Basiswissen 7. Klasse

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1. Achsen- und Punktsymmetrie
Zueinander symmetrische Punkte können durch Kongruenzabbildungen
(= Abbildungen, bei denen Form und Größe von Figuren gleich bleiben)
aufeinander abgebildet werden. Achsen- und Punktspiegelung sind solche
Kongruenzabbildungen (auch: Drehung und Verschiebung).
Achsensymmetrie: Wird ein Punkt P einer Figur an einer Symmetrieachse a
gespiegelt wird, entsteht der Punkt P’. Die Strecke [PP’] wird durch die
Symmetrieachse senkrecht halbiert. In zueinander achsensymmetrischen Figuren
bleiben Größen entsprechender Winkel und Längen entsprechender Strecken gleich
groß. Die Orientierung, also der Umlaufsinn von Figuren und der Drehsinn von
Winkeln, ist entgegengesetzt. Alle Punkte, die von P denselben Abstand haben wie
von P‘, liegen auf der Symmetrieachse a von P und P‘.
Achsensymmetrie:
⤹
Konstruktion des Bildpunktes:
Konstruktionsbeschreibung:
1. Wähle auf der Symmetrieachse a zwei
beliebige Punke A und B.
2. Zeichne zwei Kreise k1 und k2 jeweils um
die Punkte A und B, die beide durch den zu
spiegelnden gewählten Punkt P verlaufen.
3. Die Kreislinien k1 und k2 schneiden sich
dann im Punkt P und im Bildpunkt P‘.
k2
k1
1
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David Jobst
Konstruktion der Symmetrieachse:
Konstruktionsbeschreibung:
S1
1. Zeichne zwei Kreise k 1 und k 2 mit
demselben Radius jeweils um die Punkte A
und B. Der Radius muss groß genug sein, so
dass sich die Kreislinien schneiden.
2. Die Symmetrieachse a verläuft durch die
Schnittpunke S1 und S2 der Kreise und ist
senkrecht zur Geraden g, die durch die
Punkte A und B geht.
g
S2
k1
a
k2
Punktsymmetrie: Halbiert das Symmetriezentrum Z die Verbindungsstrecke
zwischen zwei Punkten, so liegen diese punktsymmetrisch zum Symmetriezentrum
Z. In zueinander punktsymmetrischen Figuren bleiben Größen entsprechender
Winkel und Längen entsprechender Strecken gleich groß. Außerdem werden
Strecken auf dazu parallele Bildstrecken abgebildet (z.B. [AB] || [A‘B‘]). Die
Orientierung, also der Umlaufsinn von Figuren und der Drehsinn von Winkeln, ist
gleich.
Punktsymmetrie:
⤹
⤹
2
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David Jobst
Konstrunktion des Bildpunktes:
Konstruktionsbeschreibung:
1. Zeichne einen Kreis k um Z mit dem Radius
r = ZP.
2. Zeichne eine Gerade a durch P und Z.
3. Der Schnittpunkt von k mit a ist der
Bildpunkt P‘ von P.
a
k
Konstruktion des Symmetriezentrums ≙ Konstruktion des Mittelpunkts einer
Strecke:
Konstruktionsbeschreibung:
k2
k1
1. Zeichne zwei Kreise k1 und k2 mit gleichem
Radius um A und B.
2. Die Schnittpunke S1 und S2 bestimmen die
Gerade g.
3. Der Schnittpunkt von g mit der Geraden AB
ist Z. Z ist der Mittelpunkt von [AB].
S1
g
S2
2. Symmetrische Vierecke
Basis
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el
enk
3
Sch
zwei zueinander parallele Seiten (= Basen)
zwei Seiten sind gleich lang (= Schenkel)
eine Symmetrieachse = Mittelsenkrechte
zwei Paare gleich großer Winkel (Winkel an
derselben Basis sind gleich groß)
- Winkel an den Schenkeln ergeben zusammen 180°
-
Sch
enk
el
Gleichschenkliges Trapez:
.
Basis
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Parallelogramm:
- punktsymmetrisch zum Diagonalenschnittpunkt Z
- Diagonalen halbieren sich gegenseitig
- gegenüberliegende Seiten sind gleich
Z
.
lang und parallel
- gegenüberliegende Winkel sind gleich groß
- benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°
Rechteck:
- zwei Symmetrieachsen (jeweils die Mittelsenkrechten der
Seiten)
- punktsymmetrisch zum Diagonalenschnittpunkt
- Diagonalen stehen senkrecht aufeinander
- gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel
- vier rechte Winkel
→ Das Rechteck ist ein Sonderfall des gleichschenkligen Trapezes
bzw. des Parallelogramms.
.
Drachenviereck:
- eine Symmetrieachse (eine der beiden Diagonalen)
- zwei Paare gleich langer Seiten
- ein Paar gleich großer Winkel
Raute:
zwei Symmetrieachsen (die beiden Diagonalen)
punktsymmetrisch zum Diagonalenschnittpunkt
vier gleich lange Seiten
Diagonalen stehen senkrecht aufeinander
gegenüberliegende Seiten sind parallel zueinander
gegenüberliegende Winkel sind gleich groß
→ Die Raute ist ein besonderes Drachenviereck bzw. ein besonderes
Parallelogramm.
-
4
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.
.
Z
David Jobst
Quadrat:
- vier Symmetrieachsen (Diagonalen/Mittelsenkrechten der
Seiten)
- punktsymmetrisch zum Mittelpunkt Z
- vier gleich lange Seiten
- gegenüberliegende Seiten sind parallel zueinander
- vier rechte Winkel
→ Quadrat ist ein Sonderfall aller genannten Vierecksarten.
Z
.
3. Grundkonstruktionen
Konstruktion des Mittelpunkts einer Strecke [AB]:
Konstruktionsbeschreibung:
h
1. Zeichne zwei Kreise k1 und k2 mit gleichem
Radius um A und B.
2. Die Kreise k1 und k2 schneiden sich in den
Punkten S1 und S2.
3. Der Schnittpunkt der Geraden g = S1S2 mit
der Strecke [AB] ist der gesuchte Mittelpunkt
Z der Strecke [AB].
Begründung: Die Gerade g ist die
Mittelsenkrechte der Strecke [AB].
Konstruktion der Winkelhalbierenden des Winkels α :
Konstruktionsbeschreibung:
1.Zeichne einen Kreis k um S. Dieser
schneidet die beiden Schenkel in den
Punkten P und P‘, die vom Scheitel S gleich
weit weg sind.
2.Konstruiere die Symmetrieachse a zu P und
P‘. Diese Symmetrieachse a ist gleichzeitig
die Winkelhalbierende ω α .
5
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Begründung: Die Symmetrieachse a
verläuft durch den Scheitel S des Winkels,
da S vom Punkt P und vom Bildpunkt P‘
gleich weit entfernt ist. Folglich wird der
Winkel α von der Symmetrieachse halbiert
und es enstehen zwei gleich große Winkel.
Lot (= Senkrechte) von P auf eine Gerade g errichten:
Konstruktionsbeschreibung:
a
P‘
P liegt nicht auf der Geraden g
1. Konstruiere den zu P bezüglich g
symmetrisch gelegenen Punkt P‘.
2. Folglich ist die Gerade a die gesuchte
Senkrechte.
g
P
Begründung: Die Symmetrieachse a halbiert
die Strecke [PP‘] senkrecht. Deshalb ist die
Gerade a die Senkrechte zur Geraden g durch
den Punkt P.
k2
k1
Lot (= Senkrechte) zu einer Geraden g im Punkt P fällen:
a
Konstruktionsbeschreibung:
P liegt auf der Geraden g
k
g
1. Konstruiere zwei Punkte A und B auf der
Geraden g, die vom Punkt P gleich weit
entfernt sind. (Kreis k um P schneidet g in
A und B)
2. Konstruiere die Symmetrieachse a zu A und
B.
3. a ist dann das gewünschte Lot zu g.
Begründung: Die Mittelsenkrechte zur Strecke
[AB] halbiert diese senkrecht im Mittelpunkt
P. Folglich ist die Symmetrieachse a die
Senkrechte zu g durch den Punkt P.
k1
6
k2
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Tangente an einen Kreis k im Punkt P:
k
a
k2
.
Konstruktionsbeschreibung:
k3
g
1. P liegt auf dem Kreis k.
2. Errichte das Lot auf MP im
Punkt P.
3. Das Lot auf MP berührt die
Kreislinie k1 im Punkt P und ist
die gesuchte Tangente.
Begründung: Berührt eine Gerade
oder eine Strecke einen Kreis so
stehen diese und die Gerade durch
den Kreismittelpunkt und den
Berührpunkt senkrecht aufeinander.
Jede Tangente steht senkrecht auf
dem Radius im Berührpunkt.
4. Entdeckungen an Geraden- und Doppelkreuzungen
Erklärung Geradenkreuzung: Schneiden sich zwei Geraden, so spricht man von
einer Geradenkreuzung.
Dabei ergeben die Nebenwinkel zusammen immer 180° und die Scheitelwinkel sind
gleich groß.
Erklärung Doppelkreuzung: Werden zwei Geraden von einer weiteren Geraden
geschnitten, so entsteht eine Doppelkreuzung.
Stufenwinkel (F-Winkel): Wir betrachten Doppelkreuzungen mit zwei parallelen
Geraden, die von einer weiteren Gerade geschnitten werden. Sie haben dieselbe Lage
bezüglich der Parallelen und der schneidenden Geraden. Somit sind sie die Winkel,
die ein F einschließen.
7
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David Jobst
g
h
Sind g und h parallel, dann sind die Stufenwinkel gleich groß. Hier α = α ', β =β ', γ =γ ', δ =δ '.
(Paare von Stufenwinkeln haben dieselbe Farbe)
Wechselwinkel (Z-Winkel): Sie haben eine entgegengesetzte Lage zu den Parallelen
und schneidenden Geraden. Somit sind sie die Winkel, die ein Z einschließen.
g
h
gh
(Paare von Wechselwinkeln haben dieselbe Farbe)
Sind g und h parallel, dann sind die Wechselwinkel gleich groß. Hier α = γ ', β =δ ', γ =α ', δ =β '.
8
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David Jobst
4. Entdeckungen an Dreiecken und Vierecken
Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer 180°.
α + β + γ = 180°
Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt immer 360°.
α + β + γ + δ = 360°
5. Terme aufstellen und Termwerte berechnen
Definition Terme: Terme sind sinnvolle Verknüpfungen von Zahlen und
Variablen.
Beispiele: 7, x, 5a, 11b - 2, 11a - 3b, (3d · 12f) · 2
Berechnung des Werts eines Terms: Einsetzen einer Zahl aus der
Definitionsmenge anstelle der Variable.
Beispiele: T(a) = 4a - 1; a aus ℚ
T(-1,5) = 4 · (-1,5) - 1 = -7
T(a) = 3a2 - 4a; a aus ℚ
T(2,5) = 3 · (2,5)2 - 4 · 2,5 = 8,75
9
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David Jobst
Hängt der Term von verschiedenen Variablen ab, so müssen die dazugehörigen
Zahlen jeweils eingesetzt werden.
Beispiel: T(a;b) = 4a + 9b - 1; a und b aus ℚ
T(-1,5;2) = 4 · (-1,5) + 9 · 2 - 1 = 11
Beachte: Das Malzeichen darfst du zwischen Zahlen und Variablen weglassen,
jedoch nicht zwischen Zahlen.
Beispiele: 9 · 5 ≠ 95, 2 · x + 4 · y = 2x + 4y
Tipp: Oft ist es auch hilfreich eine Tabelle anzulegen, vor allem dann, wenn man
mehrere verschiedene Zahlen für die Variable/n einsetzen möchte.
Beispiel: T(a;b) = 2a - 1b; a und b aus ℚ
a
-3
2
7
b
4
-1
6
T(a;b)
-10
5
8
6. Abhängigkeiten beschreiben und berechnen
Darstellung von Abhängigkeiten: Man kann Abhängigkeiten mithilfe einer Tabelle
oder durch eine Graphik im Koordinatensystem darstellen.
1. Beachte: Welche Zahlen in einen Term eingesetzt werden dürfen, hängt von der
/ und vom sinnvollen Bezug zum Sachverhalt ab.
Definitionsmenge D
Beispiel: T1(a) =
2
3a − 9
In diesem Fall, darf für a die Zahl 3 nicht eingesetzt werden, da der Nenner 0 werden
würde. Durch 0 darf nämlich nie dividiert werden.
2
2
2
=
=
Probe: T1(3) = 3·3 − 9 9 − 9 0
↯
→D
/ =\
{3}
Beispiel: T2(m) = 3 · m + 2; m = Anzahl an Monate
Diese Funktion beschreibt das Mäusewachstum im Haus der Maiers unter günstigen
Bedingungen. 2 Mäuse sind von Anfang an im Haus. Nach der Zeit m hat sich die
Mäusepopulation auf 3 · m + 2 vergrößert.
10
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David Jobst
In diesem Fall machen negative Einsetzungen für m (m < 0) keinen Sinn, da es keine
negativen Monate und auch keinen negativen Mäusebestand gibt. In diesem
Sachverhalt sind somit negative Zahlen auszuschließen. → D
/ = + oder D/ = 
2. Beachte: Aufgrund des Aufbaus eines Terms kann man oft schon allgemeine
Aussagen treffen.
Beispiele: T1(a) =
2
3a − 9
Anhand des Terms T1 lässt sich feststellen, dass der Nenner immer größer wird je
größer a ist, der Zähler jedoch konstant bleibt. Somit müssen die Termwerte immer
kleiner werden.
T2(m) = 3 · m + 2
Anhand des Terms T2 lässt sich feststellen, dass die Termwerte größer werden, wenn
m größer wird.
Wertetabelle
-1
0
1
2
3
4
2
3a − 9
-1
6
-2
9
-1
3
-2
3
↯
2
3
-1
2
5
8
11
14
T1(a) =
T2(m) = 3 · m + 2
Grafiken:
11
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7. Daten und Diagramme
Säulen- und Balkendiagramme: Dienen zur klaren Gegenüberstellung von Daten
und zur Erkennung von Veränderungen.
Das Säulen- und Balkendiagramm zeigen den jährlichen Heizölverbrauch in Litern
eines Zwei-Personenhaushalts von 2009 bis 2012.
Verbrauch in Litern
2000
1600
1200
800
400
0
2009
2010
2011
2012
Jahr
Säulendiagramm
Jahr
2012
2011
2010
2009
0
400
800
1200
1600
2000 Verbrauch
in Litern
Balkendiagramm
12
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David Jobst
Kreisdiagramme, Prozentstreifen und Symbole: Dienen zur klaren Darstellung der
Verteilung innerhalb einer Gesamtmenge. Die Flächeninhalte im Diagramm
entsprechen den Datenwerten.
Das Kreisdiagramm und die Prozentstreifen zeigen den Anteil der Tierarten auf
einer Wiese.
Heuschrecken
Käfer
Fliegen
Flöhe
Mäuse
Flöhe
Mäuse
Kreisdiagramm
Heuschrecken
Käfer
Fliegen
100%
75%
50%
25%
0%
Prozentstreifen
(= Flächeninhalte entsprechen prozentual den dargestellten Werten)
13
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David Jobst
☼
☼
☼
Symbole
(z.B. je größer die Sonne, desto wärmer ist es)
Liniendiagramme: Dienen zur Erkennung von Veränderungen.
Das Liniendiagramm zeigt den Wasserbrauch in Litern einer Person pro Tag in ihrer
Wohnung.
Liter
70,0
52,5
35,0
17,5
0
0
1
2
3
4
5
6 Tage
Liniendiagramm
Beachte: Die Gestaltung der Diagramme nimmt Einfluss auf unsere Wahrnehmung
und kann diese verzerren:
- bei nicht gleichmäßig unterteilten Achsen
- bei falschen Bezugsgrößen
- bei unterschiedlichen Startwerten
Arithmetisches Mittel: Division der Summe aller Werte durch die Anzahl der Werte.
Somit erhält man den Durchschnittswert.
14
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Beispiel (zum Liniendiagramm): 0 + 26 + 43 + 65 + 50 + 65 + 45 = 294 = 49
6
6
Somit ist das arithmetische Mittel (oder der Durchschnitt) 49 Liter.
8. Wiederholen und Vertiefen des Prozentrechnens
Beim Prozentrechnen geht es um den Zusammenhang zwischen Grundwert,
Prozentsatz und Prozentwert.
Grundwert: Der ursprüngliche Wert, z.B. 50 €, das Ganze.
Prozentsatz: Der Anteil am Grundwert in Prozent, z.B. 25%.
Prozentwert: Der entsprechende Teil des Ganzen.
Es gilt:
Prozentsatz
vom
Grundwert
=
Prozentwert
25%
von
50 €
=
12,50 €
Berechnungsbeispiel:
Ein Videospiel kostet zu Beginn 50 €. Anschließend wird es um 25% reduziert.
Prozentwert = Prozentsatz · Grundwert
Prozentwert = 25% · 50 € = 0,25 · 50 €
Prozentsatz = Prozentwert : Grundwert
Prozentsatz = 12,50 € : 50 € = 0,25 = 25% = 12,50 €
Grundwert = Prozentwert : Prozentsatz
Grundwert = 12,50 € : 25% = 12,50 € : 0,25 = 50 €
Grundwert = 50 €
Beispiel für eine Rechnung mit erhöhtem Grundwert:
Eine Aktie verteuert sich um 7% auf 950 €. Berechne den ursprünglichen Preis.
Daraus folgt, dass die 950 € nun 107% des alten Preises (Grundwerts) sind.
Grundwert = Prozentwert : Prozentsatz
Grundwert = 950 € : 107%
Grundwert = 950 € : 1,07
Grundwert = 887,85 €
15
Basiswissen 7. Klasse
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Die obigen Gleichungen kann man sich mit folgendem Formeldreieck merken:
Erklärung:
- Zwei Größen, die durch die waagerechte Linie getrennt sind, werden
dividiert.
- Zwei Größen, die durch die senkrechte Linie getrennt sind, werden
multipliziert.
9. Zusammenfassung der Rechengesetze für rationale Zahlen
Wann sind zwei Terme gleichwertig (= äquivalent)?
Zwei Terme sind dann äquivalent, wenn jede Einsetzung in beiden Termen jeweils
dasselbe Ergebnis liefert.
Beispiel:
T1(x) = (2x + 3) · 4 - 3x äquivalent zu T2(x) = 12 + 5x
Durch Anwenden der Rechengesetze kann man zeigen:
T1(x) = 8x + 12 - 3x = 5x + 12 = 12 + 5x = T2(x)
Allgemein gelten folgende Rechengesetze für a, b, c ∈ .
Kommutativgesetz der Addition: In einer Summe darf man die Reihenfolge der
Summanden ändern, ohne dass sich der Wert der Summe verändert.
a+b=b+a
Beispiele: 2 + 3 = 3 + 2 = 5
53 + 61 + 9 = 9 + 53 + 61 = 123
Kommutativgesetz der Multiplikation: In einem Produkt darf man die
Reihenfolge der Faktoren ändern, ohne dass sich der Wert des Produkts verändert.
a·b=b·a
Beispiele: 4 · 3 = 3 · 4 = 12
11 · 9 · 21 = 21 · 11 · 9 = 2079
Assoziativgesetz der Addition: In einer Summe darf man beliebig Klammern
setzen oder weglassen, ohne dass sich der Wert der Summe ändert.
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
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Basiswissen 7. Klasse
David Jobst
Beispiele: 2 + 3 + 4 = (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9
12 + 9 + 11 = (12 + 9) + 11 = 12 + (9 + 11) = 32
Assoziativgesetz der Multiplikation: In einem Produkt darf man beliebig
Klammern setzen oder weglassen, ohne dass sich der Wert des Produkts ändert.
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
Beispiele: 2 · 3 · 4 = (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24
(13 · 25) · 4 = 13 · 25 · 4 = 13 · (25 · 4) = 1300
Distributivgesetz bei einer Summe: Bei einem Produkt aus einer Zahl und einer
Summe darf man jeden Summanden mit der Zahl multiplizieren und im
Anschluss, die entstehenden Produkte addieren. Der Wert des Terms ändert sich
dabei nicht.
a · (b + c) = (b + c) · a = ab + ac
Beispiele: 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2 = 12 + 6 = 18
(2n + 6m) · 2 = 2n · 2 + 6m · 2 = 4n + 12m
Distributivgesetz bei einer Differenz: Bei einem Produkt aus einer Zahl und einer
Differenz darf man den Minuenden und den Subtrahenden mit der Zahl
multiplizieren und im Anschluss, die entstehenden Produkte subtrahieren. Der
Wert des Terms ändert sich dabei nicht.
a · (b - c) = (b - c) · a = ab - ac
Beispiele: 2 · (7 - 3) = 2 · 7 - 2 · 3 = 14 - 6 = 8
(3x - 7y) · 2 = 3x · 2 - 7y · 2 = 6x - 14y
Tipp Ausklammern mit Hilfe des Distributivgesetzes:
ab + ac = a · (b + c)
ab - ac = a · (b - c)
Beispiele: 9 · 22 - 9 · 12 = 9 · (22 - 12) = 9 · 10 = 90
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10. Umformen von Produkten, Summen und Differenzen
a) Umformen von Produkten: Potenzen mit gleicher Basis kann man
multiplizieren, indem man die Exponenten addiert.
xm · xn = xm + n
(falls n, m aus  )
Beispiel: x2 · x3 = x · x · x · x · x = x2 + 3 = x5
b) Umformen von Produkten: Enthält ein Produkt mehrere Variablen und
Zahlenfaktoren, so werden die Potenzen mit gleicher Basis und die Zahlenfaktoren
multipliziert und das Produkt so vereinfacht.
xm · yn · zp · xr · ys · zt = xm + r · yn + s · zp + t
Beispiel: 5x2 · y3 · z6 · 7x2 · y5 · z3 = 35x4 · y8 · z9
c) Umformen von Produkten: Produkte, die Differenzen oder Summen als Faktoren
enthalten, müssen mit Hilfe des Distributivgesetzes vereinfacht werden.
a · (xm · yn - xr · ys)= a · xm · yn - a · xr · ys
Beispiel: 4x · (x2 · y3 - x3 · y2) = 4x3 · y3 - 4x4 · y2
d) Umformen von Summen und Differenzen: Nur Terme der gleichen Art können
zusammengefasst werden. Terme sind dann gleichartig, wenn sie sich nur im
Zahlenfaktor unterscheiden.
Beispiel: 3x3y2 und 4x3y2 sind gleichartige Terme
3x4y2 und 4x3y2 sind keine gleichartigen Terme
3x3y2 + 4x3y2 - x3y2 + x4y2 = 6x3y2 + x4y2
e) Umformen von Summen und Differenzen: Summen und Differenzen können
durch Ausklammern von gemeinsamen Faktoren in ein Produkt umgewandelt, d.h.
faktorisiert, werden.
Beispiel: 3x4y2 + 6x3y3 = 3x3y2 · x + 3x3y2 · 2y = 3x3y2 · (x + 2y)
18
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11. Klammerregeln - Das Multiplizieren von Summen und
Differenzen
Erklärung: Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glieder der zweiten
Klammer multipliziert, wobei die jeweiligen Vorzeichen beachtet werden müssen.
Anschließend können die Produkte addiert werden. Diesen Vorgang nennt man
„Ausmultiplizieren“.
Beispiel: (x + 2) · (5 + x) = 5x + x2 + 10 + 2x = x2 + 7x + 10
(x - 2) · (5 - x) = 5x - x2 - 10 + 2x = - x2 + 7x -10
(x + 2) · (5 - x) = 5x - x2 + 10 -2x = - x2 + 5x + 10
[(x + 2) · (5 + x)] · (2x + 1) = (x2 + 7x + 10) · (2x + 1) = 2x3 + 14x + 10 +
x2 + 7x + 10 = 2x3 + x2 + 21x + 20
Beachte: Ein Minus vor der Klammer dreht beim Auflösen der Klammer alle
Vorzeichen um.
Beispiel: -(3x + 2y - 10) = -1· (3x + 2y - 10) = -3x - 2y + 10
12. Durch Probieren und Überlegen zur Lösung einer
Gleichung
Grundmenge: Die Menge an Zahlen, die für die Einsetzung in die Variable/n
sinnvoll ist.
Indem man Terme vereinfacht und gezielt Zahlen anstatt der Variablen einsetzt,
welche die Gleichung erfüllen, kann man die Lösung der Gleichung bestimmen.
Eine Gleichung heißt eindeutig lösbar, wenn sie genau eine Lösung besitzt, die in
der Grundmenge enthalten ist.
Eine Gleichung heißt allgemein lösbar, wenn alle Zahlen der Grundmenge
Lösungen sind.
19
Basiswissen 7. Klasse
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Eine Gleichung heißt nicht lösbar, falls es keine Lösung besitzt, die in der
Grundmenge enthalten ist.
Beispiele für lineare Gleichungen: 3x + 3 = 12
19 = 2x - 1
Beispiele für das Finden einer Lösung durch gezieltes Probieren:
3x + 3 = 12
3·0+3=3
3·1+3=6
3·2+3=9
3 · 3 + 3 = 12
Die einzige Lösung der Gleichung ist 3.
13. Lösung einer Gleichung
Äquivalenzumformung: Überführung einer Gleichung in eine andere, ohne dass
Lösungen hinzukommen oder wegfallen.
Plan zum Lösen einer Gleichung:
1. Auf beiden Seiten der Gleichungen werden die Klammern aufgelöst und
gleichartige Glieder zusammengefasst.
2. Auf beiden Seiten der Gleichung wird dieselbe Zahl oder der gleiche Term
addiert oder subtrahiert. Man versucht dabei, gleichartige Glieder der
Gleichung jeweils auf eine Seite zu bringen.
3. Auf beiden Seiten der Gleichung wird durch die gleiche Zahl (von 0
verschieden) dividiert bzw. multipliziert.
Das Ergebnis kann durch Einsetzen in die Gleichung überprüft werden. (Probe)
Achtung: Multiplizieren beider Seiten mit Null ist keine Äquivalenzumformung!
Beispiel:
5·(3x - 3) = 3x - 3 + 9x
(Auflösung der Klammern und Zusammenfassen gleichartiger Glieder)
15x -15 = 12x - 3 −12x (Subtraktion des Terms auf beiden Seiten der Gleichung)
3x -15 = - 3
3x = 12
+15
(Addition derselben Zahl auf beiden Seiten der Gleichung)
:3
(Division beider Seiten durch die gleiche Zahl)
x = 4
Probe: 3 · 4 - 3 + 9 · 4 = 5 · (3 · 4 - 3)
45 = 45 (w)
20
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14. Kongruente Figuren
Kongruenzabbildung: Kongruenzabbildungen bilden Figuren auf dazu
deckungsgleiche (= kongruente) Figuren ab. Entsprechende Strecken und Winkel
sind gleich groß. Gekennzeichnet werden kongruente Figuren durch folgendes
Zeichen: ≅.
Achsen- und Punktspiegelung sind Beispiele für Kongruenzabbildungen.
▵ABC
≅ ▵A‘B‘C‘ (lies: ▵ABC ist kongruent zu ▵A‘B‘C‘)
14. Kongruenzsätze für Dreiecke
Kongruenzsätze: Kongruenzsätze geben Voraussetzungen an, die Form und
Größe eines Dreiecks eindeutig festlegen (kongruent = deckungsgleich).
Kongruenz- Dreiecke sind kongruent, wenn sie
satz
übereinstimmen in ...
SSS
21
Skizze
den Längen aller drei Seiten.
Basiswissen 7. Klasse
David Jobst
Kongruenz- Dreiecke sind kongruent, wenn sie
satz
übereinstimmen in ...
SWS
den Längen zweier Seiten und der
Größe des Zwischenwinkels.
WSW
der Länge einer Seite und der Größe
von zwei gleich liegenden Winkeln.
SWW
der Länge einer Seite und der Größe
von zwei gleich liegenden Winkeln.
SsW
den Längen zweier Seiten und der
Größe des Gegenwinkels der
größeren beiden Seiten.
Skizze
Beachte: Bei jedem Dreieck ist eine Seitenlänge immer kleiner als die Summe der
anderen beiden Seitenlängen.
Speziell: Die größere Seitenlänge ist immer kleiner als die Summe der beiden
kürzeren.
22
Basiswissen 7. Klasse
David Jobst
15. Besondere Dreiecke
Gleichschenkliges Dreieck:
- zwei gleich lange Seiten (= Schenkel)
- die dritte Seite heißt Basis und an ihr liegen
die zwei gleich großen Basiswinkel an
- die zwei Schenkel schließen den Winkel an
der Spitze ein
- Schnittpunkt der Schenkel heißt Spitze
- achsensymmetrisch zur Mittelsenkrechte
der Basis
.
Rechtwinkliges Dreieck:
-
ein Innenwinkel beträgt 90°
rechter Winkel liegt gegenüber der Hypotenuse
Hypotenuse ist die längste Seite im Dreieck
die beiden anderen Seiten nennt man Katheten und
sie schließen den rechten Winkel ein
Gleichseitiges Dreieck:
- alle Seiten sind gleich lang
- alle drei Innenwinkel betragen 60°
- achsensymmetrisch zu den Mittelsenkrechten
der drei Seiten
Konstruktionsbeschreibung:
1. Zeichne eine Seite mit gegebener Länge und beschrifte die Enden mit A und B.
2. Konstruktion der Kreise k1 und k2 mit der gleichen Länge wie AB. Als
Mittelpunkte der Kreise k1 und k2 dienen die Punkte A und B.
3. Der Schnittpunkt der Kreise k1 und k2 bildet den Punkt C. Nun wird dieser Punkt
mit A und B verbunden.
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16. Thaleskreis
Satz des Thales: Wenn das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel hat, so liegt C
auf dem Kreis um den Mittelpunkt von [AB] mit r = AB.
Es gilt auch die Umkehrung: Wenn die Ecke C eines Dreiecks ABC auf einem Kreis
mit [AB] als Durchmesser liegt, so ist das Dreieck bei C rechtwinklig.
C
A
B
M
Anwendung des Thaleskreises zur Tangentenkonstruktion: Ein Kreis mit dem
Mittelpunkt M und ein Punkt P außerhalb des Kreises sind gegeben. Anschließend
konstruiert man über der Strecke [MP] den Thaleskreis kTk. Die Schnittpunkte A und
B des Thaleskreises kTk mit dem gegebenen Kreis k sind die Berührpunkte der
Tangenten von P an k.
kTk
k
.
MTk
.
17. Besondere Linien und Punkte im Dreieck
Winkelhalbierende: Gerade, die den Innenwinkel eines Dreiecks halbiert. Die
Winkelhalbierende wα ist die Symmetrieachse der beiden Schenkel von α. Jeder
Punkt auf wα hat von den beiden Schenkeln den gleichen Abstand.
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W
Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt W, der
von allen Dreiecksseiten denselben Abstand hat.
Höhen: Lote von den Eckpunkten auf die gegenüberliegende Seite (oder deren
Verlängerung).
.
.
.
Mittelsenkrechte: Die Mittelsenkrechte ist die Symmetrieachse der
entsprechenden Dreiecksseite.
Alle drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden
sich in einem Punkt M, der gleich weit entfernt von
den drei Ecken des Dreiecks ABC ist. Dieser Punkt
heißt Umkreismittelpunkt des Dreiecks. Der Kreis
um M durch A, B und C heißt Umkreis des Dreiecks
ABC. (Sonderfall rechtwinkliges Dreieck:
Thaleskreis = Umkreis)
mBC
mAC
.
.
.
mAB
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18. Konstruktionen
Beachte:
1. Planfigur (Beschriftung von Punkten, Strecken und Winkeln)
2. Zerlegung des Vielecks in Teildreiecke zur einfacheren Lösung der Aufgabe.
3. Konstruktionsplan beschreibt die Schritte für die Durchführung der Zeichnung.
Diese Schritte müssen begründet werden.
4. Überprüfung, ob einzelne Punkte eindeutig festgelegt sind.
5. Kongruenzsätze helfen bei der Konstruktion. (= drei geeignete Angaben)
6. Nicht lösbare Konstruktionen lassen sich teilweise mit Hilfe der
Winkelsummensätze und der Dreiecksungleichungen erkennen.
7. Fünf geeignete Angaben reichen, um ein Viereck zu konstruieren.
8. Für besondere Vierecke (z.B. Parallelogramm, Trapez, ...) reichen teilweise
weniger Angaben, aufgrund ihrer besonderen Eigenschaften (z.B. parallele Seiten,
gleiche Winkel, ...).
9. Anwendungsaufgaben fordern einen passenden Maßstab.
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