1 Das magnetische Feld

Elektrotechnik II
Dieses Skript soll das Mitschreiben bei der Vorlesung
erleichtern und konzentrierte Mitarbeit ermöglichen.
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Prof. Dipl.-Ing. Gerhard Schaub
Lehrbuchempfehlung zur Vorlesungsbegleitung:
Moeller:
Führer/Nerreter:
Kallenbach:
Grundlagen der Elektrotechnik,
Grundgebiete der Elektrotechnik,
Elektromagnete,
Teubner-Verlag
Hanser
Teubner-Verlag
Inhalt
1
Das magnetische Feld
4
1.1 Wirkungen, Ursachen, Anwendungen
1.2 Materialien
1.2.1
1.2.2
4
4
Unmagnetische Stoffe
Ferromagnetische Stoffe
4
4
1.3 Feld des stromdurchflossenen Leiters
1.3.1
1.3.2
5
Versuch mit stromdurchflossenem Draht
Definition der Feldlinien
5
5
1.4 Definition der magnetischen Größen
1.4.1
1.4.2
1.4.3
1.4.4
1.4.5
1.4.6
1.4.7
1.4.8
1.4.9
Magnetischer Fluß Φ
Magnetische Flußdichte oder Induktion B
Magnetische Leitfähigkeit oder Permeabilität µ
Magnetische Feldstärke H
Durchflutung oder magnetische Spannung Θ
Durchflutungsgesetz
Magnetischer Widerstand Rm
Zusammenstellung der magnetischen Größen
Vergleich der verschiedenen Felder
1.5 Beispiele magnetischer Kreise
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.5.4
1.5.5
1.5.6
1.5.7
5
5
5
6
7
7
8
8
9
9
10
Magnetfeld eines dicken geraden Stromleiters
Magnetfeld eines kreisförmigen Stromleiters
Magnetfeld einer Spule mit konstantem Kernquerschnitt
Spule mit nicht konstantem Kernquerschnitt
Spule mit Eisenkern und Luftspalt
Spule mit Mantelkern (M-Schnitt mit Luftspalt)
Zahlenbeispiel
Prof. G. Schaub - ET2_V.DOC - Druck 10.12.2000
10
11
11
12
12
13
14
1
1.6 Die Induktionswirkung des magnetischen Feldes
1.6.1
1.6.2
1.6.3
1.6.4
1.6.5
1.6.6
Das Induktionsgesetz
Richtung der Zählpfeile und Lenz´sche Regel
Bewegung relativ zum Magnetfeld (“Schneiden von Feldlinien“)
Zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch die Schleife
Induktivität
Induktivität einer Doppelleitung
1.7 Die Kraftwirkung des magnetischen Feldes
1.7.1
1.7.2
1.7.3
1.7.4
1.7.5
1.7.6
Energie des Magnetfelds einer Spule
Energie des Magnetfelds in einem Raumvolumen
Kraft auf das Joch eines Zugmagneten
Kraft auf den geraden Stromleiter, Lorentzkraft
Zugmagnet mit Eisenblechpaket
Kraft des Zugmagneten in Abhängigkeit des Luftspalts
1.8 Der magnetische Kreis mit ferromagnetischem Kern
1.8.1
1.8.2
1.8.3
1.8.4
1.8.5
1.8.6
1.8.7
1.8.8
Die Eigenschaften ferromagnetischer Werkstoffe, Magnetisierungskurve
Hystereseverluste
Wirbelstromverluste
Die Magnetisierungskurve von weichmagnetischen Materialien
Die Scherung der Magnetisierungskurve
Grundaufgabe 1 zum Eisenkreis mit Luftspalt
Grundaufgabe 2 zum Eisenkreis mit Luftspalt
Grundaufgabe 3 zum Eisenkreis mit Luftspalt
1.9 Dauermagnete
1.9.1
1.9.2
1.9.3
1.9.4
1.9.5
1.9.6
2
3
15
15
16
17
18
19
19
19
20
20
21
22
22
23
23
24
24
25
25
26
27
29
30
Magnetisierung
Entmagnetisierungskennlinien von hartmagnetischen Werkstoffen
Berechnen des Dauermagnet - Arbeitspunktes
Beispiel: Elektrokleinmotor mit Dauermagnet-Erregung
Lineare Behandlung moderner Dauermagnete
Bistabiles Magnetventil
Schaltvorgänge an der Induktivität
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
15
30
31
31
32
33
33
35
Strom-Spannungsbeziehung (´Ohm´sches Gesetz´)
Grundschaltung
Schaltung zum Auf- und Entladen
Schaltungsbeispiel
Schaltungsbeispiel mit L und C (G2LC.SCH)
Durchflußwandler als getakteter Strom- und Spannungssteller
Einfluß der Spulenverluste
Einfluß der Ankerbewegung bei elektromagnetischen Aktoren
Stromverzerrung durch die Magnetisierungskurve
35
35
36
37
38
39
40
41
42
Wechselstrom
43
3.1 Zeitfunktionen
43
3.1.1
3.1.2
3.1.3
Arten von periodischen Wechselgrößen
Kennwerte von Wechselgrößen
Erzeugung von sinusförmiger Wechselspannung
3.2 Zeigerdarstellung
3.2.1
3.2.2
3.2.3
45
Vom Sinus zum Zeiger
Addition von Sinusgrößen
Berechnungsmethode mit Beispiel
45
46
47
3.3 Komplexe Rechnung
3.3.1
3.3.2
3.3.3
43
44
45
48
Zeiger in der Komplexen Ebene
Rechenregeln
Beispiel
48
48
49
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2
3.4 Grundzweipole
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4
49
Ohmwiderstand
Induktivität
Kapazität
Zusammenstellung der Grundzweipole
49
50
50
50
3.5 Komplexe Zweipole aus R, L und C
3.5.1
3.5.2
3.5.3
3.5.4
3.5.5
3.5.5.1
3.5.5.2
3.5.5.3
3.5.5.4
3.5.5.5
3.5.6
4
51
Komplexer Widerstand und Leitwert
Äquivalente Umwandlung Parallel- ⇔ Reihenschaltung
Wirkstrom und Blindstrom
Wirkleistung und Blindleistung
Beispiele
R und L in Serie
R und C in Serie
R und L parallel
R und C parallel
Netzwerk mit R, L und C (G2RLC∼.SCH)
51
53
53
53
54
54
54
54
55
55
Resonanz, Schwingkreis
56
Gleichstrommaschinen
57
4.1 Prinzip der Stromwendermaschine (hier als Motor)
4.2 Modell der idealen Stromwendermaschine
4.3 Nebenschlußmaschine ohne Verlustmoment
4.3.1
4.3.2
Maschinengleichungen
Maschinenkennlinien (Motor) und Methoden zur Drehzahlverstellung
4.4 Nebenschlußmaschine mit Verlustmoment (U konstant)
4.4.1
4.4.2
4.4.3
4.4.4
Kennlinien
Maschinengleichungen
Bestimmung des Wirkungsgrad-Maximums
Beispiel zur Nebenschlußmaschine
57
59
60
60
60
61
61
61
62
63
4.5 Hauptschlußmotor
64
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3
1 Das magnetische Feld
1.1 Wirkungen, Ursachen, Anwendungen
In einem Raum mit Magnetfeld kann man folgende Wirkungen beobachten:
Kraftwirkung auf Eisenteile und stromdurchflossene Leiter
⇒ elektr. Krafterzeugung.
Beispiele Magnetverschlüsse, Haftmagnete
Dauermagnet + Eisen
Lautsprecher, Antriebe der Feinwerktechnik Dauermagn. + Stromsp.
Relais, Türöffner, Trennung v. Stahlschrott Stromspule + Eisen
Magnetfeld
also Wirkungsdreieck:
Eisen
stromdurchfl.
Leiter
Induktionswirkung:
Bewegt man einen elektr. Leiter im Magnetfeld,
so wird in ihm eine Spannung induziert ⇒ Elektrizitätserzeugung.
Beispiele: Fahrraddynamo, Lichtmaschine ( Stromspule + Dauermagnet )
Feststellung:
Es gibt einen Zusammenhang zwischen Strom und Magnetfeld.
Die Ursache des Magnetfelds ist die bewegte Ladung oder der Strom.
1.2 Materialien
1.2.1 Unmagnetische Stoffe
Die inneren Ströme infolge Bahnbewegung d. Elektronen heben sich statistisch auf.
Sie erzeugen kein äußeres Magnetfeld und beeinflussen ein vorhandenes
Magnetfeld bei ihrem Einbringen nicht.
Die Einteilung in diamagnetische und paramagn. Stoffe wird hier nicht behandelt.
1.2.2 Ferromagnetische Stoffe
Sie bestehen aus Mikrokristallen mit gleicher magnetischer Ausrichtung der Atome
(Weiß´sche Bezirke).
Im Magnetfeld:
Die Weiß´schen Bezirke richten sich nach dem Feld aus
⇒ Verstärkung des Magnetfelds.
Weichmagnet. Stoffe:
Die Ausrichtung verschwindet mit dem äußeren Feld
⇒ nur Verstärkung des äußeren Feldes.
Hartmagnetische Stoffe: Die Ausrichtung verschwindet mit dem äußeren Feld nicht
⇒ Eigenmagnetismus
⇒ Dauer- oder Permanentmagnete.
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4
1.3 Feld des stromdurchflossenen Leiters
1.3.1 Versuch mit stromdurchflossenem Draht
Feldnachweis mit Magnetnadel, welche
in den Raum um den stromführenden
Leiter eingebracht wird.
S
B
Markiert man die Nadelspitzen und bewegt
die Nadel so weiter, daß die Spitzen eine
Kette bilden, erhält man eine geschlossene Linie.
N
I
Dies gilt für jeden beliebigen Startpunkt.
Richtung des Feldes = Richtung der Nadel.
Die Stärke des Feldes ist proportional der Richtkraft auf die Nadel.
1.3.2 Definition der Feldlinien
Das magnetische Feld wird durch Feldlinien symbolisiert.
Feldlinien
= Wirkungslinien der Richtkraft
= geschlossene Linien
Feldlinienrichtung
= Richtung der Magnetnadel
Pfeilrichtung
= Richtung des Nordpols
Die Stärke der Richtkraft
ist prop. der Dichte der gezeichneten Feldlinien
aus dem Versuch läßt sich für den geraden Leiter ermitteln:
Die Feldlinien sind konzentrische Kreise.
Die Richtkraft ist proportional 1/ Radius.
Umkehr der Stromrichtung ⇒ Umkehr der Feldrichtung.
1.4 Definition der magnetischen Größen
1.4.1 Magnetischer Fluß Φ
Der Magnetfluß Φ ist proportional zur Gesamtzahl der Feldlinien durch einen
betrachteten Querschnitt.
Einheit:
analoge Größe im Strömungsfeld:
1 Vs = 1 Wb (Weber)
Strom I
1.4.2 Magnetische Flußdichte oder Induktion B
Flußdichte = Fluß pro Querschnitts - Flächeneinheit
Einheit:
analoge Größe im Strömungsfeld:
1 Vs / m2 = 1 T (Tesla)
Stromdichte S
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5
Im homogenen Feld
(konstante Feldliniendichte) gilt:
Φ
B = Φ/A
dA
oder
A
Φ = B⋅A
Im inhomogenen Feld (Feldliniendichte nicht konstant)
muß differentiell dargestellt werden:
dΦ
Φ = B ⋅ dA
Φ = ∫ B ⋅ dA
Die infinitesimale Teilfläche dA wird vom infinitesimalen Teilfluß dΦ durchsetzt.
In vektorieller Darstellung:
dΦ
Φ = B ⋅ dA
Φ = ∫ B ⋅ dA
Die Richtung von! B ist die
! Feldlinienrichtung.
Da die Vektoren B und dA gleiche Richtung haben, ist Φ ein Skalar.
Beispiel: Gerader stromführender Leiter
Die Richtungen der Vektoren von
Induktion B und Stromdichte S sind
nach der Rechtsschraubenregel festgelegt:
2r
I, S
B
B
I, S
Hier gilt:
µ ⋅I
µ ⋅I
=
B=
"
2π ⋅ r
dabei ist
µ
magnetische Leitfähigkeit d. Mediums
" = 2πr Feldlinienlänge
1.4.3 Magnetische Leitfähigkeit oder Permeabilität µ
Die materialabhängige Permeabilität µ wird meist als Vielfaches der Permeabilität
des Vakuums angegeben:
µ = µr ⋅ µ0
dabei ist:
µ0
Vs / Am
π ⋅ 10-7
= 4π
-6
= 1,256 ⋅ 10 Vs / Am
Induktionskonstante oder
Permeabilität von Luft und Vakuum
µr
= µ / µ0
relative Permeabilität, dimensionslos
Vakuum und Luft:
Eisenlegierungen:
µr = 1
µr bis 5000 (ferromagnetische Stoffe)
analoge Größe im Strömungsfeld:
elektr. Leitfähigkeit κ
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6
1.4.4 Magnetische Feldstärke H
Die Permeabilität µ ist bei ferromagnetischen Stoffen nicht konstant, sondern von der
Induktion B im Material abhängig. Um nichtlineare Gleichungen zu vermeiden, wurde
die Rechengröße H definiert:
H= B/µ
H ist wie B ein Vektor mit gleicher Richtg.
Einheit:
analoge Größe im Strömungsfeld:
1A/m
existiert nicht,
da H keine physikalische Größe ist
Beispiel: Gerader stromführender Leiter
Hier gilt:
H = B / µ = I / 2π
πr = I / "
2r
I
B, H
I = H ⋅"
dabei ist " = 2πr die Feldlinienlänge.
1.4.5 Durchflutung oder magnetische Spannung Θ
Nach 1.1 gilt: Ursache des magnetischen Flusses ist der Strom,
Ursache einer Feldlinie ist der Strom, den sie umschließt.
oder:
Θ = Gesamtstrom, den eine Feldlinie umschließt.
Definition:
Einheit:
1A
analoge Größe im Strömungsfeld:
Spannung U
bei mehreren Strömen durch eine Feldlinie
ist I durch Θ zu ersetzen:
Θ = ∑ In
= I1 + I2 + I3 - I4
im skizzierten Beispiel
2r
I1
I2
I3
H
Θ
B, H
I4
Richtungsbestimmung nach der Rechtsschraubenregel.
Spule mit N Windungen
I
Θ = N⋅I
H
N Windungen
Die Spule wirkt ´stromverstärkend´,
man kann mit kleinem Strom eine technisch verwertbare Durchflutung erzielen.
Beispiele:
Relais, Zugmagnet, Kernspintomograph, Motor.
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7
1.4.6 Durchflutungsgesetz
I = H ⋅"
nach 1.4.4 gilt:
bei mehreren Strömen und längs
der Feldlinie konstantem H gilt:
Θ = H ⋅"
oder H = Θ / "
Ist die Feldstärke längs der Feldlinie abschnittweise konstant, so kann man " unterteilen und die Summe der Teildurchflutungen bilden:
Θ = H1 ⋅ " 1 + H2 ⋅ " 2 + H3 ⋅ " 3 + H4 ⋅ " 4 + . . . . . . . + Hn ⋅ " n
Θ = Θ1 + Θ2 + Θ2 + Θ4 + . . . . . . . + Θn
dabei muß " 1 + " 2 + " 3 + " 4 + . . . . . . . + " n = "
sein,
also einen geschlossenen Umlauf um Θ bilden.
die gesamte Feldlinienlänge
Infinitesimale Schreibweise ( n → ∞ ):
Θ = ∫ H ⋅ d"
Vektorielle Schreibweise,
wobei H und " gleiche Richtung haben:
! !
Θ = ∫ H ⋅ d"
Dabei muß über die gesamte Feldlinienlänge, also über einen geschlossenen
Umlauf integriert werden.
analoges Gesetz im Strömungsfeld:
Maschenregel
1.4.7 Magnetischer Widerstand Rm
Nachdem zu den magnetischen Größen analoge elektrische Größen des
Strömungsfeldes benannt wurden, läßt sich der magnetische Widerstand
analog zum elektrischen Widerstand definieren:
elektrisch
magnetisch
Spannung U (Ursache für den Strom) Durchflutung Θ (Ursache für den Fluß)
Strom I
Fluß Φ
Stromdichte S
Flußdichte B
Leitfähigkeit κ
magnetische Leitfähigkeit µ
Widerstand R
magnetischer Widerstand Rm
Leitwert G
magnetischer Leitwert AL
Ohm´sches Gesetz
R = U/I
Rm = Θ / Φ
Φ
I
R
U
Φ
Θ
Θ
Rm
Rm
zylinderförmiger Leiter
1 "
⋅
κ A
" = Leiterlänge
A = Leiterquerschnitt
R=
"
1 "
⋅ =
μ A μ 0 ⋅ μr ⋅ A
" = mittlere Feldlinienlänge
A = Kernquerschnitt
Rm =
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8
Gesetze
Knotenregel für Teilströme
Maschenregel für geschlossene Kette
von Teilspannungen
Knotenregel für Teilflüsse
Durchflutungsgesetz für geschlossenen
Umlauf auf Feldlinie
1.4.8 Zusammenstellung der magnetischen Größen
magn. Größe
Leitfähigkeit µ
Feldstärke H
Einheit
1 Vs / Am
1 A/m
Zusammenhang
µ0 = 4 π ⋅ 10-7 Vs / Am
B
Φ
Θ
=
H = Θ /" = N ⋅ I /" = =
μ μ ⋅ A μ ⋅ A ⋅ Rm
µ = µr ⋅ µ0
Induktion B
1 Tesla
2
= 1 Vs / m
B = µ ⋅ H = µ ⋅ Θ /" =
Fluß Φ
1 Weber
= 1 Vs
Φ = B⋅A =
Durchflutung Θ
1 A
Magnetischer
Widerstand Rm
1 A / Vs
! !
B
∫ ⋅ dA = µ ⋅ H ⋅ A =
Θ
Rm
Θ = ∑ I = N ⋅ I = Φ ⋅ Rm = B ⋅ A ⋅ Rm
! !
= µ H A Rm = ∫ H ⋅ d " = H " m = H1 " 1 + H2 " 2 + . . .
Rm =
=
Induktivität L
Θ
= Φ/A
A ⋅ Rm
"m
"1
"2
=
+
+ ......
μ ⋅ A μ1 ⋅ A 1 μ 2 ⋅ A 2
Θ
Θ
Θ
1
=
=
=
Φ B ⋅ A μ⋅ A ⋅H AL
2
2
L = N / Rm = N ⋅ AL
2
=N⋅Φ/ i = N ⋅Φ/Θ
1 H (Henry)
= 1 Vs / A
1.4.9 Vergleich der verschiedenen Felder
Ursache
El. Strömungsfeld
(im Leiter)
!
U, E
2 !
!
U12 = ∫ E ⋅ d"
Elektrisches Feld
(im Isolator)
!
U, E
2 !
!
U12 = ∫ E ⋅ d"
!
!
S = dI / dA
(Stromdichte)
A !
!
I = ∫ S ⋅ dA
!
!
D = dQ / dA
(Versch.-Dichte)
A !
!
Q = ∫ D ⋅ dA
! !
Θ = ∫ H ⋅ d"
!
!
B = dΦ / dA
(Flußdichte)
A !
!
Φ = ∫ B ⋅ dA
κ
!
!
S = κ ⋅E
ε = ε0 ⋅ εr
!
!
D = ε0 ⋅ εr ⋅ E
µ0 ⋅ µr
!
!
B = µ0 ⋅ µr ⋅ H
U = R⋅I
"
R=
κ⋅A
U = Q/C
"
1
=
C ε0 ⋅ εr ⋅ A
Θ = Rm ⋅ Φ
"
Rm =
µ0 ⋅ µr ⋅ A
von + nach -
von + nach -
geschlossen
1
Wirkung
0
Mat.- Konstante
Kausalgesetz
Ohm-Gesetz
Widerstand
Feldlinien
1
0
Magnetisches
Feld
!
Θ, H
0
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9
1.5 Beispiele magnetischer Kreise
1.5.1 Magnetfeld eines dicken geraden Stromleiters
Feld außerhalb des Leiters
Ba,Ha
Medium Luft, also
µr = 1
Durchflutungsgesetz:
Θ = I = Ha ⋅ " = Ha ⋅ 2πr
r
daraus für Radius r:Ha = I / 2πr
Flußdichte außen:
I
B a = μ 0 ⋅ Ha =
μ0 ⋅ I
2πr
Feld innerhalb des Leiters (Durchmesser 2R)
Medium Kupfer, also
µr ≈ 1
Bi,Hi
I
Eine Feldlinie mit Radius r ist nur von einem Teil
des Stromes durchflutet ( Θ ≤ I )
Θ
Die Stromdichte wird über dem Querschnitt
konstant angenommen.
R
r
2
Sie beträgt
S=I/πR
Durchflutung:
Θ = S ⋅ π r2 = I ⋅ r2 / R2
Feldstärke:
Hi =
Induktion:
B i = μ 0 ⋅ Hi =
Θ
I⋅r2
I
=
=
⋅r
2
2πr 2πr ⋅ R
2πR 2
Feldverlauf mit Kupferdraht
μ0 ⋅ I
⋅r
2πR 2
Feldverlauf mit Eisendraht
Feldverzerrung durch Eisen vernachlässigt
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1.5.2 Magnetfeld eines kreisförmigen Stromleiters
Draufsicht und Querschnitt:
B
I
I
B
I
N
B
S
I
I
Die Drahtschleife wirkt wie eine runde Magnetscheibe mit Nord- und Südpol.
Die Feldstärke ist längs einer Feldlinie nicht konstant, da die Feldliniendichte nicht
konstant ist.
Zur näherungsweisen Berechnung der Feldstärke kann man die Feldlinie in
Teillängen zerlegen:
Θ = I = H1 ⋅ " 1 + H2 ⋅ " 2 + H3 ⋅ " 3 + . . . . . . . + Hn ⋅ " n
Die Flußdichten werden wiederum aus den Feldstärken berechnet.
Mehrere ´Scheiben´ ergeben eine Zylinderspule (Feldverstärkung):
Θ = N⋅I
I
N
N-fache
Feldverstärkung
S
Im Innern der Spule ist das Feld nahezu homogen.
1.5.3 Magnetfeld einer Spule mit konstantem Kernquerschnitt
Spule:
magnetisches Ersatzschaltbild:
"m
I
Φ
ΦFe
N
Θ=N⋅I
A
Näherung:
ΦFe
RmFe
ΦLu
RmLu
µrFe >> 1, also RmLu >> RmFe,
also ΦFe >> ΦLu
praktisch der gesamte Fluß geht durch das Eisen,
der ´Streufluß´ durch die Luft ist meist vernachlässigbar.
Dann gilt:
R m = R mFe =
B=
"m
Θ
=
μr ⋅ μ 0 ⋅ A Φ
Φ Θ ⋅ μr ⋅ μ 0
=
"m
A
Θ ⋅ μr ⋅ μ 0 ⋅ A
"m
B
Θ
=
H=
μr ⋅ μ 0 " m
Φ=
B und H im Kern sind
konstant über " m
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11
1.5.4 Spule mit nicht konstantem Kernquerschnitt
Spule:
magnetisches Ersatzschaltbild (µrFe >> 1):
"1
A1
I
Φ
Φ
N
A2
R m = R m1 + R m2 =
Φ=
Θ
Rm
B1 =
konstant
Θ1 +
Rm1
Θ2
Rm2
"1
"2
"
"
1
+
=
( 1 + 2 )
μ 0 ⋅ μr ⋅ A 1 μ 0 ⋅ μr ⋅ A 2 μ 0 ⋅ μr A 1 A 2
Θ = H1 ⋅ " 1 + H2 ⋅ " 2
=
Θ=N⋅I
"2
Θ1
H1 =
Θ2
Φ
A1
B2 =
Φ
μ0 ⋅ μr ⋅ A 1
H2 =
Φ
A2
Φ
μ 0 ⋅ μr ⋅ A 2
(Durchflutungsgesetz)
2 magnetische Widerstände durch 2 verschiedene Querschnitte
1.5.5 Spule mit Eisenkern und Luftspalt
Spule:
magnetisches Ersatzschaltbild (µrFe >> 1):
"F
Φ
I
N
Φ
" Lu
Θ=N⋅I
A
Rm = R mFe + RmLu =
Φ=
Θ
Rm
=
ΘFe +
ΘLu
RmFe
ΘLu
RmLu
"Fe
"
1 "Fe
+ Lu =
+ "Lu )
(
µ0 ⋅ µr ⋅ A µ0 ⋅ A µ0 ⋅ A µr
BFe = BLu = B =
konstant
Θ = HFe ⋅ " Fe + HLu ⋅ " Lu
ΘFe
HFe =
Φ
μ 0 ⋅ μr ⋅ A
Φ
A
konstant
HLu =
Φ
μ0 ⋅ A
(Durchflutungsgesetz)
HLu = µr ⋅ HFe
HLu >> HFe
2 magnetische Widerstände durch 2 verschiedene µr
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12
1.5.6 Spule mit Mantelkern (M-Schnitt mit Luftspalt)
Spule:
magnetisches Ersatzschaltbild (µrFe >> 1) :
Φ/2
Φ/2
Φ
I
A1
Θ
N
Θ=N⋅I
"1
A1
Θ3
Rm3
ΘLu
RmLu
Φ/2
A3
"L
A2
A2
"2
"2
Φ/2
Rm1
Rm1
2Rm2
2Rm2
Wegen Symmetrie verzweigt sich der Fluß Φ in zwei Hälften Φ/2
Magnetische Widerstände:
R m1 =
"1
μFe ⋅ A 1
R m2 =
"2
μFe ⋅ A 2
R m3 =
" 1 − " Lu
μFe ⋅ A 3
R mLu =
" Lu
μ0 ⋅ A 3
Gesamtwiderstand:
Rm = Rm1/2 + Rm2 + Rm3 + RmLu
Fluß:
Φ = Θ / Rm = N ⋅ I / Rm
Induktion:
B1 = Φ / 2A1
Feldstärke:
H1 = B1 / µFe
Durchflutungsgesetz:
Θ = N ⋅ I = H1⋅ " 1 + 2H2⋅ " 2 + H3 ( " 3 - " Lu ) + HLu⋅ " Lu
B2 = Φ / 2A2
H2 = B2 / µFe
B3 = BLu = Φ / A3
H3 = B3 / µFe
HLu = B3 / µ0
Normbleche
Beim genormten Mantelkern (M..) ist A3 = 2A2 = 2A1.
Die Außenabmessung ist quadratisch.
Maßbeispiele:
M42, M55 und M74 ⇒ Kantenlängen 42, 55 und 74 mm.
Genormte Blechpakete aus Elektroblech sind als Katalogware erhältlich, ebenso die
zugehörigen Spulenkörper mit VDE-Klassifizierung.
genormte Kernformen:
Schnittbandausführung:
M
SM
EI
SE
EE
SG
UI
SU
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13
1.5.7 Zahlenbeispiel
gegeben ist folgender Eisenkern mit Wicklung:
"1
I
A1
"L
A2
Θ
N
"2
Φ
A1
A1
"1
= 20 cm
"2
=
6 cm
" Lu
=
2 mm
A1
=
3 cm
2
A2
=
6 cm
2
I
= 100 mA
N
= 5000
µrFe
= 2000
magnetisches Ersatzschaltbild,
magnetischer Fluß Φ,
Induktion B1, B2, Blu,
Feldstärke H1, H2, HLu,
Überprüfung der Werte mit dem Durchflutungsgesetz.
gesucht:
magnetisches Ersatzschaltbild:
Φ
Θ = N ⋅ I = 5000 ⋅ 0,1 A = 500 A
Θ=N⋅I
Rm = Rm1 + Rm2 + RmLu
magn. Widerstände:
"1
R m1 =
μ0 ⋅ μrFe ⋅ A 1
Rm
=
Rm2 =
"2
μ0 ⋅ μrFe ⋅ A 2
R mLu =
Θ1
Rm1
Θ2
Rm2
ΘLu
RmLu
" Lu
μ0 ⋅ A 2
"
"1
"2
1
(
+
+ Lu )
μ0 μrFe ⋅ A 1
μrFe ⋅ A 2
A2
10 7 0,2 ⋅ 10 4
0,06 ⋅ 10 4
2 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 4
+
+
(
) A / Vs
4π 2000 ⋅ 3
2000 ⋅ 6
6
10 7
6
=
( 0,33 + 0,05 + 3,33 ) A / Vs = 2,98 ⋅ 10 A / Vs
4π
=
Rm
Induktion
500 ⋅ A ⋅ Vs
-4
= 1,7 ⋅ 10 Vs
6
2,98 ⋅ 10 ⋅ A
B1 = Φ/A1 = 0,567 T,
B2 = BLu = Φ/A2 = 0,283 T
Feldstärke
H1 = B1 / µ0 ⋅ µrFe = 225 A/m, H2 = 112 A/m, HLu = 225400 A/m
Durchfl.-Gesetz
Θ = (225 ⋅ 0,2 +112 ⋅ 0,06 + 225400 ⋅ 0,002)A = 500 A
Fluß
Φ = Θ / Rm =
Das Durchflutungsgesetz bestätigt die Richtigkeit der Berechnung.
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14
1.6 Die Induktionswirkung des magnetischen Feldes
1.6.1 Das Induktionsgesetz
Nach 1.1:
1831
Der Strom ist die Ursache des Magnetfeldes.
entdeckt Faraday die Umkehrung:
Induktionsgesetz:
Ändert sich der magnetische Fluß durch eine Drahtschleife, so wird in ihr eine
Spannung induziert.
u0 = N ⋅
N
dΦ
dt
u0
I
I
I
Windungszahl
dΦ/dt
Die Flußänderung kann erzeugt werden durch
• Bewegung der Drahtschleife relativ zum Magnetfeld
• zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch die Schleife
Anwendungsbeispiele: elektrische Generatoren, Transformatoren, Zündspule
1.6.2 Richtung der Zählpfeile und Lenz´sche Regel
Die Richtung der Zählpfeile wird bestimmt durch die
Lenz´sche Regel:
oder:
Die Wirkung sucht die Ursache zu hemmen
Der Strom wirkt der Flußänderung entgegen.
Die Lenz´sche Regel ist die ´Dämpfung´ in physikalischen Prozessen, sie verhindert
z.B. die Realisierung des ´Perpetuum Mobile´.
Praxisbeispiel Kraftfahrzeug
höhere Antriebsleistung → höhere Geschwindigkeit,
höhere Geschwindigkeit → höhere Luftreibung,
⇒ diese wirkt der Antriebsleistung entgegen.
Die Wirkung (höhere Geschwindigkeit)
Ursache
(höhere Antriebsleistung)
sucht die
zu hemmen.
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15
1.6.3 Bewegung relativ zum Magnetfeld (“Schneiden von Feldlinien“)
Betrachtet wird ein gerader Leiter im homogenen Feld
Dabei sind Flußdichte ⊥ Bewegungsrichtung ⊥ Stromrichtung
dA = " ds
ortsfes
u0
V
"
v
ds
i
B
u0 =
dΦ
dA
ds
= B⋅
= B⋅"⋅
= B⋅"⋅v
dt
dt
dt
u0 = B ⋅ " ⋅ v
Sind die 3 beteiligten Größen nicht rechtwinklig, so wird eine Komponentenzerlegung durchgeführt und die rechtwinkligen Komponenten bei der Berechnung
berücksichtigt.
Richtungszuordnung nach der 3 Finger- (UVW-) Regel
U
V
W
Ursache (v)
Vermittlung (B)
Wirkung (i)
u0
i
v
B
Beispiel: Synchrongenerator mit 2-poligem Dauermagnetläufer
gegeben sind folgende Daten:
max. Luftspaltinduktion
Bmax = 1 T
wirks. Wicklungsradius
r = 3 cm
aktive Läuferlänge
l = 5 cm
Drehzahl
n = 3000 / min
Rechtwinkligkeit der Größen ist gegeben,
also ist die
in der Wicklung induzierte Spannung:
Eisenrückschluß
Φ/2
Φ/2
S
ω
r
N
u0 = N⋅2⋅B⋅l⋅v = N⋅2⋅B⋅l⋅r⋅2πn/60
-2
-2
u0 = N⋅2⋅1⋅5⋅10 ⋅3⋅10 ⋅2π⋅3000/60 V
u0 = N ⋅ 0,94 V
Θ
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16
1.6.4 Zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch die Schleife
Einfach darstellbar:
Flußänderung durch
Elektromagnet verursacht
u∼
Der Erregerstrom i∼ ist
sinusförmig
i∼
R=0
Damit ist auch der Fluß Φ
sinusförmig:
u0
Φ = Φ̂ ⋅ sin ωt
Φ∼
dΦ
= ω ⋅ Φ̂ ⋅ cos ωt
dt
N Windungen
Nach dem Induktionsgesetz wird in der Spule folgende Spannung induziert:
u 0 = N ⋅ ω ⋅ Φ̂ ⋅ cos ωt
u 0 = 2πf ⋅ N ⋅ B̂ ⋅ A ⋅ cos ωt
Feststellung:
Die induzierte Spannung u0 eilt dem Fluß Φ um π/2 vor.
An der idealen Spule (R=0) gibt es nur induzierte Spannung.
û 0 = 2πf ⋅ N ⋅ B̂ ⋅ A
U0 =
2π
2
⋅ f ⋅ N ⋅ B̂ ⋅ A
U0 = 4,44 ⋅ f ⋅ N ⋅ B̂ ⋅ A
Scheitelwert
Effektivwert
Transformatoren-Hauptgleichung
Ersatzdarstellung
Eine reale Spule, in der Spannung induziert wird, kann als
Ersatzspannungsquelle dargestellt werden:
R0 ist der Kupferwiderstand der Spule.
der theoretische Wert von u0
wird durch den Streufluß reduziert.
∼
u0
R0
u
Unterdrückung von Störungen durch magnetisches Feld
Um Signalleitungen gegen Störspannungen durch magnetische Induktion zu
schützen, kann die ´wirksame Spulenfläche´ durch Verdrillen der beiden Adern
→ 0 kompensiert werden.
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17
1.6.5 Induktivität
Fließt ein Strom i durch eine Spule,
N Windungen
so erzeugt dieser einen magnetischen
di/dt
Fluß Φ. Bei Stromänderung di/dt
R=0
erhält man eine Flußänderung dΦ/dt,
u
welche nach dem Induktionsgesetz
im Stromkreis, welcher den Fluß erzeugt,
dΦ/dt
eine Spannung induziert (Selbstinduktion).
Nach der Lenz´schen Regel behindert
diese die Stromänderung. Daraus wird die Zählpfeilrichtung abgeleitet.
Bei Wechselstrom tritt also an Spulen ein induktiver Spannungsabfall auf.
Man spricht vom ´induktiven Blindwiderstand´.
Es wird angenommen, daß alle N Windungen vom Fluß Φ durchsetzt sind.
Dann gilt:
Φ=
Θ N⋅i
=
Rm Rm
N
Φ
=
Rm
i
u = N⋅
dΦ N2 di
di
=
⋅ = L⋅
dt R m dt
dt
N2
N⋅ Φ
= N2 ⋅ A L =
Rm
i
Induktivität L
L=
magnetischer Leitwert
AL = 1/Rm
Einheit
1 Vs/A = 1 H (Henry)
L
Schaltzeichen
An der idealen Spule (R=0) gibt es nur induzierte Spannung.
Strom-Spannungsbeziehung an der idealen Spule (R=0)
(´Ohm´sches Gesetz´ an der Induktivität):
u=L
di
dt
i=
1
u ⋅ dt + Ia
L∫
zum Vergleich:
Strom-Spannungsbeziehung am Kondensator
(´Ohm´sches Gesetz´ an der Kapazität):
i=C
du
dt
u=
1
i ⋅ dt + Ua
C∫
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18
1.6.6 Induktivität einer Doppelleitung
Bges
B•
B⊗
I
Die Induktivität ist
I
I
I
R
a
Φ
"
r
a
L=
N ⋅ Φ ges
dabei ist
I
N=1
Nach 1.5.1 gilt für das Feld des dicken Leiters:
Ba =
außen:
μ0 ⋅ I
2πr
innen:
Bi =
μ0 ⋅ I
⋅r
2πR 2
Der Gesamtfluß zwischen den Drähten ist
a
R

Φ ges = 2 ⋅  ∫ B i ⋅ " ⋅ dr + ∫ B a ⋅ " ⋅ dr 
R
0

Φ ges =
=
a
μ0 ⋅ I ⋅ "  1 R
dr 
⋅  2 ∫ r ⋅ dr + ∫ 
π
R r 
R 0
μ0 ⋅ I ⋅ "  1
a
 + ln 
π 2
R
L=
Φ ges
I
=
μ0 ⋅ "  1
a
 + ln 
π 2
R
1.7 Die Kraftwirkung des magnetischen Feldes
1.7.1 Energie des Magnetfelds einer Spule
Die in das Magnetfeld einer Spule
geschickte Energie ist
dW = u ⋅ i ⋅ dt = L ⋅
I
W = L ⋅ ∫ i ⋅ di =
0
di
⋅ i ⋅ dt = L ⋅ i ⋅ di
dt
i
R=0
u
1
⋅ L ⋅ I2
2
Φ
W=
1
⋅ L ⋅ I2
2
im Magnetfeld der Spule gespeicherte Energie
W=
1
⋅ C ⋅ U2
2
zum Vergleich: im Kondensatorfeld gespeicherte Energie
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19
1.7.2 Energie des Magnetfelds in einem Raumvolumen
Für den vom Fluß Φ durchsetzten
Raum gilt:
Φ
"
Φ
⋅ i ⋅ di = Φ ⋅ dΘ
i
Fluß, welcher die Fläche
A rechtwinklig durchsetzt
dW = L ⋅ i ⋅ di = N ⋅
Φ=B⋅A
dΘ = dH ⋅ "
A
B
magn. Spannungsabfall an "
dW = B ⋅ A ⋅ dH ⋅ " = V ⋅ B ⋅ dH = V ⋅ B ⋅ dB / µ
B
V
V
Integration: W = ∫ B ⋅ dB = ⋅ B 2
μ0
2μ
damit ist
W=
V 2 V ⋅μ 2 V
⋅B =
⋅H = ⋅B ⋅H
2μ
2
2
im Volumen V gespeicherte Energie
Bei Dauermagneten gibt man als Materialkennwert den volumenbezogenen
3
Energiewert (Energiedichte) durch das Produkt B ⋅ H in Ws / m an.
Dabei handelt sich es um den im günstigsten Arbeitspunkt erreichbaren Wert.
1.7.3 Kraft auf das Joch eines Zugmagneten
ds
Zugrundeliegende Näherungen:
keine Streuung der Feldlinien am Luftspalt
also ALu = A
Flußdichte im Luftspalt konstant
I
A/2
F
Bei Stromfluß wird das Joch mit der Kraft F
zum U-Kern gezogen
A/2
Bei Bewegung des Jochs um ds wird das
Luftspaltvolumen um A⋅ds verkleinert
Nimmt man ds → 0 an, ändert sich dieFlußdichte B im Luftspalt dabei nicht
nach dem Energieerhaltungssatz gilt:
mechanische Energie Wmech = elektrische Energie Wel
F ⋅ ds =
F=
A ⋅ ds
V
2
2
⋅ B Lu = Lu
⋅ B Lu
2μ
2μ0
A Lu
2
⋅ B Lu
2μ0
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20
1.7.4 Kraft auf den geraden Stromleiter, Lorentzkraft
Bei rechtwinkliger Anordnung
gilt nach dem Induktionsgesetz
Länge "
F
u = B ⋅" ⋅ v
v
i
Bei Stromfluß entsteht Energieentzug
und damit eine Reaktionskraft F gegen
die Bewegungsrichtung.
ds
B
Die Kraft läßt sich auch hier über die Energiebetrachtung berechnen:
mechanische Energie Wmech = elektrische Energie Wel
F ⋅ ds = u ⋅ i ⋅ dt
= B ⋅ " ⋅ i ⋅ dt ⋅ ds/dt
F = B ⋅" ⋅ i
Die Richtung von F erhält man aus der UVW-Regel + Energiebetrachtung:
Motor:
Generator:
F und ds
F und ds
gleiche Richtung
entgegengesetzte Richtung
Ersatz des Stroms durch bewegte Ladung
Bei rechtwinkliger Anordnung gilt:
dF = B ⋅ d " ⋅ i = B ⋅ d " ⋅ dQ/dt
Länge "
mit d " /dt = vQ erhält man:
F
dF = B ⋅ vQ ⋅ dQ
v
Q
Integration:
F = B ⋅ vQ ⋅ Q
ds
vQ
+
Lorentzkraft
B
Die Lorentzkraft verändert das Strömungsfeld, wodurch quer zur Strömungsrichtung
die nach dem Entdecker benannte Hallspannung auftritt (Hall-Effekt).
Mit geeigneten Halbleitermaterialien kann dieser zur Flußdichtemessung technisch
nutzbar gemacht werden (Hall-Sensoren). Hallspannung: UH ∼ B ⋅ I.
Beispiel: Kraft auf die Drähte einer Doppelleitung
F = B ⋅ " ⋅ I = μ0 ⋅
F = μ0 ⋅
I
⋅" ⋅ I
2πa
B
I2 ⋅ "
2πa
Zahlen:
Ergebnis:
F
" = 10 m, I = 100 A
F = 20 N
a = 1 mm
I
I
F
a
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21
1.7.5 Zugmagnet mit Eisenblechpaket
F
µr
" Lu
N
gegeben:
=
=
=
=
100 N
2000 (Eisen)
1 mm
1000
80
A/2
I
Strom I
gesucht:
N
nach 1.7.3 ist die Kraft
F=
A
2
B Lu
2μ0
B Lu =
"L
100
F
A/2
2 ⋅ F ⋅ μ0
=
A
2 ⋅ 100 ⋅ 4π ⋅ 10 −7
T = 0,56T
8 ⋅ 10 − 4
20
Pakethöhe 20
-4
Φ = BLu ⋅ A / 2 = 0,56 ⋅ 4 ⋅ 10 Vs = 2,24 ⋅ 10 Vs
Rm =
-4
"  10 8
4" Lu
2" Fe
2 
 2" Lu + Fe  =
(2 + 0,16) A = 4,3 ⋅ 10 6 A
+
=
μ0 ⋅ A μ 0 ⋅ μr ⋅ A μ 0 ⋅ A 
μr  16π
Vs
Vs
Θ = Φ ⋅ Rm = 2,24 ⋅ 10-4 ⋅ 4,3 ⋅ 106 A = 963 A
I = Θ / N = 0,963 A ist nötig, um die Kraft F = 100 N zu erzeugen
1.7.6 Kraft des Zugmagneten in Abhängigkeit des Luftspalts
gegeben:
Zugmagnet nach 1.7.5 mit konstanter Durchflutung von 1000 A.
gesucht:
Funktion F = f ( " Lu ) (Kraftverlauf in Abhängigkeit vom Luftspalt)
Rm =
" 
2 
 2" Lu + Fe 
μ0 ⋅ A 
μr 
Θ = B Lu ⋅
F=
A
⋅ Rm =
2
B Lu =
2 ⋅ F ⋅ μ0
A
" 
2 ⋅ F ⋅ μ0 1 
2
⋅  2" Lu + Fe  =
A
μ0 
μr 
μ0 ⋅ A

" 
 2" Lu + Fe  F
μr 

A
40 ⋅ π
2 =
2
2
 " Lu

" Fe 
+
0
,
08



+
μr 
 mm

Θ 2 ⋅ μ0 ⋅

 2" Lu

Wertetabelle
" Lu / mm
F/N
0
19635
0,2
1603
0,5
374
1
108
2
29
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22
1.8 Der magnetische Kreis mit ferromagnetischem Kern
In technischen magnetischen Kreisen treten meist als Leitermaterialien auf:
→
µ = µ0
Luft
konstant
→
µ = µ0 ⋅ µr
µr abhängig von B, H
ferromagnetisches Material
1.8.1 Die Eigenschaften ferromagnetischer Werkstoffe, Magnetisierungskurve
Die Funktion B = f(H) ist nichtlinear. Sie muß deshalb für jedes Material als
Kennlinie grafisch vorgegeben werden.
Bei Ausrichtung der Elementarmagnetchen von ferromagnetischem Material entsteht
eine Art ´Reibung´. Nach Entfernung des Feldes bleibt je nach Material mehr oder
weniger Restmagnetismus zurück → Hysterese.
Die Leitfähigkeit µ ändert sich mit dem Grad der Ausrichtung und ist deshalb abh.
von Materialsorte
Feldstärke H im Material
´Vorleben´ des Materials
Die Magnetisierungskurve hat
folgendes
grundsätzliches Aussehen:
N = Neukurve,
sie entsteht beim
erstenMagnetisieren vollständig
entmagnetisierten Materials
± Hc
± Br
μ=
Koerzitivfeldstärke
(Koerzitivkraft)
Remanenzinduktion
dB
Leitfähigkeit
dH
= Steigung der
Magnetisierungskurve
im betreffenden Punkt
Die Kommutierungskurve ist der geometr. Ort der Spitzen (Umkehrpunkte) aller
Schleifen. Sie entspricht praktisch der Neukurve.
Die Entmagnetisierung muß im abnehmenden Wechselfeld vorgenommen werden.
Aus der Neukurve erhält man folgenden Verlauf µr = f (H):
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23
Werkstofftypen
Hartmagnetische Stoffe
hohe Remanenz + hohe Koerzitivkraft
stabil gegen Entmagnetisierung
geeignet für Dauermagnete,
werden gesondert behandelt
Rechteck-Material
kleine Remanenz + kleine Koerzitivkraft
praktisch nur 2 Magnetisierungszustände ± Br
geeignet zum Speichern binärer Zustände mit leichter
Ummagnetisierbarkeit (Speicherkerne)
Weichmagnetische Stoffe
kleine Remanenz + kleine Koerzitivkraft
kleine Schleifenfläche, für ∼ Magnetisierung geeignet
geeignet als magnetischer Leiterwerkstoff,
in Näherung kann mit der Kommutierungskurve gearbeitet
werden → Magnetisierungskurve
1.8.2 Hystereseverluste
Durch ´Reibung´ der Elementarmagnete wird bei der Ummagnetisierung Energie in
Wärme umgesetzt. Sie ist proportional zur Schleifenfläche.
WH = V ⋅ ∫ H ⋅ dB
pro Umlauf, V = Volumen d. ummagnetisierten Materials
Bei Wechselstrom wird f-mal pro Sekunde ummagnetisiert.
PH = f ⋅ V ⋅ ∫ H ⋅ dB
ist die Verlustleistung
PH pro kg Material wird als Materialkonstante für Dynamoblech verwendet.
Die Standardwerte sind nach DIN für 1T bei 50 Hz tabelliert
Die Technischen Magnetbleche liegen im Bereich 0,5 ... 8 W/kg
1.8.3 Wirbelstromverluste
Durch Induktion entstehen im Kern Wirbelströme iw,
welche von Frequenz und Amplitude von i∼ und von
der elektr. Leitfähigkeit des Kernmaterials abhängen
2
Die Verlustleistung ist Pw ∼ f und deshalb bei hohen
Frequenzen besonders hoch.
Reduzierung von Pw durch Kern aus dünnen isolierten
Blechen quer zu iw oder aus elektrisch nichtleitendem Ferrit
iw
i∼
Kern
Φ
Nutzung von Pw z. B. bei induktiver Erwärmung u. Wirbelstrombremse
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24
1.8.4 Die Magnetisierungskurve von weichmagnetischen Materialien
Bei weichmagnetischen Werkstoffen arbeitet man mit der Kommutierungskurve.
Wegen der Symmetrie genügt die Darstellung des 1. Quadranten.
1.8.5 Die Scherung der Magnetisierungskurve
Fügt man einen Luftspalt in den Eisenkern ein, so erhält
man die Reihenschaltung eines nichtlinearen magnetischen
Widerstands RmFe des Eisenkerns und eines linearen
magnetischen Widerstands RmLu des Luftspalts. Die
Linearität des Gesamtwiderstands Rm ist somit besser als
die von RmFe, erkauft mit einer Vergrößerung des
Gesamtwiderstands Rm.
RmFe
Rm
RmLu
Die Linearisierung der Magnetisierungskurve mit
einem Luftspalt nennt man ´Scherung´
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25
1.8.6 Grundaufgabe 1 zum Eisenkreis mit Luftspalt
gegeben:
B, Φ oder F (daraus B berechnen)
gesucht:
Θ oder I
Lösungsweg:
• Φ = Bn ⋅ An ist im Kreis konstant, daraus alle Bn im Kreis bestimmen
• für Luft gilt dann:HLu = BLu / µ0
• für Eisen:
HFe aus Magnetisierungskurve an der Stelle BFe
• weitere Größen mit Durchflutungsgesetz:
Θ = HLu⋅ " Lu + HFe⋅ " Fe + ...
Beispiel
gegeben:
asymmetrischer U-I-Kern
aus Dynamoblech
A1 = 4 cm
I
N = 400
1
A2 =
ALu ≈ AFe
BLu2 = 0,8 T
Θ
Streufluß:
vernachlässigbar klein
gesucht:
2
6 cm
N
2
91
Φ
A1
I
A1
Lösung:
45
-4
Φ
= BLu2 ⋅ A2 = 4,8⋅10 Vs
B2
= BLu2 = 0,8 T
B1
= BLu1 = Φ/A1 = 1,2 T
HLu1
= BLu1 / µ0 = 9,55⋅ 10 A/m
HLu2
= BLu2 / µ0 = 6,37⋅ 10 A/m
5
Durchflutungsgesetz:
Θ = H1⋅ " 1 + H2⋅ " 2 + HLu1⋅ " Lu1 +
HLu2⋅ " Lu2
= ( 94 + 18 +
5
aus Magnetisierungskurve:
H1 = 520 A/m
H2 = 200 A/m
955
+ 637 ) A
= 1704 A
I
= Θ / N = 4,26 A
Energiebetrachtung dazu
Induktivität:
L
= N⋅Φ / I = 45 mH
Gesamtenergie in L:
W
= 0,5⋅L⋅I = 408 mWs
2
Energieanteil im Luftspalt: W Lu = 0,5⋅VLu1⋅B Lu1⋅H Lu1 + 0,5⋅VLu2⋅B Lu2⋅H Lu2
= 382 mWs (94% der Gesamtenergie!)
Energieanteil im Eisen:
W Fe = W - W Lu = 26 mWs
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26
1.8.7 Grundaufgabe 2 zum Eisenkreis mit Luftspalt
gegeben:
Θ oder I,
gesucht:
B oder F
der magnetische Kreis darf nur einen nichlinearen
Widerstand enthalten,
also ist z.B. nur ein Eisenquerschnitt erlaubt.
Da der Arbeitspunkt auf der Magnetisierungskurve nicht bekannt ist, muß ein
grafisches Verfahren zur Arbeitspunktbestimmung gewählt werden. Dieses wird
analog zur Methode der Ersatzspannungsquelle hergeleitet.
Man bildet für die Klemmen des nichtlinearen Widerstands die
Ersatzspannungsquelle
RmLu
Φ
ΘLu
RmFe
ΘFe
Θ
Herleitung der Gleichung der Arbeitsgeraden
Durchflutung
Θ
= ΘLu + ΘFe
µ0) " Lu + HFe⋅ " Fe
= HLu⋅ " Lu + HFe⋅ " Fe = (BLu /µ
Fluß
Φ
= BFe ⋅ AFe = BLu ⋅ ALu
daraus:
BLu = BFe ⋅ AFe / ALu
damit Gleichung der Arbeitsgeraden:
Θ=
A Fe "Lu
⋅
⋅ BFe + HFe ⋅ "Fe
A Lu µ 0
Berechnung der Achsenschnittpunkte
BFe-Achse: HFe = 0
Bk = Θ ⋅
μ0 A Lu
⋅
" Lu A Fe
HFe-Achse: BFe = 0
H0 =
Θ
" Fe
Mit diesen beiden Achsenschnittpunkten wird die Arbeitsgerade in das
Magnetisierungsdiagramm eingezeichnet und der Arbeitspunkt (B,H) am
Schnittpunkt mit der Magnetisierungskurve grafisch ermittelt
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27
Beispiel zu Grundaufgabe 2
gegeben:
Ringkern aus Dynamoblech
mit Luftspalt, BLu ≈ BFe
I = 0,8 A
I
N = 1500
gesucht:
Lösung:
Fe
Φ
N
Kraft F, mit der sich die
Polflächen am Luftspalt
anziehen
H0 = N ⋅ I / "
" Fe =18
cm
" Lu = 0,8
AFe ≈ ALu = 2 cm
2
= 6,67 kA/m
Bk = Θ ⋅ µ0 / " Lu = 1,885 T
Konstruktion nach dem Strahlensatz, da H0 nich mehr auf dem Diagramm ist
1,885
BFe/T
Arbeitsgerade
1/3
Stützpunkt zur Konstruktion der Arbeitsgeraden
1,26
2/3
1/3
2/3
2,22
HFe /(kA/m)
6,67
Grafische Lösung im Magnetisierungsdiagramm
Kraft F = B2 ⋅ ALu / 2µ
µ0 = 170 N
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28
1.8.8 Grundaufgabe 3 zum Eisenkreis mit Luftspalt
gegeben:
Θ oder I,
gesucht:
B oder F
der magnetische Kreis kann mehrere nichlineare
Widerstände enthalten,
z.B. sind mehrere Eisenquerschnitte erlaubt
Da mehrere Arbeitspunkte auf der Magnetisierungskurve existieren, versagt das
Verfahren der Grundaufgabe 2. Es muß ein Näherungsverfahren durchgeführt
werden.
Lösungsweg:
• Φ oder Bn an einer Stelle im Magnetkreis frei wählen
• Θ oder I damit nach Grundaufgabe 1 berechnen
• je nach Abweichung neue Annahme in richtiger Richtung
• 3 angenommene Punkte reichen meist für grafische Näherungslösung
Beispiel zu Grundaufgabe 3
gegeben:
asymmetrischer U-I-Kern
aus Dynamoblech
A1 = 4 cm
2
I
N = 400
1
A2 =
I = 3A
ALu ≈ AFe, BLu ≈ BFe
Θ
Streufluß:
vernachlässigbar klein
gesucht:
Kraft F auf das Joch
Lösung:
Θ = N ⋅ I = 1200 A
Wahl
B1/T
B2
T
H1
A/m
H2
A/m
1
0,8
0,9
0,67
0,53
0,6
290
200
230
170
150
160
1,0
6 cm
N
2
91
Φ
A1
A1
45
HLu1
A/m
HLu2
A/m
5
H1 " 1
A
5
7,96⋅10
5,3⋅10
5
5
6,37⋅10 4,24⋅10
5
5
7,16⋅10 4,77⋅10
B1/T
52
36
41
H2 " 2 HLu1 " L HLu2 " L
Θ
u
u
A
A
A
A
15
796
530 1393
23
637
424 1120
14
716
477 1248
Ergebnis:
B1 = 0,87 T
B2 = 0,58 T
0,9
2
F1 = A1⋅B1 /2µ0 = 120 N
0,87
0,8
1100
1200
1250
Θ/A
2
F2 = A2⋅B2 /2µ0 = 80 N
F = F1 + F2 = 200 N
1400
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29
1.9 Dauermagnete
1.9.1 Magnetisierung
Weichmagnetische Werkstoffe besitzen eine schmale Hystereseschleife.
In der Praxis wird diese durch die Kommutierungskurve idealisiert.
Bei hartmagnetischen Werkstoffen wird die Neukurve (≈Kommutierungskurve)
nur einmal bei der Magnetisierung durchlaufen, danach nicht mehr.
Da Dauermagnete meist bis zur Sättigung magnetisiert werden, ist nach der
Magnetisierung nur die äußerste Schleife von Belang. Wegen Symmetrie kann der
negative Bereich von B entfallen.
Zur Magnetisierung wird der Dauermagnet in eine
Vorrichtung gebracht, die rechts skizziert ist.
Zur Magnetisierung genügt ein kurzer
Stromimpuls, dessen Minimaldauer von der
Induktivität der Vorrichtung begrenzt ist. Deshalb
und wegen der Eisenverluste ist es zweckmäßig,
wo immer möglich Luftspulen zu verwenden.
Luftspalt
Φ
I
Dauermagnet
Rm = 0
Magnetisiervorgang
• Der Stromimpuls treibt den Arbeitspunkt
über die Neukurve (1) in Sättigung.
• Nach Abschalten des Stroms (2)
verschwindet wegen des magnetischen
Kurzschlusses über das Eisenjoch
die Feldstärke → Arbeitspunkt Br
• Schneidet man einen Luftspalt in das
Eisenjoch, wandert der Arbeitspunkt
nach (3), in den Schnittpunkt mit der
Scherungsgeraden (4) des Luftspalts.
• Schließt man jetzt den Luftspalt wieder,
so stellt sich der Arbeitspunkt (5) ein.
Br ist irreversibel unterschritten.
• Legt man ein Gegenfeld durch umgekehrte Stromrichtung an, so drückt man den
Arbeitspunkt nach (6). Beim Abschalten des Stromes wandert dieser mit Luftspalt
nach (7), ohne Luftspalt nach (8). Mit größerem Strom läßt sich der Arbeitspunkt
nach -Hc oder auch unter die H-Achse in die Gegenpolarität drücken.
• Das gezielte Anlegen eines Gegenfeldes nennt man ´Stabilisierung´, da der
Magnet mit Fremdfeldern bis zu dieser Stärke (z.B. durch den Motorstrom) nicht
mehr irreversibel entmagnetisiert werden kann. Moderne Magnetmaterialien mit
großem Hc verkraften das Herausnehmen aus dem Joch und beachtliche
Gegenfelder ohne irreversible Entmagnetisierung.
• Die Entmagnetisierung ist nur im abnehmenden Wechselfeld möglich.
Dies ist bei modernen Materialien wie NdFeB sehr schwierig. In diesem Fall
kann auch eine Erwärmung über die Curie-Temperatur vorgenommen werden
(Vorsicht, Gefahr der Zerstörung der Kristallstruktur).
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30
1.9.2 Entmagnetisierungskennlinien von hartmagnetischen Werkstoffen
1.9.3 Berechnen des Dauermagnet - Arbeitspunktes
Anordnung
Ersatzschaltbild
φ
φ
Am
nichtlinear
ALu
"m
DauermagnetKennlinie
Vernachlässigungen:
RmLu
Θ
"L
LuftspaltKennlinie
Streufluß
Ausbauchung der Feldlinien am Luftspalt
magnetischer Widerstand des Eisens
Herleitung der Gleichung der Arbeitsgeraden (Luftspaltkennlinie)
Durchflutung
Θ
= - Hm ⋅ " m
Fluß
φ
= Bm ⋅ Am
Luftspaltwiderstand
Rm = Θ / φ =
nach Bm auflösen
B m = −μ0 ⋅
Steigung der AG
Bm
= −μ0 ⋅ k
Hm
(- wegen Quellencharakter)
" Lu
− Hm ⋅ " m
=
Bm ⋅ A m
μ0 ⋅ A Lu
" m A Lu
⋅
⋅ Hm (⋅ 1/σ, dabei σ = Streufaktor)
" Lu A m
k=
" m A Lu
⋅
" Lu A m
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31
1.9.4 Beispiel: Elektrokleinmotor mit Dauermagnet-Erregung
Das Drehmoment eines kleinen Bürsten-Gleichstrommotors soll für zwei verschiedene Magnetmaterialien berechnet werden (Eisenverluste vernachlässigt).
Magnete
Ferrit
(4 mm einseitig)
oder NdFeB
(2 mm einseitig)
Läuferdurchmesser dA = 30 mm (Eisen genutet)
" A = 22 mm
Läuferlänge
" Lu = 0,4 mm
Luftspalt radial
Technische Daten:
Steigungsfaktor der Arbeitsgeraden für ALu ≈ Am:
k = " m / " Lu →
Ferrit:
k = 10
NdFeB:
k =5
Induktionswerte
BLu = 0,37 T
BLu = 1,0 T
Ferrit:
NdFeB:
Drehmoment:
M = 2rA⋅F = dA ⋅ BLu ⋅ " A ⋅ Θ
bezogen auf Strombelag Θ:
I
F
BLu
rA
-4
M / Θ = dA ⋅ " A ⋅ BLu = 6,6 ⋅10 ⋅ BLu / T
Zusammenstellung der Werte:
Magnet
Dicke in mm
Induktion BLu in T
M/Θ in Ncm/A
M in Ncm bei Θ=100A
Ferrit
4
0,37
-2
2,4⋅10
2,4
NdFeB
2
1,0
-2
6,6⋅10
6,6
Wandstärke des Gehäuserückschlusses
Der Fluß der Magnete schließt sich über das
Gehäuserohr. Wird es zu dünnwandig gewählt,
tritt Sättigung ein, die magnetische Leitfähigkeit
geht zurück und der Streufluß nimmt zu.
dG
N
genuteter
Eisenläufer
0
Bei einem Segmentwinkel von 120 ist der Fluß
Φ = BLu ⋅ " A ⋅ (π ⋅ dA / 3) ≈ BLu ⋅ " A ⋅ 31 mm
Der Fluß geht je zur Hälfte rechts und links über
das Gehäuserohr. Die Flußdichte BG dort ist
BG = (Φ / 2) / dG ⋅ " A = 2T (als Maximalwert angenommen)
Damit gilt
Ergebnis:
dG =
Φ
2 ⋅ " A ⋅ 2T
=
S
B Lu ⋅ " A ⋅ 31⋅ mm B Lu
=
⋅ 8mm
4⋅"A ⋅T
T
Ferrit:
dG = 3 mm
NdFeB:
dG = 8 mm
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32
1.9.5 Lineare Behandlung moderner Dauermagnete
Die weitaus meistverwendeten Dauermagnet-Materialien sind zur Zeit Bariumferrit
bei Lowcost-Anwendungen und Neodymium bei hochwertigen Einsätzen. Beide
besitzen B-H-Kennlinien, welche im Nutzbereich praktisch linear sind und die
Steigung µ0 besitzen. Sie lassen sich folgendermaßen darstellen:
Bm
Unter diesen Umständen ist eine grafische Behandlung
des magnetischen Kreises nicht notwendig, denn der
Dauermagnet kann durch eine lineare Ersatzquelle
dargestellt werden. Dabei ist es gleichgültig, ob die
Ersatzstrom- oder Ersatzspannungsquelle gewählt wird.
Anordnung
Ersatzstromquelle
φk=Am⋅Br
φ
Am
φ
Br
Ersatzspannungsquelle
φ
RmFe
"L
Θ
"m
Θ0 = Br " m/µ0
RmLu
Dauermagnet
RmFe
"m
ALu
"m
Hm
Hc = Br / µ0
Θ
Dauermagnet
Last
RmLu
Last
1.9.6 Bistabiles Magnetventil
Ein bistabiles Magnetventil soll mit Stromimpulsen gesteuert werden. Das bistabile
Verhalten wird durch Einsatz eines Dauermagneten erreicht. Die folgenden Bilder
zeigen das Ventil in den beiden stabilen Stellungen ´auf´ und ´zu´.
Ventilstellung ´auf´ (Schieber angezogen)
Dauermagnet
Ventilstellung ´zu´ (Schieber abgefallen)
Schieber aus Eisen
Dauermagnet
"m
Eisen
Am
Schieber aus Eisen
"m
Eisen
SN
Am
SN
FF
FF
NS
N=400
NS
"m
N=400
I1
Dauermagnetlänge
Dauermagnetquerschnitt
"m
I2
" m = 5 mm
Am = 0,5 cm
Dauermagnet-Kennlinie
2
Bm
7
Br=0,4 T
magn. Widerstand d. Eisenwegs RmE = 5,9 ⋅10 A / Vs
8
magn. Wdst. beider Luftspalte RmLu = 10 A / Vs
Federkraft (konstant annehmen) FF = 2 N
Br/µ0
Hm
Der Schieber aus Eisen ist mit einem Überzug aus Kunststoff versehen, dessen
magnetischer Einfluß in RmE enthalten ist. Felder außerhalb des Dauermagneten,
des Eisenschiebers und des Luftspalts sind vernachlässigbar.
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33
a) Magnetisches Ersatzschaltbild in Stellung ´auf stromlos´ (linkes Bild)
und Haltekraft FH, mit welcher der Eisenschieber auf den
Dauermagneten drückt.
Gesucht:
b) Magnetisches Ersatzschaltbild in Stellung ´auf bestromt´ (linkes Bild)
und Strom I1, bei dem sich das Ventil gerade schließt.
c) Magnetisches Ersatzschaltbild in Stellung ´zu bestromt´ (rechtes
Bild) und Strom I2, bei dem sich das Ventil gerade wieder öffnet.
Lösung mit Ersatzstromquelle:
Für die Flußverteilung gilt:
a)
Φ1 + Φ2 = 2⋅10-5 Vs
Φ1 / Φ2 = 0,37
-5
Φ1
Φ2
-5
Φ1 = 0,54 ⋅10 Vs
Φ2 = 1,46⋅10-5 Vs
2⋅10 Vs
daraus:
Flußdichte B2 = 0,29T
7
5,9⋅10
Magnetkraft auf Schieber:
A/Vs
7
2
15,9⋅10 A/Vs
FM = Am ⋅ B2 / µ0 = 3,35 N
Haltekraft:
FH = FM - FF = 1,35 N
Jetzt ist die Haltekraft 0, also FM = FF = 2 N
b)
Dazu nötige Luftspaltinduktion:
Φ3
-5
2⋅10 Vs
Φ4
BLu =
7
5,9⋅10
A/Vs
7
15,9⋅10 A/Vs
N⋅I1
c)
Φ5
-5
2⋅10 Vs
Φ6
7
7
hieraus berechneter Fluß:
Φ4 = BLu ⋅Am = 1,12 ⋅10-5 Vs
Φ3 =0,88 ⋅10-5 Vs
Maschenregel:
-5
7
-5
7
0,88⋅10 ⋅15,9 ⋅10 A + N ⋅I1 -1,12⋅10 ⋅ 5,9⋅10 A = 0
I1 = - 1,85 A
N ⋅I1 = - 738 A
Jetzt ist die Anzugskraft: FF = 2 N
Dazu nötige Luftspaltinduktion wie bei b):
BLu =
15,9⋅10
A/Vs
15,9⋅10 A/Vs
N⋅I2
µ 0 ⋅ FF / A m = 0,224 T
µ 0 ⋅ FF / A m = 0,224 T
hieraus berechneter Fluß wie bei b):
Φ5 =0,88 ⋅10-5 Vs
Φ6 = BLu ⋅Am = 1,12 ⋅10-5 Vs
Maschenregel:
-5
7
-5
7
0,88⋅10 ⋅ 15,9 ⋅10 A + N ⋅I2 -1,12 ⋅10 ⋅15,9 ⋅10 A =
0
I2 = + 0,95 A
N ⋅I2 = + 382 A
Lösen Sie diese Aufgabe zur Übung mit der Esatzspannungsquelle.
Die Ersatzschaltbilder dazu sind folgende:
a)
b)
7
15,9⋅10 A/Vs
Φa
c)
7
15,9⋅10 A/Vs
7
3
7
15,9⋅10 A/Vs
7
5,9⋅10
A/Vs
3,18⋅10 A
Φb
7
5,9⋅10
A/Vs
3
3,18⋅10 A
N⋅I1
Φc
15,9⋅10
A/Vs
3
3,18⋅10 A
N⋅I2
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34
2 Schaltvorgänge an der Induktivität
2.1 Strom-Spannungsbeziehung (´Ohm´sches Gesetz´)
i
1
i = ∫ uL ⋅ dt + Ia
L
uL = L ⋅ di / dt
L
uL
2.2 Grundschaltung
Uo und Ro sind die Elemente der
Ersatzspannungsquelle für die
Klemmen der Induktivität L
R0
i
uR
Mit diesem Modell sind alle
linearen Netzwerke mit einer
Induktivität abgedeckt
Maschenregel für t ≥ 0:
bei t=0 schließen
L
uL + uR
U0
= U0
uL
uL + R0 i = U0
R
uL + 0 ⋅ ∫ uL dt = U0 − R 0 ⋅ Ia
L
duL
u
+ L =0
dt L/R 0
Ableitung:
| ⋅ dt / uL
duL dt
+ =0
uL
τ
Trennung der Variablen:
mit τ = L / R0
ln uL + t / τ = ln k
Integration:
= -t/τ
ln (uL / k)
uL / k = e
als Exponent setzen:
uL = k ⋅ e
−
k Integrationskonstante
t
−
τ
t
τ
τ = L / R0
k wird aus den Anfangsbedingungen bestimmt:
R0
Damit wird der Ausgangszustand der
Schaltung berücksichtigt.
bei t = 0 gilt:
Ia
uR(0) = R0⋅Ia
i(0) = Ia
L
uL (0) = k = U0 - R0 ⋅ Ia
damit
mit i = (U0 - uL) / R0
uL = (U0 − R 0 ⋅ Ia ) ⋅ e
i=
U0
−

U0  U0
− 
− Ia  ⋅ e
R0  R0

t
τ
uL(0)
dabei ist τ = L / Ro
t
−
τ
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35
2.3 Schaltung zum Auf- und Entladen
bei t=0 schließen
bzw. öffnen
Die vorhergehende Grundschaltung
umfaßt Ladung u. Entladung,
nämlich immer von Ia zu Ik .
Bei der realen Schaltung werden
beide Fälle getrennt, auf das gleiche
Modell der Grundschaltung zurückgeführt und wie zwei verschiedene
Schaltungen betrachtet.
R1
i
R2
L
U
uL
Schalter lange offen, wird bei t=0 geschl.
Schalter lange zu, wird bei t=0 geöffnet
Ersatzspannungsquellen für L
Schalter zu
U0zu = U
R0zu = R1
τzu = L / R1
Ia = i(0) = Ikauf = 0
Schalter auf
U0auf = 0
R0auf = R1 + R2
τauf = L / ( R1 + R2 )
Ia = i(0) = Ikzu = U / R1
−
uL = (U0 − R 0 ⋅ Ia ) ⋅ e , also erhält man:
nach 2.2 gilt für die Spannung:
uL = U ⋅ e
−
t
τ zu
t
R + R 2 − τ auf
⋅e
uL = −U ⋅ 1
R1
i=
nach 2.2 gilt für den Strom:
 −t
U0  U0
− 
− Ia  ⋅ e τ , also erhält man:
R0  R0

t
t
−
U
i=
(1 − e τ zu )
R1
uL = N ⋅
dΦ
→
dt
∫u
L
t
τ
U − τ auf
⋅e
i=
R1
⋅ dt = N ⋅ Φ
Allgemeingültige Zusammenhänge:
uL ( t → ∞ ) = 0
i ( t → ∞ ) = Ik = U0 / R0
i kurz vor dem Schalten = i kurz nach dem Schalten (Strombeharrung)
T
bei periodischen Vorgängen:
∫u
L
⋅ dt = 0 ,
T = Periodendauer
0
ûLzu ⋅ τzu = ûLauf ⋅ τauf = ∫ uL ⋅ dt = N ⋅ Φ
Spannungs-Zeit-Fläche
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36
2.4 Schaltungsbeispiel
gesucht: uL(t) und i(t) nach Schalterbetätigung aus dem statischen Zustand
L=0,1H
i
R2=220
uL
R1=1k
U=15V
Schalter lange offen, wird bei t=0 geschl.
Schalter lange zu, wird bei t=0 geöffnet
Ersatzspannungsquellen für L
Schalter zu
U0zu = U = 15 V
R0zu = R2 = 220 Ω
τzu = L / R2 = 455 µs
Ikzu = U0zu / R0zu = 68,2 mA
Ia = Ikauf = 12,3 mA
Schalter auf
U0auf = U = 15 V
R0auf = R1 + R2 = 1220 Ω
τauf = L / ( R1 + R2 ) = 82 µs
Ikauf = U0auf / R0auf = 12,3 mA
Ia = Ikzu = 68,2 mA
nach 2.2 gilt für die Spannung:
uL = 12,3 V ⋅ e
−
−
uL = (U0 − R 0 ⋅ Ia ) ⋅ e , also erhält man:
t
455 μs
u L = −68,2V ⋅ e
−
t
82μs
 − τt
U0  U0

−
− Ia  ⋅ e , also erhält man:
i=
R 0  R 0

nach 2.2 gilt für den Strom:
i = 68,2mA − 55,9mA ⋅ e
t
τ
−
t
455 μs
)
i = 12,3mA + 55,9mA ⋅ e
−
t
82μs
Spannungszeitfläche:
∫u
L
⋅ dt = N ⋅ Φ = 5,6 mVs
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37
2.5 Schaltungsbeispiel mit L und C (G2LC.SCH)
gegeben: Schaltung mit R,L,C
gesucht:
C=1,5µF
b) is sofort nach dem Schließen
aus dem stationären Zustand
c) is stationär bei geschlossenem Schalter
iC
uS
a) us stationär bei offenem Schalter
U=10V
i2
R2=1k
uC
L=0,1H
R1=2k
uL
i1
d) us sofort nach dem Öffnen aus
dem stationären Zustand
iL
Lösung:
a) bei lange offenem Schalter entladen sich beide Speicher über R1 und R2, alle
Ströme und Spannungen der Brücke sind 0, also ist uS = 10 V
b) kurz nach dem Schließen:
iS
die Speicher beharren auf
uC = 0 und iL = 0
iC
C=1,5µF
i2
R2=1k
uC=0
damit:
iS = i1 = 10V / 2k
iS = 5 mA
U=10V
L=0,1H
R1=2k
uL=10V
i1
c) Schalter stationär zu:
iS
iC =0
iL=0
i2
iC = 0 und uL = 0
R2=1k
uC=10V
damit:
iS = i2 = 10V / 1k
iS = 10 mA
U=10V
R1=2k
uL=0
i1
d) kurz nach dem Öffnen:
uS
die Speicher beharren auf
uC = 10V und iL = 10mA
i2
iC
C=1,5µF
iL
uC=10V
R2=1k
damit:
uS = 10V + 10mA⋅2k - 10V
uS = 20V
U=10V
R1=2k
i1= -10mA
L=0,1H
uL
iL=10mA
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38
2.6 Durchflußwandler als getakteter Strom- und Spannungssteller
Bei den getakteten Stromversorgungen wird ein Energiespeicher (L und/oder C) mit
Energieimpulsen aufgeladen.
Das Verhältnis von Ladezeit zu
Pause bestimmt die mittlere
transferierte Energiemenge,
welche damit stufenlos und
verlustarm gesteuert oder
geregelt werden kann.
Wegen des einfachen Prinzips
wird dies am Durchflußwandler
aufgezeigt.
Prinzipschaltbild
i
L
C
u
UE
uA
Zeitverläufe
u
UE
Idealisierungen:
Spannungsquelle UE ideal
Schalter und Diode verlustfrei
Induktivität L verlustfrei
Abschnitte der e-Fkt. linear
0
i
Tein
t
T
stationär, ohne C
∆I
I
Nach dem Schließen des
Schalters steigt der Strom i mit
der Zeitkonstante τ = L / R,
0 Tein T
nach dem Öffnen fließt er über
die Diode D und fällt mit τ ab.
uA stationär, ohne C
Die Differenz zwischen Maximal∆UA
und Minimalwert ist ∆I, der MittelUA
wert I. Die Spannung am Lastwiderstand R hat den gleichen
Verlauf uA = R ⋅ i mit der
0 Tein T
Schwankung ∆UA und dem
Mittelwert UA.
Wählt man die Schaltfrequenz hinreichend hoch (T<< L/R), so geht ∆UA→0.
Die Restwelligkeit kann mit C weiter verringert werden. Unter diesen Umständen
kann mit der vollständig geglätteten Spannung UA gerechnet werden.
t
t
Damit die Energiebilanz an L beim Auf- und Entladen stimmt, muß der Mittelwert
der Spannungs-Zeit-Fläche an L null sein. Damit wird UA bestimmt:
(UE - UA) ⋅ Tein = UA ⋅ (T - Tein)
Aufladung
daraus:
Entladung
U A = UE
Tein
T
Damit ist nur eine Tiefsetzung (UA ≤ UE) möglich. Zur Hochsetzung (UA ≥ UE) muß
die zerhackte Spannung UE transformiert oder eine ´Ladungspumpe´ aus
mindestens 2 Kondensatoren verwendet werden.
Die getakteten Steller finden in den ´DC-DC-Wandlern´ Anwendung.
Die Ausgangsspannung UA wird meist über das Tastverhältnis geregelt.
Um Pfeifgeräusche von L zu vermeiden, muß die Taktfrequenz > 20 kHz sein.
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39
2.7 Einfluß der Spulenverluste
Die 3 Verlustarten einer Spule bewirken, daß ein Teil der zugeführten elektrischen
Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird.
Kernmaterial
Luft
Ferrit
Metall-Legierungen
Kupferverluste
RCu
•
•
•
Ersatzschaltbild:
i
Wirbelstromverluste
Rw
•
iL
RCu
u
Hystereseverluste
RH
•
•
Rw
RH
uL
L (verlustfrei)
Eigenschaften der Verlustanteile:
• RCu bei Niederfrequenz frequenzunabhängig, bei Hochfrequenz wirkt sich der
Skineffekt aus
• Rw verringert sich ∼ f2
• RH verringert sich ∼ f
RCu, Rw, RH und L sind meßtechnisch nicht einzeln erreichbar. Ihre Messung muß
deshalb bei unterschiedlichen Bedingungen erfolgen, bei denen jeweils ein Teil der
Parameter ohne Einfluß ist.
RCu wird mit Ohmmeter oder Meßbrücke bei Gleichstrom (uL = 0) gemessen.
Bei den restlichen Größen ist es wegen ihrer Abhängigkeiten sinnvoll, sie unter
anwendungsgemäßen Bedingungen zu bestimmen.
Einfluß auf das Schaltverhalten elektromagnetischer Aktoren
Hierzu gehören z.B. Magnetventile, Zugmagnete und Relais. Wegen der Beweglichkeit ihres Ankers besitzt der Magnetkreis immer einen Luftspalt. Deshalb kann RH in
der Regel vernachlässigt werden. Da die Wirbelströme nach der Lenz´schen Regel
dem verursachenden Magnetfeld entgegenwirken, verzögern sie den Feldauf- und
Abbau während jedes Schaltvorgangs und vergrößern somit die Zeitkonstante.
Meßschaltung für Rw:
kurz nach dem Schließen des
Schalters aus dem statischen
Zustand gilt:
iL(0) = 0
also i(0) = U / ( Rw + RCu + Ri)
i
U
iL
RCu
Ri
Rw
i
uL
L
i(0) wird mit dem Speicheroszilloskop als Spannungsabfall an Ri gemessen.
Da U, RCu und Ri bekannt sind, kann Rw bestimmt werden. Dabei wird angenommen,
daß der Anker sich noch nicht bewegt.
Die Freilaufdiode verhindert Funkenbildung am Schalter beim Ausschalten.
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40
Einfluß der Spulenverluste bei sinusförmiger Wechselspannung
Bestimmung von Rw:
• man versieht den Kern mit einem Luftspalt, so daß RmLu >> RmFe ist,
RH ist dann vernachlässigbar.
• RCu wird mit Ohmmeter oder Meßbrücke bestimmt.
• Amplituden- und Phasengang des Zweipols werden aufgenommen.
• Rw(f2) kann aus dem Wirkanteil berechnet werden.
Bestimmung von RH:
• Amplituden- und Phasengang des Zweipols werden ohne Luftspalt unter realen
Betriebsbedingungen aufgenommen.
• RH(f) und L können aus Wirk- und Blindanteil berechnet werden, da RCu und Rw
bereits bekannt sind.
Bei Transformatoren werden die Messungen ohne Sekundärlast durchgeführt.
Bei Sekundärbelastung ändern sich dann mit den Strömen nur die Kupferverluste,
die jedoch leicht berechnet werden können.
2.8 Einfluß der Ankerbewegung bei elektromagnetischen Aktoren
Beispiel: Strombeugung am Relais
Während der Ankerbewegung ändert
sich mit dem Luftspalt auch L.
Die e-Funktionen des Ausgleichsvorgangs werden deshalb verzerrt.
RCu
U
Ri
i
uL
L
Mit dem Speicheroszilloskop erhält man folgende Stromverläufe an Ri:
Die Kurvenverläufe können mit der L-Änderung und Energiebetrachtungen erklärt
werden.
Die Schaltzeiten des Relais lassen sich aus i(t) elegant bestimmen.
Die Ansprechzeit der Aktoren wird durch die elektrische Zeitkonstante τel und
durch die mechanische Zeitkonstante τmech (infolge der Masse der bewegten Teile)
bestimmt. Meist ist τel << τmech .
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41
2.9 Stromverzerrung durch die Magnetisierungskurve
Legt man eine Induktivität mit Eisenkern an Wechselspannung,
z.B. einen Transformator an die Netzspannung, so wird durch
die eingeprägte sinusförmige Spannung u(t) ein sinusförmiger
Fluß Φ = B ⋅ A erzwungen.
Durch die nichtlineare Magnetisierungskennlinie B = f(H) ist
der Zusammenhang i = f(u) ebenfalls nichtlinear.
i
∼
u
Der Magnetisierungsstrom i(t) weicht deshalb von der Sinusform ab.
Konstruktion des Stromverlaufs i(t)
o
Die Flußdichte B(t) eilt der Spannung u(t) um 90 nach (siehe 1.6.4).
Zu jedem Punkt von B kann aus der Magnetisierungskurve (links) ein Stromwert
entnommen und damit die Stromkurve i(t) punktweise gezeichnet werden.
Berücksichtigt man die Fläche der Magnetisierungskurve, so sind ansteigender und
abfallender Ast von i(t) unsymmetrisch und der Strom ist gegenüber B(t)
phasenverschoben.
Die Funtion i(t) enthält ungerade harmonische Frequenzen. Sie erhöhen die Verluste
im Eisen und sind im Netz nicht erwünscht.
Deshalb Sättigung des Eisens möglichst vermeiden!
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42
3 Wechselstrom
3.1 Zeitfunktionen
3.1.1 Arten von periodischen Wechselgrößen
allgemeine Wechselspannung:
u
u = f(t)
T Periodendauer
f = 1/T Frequenz
t
T
Sinusspannung:
u = û ⋅ sin
2π
⋅ t oder
T
u = û ⋅ sin ωt
mit Kreisfrequenz ω =
2π
=2πf
T
Phasenwinkel ωt = 2π
t
T
hier behandelt
Mischspannung:
u = U_ + û ⋅ sin ωt
in Elektronik behandelt
Gesetze für die Berechnung:
Für zeitabhänge elektrische Größen eines linearen Netzwerks mit unabhängigen
Quellen müssen in jedem Augenblick erfüllt sein:
Ohm´sches Gesetz
Kirchhoff´sche Regeln
Überlagerungssatz
Wichtige Frequenzen:
Netzfrequenz:
Tonfrequenz:
Schaltnetzteile
Tonrundfunk:
Computer-Taktfrequenz
Fernsehen:
Richtfunk, Radar:
50 Hz
20 Hz ... 20 kHz
20 kHz ... 100 kHz
150 kHz ... 100 MHz
...
2 GHz
176 Mhz ... 233 MHz
30 MHz ... 40 Ghz
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43
3.1.2 Kennwerte von Wechselgrößen
û
Scheitelwert:
2π
1
u=
u(ωt ) ⋅ dωt
2π ∫0
Linearer Mittelwert:
bei Sinusform:
u =
Gleichrichtwert:
Messung durch Drehspulinstr.
1
u=
2π
2π
∫ u# ⋅ sinωt ⋅ dωt
=0
0
1 2π
∫ u(ωt ) ⋅ dωt Messung d. Gleichrichterinstr.
2π 0
bei Sinusform:
u =
1 2π
∫ u# ⋅ sin ωt ⋅ dωt
2π 0
u =
2
⋅ u# = 0,6366 ⋅ u#
π
Effektivwert (qudratischer Mittelwert):
Der Effektivwert ist der Wert der Funktion, welcher an einem
Widerstand R die gleiche Leistung erbringt wie ein Gleichstrom
gleichen Werts. Bei Sinusform gilt:
U 2
1 1 π
P = eff = ⋅ ⋅ ∫ u# 2 ⋅ sin2 ωt ⋅ dωt
R
R π 0
Ueff
π
u# 2  ωt 1
u# 2

=
−
ω
=
sin
2
t

π  2 4
2
0
u#
=
= 0,707 ⋅ u#
Messung durch Dreheiseninstrument
2
2
Ueff
Vereinbarung:
Der Index eff wird weggelassen.
Großbuchstaben bedeuten bei Wechselstrom Effektivwert.
Also gilt für die Effektivwerte von Sinusgrößen:
U=
u#
= 0,707 ⋅ u#
2
Scheitelfaktor =
Formfaktor =
entsprechend:
I=
#i
= 0,707 ⋅ #i
2
Scheitelwert
= 2
Effektivwert
π
Effektivwert
=
= 111
,
Gleichrichtwert 2 2
Sinusform wird, wenn nicht anders vermerkt, grundsätzlich
vorausgesetzt. Dann interessieren bei Netzwerkberechnungen nur
noch Mittelwerte und Effektivwerte.
Nur bei Abweichungen von der Sinusform werden die Zeitfunktionen
verwendet.
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44
3.1.3 Erzeugung von sinusförmiger Wechselspannung
Sinusförmige Spannung entsteht z.B. in einer
rotierenden Drahtschleife im homogenen
Magnetfeld, wie rechts skizziert .
r
"
ω
ωt
ωt =0
Dieses Prinzip liegt auch den Generatoren
der Kraftwerke zugrunde.
u
"
B
Nach dem Induktionsgesetz ist
u = N⋅
dΦ r
= 2 B " wr ⋅ sin(ωt) = û sin(ωt)
dt
dabei ist Φr die senkr. Komponente des
Magnetflusses durch die Schleife. Die
0
Spannung u eilt dem Fluß Φ um 90 vor.
Man nennt dies Phasenverschiebung.
weitere Möglichkeiten der Sinuserzeugung durch:
• elektronische Wechselrichter (aus Gleichstrom, Leistungselektronik)
• elektronisch entdämpfte Schwingkreise (Einschwingzeit beachten!)
• elektronisch verformte Dreieckspannung (Funktionsgeneratoren)
3.2 Zeigerdarstellung
3.2.1 Vom Sinus zum Zeiger
Das Rechnen mit Zeitfunktionen ist aufwendig. Da bei linearen Netzwerken die
Kurvenform prinzipiell nicht verändert wird, gibt es bei Sinusquellen im ganzen
Netzwerk nur sinusförmige Größen. Also ist die Kurvenform bekannt, es
interessieren nur Effektivwerte und Phasenverschiebungen. Zu deren Berechnung
kann ein vereinfachtes Verfahren angewandt werden, bei dem nur die interessierenden Größen bestimmend sind.
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45
weitere Vereinbarungen:
Zeiger sind durch Betrag und Phasenwinkel festgelegt.
Die Länge des Zeigers (Betrag) entspricht dem Effektivwert.
Alle Zeiger eines Diagramms besitzen den gleichen Bezugszeiger mit dem
Nullphasenwinkel 0, dieser ist frei wählbar.
Die Berechnung wird für wt = 0 durchgeführt.
Zeiger werden durch Unterstreichung gekennzeichnet.
In einem Zeigerdiagramm sind nur Größen gleicher Frequenz zulässig.
Die Lage des Diagramms in der Zeichenebene ist beliebig.
Phasenwinkel werden mathematisch positiv (Gegenuhrzeiger) angegeben.
Gleiche Größen werden im selben Maßstab gezeichnet.
3.2.2 Addition von Sinusgrößen
Gegeben sind die Zeitfunktionen von 2 phasenverschobenen Spannungen:
u1 = √2 ⋅ 3V ⋅ sin(ω
ωt)
u2 = √2 ⋅ 5V ⋅ sin(ω
ωt+450)
und
0
0
u = u1 + u2 = √2 ⋅ 3V ⋅ sin(ωt) + √2 ⋅ 5V [ sin(ωt) ⋅ cos 45 + cos(ωt) ⋅ sin 45 ]
= √2 ⋅ 3V ⋅ sin(ωt) + √2 ⋅ 5V [ 0,707 ⋅ sin(ωt) + 0,707 ⋅ cos(ωt) ]
= √2 ⋅ [ 3V ⋅ sin(ωt) + 3,54V ⋅ sin(ωt) + 3,54V ⋅ cos(ωt) ]
= √2 ⋅ [ 6,54V ⋅ sin(ωt) + 3,54V ⋅ cos(ωt) ]
Eine beliebige Sinusfunktion läßt sich in 2 Sinusfunktionen mit dem Nullphasen0
0
winkel 0 und 90 , also in 2 rechtwinklige Komponenten in Richtung des
Bezugszeigers und senkrecht dazu zerlegen. Bei Sinusfunktionen mit demselben
Nullphasenwinkel darf man die Beträge (Amplituden) addieren.
Zeigerdiagramm für ωt = 0:
(maßstäblich)
U2
U2 ⋅ sin ϕ2
Berechnung für ωt = 0:
U
U = (U2 ⋅ sin ϕ 2 ) 2 + (U1 + U2 ⋅ cos ϕ 2 ) 2
U = (5V ⋅ 0,707) + (3V + 5V ⋅ 0,707)
2
U=
(3,54V )
2
ϕ2=450
2
ϕ
U2 ⋅ cos ϕ2
U1
+ (3V + 3,54V )2
U2
U = 7,44V
U ⋅ sin ϕ 2 3,54
=
= 0,476
sin ϕ = 2
U
7,44
ϕ = 28,40
U
5V
3,54V
0
45
U
U
ϕ
3V
3,54V
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U1
46
3.2.3 Berechnungsmethode mit Beispiel
Das vorige Kapitel zeigt:
Zeiger unterliegen denselben Rechengesetzen wie Vektoren:
Addition im Parallelogramm
(Multiplikation durch Drehstreckung)
Parallelverschiebung ohne Informationsveränderung zulässig
Zeiger sind aber keine Vektoren, sondern nur Hilfsmittel zur einfachen Darstellung
von Sinusgrößen.
I 3 = I 1 - I2
Knoten
Beispiel:
I2
0
i1 = √2 ⋅ 3A ⋅ sin (ωt + 15 )
I1
0
i2 = √2 ⋅ 2A ⋅ sin (ωt + 50 )
Zeigerdiagramm für ωt = 0:
I3
I2
I3
0
I 2 ⋅ sin35
Berechnung für ωt = 0:
I3 =
(I − I
I3 =
(3 − 2 ⋅ 0,82) + (2 ⋅ 0,57)
1
) + (I
0 2
2
⋅ cos 35
2
2
⋅ sin 35
)
0 2
I1
0
35
0
15
0
2
A
I 2 ⋅ cos35
Bezugsrichtung
I3 = 178
, A
tan ϕ I1,I3 =
I2 ⋅ sin 350
= 0,84
I1 − I2 ⋅ cos 350
ϕI1,I3 = - 400
Vorzeichen aus Zeichnung!
Vorteil des Zeigerdiagramms:
Übersichtliche Darstellung der qualitativen Phasen- und Betragsverhältnisse
Nachteil des Zeigerdiagramms:
Berechnung der Geometrie ist unübersichtlich und deshalb fehlerträchtig.
Abhilfe:
Durch rein rechnerisches Verfahren, welches Betrag und Phasenwinkel
berücksichtigt ⇒ Komplexe Rechnung
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47
3.3 Komplexe Rechnung
3.3.1 Zeiger in der Komplexen Ebene
Man verlegt das Zeigerdiagramm in die komplexe Ebene und kann die Zeiger in
rechtwinkligen oder Polarkoordinaten beschreiben. Die reelle Achse ist die
Bezugsrichtung.
Im
U
Zeitfunktion:
u = √2 ⋅ U ⋅ sin (ωt+j)
U⋅sin(ωt+ϕ)
U
komplex in Polarkoordinaten:
U=U⋅e
j (ωt + ϕ )
U=U⋅e
jωt
⋅e
ωt+ϕ
(Euler)
jϕ
Re
U⋅cos(ωt+ϕ)
komplex in rechtwinkligen Koordinaten:
U = U [ cos (ωt+j) + j sin (ωt+j) ] abgeleitet aus der Geometrie
Die Zeitfunktion steckt im Imaginärteil
Realteil:
Imaginärteil:
Re = U ⋅ cos (ωt+j)
Im = U ⋅ sin (ωt+j)
Betrag:
U =
Phase:
tan (ωt+j) = Im / Re
Re2 + Im2
sin (ωt+j) = Im / Betrag
cos (ωt+j) = Re / Betrag
Da Frequenz und Sinusform bekannt sind und der Nullphasenwinkel oft nicht
intesssiert, kann man ωt = 0 setzen und so die Schreibweise vereinfachen:
U=U⋅e
jϕ
= U ( cos j + j sin j )
Re = U ⋅ cos j ,
Im = U ⋅ sin j
3.3.2 Rechenregeln
−1,
j ⋅ j = - 1,
Definition:
j=
Addition von Zeigern:
Σ Zeiger = Σ Realteile + j Σ Imaginärteile
Produkte:
(a+jb) = a +2jab-b
2
1/j = -j
2
2
2
(a+jb)⋅(a-jb) = a +b
Exponenten:
e
j (a + b)
Spezielle Winkel:
e
j0
e
j π/2
=e
= e
j 2π
ja
⋅ e jb
= 1
= j
Ableitung eines Zeigers: dU / dt = j ω ⋅ U
Beweis:
dU /dt = d(U ⋅ e
2
reell !
e
j (a - b)
e
jπ
e
j 3π/2
= e
ja
/e
jb
= -1
= -j
mit Operator jω
ω
j (ωt + ϕ )
) /dt = j ωU ⋅ e
j (ωt + ϕ )
= jωU
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48
3.3.3 Beispiel
I 3 = I 1 - I2
Knoten:
I2
Zeitfunktionen (gegeben):
0
i1 = √2 ⋅ 3A ⋅ sin (ωt + 15 )
0
i2 = √2 ⋅ 2A ⋅ sin (ωt + 50 )
I1
Zeigerdiagramm: ⇒
I3
Im
Komplexe Rechnung für ωt = 0:
j 15°
0
0
j 50°
0
0
I2
I3
= 3A (cos 15 + j sin 15 )
I1 = 3A ⋅ e
I1 = 2,90 A + j 0,78 A
I2 = 2A ⋅ e
= 2A (cos 50 + j sin 50 )
I2 = 1,285 A + j 1,53 A
I1
0
50
0
15
Re
I3 = I1 - I2
I3 = (2,90 - 1,285) A + j (0,78 - 1,53) A
I3
I3 = 1,61 A - j 0,76 A
Betrag:
I3 = 161
, 2 + 0,762 A = 1,78 A
Phasenwinkel:
tan ϕ I3 = - 0,76 / 1,61 = - 0,472
ϕ I3
= - 25,3
0
Winkel zwischen reeller Achse und I3
3.4 Grundzweipole
3.4.1 Ohmwiderstand
Augenblickswerte
u=R⋅i
i = √2 ⋅ I ⋅ sin ωt
u = R ⋅ √2 ⋅ I ⋅ sin ωt
= √2 ⋅ U ⋅ sin ωt
U=R⋅I
U
=R
I
Gesetz
Annahme
laut Gesetz
Effektivwert
Widerstand
komplexe Schreibweise
jωt
I=I⋅e
jωt
U=R⋅I=R⋅I⋅e
U=R⋅I
U
Z= =R
I
(reell)
Diagramme
I
I
R
U
U
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49
3.4.2 Induktivität
Augenblickswerte
u = L ⋅ di / dt
i = √2 ⋅ I ⋅ sin ωt
di /dt = √2 ⋅ I ⋅ w ⋅ cos ωt
laut Gesetz
u = ω L ⋅ √2 ⋅ I ⋅ cos ωt
= √2 ⋅ U ⋅ cos ωt
Effektivwert
U=ωL⋅I
Blind-Widerstand U
= ωL = XL
I
Gesetz
Annahme
komplexe Schreibweise
jωt
I=I⋅e
jωt
dI /dt = j ω I ⋅ e = j ω I
jωt
U=jωL⋅I=jωL⋅I⋅e
U=ωL⋅I
U
Z = = jωL = jX L
I
Diagramme
I
Spannung eilt
0
um 90 vor
U
L
0
ϕI,U = 90
U
mit
magnetischen
Größen
I
Im
Nulldurchgang
des Stromes
Schalten!
U = N ⋅ dF / dt = N ⋅ j ωF = N ⋅ j ωB ⋅ A
0
Die Spannung eilt dem Fluß und d. Flußdichte um 90 vor
B#
2π
A=
f ⋅ N ⋅ B# ⋅ A
Betrag: U = ωN B A = ωN
2
2
U = 4,44 ⋅ f ⋅ N ⋅ B# ⋅ A Transformatoren-Hauptgl.
3.4.3 Kapazität
Augenblickswerte
i = C ⋅ du / dt
u = √2 ⋅ U ⋅ sin ωt
du /dt = √2 ⋅ U ⋅ ω ⋅ cos ωt
laut Gesetz
i = ω C ⋅ √2 ⋅ U ⋅ cos ωt
= √2 ⋅ I ⋅ cos ωt
Effektivwert
I=wC⋅U
Blind-Widerstand U
1
=
= XC
I ωC
Gesetz
Annahme
Diagramme
I
komplexe Schreibweise
jωt
U=U⋅e
jωt
dU /dt = j ω U ⋅ e = j ω U
jωt
I=jωC⋅U=jωC⋅U⋅e
I=ωC⋅U
U
1
1
= −j
= − jX C
Z= =
ωC
I
jωC
Strom eilt
0
um 90 vor
I
C
0
ϕU,I = 90
U
U
Im
Nulldurchgang
der Spannung
schalten!
3.4.4 Zusammenstellung der Grundzweipole
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50
I
R
L
I
C
I
U
U
U
di
dt
du
dt
Ohm-Gesetz
u=R⋅i
u=L⋅
Effektiv
U=R⋅I
U = ωL ⋅ I
I = ωC ⋅ U
Komplex
U=R⋅I
U = jωL ⋅ I
I = jωC ⋅ U
Schein-widerstand
Z=R
Z = XL = ωL
Komplexer
Widstand
Z=R
Z = jXL = jωL
i=C⋅
Z = XC =
Z=-jXC=
U
I
Zeigerdiagramm
1
ωC
−j
1
=
jωC ωC
I
U
0
ϕU,I = 90
0
ϕI,U = 90
U
I
U und I in Phase
Spannung eilt vor
Strom eilt vor
3.5 Komplexe Zweipole aus R, L und C
3.5.1 Komplexer Widerstand und Leitwert
Der Wechselstrom-Zweipol Z (Y)
enthält ein beliebiges quellenloses
Netzwerk aus R, L und C.
I
Für ωt = 0 gilt:
U=U⋅e
jϕU
I=I⋅e
U
Im
Z, Y
jϕI
ϕ I,U = ϕ U - ϕ I
ϕU
U
Ohm-Gesetz:
U=I⋅Z=I/Y
I=U⋅Y=U/Z
Re
Komplexer Widerstand
Z=
U U j (ϕU −ϕI)
= ⋅e
I
I
Z=Z⋅e
jϕ I,U
I
ϕI
Komplexer Leitwert
Y=
mit Z =
U 1
=
I Y
I
I
= ⋅ e j(ϕI−ϕU )
U U
Y=Y⋅e
jϕ U,I
mit Y =
I
1
=
U Z
Z = Z ⋅ cos ϕ I,U + j Z ⋅ sin ϕ I,U
Realteil R + j Imaginärteil X
Y = Y ⋅ cos ϕ U,I + j Y ⋅ sin ϕ U,I
Realteil G + j Imaginärteil B
Z=R+jX
Y=G+jB
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51
Ersatzschaltbild
I
R
X
UR
UX
IG
IB
U
G
I
B
U
Zeigerdiagramm für induktiven Zweipol
Im
Im
jX
Z
G
U
U
ϕ I,U
-jB
Y
Re
R
I
I
Scheinwiderstandskomponenten
Im
Scheinleitwertskomponenten
IG
Im
U
jUX
Re
ϕ I,U
U
Re
ϕ I,U
-jIB
ϕ I,U
Re
UR
I
I
Stromkomponenten
Spannungskomponenten
Zeigerdiagramm für kapazitiven Zweipol
Im
R
Re
ϕ U,I
-jX
Im
I
I
jB
Y
ϕ U,I
Z
U
I
UR
Re
Scheinleitwertskomponenten
Im
I
jIB
ϕ U,I
-jUX
Re
G
Scheinwiderstandskomponenten
Im
U
ϕ U,I
U
Spannungskomponenten
IG
U
Re
Stromkomponenten
Scheinwiderstand Z = R 2 + X 2
(Impedanz)
Scheinleitwert
Y = G2 + B2
Wirkwiderstand R = Z cos ϕ I,U
(Resistanz)
Wirkleitwert
G = Y cos ϕ U,I
Blindwiderstand
(Reaktanz)
X = Z sin ϕ I,U
Blindleitwert
B = Y sin ϕ U,I
tan ϕ I,U = X / R
cos ϕ = R / Z
tan ϕ U,I = B / G
cos ϕ = G / Y
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52
3.5.2 Äquivalente Umwandlung Parallel- ⇔ Reihenschaltung
Jeder komplexe Zweipol kann in Widerstands- oder Leitwertform angegeben und
damit durch 2 Ersatzschaltbilder ersetzt werden.
Z = R + jX
Z=
R
1
G − jB
G − jB
= 2
=
2
G + jB G + B
Y2
X
G
B
Gleichsetzen von Real- und Imaginärteilen ergibt:
R=
G
Y2
X=−
B
Y2
G=
R
Z2
B=−
X
Z2
3.5.3 Wirkstrom und Blindstrom
Wirkstrom
Blindstrom
Definition
Stromkomponente
in Phase mit der Spannung
Stromkomponente
90 phasenverschoben zur Spannung
0
Formeln
IW = I ⋅ cos ϕ = I ⋅ R / Z = G ⋅ U
IB = I ⋅sin ϕ= I ⋅X/ Z =B⋅ U
2
= U ⋅X/ Z
Zeigerdiagramm
Ersatzschaltbild
IW
I
IB
ϕ U,I
2
2
=U⋅R/Z
2
I = IW + IB ,
IW
IB
U
cos ϕ = IW / I = R / Z = G / Y,
G
I
B
U
sin ϕ = IB / I = X / Z = B / Y
3.5.4 Wirkleistung und Blindleistung
Wirkleistung P
Blindleistung Q
Definition
Im Wirkleitwert G in Wärme umgesetzte
Leistung
Im Blindleitwert Y (L oder C) umgesetzte Speicher-Umladeleistung
Formeln
P = U ⋅ IW = U ⋅ I ⋅ cos ϕ
Q = U ⋅ IB = U ⋅ I ⋅sin ϕ
Scheinleistung S = U ⋅ I =
P2 + Q2
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53
3.5.5 Beispiele
Für alle Beispiele verwendete Parameter:
U = 220 V / 50 Hz
R1 = 100 Ω
⇒
G1 = 10 mS
L = 0,3 H
⇒
XL = 94,25 Ω
⇒
BL = 10,6 mS
C = 50 µF
⇒
XC = 63,7 Ω
⇒
BC = 15,7 mS
3.5.5.1 R und L in Serie
I
R1
L
U R1
UL
U
UL
ϕ I,U
U
UR1
Z = R1 + j XL = (100 + j 94,25) Ω
2
I
2
R1 + X L = 137,4 Ω
Z=
I = U / Z = (220 / 137,4) A = 1,6 A
UR1 = R1 ⋅ I = 160 V
ϕ I,U = arctan (XL / R1) = 43,3
UL = XL ⋅ I = 150,8 V
0
cos ϕ = 0,72 induktiv
2
UR1 + UL
Probe: U =
2
= 220 V
3.5.5.2 R und C in Serie
I
R1
I
UR1
C
ϕ U,I
U R1
UC
UC
U
Z = R1 - j XC = (100 - j 63,7) Ω
U
2
2
R1 + X C = 118,6 Ω
Z=
I = U / Z = (220 / 118,6) A = 1,85 A
UR1 = R 1 ⋅ I = 185 V
ϕ U,I = arctan (XC / R1) = 32,5
UC = XC ⋅ I = 118 V
0
cos ϕ = 0,84 kapazitiv
IW = 1,55 A
IB = 1,0 A
3.5.5.3 R und L parallel
I R1
IL
R1
U
I
ϕ I,U
IR1
IL
L
I
U
2
2
Y = G1 - j BL = (10 - j 10,6) mS
Y= G1 + BL =14,6 mS ⇒ Z = 68,5 Ω
I = U ⋅ Y = (220 ⋅ 0,0146) A = 3,21 A
IR1 = IW = G1 ⋅ U = 2,2 A
ϕ I,U = arctan (BL / G1) = 46,70
IL = IB = BL ⋅ U = 2,33 A
cos ϕ = 0,69 induktiv
Probe: I = IR1 + IL = 3,21 A
2
2
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54
3.5.5.4 R und C parallel
R1
I R1
IC
I
I
IC
ϕ U,I
C
IR1
U
U
2
2
Y = G1 + j BC = (10 + j 15,7) mS
Ω
Y= G1 + BC =18,6 mS ⇒ Z = 53,7Ω
I = U ⋅ Y = (220 ⋅ 0,0186) A = 4,1 A
IR1 = IW = G1 ⋅ U = 2,2 A
ϕ U,I = arctan (BC / G1) = 57,50
IC = IB = BC ⋅ U = 3,45 A
cos ϕ = 0,54 kapazitiv
I R1
L
IC
R1
U
UL
C
UL
2
(G2RLC∼.SCH)
3.5.5.5 Netzwerk mit R, L und C
I
2
IR1 + IC = 4,1 A
Probe: I =
U RC
I
ϕ I,U
IC
IR1
U
URC
Wahl der reellen Achse in Richtung U = 220V
Z = jXL +
Z=
1
G − jBC
= jXL + 12
2
G1 + jBC
G1 + BC
R=


G1
B
⋅
− 2 C 2
2
2 + j  XL
G1 + BC 
G1 + BC

Z = (28,9 + j 48,9) Ω
G1
28,9 Ω
2 =
G + BC
2
1
X = XL −
Z=
BC
48,9 Ω
2 =
G + BC
2
1
R 2 + X 2 = 56,8 Ω induktiv
I = U / Z = (220 / 56,8) A = 3,9 A
IW = I ⋅ cos ϕ = 2,0 A
cos ϕ = 0,51, sin ϕ= 0,86 induktiv
IB = I ⋅sin ϕ= 3,36 A
I = U / Z = 220V / (28,9 + j48,9)Ω
I = (1,97 - j 3,33) A (4.Quadrant)
UL = jXL ⋅ I = j94,25 ⋅ (1,97 - j 3,33) V
UL = (314 + j 186) V (1.Quadrant)
I = 3,9 A
UL = 365 V ( > U! )
ϕ U,I = arctan (-3,33 / 1,97) = -59,4
0
ϕ U,UL = arctan (186 / 314) = 30,60
IR1 = URC / R1 = (-94 - j 186) A / 100
IR1 = (-0,94 - j 1,86) A (3.Quadrant)
URC = U - UL = (220 - 314 - j 186) V
URC = (-94 - j 186) V (3.Quadrant)
IR = 2,1 A
URC = 208 V
ϕ U,IR = arctan (-1,86 / -0,94) = 243
0
ϕ U,URC = arctan (-186 / -94) = 2430
IC = I - IR1 = (1,97-j3,33+0,94+j1,86) A
IC = (2,92 - j 1,47) A (4.Quadrant)
Wirkleistung P = U ⋅ IW = 440 W
IC = 3,3 A
Blindleistung Q = U ⋅ IB = 740 VA
ϕ U,IC = arctan (-1,47 / 2,92) = -26,8
0
oder P = URC ⋅ IR1 = 440 W
Scheinleistung S = U ⋅ I = 860 VA
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55
3.5.6 Resonanz, Schwingkreis
Bei Zweipolen aus (R,) L und C gibt es eine Dimensionierung, bei welcher der
Imaginärteil von Z bzw. Y verschwindet, Z bzw. Y also reell wird. Man nennt dies den
Resonanzfall. Der Zweipol ist ein Schwingkreis in Resonanz. Für die beiden
Ersatzschaltungstypen gelten folgende Zusammenhänge:
I
R
X
UR
UX
G
IW
IB
U
I
B
Z=R+jX
U
Y=G+jB
Resonanz für
X = 0 ⇒ Z = R (reell)
B = 0 ⇒ Y = G (reell)
In Beispiel 4.5.5.5 erhält man für die Resonanzfrequenz:
XL −
BC
2 = 0
G + BC
f0 =
2
1
2
2
1
2π
2
C − LG1
1
=
2
LC
2π
XL (G1 + BC ) - BC = 0
2
f0 = 26 Hz
2
2πf0 L [G1 + (2πf0 C) ] - 2πf0 C = 0
2
Z0 = 28,9 Ω
2
2
1
1
−
LC (R1C)2
(2πf0) LC = C - LG1
Verlustfrei wird der Zweipol für R1 = ∞ oder G1 = 0, dann gilt:
f0V =
1
= 41,1 Hz
2π LC
L
Z0V = 0
C
(Kurzschluß)
Verlustfreier Schwingkreis im Resonanzfall
I
L
UL
C
UC
IC
U
UL
I
C
U
IC
ϕ I,U=0
U =0
L
IL
ϕ I,U=0
I =0
I
U
UC
f0 =
IL
1
2π LC
f0 =
Y0 = ∞
Z0 = 0
Kurzschluß
1
2π LC
Y0 = 0
Z0 = ∞
Unterbrechung
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56
4 Gleichstrommaschinen
4.1 Prinzip der Stromwendermaschine (hier als Motor)
Annahme:
Läufer im homogenen Feld mit B.
Kraft in gezeigter Stellung
F=B⋅N⋅I⋅ "
N
F
N⋅I
α
Tangentialkraft
Ft = B ⋅ N ⋅ I ⋅ " ⋅ cos α
Drehmoment
M = 2 ⋅ r ⋅ Ft
= 2 ⋅ r ⋅ B ⋅ N ⋅ I ⋅ " ⋅ cos α
I
r
I
"
Maxima des Moments bei
α = 00 und 1800 (cos α = ±1).
F
S
Nullstellen des Moments bei
α = 900 und 2700 (cos α = 0).
B, Φ
Liegt die Wicklung in Nuten,
greift F am Umfang des Läufer-Blechpakets an.
0
0
Das Drehmoment wechselt bei α = 90 und 270 das Vorzeichen.
Eine Drehrichtungsumkehr muß hier durch Umpolen des Stroms verhindert
werden.
Dies erledigt der Kommutator (= Kollektor + Bürsten) mechanisch
zwangsgesteuert.
M
Drehmomentverlauf
über dem Drehwinkel
bei Kommutierung in
den Nullstellen:
o
-90
o
0
o
90
o
180
o
270
α
Probleme:
Die Nullstellen verhindern einen Anlauf an diesen Läuferpositionen.
Dort wird auch die Betriebsspannung über die Bürsten kurzgeschlossen.
Das pulsierende Drehmoment würde einen unruhigen Motorlauf ergeben.
Aus diesen Gründen ist die Konstruktion mit 2 Kollektorlamellen unbrauchbar.
Abhilfe:
Größere Zahl von Wicklungen und Kollektorlamellen, damit die
Kommutierung vor dem Erreichen der Nullstellen durchgeführt
werden kann.
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57
Beispiel: 5-teiliger Kollektor
Wicklungsanordnung im Läufer
Schaltung der Wicklungen
im Vieleck
Pro Läuferumdrehung wird 10 mal kommutiert.
Situation in der gezeichneten Stellung:
• die Wicklungen 1, 2, 3, 4 sind stromdurchflossen
• 6 stromdurchflossene Wicklungsstränge von 8 sind im Magnetfeld und tragen zur
Drehmomentbildung bei
• die Wicklung 5 ist über eine Bürste kurzgeschlossen, jedoch stromlos, da keine
Spannung induziert wird
• die Strombelegung der Wicklung beträgt 80 %
• die Stromausnutzung beträgt 75 %
• diese Werte steigen mit der magnetischen Umschließung des Läufers und mit der
Lamellenzahl
Drehmomentverlauf:
M
M fast konstant
o
-90
o
0
o
90
o
180
o
270
o
0 usw.
α
Da die Kommutierung jeweils an den Schnittpunkten benachbarter Cosinusbogen
stattfindet, erhält man das Drehmoment wie rechts gezeigt aus der
Maximalwertkurve.
Wählt man die Lamellenzahl hinreichend groß, so gilt folgende Näherung, die dem
Modell im nächten Abschnitt zugrunde liegt:
cos α ≈ 1,
also M ≈ 2 ⋅ r ⋅ B ⋅ N ⋅ I ⋅ "
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58
4.2 Modell der idealen Stromwendermaschine
Anschlußwiderstand und Verlustmoment sind nicht berücksichtigt.
N ⋅ I = Strombelag, gegeben durch die bestromten Windungen.
Bei großer Lamellenzahl ist er über dem Drehwinkel α konstant.
Er wird durch mehrere Wicklungsstränge gebildet.
I
Schaltzeichen:
U0
inneres Moment:
induzierte Spannung (EMK)
U0 = 2 ⋅ N ⋅ B ⋅ " ⋅ v
= 2 ⋅ N ⋅ B ⋅"⋅ r ⋅ ω
Mi = (2 ⋅ r ⋅ " ⋅ N) ⋅ B ⋅ I
=
min
⋅n⋅B
60 ⋅ s
min
⋅
⋅n⋅B
9,55 ⋅ s
= (2 ⋅ r ⋅ " ⋅ N) ⋅ 2π ⋅
⋅B⋅I
K
=
K
Motorkonstante K = 2 ⋅ r ⋅ " ⋅ N
min


⋅ B ⋅ n
U0 =  K ⋅
 9,55 ⋅ s 
= (K ⋅ B) ⋅ I
Mi
Mi
= KT ⋅ I
U0
= KE ⋅ n
KT und KE sind sinnvoll bei konstantem B, z.B. bei Dauermagneterregung.
Bei elektischer (Fremd-) Erregung mit dem Strom Ie wird B = KF ⋅ Ie gesetzt.
Drehmomentkonstante
KT = K ⋅ B =
Mi ΔM
=
I
ΔI
Spannungskonstante
KE = K ⋅
(1)
U
min
ΔU
⋅B = 0 =
9,55 ⋅ s
n
Δn
(2)
daraus:
KT =
Mi =
9,55 ⋅ s
⋅KE
min
9,55 ⋅ s U0
⋅
⋅I
min
n
KE =
(3)
U0 =
(4)
min
⋅KT
9,55 ⋅ s
min Mi
⋅
⋅n
9,55 ⋅ s I
(3a)
(4a)
Leistungsbetrachtung
min
min
(5)
= Mi ⋅ n ⋅
60 ⋅ s
9,55 ⋅ s
Mi aus (4) eingesetzt ergibt
Pmech = Mi ⋅ ω = Mi ⋅ n ⋅ 2π ⋅
Pmech = U0 ⋅ I
Die mechanische Leistung der idealen (verlustfreien) Maschine ist gleich der
elektrischen Leistung
Diese bildet den Kern der folgenden realen Maschinenversionen
Motor und Generator unterscheiden sich durch Umkehr von Moment u. Strom
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59
4.3 Nebenschlußmaschine ohne Verlustmoment
Maschinenschaltung
II
Ie
R
RF
Erregung
durch
Feldspule
oder
Dauermagnet
U
Ersatzschaltbild
I
Bei Dauermagneterregung kann
der Motor nur mit Gleichstrom
betrieben werden, bei
elektrischer Erregung auch mit
Wechselstrom, da dann sowohl
Feld als auch Ankerstrom
umpolen und die Drehrichtung
somit nicht wechselt.
Die Induktivität des Ankers wird
hier vernachlässigt.
R
R⋅⋅I
U0
U
4.3.1 Maschinengleichungen
U = U0 + R ⋅ I
( U = U0 - R ⋅ I
Motor
Generator )
U = KE ⋅ n + R ⋅ I
mit (2)
mit (1)
n =
U − R ⋅I
KE
n =
R ⋅ Mi
U
−
KE KE ⋅K T
mit (3)
Mi = 0:
n = 0:
n =
R ⋅ M ⋅ min
U
− 2 i
K E K E ⋅ 9,55 ⋅ s
n =
R ⋅ M ⋅ min
U
+ 2 i
K E K E ⋅ 9,55 ⋅ s
Motorkennlinie
(6)
Generatorkennlinie
n0i = U / KE
(7)
MAi = KT ⋅ U / R
IA = U / R
(8)
innere Leerlaufdrehzahl
inneresAnlaufmoment (Mot.)
Anlaufstrom (bei U0 = 0)
4.3.2 Maschinenkennlinien (Motor) und Methoden zur Drehzahlverstellung
B und R konstant
Parameter U
n,I
IA
Steigung -R /(K E K T)
Steigung 1/K T
2U
B und U konstant
Parameter R
U und R konstant
Parameter B
n
n
n0i
n0i
schw acher M agnet
I
n0i
U
B
R
M Ai M i
M Ai
Mi
M Ai M i
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60
4.4 Nebenschlußmaschine mit Verlustmoment (U konstant)
Das Verlustmoment Mv setzt sich zusammen aus dem Reibmoment der Lager, der
Luftreibung des Läufers, den Hystereseverlusten im Eisen und den Wirbelstromverlusten in Eisen und Wicklung.
Es wird unabhängig von der Drehzahl konstant angenommen.
Im Kennlinienfeld wird der Nullpunkt des Moments um Mv nach rechts versetzt.
4.4.1 Kennlinien
n, I
2(no+nv)
nv
IA
2no+nv
n+no+nv
bei 2U
noi=no+nv
nv
I
no Leerlaufdrehzahl
n
Io Leerlaufstrom
-Mv
bei U
M
0
MA
M
an Welle
Mi
4.4.2 Maschinengleichungen
nach dem Strahlensatz:
n
nv
= 0
Mv MA
Verlustdrehzahl nv
n v = n0 ⋅
I
Mv
U
= n0 ⋅ 0 =
− n0
MA
I A − I0 K E
daraus:
Verlustmoment Mv
Mv = MA ⋅
I0
= K T ⋅ I0
I A − I0
und
I − I0
= K T ⋅ (I − I0 )
I A − I0
Moment M
M = MA ⋅
nach dem Strahlensatz:
n
n
= 0
MA − M MA
Drehzahl n
n = n0 ⋅
Wirkungsgrad η
η=
MA − M
I −I
= n0 ⋅ A
MA
I A − I0
PWelle M ⋅ ω M ⋅ n 2π ⋅ min
=
=
⋅
Pzu
U ⋅I
U ⋅I
60s
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61
4.4.3 Bestimmung des Wirkungsgrad-Maximums
durch Einsetzen erhält man:
η = MA ⋅
I − I0 1
I − I 2π ⋅ min
⋅ ⋅ n0 ⋅ A
⋅
I A − I0 I
I A − I0 U ⋅ 60s
die konstanten Faktoren werden in k zusammengefaßt:
(I − I0 )(IA − I)
I ⋅I
⋅ k = (IA − 0 A − I + I0 ) ⋅ k
I
I
dη  I0 ⋅ I A

=  2 − 1 ⋅ k
dI  I

η=
Ableitung
Wirkungsgrad-Maximum für dη / dI = 0:
Iopt = I0 ⋅ I A
ηmax = η ( Iopt )
Mopt = M ( Iopt )
nopt = n ( Iopt )
damit ist
Darstellung im Kennlinienfeld:
n, I
2(no+nv)
nv
2no+nv
IA
η (2U)
ηopt
bei 2U
noi=no+nv
nv
no Leerlauf
η (U)
I
Iopt
nopt
Leerlaufstrom I0
Pmax
-Mv
0
bei U
Mopt
MA
M
an Welle
Mi
Die Motorkennlinien können aus 2 Meßpunkten vollständig berechnet werden
Die maximale Wellenleistung Pmax erhält man bei ´Leistungsanpassung´,
also bei
M = MA / 2
bzw.
n = n0 / 2
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62
4.4.4 Beispiel zur Nebenschlußmaschine
An einem Motor mit Dauermagneterregung werden folgende Werte gemessen
Versorgungsspannung
Leerlaufstrom
Lastpunkt
U = 20 V
I0 = 200 mA
n = 3000 / min
I = 2,3 A
M = 10 Ncm
gesucht:
a) Drehmomentkonstante
KT =
M
10 Ncm
=
⋅
= 4,76 Ncm / A
I − I0 2,1 A
b) Spannungskonstante
KE =
min
0,0476 Nm ⋅ min
⋅KT =
⋅
9,55 ⋅ s
9,55
A ⋅s
KE = 4,984 mV ⋅ min
c) Verlustmoment
Mv = KT ⋅ I0 = 4,76 ⋅ 0,2 Ncm = 0,95 Ncm
d) Anschlußwiderstand
R=
e) Anlaufstrom
IA = U / R = 9,1 A
f) Anlaufmoment
MA = KT (IA - I0) = 4,76 ⋅ 8,9 Ncm = 42,4 Ncm
g) Wellenleistung
Pab = M ⋅ 2πn ⋅ min / 60s = 31,4 W
h) Wirkungsgrad
η = Pab / U ⋅ I = 68,3 %
i) Leerlaufdrehzahl
n0 = n ⋅
k) Verlustdrehzahl
nv = n0 ⋅ Mv / MA = 88 / min
l) maximale Leistung
Pmax =
M A n 0 2π ⋅ min
⋅ ⋅
= 43,6 W
2 2
60s
m) optimaler Strom
Iopt =
I0 ⋅ I A = 0,2 ⋅ 9,1 A = 1,35 A
n) optimales Moment
Mopt = KT(Iopt - I0) = 4,76⋅1,15 Ncm = 5,5 Ncm
o) optimale Drehzahl
U − KE ⋅n
20 − 4,984 ⋅ 3
=
Ω = 2,2 Ω
I
2,3
MA
= 3926 / min
MA − M
n opt
M A − Mopt
nopt = n0 ⋅
p) max. Wirkungsgrad
ηmax =
=
n0
MA
M A − Mopt
MA
= 3417 / min
Mopt ⋅ n opt ⋅ 2π ⋅ min
U ⋅ Iopt ⋅ 60s
= 72,9 %
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63
4.5 Hauptschlußmotor
Der Zusammenhang zwischen der
Flußdichte B im Luftspalt und dem Strom I
wird durch die Feldkonstante KF in das
Gleichungssystem eingebracht
I
UF
R
I
RF
Feldkonstante KF = B / I
Maschenregel:
U
UB
UB = U + UF
= U0 + R ⋅ I + RF ⋅ I =
UB = (
min
⋅ K ⋅ n ⋅ B + (R + RF) ⋅ I
9,55 ⋅ s
min
⋅ K ⋅ K F ⋅ n + R + RF) ⋅ I
9,55 ⋅ s
n =
9,55 ⋅ s
(UB / I - R - RF)
min⋅ K ⋅ K F
aus (1):
I =
Mi
Mi
Mi
=
=
K ⋅B K ⋅KF ⋅I
K ⋅KF
damit:
n =
9,55 ⋅ s
(UB
min⋅ K ⋅ K F
Leerlauf (Mi → 0):
n→∞
Anlauf (n = 0):
MAi =
K ⋅KF
Mi
- R - RF) ∼ (UB
K ⋅KF
Mi
- R - RF)
Der Motor "geht durch"
Begrenzung nur durch das Verlustmoment
2
Kennlinien (UB = konst.)
K ⋅ K F ⋅ UB
∼ UB2 starke Spannungsabhängigkeit
2
(R + R F )
Anwendungsgebiete
Nebenschlußmotor:
Antriebe hoher Drehzahlkonstanz
Servoantriebe
wegen Linearität ideal zu regeln
Hauptschlußmotor:
ökonomische Herstellung
Feldwicklung
reduziert Läuferspannung
unterdrückt Funkstörungen
Haushaltgeräte wie
Staubsauger, Bohrmaschinen
Antriebe mit hoher Drehzahl und
hohem Anlaufmoment
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