin wt, w =
q
B
m
(2.27)
Mit der Anfangsbedingung x(0) = 0 folgt A1 = 0, des Weiteren folgt aus ẋ(0) = v0 ⇒
A2 = vw0 und somit als Lösung
v0
sin wt
w
(2.28)
ẏ = −v0 sin wt
(2.29)
x(t) =
Setzt man 2.28 in 2.25 ein, erhält man
und nach einmaligem integrieren
y(t) =
v0
cos wt + C3
w
(2.30)
wobei aus der Bedingung y(0) = 0 folgt dass C3 = − vw0 , also
y(t) =
v0
(1 − cos wt)
w
Als endgültige Lösung findet man:

  v0

x(t)
sin
wt
w
~r = y(t) =  vw0 (1 − cos wt)
z(t)
0
(2.31)
(2.32)
Diese Bewegungsgleichung beschreibt, wie in Abbildung 2.3 bereits angedeutet wird, eine
Kreisbahn. Erzwungen wird dies von der Lorentzkraft die als Zentripetalkraft auf das
Teilchen wirkt. Auf dieser Bahn bewegt sich das Teilchen mit der Winkelgeschwindigkeit
w = mq B, was man auch als Larmor-Frequenz bezeichnet. Wählt man nun den Radius
konstant und lässt zu, dass das Magnetfeld variabel ist, so können sich nur Teilchen
mit einem bestimmten Impuls auf einer Kreisbahn mit festem Radius R0 bewegen. Die
Abhängigkeit findet man durch gleichsetzen von Lorentzkraft und Zentripetalkraft,
FZ = FL
2
m Rv 0
= qvB
⇒ mv = p = qBR0
(2.33)
~
, (~v ⊥ B)
(2.34)
(2.35)
oder in natürlichen Einheiten:
p
B R0
= 0.3
keV
mT mm
10
(2.36)
Abbildung 2.4: Energieverlust durch Ionisation von schweren Teilchen.
Wie bereits erwähnt wurde, leistet die Lorentzkraft keine Arbeit, kann also nicht die
Energie und damit die Geschwindigkeit des Teilchens verändern. Gleichwohl erfährt das
Teilchen im Magnetfeld eine Beschleunigung und verliert deshalb Energie aufgrund von
Synchrotronstrahlung. Die Leistung, die ein geladenes Teilchen abstrahlt das senkrecht
zu seiner Bewegungsrichtung beschleunigt wird (~v ⊥ ~v˙ ) beträgt:
P ∼
q2 4 2
γ (v̇)
c3
(2.37)
Welchen Einfluss hat der Energieverlust durch Synchrotronstrahlung?
2.3 Energieverlust von Elektronen in Materie
Bei einem Durchgang durch Materie verlieren Teilchen Energie. Dies ist auf mehrere
Effekte zurückzuführen, zum Einen sind dies Stöße mit den Hüllenelektronen der Atomkerne, was zu deren Anregung oder Ionisation führen kann. Zum Anderen ist dies die
Wechselwirkung mit den Atomkernen, etwa mittels Streuung, beziehungsweise deren
Coulombfeld welches geladene Teilchen ablenkt und zu Emission von elektromagnetischer Strahlung, namentlich Bremsstrahlung führt. Ausserdem kommt es zu Emission von
Čerenkov-Strahlung, wenn das (geladene) Teilchen ein Medium mit einer Geschwindigkeit
größer als die Lichtgeschwindigkeit c0 = nc durchläuft.
Die für diesen Versuch wichtigen Effekte sind der Energieverlust durch Ionisation und
die Emission von Bremsstrahlung, daher wird auf sie etwas genauer eingegangen.
2.3.1 Ionisation
Die Herleitung unterscheidet sich für schwere Teilchen zu der von Elektronen, die Vorgehensweise ist aber prinzipiell diesselbe. Im Folgenden wird der Energieverlust durch
Ionisation auf klassische Art für schwere Teilchen m me hergeleitet, das Ergebnis
wird dann auf Elektronen erweitert. Die Grundannahme ist, dass die kinetische Energie
des einfallenden Teilchens viel größer ist als die Bindungsenergie des Hüllenelektrons.
klein, das Elektron kann als frei betrachtet
Dann ist der relative Impulsübertrag ∆p
p
werden und die Trajektorie des schweren Teilchens als Gerade.
11
Fliegt nun ein Teilchen mit Ladung Z1 e am Atom vorbei, so wirkt auf ein Hüllenelektron
die Coulombkraft
1 Z1 e
F~C =
e~r
(2.38)
4π0 (r2 )
mit dem Stoßparamter b der ein Maß darstellt für den Mindestabstand von Elektron
und Teilchen, siehe Abildung 2.4.
Der auf ein Elektron übertragende Impuls beträgt
Z ∞
Z
e
~ ⊥ dx .
F~C dt =
∆~p =
E
(2.39)
v
−∞
wobei sich die longitudinalen Krafte aufgrund von F~Ck (−x) = −F~Ck (x) aufheben. Mithilfe des Gauß’schen Satzes folgt
∆p =
Z1 e2 1
.
2π0 bv
(2.40)
2
als Impulsübertrag auf ein Elektron, dass damit die kinetische Energie ∆E = (∆p)
2me
erhält. Der Energieübertrag auf alle Elektronen während des Teilchendurchgangs ist
gegeben durch die Integration über alle Elektronen im Volumen dV und damit in Zylinderkordinaten
∆E =
(∆p)2
Z12 e4 ne
ne dV =
b dφdbdx
2me
8me π 2 20 β 2 c2 b2
(2.41)
mit ne als Elektronendichte und β = vc . Als Energieübertrag pro Weglänge erhält man
e4 Z12 ne
bmax
dE
=
ln
2
2
2
dx
4π0 me β c
bmin
(2.42)
Der maximale Impuls- und damit Energieübertrag findet beim zentralen Stoß statt, so
dass für bmax nach Gleichung 2.40 gilt:
Z1 e2
2π0 βcbmax
Z1 e2
=
4π0 me c2 β 2
∆p = 2me cβ =
⇒ bmax
(2.43)
(2.44)
Der minimale Energieübertrag ist die Energie, die notwendig ist um das Elektron zu
ionisieren, und daher:
bmin =
Z1 e2
1
√
2π0 βc 2me I
(2.45)
I bezeichnet die mittlere Ionisierungsenergie und beträgt für Aluminium 163 eV. Für Elemente schwerer als Aluminium lässt sich die mittlere Ionisierungsenergie durch folgende
Formel nähern
I = 9.73Z + 58.8Z −0.19 eV,
12
(2.46)
oder für Verbindungen
ln I =
X
gk ln Ik
(2.47)
k
mit gk als Verhältnis der Elektronen im Atom k pro Gesamtzahl der Elektronen.
Durch Einsetzen in 2.42 erhält man
1 dE
Z12 e4 1 Z
2me β 2 c2
=
NA ln
(2.48)
ρ dx Ion 8π20 me c2 β 2 A
I
für den Energieverlust pro Weglänge in [ dE
] = MeV cm2 /g. Die Elektronendichte wurde
dx
Z
durch ne ≈ A ρNA ersetzt, A als Massen-, und Z als Kernladungszahl des durchflogenen
Materials mit Dichte ρ. Wie man sieht, sind die Geschwindigkeit (∝ β12 ) und die Ladung
(∝ Z12 ) des Teilchens von Bedeutung, nicht aber dessen Masse. Die Abhängigkeit des
Z
durchquerten Materials wird durch das Verhältnis A
und ln( I1 ) berücksichtigt. Beachtet
werden muss, dass die Streuung an Elektronen ein statistischer Prozess ist, die angegebene
Formel also den mittleren Energieverlust pro Wegstrecke angibt.
Was verändert sich, wenn das einfallende Teilchen ein Elektron ist? Da die streuenden
Teilchen nun gleich schwer sind, kann die Teilchenbahn nicht mehr als Gerade betrachtet werden, des Weiteren findet eine Kollision zwischen quantenmechanisch identischen
Teilchen statt, so dass man sich nach dem Stoß entscheiden muss, welches das primäre
Elektron war. In dieser Arbeit wird die Formel verwendet, die Rohrlich und Carlson
1954 entwickelt haben, die auf der Arbeit von Bethe aufbaut:
T 2 /8 − (2T + 1) ln 2
2πNA r02 me c2 Z
T 2 (T + 2)
dE
2
)+
+ (1 − β ) − δ(2.49)
=
ln(
dx Ion
β2
A
2I 2
(T + 1)2
2
r0 = 4π0eme c2 bezeichnet den klassischen Elektronenradius und T die kinetische Energie
des primären Elektrons. δ ist eine Dichtekorrektur und berücksichtigt, dass das Elektron aufgrund seiner elektrischen Ladung das durchflogene Medium polarisiert. Dadurch
kommt es für große Abstände zu einer Abschirmung der Hüllenelektronen. Dies wird
wichtig für große Energien und verringert den Energieverlust den das Elektron erfährt.
2.3.2 Bremsstrahlung
Bremsstrahlung tritt auf, wenn geladene Teilchen durch das Coulombfeld der Atomkerne im Absorbermedium abgebremst werden. Der Effekt ist für schwere Teilchen klein
und tritt praktisch nur in Erscheinung bei Elektronen oder bei hochrelativistischen
Geschwindigkeiten. Der mittlere Energieverlust pro Weglänge beträgt für Elektronen:
dE
Z2 2
183
E
= 4αNA re ln
E=
,
(2.50)
1
dx Brems
A
X0
Z3
A
X0 =
(2.51)
4αNA Z 2 re2 ln 1831
Z3
13
1
mit der Feinstrukturkonstante α = 137
. Wie man sieht ist der Energieverlust proportional
zur Anfangsenergie des einfallenden Elektrons. X0 bezeichnet man als Strahlungslänge,
sie wird häufig in cmg 2 angegeben. Sie ist materialabhängig und gibt an, nach welcher
Strecke im Medium die Energie des Elektrons auf 1/e ≈ 37% abgefallen ist.
Da der Energieverlust durch Ionisation für hohe Energien logarithmisch ansteigt, der
durch Bremsstrahlung aber linear, wird der gesamte Energieverlust ab einer sogenannten ’kritischen Energie’ EC durch den Bremsstrahlungsprozess dominiert. Für Elektronen und Medien schwerer als Aluminium kann dies durch die Formel
EC =
800M eV
Z + 1.2
(2.52)
angegeben werden.
Für Verbindungen und Zusammensetzungen lässt sich der mittlere Energieverlust pro
Wegstrecke dadurch beschreiben, dass die einzelnen Energieverluste je Element gewichtet
nach dem jeweiligen Gewichtsanteil aufsummiert werden:
X dE dE
=
wi
(2.53)
dx tot
dx
i
i
2.4 Vielfachstreuung
Beim Durchlaufen eines Teilchens durch Materie finden viele Streuprozesse statt, die jeweils eine Richtungsänderung bewirken, siehe Abbildung 2.5. Geladene Teilchen streuen
dabei hauptsächlich am Coulombfeld der Kerne. Dieser Prozess sorgt dafür, dass der
Teilchenstrahl auffächert, zu einer schlechteren Auflösung in Detektoren führt. Dies gilt
für die Impulsmessung, die durch den Krümmungsradius (Ortsauflösung) im B-Feld
erfolgt, aber auch für die Energiemessung. Dies liegt daran, dass sich die tatsächlich
im Material zurückgelegte Wegsträcke verlängert und somit auch die dE/dx-Messung
verfälscht wird. Vor Allem für Elektronen ist dieser Prozess wichtig, da es aufgrund der
geringen Masse zu großen Impulsüberträgen und damit zu großen Richtungsänderungen
kommen kann. Der Effekt der Vielfachstreuung wird durch die Streutheorie von Molière
beschrieben, die besagt, dass für kleine Ablenkwinkel die Winkelverteilung als gaußförmig
beschrieben werden kann. Anschaulich kann die einzelne Winkeländerung durch eine
Streuung als gleichverteilt betrachtet werden, so dass nach dem zentralen Grenzwertsatz
die Vielzahl der Streuungen zu einer Gaußerteilung führen.
In diesem Experiment steht keine monoenergetische Elektronenquelle zur Verfügung,
dennoch ist es auch mit einer β-Quelle möglich eine Vorstellung von dem Einfluss der
Vielfachstreuung in Detektoren zu bekommen, da der Effekt qualitativ nachweisbar ist.
14
Abbildung 2.5: Richtungsänderung von Teilchen beim Flug durch Materie.
2.5 Nachweisgeräte radioaktiver Strahlung
In diesem Versuch geschieht die Messung der von der Sr90-Quelle emittierten Elektronen auf zwei Arten, mit dem Geiger-Müller-Zählrohr und mit einem Szintillator. Im
Nachfolgenden wird kurz auf Aufbau und Funktion beider Detektoren eingegangen.
2.5.1 Geiger-Müller-Zählrohr
Geiger-Müller-Zählrohre (GM-Zählrohr) gehören zu den ältesten Typen von Detektoren
mit denen der Nachweis von radioaktiver Strahlung erfolgt. Ihr Aufbau besteht aus einem
Metallzylinder der als Kathode dient und einem durch den Zylinder laufenden dünnen
Draht als Anode. Moderne GM-Zähler besitzen ein Fenster, das aus einer massearmen
Folie wie z.B. Glimmer besteht um die Nachweiswahrscheinlichkeit zu erhöhen. Der
Zylinder selbst ist mit einem Zählgas gefüllt, das sich aus einem Edelgas und einem sogenannten Löschgas zusammensetzt. Beim Durchgang von ionisierenden Teilchen wird
das Gas entlang der Teilchenspur ionisiert. Die freiwerdenden Elektronen wandern zur
Anode und erzeugen dort einen Stromfluss der gemessen werden kann.
Je nach angelegter Spannung kann das Zählrohr auf verschiedene Arten betrieben werden. Dies ist in Abbildung 2.6 dargestellt. Oberhalb des Rekombinationsbereichs, in
dem ein Großteil der Elektronen vor Erreichen der Anode wieder von den Gasmolekülen
aufgenommen wird das Zählrohr als Ionisationskammer betrieben. Hier erreichen alle
Elektronen die Anode und der gemessene Strom ist proportional zur Energie des ionisierenden Teilchens.
Erhöht man die Spannung gelangt man in den Proportional- oder Gasverstärkungsbereich.
Durch das starke elektrische Feld in der Nähe der Anode werden die Elektronen so stark
beschleunigt, dass sie das sie umgebende Gas ionisieren. Der gemessene Strompuls ist
immer noch proportional zur Energie des ionisierenden Teilchens da die Gasverstärkung
nur in der Nähe der Anode stattfindet, ist aber um ein Vielfaches stärker. Des Weiteren
ist es möglich mit Proportionalzählern zwischen α- und β-Strahlung zu unterscheiden.
Bei noch höherer Spannung wird die Gasverstärkung so stark, dass sich die entstehende
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Abbildung 2.6: Bildunterschrift
Entladung im gesamten Zählrohr ausbreitet. Die Gasentladung hält so lange an, bis die
entstehende Gasionenwolke weit genug nach außen zur Kathode gewandert ist und das
elektrische Feld abschirmt. Ein erneutes Zünden wird durch das Löschgas verhindert. Hier ist der entstehende Strom nicht mehr proportionalen Bereich, sondern jedes Teilchen
erzeugt unabhängig von seiner Energie denselben Stromimpuls.
In diesem Versuch wird ein GM-Zähler verwendet, dessen Zählrate mit einem Cobra3System ausgelesen wird. Die Spannungsversorgung und Signalauslese erfolgt über ein
BNC-Kabel, die Spannungsversorgung beträgt 500 V. Die Messwerte können mit einer
zur Verfügung stehenden Software aufgenommen und auch ausgelesen werden.
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2.5.2 Szintillatoren
Szintillatoren zählen zu am häufigsten genutzten Detektoren zum Nachweis radioaktiver
Strahlung.
Abbildung 2.7: Schematischer Aufbau von Szintillator und Photomultiplier
Ihr prinzipieller Aufbau ist in Abbildung 2.7 dargestellt. Im szintillierenden Material
Sz wird durch ionisierende Strahlung (γ- oder Teilchenstrahlung) Licht erzeugt, das an
einer Photokathode P aufgrund des photoelektrischen Effekts Elektronen auslöst. Diese
Photoelektronen werden durch mehrere Dynoden verstärkt, so dass man einen messbaren
Spannungspuls erhält, der proportional zur deponierten Energie ist. Das Szintillationsmaterial soll möglichst viel Energie der durchfliegenden Teilchen absorbieren und in
Licht umwandeln, dies bezeichnet man als Lichtausbeute. Des Weiteren sollte es einen
möglichst linearen Zusammenhang zwischen der deponierten Energie und der Anzahl
der erzeugten Szintillatorphotonen geben, damit im Weiteren auch der erzeugte Spannungsimpuls linear zur deponierten Energie ist. Ferner sollte der Szintillator möglichst
durchlässig für das erzeugte Licht sein.
Grundsätzlich unterscheidet man zwei Arten von Szintillatoren, deren Verwendung
jeweils Vor- und Nachteile hat. Zum Einen sind dies organische Szintillatoren (z.B. Plastik) die im Allgemeinen sehr schnell sind und damit nur eine geringe Totzeit haben. Dies
bringt aber meist eine schlechte Energieauflösung mit sich. Organische Szintillatoren
werden daher meist als Trigger verwendet.
Demgegenüber stehen Anorganische Szintillatoren wie etwa NaI(Tl) oder CsI, deren
Vorteil eine gute Energieauflösung ist, die aber relativ langsam sind. In diesem Versuch wird ein mit Thallium dotierter Natriumiodid-Szintillator verwendet, der heutzutage ein Standardmaterial für Szintillatoren darstellt. NaJ(Tl) weist eine sehr gute
lineare Lichtausbeute über den gesamten relevanten Energiebereich auf, wie in Abbildung 2.8 dargestellt ist. Die Nachteile von NaJ(Tl) sind allerdings, dass es zerbrechlich
und hygroskopisch ist, weshalb es vor der Luft geschützt werden muss. Aufgrund der
regelmäßigen Kristallstruktur weisen die Anorganische Kristalle eine ausgeprägte Bandstruktur auf und der Szintillationsprozess lässt sich daher im Rahmen des Bändermodells
17
Abbildung 2.8: Lichtausbeute von Elektronen und α-Teilchen in Abhängigkeit ihrer
kinetischen Energie.
beschreiben, siehe Abbildung 2.9. Im Valenzband befinden sich an die Moleküle gebun-
Abbildung 2.9: Szintillationsprozess
Bändermodell
in
einem
anorganischen
Szintillator
im
dene Elektronen, im Leitungsband sind frei bewegliche Elektronen. Wird Energie im
Kristall deponiert, so werden Elektronen aus dem Valenzband in das Leitungsband
gehoben. Wenn sie wieder ins Leitungsband zurückfallen, durch Emission eines Photons der Energie E1 , so wird dieses Photon wieder im Kristall absorbiert, da dies genau
der Energie entspricht um ein Elektron anzuregen. Um das zu verhindern, werden in
den Kristall Störstellen durch sogenannte Aktivatoratome (im konkreten Fall Thallium)
eingebracht, so dass neue Energieniveaus leicht unterhalb des Leitungsbandes entstehen.
Die Elektronen gehen strahlungsfrei auf das Energieniveau des Aktivators über und fallen von dort, unter Emission eines Photons mit Energie E2 , ins Valenzband zurück.
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2.6 Impulsauflösung
Die in diesem Versuch von Ihnen aufzubauende Versuchsanordnung ist schematisch in
Abbildung 2.10 dargestellt. Die Elektronen entstehen in der Quelle S und gelangen durch
eine Blende mit Breite ∆x1 in das Magnetfeld. Hier werden sie abgelenkt und mittels
eines Detektors D detektiert. Vor dem Detektor befindet sich eine weitere Blende mit
Breite ∆x2 . Bestimmen Sie die Impulsauflösung unter der Annahme, dass die Elektronen
parallel zur x-Achse in das Magnetfeld eintreten.
Abbildung 2.10: Schematischer Aufbau des Impulsspektroskops.
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3 Durchführung
3.1 Impulsmessung im Magnetfeld
1. Vermessen sie zunächst mit Hilfe der Hallsonde das Magnetfeld zwischen den
Polschuhen des Elektromagneten. Nutzen Sie dazu das Raster das auf dem Polschuh
angebracht ist. Überprüfen Sie in welchem Bereich das Magnetfeld homogen ist und
welche Auswirkungen unterschiedliche Stromstärken auf den zeitlichen Verlauf des
Magnetfeldes haben. Dazu vermessen sie bei unterschiedlichen Stromstärken 60
Sekunden lang das Magnetfeld.
2. Bauen Sie mit den zur Verfügung stehenden Materialien eine Apparatur um das
Impulsspektrum von Sr90 vermessen zu können. Überlegen Sie sich dazu die optimale Positionierung von Quelle und GM-Zähler. Der fertige Versuchsaufbau muss
vor Inbetriebnahme vom Assistenten überprüft werden!
Messen Sie die Zählraten in Abhängigkeit des Magnetfeldes, variieren Sie das
Magnetfeld in geeigneten Schritten. Da sich das Magnetfeld mit dem Netzteil
eventuell nicht fein genug einstellen lässt, können Sie selbiges auch durch drehen der
Polschuhschraube verändern. Um den Untergrund abschätzen zu können, messen
Sie die Zählrate bei verschwindendem Magnetfeld und korrigieren Sie die Messung
dementsprechend.
Hinweis: Bei der verwendeten Hallsonde handelt es sich um einer Transversalsonde.
Der Messbereich umfasst 0..2 mT, bis 0..2 T und es können zeitlich konstante oder
Wechselfelder gemessen werden, je nach Einstellung. Die Messwerte können mittels einer
zur Verfügung stehenden Software aufgenommen und exportiert werden.
3.2 Energieverlust in Materie
Messen Sie das Spektrum von Sr90 und optimieren Sie durch variieren der Verstärkung
den Messbereich, so dass das gesamte Spektrum dargestellt wird. Ändern Sie nicht die
Spannungsversorgung (500 V)! Nehmen Sie die Spektren von Na22, Cs137, Co60 und
Eu152 auf um eine Energie-Kanal-Kalibrierung durchführen zu können.
Nehmen Sie das Spektrum von Sr90 mit unterschiedlichen Absorbern auf und führen Sie
eine Untergrundmessung durch.
20
3.3 Vielfachstreuung
Montieren Sie den GM-Zähler in der dafür vorgesehenen Halterung, unter Umständen
ist es notwendig danach die Measure-Software neu zu starten. Messen Sie in geeigneten
Schritten die Winkelverteilung von Sr90 und Tl204, jeweils ohne und mit Absorberblechen.
Wählen Sie sinnvolle Messzeiten und berücksichtigen Sie den Untergrund.
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4 Auswertung
• Stellen Sie die gemessenen Magnetfeldeigenschaften geeignet dar und diskutieren
Sie selbige. Ist das Magnetfeld ausreichend homogen oder muss eventuell mit einem
effektiven Mittelwert gerechnet werden? Wo ist das Magnetfeld nicht mehr homogen?
• Tragen Sie das Impulsspektrum sowie das dazugehörige Energiespektrum auf.
Transformieren Sie das Spektrum in ein Kurie-Diagramm, einmal ohne und einmal mit Fermi-Korrektur Bestimmen Sie daraus die Maximalenergie des Spektrums
und schätzen Sie den Fehler auf Emax ab. Was ändert die Fermi-Korrektur?
• Führen Sie bei der Auswertung der Messung mit dem Szintillator eine EnergieKanal-Kalibration durch.
• Tragen Sie die gemessenen Energienspektren auf. Stellen Sie alle gemessenen Spektren mit Aluminiumabsorbern in einem Diagramm dar. Machen Sie das Gleiche
mit den Spektren der Absorber gleicher Stärke. Erstellen Sie daraus die KurieDiagramme und ermitteln Sie die maximale Energie mit einer Fehlerabschätzung.
mg
Die Abschirmung aus Aluminium wird vom Hersteller mit einer Flächenbelegung von X = 147 cm
2
angegeben. Des Weiteren ist der Kristall von einem Reflektor aus Aluminiumoxid ρ = 3.94g/cm3
umgeben, der die Aufgabe hat, die Szintillatorphotonen in den Kristall zurück zu reflektieren, um
die Lichausbeute zu erhöhen. Der Reflektor hat laut Hersteller eine Stärke von ca. 1.6 mm, bzw.
mg
eine Flächenbelegung von 88 cm
2 . Der Reflektor und die Abschirmung aus Aluminium müssen
bei der Auswertung berücksichtigt werden.
– Vergleichen Sie ihre Werte mit der Theorie.
– Hat der Hersteller korrekte Angaben gemacht?
– Diskutieren Sie das Ergebnis.
• Stellen Sie die gemessenen Winkelverteilungen durch Vielfachstreuungen zusammen in einem Diagramm dar. Ist die Winkelverteilung mit einer Gauß-Funktion
verträglich (χ2 /Ndof ). Bilden sie die Differenz von ungestörter Winkelverteilung
und Winkelverteilung mit Absorber. Ist diese ebenfalls gaußverteilt?
• Sie haben maximal Energie und maximal Impuls von geladenen Teilchen gemessen.
Rechnen sie die Masse aus! Erläutern sie kurz was die Unsicherheiten sind. Kann
man aus Sagen über die Art des Teilchens machen?
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• Stellen Sie kurz dar, wie die gezeigten Methoden in einem modernen Detektor verwendet werden. Was für Schlussfolgerungen ziehen Sie für einen guten“ Detektor?
”
• Welcher Art ist der Übergang von Y 90 nach Zr90?
Bei diesem Versuch werden die Ergebnisse nicht immer sehr genau sein (z.B. Massenbestimmung). Der Schwerpunkt der Auswertung sollte daher auf einer korrekten Behandlung der Fehler, dem verstehen der Methoden und der Prinzipien liegen. Man kann viele
Ergebnisverteilungen in der selben Abbildung darstellen. Wichtige Ergebnisse sollten in
Text oder Tabelle aufgeschrieben werden.
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Quellen
Zur Energiekalibrierung werden die Gammastrahler Na22, Cs137, Co60 und Eu152 verwendet. Die verwendeten β-Quellen sind Sr90 und Tl204 mit einer Aktivität von 360
kBq bzw. 12kBq. Ihre Zerfallssschemata sind in Abbildung 4.1 dargestellt.
Abbildung 4.1: Zerfallsschema von Tl204 und Sr90
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Fermi-Integral
Abbildung 4.2: Logarithmische Darstellung für β − Zerfälle mit unterschiedlichen
Kernladungszahlen.
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