Hauptklausur Statistik II vom Sommersemester 07

VOLKSWIRTSCHAFTLICHE VORDIPLOMPRUFUNG
04.08.2007
Klausurauf dem Gebiet: STATISTIK
ll
Prüfer:Dr. Roland Füss
N a m e ,Vo r n a me :
Matrikel-Nr.:
DieKlausur
enthältdreiTypenvonAufgaben:
D e r Te il A bestehtauseinerReihevonFragenmitmehreren
vorgegebenenAntwortvorschlägen,
von denennurjeweilseineAntwortrichtigist. DesWeiterenenthältdieserTeil
mehrereAufgabenmit einemLückentext,
der mit den fehlenden
Antwortenauszufüllen
ist.
SchreibenSie den Kennbuchstaben
der Antwortsowiedie fehlendenBegriffe,die Sie für
richtighalten,deutlichin das Kästchenam rechtenRand bzw in die zur VerfügungstehendenLeerstellen.
Fürjederichtige
Antwortbzw.Lückentext
erhaltenSieeinenPunkt.
De r Te il
B e n t h ä l t d i e a u s f ü h r l i c lhözsue n d e n A u f g a bEesnm
. ü s s e na l l e v i e r
gestellten
Aufgabenbearbeitet
werden.
N U RM I TDE RD A R S T E L L U NDGE REINZELNEN
RECHENSCHRITTE
KANNDIEVOL LE
PUNKTZAHL
ERREICHT
WERDEN
!
gilt,müssen
DamitdieKlausur
alsausreichend
40 % dererreichbaren
Punktzahlen
sowohlin
TeilAals auchder in TeilB gestellten
Aufgaben
erzieltwerden,alsoin TeilAmindestens
12
Punkte,
in TeilB mindestens
24 Punkte.
Zulässiqe
Hilfsmittel:
Einfacher
Taschenrechner
mitGrundrechenarten,
Formelsammlung.
P u n ktza h l e n :
A-Teil
AufgabenB-Teil
A1
A2
A3 A4
Gesamtnote:
Klausur Statistik tI
Teil A
r)
SS2007
Seite2
Ein Wirtschaftsforschungsinstitutsagt 75 von 100 wirtschaftlichen Kehrtwendungen
richtis voraus. Das 90 % Konfidenzintervall beträet demnach:
Klausur StatistiklI
Teil A
s)
SS2007
Seite3
l t i t p r _= 0 , 8 , o , . = 1 , 2 , p = 4 , 5 7
s i n d w e l t w e i t I o g - n o r m a l v e r t e im
Die Militarausgaben
und o = 3,129 (alle Werte in Mrd. EUR). Die Wahrscheinlichkeit,dass die Milittirausgabenkleiner als 4 sind, beträgt
A) [0,7321;0,8t25]
B) DasIntervallist ausdenobigenAngabennichtberechenbar,
c) [0,7001;0,8284]
D) [ - 1 , 9 6; + 1 , 9 6 ]
E) l0,7szs;0,796s1
F) DieAntwortenA) bis E) sindlalsch.
2\
A) 0.3610.
z,sl).
B) P(lnlMilinrausgaben)<
c) , ( r . t , s g - o , s )
ll,2)
^
( 4-0.81
D) f l x < - 1 .
1,2/
\
ln einem Land fälschen 2%o aller Unternehmen ihren Jahresabschluß.Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, daß unter 210 Unternehmen genau 9 mit gefälschtem Jahresabschlußsind?
E) p (z . a * a 5 7 \
F)
0,9827
B) 0,4552
c) 0,2851
D) 0,0149
0,0168
F ) Die AntwortenA) bisE) sindfalsch
3)
6)
c) l6
D)
E)
a)
7)
ve
Beim t-Testeines Korrelationskoeffizientengehen2 Freiheitsgradeverloren, da
-
A) im Nenner r/l - r' berechnetwird.
B) es sich um eine Schatzungdes unbekanntenp in der Grundgesamtheit handelt
v12
c)
drei Parameterberechnetwerden müssen.
D) man im Zähler eine Zufallsvariablehat.
E) zwei Stichprobenmittelwerteberechnetwerden
F) Die Antworten A) bis E) sind falsch.
lst ein Schatzer B erwartungstreu,so bedeutetdies. dass
A)
33,82.
D) 24,337.
E) n , 7 6 .
F) Die Antworten A) bis E) sind falsch.
Die Antworten A) bis E) sind falsch
4)
Korrelationskoeffizient zwischen zwei Zufallsvariablen r und y beträ9l
p(r,y)= 0,6, o] = 24 und o!, =16. DieKovarianzzwischenxundybeträgtdemnach:
Der
A) 230,4.
B) aus den obigen Angaben nicht berechenbar
Das Eintreffen von Nachrichten in einem Email-Postfach ist zu jedem Zeitpunkt
kommt
innerhalb 24 Stunden gleich wahrscheinlich. Welcher Anteil der Nachrichten
zwischen 8 Uhr und 12 Uhr morgensan?
A) 0,1t12
B) 0 , 5 51 0
3,t29 )
|
DieAntworten
A) bisE) sindfalsch
p=B
B) I t m P = P .
B ist annäherndnormalverteilt.
D) L \ P l = p .
B ist konsistent.
F) Die Antworten A) bis E) sind falsch
8)
Die Wahrscheinlichkeit im A-Teil durch Zufall richtig zu liegen beträgt 0,166. Die
Wahrscheinlichkeit, nach mehr als zwei falsch beäntworteten Fragen erstmals wieder
richtig zu liegen beträgt dann:
A) 0,6944
B ) 030M
c) 0 , 9 2 1 0
D) 0,562s
F)
0,3658
F ) Die AntwortenA) bis E) sindfalsch
Teil ,4,
e)
Klausur Statistik II
SS 2007
Seife 4
In einer Regression,bei der das Einkommen in Abhangigkeit von der Ausbildungszeit
geschätztwird, wird im /-Tcst für den Parameter p
Teil A
1 2 ) G e g e b e ns e i d i e Z u f a l l s v a r i a b l ef = V 2 + 4 X
die Nullhypothese auf dem I 7o-
ss 2007
Klausur Statistik II
Seite5
u n d d i e V a r i a n zv o n X , o , l = 7 , 5 . D i e
Varianz von )', o,1 , betragt folglich
Signifikanzniveauabgelehnt.Das bedeutet:
A)
0.
120.
c) 3 0 .
D) ist ausdenobigenAngabennichtberechenbar.
F \ 24.
F ) Die AntwortenA) bis E) sindfalsch.
AI
Ft\
mit 95 7o Wahrscheinlichkeithat Ausbildung einen signifikanten Einfluss auf das
Einkommen(zweiseitig).
B) p ist O.
p ist mit einerWahrscheinlichkeit
L,,
von99 Yogleich0.
D) mit 99 %oWahrscheinlichkeit
hat Ausbildungeinensignifikanten
Einflussauf das
Einkommen.
F\
mit 98 % Wahrscheinlichkeit
hatEinkommen
einensisnifikanten
Einflussauf die
Ausbildung.
F) Die AntwortenA) bis E) sindfalsch.
13) Der wert,bei dem
"( lr'a"=-!.
i4
2
ulsodem
Median entspricht, beträgt bei den
G r e n z exn> l l 4 :
10) Die folgende Tabelle zeigt die Aufteilung von Studentenauf 3 Studiengänge(Ereignis
l,).
Des Weiteren ist der Anteil der Studenten gegeben, der die Statistik Klausur
N tl4
B) rl2
mitschreibt (Ereignis Bll, ):
Studiengang Ereignis
Diplom
Master
Nebenfach
Al
Anteil der
Studenten
Ereignis
Anteil der Studenten,
welchedie
StatistikKlausur rnitschreiben
0.89
BlAr
0,80
0,09
BlA2
0,00
0,02
BlA3
o,2l
Die Wahrscheinlichkeit,
dassein zufällig ausgewählter
Student,welcherdie Statistik
Klausurmitschreibt.
unterdie KatesorieNebenfach
feillt.beträstdemnach:
A)
0,7t62
B) 0,0253
c) 0,8I 02
D) 0,0297
tr\ 0,0059
F) DieAntworten
A) bisE) sindfalsch
l1)
Eine stetige Zufallsvariable hat die Dichtefunktion
r ' ) = l i , o S . r < 1 2p. i "
c) v3
D) V6
E) slr2
F)
14)
Die Antworten A) bis E) sind falsch.
Bei einemp-Wert von 0,03 wird die Nullhypothese
A)
B)
C)
D)
E)
F)
zum 1 % Signifikanzniveauabgelehnt.
zum l0 % Signifikanzniveauabgelehnt.
zum 2 oÄ Signifkanzniveau abgelehnt.
zum 7 oÄ Signifikanzniveau angenommen.
zum l0 % Signifikanzniveauangenommen.
Die Antworten A) bis E) sind falsch.
15) Für eine Schätzungdes Mittelwertesin der Grundgesamtheit
soll der Stichprobenumfang so gering wie möglich gehaltenwerden. Die Standardabwe
ichung der
Grundgesamtheit
beträgI8 und das zweiseitigeKonfidenzintervallsoll 98 7o betragen.
Die Punktschätzung
soll *0,5 genausein.Der notwendigeStichprobenumfang
beträgt
dannmindestens
[o ,,o,,r
Wahrscheinlichkeit P(x = 5) betragtdann:
A) 0,0698
B) 0,3022
c) 0,0001
D) 0,0000
E) 0 , 15 5 7
F) DieAntworten
A) bisE) sindfalsch
A) 987
B) 1235
c) 28
D) 64
E) I 390
F r Die AntwortenA) bis E) sindfalsch,
Klausur Statistik Itr
Teil A
l6)
SS2007
Seite 6
Die Breite eines Konfidenzintervallshängt vom gewahlten Signifikanzniveau und dem
Stichprobenumfangab. Welche der folgendenAussagenist richtig:
20\
Seite7
SS2007
Klausur StatistikII
Teil A.
Die Wahrscheinlichkeitim Sommer eine negative Wasserbilanzzu haben, beträgt 0,8.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit. dass erst im driften Sommer eine negative
Wasserbilanz
auftritt?
A) bei gegebenem Signifikanzniveau führt ein höherer Stichprobenumfangzu einer
Vergrößerungdes Konfi denzintervalls.
B) bei gegebenem Stichprobenumfangführt ein höheres Signifikanzniveau zu einer
Verkleinerung des Konfidenzintervalls.
C) bei gegebenemSignifikanzniveau 1ührt ein kleinerer Stichprobenumfangzu elner
Verkleinerungdes Konfidenzintervalls.
D) bei gegebenemStichprobenumfängführt ein niedrigeresSignifikanzniveauzu elner
Verkleinerungdes Konfidenzintervalls.
E) bei gegebenemStichprobenumfangführt ein niedrigeresKonfidenzniveau zu elner
Vergrößerungdes Konfi denzintervalls
F) Die Antworten A) bis E) sind falsch.
l7l
A)
B)
c)
D)
E)
F)
2l)
Der
22)
Der
0.025
0,004
0,081
0,032
0,115
Die AntwortenA) bis E) sindfalsch
Erwartungswert der
t1
' 0 -<x < o
Dichtefunktion: f (n)=lrt'
[o , rrr,u
befägt
Für eine standardnormalverteilteZufallsvariable W beträgt die Wahrscheinlichkeit im
I n t e r v a- l2l , 6 < W< - 0 , 8
A)
B)
c)
D)
E)
0,99s3
0,7881
0,2072
0,3s57
0,sr 72
F)
Die Antworten A) bis E) sind falsch
Erwartungswert
2l
aus Aufgabe
ist
demnach der
Erwartungswert
d€r
Verteilung.
23)
Eine Verteilungsfunktion F'(.r) konvergiert zur linken Seite gegen lim F(x)=0
ut6
zur rechtenSeite gegen
l8)
In einer Lostrommel befinden sich 800 Lose von denen 325 Gewinne sind. Wie hoch ist
die Wahrscheinlichkeit, 6 Anläufe zu brauchen, um den dritten Gewinn zu erzielen?
241 Nach dem Zentralen Grenzwertsalz verhält sich der Stichprobenmittelwert bei
A)
B)
c)
D)
E)
0,140
0,62s
0,208
0,09s
0,128
F)
Die Antworten A) bis E) sind falsch.
zunehmendem Stichprobenumfang r
25)
folgendermaßen: _
Das schwacheGesetz der großen Zahlen besagt,dass ein Stichprobenmittelwertt
mit
zunehmendem Stichprobenumfang n und einer beliebig kleinen Zahl a folgende
l9)
Für welchen Wert von a wird folgende Funktion eine Dichtefunktion?
Beziehunghat
(t
r(")=.]i't[U
'o<x<d
, Jofi,sl
A) 0,0014
B)2
c) 2,08
D)e
E) 5,61
F) DieAnrworren
A) bis E) sindfalsch.
26)
Bei unbekannter Standardabweichungder Grundgesamtheitliegt der Erwartungswert
der Grundgesamtheit 4 bei einem geringen Stichprobenumfangmit Zurücklegen mit
97,5 %"Wahrscheinlichkeitin folgendem Intervall:
P( -<
p <-
)= o'97s
Teil A
27\
Klausur Statistik trI
SS2007
Seite 8
In einer Urne befinden sich 20 rote Kugeln und 12 grüne Kugeln. 5 der roten Kugeln
und 3 der grünen Kugeln sind zusätzlichmit einer I beschriftet.Die Wahrscheinlichkeit,
eine rote Kugel oder eine beschriftete Kugel zu ziehen beträgt dann
Teil B
ss 2007
Klausur Statistik II
Seife 9
Aufeabe I (15 Punkte)
Ein Behälter I enthält 3 rote Chips und 7 blaue Chips, ein weiterer Behälter II enthält 6 rote
Chips und vier blaue Chips. Zufallig wird nun ein Behalter ausgewählt und anschließend
I Chip aus diesemBehalter gezogen.
(2 P.)
BerechnenSie die Wahrscheinlichkeitfür den Fall" dassder Chip rot ist
28)
Die Wahrscheinlichkeitaus der Urne aus Aufsabe 27 eine Grüne oder keine beschriftete
Kugelzu ziehenbetragthingegen
b.
Unter der Hypothese, dass der Chip rot ist, finden Sie die bedingte Walrrscheinlichkeit,
(2 P.)
dassderChipausdemBehälterII gezogen
wurde.
c. Erkläen Sie kurz den Unterschied
zwischenA-priori-undA-posteriori-Wahrscheinlichkeit?
(2P.\
29\
Die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese anzunehmen, obwohl sie falsch ist
bezeichnetman als
30) Die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabe 29 verringert sich, wenn man das Signifikanz-
Es ist die folgendezweidimensionale
gegeben
Dichtefunktion
.f(x,,x,)={",:"t
0ar, a xz, \<x2<1
sonst
niveau
FindenSie E(XJXr) und tr/dr(Xlx). Siebenötigenhieru f(x,lxr), /(xr)
E(xilx,).
und
(sP.)
Die momentenerzeugende
FunktioneinerZufallsvariable
X ist M,(t) = exp(a(e'- l)).
ZeigenSie, dass P(/t-2o < x< p+2o\ = 0,931,wobei X einerPoissonverteilung
folgt, d.h. X - Poi(l= 4). Die kumulativeVerteilungsfunktion
derPoissonverteilung
ist
wie folgt tabelliert:
(4 P.)
p
0
I
2
3
^
5
o
7
8
2,0
0,1353
0,4060
0,6767
0,857I
0,9473
0"9834
0,99ss
0,9989
0,9998
3,0
0,0498
0,1991
0,4232
0"6472
0 , 81 5 3
0,9161
0,9665
0,9881
0"9962
4,0
0,0183
0,0916
0,2381
0,4335
0,6288
0,785I
0,8893
0,9489
0.9786
5.0
0,0067
0,0404
0,t247
0,2650
0,4405
0,6160
0,7622
0,8666
0.9319
6.0
0,0025
0,0t74
0,0620
0,lst2
0,2851
0,4457
0,6063
0,7440
0.8472
Teil B
KlausurStatistikII
SS2007
Seitel0
Teil B
Klausur Statistik II
ss 2007
Seite1I
Aufeabe 2 (15 Punkte)
Aufeabe 3 (15 Punkte)
ln dem großen Bundesland Nordrhein-Westfalen soll das durchschnittliche rnonatliche
Haushaltseinkommenmit Hilfe einer einfachen Zufallsstichprobe geschatzt werden. Aus
anderenUntersuchungenist bekannt,dassdie Standardabweichungder Einkommen höchstens
I 500 € beträgt.
Das unten stehende Schaubild zeigt die täglichen Renditen (in %) des Rohstoffindexes
Industriemetalle(oben) und des lndexes für landwirtschaftlicheProdukte(unten) von l99l bis
Ende 2006 (4174 Beobachtungen).
a.
von I 000 I{aushalten
ergibtsichein Durchschnittseinkommen
b. In einerZuf'allsstichprobe
von ll30€. BerechnenSie das 95oÄ-Konvon 3280€ bei einer Standardabrveichune
(2 P.)
fidenzintervallfür das durchschnittlicheHaushaltseinkomrnen.
c.
Erkliüen Sie verbal. was das Konfidenzintervall hier bedeutet.
Berechnen und vergleichen Sie die jlihrlichen Mittelwerte und Volatilitäten beider
(2 P.l
Indizes.
b.
Beurteilen Sie die Attraktivität beider Investments hinsichtlich der höheren Momente
(2 P.)
( S c h i e f eu n d K u r t o s i s ) .
c.
Obwohl die durchschnittliche Rendite des Agrikultur lndexes in den letzten 15 Jahren
negativ war, investiert ein Investor mit einer optimistischenEinstellung in diesen Index.
Mit welcher Wahrschernlichkeitwird der Investor eine jalrrliche Rendite zwischen 0 o%
und3 V" realisierenkönnen unter der Annahmen, dasssich die Verteilungin nächsterZeit
(4 P.)
nicht verilndert(nehmen Sie als Annäherungeine Normalverteilungan)
d.
Welcher Verlust wird mit einer Wahrscheinlichkeitvon 95% nicht überschritten?(d.h. die
(4 P.)
Rendite wird nicht noch negativer)
e.
Zeigen Sie anhand der momentenerzeugenden
Funktion, dass der Erwartungswert bzw.
(3 P.)
die Varianz der standardnormalverteilten Zufallsvariable Z eleich 0 bzw. I ist.
(1P.)
Im Rahmen der Klausur in Statistik II. an der 400 Studentcnteilnehmen. ist die erreichte
Punktzahl erfahrungsgemäßnäherungsweisenormalverteilt. Unmittelbar nach der Klausur
werden l0 Klausuren zufällig ausgewahlt und ausgewertet. Dabei ergeben sich (von
i n s g e s a m t 9 0P u n k t e n )f o l g e n d eP u n k t z a h l e n6. 6 , 3 8 , 7 3 , 6 4 , 8 5 , 5 8 , 3 2 , 4 2 , 7 7 , 4 5
d.
a.
Wie groß muss die Stichprobegewählt werden. um das mittlere Haushaltseinkommenbei
(2 P.)
einem Konfidenzniveauvon 95 oÄ auf 100 € genau zu schätzen?
Geben Sie eine erwartungstreuePunktschätzungfür den Mittelwert p und die Varianz s2
(3 P.)
der von allen 400 StudentenerreichtenPunktzahlen.
BerechnenSie ein 95 7o-Konfidenzintervallfür die mittlere Punktzahl der Studenten.
(4 P.)
f.
6
Erläutern Sie, warum die Varianz von ,\= bei steigendemStichprobenumfangz im Fall
(3 P.)
ohne Zurücklegen gegen Null geht?
3
2
t:,i
5S02500255075{O
Sdies:CL!6
Sarde lmll1(m üA
IZIß
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[&iM
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445iG
-3BE!41
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o1{gD
49431:6
Klausur Statistik ftr
Teil B
ss 2007
Seite 12
Aufeabe 4 (15 Punkte)
Gegeben sei folgender Excel Ausdruck. Die Variable y ist die Wachstumsrate neuer
Wohnungenin den USA zwischen I 986 Q3 und 2006 Q4 (n = 81 Quartale) und die Variablex
ist der Hypothekenzins. Überprüft werden soll der Einfluss des Hypothekenzinsesauf das
Wachstumneuer Wohnungen.
a.
BerechnenSie die Parameterf,, und B, und zeichnen Sie die Regressionsgerade
in das
Punktdiagrammein.
(6 P.)
b.
Stimmen die Vorzeichenmit ihren theoretischenÜberlesungenüberein?
(2 P.)
c.
Berechnenund interpretierenSie das BestimmtheitsmaßR2.
(2P.t
d.
Testen sie, ob der Parameter /,
a = 0,05)
signitikant von 0 verschieden ist (Signifikanznrveau
(5 P.)
p
c
H .: . ! .i
J
,-._
I
.E. _.
f
83
6,45 -12528875930,m73489 6106972773 1565485 8141288 176.A972
84 Ulttelwert mux Mittelwert muy Varian2(x)l(warianz(x,yl Varianzorl
85
6,9860493ffi -0.01701963 116ß727 -2.49B1ffi05631,84176
_8"9
87
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