Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lernwerkstatt Mathematik
Februar 2003
Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Das vorliegende Papier ist ein Diskussionspapier. Die Definitionen und Begrifflichkeiten sind den hinten genannten Büchern entnommen
Bei dem Vergleich der unterschiedlichen Bücher stellt man fest, dass die Begriffe
nicht einheitlich verwendet wurden. Daher wird hier nur ein Diskussionsvorlage geliefert. Durch die Bearbeitung können sich Veränderungen ergeben.
Zwei grundsätzliche Verfahren
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind zwei unterschiedliche Vorgehensweisen üblich, die sich inhaltlich ergänzen.
1. Die statistische Auswertung eines Zufallsversuchs. Uns kommt es oft
so vor, dass die 6 beim Würfeln nicht so häufig vorkommt, wie die anderen Zahlen. Unsere Erwartung verändert die Sichtweise. In diesem
Fall lässt sich mit einfachen Mitteln ein Zufallsversuch statistisch auswerten.
2. Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lässt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses dadurch bestimmen, dass man die Regeln
und Gesetzmäßigkeiten der Wahrscheinlichkeitsrechnung anwendet.
Es sind einige Grundannahmen zu machen, auf deren Grundlage dann
Schlüsse gezogen werden können. Diese Wahrscheinlichkeitsrechnung
kommt ohne das Zufallsexperiment aus.
Beim Werfen mit Schweinchen, Gogos, Legosteinen und Reißzwecken weiß man
nicht im Voraus, was herauskommt. Es bedarf erst einer Versuchsreihe, um zu einer
Hypothese zu kommen. Hier liegt in jedem Fall eine aposteriori-Wahrscheinlichkeit
vor (a posteriori = aus der Erfahrung stammend). Bei Laplace-Versuchen sowie auch
beim Kreiseln mit beliebigen Flächen liegt dagegen eine apriori-Wahrscheinlichkeit
vor (a priori = von vornherein). Hier lassen sich Annahmen treffen (etwa über Gleichverteilung von Flächen bzw. über den Vergleich von Flächengrößen).
Absolute und relative Häufigkeiten
Absolute und relative Häufigkeiten werden bei einem Zufallsexperiment erfasst. Wird mit einem Würfel 30 mal gewürfelt und dabei erscheint 4 mal die
Zahl 6, so bezeichnet man die absolute Häufigkeit mit Hn(a) in unserem Fall
mit H30(6) = 4.
Absolute und relative Häufigkeiten werden üblicherweise in Tabellen erfasst.
Beim Würfeln interessiert man sich in der Regel für das Auftreten einer Sechs. Die
absoluten und relativen Häufigkeiten werden in der Tabelle erfasst.
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Nummer
1
2
3
4
Würfelergebnis
3
4
1
6
4
5
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Ereignis?
Nein
Nein
Nein
Ja
Nein
Abs. Häufigkeit
0
0
0
1
1
Relative Häufigkeit
0 von 1
0
0 von 2
0
0 von 3
0
1 von 4
0,25
1 von 5
0,2
Gesetz der großen Zahlen
Das Gesetz der großen Zahlen bezieht sich auch wieder auf ein Zufallsexperiment und seine statistische Auswertung. Im oberen Beispiel wurde 556 mal
gewürfelt. Die Wahrscheinlichkeit, die man für das Auftreten einer 6 beim Würfeln annehmen würde, ist 1/6 . Mit dem oben beschriebenen Versuch erhält
man eine noch ungenaue Annäherung an die Wahrscheinlichkeit bei angenommener Gleichwahrscheinlichkeit aller Ereignisse. Das Gesetz der großen
Zahlen besagt, dass man mit wachsendem n eine immer bessere Annäherung
an die tatsächliche Wahrscheinlichkeit erhält. Diese Annäherung kann man
graphisch darstellen.
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
526
491
456
421
386
351
316
281
246
211
176
141
106
71
36
1
0
Ergebnis, Ergebnisraum; Ereignis
Mit einem Würfel kann ich die Augenzahlen 1,2,3,4,5 und 6 würfeln. Mit jedem
Wurf erhalte ich ein Ergebnis dieses Zufallsversuchs. Die Menge {1,2,3,4,5,6}
bilden zusammen den Ergebnisraum. Den Ergebnisraum bezeichnet man
auch als Stichprobenraum und kürzt ihn mit S ab.
Man kann aber verschiedene Ergebnisse dieses Zufallsversuchs zusammenfassen und ein Ereignis definieren. Das Ereignis beschreibt also die Erwartungshaltung desjenigen, der den Zufallsversuch durchführt. Ein Ereignis lässt
sich also fast beliebig formulieren:
E1: Zahl 6 oder Zahl 3
E4: gerade Zahl
E2: ungerade Zahl
E5: Zahl größer 9
E3: Zahl größer 4
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Ein Ergebnis kann ein Ereignis sein. Es kann aber auch sein, dass mehrere Ergebnisse zu einem Ereignis zusammengefasst werden. Zum Ereignis gehört immer ein
Gegenereignis. Von einem Gegenergebnis zu sprechen ist ziemlich unsinnig .
Wenn in einer Schublade sechs blaue, zehn schwarze, drei weiße und fünf graue
einzelne Socken liegen, so beträgt der Ergebnisraum 24 Socken. Die einzelne Socke
wird mit der Wahrscheinlichkeit
1
herausgenommen. Das ist ein Ergebnis. Da ich
24
aber nicht mit einer einzelnen Socke losspazieren will (meine Erwartungshaltung) und
außerdem Wert auf ein gleiches Paar lege, wäre ein Ereignis "zwei gleichfarbige
Socken".
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Von einem Laplace-Experiment spricht man, wenn die Ergebnisse alle gleichwahrscheinlich sind. Diese Gleichwahrscheinlichkeit bestimmt man i.d.R.
durch die geometrische Anordnung des Zufallsgeräts. Als Gegenbeispiel sei
die Reißzwecke genannt. Das Fallen der Reißzwecke auf die beiden unterschiedlichen Seiten wird nicht mit der gleichen relativen Häufigkeit auftreten.
Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird mit einem Zahlenwert zwischen
Null und Eins beschrieben. Der Zahlenwert Null beschreibt das unmögliche
Ereignis, der Zahlenwert Eins die Gewissheit.
In unserem Beispiel – wir warten auf das Würfelergebnis „6“ – ist die Wahrscheinlichkeit 1/6.
E
Anzahl der zum Ereignis E gehörenden Ergebnisse
=
P( E ) =
S
Anzahl aller möglichen Ergebnisse
P steht für „probability“
E beschreibt ein Ereignis
S ist der Stichprobenraum, die Menge aller Ergebnisse
In der Schule reicht bis Klasse 8 möglicherweise diese an mathe live (6;8) angelegte
Darstellungsweise. Welchen Sinn macht es, in der Formel mit Betragszeichen zu
hantieren?
Anzahl der günstigen Ergebnisse
Anzahl der möglichen Ergebnisse
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Gegenwahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E und seine Gegenwahrscheinlichkeit E ergänzen sich zum Zahlenwert 1.
P( E ) + P( E ) = 1
P( E ) = 1 − P( E )
Die Gegenwahrscheinlichkeit gibt die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses an.
Weil die Chance aus meinem oben angegebenen Sockensortiment die gleiche Farbe
zu ziehen bei ca. 26 % liegt, sollte ich lieber das Licht anmachen. In ungefähr drei
von vier Fällen tritt das Gegenereignis ein ("zwei verschiedenfarbige Socken"). Die
Gegenwahrscheinlichkeit beträgt also ca. 74 %.
Erwartungswert
Unter Zufallsgrößen versteht man die Zahlenwerte, die den Ergebnissen eines Zufallsversuches zugeordnet werden. Werden die Zufallsgrößen mit ihren
Wahrscheinlichkeiten multipliziert, so heißt die Summe dieser Produkte Erwartungswert des Zufallsversuches.
Nur bei bestimmten Versuchen ist es sinnvoll, von einem Erwartungswert zu sprechen. In der Regel geschieht dies, wenn man ein Gewinnspiel beschreibt. Das Auftreten eines oder mehrerer Ereignisse wird dann mit einem Gewinn verknüpft. Nehmen wir an, man würfelt mit einem Würfel und erhält beim Auftreten einer 1 und einer
6 jeweils 10 Cent. Mindestens 50 Prozent der Einnahmen aus diesem Glückspiel
sollen wieder ausgezahlt werden. Wie viel muss ein Teilnehmer beim Würfeln bezahlen?
Der Versuch wird durch das Ereignis E (Auftreten einer 6 oder einer 1) beschrieben.
P(E) ist 0,33... Man erhält also im Durchschnitt einen Gewinn pro Spiel von
0,333.. · 10 Cent = 3,33.. Cent. Diesen durchschnittliche Gewinn pro Spiel nennt man
Erwartungswert. Die Versuchsperson sollte also 5 Cent pro Spiel bezahlen.
Additionsregel
Wir formulieren ein Ereignis, das auf mehren Wegen zu Stande kommen
kann. E = „eine 6 oder eine 5 würfeln“. Das formulierte Ereignis besteht also
aus den Ergebnissen „eine 5 würfeln“ (E5) und „eine 6 würfeln“ (E6).
In diesem Fall gilt die einfache Additionsregel. Es können die Wahrscheinlichkeiten für die Elementarereignisse addiert werden.
P( E ) = P( E5 oderE6 ) = P( E5 ) + P( E6 )
Verallgemeinerung der Additionsregel
Die eben formulierte Additionsregel gilt nicht immer. Handelt es sich nicht um
Elementarereignisse, deren Gesamtwahrscheinlichkeit bestimmt werden soll,
so müssen die Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse nicht unabhängig
sein. In diesem Fall gilt nicht die einfache Additionsregel. (Beispiel: E1: Würfeln einer geraden Zahl, E2: Würfeln einer Zahl größer 4)
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Die Verallgemeinerung der Additionsregel wird im Normalfall in der Sekundarstufe I nicht von Bedeutung sein. Daher wird hier auf weitere Ausführungen
verzichtet.
Mengenschreibweisen und Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Mehrstufige Zufallsversuche
Ein mehrstufiger Zufallsversuch ist in der Regel eine Nacheinanderausführung
mehrerer Versuche. Diese Hintereinanderausführung kann auch zeitgleich
erfolgen. Der Versuch wird dann gedanklich in zwei Teilversuche zerlegt. Als
mehrstufigen Zufallsversuch kann man das Ziehen mehrerer gefärbter Bälle
aus einer Urne betrachten. Hier kann die Ziehung gleichzeitig erfolgen, aber
gedanklich nacheinander ausgeführt werden.
Eine geeignete Darstellung für einen mehrstufigen Zufallsversuch ist das
Baumdiagramm. Dies sei
an einem Beispiel erläutert.
Eine Urne enthält zwei
schwarze und drei weiße
Bälle. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit beim
Ziehen zweier Bälle zwei
schwarze Bälle zu ziehen? Es handelt sich
hierbei um einen Versuch
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ohne Zurücklegen der gezogenen Kugeln.
Das Baumdiagramm kann vervollständigt werden und die für das Ereignis
günstigen Fälle werden ausgezählt.
Ich bleibe bei den Socken. Die Sockensuche ist per se ein zweistufiger Zufallsversuch, solange ich Wert darauf lege, zwei Socken anzuziehen.
Am Beispiel der Sockensuche kann gut deutlich gemacht werden, was unter der Additions- und Multiplikationsregel zu verstehen ist.
blau
6
24
5
23
schwarz
blau
9
23
schwarz
2
23
weiß
10
24
3
24
weiß
5
24
grau
4
23
Mit der Wahrscheinlichkeit von
grau
6
5
⋅
erwische ich ein Paar blaue Socken.
24
23
Die Wahrscheinlichkeit überhaupt zwei gleichfarbige Socken zu erhalten errechnet
sich über:
6 5 10 9
3 2
5 4
30
90
6
20 146
⋅ +
⋅ +
⋅ +
⋅
=
+
+
+
=
≈ 26, 4%
24 23 24 23 24 23 24 23 552 552 552 552 552
Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert (Pfadmultiplikationsregel).
Setzt sich bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ein Ereignis aus verschiedenen
Pfaden zusammen, so erhält man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses durch Addition der einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten (Pfadadditionsregel).
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M.a.W.: Weil man zwei Socken haben will, handelt es sich um einen mehrstufigen
Versuch. Da blaue, schwarze, weiße und graue Socken in der Schublade sind, ist von
vier Pfaden auszugehen. Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis "zwei
gleichfarbige Socken" ergibt sich aus der Multiplikation der jeweiligen Wahrscheinscheinlichkeiten.
Im gegebenen Fall muss eine Summe aus vier zweifaktorigen Produkten gebildet
werden.
Baumdiagramme
Baumdiagramme sind häufig für die Sek I das grundlegende Arbeitsmittel, um
Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln. Sie haben eine übersichtliche Struktur und
einfach Regeln sind zu erkennen. Dies sei an folgendem Beispiel gezeigt:
Mit zwei Würfeln wird gleichzeitig gewürfelt. Um sie besser unterscheiden zu können,
haben beide Würfel unterschiedliche Farben (rot und blau). Man untersucht das Ereignis: „Augensumme 8“. Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieses Ereignis
zu erwarten?
Zunächst betrachtet
Blauer
man diesen ZufallsverW ürfel
such als zweistufigen
Zufallsversuch. Obwohl
die Würfel gleichzeitig
geworfen werden, trennt
man diesen Vorgang
gedanklich und definiert
einen (den roten) Würfel
als ersten. Man erhält
folgendes Baumdiagramm:
Ein solches Baumdiagramm enthält wichtige
Regeln. Bewegt man
sich entlang eines Pfades, so werden die
Wahrscheinlichkeiten
der einzelnen Stufen
multipliziert (Pfadmultiplikationsregel), wenn
man die Wahrscheinlichkeit einer Würfelanordnung aus zwei
Würfeln bestimmen will.
Die Wahrscheinlichkeiten in einer Ebene lassen sich immer zur Gewissheit 1 addieren.
Roter
W ürfel
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Wahrscheinlichkeit 1
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Für das gleiche Ereignis lässt sich ein vereinfachtes Baumdiagramm
zeichnen. Es ist leicht einsichtig, dass sich bei vielstufigen Zufallsversuchen
vollständige Baumdiagramme nicht mehr zeichnen lassen. In diesen Fällen
werden auf jeder Stufe die günstigen Ergebnisse und die jeweiligen
Gegenereignisse (mit der Gegenwahrscheinlichkeit) dargestellt. Die Pfadregel
kann nach wie vor angewandt werden.
Blauer W ürfel
R oter W ürfel
E
1
1
x
2
6
3
5
4
4
5
3
6
2
1
1
6
1
6
2
1
6
3
1
6
1
6
1
6
4
5
6
1
6
E
5
6
E
1
6
E
5
6
E
1
6
E
5
6
E
1
6
E
5
6
E
1
6
E
5
6
E
Grundlegendes Zählprinzip
Für die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten ist die Bestimmung der Größe
des Stichprobenraums von grundlegender Bedeutung. In dem obigen
Urnenbeispiel gibt es 4 ⋅ 5 = 20 unterschiedliche Versuchausfälle. Wir erhalten
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in der ersten Stufe 5 verschiedene Versuchsausfälle, in der zweiten Stufe 4
Möglichkeiten. Die Größe des Stichprobenraums ergibt sich als Multiplikation
der Versuchsausfälle der einzelnen Stufen.
Betrachten wir noch einmal das Würfel-Beispiel. Mit zwei Würfeln soll gewürfelt werden (blauer und roter Würfel). Beschäftigt man sich mit der Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine 8 zu würfeln, so kommt man auf verschiedene Zahlenkombinationen, wie sie in dem verkürzten Baumdiagramm dargestellt wurden. Immer wieder
entsteht bei Schülerinnen und Schülern die Frage, ob die Kombinationen 5,3 und 3,5
identisch sind. Die Betrachtungsweise als mehrstufiger Zufallsversuch klärt diese
Schwierigkeit: Hier werden die einzelnen Würfelergebnisse wohl unterschieden (erster und zweiter Würfel, roter und blauer Würfel). Das grundlegende Zählprinzip gibt
Auskunft über die verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten aller möglichen Würfelergebnisse: 6·6 = 36 Der Ereignisraum besteht also aus 36 möglichen Ergebnissen.
Unabhängige und abhängige Zufallsversuche
Mehrstufige Zufallsversuche können abhängig oder unabhängig sein. Wird der
nachfolgende Teilversuch durch den vorangegangenen Teilversuch
beeinflusst, so spricht man von einem abhängigen mehrstufigen Zufallsversuch. Ein unabhängiger mehrstufiger Zufallsversuch ergibt sich sinngemäß.
Als Beispiel kann gut das Urnenziehen von Kugeln verwendet werden. Wird
die gezogene Kugel zurückgelegt, so spricht man von einem unabhängigem
Zufallsversuch.
Das oben mehrfach strapazierte Sockenproblem ist ein abhängiger Zufallsversuch
("ohne Zurücklegen"). Was hätte es auch für einen Sinn, zunächst eine Socke zu suchen und die dann wieder zurückzulegen? In gleicher Weise ist die Ziehung der Lottozahlen (6 aus 49) ein abhängiger Zufallsversuch, während die Ziehung der Zahl im
Spiel 77 ein mehrstufiger unabhängiger Zufallsversuch ist: auf jeder Stufe ist eine
Dezimalstelle zu bestimmen, die 0,1,...,9 heißen kann. Dabei könnte theoretisch auch
zigmal die gleiche Ziffer stehen.
Beim abhängigen Zufallsversuch gibt die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse die
Anzahl der Stufen an. Was heißt das? Aus der Schublade mit 24 Socken kann ich nur
vierundzwanzigmal eine einzelne Socke ziehen. Danach ist alles verteilt.
Beim unabhängigen Zufallsversuch gibt es so viele Stufen, wie ich haben möchte. Im
Extremfall eben unendlich viele (Sisyphus).
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Das Thema ist umfassender. Hier ein kurzer, nicht abschließender Ausblick:
Frauen B
Männer
¬B
Raucher A
200
500
700
Nichtraucher ¬ A
300
400
700
500
900
1400
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In einem Unternehmen arbeiten Männer und Frauen, diese sind Raucher und
Nichtraucher. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine rauchende Frau
auszulosen?
Der Zufallsversuch besteht darin, eine Person zufällig auszulosen. Dadurch
wird auf S eine Wahrscheinlichkeit P definiert.
S = Menge aller Betriebsangehörigen
A = Menge aller Raucher
P (A) =
A 1
= =50%
S 2
P (B) =
B 500
=
=35,7%
S 1400
P (A ∩ B) =
B = Menge aller Frauen
(A ∩ B)
= 14,3%
S
PB ... Menge aller Frauen als Stichprobenumfang
PA ... Menge aller Raucher als Stichprobenumfang
PA(B) ... Wahrscheinlichkeit, dass ein Raucher eine Frau ist
PB(A) ... Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau Raucherin ist
Statt PB(A) ist auch P (A | B) als Schreibweise geläufig (gelesen:
Wahrscheinlichkeit für A unter der Bedingung B).
Also: PB(A) = P (A | B)
200
P(A ∩ B) 1400 2
PB(A) = P (A | B) =
=
= =40%
500 5
P(B)
1400
Literatur:
Althoff, Heinz: Wahrscheinlichkeitsrechung und Statistik, Metzler
Diepgen, R.: Mathematik Stochastik, Cornelsen
Engel, Arthur: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Bd. I, Klett, Stuttgart
1973
Randow, Gero von: Das Ziegenproblem, Denken in Wahrscheinlichkeiten,
Reinbek 1992
Strick, Heinz Klaus: Einführung in die Beurteilende Statistik, Schroedel,
Hannover 1998
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