Berechnungen an allgemeinen Dreiecken Aufgabe 1: Lösung

Berechnungen an allgemeinen Dreiecken
Aufgabe 1:
Gegeben ist das folgende allgemeine Dreieck.
Bestimme alle fehlenden Seiten und Winkel.
a) Gegeben ist:
a = 10,25, b = 6,98, α = 31,41°
b) Gegeben ist:
a = 5,9, α = 49,7°, β = 53,33°
c) Gegeben ist:
b = 3,72, c = 1,27, α = 62,3°
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Lösung:
a)
1. Berechne β mit Sinussatz:
b:a = sin(β) : sin(α) => sin(β) = b : a · sin(α)
sin(β) = 6,98 : 10,25 · sin(31,41°) => β = 20,79°
2. Berechne γ mit Winkelsummensatz:
γ = 180° - α - β = 180° - 31,41° - 20,79°
γ = 127,8°
3. Berechne Seite c mit Sinussatz:
c:a = sin(γ) : sin(α) => c = a · sin(γ) : sin(α)
c = 10,25 · sin(127,8°) : sin(31,41°) = 15,54
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b)
1. Berechne γ mit Winkelsummensatz:
γ = 180° - α - β = 180° - 49,7° - 53,33°
γ = 76,97°
2. Berechne Seite b mit Sinussatz:
b:a = sin(β) : sin(α) => b = a · sin(β) : sin(α)
b = 5,9 · sin(53,33°) : sin(49,7°) = 6,2
3. Berechne Seite c mit Sinussatz:
c:a = sin(γ) : sin(α) => c = a · sin(γ) : sin(α)
c = 5,9 · sin(76,97°) : sin(49,7°) = 7,54
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c)
1. Kosinussatz: a² = b² + c² - 2bc · cos(α)
a² = 3,72² + 1,27² - 2·3,72·1,27·cos(62,3°)
a = 3,33
2. Berechne β mit Sinussatz:
b:a = sin(β) : sin(α) => sin(β) = b : a · sin(α)
sin(β) = 3,72 : 3,33 · sin(62,3°) => β = 82,06°
3. Berechne γ mit Winkelsummensatz:
γ = 180° - α - β = 180° - 62,3° - 82,06°
γ = 35,64°
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d)
1. Berechne γ mit Winkelsummensatz:
γ = 180° - α - β = 180° - 18,36° - 61,8°
γ = 99,84°
2. Berechne Seite a mit Sinussatz:
a:b = sin(α) : sin(β) => a = b · sin(α) : sin(β)
a = 5,38 · sin(18,36°) : sin(61,8°) = 1,92
3. Berechne Seite c mit Sinussatz:
c:b = sin(γ) : sin(β) => c = b · sin(γ) : sin(β)
c = 5,38 · sin(99,84°) : sin(61,8°) = 6,01
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e)
1. Berechne γ mit Sinussatz:
c:a = sin(γ) : sin(α) => sin(γ) = c : a · sin(α)
sin(γ) = 1,48 : 3,6 · sin(55,83°) => γ = 19,49°
2. Berechne β mit Winkelsummensatz:
β = 180° - α - γ = 180° - 55,83° - 19,49°
β = 104,68°
3. Berechne Seite b mit Sinussatz:
b:a = sin(β) : sin(α) => b = a · sin(β) : sin(α)
b = 3,6 · sin(104,68°) : sin(55,83°) = 4,21
d) Gegeben ist:
b = 5,38, α = 18,36°, β = 61,8°
e) Gegeben ist:
a = 3,6, c = 1,48, α = 55,83°