W¨ARMELEITUNGS GLEICHUNG finde die Lösung der

WÄRMELEITUNGS GLEICHUNG
finde die Lösung der Wärmeleitungs Gleichung
(0.1)
4uxx = ut
u(0, t) = 0 = u(3, t)
for t > 0
u(x, 0) = 9/4 − (x − 3/2)2
Die Gleichung beschreibt wie die Wärme sich in einem Stab (länge 3 Einheiten)
mit gekühlten Enden verteilt, wenn die Anfangsverteilung durch die Funktion 9/4−
(x − 3/2)2 gegeben ist.
Wir finden eine Lösung mit der Methode: die Trennung der Veränderliche. Wir
suchen eine Lösung der Form:
u(x, t) = X(x)T (t)
wobei X (bzw. T ) eine Funktion nur der Veränderliche x (bzw. t) ist. Wenn wir
u(x, t) = X(x)T (t) in die Gleichung (0.1) einsetzen, bekommen wir
4X 00 (x)T (t) = X(x)T 0 (t).
Wir sammeln alle Funktionen von x auf einer Seite, und all Funktionen von t auf
der anderen:
4X 00 (x)
T 0 (t)
=
.
X(x)
T (t)
Bemerke jetzt dass eine Funktion die nur von x abhängig ist steht auf der linken
Seite, während eine Funktion die nur von t abhängig ist auf der rechten steht. Das
ist nur möglich wenn beide Seite eine Konstante sind! Also, setzen wir
(0.2)
(0.3)
4X 00 (x)
=λ
X(x)
T 0 (t)
= λ.
T (t)
1
2
WÄRMELEITUNGS GLEICHUNG
Gleichungen wie (0.2) und (0.3) haben wir in der ersten Paar Wochen des Kurses
untersucht. Für (0.3) haben wir
T0
=λ
T
Z
Z 0
T
dt = λdt
T
ln |T | = λt + cλ
|T | = cλ eλt .
Bemerke dass cλ in der letzen Zeile nicht dieselbe Konstante als die in der vorletzten,
trotzdem nennen wir die beiden cλ (was zählt ist das wir eine Konstante haben).
Für verschieden λ haben wir verschiede Gleichungen, und verschiedene Konstante
(cλ ).
Und jetzt eine physikalische Bedingung. Wir nehmen an das der Stab keine
Wärme Quelle hat, und kühlt sich ab. Mit der Zeit muss dann das Temperatur 0
sein! Dann muss λ unbedingt negativ sein: λ < 0, sonst würde der Stab wärmer
und wärmer.
Dann wissen wir T hat die Darstellung:
T = cλ e−|λ|t
(0.4)
(ohne Betrag, weil die ± auch als Teil der Konstante betrachtet werden kann).
Für (0.2) haben wir
4X 00 = λX
4X 00 − λX = 0
1
D2 − λ X = 0
4
1√
1√
D−
λ
D+
λ X = 0.
2
2
Da λ < 0 ist, haben wir negativ Zahlen unter den Wurzeln, die zur komplexen
Zahlen führen:
D−
ip
|λ|
2
ip
D+
|λ| X = 0
2
deren Lösungen die Form
(0.5)
X(x) = c2,λ cos
1p
1p
|λ|x + c3,λ sin
|λ|x
2
2
haben. Und jetzt die Bedingungen in x = 0: X(0) = 0 gibt
0 = c2,λ
WÄRMELEITUNGS GLEICHUNG
3
und in x = 3: X(3) = 0 gibt
1p
1p
|λ|3 + c3,λ sin
|λ|3
2
2
p
1
|λ|3
( weilc2,λ = 0).
=c3,λ sin
2
0 =c2,λ cos
Die Funktion sin hat Nullstellen in θ = nπ für eine ganze Zahl n, also muss
1p
|λ|3 = nπ.
2
Da die linke Seite > 0, ist n > 0.
Wir stellen nach λ um:
|λ| =
4n2 π 2
9
und von (0.5) haben wir die Lösungen
(0.6)
X(x) = c3,λ sin
nπ x
3
und für T (von (0.4)):
T = cλ e −
4n2 π 2
9
t
die, zusammen, uns (eine) Lösung für u(x, t), die von λ abhängig ist geben:
uλ (x, t) =X(x)T (t)
nπ c3,λ sin
x
3
2
2
4n π
nπ
=cn e− 9 t sin
x
3
=cλ e−
4n2 π 2
9
t
(wir nennen die Konstante cλ c3,λ einfach cn , da wir eine Konstante, die von n
abhängig ist haben (weil λ selbst abhängig von n ist).
Natürlich für jede ganze Zahl n > 0 haben wir eine Lösung, und die allgemeine
Lösung ist....
(0.7)
u(x, t) =
X
cn e−
4n2 π 2
9
t
sin
n>0
nπ x .
3
Und endlich die Anfangsbedingung um t = 0:
u(x, 0) = 9/4 − (x − 3/2)2 .
Mit t = 0 in (0.7) haben wir
u(x, 0) =
X
n>0
cn sin
nπ x .
3
Wir suchen deshalb eine Entwicklung von 9/4 − (x − 3/2)2 nur mit dem Sinus. Die
Funktion 9/4 − (x − 3/2)2 ist nur definiert auf [0, 3]. Solche Entwicklung erzeugen
wir in dem wir 9/4 − (x − 3/2)2 als eine ungerade Funktion auf [−3, 3] fortsetzen.
4
WÄRMELEITUNGS GLEICHUNG
Das gibt uns eine neue Funktionen:

−9/4 + (x + 3/2)2
9/4 − (x − 3/2)2
−3 ≤ x ≤ 0
0 ≤ x ≤ 3.
Die FourierTrigSeries dieser Funktion haben wir mit Mathematica berechnet als
72 sin πx
8 sin (πx) 72 sin 5πx
3
3
+
+
+ ··· .
π3
3π 3
125π 3
Mathematica gibt auch einen Kurzweg (wie immer) mit dem man die Funktion
9/4−(x−3/2)2 auf [0, 3] nur mit Sinus, mit dem Befehl FourierSineSeries, entwickeln
kann.
Bemerkung: es gibt auch in Mathematica den Befehl ”FourierCosSeries”, mit
dem man die Entwicklung nur mit dem Cosinus erzeugen kann (diese entspricht
eine gerade Fortsetzung auf [−3, 3]).
Man kann alle Konstante der Sinusentwicklung per Hand mit der Formel
RL
2 0 f (x) sin nπx
dx
L
cn =
L
berechnen, was wir auch mit Mathematica berechnet haben:
18(−2 + (−1)n )
n3 π 3
36
= 3 3 (1 − (−1)n ).
n π
cn = −
Also, die Konstante cn in der Formel (0.7) sind durch
cn =
36
(1 − (−1)n )
n3 π 3
gegeben.
Die Lösung mit der Anfangsbedingung lautet:
u(x, t) =
nπ 36 X (1 − (−1)n ) − 4n2 π2 t
9
e
sin
x .
π 3 n>0
n3
3