Textskript 05 - Fakult at f ur Physik

Kapitel 3
Stern-Gerlach Versuch
Konkrete Anwendung der Quantenmechanik. Musterbeispiel für ein Quantensystem
mit 2 Zuständen. Ein Experiment, das klassisch nicht zu verstehen ist. Radikale Abweichung von der klassischen Physik.
Hintergrund: Bei hoher Auflösung zeigen Spektrallinien von atomarem Wasserstoff
eine Aufspaltung: ,,Feinstruktur”. Auf der Basis des Stern-Gerlach-Experimentes
(1922) postuliert Pauli (1925): dem Elektron kann eine weitere Quantenzahl zugeordnet werden, diese Quantenzahl kann zwei Werte annehmen. Goudsmith & Uhlenbeck
(1925): diese Quantenzahl beschreibt den Eigendrehimpuls des Elektrons, Spin.
Wir betrachten ein Teilchen, das einen Drehimpuls S und damit verbunden ein
magnetisches Moment M besitzt:
M = γS =
ge
S.
2m
(3.1)
Die Größe γ nennen wir das gyromagnetische Verhältnis, g ist der g-Faktor des
Elektrons, m und e sind die Masse und die Ladung (e < 0) des Elektrons. Innerhalb
einer Genauigkeit von 2% ist g = 2. Die Energie eines Dipols im Magnetfeld ist
W = −M · B = − (Mx Bx + My By + Mz Bz ) .
(3.2)
Der magnetische Dipol erfährt in einem inhomogenen Magnetfeld die Kraft
� = −∇W
�
F
=−
�
dW dW dW
,
,
dx dy dz
�
.
Stern und Gerlach konnten 1922 diese Kraft, die in ihrem Experiment auf ein Hüllenelektron des Silberatoms wirkt, bestimmen. Dabei fanden sie den Eigendrehimpuls (Spin)
des Elektrons, mit dem ein magnetisches Moment verbunden ist. Das Experiment wurde 1927 von Phipps und Taylor mit atomarem Wasserstoff wiederholt und bestätigt.
3.1
Aufbau des Experimentes
Silber hat 47 Elektronen, davon 46 in abgeschlossenen Schalen, 1 Leuchtelektron, das
aber keinen Bahndrehimpuls hat. Das magnetisches Kernmoment ist sehr klein und
wird in dieser Betrachtung vernachlässigt. Ein Atomofen (O) emittiert Silberatome in
die y-Richtung. Ein Geschwindigkeitsselektor
57
58
KAPITEL 3. STERN-GERLACH VERSUCH
präpariert einen monoenergetischen
Atomstrahl. Entlang der z-Richtung
besteht ein inhomogenes Magnetfeld
(M ). Auf die Silberatome wirkt damit
eine Kraft in z-Richtung:
Fz = −Mz
!
"
#
dB
.
dz
(3.3)
$
Atome treffen auf einen Schirm (D), wo sie als Schwärzung beobachtet werden. Bei
bekanntem Magnetfeldgradienten kann aus der Ablenkung auf die Komponente des
magnetischen Momentes Mz geschlossen werden.
Wir gehen davon aus, dass das Silber Atom einen festen Wert für |M| besitzt und
dass der Vektor M im Atomstrahl isotrop verteilt vorliegt.
Klassische Präzession: Das Drehmoment auf das Atom ist
D = M × B,
die Änderung des Drehimpulses
dS
= D = γS × B .
dt
Das System verhält sich wie ein Kreisel: dS/dt steht senkrecht auf S. Der Drehimpulsvektor S bewegt sich um B und seine zu B parallele Komponente bleibt erhalten. M
dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um B, mit der Larmour Frequenz.
Die Werte Mx , My sind im zeitlichen Mittel gleich Null. Voraussetzung dafür ist, dass
die Präzessionszeit viel kürzer ist als die Flugzeit durch das inhomogene Magnetfeld.
Weiters setzen wir voraus, dass der Betrag des Magnetfeldes viel größer ist als die
Änderung des Magnetfeldes entlang der Trajekorie des Atoms.
Für einen gut kollimierten Ag-Strahl hat man punktförmige Wellenpakete, die sich
entlang einer klassischen Bahn bewegen. Klassisch erwartet man dann, dass alle Raumrichtungen für M erlaubt sind. Damit führt die Kraft (3.3) zu maximalen Ablenkungen
gemäß Mz = M · ez = ±|M|. Klassisch erwartet man bis zu dieser Maximalablenkung
eine kontinuierliche Spur am Schirm.
Beobachtet wurden aber zwei diskrete Silberablagerungen.
Schlussfolgerungen
• Wir müssen das klassische Bild verwerfen nach dem der Vektor S beliebige
Winkel mit dem Magnetfeld einnehmen kann.
• Unter der Annahme, dass mit dem magnetischen Moment ein Drehimpuls verbunden ist, folgt daraus: Der Drehimpuls der Silberatome kann nur zwei diskrete, quantisierte Werte einnehmen. Die Aufspaltung in zwei Teilstrahlen
nannte man Raumquantisierung.
• Die Observable Sz (der Wert des z-Komponente des magnetischen Momentes
bzw. Drehimpulses) ist eine gequantelte physikalische Größe.
• Das System zeigt ein Spektrum mit zwei diskreten Werten.
• (Endergebnis) Die Eigenwerte dieses Drehimpulses sind ±h̄/2 .
Der Spin des Elektrons ist 1/2.
• Der Spin hat kein klassisches Analogon und lässt sich nicht mit anschaulichen
Koordinaten in Verbindung bringen.
59
3.2. DER MESSPROZESS
3.2
Der Messprozess
In einer klassischen Betrachtung gehen wir davon aus, dass für ein physikalisches System eine objektive Realität existiert, die uns bekannt wird, wenn wir eine Messung
durchführen. Der Messvorgang bedarf einer Vorrichtung, die mit dem System wechselwirkt. Es ist notwendig, dass diese Messung das System in gewisser Weise stört um
das Messergebnis zu erhalten. Trotz dieser (im allgemeinen kleinen) Störung geht man
davon aus, dass die gemessene Eigenschaft objektiv existiert ehe die Beobachtung
durchgeführt wird. Die Quantenphysik ist dagegen inkompatibel mit der Annahme,
dass die Messung eine uns unbekannte Eigenschaft entdeckt, die das Teilchen schon
vor seiner Beobachtung real besitzt.
!
"
!
!
$
#
Das Ergebnis des Stern-Gerlach Versuches ist deshalb aus klassischer
Sicht sehr überraschend, wenn wir
den Versuch dreimal, mit MagnetfeldGradienten jeweils unter 120o gedreht
durchführen.
Bisher lag der Gradient des Magnetfeldes entlang der z-Richtung, e1 . Beobachtet wurde ein effektiver Wert Mz = M · e1 = ±|M|. In den beiden anderen Fällen hätten wir
als Ergebnis erhalten: M2 = M · e2 = ±|M| bzw. M3 = M · e3 = ±|M|.
Wegen e1 + e2 + e3 = 0 ist klassisch der Ausgang des Gedankenexperimentes nicht
erklärbar, da die linke Seite von
Mz + M2 + M3 = M (e1 + e2 + e3 ) = 0
(3.4)
sicher nicht Null ergibt. Die Problematik entsteht, da wir das System als unabhängig
von der Meßapparatur behandelt haben. Diese Wechselwirkung führt während der
Messung zu einer plötzlichen Änderung des Zustandsvektors in einen anderen (Analoge
Überlegungen gelten auch bei der Beobachtung der Polarisation eines Photons ).
Sobald wir den Komponenten eines Vektors, der kontinuierlich rotierbar ist diskrete
Werte zuordnen, kann die Bedeutung dieser diskreten Werte keine objektive Eigenschaft des Vektors sein, die unabhängig vom Meßprozess schon besteht. Der Meßprozess
ist keine passive Bestandsaufnahme.
• Das Atom im SG-Versuch ist als Wellenpaket anzusehen.
• Seine Trajektorie ist im Ort sehr gut definiert.
• Diese Trajektorie teilt sich im Magneten in zwei Pfade, die mit der Quantenzahl
ms = ±1/2 beschrieben werden können und die ununterscheidbar sind.
• Erst bei der Messung (am Schirm) entscheidet sich zufällig in welchen OrtsZustand das Atom übergeht.
• Lediglich die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Zustandes lässt sich angeben.
• Wenn keine besonderen Vorbereitungen getroffen werden, dann ist Hälfte der
Treffer spin-up, |+� , und die andere Hälfte der Treffer spin-down, |−�.
• Im strikten Sinn ist die Quantenmechanik nichts anderes als ein Satz von Regeln mit denen Physiker die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses eines makroskopischen Tests vorhersagen. Dieser Befund wird eindringlich klar, wenn wir
sequentielle Stern-Gerlach Experimente durchführen.
60
KAPITEL 3. STERN-GERLACH VERSUCH
3.3
Sequentielle Stern-Gerlach Experimente
Die Anordnung mit dem Magnetfeld entlang der z-Richtung nennen wir SGẑ. Wenn
wir die Magnetfeldanordnung um die Strahlrichtung (y) drehen und das Experiment
wiederholen, dann finden wir die Ablagerungen am Schirm um diesen Winkel gedreht.
Nach einer Drehung um 90o zeigt der Magnetfeldgradient in die Richtung der x-Achse
und wir beobachten eine Aufspaltung des Strahles in zwei Teilstrahlen, die jetzt in
x-Richtung aufgespalten sind. Diese Magnetfeldanordnung nennen wir SGx̂.
Jetzt schalten wir mehrere SG-Anordnungen hintereinander.
a) Zuerst spalten wir mit einer SGẑ Anordnung entlang der z-Richtung auf und
selektieren mit einer Blende den Eigenzustand Sz+ . Diese schicken wir durch
eine zweite SGẑ Anordnung. Wir finden keine weitere Aufspaltung.
Nur die Komponente Sz+ erscheint am Ausgang.
Dieses Bild ergibt sich nur, wenn im Bereich zwischen beiden SG-Anordnungen
ein magnetisches Führungsfeld (wie klein auch immer, entlang z) vorliegt, das
sein Vorzeichen nicht ändert. Ansonsten kann es zu einem Spin-Flip (Majorana
Übergang) kommen und beide Komponenten erscheinen.
b) Zuerst spalten wir mit einer SGẑ Anordnung entlang der z-Richtung auf und
selektieren mit einer Blende die Komponente Sz+ . Diesen Teilstrahl schicken wir
durch eine zweite Anordnung, diesmal aber SGx̂. Das Ergebnis dieses Versuches
ist
Zwei Komponenten, Sx+ und Sx− , erscheinen am Ausgang.
c) Von den beiden Komponenten Sx+ und Sx− am Ausgang des letzten Experimentes selektieren wir den Teilstrahl Sx+ und schicken ihn durch eine weitere SGẑ
Anordnung.
Zwei Komponenten, Sz+ und Sz− erscheinen am Ausgang.1
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+0 -
3.3.1
Analogie mit der Polarisation von Licht
Wir überlegen uns die spektrale Zerlegung von polarisiertem Licht. In einem Experiment schicken wir monochromatisches Licht entlang der z-Richtung, das Licht ist
linear, entlang dem Einheitsvektor x̂ polarisiert.
E = E0 x̂ cos(kz − ωt) .
1 Wir
hatten doch Sz− schon am Ausgang der ersten Anordnung ausgeblendet!
(3.5)
61
3.3. SEQUENTIELLE STERN-GERLACH EXPERIMENTE
Wenn das Licht entlang ŷ linear polarisiert ist, schreiben wir
E = E0 ŷ cos(kz − ωt) .
(3.6)
Jetzt schicken wir unpolarisiertes Licht durch einen Polarisationsfilter, orientiert entlang x̂. Damit selektieren wir eine Komponente gemäß Gl.(3.5). Dann gehen wir durch
ein Filter, das entlang ŷ orientiert ist. Wir haben gekreuzte Polarisatoren mit dem
Ergebnis: dunkel.
unpol →
x̂
Filter
− x̂ →
ŷ
Filter
→ dunkel
Nun intervenieren wir nach dem x̂-Filter mit einem Filter entlang x̂� . Seine Richtung
ist um 45o gegen x̂ gedreht. Nach dem ŷ-Filter ist es jetzt hell!
unpol. →
x̂
− x̂ →
Filter
x̂�
− x̂� →
Filter
ŷ
→ hell
Filter
Aus diesem Befund ziehen wir die Analogie:
|Sz +� − Atom
|Sz −� − Atom
←→
←→
x̂ − Polarisation
$!
$! "
$# "
ŷ − Polarisation
$#
|Sx +� − Atom
|Sx −� − Atom
←→
←→
�
x̂ − Polarisation
ŷ� − Polarisation
Licht, das entlang x̂� polarisiert ist, beschreiben wir als Überlagerung zweier Vektoren,
einer entlang x̂ und einer entlang ŷ:
E0 x̂� cos(kz − ωt)
=
E0 ŷ� cos(kz − ωt)
=
E0
√ (+x̂ + ŷ) cos(kz − ωt)
2
E0
√ (−x̂ + ŷ) cos(kz − ωt)
2
(3.7)
Der Strahl aus dem x̂-Polarisator ist eine Überlagerung von x̂� und ŷ� Komponenten.
Wenn wir die Korrespondenz auf das 3-Filter SG-Experiment anwenden, dann
liegt es nahe den Spinzustand des Silber-Atoms durch einen (ungewohnten) zweidimensionalen Vektorraum darzustellen. So wie wir in Gl.(3.7) x̂ und ŷ als Basisvektoren zur Zerlegung von x̂� und ŷ� polarisiertem Licht verwendet haben, könnten
wir |Sx ±� Vektoren als Linearkombination der Basis |Sz +� und |Sz −� darstellen:
|Sx +�
=
|Sx −�
=
1
√
2
1
√
2
�
�
�
|Sz +� + |Sz −�
(3.8)
|Sz +� − |Sz −�
(3.9)
�
Damit beschreiben wir die unblockierte Komponente aus dem 2. Analysator in Experiment c) als eine Superposition von |Sz +� und |Sz −�. Deshalb erscheinen am Ende
wieder 2 Komponenten.
Wie beschreiben wir aber die |Sy ±� Vektoren? Aus Symmetriegründen erwarten wir,
dass eine SGŷ Anordnung als dritter Filter auch zwei Strahlen liefert. Wir suchen
also eine Überlagerung von |Sz +� und |Sz −� für |Sy ±�. Die zwei möglichen Linearkombinationen haben wir aber schon für |Sx ±� in Gleichung 3.8 und 3.9 aufgebraucht!
62
KAPITEL 3. STERN-GERLACH VERSUCH
Dabei hilft eine Analogie mit zirkular polarisiertem Licht. Bei zirkular polarisiertem
Licht sind die x- und y-Komponenten um 900 ausser Phase2 :
�
E0
E= √
2
x̂ cos(kz − ωt) + ŷ cos(kz − ωt +
�
π
) .
2
(3.10)
Eleganter ist die Darstellung in komplexer Schreibweise wobei Re{E} = E. Dann
werden die rechts- und links-zirkular polarisierten Strahlen durch3
Er
=
El
=
E0
√
2
E0
√
2
�
�
x̂ei(kz−ωt) + i ŷei(kz−ωt)
x̂ei(kz−ωt) − i ŷei(kz−ωt)
beschrieben. Mit der Analogie
|Sy +� − Atom
|Sy −� − Atom
←→
←→
�
�
(3.11)
rechts − zirkular
links − zirkular
erhalten wir
�
1 �
|Sy ±� = + √ |Sz +� ± i |Sz −� .
2
(3.12)
Im Folgenden schreiben wir der Einfachheit halber für die Basiszustände |Sz +� und
|Sz −� nur |+� und |−�. Damit wird die Entwicklung der Eigenvektoren der Observablen
Sx und Sy in der z-Basis, |+�, |−�:
|Sx ±�
=
|Sy ±�
=
1
+√
2
1
+√
2
�
�
�
|+� ± |−�
(3.13)
�
|+� ± i |−�
(3.14)
Meist wird das wie folgt angeschrieben (das Subskript gibt die Basis an und wird für
die z-Basis nicht explizit angeschrieben)
|±�x
=
|±�y
=
1
+√
2
1
+√
2
�
�
�
|+� ± |−�
(3.15)
�
|+� ± i |−�
(3.16)
Allgemein gilt für die Eigenvektoren der Komponente Sn von S nach einer Drehung4
in Richtung des Einheitsvektors n̂ unter den Polar- und Azimutalwinkeln θ, φ
3.3.2
|+�n
=
|−�n
=
θ
+ cos e−iφ/2 |+� + sin
2
θ
− sin e−iφ/2 |+� + cos
2
θ iφ/2
e
|−�
2
θ iφ/2
e
|−� .
2
Interpretation mit Spinmatrizen
Wir haben der Spinkomponente Sz eine Observable Sz zugeordnet. Die Beobachtung
zeigt, dass diese Observable die beiden Eigenwerte +h̄/2 und −h̄/2 besitzt. Zu diesen gehören die orthonormierten Eigenvektoren |+� und |−�. Postulate, im folgenden
Kursiv angeschrieben, besitzen Gültigkeit, weil man mit ihnen Vorhersagen treffen
kann, die mit dem Experiment übereinstimmen. Um das Stern-Gerlach Experiment
durch ein mathematisches Modell zu beschreiben, müssen wir physikalischen Größen
mathematische Objekte zuordnen:
2 Es gibt keine Konvention ob rechts- oder links-zirkularpolarisiertes Licht die Phase um +
oder - verschoben hat.
3 Wir verwenden die Identität i = eiπ/2 .
4 Siehe dazu C. Cohen-Tannoudji, Vol.II 9.4.
63
3.3. SEQUENTIELLE STERN-GERLACH EXPERIMENTE
Der Zustand des physikalischen Systems im SG-Experiment wird in einen
zweidimensionalen Hilbert-Raum Hs repräsentiert. Dieser Raum wird durch die
beiden orthogonalen Eigenvektoren |+� und |−� aufgespannt.
Wir beobachten eine grosse Anzahl von Ag-Atomen. Wir ordnen dem Zustand eines
Atoms (eigentlich dem Eigendrehimpuls des Leuchtelektrons im Ag-Atom) den Vektor
|Ψ� ∈ Hs mit der Normierung �Ψ|Ψ� = 1 zu. Anschaulich bedeutet im Stern-Gerlach
Experiment der eine Zustand Spin nach oben, der andere Spin nach unten (obenunten orientiert sich an der Richtung des Magnetfeldgradienten). Der allgemeine Zustandsvektor im Spin-Raum Hs ist eine lineare Superposition dieser beiden Vektoren:
|Ψ� = a |+� + b |−�
wobei |a|2 + |b|2 = 1.
Im Experiment beobachten wir Messgrössen, Observable. In unserem Fall sind die
Observablen die Energie der Silberatome im Magnetfeld und ihr Drehimpuls. Die Eigenwerte der Observablen Sz sind +h̄/2 und −h̄/2. Die Messung der z-Komponente
entspricht der Anwendung des (Mess)-Operators Sz auf die Wellenfunktion
1
Sz |Ψ� = ± h̄ |Ψ� .
2
(3.17)
Wir suchen einen Formalismus, der uns diese Beziehung automatisch liefert. Das geht
am besten mit Matrizen5 . Wir beschreiben den Operator für die z-Komponente des
Spins durch die Matrix
h̄
h̄
σz =
2
2
Sz =
�
1
0
�
0
−1
(3.18)
Dabei ist σz eine von drei (2×2) Paulimatrizen. Die Matrix Sz liefert den beobachteten
Befund (3.17), wenn wir für die Eigenvektoren des Spins schreiben
|+� =
� �
1
0
|−� =
und
� �
0
1
.
wobei �+|+� = �−|−� = 1 und �+|−� = 0. Die Vollständigkeitsrelation in diesem Fall
lautet |+��+| + |−��−| = 1. Der allgemeine (normierte) Zustandsvektor im Spinraum
Hs ist eine lineare Superposition der beiden ket-Vektoren mit komplexen Koeffizienten
a und b:
|Ψ� = a |+� + b |−� =
� �
a
b
.
Analog können wir auch die x- und y-Komponenten messen und ihnen die Observablen
Sx bzw. Sy zugeordnen. In der oben definierten {|+� , |−�} -Basis werden diese durch
die hermiteschen 2 × 2 Matrizen
Sx
=
h̄
h̄
σx =
2
2
Sy
=
h̄
h̄
σy =
2
2
�
�
0
1
1
0
0
i
−i
0
�
(3.19)
�
,
(3.20)
dargestellt, die als Paulimatrizen σx und σy bezeichnet werden.
5 Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Größen oder Ausdrücken, die als Einheit
betrachtet wird und bestimmten Rechenregeln unterliegt, z. B. ergibt die (2 × 2) Matrix M
mal dem zweidimensionalen Vektor v den neuen zweidimensionalen Vektor v � :
M ·v =
�
a
c
b
d
� �
·
x
y
�
=
�
ax + by
cx + dy
�
= v� .
64
KAPITEL 3. STERN-GERLACH VERSUCH
Die Observable Spin können wir zu dem Tensor
h̄
h̄
S = �σ =
2
2
�
σx
σy
σz
�
zusammenfassen. Der Spin S ist ein Vektoroperator mit drei Komponenten, genauso
wie der Ort r oder der Impuls p. Im Gegensatz zu Ort und Impuls sind aber die Komponenten von S keine gewöhnlichen Operatoren, die auf Funktionen wirken, sondern
2 × 2 Matrizen, welche die Komponenen der Spinoren linear transformieren.6
Da es sich bei dem Spin um einen Drehimpuls handelt, gelten für die Komponenten des
Drehimpulses Vertauschungsregeln, die von den Größen (3.18, 3.19 und 3.20) erfüllt
werden:7
σy σz − σz σy = [σy , σz ] = 2 i σx .
(3.21)
Wir bilden auch
S2
=
Sx2 + Sy2 + Sz2
=
h̄2
4
=
��
3 2
h̄
4
�
1
0
0
1
1
0
0
1
�
+
�
�
1
0
0
1
�
+
�
1
0
0
1
��
Wenden wir den Operator S 2 auf eine beliebige Spineigenfunktion des Elektrons an,
erhalten wir für den Eigenwert ( s = 1/2 ):
S 2 |Ψ� = s(s + 1) h̄2 |Ψ� .
3.4
(3.22)
Spin im homogenen Magnetfeld
Unser Silberatom sei in einem homogenen Magnetfeld, B = {0, 0, B0 }. Die klassische
potentielle Energie des magnetischen Dipolmomentes ist
W = −M.B = −Mz B0 = −γB0 Sz .
Wir führen die Larmour-Frequenz ein
ω0 = −γB0 = −
ge
B0 .
2m
(3.23)
Wenn wir die Observable Sz als Operator interpretieren, erhalten wir für den HamiltonOperator8 .
H = ω0 Sz
(3.24)
Für ein zeitlich konstantes Magnetfeld ist die Schrödinger Gleichung
H|Ψ� = E|Ψ�
6 Für �
σ gelten die Rechenregeln eines dreikomponentigen Vektors, wir müssen nur beachten,
dass die Komponenten des Vektors Matrizen sind (Reihenfolge bei der Multiplikation spielt
eine Rolle).
7 Für das Produkt gilt
8 die
�
a11
a21
a12
a22
� �
·
b11
b21
b12
b22
�
=
�
a11 b11 + a12 b21
a21 b11 + a22 b21
a11 b12 + a12 b22
a21 b12 + a22 b22
�
kinetische Energie des Teilchens, das den Spin trägt, p2 /2m spielt hier keine Rolle.
65
3.4. SPIN IM HOMOGENEN MAGNETFELD
wobei die Eigenvektoren von H dieselben wie die von Sz sind:
H|+�
=
H|−�
=
h̄ω0
|+�
2
h̄ω0
−
|−� .
2
+
Wir erhalten also zwei Eigenwerte der Energie
h̄
E+ = + ω0
2
und
h̄
E− = − ω 0
2
(3.25)
Die Eigenwerte unterscheiden sich energetisch um h̄ω0 . Die Größenordnung der Aufspaltung beträgt 26.8 GHz/T esla. Da γ < 0 liegt E+ höher.
Die Eigenwerte des Sz -Operators sind
Sz |+�
=
Sz |−�
=
h̄
+ |+�
2
h̄
− |−�
2
10
GHz
wobei
0
���
�10
Diese Eigenwerte bezeichnet man mit der
magnetischen Spinquantenzahl,
ms = ±1/2
���
20
�20
s± = ±ms h̄ .
0.0
0.5
1.0
Tesla
1.5
2.0
In der Elektronenspinresonanz Methode (ESR) induziert man mittels eines äußeren
Wechselfeldes (bei der Frequenz ω0 ), das senkrecht zur Magnetfeldachse eingestrahlt
wird, Übergänge zwischen beiden Spinkomponenten.
3.4.1
Larmour-Präzession im homogenen Feld
Um die Bewegung des Spins in einem sich zeitlich ändernden Feld zu verstehen bzw. um
die Erwartungswerte der einzelnen Spinkomponenten zu veranschaulichen, untersuchen
wir die zeitabhängige Schrödingergleichung:
H |Ψ� = ih̄
d
|Ψ� .
dt
(3.26)
Halten wir das Magnetfeld Bz konstant, so schreibt sich Gl.(3.26) mit dem Hamiltonian
(3.24)
ω0 Sz |Ψ� = ih̄
d
|Ψ� .
dt
Eine allgemeine Lösung ist
|Ψ(t)� = ae−iω0 t/2 |+� + be+iω0 t/2 |−� .
(3.27)
Die Bedeutung dieses Zustandsvektors sehen wir, wenn wir die Erwartungswerte des
Spinoperators bilden. In der Dirac-Schreibweise ist der Erwartungswert der Observablen A:
�A� = �Ψ|A|Ψ�
(3.28)
Rezept für die Bildung des Erwartungswertes des Spinoperators Sz :
1. wir nehmen den Zustandsvektor in Gl.(3.27) (das ket wird als Spaltenvektor
geschrieben)
|Ψ� = α |+� + β |−� =
� �
α
β
=
�
ae−iω0 t/2
be+iω0 t/2
�
(3.29)
66
KAPITEL 3. STERN-GERLACH VERSUCH
2. wir lassen darauf den Meßoperator wirken (die quadratische Matrix Sz ):
Sz |Ψ� =
h̄
2
�
1
0
0
−1
�� �
α
β
h̄
2
=
�
α
−β
�
.
(3.30)
3. wir multiplizieren das Ergebnis von links mit dem konjugiert komplexen Zustandsvektor (das bra wird als Zeilenvektor geschrieben):
�Ψ| Sz |Ψ� =
h̄
(α , β)∗
2
�
α
−β
�
=
Da a und b Zahlen sind, bedeutet dies:
�Sz � =
�
h̄ � 2
|α| − |β|2 .
2
(3.31)
�
h̄ � 2
a − b2 = Konstante .
2
(3.32)
“Der Erwartungswert der Sz -Komponente ergibt sich als zeitlich konstant.”
Für den Erwartungswert der x- und die y-Komponenten finden wir:
�Sx �
=
h̄
(α , β)∗
2
�Sy �
=
h̄
(α , β)∗
2
�
�
�� �
0
1
1
0
0
i
−i
0
α
β
= a b h̄ cos ω0 t ,
�� �
α
β
= a b h̄ sin ω0 t .
(3.33)
”Diese Erwartungswerte rotieren mit der Winkelgeschwindigkeit ω0 .
Dies entspricht einer Präzession des Spins um die Magnetfeldachse.”
3.4.2
Spin-Resonanz
Wir betrachten den Fall, dass unser Spin in einem konstanten Magnetfeld B = {0, 0, B0 }
präzessiert und wir senkrecht dazu, entlang der x-Achse mit einem oszillierenden Magnetfeld, Bx = B1 cos ωt, versuchen, den Spin umzuklappen. Das konstante Magnetfeld führt zu einer Aufspaltung der beiden Spineinstellungen um h̄ω0 = γB0 . Wenn das
oszillierende Magnetfeld die Frequenz ω = ω0 hat kann es zum Umklappen des Spins
kommen. Kommt es zum Umklappen, dann wird dem Magnetfeld Energie entzogen,
was wiederum detektiert werden kann. Der Umklappprozess findet in beiden Spineinstellungen mit gleicher Wahrscheinlichkeit statt, ein Absorptionssignal entsteht also
nur, wenn die Zustände (Spin up und Spin down) ungleich besetzt sind. Das Signal
ist proportional zum Besetzungsunterschied, N− − N+ . Die Temperatur regelt das Besetzungsverhältnis in den beiden Spinzuständen. Gemäß der Boltzmann Verteilung ist
kB T im Vergleich zur Energieaufspaltung, h̄ω0 maßgeblich, N+ /N− = 1−e−h̄ω0 /(kB T ) .
Deshalb das Bestreben möglichst hohe Magnetfelder, B0 , zu verwenden.
0.502
B�1 Tesla
0.500
���
0.498
B�1 Tesla
0.005
ESR signal
thermal population
0.010
���
0.504
0.002
0.001
5 � 10�4
0.496
10
20
50
100
temperature �K�
200
500
2 � 10�4
10
20
50
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