Physik I Musterlösung 9

Physik I
Musterlösung 9
FS 08
Prof. R. Hahnloser
Aufgabe 9.1
Um das System zu lösen, sollen wir die resultierende Kraft berechnen, die auf die Kugeln
wirkt. In diesem Fall gibt es die Schwerkraft m~g , die Spannung im Seil T~ und die (abstossende) Coulombsche Kraft verursacht durch die geladenen Kugeln. Abb. 1 zeigt die
Kräfte die auf eine der Kugel wirkt. Die x– une y– Komponenten der resultierenden Kraft
berechnen sich wie folgt:
nach x: − Fq + sin θT = 0
(1)
nach y: − mg + cos θT = 0
(2)
Löst man Gl. (2) nach T und setzt das Ergebnis in Gl. (1) erhält man:
−Fq + tan θmg = 0
Die Beziehung zwischen θ und x ist gegeben durch tan θ ∼
= sin θ = √
(3)
x/2
L2 +(x/2)2
. Andererseits
ist der Betrag der Kraft Fq durch das Coulombsche Gesetz gegeben:
|Fq | =
1 q2
.
4π0 x2
(4)
Nach dem Einsetzen von Fq in Gl. (3) erhält man:
x=
q 2 L 1/3
2π0 mg
Dies löst man nach q auf und bekommt:
s
r
4π0 mgx3
(0.0086kg)(9.81m/s2 )(0.04)3
q=
=
= ±17.3µC
2L
2 · (8.99 · 109 N m2 /C 2 ) · 1m
Abbildung 1: Aufgabe 9.1
1
(5)
(6)
Aufgabe 9.2
Das elektrische Feld E(z) auf der senkrechten Mittelpunktachse z des Rings ist durch
Gl. (23-16) gegeben:
Qz
(7)
E(z) =
2
4π0 (z + R2 )3/2
wobei Q die Ladung auf dem Ring und R seinen Radius ist. Wegen dem elektrischen
Feld, wirkt eine Kraft F = eE auf das Elektron, wobei e seine Ladung bezeichnet(e < 0).
Wenn z > 0, ist diese Kraft F = qE gegen unten gerichtet, und gegen oben gerichtet wenn
z < 0 (z = 0 ist eine Gleichgewichtpunkt). Für Schwingungen mit kleinen Amplituden im
Vergleich zu dem Radius des Rings i.e. z R, lässt sich die Kraft wie wie folgt schreiben:
F =−
eQz
4π0 R3
(8)
Diese Kraft zieht das Elektron immer gegen z = 0, und ist immer proportional zu z.
Deswegen können wir es mit der Kraft einer Feder gleichsetzen, die eine Federkonstante
k = 4πeQ
3 hat. Nach Gl. (16-12) es folgt dass die Schwingungfrequenz ω ist:
0R
r
k
ω=
(9)
me
wobei me die Masse des Elektrons bezeichnet. Mit den gegebenen Zahlenwerte bekommen
wir:
s
r
eq
(1.6 · 10−19 C) · (0.037mC) · (9 · 109 N m2 /C 2 ) ∼
=
(10)
= 5.77 · 107
4π0 mR3
9.1 · 10−31 (2.6m)3
Aufgabe 9.3
Für die differenzielle Ladung eines Ladungselements ds kann man dq = λds schreiben.
Diese differenzielle Ladung erzeugt in der Entfernung R im Punkt P ein differenzielles
~ Behandelt man das Ladungselement als eine Punktladung, folgt für
elektrisches Feld dE.
~
den Betrag von dE:
1
λ
dE =
ds
(11)
4π0 (R2 + s2 )
Die Komponenten senkrecht zur Achse haben alle den gleichen Betrag und zeigen in
verschiedene Richtungen. Jedoch existiert für jede beliebig herausgegriffene senkrechte
Komponente eine andere, die exakt entgegengesetzt ist, sodass ihre Vektorsumme null
wird. Da dies für jedes beliebige Paar senkrechter Komponenten gilt, löschen sich die
Feldbeiträge senkrecht zur Symmetrieachse des Stabs aus.
~ hat den Betrag dE cos θ, und man liest aus der Skizze
Die Parallelkomponente von dE
ab:
R
cos θ =
(12)
2
(R + s2 )1/2
Um nun die von allen Ladungselementen erzeugten Parallelkomponenten dE cos θ zu summieren, integrieren wir über den Umfang des Stabs.
Z
Z L/2
R
λ
dE cos θ =
ds
(13)
2
4π0 (R + s2 )3/2
−L/2
2
Die Lösung dieser Integrale ist:
Ez =
λ
L
= 12.09N/C
2
4π0 R (R + (L/2)2 )1/2
(14)
(Man kann die Integrale selbst lösen mit dem Ersatz s = R tan θ).
Aufgabe 9.4
Legen Sie die positive Richtung in der Skizze nach rechts. Die Beschleunigung des Protons
ist ap = eE/mp , und die Beschleunigung des Elektrons ist ap = −eE/me , wobei E
den Betrag des elektrischen Feldes, mp die Protonenmasse und me die Elektronenmasse
bezeichnet. Setzen Sie die Anfangsposition des Protons in den Ursprung. Die Koordinate
des Protons zur Zeit t ist dann x = 12 ap t2 , und die Koordinate des Elektrons ist x = L 12 ae t2 .
Sie fliegen aneinander vorbei, wenn ihre Koordinaten gleich sind, d.h. wenn 12 ap t2 =
L + 21 ae t2 gilt. Das bedeutet t2 = 2L/(ap − ae ) und
1 2
ap
ap t =
L
2
ap − ae
me
=
L
ma + me
= 2.7 · 10−5
x =
(15)
(16)
(17)
Aufgabe 9.5
Das Dipolmoment eines elektrischen Dipols ist als Vektor definiert, der vom negativen
zum positiven Ende des Dipols hin gerichtet ist:
p = 2ed = 2 · 1.6 · 10−19 · 0.65 · 10−9 = 2.08e − 28Cm
(18)
~ sei θ. Das DrehDer Winkel zwischen dem Dipolmoment p~ und dem elektrisches Feld E
moment das elektrisches Feld auf dieses Dipol ausübt ist (Gl. 23-33):
τ = pE sin θ
(a) θ = 0 τ = 0
(b) θ = 90 τ = pE ∼
= 6.66N m
(c) θ = 180 τ = 0
3
(19)