pdf-Datei - eLKaTe

Fachhochschule
Münster University of
Applied Sciences
Grundgebiete der Elektrotechnik 1
Teil 1: Gleichstrom
Teil 2: Wechselstrom
Peter Richert
(Stand: 1. Februar 2017)1
Fachhochschule Münster, Fachbereich Elektrotechnik und Informatik
eLKaTe — Labor Kommunikationstechnik
Stegerwaldstraße 39, 48 565 Steinfurt, Tel.: +49 2551 9-62125,
eMail: [email protected]
http: www.ktet.fh-muenster.de
1 Die
aktuelle pdf-Datei steht Studierenden des FB 2 zum Download zur Verfügung auf dem pset-Server unter http://pset.fh-muenster.de
-> Vorlesungsunterlagen -> Lehrende -> Richert_Peter.
Das Bild zeigt die 3D-Fouriertransformation des 2D-Logos der Fachhochschule Münster.
GdE1-2
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
Vorwort
Die Vorlesung „Grundgebiete der Elektrotechnik“ im Studiengang Elektrotechnik ist aus den Büchern
(Weißgerber, 2000), (Frohne u. a., 2005) und (Hagmann, 2001b) entstanden. Weitere sehr gute Fachbücher sind (Albach, 2008), (Schmidt u. a., 2006), (Clausert und Wiesemann, 1992), (Flegel und Birnstiel,
1982) sowie (Böge, 2007). Informatiker können (Paul, 2004) nehmen und zum Enstieg für Fachfremde ist
(Müller und Piotrowski, 1992) geeignet.
Weißgerber (2000)
In 3 Bänden von Wilfried Weißgerber wird die Elektrotechnik für Ingenieure umfassend behandelt. Eine Formelsammlung (Weißgerber, 2007b), Übungs(Vömel und Zastrow, 2001) und Klausuraufgaben (Weißgerber, 2007a) runden dieses
Werk ab.
Frohne u. a. (2005)
Bei vorhandenen Grundkenntnissen bietet das von Franz Moeller begründete Werk
den Stoff der Vorlesung etwas theoretischer aufbereitet an.
Hagmann (2001b)
Die Elektrotechnik für Studenten der Elektrotechnik der FH-Münster war lange
mit Gerd Hagmann verbunden. Es gibt zudem eine Aufgabensammlung (Hagmann,
2001a) mit Lösungen.
Das Ziel ist für die meisten Studierende „die Klausuren bestehen“! Dazu schon hier einige weitere Hinweise:
Formelsammlung:
Zur Klausur dürfen keine Bücher oder Skripte mitgenommen werden. Erlaubt ist ein
beidseitig beschreibbares DIN-A4-Blatt. Ohne Lupe. Meine Formelseite ist online zu
haben.
Taschenrechner:
Als Grundformel für Taschenrechner gilt, dass sie komplexe Rechnung haben
sollten und keine alphanumerische Eingaben erlauben und nicht programmierbar
sind. Eine stets aktuelle Liste solcher Taschenrechner führt die Uni Münster unter
„http://www.wi.uni-muenster.de/qm/studieren/rechner.html“. Mögliche Rechner für
ca. 25 Euro wären der Casio fx-991DEP und der neuere Casio fx-991DEX.
Denken Sie aber immer daran: Genießen Sie den Weg zur Klausur, er sollte Ihr eigentliches Ziel sein. Was
haben Sie später davon, dass Sie „die Klausuren bestanden haben“, wenn Sie in der Praxis mit Ihrem Wissen
in Ihrem Job nicht zurechtkommen? Die Klausuren „überprüfen“ nur, ob unser Wissen bei Ihnen angekommen
ist . . .
Dies ist ein Vorlesungsskript und kein Fachbuch. Es erspart das Abschreiben der Tafel während der Vorlesung und hilft somit, sich auf den Stoff zu konzentrieren. Dazu kann und sollte jeder seine persönlichen
Ergänzungen zum Skript vornehmen — entsprechend seinem Wissensstand aus den Erläuterungen des Stoffes
während der Vorlesungen.
Ohne aktive Teilnahme an den Vorlesungen ist das zusätzliche Lesen eines Fachbuches ratsam, um das gewollt hohe Klausurniveau erreichen zu können. Kopie oder Vervielfältigung des Skriptes ist nur mit Erlaubnis
des Autors gestattet.
Steinfurt, den 1. Februar 2017
P. Richert
Inhaltsverzeichnis
I.
Gleichstrom
1
1. Gleichströme
1.1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Physikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
6
10
2. Gleichstromelemente
2.1. Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Elektrischer Strom . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . .
2.2. Stromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Elektrischer Widerstand . . . . . . . . . . .
2.2.3. Widerstände als Mess-Sensoren . . . . . . .
2.2.4. Realer Stromkreis . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Kirchhoffsche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Kirchhoffsche Knotenregel . . . . . . . . . .
2.3.2. Parallelschaltung von Widerständen . . . . .
2.3.3. Kirchhoffsche Maschenregel . . . . . . . . .
2.3.4. Reihenschaltung von Widerständen . . . . .
2.4. Anwendungen der Kirchhoffschen Gleichungen . . .
2.4.1. Schiebewiderstand ohne Belastung . . . . . .
2.4.2. Schiebewiderstand mit Belastung . . . . . .
2.4.3. Vorwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4. Strommesser . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5. Spannungsmesser . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.6. Spannungs- und Strommessung . . . . . . .
2.4.7. Wheatstonesche Brückenschaltung . . . . . .
2.5. Arbeit und Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Ersatzschaltbild . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2. Kennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3. Reale Spannungsquelle im realen Stromkreis
2.6.4. Anpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Stromquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Nichtlinearer Zweipol . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10. Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11
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16
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3. Gleichstromnetzwerke
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3.1. Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-i
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
3.2. Kirchhoffsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Beispiel zu den Kirchhoffschen Gleichungen . .
3.2.2. Bewertung der Kirchhoffschen Gleichungen . . .
3.3. Ersatzquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Beispiel zu Ersatzquellen . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Stern-Dreieck-Umwandlung . . . . . . . . . . .
3.3.3. Bewertung der Ersatzquellen . . . . . . . . . . .
3.4. Überlagerungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Beispiel zum Überlagerungssatz . . . . . . . . .
3.4.2. Bewertung des Überlagerungssatzes . . . . . . .
3.5. Maschenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1. Topologie eines Netzes . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2. Beispiel zum Maschenanalyse . . . . . . . . . .
3.5.3. Ideale Stromquellen bei der Maschenanalyse . .
3.5.4. Bewertung der Maschenanalyse . . . . . . . . .
3.6. Knotenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1. Beispiel zur Knotenanalyse . . . . . . . . . . . .
3.6.2. Ideale Spannungsquellen bei der Knotenanalyse .
3.6.3. Automatisierung der Knotenanalyse . . . . . . .
3.6.4. Modifizierte Knotenanalyse . . . . . . . . . . .
3.6.5. Beispiel zur modifizierten Knotenanalyse . . . .
3.6.6. Bewertung der Knotenanalyse . . . . . . . . . .
3.6.7. Vergleich am Beispiel Brückenschaltung . . . .
3.7. Nichtlineare Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9. Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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II. Wechselstrom
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51
54
54
55
57
59
59
59
61
61
62
62
63
64
64
65
65
66
69
70
70
70
71
72
72
78
4. Wechselströme
4.1. Formen und Arten von Wechselströmen . .
4.2. Kenngrößen von Wechselströmen . . . . .
4.3. Eigenschaften sinusförmiger Wechselgrößen
4.4. Messung und Darstellung der Kennwerte . .
4.5. Addition im Zeitdiagramm . . . . . . . . .
4.6. Addition im Zeigerdiagramm . . . . . . . .
4.7. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . .
4.8. Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . .
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80
80
82
90
92
94
94
95
5. Komplexe Rechnung
97
5.1. Die komplexe Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2. Rechenregeln für komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3. Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6. Wechselstromelemente
6.1. Widerstand . . . . . . . . . . .
6.1.1. Leistung am Widerstand
6.2. Kondensator . . . . . . . . . . .
6.2.1. Kapazitive Blindleistung
6.3. Spule . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1. Induktive Blindleistung .
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1. Februar 2017
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
6.4. Allgemeiner Wechselstromzweipol . . . . .
6.4.1. Spannung, Strom und Phasenwinkel
6.4.2. Leistung im Zeitbereich . . . . . .
6.4.3. Komplexe Leistungsberechnung . .
6.5. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . .
6.6. Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . .
7. Wechselstromnetzwerke
7.1. Reale Bauelemente . . . . . . . . . .
7.2. Impedanz . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1. Reihenschaltungen . . . . . .
7.3. Admittanz . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1. Parallelschaltungen . . . . . .
7.4. Ersatzimpedanz einer Schaltung . . .
7.5. Umwandlung komplexer Widerstände
7.6. Leistungsanpassung . . . . . . . . . .
7.7. Blindleistungskompensation . . . . .
7.8. Zusammenfassung . . . . . . . . . .
7.9. Übungsaufgaben . . . . . . . . . . .
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Literatur
139
Index
142
Formeln
145
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.1. Übungsaufgaben zu Gleichstromelemente . .
A.2. Übungsaufgaben zu Gleichstromnetzwerke .
A.3. Übungsaufgaben zu Wechselströme . . . . .
A.4. Übungsaufgaben zu Wechselstromelemente .
A.5. Übungsaufgaben zu Wechselstromnetzwerke .
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GdE1-iii
Tabellenverzeichnis
1.1. Internationales Einheitensystem SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Abgeleitete Einheiten der Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Dezimale Vielfache und Teile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9
2.1. Kenngrößen von verschiedenen Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
GdE1-iv
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
Abbildungsverzeichnis
1.0.1.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.1.5.
1.2.1.
Schwerpunkte der Elektrotechnik und ihre Anwendung
Strom aus der Steckdose und dem Akku . . . . . . . .
Spannungs- und Stromquelle . . . . . . . . . . . . . .
Platine mit Prozessor . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Halbleiter- und Leistungsdioden . . . . . . . . . . . .
Röhren und Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . .
Bauelemente und Farben der Elektrotechnik . . . . . .
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4
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5
5
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2.1.1. Leiterstück als Zylinder mit der Querschnittsfläche A und der Länge l . . . . . .
2.1.2. Spannung im elektrischen Potentialfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Einfache Stromkreise mit Spannungs- und Stromquellen . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Verschiedene Widerstandsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Realer Stromkreis mit realer Hin- und Rückleitung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Parallel-Schaltung realer Verbraucher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Parallelschaltung von Widerständen und Ersatzwiderstand . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Stromteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. Reihenschaltung von Widerständen und Ersatzwiderstand . . . . . . . . . . . . .
2.3.5. Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Verschiedene Schiebewiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Schiebewiderstand (Potentiometer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3. Schiebewiderstand mit Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4. Schaltung zum Vorwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5. Digitale und analoge Vielfachmessgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.6. Erweiterung des Strommessbereiches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.7. Realisierung eines Amperemeters mit 4 Messbereichen . . . . . . . . . . . . . .
2.4.8. Erweiterung des Spannungsmessbereiches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.9. Realisierung eines Voltmeters mit 4 Messbereichen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.10. Spannungsrichtige oder stromrichtige Messung am Verbraucher . . . . . . . . .
2.4.11. Wheatstonesche Brückenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.12. Bestimmung von Widerständen mit der Wheatstoneschen Brückenschaltung . . .
2.4.13. Brückenschaltung im Kompensationsschreiber . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Ersatzschaltbild einer realen Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2. Betriebskennlinie einer realen Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3. Vollständiges Ersatzschaltbild eines Stromkreises . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.4. Leistungsanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.5. Wirkungsgrad η und Leistungsfaktor Pa /Pamax in Abhängigkeit von x = Ra /Ri
2.7.1. Reale Strom- und Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1. Linearer passiver Zweipol (Leitwert) mit I-U-Kennlinie . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2. Nichtlineare I-U-Kennlinie einer idealisierten Diode . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.2.2.
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Beispielnetzwerk aus einer Übungsaufbabe . .
T-Netzwerk mit zwei Spannungsquellen . . . .
Darstellung von Zweigen, Knoten und Maschen
Netzwerkberechnung mit Ersatzquellen . . . .
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GdE1-v
Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
3.3.2.
3.3.3.
3.3.4.
3.3.5.
3.3.6.
3.4.1.
3.4.2.
3.4.3.
3.5.1.
3.5.2.
3.5.3.
3.5.4.
3.6.1.
3.6.2.
3.6.3.
3.6.4.
3.6.5.
3.6.6.
3.7.1.
Berechnung der Innenwiderstände der Ersatzquellen . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung der Leerlaufspannung der Ersatzspannungsquelle . . . . . . . .
Problemschaltung zur Zusammenfassung von Widerständen . . . . . . . . . .
Umgewandelte Schaltung zur Zusammenfassung von Widerständen . . . . .
(Dreier-) Stern- und Dreieck-Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Netz mit zwei Spannungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Auswirkung von Quelle 1 auf das Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Auswirkung von Quelle 2 auf das Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Topologische Grundbegriffe von Netzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Netz mit zwei Spannungsquellen und dessen gerichteter Graph . . . . . . . .
Netzwerk mit vollständigem Baum und eingezeichneten Maschen . . . . . .
Äquivalenz von realer Spannungsquelle und realer Stromquelle . . . . . . . .
Schaltungsbeispiel zur Knotenanalyse mit umgewandelten Spannungsquellen
Schaltungsbeispiel zur Knotenanalyse mit beibehalten der Spannungsquellen
Netzwerkausschnitt für Knotenspannungsanalyse . . . . . . . . . . . . . . .
Eintrag eines Leitwertes bei der Knotenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . .
Eintrag einer Spannungsquelle bei der MNA . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltungsbeispiel zur modifizierten Knotenanalyse . . . . . . . . . . . . . .
Nichtlineares Netzwerk mit einer Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.2.1.
4.3.1.
4.3.2.
4.3.3.
4.3.4.
4.4.1.
4.4.2.
4.4.3.
4.4.4.
4.5.1.
4.6.1.
4.6.2.
Beispiele verschiedener „Wechsel“-ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Periodendauer, Mittelwert und Scheitelwert einer Mischgröße . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenhang zwischen (a) Dreh-Zeigerdiagramm und (b) Zeitdiagramm . . . . . .
Sinusförmiger Strom- und Spannungsverlauf mit Phasenverschiebung . . . . . . . . .
Gleichrichtwert eines sinusförmigen Stromes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Effektivwert eines sinusförmigen Stromes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichrichterschaltung Schaltung mit Spannungen vor und nach der Gleichrichtung . .
Einfaches Netzteil mit Gleichrichterschaltung mit einfacher Siebung und Stabilisierung
Spannungswerte in einer Gleichspannungsschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phasenwinkel zwischen Zeigern und Bezugsachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Addition von Spannungen: (a) Schaltung und (b) im Zeitdarstellung . . . . . . . . . .
Geometrische Addition von 2 Spannungszeigern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenhang von Originalbereich und komplexem Bildbereich . . . . . . . . . . . .
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92
94
95
5.1.1. Darstellung der komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.1. Addition und Subtraktion komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3.1. Komplexer Drehzeiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.0.1.
6.1.1.
6.1.2.
6.2.1.
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6.2.3.
6.3.1.
6.3.2.
6.3.3.
6.4.1.
6.4.2.
6.4.3.
Einfache passive Wechselstrom-Zweipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wechselspannung und -strom am Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Leistung am Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spannung und Strom beim Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phasenwinkel und Frequenzgang des kapazitiven Blindleitwerts und Blindwiderstands
Kapazitive Blindleistung beim Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spannung und Strom bei der Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phasenwinkel und Frequenzgang des induktiven Blindleitwerts und Blindwiderstands .
Induktive Blindleistung bei der Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Netzwerk als Wechselstrom-Zweipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexer Widerstand und Leitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Scheinleistung beim allgemeinen Zweipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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102
103
104
105
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107
108
109
109
111
112
112
7.1.1. Hochfrequenz-Ersatzschaltbild eines realen Widerstandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
GdE1-vi
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
Abbildungsverzeichnis
7.1.2.
7.1.3.
7.1.4.
7.1.5.
7.2.1.
7.2.2.
7.2.3.
7.3.1.
7.3.2.
7.4.1.
7.4.2.
7.4.3.
7.5.1.
7.6.1.
7.7.1.
Abbildungsverzeichnis
Hochfrequenz-Ersatzschaltbild einer realen Spule . . . . . . . . . .
Hochfrequenz-Ersatzschaltbild eines realen Kondensators . . . . . .
Zählpfeile im Schaltbild und Bezugszeiger im Zeigerdiagramm . . .
Netzwerkberechnung mit komplexen Bauelementen . . . . . . . . .
Widerstand, Spule und Kondensator in Reihe . . . . . . . . . . . .
Ähnliche Dreiecke für Leistungen, Spannungen und Impedanzen . .
Addition von beliebigen Impedanzen bei einer Reihenschaltung . . .
Leitwert, Spule und Kondensator parallel . . . . . . . . . . . . . . .
Addition von beliebigen Scheinleitwerten bei einer Parallelschaltung
Ersatzwiderstand einer Gleichstrom-Schaltung . . . . . . . . . . . .
Ersatzimpedanz einer Wechselstrom-Schaltung . . . . . . . . . . .
Realisierung einer Impedanz als Reihen- oder Parallelschaltung . . .
Stern-Dreieck-Umwandlung komplexer Widerstände . . . . . . . .
Leistungsanpassung realer Wechselstromquellen . . . . . . . . . . .
Blindleistungskompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
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121
121
122
122
124
124
125
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130
132
GdE1-vii
Teil I.
Gleichstrom
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-1
1. Gleichströme
Ziele:
Das Ziel der Vorlesung GdE ist die Vermittlung genügender elektrotechnischer Grundlagen, so dass unsere Studierenden für das Studium und den sich ständig wandelnden
Arbeitsmarkt bestmöglich gerüstet sind (siehe auch Abb. 1.0.1) .
Bauelemente:
Erregung:
−Grundelemente RLC
−Halbleiterbauelemente
Netzwerke:
(Quellen)
(lineare und nichtlineare) Schaltungen
(analog und digital)
Elektro−
magnetisches
Feld:
(Begriffe,
Wirkungen,
Einführung der
Grundelemente)
Analyse− (und Synthese−) Methoden:
−Gleichstromnetzwerke
−Wechselstromnetzwerke
−allgemeine Netzwerke
Quellen:
Verallgemeinerung:
Feldtheorie:
verallgemeinerte
Signale
−(analoge und digitale) Systeme
−Wirkung auf Signale (z.B Modulation)
Leitungen und
Wellen
Kommunikations−
systeme
Informationsverarbeitende
Systeme
Steuer−/Regel−
systeme
Abbildung 1.0.1.: Schwerpunkte der Elektrotechnik und ihre Anwendung
Hilfe:
In die Praxis der Elektrotechnik haben moderne Taschenrechner — besser Minicomputer — und PC längst Einzug gehalten. Zur Vorlesung Grundgebiete der Elektrotechnik gehört längst ein Taschenrechner, mit dem man wenigstens komplexe Rechnungen
der Wechselstromtechnik durchführen kann. Aber auch das Lösen von Gleichungssystemen der Netzwerkberechnungen ist „eigentlich“ schon selbstverständlich geworden.
Simulation:
Die Schaltungssimulation gehört heute zu den Standardwerkzeugen in der Elektrotechnik, der Elektronik und vieler weiterer verwandter Gebiete:
• Das Programm Multisim gibt es in einer Studentenversion zur spicebasierten
Simulation in einer natürlichen Laborumgebung mit Messinstrumenten, Generatoren und Oszillographen u.a.
• Eine genauso gute und sogar kostenlose Alternative ist das Programm LTspice
von Linear Technology1 .
Mathematik:
Zur Unterstützung im Bereich der Mathematik für Elektrotechniker kann heute auch
MATLAB als Standardwerk bezeichnet werden
• Eine kostenlose Alternative dazu ist octave2 mit weitgehend identischen Toolboxen und Blocksets für unterschiedlichste Problemstellungen der Signal- und Systemverarbeitung, der Signaltransformation und vielfältigen Anwendungsgebieten wie Regelungstechnik, Bildverarbeitung, Kommunikationstechnik, u.v.a.m.
1 http://www.linear.com/designtools/software/
2 https://www.gnu.org/software/octave/download.html
GdE1-2
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
1. Gleichströme
Übungen:
1.1
Einleitung
Die Übungen zur Vorlesung Grundgebiete der Elektrotechnik sollen das theoretische
Verständnis des Vorlesungsstoffes vertiefen. Sie bauen daher nicht auf Simulationswerkzeugen auf. Zur Simulation mit octave und LTspice kann (Paul, 2004) verwendet
werden — nicht nur für Informatiker.
• Als Erweiterung des eLearning existiert das iLearning, bei dem das interaktive
Lösen von Übungsaufgaben auf dem Server pset.fh-muenster.de möglich ist.
1.1. Einleitung
Inhalt:
Wirkung des elektrischen Stromes
Weg:
Stromkreis, aber auch elektrische und magnetische Felder und Wellen
Ursache:
Elektrische und magnetische Quellen aber auch induzierte Spannungen
Praxis:
Wie kann man die Wirkung des elektrischen Stromes sichtbar machen? Es ist kein Problem, die Wirkung des elektrischen Stromes zu erfahren, aber Vorsicht: Lebensgefahr!
Physik:
Oftmals ist es hilfreich, die Wirkung des elektrischen Stromes mit begreifbaren physikalischen Größen zu vergleichen (von Oppen und Melchert, 2005). So gibt es z.B. nur
eine Energie, die sich in unterschiedlichen Erscheinungsformen beschreiben lässt:
• Energie der Bewegung: W = 12 mv 2
• Energie des magnetischen Feldes: W = 12 LI 2
• Energie des elektrischen Feldes: W = 12 CU 2
Einstein:
Frage an Einstein (Antébi, 1983) : „Ja, glauben Sie denn, dass es einmal möglich sein
wird, einfach alles auf naturwissenschaftliche Weise abzubilden?“
Antwort von Einstein: „Ja, das ist denkbar, aber es hätte doch keinen Sinn. Es wäre
eine Abbildung mit inadäquaten Mitteln, so als ob man eine Beethoven-Symphonie
als Luftdruckkurven darstellte.“
Definition:
Die Stromstärkeeinheit Ampere ist definiert als die Stärke eines elektrischen Stromes,
der durch 2 parallele geradlinige Leiter mit einem Abstand von 1 Meter fließt und der
zwischen den Leitern je Meter Länge eine Kraft von 2 · 10−7 N hervorruft (Kuchling,
1978; Hering u. a., 2004).
→ Wirkung des elektrischen Stromes (Magnetfeld)!
→ Die Stromstärke ist eine Basisgröße des Internationalen Einheitensystems (SI, System Internationale) und wird in Ampere (A) gemessen.3
Frage:
Woher kommt der Strom?
Antwort:
Aus der Steckdose! Hier dargestellt mit einem NOT-AUS-Taster, wie er in den Praktikumslaboren zur Sicherheit vorhanden ist.
In Abb. 1.1.1 ist eine Schutzkontakt-Steckdose dargestellt. Für nicht stationäre Anwendungen können Batterien oder Akkus als Quelle eingesetzt werden.
Aber die Frage bleibt natürlich:
Frage:
Woher kommt der Strom nun wirklich?
3 Die
Einheit Ampere wird zu Ehren von André Marie Ampère verwendet, geb. 1175, gest. 1836, entdeckte magnetische Wirkungen in
der Umgebung stromdurchflossener Leiter
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-3
1.1
Einleitung
1. Gleichströme
Abbildung 1.1.1.: Strom aus der Steckdose und dem Akku
Antwort:
Aus Spannungs- oder Stromquellen. Auch diese sind i.d.R. an Steckdosen angeschlossen, deren Versorgung dann über die Energietechnik zu Generatoren (→ Induktion)
führt.
In Abb. 1.1.2 sind eine technische Spannungs- und Stromquelle dargestellt. Was eine
reale Quelle von einer idealen unterscheidet wird u.a. in der Vorlesung behandelt und
ist selbstverständlich prüfungsrelevant!
Abbildung 1.1.2.: Spannungs- und Stromquelle
Frage:
Was ist Elektrotechnik?
Antwort:
Eine wesentliche Antwort kommt aus der Mikroelektronik mit der modernen Chiptechnik zur Herstellung leistungsfähiger Rechner für die Informatik und die Kommunikationstechnik.
In Abb. 1.1.3 ist so ein „intelligenter“ Chip auf einer Platine zu sehen.
GdE1-4
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
1. Gleichströme
1.1
Einleitung
Abbildung 1.1.3.: Platine mit Prozessor
Frage:
Was ist Elektrotechnik noch?
Antwort:
Energietechnik. Bei aller Euphorie für die moderne Technik: Bisher brauchen wir noch
immer Spannungen für unsere Chips, die mit moderner Leistungselektronik stabilisiert
werden.
Häufig müssen dazu Gleichspannungen mit Hilfe von Dioden (siehe Abb.1.1.4, auch
Gleichrichter genannt) aus Wechselspannungen erzeugt werden.
Bauelemente der Elektronik werden mit bipolar und MOS-Transistoren in der Vorlesung Bauelemente behandelt. Also: Bis auf den Brückengleichrichter kein Prüfungsstoff . . .
Abbildung 1.1.4.: Halbleiter- und Leistungsdioden
Frage:
1. Februar 2017
Was ist eine Röhre?
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GdE1-5
1.2
Physikalische Größen
Antwort:
1. Gleichströme
Es war eine großartige Technik, als die Grundlage der Elektrotechnik noch die Röhre
war. Nur in der Hochfrequenztechnik gibt es immer noch das Magnetron, die Senderöhre . . . Bis auf wenige Ausnahmen sind Röhren (siehe Abb, 1.1.4) heute aber weitgehend „ausgestorben“ und durch Transistoren ersetzt worden.
Abbildung 1.1.5.: Röhren und Transistoren
1.2. Physikalische Größen
Frage:
Welche Farbe hat der Strom? (oder die Spannung)
Antwort:
Rot, wenn es eine Gleichspannung ist, und gelb (braun), grün oder violett (rot), wenn
es Wechselspannungen sind4 .
Bemerkung: Hier gibt es noch ein „historisches“ Problem: Ursprünglich wurden die
Farben gelb, grün und violett zur Unterscheidung der 3 Phasen verwendet — so wie
sie auch im begleitenden Praktikum im Labor verwendet werden. Heute werden jedoch bei der Elektroinstallation alle Phasen in schwarz oder braun ausgeführt, wobei
eine Kennzeichnung teilweise über Texte erfolgt. Die Rückleitung ist immer blau. Als
Schutzleiter (Erdung) wird eine grün-gelbe Leitung verwendet.
Farben haben also eine inhaltliche Bedeutung — sie werden und sollen nicht „nach
künstlerischen Gesichtspunkten“ oder noch schlimmer „ganz ohne Sinn“ verwendet
werden. Nicht im Skript, nicht im Praktikum und schon gar nicht in der Praxis!
Im Skript lässt sich die Farbe gelb im SW-Druck nur schwer erkennen, so dass dafür
die Farbe braun verwendet wird. Ebenso wird auch in der Wechselstromtechnik anstelle von Violett die Farbe Rot für die Phase verwendet, damit im Skript immer die
Farbe „Rot“ für Spannung und die Farbe „Grün“ für Strom steht.
Bauelemente:
Neben der Spannungsquelle und dem Widerstand in der Gleichstromtechnik sind vor
allem Spule und Kondensator in der Wechselstromtechnik von Bedeutung.
Besonders an die Farben der Spannungen sollte sich jeder zukünftige „Elektrotechniker“ gewöhnen, da es für erfahrene Ingenieure schon ein „kleiner Schock“ ist, wenn in
4 Der
Schutzleiter / Schutzerde (engl. protective ground) ist heute als einziger zweifarbig gelb/grün — früher war er rot.
GdE1-6
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1. Februar 2017
1. Gleichströme
1.2
Uq
Spannungsquelle
+
Gleichspannung
Iq
Stromquelle
−
Masse
R
Widerstand
L1
Wechselspannung
L
Spule
L2
Wechselspannung
C
Kondensator
L3
Wechselspannung
Physikalische Größen
Abbildung 1.2.1.: Bauelemente und Farben der Elektrotechnik
einer 3-Phasen-Wechselstromschaltung ein gelber und ein grüner Stecker aufeinander
stecken. Warum, könnte z.B. eine Frage im Praktikum sein!
Hier beenden wir den Exkurs in die Geschichte der Elektrotechnik. Wer mehr darüber
lesen möchte kann sich z.B. mit (Antébi, 1983) ein schönes Bilderbuch dazu schenken
lassen.
Strom:
Was bedeutet:
. . . wir schließen die Schaltung an eine Stromquelle
I = 0,5A = 500mA
(1.2.1)
an . . .
Bedeutung:
Physikalische Größen und damit auch Größen der Elektrotechnik werden durch Formelzeichen, Zahlenwerte und Einheiten dargestellt
Buchstabe:
• Der Großbuchstabe I kennzeichnet einen Gleichstrom, dessen Amplitude konstant bleibt, unabhängig von der Zeit und der Belastung der Quelle. Das kann in
der Theorie sogar zu nicht lösbaren Problemen führen, wenn z.B. an eine ideale
Stromquelle ein Widerstand mit R = 0Ω angeschlossen wird. Warum?
• Mit dem Kleinbuchstaben i wird ein zeitabhängiger Wechselstrom i = i(t) bezeichnet, wobei auf das Zeitargument ja aufgrund der Definition verzichtet werden kann .
• Mit einem unterstrichenen Großbuchstaben I wird der komplexe Zeiger eines sinusförmigen Wechselstroms I = I 6 ϕ mit Betrag und Phase dargestellt. Genauer
müsste es I = I · ejϕ heißen. Doch dazu mehr in der Wechselstromtechnik . . .
Größe:
• Physikalische Größen sind das Produkt aus einem Zahlenwert und einer Einheit
und ggf. einer dezimalen Vorsilbe.
→ Physikalische Größen können nicht als reine Zahlenwerte dargestellt werden.
Dezimale Vorsilben treten nur als einzelne Faktoren vor einer Einheit auf.
Einheiten:
Das international vorgeschriebenes Einheitensystem SI (Système Internationale) enthält 7 Basiseinheiten. Diese Einheiten der Tab. 1.1 sind als Anhang A der DIN 1301,
Teil 1 spezifiziert (siehe auch (Frohne u. a., 2005)).
Die genauen Definitionen der Basisgrößen finden sich in zahlreichen physikalischen
Fachbüchern, so auch im Handbuch der Elektrotechnik (Böge, 2007, Seite 165).
1. Februar 2017
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GdE1-7
1.2
Physikalische Größen
1. Gleichströme
Größe
Länge
Masse
Zeit
Stromstärke
Temperatur
Stoffmenge
Lichtstärke
Zeichen
l
m
t
i
T
n
IV
Einheit
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampère
Kelvin
Mol
Candela
Zeichen
m
kg
s
A
K
mol
cd
Tabelle 1.1.: Internationales Einheitensystem SI
Spannung:
Was ist mit der elektrischen Spannung, die mit dem Formelzeichen U dargestellt wird
und deren Einheit?
[U ] =?
(1.2.2)
→ Alle anderen Größen lassen sich als Produkte oder Quotienten aus den Basiseinheiten ableiten. Sie werden daher auch als abgeleitet SI-Einheiten bezeichnet.
Mit der elektrischen Leistung P = U I kann die Einheit Volt der Spannung als
[U ] = V =
W
kgm2
[P ]
=
=
[I]
A
As3
(1.2.3)
dargestellt werden. Für die Einheit Joule der mechanischen Arbeit W = F s = P t,
der Kraft längs eines Weges oder der Leistung über einen Zeitraum, findet man
[W ] = J = [F ] · [s] = N · m =
kgm2
s2
(1.2.4)
m
s2
(1.2.5)
mit der Einheit Newton der Kraft F = ma
[F ] = N = [m] · [a] = kg ·
Man kann schon hier sehen, dass der selbe Buchstabe unterschiedliche Bedeutungen
haben kann, je nachdem in welchem Kontext er auftritt. So kann W zum einen das
Formelzeichen der Arbeit und zum anderen die Einheit Watt der elektrischen Leistung
darstellen.
Elektrotechnik:
In der Elektrotechnik werden aus Vereinfachungsgründen weitere abgeleitete Einheiten verwendet, wie sie in Tab. 1.2 angegeben sind. Ihre Maßeinheiten sind zu Ehren
bedeutender Naturwissenschaftler oder Techniker genannt worden .
Vorsilben:
Für die praktische Schreibweise von „zu kleinen“ oder „zu großen“ Einheiten werden
in der Elektrotechnik die bekannten Buchstaben aus Tab. 1.3 als dezimale Vielfache
der Einheit verwendet.
→ Großbuchstaben vergrößern die Einheit immer und in der Regel verkleinern Kleinbuchstaben die Einheit, aber leider nur mit den bekannten Ausnahmen . . . 5
Schreibweise:
Für die einfache Lesbarkeit elektrotechnischer Formeln werden folgende Vereinbarungen getroffen:
• Vektoren (mit Betrag und Richtung) werden mit einem Pfeil über dem Symbol
~
gekennzeichnet: E
5. . .
Kilo und Hekto
GdE1-8
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1. Februar 2017
1. Gleichströme
1.2
Größe
Frequenz
Kraft
Arbeit
Leistung
Spannung
Ladung
Widerstand
Leitwert
Kapazität
Induktion
Induktivität
Zeichen
f
F
W
P
U
Q
R
G
C
B
L
Einheit
Hertz
Newton
Joule
Watt
Volt
Coulomb
Ohm
Siemens
Farad
Tesla
Henry
Zeichen
Hz
N
J
W
V
C
Ω
S
F
T
H
Physikalische Größen
Definition
1Hz = 1/s
1N = 1kg · m/s2
1J = 1N m
1W = 1J/s
1V = 1W/A
1C = 1As
1Ω = 1V /A
1S = 1/Ω
1F = 1C/V
1T = 1V s/m2
1H = 1V s/A
Tabelle 1.2.: Abgeleitete Einheiten der Elektrotechnik
Kleiner 1
Atto
10−18
Femto 10−15
Pico
10−12
Nano
10−9
Mikro 10−6
Milli
10−3
Zenti
10−2
Dezi
10−1
a
f
p
n
µ
m
c
d
Größer 1
Exa
1018
Peta
1015
Tera
1012
Giga
109
Mega 106
Kilo
103
Hekto 102
Deka
101
E
P
T
G
M
k
h
D
Tabelle 1.3.: Dezimale Vielfache und Teile
1. Februar 2017
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GdE1-9
1.3
Zusammenfassung
1. Gleichströme
• Zeitabhängige Größen werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet, wobei die explizite Zeitabhängigkeit häufig weggelassen wird: u = u(t)
• Zeitunabhängige Größen (der Gleichstromtechnik) werden mit großen Buchstaben bezeichnet: U = const
• Komplexe Größen (der Wechselstromtechnik mit Betrag und Phase) werden unterstrichen: u bzw. U = (U 6 ϕ)
• Normierte Größen sind Zahlenwerte, die durch Division einer physikalischen Größe mit einer konstanten Größe gleicher Einheit entstehen: α(R) =
U2 (R)/U1
• Verhältnisgrößen sind der Quotient zweier Größen gleicher Einheit: η(x) =
Pab (x)/Pzu (x)
Eine einfache Verständnisfrage: Welche Einheiten können normierte Größen und Verhältnisgrößen annehmen? Wer die Antwort wirklich nicht findet frage bitte in der Vorlesung nach!
1.3. Zusammenfassung
Größen:
Elektrotechnisch bedeutende Gleichstromgrößen sind:
• Spannung, z.B.: U = 240V
• Widerstand, z.B.: R = 10kΩ
• Strom, z.B.: I = 500mA
• Leistung, z.B.: P = 5kW
• Arbeit, z.B.: W = 500W s
GdE1-10
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1. Februar 2017
2. Gleichstromelemente
Ziele:
Das Ziel dieses Kapitels ist das Kennenlernen elektrischer Bauteile und deren Eigenschaften im Gleichstromkreis sowie die Einführung elektrotechnischer Grundgesetze.
LED
Widerstand
Erwärmung
Batterie
magnetische
Feldlinie
N
Schalter
Magnet−
nadel
richtet sich aus
S
→ Die magnetischen Effekte gehören zu den Eigenschaften des Stromes, die in GdE 3
behandelt werden.
2.1. Grundbegriffe
Strom:
Die geordnete Bewegung von Ladungen, besser Ladungsträgern, wird als elektrischer
Strom bezeichnet.
Ladungsträger:
Positive oder negative elektrische Ladungen sind an freie oder bewegliche elektrische
Ladungsträger gebunden.
→ Ladungen stehen synonym für Ladungsträger
Leiter:
In einem metallische Leiter können sich negativ geladene Elektronen im Elektronengas frei bewegen (analog zu Molekülen in Gasen). Sie haben eine Masse
me = 9,1 · 10−31 kg
(2.1.1)
und eine Ladung, die Elementarladung
e = −1,6 · 10−19 As
(2.1.2)
→ Elektronenleitung entsteht als Folge einer elektrischen Strömung, z.B. als Folge
einer Spannungsquelle in einem geschlossenen Stromkreis.
Alternativ:
1. Februar 2017
Neben der Elektronenleitung gibt es noch andere Möglichkeiten des Ladungstransports:
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GdE1-11
2.1
Grundbegriffe
2. Gleichstromelemente
• Löcherleitung durch das Auffüllen von Elektronenfehlplätzen (positives Loch,
Defektelektron) bei Halbleitern.
→ Bewegungsrichtung entgegengesetzt zur Strömung der Elektronen.
• Ionenleitung durch Drift von ein- oder zweiwertig positiven oder negativen Molekülen in Gasen oder Flüssigkeiten.
Stromrichtung:
Sie wurde historisch festgelegt von der positiven Klemme (+) der Quelle zur negativen
(−).
→ Im Gegensatz dazu verläuft die Richtung der Elektronenströmung: Sie ist entgegengesetzt der „Stromrichtung“. Aus heutiger Sicht ist die Stromrichtung also falsch
geraten worden.
Frage:
Wofür ist die richtige Stromrichtung überhaupt wichtig?
→ Die Antwort sollte sich in den nächsten Vorlesungsstunden finden lassen . . .
2.1.1. Elektrischer Strom
Ladung:
Fließt ein zeitlich konstanter Strom I durch einen Leiter, so transportiert er in der Zeit
t die Ladung Q = It.
−
−
A
−
−
−
−
+
−
l
Abbildung 2.1.1.: Leiterstück als Zylinder mit der Querschnittsfläche A und der Länge l
Strom:
Wird umgekehrt die Ladung Q in der Zeit t durch den einen Leiter transportiert, so
kann daraus ein während der Zeit t konstanter Strom
I=
Q
t
(2.1.3)
bestimmt werden. Ist der Strom eine Funktion der Zeit, so ergeben sich integrale Zusammenhänge
Zt2
Q = i(t)dt
(2.1.4)
t1
Leiter:
Je ein Metallatom des Gitters gibt etwa 1 Elektron in das Elektronengas eines Leiters
→ In jedem cm3 des Gitters sind rund 1023 Elektronen in ungeordneter Bewegung.
Ladung:
Bei N Elektronen ergibt sich eine Strömung der Ladungsmenge
Q = −N e
(2.1.5)
bei der das einzelne Elektron mit der Geschwindigkeit v die Zeit t braucht, um ein
Leiterstück der Länge l zu durchlaufen.
GdE1-12
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1. Februar 2017
2. Gleichstromelemente
Strom:
2.1
Für dieses Leiterstück aus Abb. 2.1.1 ist der Betrag der Stromstärke entsprechend
Gln. 2.1.3
Q
Ne
nV e
|I| =
=
=
(2.1.6)
t
t
t
mit der Konzentration der Ladungsträger.
n=
Geschwindigkeit:
Grundbegriffe
N
V
(2.1.7)
Setzt man das Volumen V = A · l ein wird daraus
I=
nAle
t
(2.1.8)
und mit der Geschwindigkeit v = l/t weiter
I = neAv
(2.1.9)
Die Division durch den Querschnitt A liefert die Stromdichte
S=
I
= nev
A
(2.1.10)
aus der sich die Geschwindigkeit der Elektronen zu
v=
S
ne
(2.1.11)
ergibt.
Verständnis:
Muss diese Geschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit sein, da das Licht ja
sofort nach dem Einschalten am Schalter an ist? Antwort: Siehe Beispiel 2.1.1 in der
Vorlesung . . .
Stromdichte:
Bei gleichmäßiger Verteilung der Stromdichte S über den Querschnitt A einer Leitung
ergibt sich der Strom in der Leitung nach Gln. 2.1.10 zu
I = SA
(2.1.12)
Falls die Stromdichte eine Funktion des Ortes ist (z.B. aufgrund von Stromverdrängung bei höheren Frequenzen) berechnet sich der Strom allgemeiner aus den entsprechenden Vektoren zu
Z
~ A
~
I = Sd
(2.1.13)
A
~ und der
Der Strom I ist das Integral über dem Skalarprodukt aus der Stromdichte S
~
Fläche A, durch den der Strom fließt.
→ Die Mathematik „spielt“ in der Elektrotechnik eine Hauptrolle!
Schule:
~ A
~ ergab das Skalarprodukt:
Wiederholung Mathematik: Für 2 parallele Vektoren S||
~ ·A
~ = S · A · cos ϕ = SA
S
Beispiel 2.1.1
(Strom)
Gegeben seien: Stromdichte S = 16A/mm2 (Grenzwert nach VDE1 für bewegliche
Leitung mit 1mm2 Querschnitt), n = 1023 cm−3 und e = −1,6 · 10−19 As.
1 Der
VDE (Verband der Elektrotechnik, http://www.vde.com) engagiert sich für ein besseres Innovationsklima, Sicherheitsstandards,
für eine moderne Ingenieurausbildung und eine hohe Technikakzeptanz in der Bevölkerung.
1. Februar 2017
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GdE1-13
2.1
Grundbegriffe
2. Gleichstromelemente
1. Wie groß ist die Geschwindigkeit der Elektronen?
2. Warum „sehen“ wir, dass das Licht sofort angeht, wenn es am Schalter eingeschaltet wird?
Lösung:
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
v=
S
= 1mm/s
ne
2.1.2. Elektrische Spannung
Kraft:
Zur Bewegung der Elektronen in einem Leiter muss eine Kraft F~ auf die Ladung
Q ausgeübt werden. Setzt man diese beiden in Bezug zueinander, so ergibt sich die
Definition der elektrischen Feldstärke zu
~ ∼ F~ ⇒ E
~ = 1 F~
E
(2.1.14)
Q
→ Diese Gleichung wird auch Formel von Coulomb2 genannt.
Bedeutung:
Die elektrische Feldstärke ist eine der wichtigsten Größen der Elektrotechnik: Sie hat
die Richtung der Kraft F~ bei positiven Ladungen Q
Bezug:
~ in einem Punkt x ist die Ursache der Stromdichte S
~ als
Die elektrische Feldstärke E
Wirkung mit der linearen Beziehung
~∼E
~
S
⇒
~ = κE
~
S
(2.1.15)
Darin ist κ, die spezifische Leitfähigkeit, ein Maß für die Beweglichkeit der Elektronen.
Integral:
~ zwischen zwei Punkten ist die elektrische SpanDas Linienintegral der Feldstärke E
3
nung
Z2
~ ~l = ϕ1 − ϕ2
(2.1.16)
U12 = − Ed
1
Potential:
Eine Spannung kann als Potentialdifferenz zwischen den beiden Punkten aufgefasst
werden. Dabei ist das Potential eines Punktes ϕ die Spannung zwischen diesem Punkt
und einem beliebigen (gleichen) Bezugspunkt (oft als Masse bezeichnet) definiert.
Draht:
Verläuft der Weg in Gln. 2.1.16 speziell entlang eines Drahtes der Länge l mit konstantem Querschnitt, so erhalten wir den Betrag der Spannung zu
U12 = El
(2.1.17)
Ersetzen wir mit Gln. 2.1.14 die elektrische Feldstärke durch die Kraft, die auf Ladungen ausgeübt wird, so wird daraus
U12 =
2 Zu
Fl
Q
(2.1.18)
Ehren von Charles Augustine de Coulomb, 1736 – 1806, Entdeckte das Coulomb’sche Gesetz von der Anziehung zweier Ladungen
3 Das
Minuszeichen steht hier aus mathematischen Gründen, da
R2
~ ~l = f (2) − f (1) ist und mit f (x) = −ϕ(x) kann das MinuszeiEd
1
chen eingeführt werden.
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1. Februar 2017
2. Gleichstromelemente
2.1
ϕ1
+10V
+20V
+38V
E−Feld
+30V
U12
2
Weg
+8V
1
Grundbegriffe
ϕ2
+8V
ϕ0
0V
+38V
Abbildung 2.1.2.: Spannung im elektrischen Potentialfeld
Arbeit:
Das Produkt W = F l, also die Kraft entlang des Weges, ist die mechanische Arbeit,
die nötig ist, um die Ladung Q vom Potential 1 zum Potential 2 zu bewegen. Wir
erhalten damit allgemein die Spannung zu
U ∼W
Leistung:
⇒
U=
1
W
Q
(2.1.19)
Die Ursache eines elektrischen Stromes ist die Arbeit, die auch als Leistung mal Zeit
(W = P · t) ausgedrückt werden kann, an der Ladung, die auch als Strom mal Zeit
(Q = I · t) ausgedrückt werden kann. Daraus wird für die Spannung
U=
W
Pt
P
=
=
Q
It
I
(2.1.20)
→ Die Spannung U zwischen 2 Punkten eines stromführenden Leiters ist der Quotient
aus der in diesem Leiterteil umgesetzten Leistung und dem durch den Leiter fließenden
Strom.
Einheit:
Die Einheit der Spannung ist das Volt4
[U ] =
Richtung:
[P ]
W
=
=V
[I]
A
(2.1.21)
Die Richtung der Spannung entspricht der Bewegung einer positiven Probeladung.
→ In Schaltbildern geht der Zählpfeil vom Plus- zum Minuspol der Quelle. Der Strom
in einem geschlossenen Stromkreis fließt damit außerhalb der Spannungsquelle vom
Plus- zum Minuspol.
Normen:
Die Werte von Spannungsquellen werden in Spannungsreihen genormt
• Kleinspannung: AC ≤ 50V und DC ≤ 120V
• Niederspannung: AC ≤ 1000V und DC ≤ 1500V
• Hochspannung: AC > 1000V und DC > 1500V
Warum:
Für Gleichspannungen DC ≤ 60V und Wechselspanungen AC ≤ 25V werden keine
Schutzmaßnahmen benötigt. Warum?
→ Die Antwort findet sich in GdE 2 im Kapitel Schutzmaßnahmen . . . weil der Körperstrom bei 50Hz-Wechselspannung kleiner als 25mA ist:
IK =
4 Zu
UK
25V
=
= 25mA
RK
1kΩ
Ehren von Alessandro Volta, 1745 – 1827, Entwickelte die Theorie vom elektrischen Strom
1. Februar 2017
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GdE1-15
2.2
Stromkreis
2. Gleichstromelemente
→ Eine Lebensgefahr mit Herzkammerflimmern tritt bei größeren Wechselströmen
ein.
→ Die Gefährdung nimmt mit steigender Freqenz der Wechselströme (über 300kHz
deutlich) ab.
2.2. Stromkreis
Bild:
Ein einfacher geschlossener Stromkreis, wie in Abb. 2.2.1 dargestellt, enthält eine
Quelle (Spannung Uq oder Strom Iq ), im allgemeinen widerstandslose Verbindungsleitungen und einen Verbraucher (z.B. Widerstand R).
I
Uq
I
R
Iq
R
Abbildung 2.2.1.: Einfache Stromkreise mit Spannungs- und Stromquellen
Aufgabe:
Die Aufgabe in der Gleichspannungstechnik beruht nun im wesentlichen darauf, bei
diesen einfachen Kreisen aus den bekannten Quellengrößen und dem Bauelementewert den im Kreis fließenden unbekannten Strom I zu berechnen!
→ Es entsteht ein elektrotechnisches Gleichungssystem, das mit mathematischen Methoden gelöst werden kann!
2.2.1. Ohmsches Gesetz
Aufgabe:
Die Berechnung von Strömen in einem Stromkreis kann nur erfolgen, wenn es einen
Zusammenhang von Strom und Spannung an den Bauelementen gibt
UBauelement = f (IBauelement )
Messen:
Das Verhältnis der Spannung zwischen den Enden eines Leiters und dem Strom im
Leiter wird als Widerstand definiert. Man findet experimentell (also durch Messen
von Spannung und Strom an einem Leiter) den linearen Zusammenhang5
UW iderstand ∼ IW iderstand
→ Dieser elementare Zusammenhang ist so wichtig, dass er als Ohmsches Gesetzt
bezeichnet wird:
U = RI
(2.2.1)
→ Es ist das zentrale Gesetz in der Elektrotechnik und Elektrotechnik betreiben heißt,
das Ohmsche Gesetz anwenden!
5 Mathematisch:
GdE1-16
y = f (x) = ax + b
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1. Februar 2017
2. Gleichstromelemente
Widerstand:
2.2
Stromkreis
Aus der Spannung am Widerstand und dem Strom durch den Widerstand kann demnach der Widerstandswert bestimmt werden
R=
U
I
(2.2.2)
mit der Einheit Ohm6
[R] =
[U ]
V
=
=Ω
[I]
A
(2.2.3)
→ Je größer der Widerstandswert ist, desto weniger Strom kann bei gleicher Spannung
durch den Widerstand fließen7 !
Leitwert:
Der Reziprokwert des Widerstandes, der Leitwert
G=
1
I
=
R
U
(2.2.4)
ist ein Maß dafür, wie einfach der Strom durch einen Widerstand fließen kann. Seine
Einheit ist Siemens8
[I]
A
1
=
=
=S
(2.2.5)
[G] =
[U ]
V
Ω
Beispiel 2.2.1
(Ohmsches Gesetz)
Eine Spannungsquelle mit U = 6V wird nacheinander an die Widerstände R = n ·
10Ω, n = 1 . . . 6 angeschaltet.
1. Welche Ströme ergeben sich?
2. Stellen Sie das Ergebnis graphisch dar!
Lösung:
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
U
1
I(R) =
=f
R
R
2.2.2. Elektrischer Widerstand
Frage:
Was ist ein Widerstand?
Antwort:
Nach dem Ohmschen Gesetz ein Hindernis für den Strom!
→ Vereinfachend wird angenommen, dass die Drahtverbindungen zwischen Bauelementen (z.B. die Anschlussdrähte) widerstandslos sind.
Messen:
Experimentell kann man an einem metallischen Draht (also einem Drahtwiderstand)
folgendes messen:
• Längerer Draht: Spannung muss den Strom über eine längere Strecke treiben →
Widerstand nimmt zu: R ∼ l
• Dickerer Draht: Elektronen finden mehr Platz → Widerstand nimmt ab: R ∼
1/A
6 Zu
Ehren von Georg Simon Ohm, 1789 – 1854, stellte 1826 das Ohmsche Gesetz auf
U = R I = const. ⇒ R↑ bedeutet I↓
8 Zu Ehren von Werner von Siemens, 1816 – 1892, Gründer der Siemens und Halske A.G. In den USA: MHO, rückwärts lesen!
7 Für
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GdE1-17
2.2
Stromkreis
2. Gleichstromelemente
Abbildung 2.2.2.: Verschiedene Widerstandsformen
• Verschiedene Materialien: Strom verändert sich bei gleicher Spannung in Abhängigkeit des Materials → unterschiedlicher Widerstand bei gleicher Geometrie:
R∼ρ
Meistens sind die niederohmigen Widerstände wegen der größeren Strombelastung
baulich größer als die hochohmigen.
Formel:
Aus der Messung findet man den Zusammenhang für einen Draht der Länge l mit dem
Querschnitt A
R=
%l
l
=
A
κA
(2.2.6)
mit der elektrischen Leitfähigkeit κ und dem spezifischen Widerstand % = 1/κ .
Temperatur:
Die zusätzliche Temperaturabhängigkeit des Widerstandes wird durch einen Temperaturbeiwert modelliert (siehe Tab. 2.1 mit den charakteristische Kenngrößen einiger
Metalle) (Frohne u. a., 2005, S. 536)
Werkstoff
Einheit
Aluminium
Gold
Kupfer
Silber
Wolfram
κ20 in
Sm/mm2
33 . . . 36
45
55 . . . 57
60 . . . 62
18,2
α20 in
10−3 K −1
4.2 . . . 5.0
4,0
3,9 . . . 4,3
3,8
4,1
β20 in
10−6 K −2
1,3
0,5
0,6
0,7
1
Tabelle 2.1.: Kenngrößen von verschiedenen Metallen
→ κ bzw. % werden für T20 = 20◦ C spezifiziert und mit dem linearen Temperaturbeiwert α20 und dem quadratischen β20 versehen. Der Widerstand bei der Temperatur T ,
also einer Differenz ∆T = T − T20 , berechnet sich dann zu
R = R20 (1 + α20 ∆T + β20 (∆T )2 )
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(2.2.7)
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2. Gleichstromelemente
2.2
Stromkreis
Der Flächenwiderstand Rs ist eine besonders für Halbleiterschaltungen wichtige Widerstandsangabe, mit der der Widerstand eines Quadrates (Länge l = b, Breite) konstanter Schichtdicke d bezeichnet wird. Der Widerstand senkrecht zur Stirnfläche
A = d · b wird damit zu
Fläche:
R=
%l
%l
l
=
= RS = RS
A
db
b
für l = b
(2.2.8)
→ Die Einheit des Schichtwiderstandes ist Ohm, trotzdem wird sie häufig als
Ohm/Fläche (Ω/2) angegeben.
Die realisierten Zahlenwerte von Widerständen sind in den IEC-Reihen9 (E6, E12,
E24, E48, E96) genormt. Beim E-Wert
Norm:
Enm = 10m/n
(2.2.9)
gibt n = 6, 12, . . . die Anzahl der Widerstände m = 0, 1, . . . , (n − 1) an, die im
Zahlenbereich 1 . . . 10 untergebracht werden können.
Neben den Zahlenwerten und Toleranzen ist auch der Farbcode normiert, mit dem die
Widerstandswerte auf den Widerstand gemalt werden. Dieser Farbcode enthält nach
den 2 oder 3 Ringen für die Ziffern einen Ring als Multiplikator und einen für die
Toleranz. Die Farbwerte können z.B. in (?, S. 9) nachgesehen werden.
Beispiel 2.2.2
(Widerstand)
Der Wolfram-Faden einer 40W Glühlampe für 220V ist 8,4cm lang und hat den Nennwiderstand R20 = 78Ω. Die Kenngrößen von Wolfram sind der Tab. 2.1 zu entnehmen.
1. Welchen Widerstand hat der Faden bei einer Betriebstemperatur von 2300◦C?
2. Welchen Durchmesser hat der Faden?
Lösung:
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
R(T = 2300◦C) = R20 (1 + α20 ∆T + β20 ∆T 2 ) = 1212,62Ω
und
r
d=
Beispiel 2.2.3
(E-Norm)
4l
= 0,00867984mm
κ20 R20 π
Jeder Widerstand einer E-Reihe hat eine Toleranz, so dass jede Reihe voll überdeckend
ist.
1. Welche Widerstandswerte sind in den Reihen E6 und E12 vorhanden?
2. Wie groß muss die Toleranz der Reihen E6 und E12 sein, damit jeder gefertigte
Widerstand verwendet werden kann?
3. Welche Widerstandswerte können zur Realisierung eines Widerstandes R =
2,33kΩ aus den Reihen E6 oder E12 verwendet werden?
9 International
Electrotechnical Commision
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2.2
Stromkreis
2. Gleichstromelemente
2.2.3. Widerstände als Mess-Sensoren
Heißleiter:
Einige Halbleitermaterialien (z.B. Magnesium und Titanoxid) besitzen einen negativen Temperaturkoeefizienten (NTC-Widerstand, NTC = Negative Temperature Coefficient) bezogen auf den Widerstand R25 bei T = 25◦C
B
B
R = R25 · e( T − 298K )
(2.2.10)
mit der Materialkonstanten B zwischen 3 000 K und 6 000 K.
→ Ihr Widerstand sinkt bei steigender Temperatur
Kaltleiter:
Analog zu Heißleiter haben Kaltleiter (z.B. Bariumtitanat) einen positivem Temperaturkoeffizienten (PTC-Widerstand, PTC = Positive Temperature Coefficient).
→ Ihr Widerstand steigt bei steigender Temperatur
Messfühler:
Wegen der exponentiellen Abhängigkeit (größere Widerstandsänderung) werden diese
Widerstände als Messfühler für die Temperatur verwendet.
→ Problem: Nichtlinearitäten
→ Lösung: Einsatz von Digitalen Signalprozessoren (DSP)
Physik:
Zur Messung weitere physikalischer Größen eignen sich Widerstände mit entsprechenden Abhängigkeiten
• Licht → Fotowiderstand,
• Magnetisches Feld → Hall-Widerstand und
• Mechanische Zugspannung → Dehnungsmessstreifen.
→ Die Änderung einer physikalischen Größe hat so die Änderung einer elektrischen
Größe zur Folge!
→ Die elektrische Größe kann ggf. nach einer Analog-Digital-Umsetzung (ADU) mit
DSPs oder µPs (Mikroprozessoren) weiterverarbeitet werden.
2.2.4. Realer Stromkreis
In Abb. 2.2.3 kann die Hin- und Rückleitung zwischen dem Verbraucher und dem Generator zu einem
Leitungs-Widerstand zusammen gefasst werden. Damit sind „Striche“ als Leitungen im Weiteren als widerstandslos anzusehen!
Leitungen:
Zwischen den Elementen eines realen Stromkreises müssen reale Leitungen mit einem
entsprechenden Drahtwiderstand verwendet werden.
→ Welchen Einfluss haben reale Leitungen?
Verbraucher:
Wir schließen einen Verbraucher RV an eine Spannungsquelle UG entsprechend
Abb. 2.2.3 über eine Hin- und Rückleitung an
Strom:
In allen Teilen des Stromkreises ist der Strom gleich groß.
→ Wir verschieben den Leitungswiderstand RL /2 von unten nach oben und fassen
den gesamten Leitungswiderstand zu RL zusammen.
Spannungen:
Mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes erhalten wir den Spannungsabfall am Verbraucher
UV = IRV
(2.2.11)
UL = IRL
(2.2.12)
und auf der Leitung
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2. Gleichstromelemente
2.3
R L/2
I
+
UG
−
RL
I
+
R L/2
RV
−
Kirchhoffsche Gesetze
UL
UG
RV
UV
Abbildung 2.2.3.: Realer Stromkreis mit realer Hin- und Rückleitung
Ergebnis 1:
Aus Sicht der Quelle ist die Summe der beiden Teilspannungen gleich der Klemmenspannung
UG = UL + UV
(2.2.13)
so dass die Quelle nur die Summe der Verbraucher sieht.
Ergebnis 2:
Aus Sicht des Verbrauchers ist die Differenz der beiden Teilspannungen gleich der
Verbraucherspannung
UV = UG − UL
(2.2.14)
so dass der Verbraucher anstelle der idealen Quelle nun eine reale Quelle mit Innenwiderstand sieht.
2.3. Kirchhoffsche Gesetze
Schaltung:
Entsprechend den Ausführungen zum realen Stromkreis sind Verbindungen zwischen
Schaltungselementen in Zukunft als verbindungslos anzusehen.
Frage:
Wie groß ist der Strom Iq in der realen Schaltung, den die Autobatterie zur Versorgung
eines Scheinwerfers, einer Zündspule und eines Autoradios in Abb. 2.3.1 liefern muss
?
A
Iq
B
I1
UG
I2
S
C
Z
I3
R
D
Abbildung 2.3.1.: Parallel-Schaltung realer Verbraucher
→ Die Antwort liefern die Kirchhoffschen Regeln10
2.3.1. Kirchhoffsche Knotenregel
Parallel:
10 aufgestellt
Die reale Schaltung mit einer Quelle und drei Verbrauchern lässt sich als Parallelschaltung der drei Widerstände R1 , R2 und R3 darstellen (siehe Abb. 2.3.2) .
von Robert Kirchhoff, 1824 – 1887
1. Februar 2017
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GdE1-21
2.3
Kirchhoffsche Gesetze
Iq
Uq
2. Gleichstromelemente
I1
U1
1
U2
R1
I3
I2
Iq
U3
R2
Uq
R3
RG
2
Abbildung 2.3.2.: Parallelschaltung von Widerständen und Ersatzwiderstand
Knoten:
Zu einem Knoten einer Schaltung gehören alle (widerstandslosen) Verbindungsleitungen, die auf dem selben Spannungspotential liegen. Zwischen zwei unterschiedlichen
Knoten würde eine Spannung U 6= 0 anliegen.
→ Zwischen den Punkten (A) und (B) fällt keine Spannung ab, ebenso zwischen den
Punkten (C) und (D). Es existieren also nur die beiden Knoten (1) und (2) in der
Schaltung.
Knotenregel:
Für jeden der beiden Knotenpunkte (1) und (2) ist der hinein fließende Strom gleich
dem heraus fließenden Strom. Es gilt daher sowohl für Knoten (1) als auch (2)
Iq = I1 + I2 + I3
(2.3.1)
Allgemeiner formuliert besagt das 1. Kirchhoffsches Gesetz
n
X
Ik = 0
(2.3.2)
k=1
→ Dabei werden in einen Knoten hinein fließenden Ströme positiv und die heraus
fließenden Ströme negativ gezählt. Die Bezugsgröße ist die Spannung zwischen den
Knotenpunkten.
Frage:
Wie groß müsste der Ersatzwiderstand RG in Abb. 2.3.2 sein, den man anstelle der
drei Widerstände R1 ,R2 und R3 an die Knoten schalten könnte, wobei der Generator
den selben Strom abgibt wie vorher?
2.3.2. Parallelschaltung von Widerständen
Ansatz:
Für die Parallelschaltung der drei Widerstände aus Abb. 2.3.2 ergibt sich mit dem
Ohmschen Gesetz der Spannungsabfall zu
U1 = I1 R1
→
U2 = I2 R2
→
U3 = I3 R3
→
Uq = Iq RG
→
U1
R1
U2
I2 =
R2
U3
I3 =
R3
Uq
Iq =
RG
I1 =
(2.3.3)
Einsetzen in die Knotenregel Gln. 2.3.2
Iq = I1 + I2 + I3
GdE1-22
[email protected]ünster.de
(2.3.4)
1. Februar 2017
2. Gleichstromelemente
2.3
Kirchhoffsche Gesetze
ergibt
Uq
U1
U2
U3
=
+
+
RG
R1
R2
R3
Spannung:
(2.3.5)
Es ist leicht zu sehen, dass in einer Parallelschaltung an allen Bauelementen die selbe
Spannung
Uq = U1 = U2 = U3
(2.3.6)
anliegt. Damit kann die Spannung eliminiert werden und wir erhalten
1
1
1
1
=
+
+
RG
R1
R2
R3
(2.3.7)
Verwendet man anstelle der Widerstände die Leitwerte Gi = 1/Ri , ergibt sich damit
aus dem 1. Kirchhoffsches Gesetz allgemeiner formuliert
Ergebnis:
GG =
n
X
Gk
(2.3.8)
k=1
→ In einer Parallelschaltung ist der Gesamtleitwert gleich der Summe der Einzelleitwerte.
Beim Stromteiler (siehe Abb. 2.3.3) mit 2 parallel geschalteten Widerstände R1 und
R2 ergibt sich
I1
I2
= I1 R1 = U = I2 R2 =
(2.3.9)
G1
G2
Praxis:
Nach Umstellen wird das Stromverhältnis zu
I1
R2
G1
=
=
I2
R1
G2
(2.3.10)
I
I2
I1
U
R1
R2
In einer Parallelschaltung ist das Verhältnis
der Ströme proportional zu dem der Leitwerte.
→ Durch den kleineren Widerstand fließt
der größere Strom.
I
Abbildung 2.3.3.: Stromteiler
Frage:
Wie groß ist der Teilstrom I2 = f (R1 , R2 , I)?
Rechnung:
Umstellen der Gleichung nach
I1 =
1. Februar 2017
G1
I2 = I − I2
G2
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(2.3.11)
GdE1-23
2.3
Kirchhoffsche Gesetze
2. Gleichstromelemente
und Auflösen nach I ergibt
I=
G1
G1 + G2
+ 1 I2 =
I2
G2
G2
(2.3.12)
das Ergebnis für einen Stromteiler
I2 =
G2
I
G1 + G2
(2.3.13)
Der Akku eines KFZs hat 12V . Er hat einen Scheinwerfer mit R1 = 3Ω, ein Rundfunkgerät mit R2 = 4Ω und eine Zündspule mit R3 = 120Ω zu versorgen.
Beispiel 2.3.1
(Parallel)
1. Wie groß ist der Gesamtstrom?
2. Wie groß ist der Gesamtwiderstand?
Lösung:
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
IG = I1 + I2 + I3 = 7,1A
und
RG =
1
= 1,69Ω
GG
2.3.3. Kirchhoffsche Maschenregel
Reihe:
An den einzelnen in Reihe geschalteten Widerständen in der Abb. 2.3.4 entsteht der
Spannungsabfall
Ui = IRi , i = 1, 3
(2.3.14)
U1
U2
R1
R2
Uq
R3
U3
Uq
I
RG
I
Abbildung 2.3.4.: Reihenschaltung von Widerständen und Ersatzwiderstand
Strom:
Dabei ist leicht zu sehen, dass in einer Reihenschaltung von Widerständen durch jeden
Widerstand der selbe Strom fließen muss.
Maschenregel:
Nehmen wir diesen Strom als Bezugsgröße und legen willkürlich einen Richtungssinn
in der Masche (geschlossener Stromkreis) fest, so gilt für die Summe der Spannungen
U1 + U2 + U3 − Uq = 0
GdE1-24
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(2.3.15)
1. Februar 2017
2. Gleichstromelemente
2.3
Kirchhoffsche Gesetze
Allgemeiner formuliert besagt das 2. Kirchhoffsches Gesetz
n
X
Uk = 0
(2.3.16)
k=1
→ Dabei werden alle Spannungen in der Masche positiv gezählt, wenn derer Zählpfeil
mit dem Richtungssinn der Masche übereinstimmt, sonst negativ.
Frage:
Wie groß müsste der Ersatzwiderstand RG in Abb. 2.3.4 sein, den man anstelle der
drei Widerstände R1 ,R2 und R3 in die Masche schalten könnte, wobei der Generator
den selben Strom abgibt wie vorher?
2.3.4. Reihenschaltung von Widerständen
Ansatz:
Für die Reihenschaltung der drei Widerstände aus Abb. 2.3.4 ergibt sich mit dem
Ohmschen Gesetz der Spannungsabfall mit dem überall gleichen Strom I direkt
U1
= IR1
U2
= IR2
U3
= IR3
Uq
= IRG
(2.3.17)
Einsetzen in die Maschenregel Gln. 2.3.16
Uq = U1 + U2 + U3
(2.3.18)
IRG = IR1 + IR2 + IR3
(2.3.19)
ergibt
Nach Eliminierung des Stromes erhalten wir
RG = R1 + R2 + R3
Ergebnis:
(2.3.20)
Somit ergibt sich aus dem 2. Kirchhoffsches Gesetz damit allgemeiner formuliert
RG =
n
X
Rk
(2.3.21)
k=1
→ In einer Reihenschaltung ist der Gesamtwiderstand gleich der Summe der Einzelwiderstände.
Praxis:
Beim Spannungsteiler (siehe Abb. 2.3.5) mit 2 Widerständen R1 und R2 in Reihenschaltung ergibt sich
U1
U2
=I=
(2.3.22)
R1
R2
Damit wird das Spannungsverhältnis direkt zu
U1
R1
=
U2
R2
1. Februar 2017
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(2.3.23)
GdE1-25
2.4
Anwendungen der Kirchhoffschen Gleichungen
U1
2. Gleichstromelemente
U2
I
In einer Reihenschaltung ist das
Verhältnis der Spannungen proportional zu dem der Widerstände.
I
R1
R2
U
Abbildung 2.3.5.: Spannungsteiler
Frage:
Wie groß ist die Teilspannung U2 = f (R1 , R2 , U )?
Rechnung:
Umstellen der Gleichung nach
R1
U2 = U − U2
R2
(2.3.24)
R1 + R2
R1
+ 1 U2 =
U2
R2
R2
(2.3.25)
U1 =
und Auflösen nach U ergibt
U=
das Ergebnis für einen Spannungsteiler
U2 =
Dualität:
R2
U
R1 + R2
(2.3.26)
Vergleicht man den Gleichungsaufbau mit der Formel zum Stromteiler in Gln. 2.3.13
so sieht man, dass formal Spannungen und Ströme sowie Widerstände und Leitwerte
gegeneinander getauscht werden. Dies bezeichnet man als duale Schaltungsgrößen.
2.4. Anwendungen der Kirchhoffschen Gleichungen
2.4.1. Schiebewiderstand ohne Belastung
Frage:
Was ist ein Schiebewiderstand?
Antwort:
Ein variabel in zwei Teile teilbarer Widerstand, dessen variable Teile R1 und R2 sich
immer zur Summe R = R1 + R2 ergänzen!
Praxis:
Ein Schiebewiderstand mit einem Schleifkontakt dient zur Realisierung eines variablen Widerstandswerts Ra . Die Bauform kann gerade (Schiebewiderstand) oder rund
(Potentiometer) sein. Wesentliches Merkmal sind 3 Anschlüsse, wobei über 2 (gleichfarbig oder außen) der komplette Widerstand und über den dritten (anders farbig oder
Mitte) der Abgriff zugänglich ist.
→ Der Widerstand R setzt sich aus den Teilwiderständen R0 und Ra zusammen.
Spannung:
Nach Gln. 2.3.23 ist die Ausgangsspannung Ua in Abb. 2.4.2 proportional zur abgegriffenen Widerstandslänge.
Werte:
Es gilt allgemein 0 ≤ a ≤ 1 und speziell Ua = 0 für a = 0 und Ua = U für a = 1.
Aus der Spannungsteilerregel Gln. 2.3.26 ergibt sich direkt
Ua
Ra
aR
=
=a
=
0
U
Ra + R
R
(2.4.1)
mit a, dem Maß für die Verschiebungsstrecke (oder den Drehwinkel).
GdE1-26
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1. Februar 2017
2. Gleichstromelemente
2.4
Anwendungen der Kirchhoffschen Gleichungen
Abbildung 2.4.1.: Verschiedene Schiebewiderstände
a=1
U
R’
U’
Ra
Ua
U
R
a=0
Ua
Abbildung 2.4.2.: Schiebewiderstand (Potentiometer)
1. Februar 2017
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GdE1-27
2.4
Anwendungen der Kirchhoffschen Gleichungen
Sonderform:
2. Gleichstromelemente
Bei einem logarithmischen Drehwiderstand nimmt der Widerstand bei gleichen Drehwinkeln in Dekaden zu (1 bis 10Ω , 10 bis 100Ω , 100 bis 1000Ω , usw.).
→ Anwendung: In der Rundfunktechnik als Lautstärkeregler. Aufgrund der ebenfalls
logarithmischen Charakteristik des Ohres erscheint dann bei gleichen Drehwinkeln die
Lautstärke entsprechend linear zuzunehmen.
2.4.2. Schiebewiderstand mit Belastung
Belastung:
Gln. 2.4.1 ist nur gültig ohne Belastung des Schleifers. Die Charakteristik ändert sich,
wenn entsprechend Abb. 2.4.3 aus dem Abgriff ein Strom entnommen wird.
I
I
U’
R’
a=1
U’
R(1−a)
U
U
Ua
R
R*a
a=0
Ia
Rv
Ia
Uv
Ra
Iv
Rv
Uv
Ua
Iv
Abbildung 2.4.3.: Schiebewiderstand mit Belastung
Frage:
Wie groß ist die Spannung Ua = f (a, R, RV , U )?
→ Bevor wir rechnen eine Verständnisfrage: Wird die Spannung größer oder kleiner
bei Belastung?
Ströme:
Für die Ströme können wir schreiben
Ia
=
Iv
=
Ua
Ua
=
Ra
aR
Uv
Ua
=
Rv
Rv
(2.4.2)
Weiterhin gilt für die Stromsumme im Knoten
I = Ia + Iv =
Spannungen:
Ua
Ua
+
aR RV
(2.4.3)
Andererseits ist die Spannung in der Masche
U = U 0 + Ua
(2.4.4)
U 0 = IR(1 − a)
(2.4.5)
Mit der Teilspannung
erhalten wir dann erstmals ein Ergebnis
U
=
=
GdE1-28
IR(1 − a) + Ua
Ua
Ua
+
R(1 − a) + Ua
aR RV
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(2.4.6)
1. Februar 2017
2. Gleichstromelemente
Mathematik:
Ergebnis:
2.4
Anwendungen der Kirchhoffschen Gleichungen
Division durch Ua ergibt den Quotienten
U
1
1
=
+
R(1 − a) + 1
Ua
aR RV
RV + aR
aRV
=
R(1 − a) +
a · R · RV
aRV
(RV + aR)(1 − a) + aRV
=
aRV
(2.4.7)
Mit dem Kehrwert wird das Ergebnis zu
Ua
U
aRV
(RV + aR)(1 − a) + aRV
a
1
2
(R
+
aR
−
aR
V
V − a R + aRV )
RV
a
a
=
1 + a RRV − a2 RRV
1 + a RRV (1 − a)
=
=
=
(2.4.8)
→ Falls kein Verbraucher angeschlossen ist (RV = ∞), so folgt R/RV = 0 und wir
erhalten damit wieder das Ergebnis von Gln. 2.4.1.
2.4.3. Vorwiderstand
Vorwiderstand:
Ein Schiebewiderstand kann auch als Vorwiderstand für einen Verbraucher (z.B.
Glühbirne) eingesetzt werden, um eine Spannungsanpassung vorzunehmen (siehe
Abb. 2.4.4) .
Uv
Ua
R
Rv
a=0
a=1
U0
Abbildung 2.4.4.: Schaltung zum Vorwiderstand
Strom:
Der gemeinsame Strom I der Reihenschaltung erzeugt am Verbraucher den Spannungsabfall UV = IRV . Der Strom berechnet sich zu
I=
Spannung:
U0
U0
=
RG
aR + RV
Damit erhalten wir entsprechend der Spannungsteiler-Regel
UV = IRV =
UVmin :
U0
RV =
aR + RV
R
RV
U0
a+1
(2.4.10)
Für Ra = R (bei a = 1) erhalten wir die minimale Verbraucherspannung zu
UVmin =
1. Februar 2017
(2.4.9)
U0
RV
=
U0
RV + R
+1
R
RV
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(2.4.11)
GdE1-29
2.4
Anwendungen der Kirchhoffschen Gleichungen
2. Gleichstromelemente
→ Die Verbraucherspannung kann demnach nicht zu Null werden. Speziell für R =
RV wird UV = U0 /2.
UVmax :
Für Ra = 0 (bei a = 0) erhalten wir die maximale Verbraucherspannung zu
UV = U0
(2.4.12)
Problem:
Die Verlustleistung geht im Vorwiderstand als Wärme „verloren“.
Beispiel 2.4.1
(Reihe)
Eine elektrische Weihnachtsbaumbeleuchtung soll mit einem veränderlichen Vorwiderstand so eingestellt werden, dass die 15 Kerzen einmal volle und einmal halbe
Spannung erhalten. Bei voller Lichtstärke erhält jede Kerze 0,7A, wobei die Kerzen
am Lichtnetz mit 220V betrieben werden.
1. Auf welche Spannung ist jede Kerze ausgelegt?
2. Wie groß muss der Vorwiderstand sein, damit jede
Kerze nur noch mit halber
Spannung betrieben wird?
Lösung:
R v1
I
R v2
U0
R v15
R
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
U
Uk =
= 14,67V
n
und
U/2
= 314Ω
RV =
I/2
2.4.4. Strommesser
Frage:
Was ist ein Strommesser?
Antwort:
Ein zusätzlicher Widerstand im Stromkreis, da es in der Praxis nur reale Messgeräte
mit Innenwiderständen gibt!
→ Welchen Innenwiderstand hat ein ideales Amperemeter?
Prinzip:
Bei üblichen Strommessern ist der Vollausschlag schon bei sehr kleinen Strömen (µA)
erreicht. Zur Messung größerer Ströme muss der Überstrom am Messwerk über einen
Nebenwiderstand (Shunt) vorbeigeleitet werden (siehe Abb. 2.4.6) .
Digitale oder analoge Vielfachmessgeräte können entweder zur Strom- oder zur Spannungsmessung verwendet werden. Analoge Messgeräte sind immer seltener anzufinden.
Zahlen:
Ein Messwerk habe den Innenwiderstand Ri = 333Ω und einen Vollausschlag beim
Strom I0 = 0,3mA. Es soll ein Strom von I = 6A gemessen werden. Der Überstrom
Ip = I − I0 = 5.9997A
muss am Messwerk vorbei fließen.
GdE1-30
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2. Gleichstromelemente
2.4
Anwendungen der Kirchhoffschen Gleichungen
Abbildung 2.4.5.: Digitale und analoge Vielfachmessgeräte
I
I0
IP
Ri
RP
U0
Abbildung 2.4.6.: Erweiterung des Strommessbereiches
Es tritt nach dem Ohm’schen Gesetz ein Spannungsabfall
U0 = I0 Ri = 99.9mV
bei Vollausschlag an Messwerk und Nebenwiderstand auf. Damit wird
Rp =
U0
U0 /I0
Ri
= 0,01665Ω
=
=
I − I0
I/I0 − I0 /I0
n−1
→ Realisierung: Ein dickeres Drahtstück.
Praxis:
Die Erweiterung des Strombereiches um den Faktor n = I/I0 erfordert einen Nebenwiderstand Rp = Ri /(n − 1). Im Beispiel: n = 20 000 → Rp = 0.01665Ω.
In Abb. 2.4.7 ist die Erweiterung eines Amperemeters mit mehreren Messbereichen
zu sehen.
2.4.5. Spannungsmesser
Prinzip:
Zur Messung kleiner Spannungen muss der Vollausschlag des Spannungsmessers
schon bei sehr kleinen Spannungen (µV ) erreicht sein. Bei größerer Spannungen fällt
die Überspannung an einem Reihenwiderstand ab (siehe Abb. 2.4.8) .
Zahlen:
Gegeben sei dasselbe Messwerk mit Innenwiderstand Ri = 333Ω und Vollausschlag
bei U0 = 100mV . Es soll eine Spannung von U = 220V gemessen werden. Die
Überspannung
Uv = U − U0 = 219,9V
1. Februar 2017
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GdE1-31
2.4
Anwendungen der Kirchhoffschen Gleichungen
2. Gleichstromelemente
R p1
R p2
R p3
Abbildung 2.4.7.: Realisierung eines Amperemeters mit 4 Messbereichen
Uv
U0
Rv
U
I0
Ri
Abbildung 2.4.8.: Erweiterung des Spannungsmessbereiches
muss vor dem Messwerk am Vorwiderstand abfallen.
Durch Messwerk und Vorwiderstand fließt bei Vollauschlag der Strom
I0 =
U0
220V
= 0,3mA
=
Ri
333Ω
Nach dem Ohmschen Gesetz ergibt sich dann
Rv =
Praxis:
Uv
U − U0
U/U0 − U0 /U0
n−1
=
=
=
= 733kΩ
I0
I0
I0 /U0
1/Ri
Die Erweiterung des Spannungsbereiches um den Faktor n = U/U0 erfordert einen
Vorwiderstand Rv = Ri (n − 1). Im Beispiel: n = 2 200 → Rv = 733kΩ.
In Abb. 2.4.9 ist die Erweiterung eines Voltmeters mit mehreren Messbereichen zu
sehen.
R v1
R v2
R v3
Abbildung 2.4.9.: Realisierung eines Voltmeters mit 4 Messbereichen
2.4.6. Spannungs- und Strommessung
Strommesser:
GdE1-32
Immer in Reihe zum Verbraucher, da der Strom in der Serienschaltung überall gleich
groß ist.
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2. Gleichstromelemente
2.4
Anwendungen der Kirchhoffschen Gleichungen
Spannungsmesser:
Immer parallel zum Verbraucher, da die Spannung bei einer Parallelschaltung gleich
groß ist.
Leistungsmessung:
Bei gleichzeitiger Messung von Strom und Spannung eines Verbrauchers zur Leistungsmessung tritt immer ein prinzipieller Messfehler auf, da nicht beide Bedingungen
gleichzeitig erfüllbar sind.
A
RiA
A
RiA
If
V
V
Ra
RiV
RiV
Uf
Ra
Abbildung 2.4.10.: Spannungsrichtige oder stromrichtige Messung am Verbraucher
→ Es sind zwei Schaltungen entsprechend Abb. 2.4.10 möglich, deren Auswahl nach
den Eigenschaften des Verbrauchers getroffen werden muss.
Beispiel 2.4.2
(Messung)
Geben sei ein sehr gutes Amperemeter mit einem Innenwiderstand RiA = 1Ω und ein
sehr gutes Voltmeter mit einem Innenwiderstand RiV = 1M Ω.
Welche Schaltung soll zur Leistungsmessung verwendet werden bei einem Widerstand
Ra1 = 1Ω und bei Ra2 = 1M Ω?
2.4.7. Wheatstonesche Brückenschaltung
Brückenschaltung:
Sie besteht entsprechend Abb. 2.4.11 aus 4 Widerständen, von denen je zwei in Reihenschaltung als Parallelschaltung an der Spannungsquelle sind.
B
R1
C
I1 U 1
U 5 I3 U 3
I5
R2
I2 U 2
U0
R3
R4
A
D
I4 U 4
Abbildung 2.4.11.: Wheatstonesche Brückenschaltung
Spannung:
In den Brückenwiderständen R1 . . . R4 entstehen die Spannungsabfälle U1 . . . U4 , wodurch sich i.a. auch eine Spannung U5 6= 0V zwischen den Punkten (A) und (B)
einstellt.
→ Die 4 Widerstände so wählen, dass die Brückenspannung U5 = 0V und somit
I5 = 0A wird.
1. Februar 2017
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GdE1-33
2.4
Anwendungen der Kirchhoffschen Gleichungen
Strom:
2. Gleichstromelemente
Das Ergebnis einer längeren Rechnung (Anwendung von Knoten- und Maschenregel,
siehe Übung) liefert11
I5 =
U0 (R2 R3 − R1 R4 )
(R1 + R3 )(R2 R4 + R5 (R2 + R4 )) + R1 R3 (R2 + R4 )
(2.4.13)
Damit I5 = 0 ist muss der Zähler zu Null werden
R2 R3 − R1 R4 = 0
Praxis:
(2.4.14)
In der Praxis wird diese Bedingung über die Widerstandsverhältnisse der Parallelzweige definiert zu
R1
R3
=
R2
R4
(2.4.15)
oder gleichwertig über die Widerstandsverhältnisse der Reihenzweige zu
R1
R2
=
R3
R4
Messgerät:
(2.4.16)
Abb. 2.4.12 zeigt die Verwendung als Messprinzip für die Messung von Widerständen.
R1
I
I
I
C
I
5
1
2
Rx
B
R2
M
I
x
R4
I
4
A
U0
D
I
Abbildung 2.4.12.: Bestimmung von Widerständen mit der Wheatstoneschen Brückenschaltung
Prinzip:
Das Brückeninstrument M hat den Nullpunkt in der Mitte. Die Widerstände R2 und R4
werden als Teilwiderstände eines Schiebewiderstandes (Drehwiderstandes) realisiert.
→ Zur Messung wird der unbekannte Widerstand Rx anstelle von R3 angeschlossen
und der Schleifer solange gedreht, bis das Instrument keinen Ausschlag mehr anzeigt.
Rechnung:
Praxis:
Aus der Abgleichbedingung in Gln. 2.4.15 ergibt sich direkt der unbekannte Widerstand zu
R1 R4
l4
Rx =
= R1
(2.4.17)
R2
l2
• Der Wert des Widerstandes R1 muss sehr genau bekannt sein.
→ Mit R1 wird der Messbereich ausgewählt.
• Die Längen- und Widerstandsänderungen müssen sehr genau proportional zueinander sein.
→ An der Skala des Drehwinkels wird direkt der Widerstandswert abgelesen.
11 Siehe
Kap. 3.3, Netzwerkberechnung mit Ersatzquellen
GdE1-34
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1. Februar 2017
2. Gleichstromelemente
2.4
Anwendungen der Kirchhoffschen Gleichungen
• Die Quellenspannung U0 geht nicht ein.
→ Aber die Empfindlichkeit ist proportinal zur Brückenspannung entsprechend
Gln. 2.4.13.
→ Beim alternativen Ausschlagverfahren zur Widerstandsmessung geht U0 in
die Messung ein und es muss vor jeder Messung eine Kalibrierung erfolgen.
Schreiber:
Abb. 2.4.13 zeigt die Verwendung als zeitabhängiger Schreiber (x(t)-Schreiber) einer
beliebigen physikalischen Größe bei Wahl eines geeigneten Messfühlers.
R = R(T)
C
U0
R1
B
R2
R3
v
A
R4
D
Motor
t
Papierbahn
T
Abbildung 2.4.13.: Brückenschaltung im Kompensationsschreiber
→ Als Messfühler kann z.B. ein temperaturabhängiger Widerstand eingesetzt werden.
Aufbau:
Anstelle des Messinstrumentes wird die Brückenspannung U5 einem Verstärker zugeführt, dessen Ausgangsspannung einen Motor antreibt, der über eine geeignete Mechanik den Abgriff des Schiebewiderstandes verschiebt, an dem zusätzlich ein Schreibstift
angebracht ist.
Prinzip:
• Falls die Widerstandskombination R(T ), R2 , R3 und R4 abgeglichen ist, erhält
der Verstärker kein Signal und der Motor steht still.
• Bei einer Änderung von R(T ) erhält der Verstärker solange ein Signal, bis über
den Motor die Brücke wieder abgeglichen ist.
• Realisierung eines Nullspannungsabgleiches kombiniert mit einer beliebigen
Verschiebung des Messbereiches.
Beispiel 2.4.3
(Brücke)
Das Instrument im Brückenzweig der Schaltung mit den Werten R2 = 1kΩ, R3 = 1kΩ, R4 =
1kΩ und U = 12V misst, ohne
die Brücke zu belasten, zwischen
A und B eine Spannung UAB =
−2,2V .
U CB
U BD
B
R(T)
U AB
U CA
R3
U AD
A
C
R2
D
U
R4
U CD
Der Widerstand R(T) ist ein NTC-Widerstand mit dem Temperaturbeiwert von B =
4000K und einem Kaltwiderstand (bei 298K, entsprechend 25◦C) von R25 = 1300Ω.
1. Februar 2017
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GdE1-35
2.5
Arbeit und Leistung
2. Gleichstromelemente
Welcher Temperatur ist er ausgesetzt?
Lösung:
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
T = 322,8K = 49,8◦C
2.5. Arbeit und Leistung
Energie:
Wir haben in Gln. 2.1.19 die Spannung definiert als
U=
W
Q
Mit der Definition der Ladung gemäß Gln. 2.1.6 zu
Q=I ·t
erhalten wir damit die elektrische Energie zu
W =U ·Q=U ·I ·t
(2.5.1)
→ Für zeitlich nicht konstante Spannungen und Ströme muss die Energie allgemeiner
über das Integral berechnet werden
Zt2
u(t) · i(t)dt
W12 =
(2.5.2)
t1
Einheit:
Die Einheit der Energie ist die Wattsekunde 12
[W ] = V · A · s = W s
Umrechnung:
(2.5.3)
Für die Umrechnung von elektrischer nach mechanischer Energie (gespeicherter Arbeit) gilt die wichtige Identität zwischen Wattsekunde (Ws) und Newtonmeter (Nm)
1W s = 1N m
(2.5.4)
→ Dies ist die einzige Beziehung, mit der die elektrischen Einheiten in mechanische
und umgekehrt umgerechnet werden können.
Leistung:
In der Physik (und auch in Klausuren) ist die Leistung als Arbeit pro Zeit definiert
P =
W
t
(2.5.5)
In der Elektrotechnik gilt analog unter Berücksichtigung des Ohmschen Gesetzes
P =
12 Zu
W
U2
= U · I = I 2R =
t
R
(2.5.6)
Ehren von James Watt, 1736 – 1819, Erfinder der ersten verwendbaren Dampfmaschine
GdE1-36
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1. Februar 2017
2. Gleichstromelemente
Merke:
2.6
Spannungsquelle
In einem Widerstand von 1Ω fließt bei einer anliegenden Spannung von 1V nach dem
Ohmschen Gesetz ein Strom von 1A.
→ Dann wird dem Widerstand eine Leistung von 1W zugeführt.
Wirkungsgrad:
Nur ein Teil der einem Verbraucher angebotenen elektrischen Energie Wges steht diesem als Nutzenergie WN zur Verfügung, der Rest geht als Verluste WV verloren. Der
Wirkungsgrad η ist
η=
Verluste:
(2.5.7)
Entsprechend kann ein Verlustwirkungsgrad ηV definiert werden zu
ηV =
Beispiel 2.5.1
(Leistung)
verwendbare Energie
WN
PN
=
=
angebotene Energie
Wges
Pges
nutzlos abgeführte Verlustenergie
WV
PV
=
=
angebotene Energie
Wges
Pges
(2.5.8)
Zwei Lampen L1 (110V 100W ) und L2 (110V 25W ), sollen unter Verwendung eines geeigneten Widerstandes so an 220V angeschaltet werden, dass sie jeweils mit
Nennspannung und Nennleistung betrieben werden.
1. Was würde passieren, wenn die beiden Lampen einfach in Reihe geschaltet werden?
2. Wie sehen die beiden möglichen Schaltung aus?
3. Welchen Wert muss der Widerstand haben?
4. Welche Leistung nimmt der Widerstand auf?
5. Welche Schaltung ist wirtschaftlicher?
Lösung:
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
3.
UL2
Rp =
= 161,8Ω
IL1 − IL2
und
UL2
Rv =
= 96,5Ω
IL1 + IL2
4.
Pp = (IL1 − IL2 )2 Rp = 74,8W
und
Pv = (IL1 + IL2 )2 Rv = 125,4W
2.6. Spannungsquelle
Praxis:
Spannungsquellen enthalten – genauso wie Verbraucher – elektrische Bauelemente,
z.B. Kupferdraht, Dioden, Kondensatoren oder Spulen in Transformatoren, die einen
endlichen spezifischen Widerstand haben und das Verhalten der realen Spannungsquelle bestimmen.
Quelle:
Gegeben sei eine reale Spannungsquelle entsprechend Abb. 2.6.1 mit der Quellenspannung Uq und dem Innenwiderstand Ri . Diese Werte sind von außen nicht direkt
zugänglich. Es stehen nur Klemmenspannung Uk und Strom Ik zur Verfügung.
1. Februar 2017
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GdE1-37
2.6
Spannungsquelle
2. Gleichstromelemente
Ik
Uq
Ri
Uk
Ra1
Ra2
Abbildung 2.6.1.: Ersatzschaltbild einer realen Spannungsquelle
2.6.1. Ersatzschaltbild
Frage:
Wie können Quellenspannung und Innenwiderstand des Ersatzschaltbildes (ESB) bestimmt werden?
→ Für 2 Unbekannten benötigen wir 2 Gleichungen!
Messung:
Um die Größen zu bestimmen, werden zwei verschiedene Widerstände Ra1 und Ra2
an die Spannungsquelle angeschlossen.
→ Dabei werden die Klemmenspannungen und die Ströme zu (Uk1 , Ik1 ) und
(Uk2 ,Ik2 ) gemessen.
Innenwiderstand:
Für jeden Außenwiderstand gilt in der Masche in Abb. 2.6.1
Uq = Uk1 + Ik1 Ri
(2.6.1)
Uq = Uk2 + Ik2 Ri
(2.6.2)
Da Uq = const ist (ideale Quelle) erhalten wir durch Gleichsetzen den Innenwiderstand zu
Uk − Uk1
∆Uk
Ri = − 2
=−
(2.6.3)
Ik2 − Ik1
∆Ik
→ Im Allgemeinen geht also eine Erhöhung des Stromes mit einer Verringerung der
Klemmenspannung einher.
Quellenspannung:
Für die Quellenspannung ergibt sich mit „etwas“ Mathematik13 aus den Gln. 2.6.1 und
2.6.2
Ik Uk − Ik1 Uk2
Ik Uk − Ik1 Uk2
Uq = 2 1
= 2 1
(2.6.4)
Ik2 − Ik1
∆Ik
Leerlauf:
Für den speziellen Außenwiderstand Ra1 = ∞ erhält man aus der gemessenen Leerlaufspannung UL = Uk1 mit IL = Ik1 = 0 die Quellenspannung direkt zu
Uq = Uk1 = UL
Kurzschluss:
(2.6.5)
Für den speziellen Außenwiderstand Ra2 = 0 erhält man aus dem gemessenen Kurzschlussstrom IK = Ik2 mit UK = Uk2 = 0 den Innenwiderstand direkt zu
Ri =
UL
Uq
Uk1
=
=
Ik2
IK
IK
(2.6.6)
→ Auch für reale Quellen gilt das Ohmsche Gesetz!
13 Die
Übung sei jedem empfohlen, der noch etwas Probleme mit der Mathematik hat: Gleichungen nach Ri auflösen und gleichsetzen.
GdE1-38
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1. Februar 2017
2. Gleichstromelemente
2.6
Spannungsquelle
2.6.2. Kennlinie
Kennlinie:
Die Klemmenspannung der realen Spannungsquellen wird mit der Maschenregel zu
Uk = f (Ik ) = Uq − Ri Ik
(2.6.7)
Uk
UL
I
Uk1
A
Uk
Uk2
B
Ra1
Ri = −
Uk
I
Ra2
Ik
I1
I2
IK
Abbildung 2.6.2.: Betriebskennlinie einer realen Spannungsquelle
→ Die rote Gerade in Abb 2.6.2 ist die Arbeitsgerade der realen Quelle.
Punkte:
• Der Innenwiderstand Ri entspricht der Steigung der Kennlinie.
• Die Punkte (A) und (B) sind die Arbeitspunkte im Messversuch mit beliebigen
Widerständen Ra1 und Ra2 .
• Die durch den Nullpunkt und die Punkte (A) und (B) gehenden Geraden sind die
Widerstandsgeraden. Sie werden durch das Ohmsche Gesetz für die Widerstände
definiert.
Ideal:
Das Ziel für eine „möglichst“ ideale Quelle ist eine weitgehend unabhängige Stromentnahme.
→ Möglichst waagerechte Kennlinie mit kleinem Innenwiderstand.
Praxis:
Für einen Schutz der Quellen vor zu hohen Kurzschlussströmen durch zu kleine Verbraucher werden Sicherungen (als Schmelzsicherung oder Sicherungsautomat) in den
Stromkreis eingebaut.
→ Eine reale Konstantspannungsquelle wird bei Überschreiten einer maximal zulässigen Stromstärke zu einer realen Konstantstromquelle.
2.6.3. Reale Spannungsquelle im realen Stromkreis
Leitung:
Bei einem realen Stromkreis ohne Vernachlässigungen muss neben dem Innenwiderstand Ri der Spannungsquelle noch der Leitungswiderstand RL berücksichtigt werden
wie dies in Abb. 2.6.3 dargestellt ist .
Leerlauf:
Falls kein Strom fließt, ist die Quellenspannung Uq des idealen Generators messbar
Uq = Ug = Ua = UL
1. Februar 2017
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(2.6.8)
GdE1-39
2.6
Spannungsquelle
2. Gleichstromelemente
I
Ri
RL
Ui
UL
Uq
Ug
Ua
Ra
Abbildung 2.6.3.: Vollständiges Ersatzschaltbild eines Stromkreises
Belastung:
Ein Stromfluss erzeugt nach dem Ohmschen Gesetz an den Widerständen die Spannungsabfälle Ui = IRi und UL = IRL . Mit Hilfe der Maschengleichung erhalten wir
dann
Ua
Praxis:
=
Uq − Ui − UL
=
Uq − IRi − IRL
=
Uq − I(Ri + RL )
=
Uq − IRi0
(2.6.9)
Eine reale Leitung erhöht aus Sicht des Verbrauchers den Innenwiderstand der realen
Quelle.
→ Der Leitungswiderstand realer Leitungen wird in Zukunft dem Innenwiderstand
der realen Quelle zugerechnet!
2.6.4. Anpassung
Leistung:
Die Leistung im Außenwiderstand in Abb. 2.6.4 ist nach Gln. 2.5.6 das Produkt aus
Spannung am und Strom durch den Widerstand.
→ Die Leistung ist Null wenn entweder die Spannung am Widerstand (für Ra = 0,
Kurzschluss) oder der Strom durch den Widerstand (für Ra = ∞, Leerlauf) Null sind.
I
Ri
Uq
Pi
Ra
Pa
Abbildung 2.6.4.: Leistungsanpassung
Frage:
Wie verläuft die Funktion Pa = f (Ra ), bzw. wo liegt das Maximum, das Leistungsmaximum, dieser Funktion?
→ Der Verbrauchswiderstand nutzt dann den maximal möglichen Anteil der von der
Spannungsquelle abgegebenen Energie.
GdE1-40
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1. Februar 2017
2. Gleichstromelemente
2.6
Spannungsquelle
Funktion:
Für die Berechnung der Leistung Pa = I 2 Ra im Verbraucher benötigen wir den Strom
durch die Reihenschaltung
Uq
I=
(2.6.10)
Ri + Ra
Daraus ergibt sich die gesuchte Funktion zu
2
Uq2 Ra
Uq
Ra =
= f (Ra )
(2.6.11)
Pa =
Ri + Ra
(Ri + Ra )2
Maximum:
Wie wir in der Mathematik gelernt haben, erhalten wir durch Nullsetzen der ersten
Ableitung14 einer Funktion die Maxima
dPa
1 · (Ri + Ra )2 − 2(Ri + Ra ) · 1 · Ra
=0
= Uq2 ·
dRa
(Ri + Ra )4
(2.6.12)
Aus dem Zähler ergibt sich die Anpassbedingung zu
Kenngrößen:
(Ri + Ra )2
=
2(Ri + Ra )Ra
Ri + Ra
=
2Ra
Ra
=
Ri
(2.6.13)
Wir können nun folgende Kenngrößen berechnen
• Das Leistungsmaximum ergibt sich mit Gln. 2.6.11 bei Leistungsanpassung
Ri = Ra zu
Uq2
Pamax =
(2.6.14)
4Ri
• Der Wirkungsgrad ergibt sich mit der Gesamtleistung
Pges =
Uq2
Ri + Ra
(2.6.15)
zu
η
= Pa
1
Pges
=
Uq2 Ra
Ri + Ra
·
2
(Ri + Ra )
Uq2
R
=
a
Ra
= RiRa
Ri + Ra
1 + Ri
(2.6.16)
• Der Leistungsfaktor ist das Verhältnis der Ausgangsleistung zur maximalen Ausgangsleistung
Pa
Pamax
=
a
4R
Uq2 Ra 4Ri
4Ri Ra
Ri
=
=
a 2
(Ri + Ra )2 Uq2
(Ri + Ra )2
(1 + R
Ri )
(2.6.17)
In Abb. 2.6.5 sind die Kenngrößen graphisch dargestellt, inklusive des Wirkungsgrades
einer Stromquelle, der im folgenden Kapitel besprochen wird.
Nachricht:
In der Nachrichtentechnik sollen geringe Signalleistungen fehlerfrei und sicher durch
einen Nachrichtenkanal übertragen werden
→ Leistungsanpassung Pa = Pamax zwischen den Stufen bei Ra = Ri .
Energie:
In der Energietechnik sollen erzeugte große Energien möglichst ohne Verluste vom
Generator zum Verbraucher transportiert werden
→ Möglichst großer Wirkungsgrad η bei Ra Ri
14 Quotientenregel:
d/dx(u(x)/v(x) = (u0 v − v 0 u)/v 2 und Kettenregel: d/dx(u(v(x)) = u0 v 0
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-41
2.7
Stromquelle
2. Gleichstromelemente
Leistungsanpassung
1
Eta_U(x)
P_U(x)
Eta_I(x)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
x = Ra / Ri
7
8
9
10
Abbildung 2.6.5.: Wirkungsgrad η und Leistungsfaktor Pa /Pamax in Abhängigkeit von x = Ra /Ri
2.7. Stromquelle
Spannung:
An den Klemmen einer idealen Spannungsquelle liegt unabhängig von der Belastung stets die Quellenspannung an. Die ideale Spannungsquelle liefert dabei einen
so großen Strom, dass das Ohmsche Gesetz an den Klemmen erfüllt ist.
Uq
Ri
UL
Spannungsquelle
Ik
Iq
Ri
UL
Ik
Stromquelle
Abbildung 2.7.1.: Reale Strom- und Spannungsquelle
Strom:
Aus den Klemmen einer idealen Stromquelle fließt unabhängig von der Belastung stets
der Quellenstrom. Die ideale Stromquelle liefert dabei eine so große Spannung, dass
das Ohmsche Gesetz an den Klemmen erfüllt ist.
Frage:
Was unterscheidet dann eine Strom- und eine Spannungsquelle?
Verbraucher:
Aus Sicht des Verbrauchers können reale (widerstandsbehaftet) Quellen nicht unterschieden werden, wenn für die Kenngrößen gilt, dass die Innenwiderstände beider
Quellen gleich sind und zwischen dem Quellenstrom und der Quellenspannung einfach nur das Ohmsche Gesetz gilt
Uq = Ri Iq
(2.7.1)
→ Dann können die realen Quellen ineinander überführt werden!
Für den Verbraucher existiert dann eine Quelle mit der Leerlaufspannung
UL = Uq = Ri Iq
GdE1-42
[email protected]ünster.de
(2.7.2)
1. Februar 2017
2. Gleichstromelemente
2.8
und dem Kurzschlussstrom15
IK = Iq =
Quelle:
Nichtlinearer Zweipol
Uq
Ri
(2.7.3)
Aus Sicht der Quelle gibt es allerdings immer einen Unterschied beim Wirkungsgrad:
• Bei einer Spannungsquelle wird der Wirkungsgrad
ηU =
1
Ra
Ra =∞
Ri
−→
Ra
+ Ri
1
(2.7.4)
wenn die Quelle fast im Leerlauf (Ra → ∞) betrieben wird, da dann am Innenwiderstand Ri fast keine Verlustleistung entsteht.
• Bei einer Stromquelle wird der Wirkungsgrad16
ηI =
1
Ra =0
−→ 1
a
1+ R
Ri
(2.7.5)
wenn die Quelle fast im Kurzschluss (Ra → 0) betrieben wird, da dann am
Innenwiderstand Ri fast keine Verlustleistung entsteht.
2.8. Nichtlinearer Zweipol
Linear:
Bisher haben wir passive und aktive lineare Zweipole behandelt, deren StromSpannungs-Charakteristik I = f (U ) durch eine lineare Geradengleichung der Form
y = ax + b dargestellt werden kann
I = GU
Kennlinie:
(2.8.1)
Diesen Zusammenhang kann man mit einer Geraden auch graphisch darstellen, wie in
Abb. 2.8.1 dargestellt .
I
Uq
Ri
U
I
G
U
Abbildung 2.8.1.: Linearer passiver Zweipol (Leitwert) mit I-U-Kennlinie
→ Bei passiven Zweipolen entfällt der Achsenabschnitt.
Nichtlinear:
Es gibt aber auch Bauelemente, deren Kennlinie I = f (U ) sich nicht mit einer Geradengleichung beschreiben lässt.
Diode:
Die Kennlinie einer idealisierten Diode enthält einen Sperrbereich für Spannungen
U ≤ UD und einen linearen Verlauf für Spannungen U ≥ UD , wie in Abb. 2.8.2
dargestellt ist .
15 Ein
passendes Wertetrippel ist z.B. Iq = 0,2A, Ri = 50Ω und Uq = 10V .
Herleitung dieser Formel analog zur Spamnnungsquelle wird als elektrotechnische und mathematische Übung zur Nachbereitung
des Stoffes empfohlen!
16 Die
1. Februar 2017
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GdE1-43
2.9
Zusammenfassung
2. Gleichstromelemente
I
Uq
Ri
U
I
D
U
UD
Abbildung 2.8.2.: Nichtlineare I-U-Kennlinie einer idealisierten Diode
Praxis:
Die I-U-Kennlinien werden von den Herstellern für den Schaltungsentwurf zur Verfügung gestellt.
→ In Schaltungssimulationsprogrammen werden Dioden und Transistoren durch Näherungsformeln modelliert, deren Herleitung Thema einer Bauelementevorlesung ist
.
2.9. Zusammenfassung
Bauelemente:
Elektrotechnisch bedeutende Gleichstrombauelemente sind:
• Ideale Spannungsquelle, z.B.: U = const
• Ideale Stromquelle, z.B.: I = const
• Widerstand, z.B.: R = 10kΩ
• Leitwert, z.B.: G = 10mS
Gesetze:
Elektrotechnisch bedeutende Gesetze oder Regeln sind:
• Ohmsches Gesetz: U = RI
• Kirchhoffsche Knotenregel:
P
Ik = 0
P
• Kirchhoffsche Maschenregel: Uk = 0
2.10. Übungsaufgaben
Aufgabe 2.10.1
(Spannung)
-> Seite 150
Ein Widerstand liegt an einer Spannung U. Wird die Spannung um ∆U = 16,8V
erhöht, so nimmt die Stromstärke um p = 7% zu.
Aufgabe 2.10.2
(Widerstand)
-> Seite 150
Der Bleimantel eines Kabels besitzt einen Außendurchmesser von da = 15mm und
eine Wandstärke von s = 0,5mm (% = 21 · 10−8 Ωm). Die Kabellänge beträgt l =
100m.
Wie groß ist die Spannung U?
Welchen Widerstand R hat der Bleimantel?
Aufgabe 2.10.3
(Widerstand)
-> Seite 150
GdE1-44
Es soll ein Widerstand von R = 500Ω aus Konstantandraht von d = 0,4mm Durchmesser gewickelt werden (κ = 2 · 106 S/m).
Welche Drahtlänge l ist erforderlich?
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1. Februar 2017
2. Gleichstromelemente
2.10
Übungsaufgaben
Aufgabe 2.10.4
(Temperatur)
-> Seite 150
Die Wicklung eines Motors hat bei einer Temperatur T1 = 20◦C den Widerstand
R1 = 0,325Ω (α = 3,9 · 10−3 K −1 ).
Aufgabe 2.10.5
(Temperatur)
-> Seite 150
Eine Spule aus Aluminiumdraht (α = 4,2 · 10−3 K −1 ) wird an eine Spannungsquelle
mit U = 220V angeschlossen. Zu Beginn der Messung fließt bei einer Spulentemperatur von T1 = 20◦C der Strom I1 = 5A. Am Ende der Messung ist der Strom bei
gleicher Spannung auf I2 = 4A gesunken.
Wie groß ist der Widerstand R2 der Wicklung bei T2 = 95◦C?
Welche mittlere Temperatur T2 hat sich in der Spule eingestellt?
Aufgabe 2.10.6
(Temperatur)
-> Seite 150
Erwärmt man einen Leiter von T1 = 20◦C auf T2 = 80◦C, so nimmt sein Widerstand
um p = 0,84% zu.
Aufgabe 2.10.7
(Leistung)
-> Seite 151
Um wie viel Prozent steigt die Leistung eines Elektrowärmegerätes, wenn die anliegende Spannung von U1 = 220V auf U2 = 230V erhöht wird? (Der Widerstand des
Gerätes kann als konstant angenommen werden.)
Aufgabe 2.10.8
(Leistung)
-> Seite 151
In einem an der Spannung U liegenden Heizdraht wird eine Leistung P in Wärme umgesetzt. Der Heizdraht soll durch einen anderen Heizdraht aus dem gleichen Material
und gleicher Länge, jedoch mit einem um 30% größeren Querschnitt ersetzt werden.
Wie groß ist der Temperaturkoeffizient α des Leitermaterials?
Um wie viel Prozent muss die anliegende Spannung herabgesetzt werden, damit die
vom Draht aufgenommene Leistung unverändert bleibt?
Aufgabe 2.10.9
(Leistung)
-> Seite 151
Ein Elektromotor ist über einen Zähler angeschlossen, dessen Typenschild die Angabe
„1 kWh = 1800 Ankerumdrehungen“ enthält.
Aufgabe 2.10.10
(Leistung)
-> Seite 151
Das Leistungsschild eines Gleichstrommotors enthält folgende Angaben: U = 220V ;
I = 18A; P = 3,3kW .
Welche Leistung nimmt der Motor auf, wenn der Anker des Zählers in 5 Minuten 8
volle Umdrehungen macht?
1. Wie groß ist der Wirkungsgrad η der Maschine bei den angegebenen Daten ?
2. Wie hoch sind die Energiekosten bei einem Arbeitspreis von 0,15e/kW h, wenn
der Motor 5 Stunden in Betrieb ist?
Aufgabe 2.10.11
(Leistung)
-> Seite 151
Um eine bestimmte Wassermenge mit vorgegebener Anfangstemperatur mit dem
Tauchsieder zum Sieden zu bringen, dauert es bei einer anliegenden Spannung von
U1 = 200V genau ∆t = 5min länger als bei einer Spannung von U2 = 220V .
Welche Zeit t wird bei 220V benötigt?
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-45
2.10
Übungsaufgaben
Aufgabe 2.10.12
(Widerstand)
-> Seite 151
Aufgabe 2.10.13
(Netzwerk)
-> Seite 151
Aufgabe 2.10.14
(Leitung)
-> Seite 152
2. Gleichstromelemente
Die angegebene Schaltung mit
R1 = R3 = 3Ω und R2 = R4 =
6Ω liegt an der Spannung U =
24V .
Die Ströme I1 bis I5 sind zu berechnen.
I5
I2
R2
I4
I1
I3
R1
R3
U
Bei
der
angegebeI1 R1
I3 R3
nen
Schaltung
mit
den
Widerständen
R1 = 20Ω, R2 = 60Ω,
I2
R3 = 20Ω, R4 = 30Ω
U
R2
und R5 = 60Ω beträgt der im Widerstand
R2
fließende Strom
I2 = 0,3A.
Die Ströme I1 , I3 , I4 , I5 und die Spannung U sind zu bestimmen.
R4
I5
I4
R4
R5
Ein Gleichstrommotor soll über ein zweiadriges Kabel der Länge l = 50m an eine
Spannungsquelle angeschlossen werden. Der Motor gibt bei der anliegenden Spannung U = 110V und dem Wirkungsgrad η = 0,75 die Leistung P = 3kW ab. Der
Kupferquerschnitt jeder Leitungsader beträgt A = 6mm2 (% = 17,6 · 10−9 Ωm).
Welche Spannung U 0 muss am Leitungsanfang anliegen, damit der Motor an U =
110V liegt?
Aufgabe 2.10.15
(Leitung)
-> Seite 152
Ein Verbraucher mit dem Widerstand R =
10Ω soll über ein zweiadriges Kabel (Leitungsadern aus Kupfer mit % = 17,6 ·
U
10−9 Ωm) der Länge l = 71m an eine
l
R
Spannungsquelle mit U = 220V angeschlossen werden (siehe Skizze).
Wie groß ist der Querschnitt A jeder Leitungsader zu wählen, wenn der Leistungsverlust im Kabel Pv = 400W betragen darf? (Rechnerisch sind zwei Querschnitte
möglich. Es ist nur der größere der beiden möglichen Querschnitte anzugeben.)
Aufgabe 2.10.16
(Spannung)
-> Seite 152
In der angegebenen Schaltung mit R1 =
R4 = 2Ω und R2 = R3 = 4Ω ist U =
10V .
Welche Spannung liegt zwischen den
Punkten A und B?
A
R1
R2
U
R3
R4
B
GdE1-46
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
2. Gleichstromelemente
Aufgabe 2.10.17
(Widerstand)
-> Seite 152
Aufgabe 2.10.18
(Widerstand)
-> Seite 152
Aufgabe 2.10.19
(ESQ)
-> Seite 152
2.10
Ein Draht ist zu einem Kreis gebogen und
in sich geschlossen.
Um welchen Faktor ist der zwischen den
Punkten A und B liegende Widerstand
RAB = RAB1 ||RAB2 größer als der zwischen den Punkten C und D liegende Widerstand RCD = RCD1 ||RCD2 , wenn α =
50◦ und β = 100◦ beträgt?
Übungsaufgaben
A
β
B
C
α
D
Ein Draht mit dem Widerstand R wird zu
einem Rechteck gebogen, die Enden werden verlötet.
Wie groß muss das Verhältnis der Rechteckseiten x = a/b sein, damit der zwischen den Punkten A und B liegende Widerstand RAB = 0,16 · R ist (siehe Skizze)?
A
a
b
b
a
B
Wird eine reale Spannungsquelle durch den Widerstand R1 = 20Ω belastet, so beträgt
die Klemmenspannung U1 = 20V . Belastet man die gleiche Spannungsquelle durch
den Widerstand R2 = 12Ω, so beträgt die Klemmenspannung U2 = 18V .
Der Innenwiderstand Ri und die Quellenspannung Uq der Spannungsquelle sind zu
bestimmen.
Aufgabe 2.10.20
(Last)
-> Seite 152
Aufgabe 2.10.21
(Last)
-> Seite 153
Aufgabe 2.10.22
(Last)
-> Seite 153
1. Februar 2017
Der angegebene Spannungsteiler enthält
die Widerstände R1 = 60Ω und R2 =
50Ω.
Um wie viel Prozent ändert sich die Spannung U2 , wenn ein Lastwiderstand von
R = 100Ω angeschlossen wird? (U1 =
const.)
U1
Der angegebene Spannungsteiler enthält
die Widerstände R1 = 10Ω und R2 =
50Ω.
Welchen Wert muss der Lastwiderstand R
mindestens haben, damit sich die Spannung U2 beim Anschließen von R höchstens um 10% ändert?
U1
Der angegebene Spannungsteiler soll so
ausgelegt werden, dass im unbelasteten Zustand U2 = 0,2 · U1 ist. Wird ein Lastwiderstand von R = 360Ω angeschlossen, so
soll sich U2 um 10% ändern.
Welche Werte sind für R1 und R2 erforderlich?
U1
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R1
R2
U2
R
R1
R2
U2
R
R1
R2
U2
GdE1-47
R
Übungsaufgaben
Aufgabe 2.10.23
(Kennlinie)
-> Seite 153
2. Gleichstromelemente
Eine Spannungsquelle mit der Quellenspannung Uq = 12V und dem Innenwiderstand
Ri = 2,4Ω soll durch zwei Widerstände (R1 und R2 ) so beschaltet werden, dass die
Anordnung die angegebene Strom-Spannungs-Kennlinie erhält.
Welche
Werte
sind für R1 und
R2 erforderlich?
Uq
R2
U/V
2.10
I
8
R1
Ri
U
R
I/A
1,6
Die angegebene Schaltung mit R1 = 24Ω und R2 = 90Ω hat die dargestellte StromSpannungs-Kennlinie.
Die Größen Uq
und Ri sind zu
bestimmen.
Uq
R1
U/V
Aufgabe 2.10.24
(Kennlinie)
-> Seite 153
I
18
Ri
R2
U
R
I/A
0,8
GdE1-48
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1. Februar 2017
3. Gleichstromnetzwerke
Ziele:
Das Ziel dieses Kapitels ist das Kennenlernen von Verfahren zur Berechnung von
Spannungen und Strömen in elektrischen Netzwerken.
U2
U1
R1
R2
R5
R6
U3
U4
R3
R4
Abbildung 3.0.1.: Beispielnetzwerk aus einer Übungsaufbabe
→ Die Berechnung der Ströme in den Widerständen des Netzes in Abb. 3.0.1 bei
gegegenen Spannungen und Widerständen ist Inhalt der Aufgabe 3.9.10.
3.1. Grundlagen
Aufgabe:
Ziel der Netzwerkanalyse ist die Berechnung von Spannungen und / oder Strömen in
elektrischen Netzwerken, also der beliebigen Verschaltung von elektrischen Bauelementen.
→ Gleichstromanalyse im wesentlichen mit Widerständen und Gleichspannungs- und
/ oder Gleichstromquellen. Verständnisfrage: Warum kommen Kondensatoren und
Spulen in der Berechnung von Gleichspannungsnetzen nicht vor?
Linear:
Bei linearen Netzen existieren nur lineare Strom-Spannung-Beziehungen, d.h. es gilt
• das Ohmsche Gesetz U = RI für Widerstände und
• alle Quellen haben eine lineare U-I-Kennlinie.
→ Es entstehen lineare Gleichungssysteme zur Berechnung der Spannungen und Ströme.
Vereinfachnung:
Da in einem linearen Netzwerk alle Spannungen und Ströme der Widerstände über das
Ohmsche Gesetz U = IR voneinander abhängen, braucht man nur
• die Ströme oder
• die Spannungen zu berechnen.
Mathematik
1. Februar 2017
Wenn alle Quellen und Widerstände bekannt sind, müssen für n Widerstände die Spannungen und Ströme berechnet werden, also 2n Unbekannte.
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GdE1-49
3.2
Kirchhoffsche Gleichungen
3. Gleichstromnetzwerke
• Es müssen 2n Gleichungen zur Lösung gefunden werden.
• Das Ohmsche Gesetz U = RI stellt n Gleichungen für 2n Unbekannte zur
Verfügung.
• Es müssen weitere n Gleichungen gefunden werden.
Verfahren:
Es existieren fünf Verfahren zur Berechnung der Ströme und Spannungen in linearen
Netzwerken:
1. Direktes Anwenden der Kirchhoffschen Gleichungen
2. Ersatzspannungs- oder Ersatzstromquelle
3. Überlagerungssatz oder Superpositionsprinzip
4. Maschenanalyse oder Maschenstromverfahren
5. Knotenanalyse oder Knotenpotentialverfahren
3.2. Kirchhoffsche Gleichungen
Aufgabe:
Gegeben sei ein Netz aus Abb. 3.2.1 mit zwei Spannungsquellen. Der Strom I3 durch
den Widerstand R3 soll analytisch bestimmt werden!
→ Reichen die bekannten Methoden aus? Ja!
IR1
R1
U1
U3
U q1
I1
IR2
R2
IR3
R3
U2
I2
U q2
Abbildung 3.2.1.: T-Netzwerk mit zwei Spannungsquellen
Lösung:
Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Gleichungen zur Bestimmung der 6 Unbekannten:
• Spannungen U1...3 und
• Ströme IR1 ...R3 .
Aufgabe:
Für die 6 Unbekannten werden 6 unabhängige Gleichungen benötigt. Wie findet man
sie?
Netzwerk:
Ein elektrisches Netzwerk besteht aus z Zweigen, die an den k Knoten miteinander
verbunden sind und somit m Maschen bilden. In Abb. 3.2.2 sind für die Schaltung aus
Abb. 3.2.1 Zweige, Knoten und Maschen gezeichnet.
• An einem Knoten sind mindestens 3 Zweige angeschlossen.
• Ein Zweig verbindet 2 Knoten miteinander wobei alle Bauelemente vom selben
Strom durch flossen werden.
• Eine Masche ist ein geschlossener Weg über Zweige und Knoten.
GdE1-50
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1. Februar 2017
3. Gleichstromnetzwerke
3.2
Kirchhoffsche Gleichungen
Knoten
Zweig
Masche
Abbildung 3.2.2.: Darstellung von Zweigen, Knoten und Maschen
Frage 1:
Wie viele Zweige, Knoten und Maschen enthält die Beispielschaltung aus Abb. 3.2.1
?
• Zweige: z = 3, zwischen je zwei Punkten
• Knoten: k = 2, die beiden schwarzen Punkte
• Maschen: m = 3, links, rechts und außen herum
→ Damit ergeben sich 2 Knotengleichungen, 3 Maschengleichungen und 3 Gleichungen aus dem Ohmschen Gesetz, also 8 Gleichungen für 6 Unbekannte.
Frage 2:
Welche der 8 Gleichungen sind linear unabhängig?
• Aus dem Ohmschen Gesetz für jeden Zweig ergeben sich z = 3 unabhängige
Gleichungen.
• Bei k = 2 Knoten ist k − 1 = 1 Knotengleichung linear unabhängig.
• Also müssen von den Maschengleichungen
m0 = z − (k − 1) = 3 − (2 − 1) = 2
(3.2.1)
unabhängig sein!
Frage 3:
Wie findet man alle linear unabhängigen Maschengleichungen?
→ In dem einfachen Beispiel kann eine beliebige der 3 Maschen weggelassen werden.
Praxis:
Eine praktische Methode zur Auswahl unabhängiger Maschen ist:
Nach Auswahl einer Masche trennt man diese Masche in einem beliebigen Zweig auf.
Weitere Maschen dürfen keine aufgetrennten Zweige enthalten. Es werden so viele
Maschen gebildet wie möglich sind.
3.2.1. Beispiel zu den Kirchhoffschen Gleichungen
Ohmsches Gesetz:
3 Gleichungen
Ui = Ri IRi
Maschenregel:
,i = 1,3
(3.2.2)
2 Gleichungen
−Uq1 + U1 + U3 = 0
−Uq2 + U2 + U3 = 0
Knotenregel:
1 Gleichung
IR1 + IR2 − IR3 = 0
1. Februar 2017
(3.2.3)
[email protected]ünster.de
(3.2.4)
GdE1-51
3.2
Kirchhoffsche Gleichungen
Mathematik:
3. Gleichstromnetzwerke
Zur Berechnung der Zweigströme erhält man ausgehend von den Maschengleichungen
U1
+
+
U2
U3
U3
= Uq1
= Uq2
(3.2.5)
Mit dem Ohmschen Gesetz folgt
IR1 R1
IR2 R2
+
+
IR3 R3
IR3 R3
= Uq1
= Uq2
(3.2.6)
Mit der Knotengleichung kann der Strom I3 eliminiert werden
IR1 R1
IR2 R2
+
+
(IR1 + IR2 ) R3
(IR1 + IR2 ) R3
=
=
Uq1
Uq2
(3.2.7)
Ordnet man diese Gleichungen nach den beiden Unbekannten, so ergibt sich folgendes
Gleichungssystem
(R1 + R3 ) IR1
R3
IR1
+
+
R3
IR2
(R2 + R3 ) IR2
=
=
Uq1
Uq2
(3.2.8)
oder in Matrizenschreibweise
Ergebnis:
R1 + R3
R3
R3
R2 + R3
IR1
Uq1
·
=
IR2
Uq2
(3.2.9)
Die Untersuchung eines linearen Netzes führt zu einem linearen Gleichungssystem für
die Unbekannten (Ströme), das nun nur noch aufgelöst werden muss.
→ Anwenden mathematischer Methoden, heute mit Taschenrechner direkt lösbar.
Matrizen:
Für alle, die noch keine Matrizenrechnung kennen kommt hier die minimal notwendige Mathematik. Die Schreibweise mit der 3 × 3-Matrix1

 
 

R1A R1B R1C
IA
U1
 R2A R2B R2C  ·  IB  =  U2 
(3.2.10)
R3A R3B R3C
IC
U3
ist nur eine verkürtzte Schreibweise für das Gleichungssystem mit den drei Gleichungen
R1A · IA + R1B · IB + R1C · IC
= U1
(3.2.11)
R2A · IA + R2B · IB + R2C · IC
= U2
(3.2.12)
R3A · IA + R3B · IB + R3C · IC
= U3
(3.2.13)
in der beispielhaft die Elemente Rij der Matrix mit den Komponenten Ij des Ergebnisvektors multipliziert werden.
Rang:
Das lineare Gleichungssystem
R·I =U
(3.2.14)
ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Rang der Matrix R gleich der Anzahl der
Zeilen der Matrix ist. Dann ist aber auch die Determinate der Matrix ungleich Null.
→ Alle Gleichungen sind linear unabhängig!
1 Die
Buchstaben A, B, C dienen nur der besseren Unterscheidung der Spalten von den Zeilen mit den Ziffern 1, 2 und 3.
GdE1-52
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1. Februar 2017
3. Gleichstromnetzwerke
Determinaten:
3.2
Kirchhoffsche Gleichungen
Die Determinante einer 3 × 3-Koeffizientenmatrix R berechnet sich aus dem Produkt
der Hauptdiagonalen minus dem Produkt der Nebendiagonalen zu
R1A R1B R1C R1A R1B
D = |R| = R2A R2B R2C R2A R2B
R3A R3B R3C R3A G3B
= R1A R2B R3C + R1B R2C R3A + R1C R2A R3B −
R3A R2B R1C − R3B R2C R1A − R3C R2A R1B
(3.2.15)
Cramer:
Die Lösung des linearen Gleichungssystems 3.2.9 ist mit der Cramer’schen Regel
xi =
Di
D
(3.2.16)
möglich2 . Die Determinante der 2 × 2-Koeffizientenmatrix berechnet sich aus dem
Produkt der Hauptdiagonale minus dem Produkt der Nebendiagonale zu
R1 + R3
R3
= R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 6= 0
(3.2.17)
D=
R3
R2 + R3 und entsprechend die beiden Hilfsdeterminanten zu
Uq1
R3
= Uq1 (R2 + R3 ) − Uq2 R3
D1 = Uq2 R2 + R3 und zu
R + R3
D2 = 1
R3
Uq1 = Uq2 (R1 + R3 ) − Uq1 R3
Uq2 (3.2.18)
(3.2.19)
→ Aus D 6= 0 folgt, dass eine eindeutige Lösung des Gleichungssystems existiert!
Ströme:
Damit ergeben sich die Teilströme
IR1 =
D1
Uq (R2 + R3 ) − Uq2 R3
P
= 1
Ri Rj
D
(3.2.20)
IR2 =
Uq (R1 + R3 ) − Uq1 R3
D2
P
= 2
D
Ri Rj
(3.2.21)
und
Der gesuchte Strom IR3 ist dann die Summe dieser beiden Ströme
IR3 = IR1 + IR2 =
Gauss:
Uq1 R2 + Uq2 R1
P
Ri Rj
(3.2.22)
ALTERNATIV erhalten wir mit dem Gaussschen Eliminationsverfahren eine etwas
aufwendrigere Lösung. Das Verfahren erzeugt aus n Gleichungen für n Unbekannte (n
- 1) Gleichungen für (n - 1) Unbekannte.
Wenn wir in dem Gleichungsystem 3.2.9 die erste Zeile durch (R1 + R3 ) dividieren
und mit R3 multiplizieren erhalten wir
R3
R3
2 Oder
IR1
IR1
R2
3
+
IR2
R1 +R3
+ (R2 + R3 ) IR2
=
=
R3
R1 +R3 Uq1
Uq2
(3.2.23)
mit dem gaußschen Eliminationsverfahren, bei dem die Koeffizientenmatrix in Dreiecksform gebracht wird.
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-53
3.3
Ersatzquellen
3. Gleichstromnetzwerke
Wenn wir diese beiden Gleichungen voneinander abziehen erhalten wir ein reduziertes
Gleichungssystem mit 1 Gleichung für 1 Unbekannte
R32
R3
(R2 + R3 ) −
IR2 = Uq2 −
Uq1
(3.2.24)
R1 + R3
R1 + R3
und die erste Lösung für IR2 durch Erweitern und Ausmultiplizieren zu
IR2
=
R3
R1 +R3 Uq1
R32
R3 ) − R1 +R
3
Uq2 −
(R2 +
·
R1 + R3
R +R
| 1 {z 3}
(3.2.25)
erweitern
=
=
Uq2 (R1 + R3 ) − R3 Uq1
(R2 + R3 )(R1 + R3 ) − R32
Uq2 (R1 + R3 ) − R3 Uq1
P
Ri Rj
(3.2.26)
(3.2.27)
Die zweite Lösung für IR1 erhalten wir, indem wir die erste Lösung in eine der beiden
Zeilen des ursprünglichen Gleichungssystems einsetzen. Nehmen wir dazu die zweite
Gleichung ergibt sich
R3 IR1
=
=
=
=
IR1
=
Uq2 − (R2 + R3 )IR2
Uq2 (R1 + R3 ) − R3 Uq1
P
Uq2 − (R2 + R3 ) ·
Ri Rj
P
Uq2 ( Ri Rj ) − (R2 + R3 )[Uq2 (R1 + R3 ) − R3 Uq1 ]
P
Ri Rj
P
Uq2 [ Ri Rj − (R2 + R3 )(R1 + R3 )] + R3 (R2 + R3 )Uq1
P
Ri Rj
−R3 Uq2 + (R2 + R3 )Uq1
P
(3.2.28)
Ri Rj
3.2.2. Bewertung der Kirchhoffschen Gleichungen
Bewertung:
Anwenden der Kirchhoffschen Gleichungen
• POSITIV: Es ist das allgemeinste Verfahren zur Bestimmung aller Unbekannten
und ist immer einsetzbar.
• Es sind maximal z Knoten- und Maschen-Gleichungen zu lösen. Zusätzlich werden z Ohmsche Gleichungen verwendet.
• NEGATIV: Es sind immer alle z Gleichungen notwendig, auch wenn im Extremfall nur ein Strom oder eine Spannung gesucht wird.
• Alle anderen Verfahren basieren ebenfalls auf den Kirchhoffschen Gleichungen.
3.3. Ersatzquellen
ESQ:
Jedes beliebige lineare, aktive Netzwerk mit 2 Anschlussklemmen (also ein Zweipol
wie in Abb. 3.3.1) kann bezüglich dem elektrischen Verhalten an diesen 2 Anschlussklemmen durch eine Ersatzquelle ersetzt werden.
→ Somit haben alle 3 Netzwerke den selben Strom IR3 und die selbe Spannung UR3
am Widerstand R3 .
GdE1-54
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
3. Gleichstromnetzwerke
3.3
A
linearer
aktiver
Zwei−
pol
U R3
IR3
R3
A
Ri
Uq
U R3
B
IR3
A
Gi
Iq
R3
U R3
B
Ersatzquellen
I R3
G3
B
Abbildung 3.3.1.: Netzwerkberechnung mit Ersatzquellen
Leerlauf:
Zur Bestimmung der Werte der Ersatzquellen wählen wir den Widerstand R3 = ∞
und erhalten dafür mit der Leerlaufspannung UL = UAB die Quellenspannung der
Ersatzspannungsquelle zu
Iq
Uq = UL =
(3.3.1)
Gi
Kurzschluss:
Für den Widerstand R3 = 0 erhalten mit dem Kurzschlussstrom IK = IAB den
Quellenstrom der Ersatzstromquelle zu
Iq = IK =
Uq
Ri
(3.3.2)
Innenwiderstand:
Bei beiden Ersatzquellen ergibt das Ohmsche Gesetz den Innenwiderstand der Quellen
zu
Uq
1
=
(3.3.3)
Ri =
Gi
IK
Thévenin:
Mit dem Theorem der Ersatzspannungsquelle ergibt sich der gesuchte Strom zu
IR3 =
Norton:
Uq
Ri + R3
(3.3.4)
Mit dem Theorem der Ersatzstromquelle ergibt sich der gesuchte Strom IR3 =
UR3 /R3 mit der Spannung
Iq
(3.3.5)
UR3 =
Gi + G3
3.3.1. Beispiel zu Ersatzquellen
Innenwiderstand:
Für das T-Netzwerk des Beispiels benötigen wir den Innenwiderstand zwischen den
Punkten A und B ohne den Widerstand R3 .
→ Spannungsquellen werden kurzgeschlossen und Stromquellen entfernt!
Ri
= R1 ||R2 =
=
E-Spannungs-Q:
1
R1
1
+
1
R2
1
G1 + G2
R1 R2
1
R1 R2
=
=
·
R1 R2
R1 + R2
Gi
(3.3.6)
Für das Verfahren mit der Ersatzspannungsquelle benötigen wir als nächstes die Leerlaufspannung zwischen den Punkten A und B ohne den Widerstand R3 .
Aus der großen Masche in Abb. 3.3.3 erhalten wir den Strom mit
Uq2 − Uq1 + I(R1 + R2 ) = 0
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
(3.3.7)
GdE1-55
3.3
Ersatzquellen
3. Gleichstromnetzwerke
A
R1
R2
B
Abbildung 3.3.2.: Berechnung der Innenwiderstände der Ersatzquellen
I
A
R1
U q1
R2
U q2
UL
B
Abbildung 3.3.3.: Berechnung der Leerlaufspannung der Ersatzspannungsquelle
zu
I=
Uq1 − Uq2
R1 + R2
(3.3.8)
Aus der linken Masche erhalten wir die Leerlaufspannung mit
UL − Uq1 + IR1 = 0
(3.3.9)
zu
UL = Uq1 − R1
Uq1 − Uq2
R1 + R2
(3.3.10)
Für einen Vergleich der Ergebnisse benötigen wir eine passende Umformung
UL
=
=
Thévenin:
Uq1 (R1 + R2 ) − R1 (Uq1 − Uq2 )
R1 + R2
Uq1 R2 + Uq2 R1
R1 + R2
(3.3.11)
Mit dem Thévenin-Theorem ergibt sich der gesuchte Strom zu
IR3
=
=
Uq R2 + Uq2 R1
R1 + R2
UL
= 1
·
Ri + R3
R1 + R2
R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
Uq1 R2 + Uq2 R1
P
(3.3.12)
Ri Rj
Kann die Berechnung auch alternativ mir dem Verfahren der Ersatzstromquelle nach
Norton durchgeführt werden? Die hypothetische Antwort sollte jeder geben können,
die Überprüfung ist dann eine reine „Zeitfrage“.
GdE1-56
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1. Februar 2017
3. Gleichstromnetzwerke
3.3
Ersatzquellen
3.3.2. Stern-Dreieck-Umwandlung
Problem:
Bei der Berechnung der Innenwiderstände kann es vorkommen, dass sich die Widerstände nicht durch Reihen- oder Parallelschaltung zusammenfassen lassen, wie in
Abb. 3.3.4 für den Widerstand R14 zu sehen ist .
2
R12
R24
R23
1
R13
4
R34
3
Abbildung 3.3.4.: Problemschaltung zur Zusammenfassung von Widerständen
→ Es liegen keine 2 Widerstände an der gleichen Spannung
→ Es werden keine 2 Widerstände vom gleichen Strom durch flossen
Ansatz:
Zur Lösung des „Problems“ wird das Netzwerk so umgezeichnet, dass vorhandene
Dreieck- und/ oder Sternschaltungen sichtbar werden.
Lösung:
Im vorhandenen Netzwerk ergeben sich 2 Dreieckschaltungen, dessen linkes Dreieck
∆123 in eine äquivalente Sternschaltung Y123 wie in Abb. 3.3.5 umgewandelt werden
kann.
R12
R24
2
R23
1
2
4
1
R10
0
R13
3
R34
R24
R20
4
R30
3
R34
Abbildung 3.3.5.: Umgewandelte Schaltung zur Zusammenfassung von Widerständen
Ergebnis:
In der umgewandelten Schaltung berechnet sich der Ersatzwiderstand nun wieder nach
den bekannten Regel der Reihen- und Parallelschaltung zu
R14 = R10 + (R20 + R24 )||(R30 + R34 )
(3.3.13)
Frage:
Wann sind die Stern- und Dreieckschaltung äquivalent?
Ansatz:
Wenn beide Schaltungen in Abb. 3.3.6 nach außen gleich sein sollen, so müssen die
Widerstände zwischen den Knoten identisch sein.
Knoten 1-2:
R10 + R20 = R12 ||(R23 + R13 ) =
R12 (R23 + R13 )
R12 + R23 + R13
(3.3.14)
R20 + R30 = R23 ||(R13 + R12 ) =
R23 (R13 + R12 )
R12 + R23 + R13
(3.3.15)
Knoten 2-3:
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-57
3.3
Ersatzquellen
3. Gleichstromnetzwerke
1
1
R 10
0
3
R 13
R 12
R 20
R 30
R 23
3
2
2
Abbildung 3.3.6.: (Dreier-) Stern- und Dreieck-Schaltung
Knoten 1-3:
R10 + R30 = R13 ||(R12 + R23 ) =
Dreieck → Stern:
R13 (R12 + R23 )
R12 + R23 + R13
(3.3.16)
Addition von Gln. 3.3.14 und Gln. 3.3.16 und Subtraktion von Gln. 3.3.15 liefert die
Umwandlungsgleichung
R12 R13
(3.3.17)
R10 =
R12 + R23 + R13
Einsetzen in Gln. 3.3.14 ergibt
R20 =
R23 R12
R12 + R23 + R13
(3.3.18)
R30 =
R13 R23
R12 + R23 + R13
(3.3.19)
und in in Gln. 3.3.16 ergibt
Ergebnis:
Sternwiderstand =
Symmetrie:
Produkt der Anliegerwiderstände
Umlaufwiderstand
Als Sonderfall für R12 = R13 = R23 erhält man
RY =
Stern → Dreieck:
(3.3.20)
R∆
3
(3.3.21)
Ausgehend von den Ergebnissen der Dreieck-Stern-Transformation ergibt sich folgendes Ergebnis (wobei die Herleitung mit den bereits bekannten Methoden der Mathematik für jeden möglich ist, oder?) :
Dreiecksleitwert =
Produkt der Anliegerleitwerte
Sternknotenleitwert
(3.3.22)
→ Der Umlaufwiderstand ist die Summe der Widerstände in einer Masche.
→ Der Knotenleitwert ist die Summe der Leitwerte in einem Knoten.
Symmetrie:
Als Sonderfall für G10 = G20 = G30 erhält man analog
R∆ =
GdE1-58
G∆
=
1
G∆
=
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GY
bzw.
3
3
= 3RY
GY
(3.3.23)
1. Februar 2017
3. Gleichstromnetzwerke
3.4
Überlagerungssatz
3.3.3. Bewertung der Ersatzquellen
Bewertung:
Anwenden der Ersatzquellen
• NEGATIV: Mit den Ersatzquellen kann immer nur eine Spannung oder ein Strom
eines passiven Zweiges berechnet werden. Zur Berechnung aller Unbekannten ist
das Verfahren zu aufwendig.
• Die Berechnung der Leerlaufspannung oder des Kurzschlussstromes erfolgt i.a.
mit Hilfe der Kirchhoffschen Gleichungen.
• Zur Berechnung der Innenwiderstände muss ggf. eine Stern-DreieckUmwandlung durchgeführt werden.
• POSITIV: Das Thévenin-Theorem ist besonders einfach, wenn Ri R ist, da
L
≈ URL gilt.
dann näherungsweise IAB = RUi +R
• POSITIV: Das Norton-Theorem ist besonders einfach, wenn Gi G ist, da
IK
dann näherungsweise UAB = GIi K
+G ≈ G gilt.
3.4. Überlagerungssatz
Prinzip:
Der Überlagerungssatz ergibt sich aus der Linearitätsbedingung, die besagt, dass zwischen jedem Strom und jeder Spannung eine lineare Beziehung existiert.
IR1
IR2
IR3
R1
U q1
R3
R2
U q2
Abbildung 3.4.1.: Netz mit zwei Spannungsquellen
→ Man lässt jede Quelle in Abb. 3.4.1 allein wirken, indem man alle anderen Quellen
wirkungslos macht
• n Quellen ergeben n verschiedene Stromverteilungen.
• Die Überlagerung der entsprechenden abstrakten Teilströme ergibt die physikalischen Ströme in den Zweigen.
3.4.1. Beispiel zum Überlagerungssatz
Folge:
Damit muss sich jeder Strom, also auch der gesuchte Strom IR3 als lineare Funktion
der Quellenspannungen darstellen lassen
IR3 = f (Uq1 , Uq2 ) = k1 Uq1 + k2 Uq2
Quelle 1:
1. Februar 2017
(3.4.1)
0
00
Der Strom IR3 wird als Überlagerung der beiden Teilströme IR
= f (Uq1 ) und IR
=
3
3
f (Uq2 ) berechnet. Dazu wird im Beispiel zuerst die Spannungsquelle 2 wirkungslos
gemacht, also kurzgeschlossen, wie dies in Abb. 3.4.2 dargestellt ist .
[email protected]ünster.de
GdE1-59
3.4
Überlagerungssatz
3. Gleichstromnetzwerke
I’R1
I’R2
R1
U q1
I’R3
R2
R3
Abbildung 3.4.2.: Auswirkung von Quelle 1 auf das Netzwerk
Strom:
0
Der Strom IR
der Quelle 1 ist durch den Ersatzwiderstand R1 + R3 ||R2 bestimmt zu
1
0
IR
= f (Uq1 ) =
1
Teiler:
Uq1
R1 + R3 ||R2
Der Anteil durch R3 ergibt sich mit der Stromteiler-Regel zu
R2
I0
R2 + R3 R1
0
0
IR
= f (IR
)=
3
1
Quelle 2:
(3.4.2)
(3.4.3)
Zur Bestimmung des zweiten Teilstromes des Beispiels wird nun die Spannungsquelle
1 wirkungslos gemacht, also ebenfalls kurzgeschlossen, wie dies in Abb. 3.4.3 dargestellt ist .
I’’
R1
I’’
R2
R1
I’’
R3
R2
R3
U q2
Abbildung 3.4.3.: Auswirkung von Quelle 2 auf das Netzwerk
Strom:
00
Der Strom IR
der Quelle 2 ist durch den Ersatzwiderstand R2 + R3 ||R1 bestimmt zu
1
00
IR
= f (Uq2 ) =
2
Teiler:
Uq2
R2 + R3 ||R1
Der Anteil durch R3 ergibt sich mit der Stromteiler-Regel zu
00
00
IR
= f (IR
)=
3
2
Superposition:
R1
I 00
R1 + R3 R2
(3.4.5)
Der Gesamtstrom IR3 wird damit zu
IR3 = f (Uq1 , Uq2 )
Frage:
(3.4.4)
0
00
= IR
(Uq1 ) + IR
(Uq2 )
3
3
(3.4.6)
Stimmen alle bisherigen Ergebnisse überein?
→ Wenn man die Formeln mathematisch bis zu Ende rechnet sollte das so sein. Es
könnte eine gute Übung für die Mathematik sein!
GdE1-60
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
3. Gleichstromnetzwerke
3.5
Maschenanalyse
3.4.2. Bewertung des Überlagerungssatzes
Bewertung:
Anwenden des Überlagerungssatzes
• POSITIV: Für jede Quelle muss eine Stromverteilung berechnet werden, bei der
man nur Widerstände verwendet und (ggf. mehrmals) die Stromteilerregel verwendet.
• NEGATIV: Der Rechenaufwand steigt mit der Anzahl der Quellen im Netz.
• Es können vor der Berechnung auch Gruppen von Quellen gebildet werden, deren Wirkung man gemeinsam überlagert.
3.5. Maschenanalyse
Praxis:
Es existiert ein Verfahren mit dem das Gleichungssystem 3.2.9
R·I =U
(3.5.1)
(R Widerstandsmatrix, I und U Vektoren) direkt aufgestellt werden kann:
→ Das Maschenstrom-Verfahren ist das meistbenutzte Verfahren zur Netzwerkanalyse. Es erstellt direkt das Gleichungssystem mit nur
m0 = z − (k − 1)
(3.5.2)
Maschengleichungen.
→ Für die numerische Lösung des Gleichungssystem können moderne „Taschenrechner“ verwendet werden.
Prinzip:
Die unbekannten Zweigströme werden in abhängige und unabhängige Ströme aufgeteilt.
→ Mit der Maschenanalyse werden die unabhängigen Zweigströme bestimmt, die in
den Verbindungszweigen des vollständigen Baumes fließen.
Ergebnis:
Das Gleichungssystem besteht aus m Maschengleichungen





Verfahren:
R11
R21
..
.
R12
R22
...
...
Rm1
Rm2
...
 
R1m

R2m 
 
·
 
Rmm
I1
I2
..
.
Im


 
 
=
 
Uq1
Uq2
..
.





(3.5.3)
Uqm
1. Auf der Hauptdiagonalen stehen die Umlaufwiderstände Rii (positive Summe
der Widerstände der Maschen).
2. Auf den Nebendiagonalen stehen die Kopplungswiderstände Rij : Positiv, wenn
die im Kopplungswiderstand verknüpften Maschenströme dieselbe Richtung haben, sonst negativ.
3. Die unbekannten Maschenströme Ii stehen auf der linken Seite des Gleichungssystem.
4. Auf der rechten Seite steht die Summe der Quellenspannungen Uqi der betrachteten Masche: Positiv, wenn der Maschenstrom entgegengesetzt zur Quellenspannung ist.
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-61
3.5
Maschenanalyse
3. Gleichstromnetzwerke
3.5.1. Topologie eines Netzes
Topologie:
Unter der Topologie eines Netzes3 versteht man die Struktur eines Netzes, also den
Aufbau unabhängig von tatsächlichen Bauelementen und deren Werten. Welche reale
Schaltung könnte denn den Graphen in Abb. 3.5.1 erzeugt haben?
B
1
3
5
A
2
1
C
D
Graph
3
5
A
4
6
B
B
2
6
1
C
4
A
C
2
D
D
gerichteter Graph
4
vollständiger Baum
Abbildung 3.5.1.: Topologische Grundbegriffe von Netzen
Begriffe:
Folgende Begriffe sind zur Untersuchung der Topologie eines Netzes hilfreich:
1. Der Graph eines Netzes ist die reine geometrische Anordnung des Netzes, auch
Streckenkomplex genannt.
2. Ein gerichteter Graph entsteht aus einem Graphen, indem die Zählpfeile der
Zweigströme (und damit auch der entsprechenden Spannungen) eingezeichnet
werden.
3. Ein vollständiger Baum verbindet alle Knoten miteinander, ohne eine geschlossenen Masche zu bilden. Die Zweige des Baumes heißen Baumzweige. Es gibt
immer (k − 1) Baumzweige.
4. Mit Verbindungszweig werden die restlichen Zweige des Netzwerkes, die nicht
Baumzweige sind, bezeichnet. Diese bilden ein System von m0 = z − (k − 1)
unabhängigen Zweigen.
5. Man findet die unabhängigen Maschen, wenn man jeweils genau einen Verbindungszweig mit den Baumzweigen zu einem geschlossenen Umlauf verbindet.
Merke:
Für jeden vollständigen Baum gibt es nur eine Möglichkeit der Maschenbildung!
3.5.2. Beispiel zum Maschenanalyse
Beispiel:
Für die Schaltung aus Abb. 3.5.2 soll das Gleichungssystem der Maschenstromanalyse erstellt werden. Dazu wird zuerst der gerichtete Graph des Netzes gezeichnet
Baum:
Von den drei möglichen vollständigen Bäumen des gerichteten Graphen in Abb. 3.5.3
wird für das Beispiel derjenige ausgewählt, dessen Ergebnisse sich am leichtesten mit
den bisherigen Rechnungen vergleichen lassen.
→ Zweig 3 wird Baumzweig.
→ Zweige 1 und 2 sind Verbindungszweige.
Maschen:
3 Es
Es ergeben sich zwei Maschen in Abb. 3.5.3 , deren Umlaufsinn den Richtungen der
unabhängigen Maschenströme I1 und I2 entsprechen.
handelt sich um ein Verfahren zur Auswahl der „richtigen“ Maschen für die Maschenanalyse.
GdE1-62
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
3. Gleichstromnetzwerke
3.5
IR1
R1
IR2
R2
IR3
U q1
Maschenanalyse
3
R3
1
U q2
2
Abbildung 3.5.2.: Netz mit zwei Spannungsquellen und dessen gerichteter Graph
R1
R2
IR3
U q1
R3
I1
1
I2
3
2
U q2
I1
I2
Abbildung 3.5.3.: Netzwerk mit vollständigem Baum und eingezeichneten Maschen
Ergebnis:
Nach den Regeln der Maschenanalyse ergibt sich das folgendes Gleichungssystem
R1 + R3
R3
I1
Uq1
·
=
(3.5.4)
R3
R2 + R3
I2
Uq2
Vergleich:
Ein direkter Vergleich mit Gln. 3.2.9 ergibt eine vollständige Übereinstimmung bis auf
die Namen der unabhängigen Größen.
→ Lösungen sind identisch!
3.5.3. Ideale Stromquellen bei der Maschenanalyse
Problem:
Ideale Stromquellen können nicht in äquivalente Spannungsquellen umgewandelt werden. Das geht nur bei realen Quellen, wie in Abb. 3.5.4 dargestellt.
Ri
Uq
Iq
Gi
Abbildung 3.5.4.: Äquivalenz von realer Spannungsquelle und realer Stromquelle
Lösung:
Ideale Stromquellen können dann behandelt werden, wenn Sie im Lösungsvektor eingetragen werden, also in einem Verbindungszweig des Netzes liegen.
→ Die Zeilen mit den Stromquellen im Lösungsvektor entfallen, da diese ja bekannt
sind.
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-63
3.6
Knotenanalyse
3. Gleichstromnetzwerke
→ Der Rang des Gleichungssystems reduziert sich um die Anzahl der idealen Stromquellen.
→ Die unbekannten Spannungen der Stromquellen können nicht bestimmt werden.
3.5.4. Bewertung der Maschenanalyse
Bewertung:
Anwenden der Maschenstromanalyse
• POSITIV: Gegenüber den Kirchhoffschen Gleichungen müssen nur m0 Maschengleichungen gelöst werden.
• NEGATIV? Zur Aufstellung des Gleichungssystem sind keine zugrunde liegenden Gesetzte der Elektrotechnik notwendig.
• Vorhandene Stromquellen müssen in Spannungsquellen umgewandelt werden,
da der Lösungsvektor keine unbekannten Quellenspannungen enthält.
• Ideale Stromquellen müssen in Verbindungszweigen sein. Sie reduzieren den
Rang des zu lösenden Gleichungssystems.
3.6. Knotenanalyse
Praxis:
Es existiert ein Verfahren mit dem das Gleichungssystem
G·U =I
(3.6.1)
(G Leitwertmatrix, U und I Vektoren) direkt aufgestellt werden kann:
→ Das Knotenpotential-Verfahren ist das beste Verfahren zur Netzwerkanalyse. Es
erstellt direkt das Gleichungssystem mit nur
k − 1 = z − m0
(3.6.2)
Knotengleichungen.
→ Dies ist die Basis moderner „Schaltungssimulationsprogramme“ wie SPICE4 .
Prinzip:
Die unbekannten Spannungen werden in abhängige und unabhängige Spannungen aufgeteilt.
→ Mit der Knotenanalyse werden die unabhängigen Spannungen bestimmt von einem
Bezugsknoten des vollständigen Baumes zu allen anderen Knoten.
Ergebnis:
Das resultierende Gleichungssystem besteht aus (k − 1) Knotengleichungen





G11
G21
..
.
G12
G22
...
...
G1(k−1)
G2(k−1)
G(k−1)1
G(k−1)2
...
G(k−1)(k−1)
 
 
 
·
 
U1
U2
..
.
U(k−1)


 
 
=
 
Iq1
Iq2
..
.





Iq(k−1)
(3.6.3)
Verfahren:
1. Auf der Hauptdiagonalen steht der Knotenleitwert Gii (positive Summe aller
Leitwerte in dem Knoten).
4 SPICE
bedeutet Simulation Program Integrated Circuits Especially! Der Kern des Programms stammt von der Berkeley Universität in
Kalifornien.
GdE1-64
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
3. Gleichstromnetzwerke
3.6
Knotenanalyse
2. Auf den Nebendiagonalen stehen die negativen Kopplungsleitwerte Gij .
3. Die unbekannten Knotenspannungen Ui stehen auf der linken Seite des Gleichungssystem.
4. Auf der rechten Seite steht die Summe der Quellenströme Iqi des betrachteten
Knotens: Positiv, wenn der Strom in den Knoten hinein fließt.
3.6.1. Beispiel zur Knotenanalyse
Umwandlung:
In dem bereits bekannten T-Netzwerk werden die realen Spannungsquellen in reale
Stromquellen umgewandelt wie in in Abb. 3.6.1 zu sehen ist .
A
IR3
I q2
I q1
G1
B
G2
G3
Abbildung 3.6.1.: Schaltungsbeispiel zur Knotenanalyse mit umgewandelten Spannungsquellen
Matrix:
Ergebnis:
Mit k = 2 Knoten ergibt sich ein Gleichungssystem vom Rang k − 1 = 1. Es existiert
also nur eine Gleichung:
[G11 ] · [U1 ]
=
[Iq1 + Iq2 ]
[G1 + G2 + G3 ] · [U1 ]
=
[Uq1 G1 + Uq2 G2 ]
(3.6.4)
Mit dem Ohmschen Gesetz und unter Verwendung der Widerstände anstelle der Leitwerte wird der gesuchte Strom zu
1
·
I3 = G3 U1 =
R3
Uq1
R1
1
R1
+
+
Uq2
R2
1
R2
+
1
R3
(3.6.5)
ergibt sich wieder der bekannte Zusammenhang
IR3 =
Uq1 R2 + Uq2 R1
P
Ri Rj
(3.6.6)
3.6.2. Ideale Spannungsquellen bei der Knotenanalyse
Problem:
Ideale Spannungsquellen können nicht in äquivalente Stromquellen umgewandelt werden.
Lösung:
Die allgemeine Lösung ist die Erweiterung des Verfahrens zur modifizierten Knotenanalyse.
Spezialfall:
Analog zur Maschenanalyse können ideale Spannungsquellen dann direkt behandelt
werden, wenn Sie an einen gemeinsamen Knoten liegen und dieser als Bezugsknoten
gewählt wird.
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-65
3.6
Knotenanalyse
3. Gleichstromnetzwerke
→ Die Zeilen mit den Spannungsquellen im Lösungsvektor entfallen, da diese ja bekannt sind.
→ Die unbekannten Ströme der Spannungsquellen können nicht bestimmt werden.
Beispiel:
Für das T-Netzwerk mit realen Spannungsquellen führen wir keine Umwandlung der
realen Spannungsquellen in reale Stromquellen durch wie in in Abb. 3.6.2 zu sehen ist
.
→ Mit k = 4 Knoten ergibt sich ein Gleichungssystem vom Rang k − 1 = 3, das sich
auf 1 Gleichung reduziert.
R1
1
R2
3
U q1
2
IR3
R3
U q2
0
Abbildung 3.6.2.: Schaltungsbeispiel zur Knotenanalyse mit beibehalten der Spannungsquellen
Matrix:
Da die ersten beiden Zeilen der entstehenden Gleichung aufgrund der bekannten Quellenspannungen im Lösungsvektor gestrichen werden müssen ist die verbleibende 3.
Zeile der Gleichung

 

 
0
G1
0
−G1
Uq1
 0
 ·  Uq2  =  0 
G2
G2
(3.6.7)
U3
0
−G1 −G2 G1 + G2 + G3
identisch zu Gln. 3.6.4.
3.6.3. Automatisierung der Knotenanalyse
Verfahren:
Beschreibungdes Netzwerkverhaltens durch die Knotenspannungen (bezogen auf
einen Masseknoten). Die Zweigspannungen und -ströme ergeben sich aus
1. den Maschengleichungen (Differenz zweier Knotenspannungen),
2. den Knotengleichungen und aus
3. den Bauelementegleichungen.
Gleichungssystem:
Mit Hilfe der Kirchhoffschen Knotengleichungen ergibt sich das Gleichungssystem
G·U =I
(3.6.8)
mit G der Leitwertmatrix
U dem Knotenspannungsvektor
I dem Anregungsvektor
Netzwerk:
GdE1-66
Gegeben sei das Netzwerk in Abb. 3.6.3 aus N Knoten mit den Zweigströmen Ijk ,
den Zweigspannungen Ujk und den Leitwerten Gjk .
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1. Februar 2017
3. Gleichstromnetzwerke
3.6
Nj
Ij
I jk
Knotenanalyse
Nk
Uj G
jk
Uk
Ujk
N1
Abbildung 3.6.3.: Netzwerkausschnitt für Knotenspannungsanalyse
Voraussetzung:
Dem Knoten Nj wird der Strom Ij eingeprägt.
Frage:
Welche Spannungen Uk1 = Uk − U1 entstehen an den Knoten Nk ?
Antwort:
Die Zweigströme werden durch die Bauelementegleichung als Funktion der Zweigspannungen dargestellt und dann in die Kirchhoffschen Knotengleichungen eingesetzt.
In die Kirchhoffsche Knotenregel
N
X
Ij =
Ijk
(3.6.9)
k=1,k6=j
das Ohmsche Gesetz (Bauelementegleichung) eingesetzt
Ijk = Ujk Gjk = (Uj − Uk )Gjk
(3.6.10)
ergibt
Ij
N
X
=
(Uj − Uk )Gjk
k=1,k6=j
=
N
X
Uj
Gjk −
k=1,k6=j
|
Matrix:
{z
gjj
N
X
k=1,k6=j
Uk Gjk
|{z}
(3.6.11)
−gjk
}
Wir können jetzt die Einträge der Bauelemente in die Leitwertmatrix definieren:
N
X
gjj =
Gjk ,
gjk = −Gjk = gkj
(3.6.12)
k=1,k6=j
Setzen wir Gln. 3.6.12 in Gln. 3.6.11 ein, so erhalten wir
Ij =
N
X
gjk Uk
oder I = G · U
(3.6.13)
k=1
Es ergibt sich ein Gleichungssystem, in dem die Knotenstromsummen I als Funktion
der Knotenspannungen U dargestellt werden.
1. Februar 2017
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GdE1-67
3.6
Knotenanalyse
Lösung:
3. Gleichstromnetzwerke
Die Lösung der Gleichung erhalten wir durch Inversion der Leitwertmatrix G zu:
U = G−1 · I
(3.6.14)
1. Enthält die Schaltung nur passive Komponenten, so ist Y symmetrisch
Bemerkung:
gjk = gkj
(3.6.15)
Bei aktiven Schaltungen kommt es aufgrund der richtungsabhängigen Verstärkung der Schaltung zu unsymmetrischen Einträgen.
2. Für die Zeilen- und Spaltensummen gilt
N
X
gjk =
k=1
N
X
gkj = 0
(3.6.16)
k=1
da sowohl in den Zeilen als auch in den Spalten jeweils der gleiche Term positiv
und negativ eingetragen wird.
3. Damit G · U = I widerspruchsfrei ist, muss Y den Rang N − 1 haben.
→ Durch Streichen der Zeile und Spalte mit der Nummer des Bezugsknotens
(meistens N0 , Masse) erhält man aus der indefiniten die definite Leitwertmatrix.
Mathematisch bedeutet das, dass es unendlich viele Lösungen des Gleichungssystems gibt, wenn G den Rang N hat, die sich alle durch einen additiven Term
bei allen Spannungen unterscheiden. Das ist eine Eigenschaft eines Potentialfeldes, wie wir es hier für die Spannungen der Schaltung haben.
Bauelemente:
Im folgenden werden die automatisierten Einträge der Bauelemente in die Leitwertmatrix und dem Anregungsvektor gezeigt.
Leitwerte:
Der Eintrag eines Leitwertes (siehe Abb. 3.6.4) erfolgt in die normale Leitwertmatrix.
Ui
Ii
Ni
Uij
G
Uj
Nj

+Gi
 −Gi
−Gj
+Gj
 
 

Ui
Ii
 ·  Uj  =  Ij 
Ij
Abbildung 3.6.4.: Eintrag eines Leitwertes bei der Knotenanalyse
Der Eintrag in der Zeile i
Gi Ui − Gj Uj = G · (Ui − Uj ) = G · Uij = Ii
(3.6.17)
bedeutet, dass aus dem Knoten Ni der Strom Ii heraus fließt. Aus dem Knoten Nj
fließt der Strom −Ii heraus, bzw. der Strom Ii hinein.
GdE1-68
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1. Februar 2017
3. Gleichstromnetzwerke
Stromquelle:
3.6
Knotenanalyse
Eine Stromquelle wird mit dem Konstantstrom in den Anregungsvektor eingetragen.
→ Liegt einer der Anschlüsse eines Bauelements am Bezugsknoten (N0 , Masse), so
entfallen die Eintragungen in den entsprechenden Zeilen und Spalten.
Spannungsquelle:
Die Bauelementegleichung einer Spannungsquelle lautet
Uq 6= Iq
(3.6.18)
d.h. die Quellenspannung ist keine Funktion des Stromes (Konstantspannungsquelle):
→ Es ist kein Eintrag von Spannungsquellen möglich, da kein Zweig, für den der
Strom nicht durch eine Bauelementegleichung als konstanter Wert oder als Funktion
einer Zweigspannung gegeben ist, verarbeitet werden kann.
→ Abhilfe schafft die modifizierte Knotenspannungsanalyse.
3.6.4. Modifizierte Knotenanalyse
MNA:
Die modifizierte Knotenspannungsanalyse (Modified Nodal Analysis) ist eine Erweiterung der normalen Knotenspannungsanalyse mit:
• zusätzlichen Zeilen und Spalten für Bauelemente, deren Strom nicht durch eine
normale Bauelemente-Gleichung ausgedrückt werden kann
→ Spannungsquelle.
Verfahren:
Der zunächst noch unbekannte Strom wird ein zusätzliches Element des Ergebnisvektors:
• Die Kirchhoffsche Knotengleichung wird durch +1 und −1 Eintrag in der Spalte
erfüllt.
• Die Bestimmungsgleichung für die zusätzliche Unbekannte im Ergebnisvektor
erhält man aus der Bauelementegleichung.
Spannungsquelle:
Der Eintrag einer Spannungsquelle (siehe Abb. 3.6.5) erfolgt in die erweiterte Leitwertmatrix.
Ii
Ni
Uij
Uq

Iq

1
−1
 
 

1
Ui
Ii
−1  ·  Uj  =  Ij 
0
Iq
Uq
Nj
Ij
Abbildung 3.6.5.: Eintrag einer Spannungsquelle bei der MNA
Für jede Spannungsquelle ist die Matrix G um eine Zeile und Spalte zu vergrößern.
Die Bauelementegleichung lautet:
1. Februar 2017
Uij + 0 · Iq = Uq
(3.6.19)
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GdE1-69
3.6
Knotenanalyse
3. Gleichstromnetzwerke
3.6.5. Beispiel zur modifizierten Knotenanalyse
Knoten:
In dem T-Netzwerk werden die Knoten nummeriert wie in in Abb. 3.6.6 zu sehen ist .
R1
1
Uq1
I q1
R2
3
U13
U3
IR3
U23
R3
2
Uq2
I q2
0
Abbildung 3.6.6.: Schaltungsbeispiel zur modifizierten Knotenanalyse
Matrix:
Kontrolle:
Mit Bezugsknoten N0 ergibt sich folgendes Gleichungssystem
 
 

0
U1
G1
0
−G1
1 0
  U2   0
 0
G
−G
0
1
2
2
 

 
 −G1 −G2 G1 + G2 + G3 0 0  ·  U3  =  0
 
 

 1
0
0
0 0   Iq1   Uq1
Iq2
0
1
0
0 0
Uq2






(3.6.20)
Wie kann man das Gleichungssystem elektrotechnisch überprüfen?
3.6.6. Bewertung der Knotenanalyse
Bewertung:
Anwenden der Knotenanalyse
• POSITIV: Im Allgemeinen verwendet die Knotenanalyse die wenigsten Gleichungen.
• NEGATIV: Vor der Aufstellung des Gleichungssystem sind einige Umwandlungen notwendig.
• Ideale Spannungsquellen können bei der Knotenanalyse nur verarbeitet werden,
wenn sie einen gemeinsamen Knoten haben. Sie reduzieren dann aber den Rang
des zu lösenden Gleichungssystems um die Anzahl der idealen Spannungsquellen.
• Das Verfahren lässt sich zur modifizierten Knotenanalyse erweitern, bei dem alle
Bauelemente eingetragen werden können.
3.6.7. Vergleich am Beispiel Brückenschaltung
Beispiel 3.6.1
(Brücke)
Gegeben sei eine Wheatstonesche
Brückenschaltung mit den Werten
R1 = 1kΩ, R2 = 1kΩ, R3 = 1kΩ,
R4 = 10kΩ und U0 = 10V .
B
R1
C
I1 U 1
U 5 I3 U 3
I5
R2
I2 U 2
U0
R3
R4
A
D
I4 U 4
1. Bestimmen Sie analytisch die Brückenspannung U5 unter der Voraussetzung,
dass R5 = ∞ ist.
GdE1-70
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
3. Gleichstromnetzwerke
3.7
Nichtlineare Netze
2. Bestimmen Sie analytisch den Brückenstrom I5 bei endlichem Widerstand R5 .
3. Wie groß ist die Brückenspannung U5 bei R5 = ∞?
4. Wie groß ist der Brückenstrom I5 bei R5 = 10kΩ?
5. Berechnen Sie zur Kontrolle den Zahlenwert des Brückenstromes direkt mit der
Knotenanalyse!
Lösung:
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
1.
U5
= U0
R1 R4 − R2 R3
(R2 + R4 )(R1 + R3 )
2.
I5
=
(R1 R4 − R2 R3 )U0
···
R2 (R1 R4 − R2 R3 )+
···
(R2 + R4 )[R1 R5 + R3 (R1 + R2 + R5 )]
3.
U5 = 4,1V
4.
I5
=
0,359mA
3.7. Nichtlineare Netze
Problem:
Werden in einem Netzwerk nichtlineare Zweipole verwendet, so erhalten wir insgesamt ein nichtlineares Netzwerk, dessen Ströme und Spannungen sich mit den bisherigen analytischen Methoden nicht berechnen lassen.
→ Schaltungen mit Dioden oder Transistoren sind grundsätzlich nichtlinear!
R
I
Iq
Uq
UR
UD
I
D
1
A
2
UD
Uq
Abbildung 3.7.1.: Nichtlineares Netzwerk mit einer Diode
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-71
3.8
Zusammenfassung
3. Gleichstromnetzwerke
Grafik:
Zur „Berechnung“ nichtlinearer Schaltungen müssen entweder Schaltungssimulationsprogramme (wie in der Vorlesung Analogelektronik mit SPICE) oder graphische
Verfahren verwendet werden, wie in Abb. 3.7.1 .
Verfahren:
Ausgehend von der vom Hersteller gegebenen I-U-Kennlinie der Diode (Kurve 1) ergibt sich folgendes Vorgehen
• Zur Bestimmung der Widerstandsgeraden (Kurve 2) gehen wir von der Maschengleichung aus
UR = Uq − UD
(3.7.1)
• Setzen wir diese Gleichung in das Ohmsche Gesetz des Widerstandes ein
I=
UR
Uq − UD
Uq
UD
=
=
−
R
R
R
R
(3.7.2)
so erhalten wir eine Geradengleichung mit
I = f (UD ) = −
1
UD + Iq
R
(3.7.3)
• Nur im Schnittpunkt der Kurven (1) und (2), dem Arbeitspunkt der Schaltung,
ist der Strom durch beide Bauelemente gleich und die Maschengleichung erfüllt.
• Arbeitspunkt
3.8. Zusammenfassung
Netzwerke:
Elektrotechnisch bedeutende Verfahren zur Berechnung von Spannungen und Strömen
in Netzwerken sind:
• Kirchhoffsche Gleichungen
• Ersatzquellen
• Überlagerungssatz
• Maschenanalyse
• Knotenanalyse
3.9. Übungsaufgaben
Aufgabe 3.9.1
(Wandlung)
-> Seite 154
Die angegebene Schaltung a mit den Widerständen R1 = 3Ω, R2 = 6Ω, R3 = 9Ω,
R4 = 4Ω, R5 = 5Ω und R6 = 8Ω soll durch eine elektrisch gleichwertige Dreieckschaltung (Schaltung b) ersetzt werden.
Welche
Werte
sind für Ra ,
Rb
und
Rc
erforderlich?
R1
R4
R2
R3
R5
R6
Schaltung a
GdE1-72
[email protected]ünster.de
Rb
Ra
Rc
Schaltung b
1. Februar 2017
3. Gleichstromnetzwerke
3.9
Aufgabe 3.9.2
(Wandlung)
-> Seite 154
R1
Die angegebene Schaltung mit den Widerständen R1 = R4 = R5 = 3Ω und
R2 = R3 = R6 = 6Ω liegt an der Spannung U = 10V .
Berechnen Sie die die Spannung Ux mit
Hilfe der Stern-Dreieck-Transformation!
Übungsaufgaben
R2
R5
R6
U
Ux
R3
R4
ALTERNATIV zur Klausurvorbereitung: Natürlich kann man bei dieser Schaltung
auch die anderen Netzwerkberechnungsverfahren anwenden. Berechnen Sie die die
Spannung Ux mit Hilfe
1. der Kirchhoffschen Gleichungen!
2. einer Ersatzspannungsquelle!
3. der Maschenanalyse!
Aufgabe 3.9.3
(Netzwerk)
-> Seite 154
In der angegebenen Schaltung mit R1 =
10Ω, R2 = 32Ω, R3 = 9Ω und R4 = 18Ω
ist U = 24V .
Berechnen Sie den Wert des Stromes Ix mit
den Kirchhoffschen Gleichungen!
R1
R3
U
R4
Ix
R2
Aufgabe 3.9.4
(Netzwerk)
-> Seite 154
Aufgabe 3.9.5
(Netzwerk)
-> Seite 154
1. Februar 2017
Die angegebene Schaltung mit U1 = 36V
und U2 = 24V enthält die Widerstände
R1 = 10Ω, R2 = 40Ω und R3 = 20Ω.
Berechnen Sie die Ströme der Spannungsquellen mit Hilfe der Kirchhoffschen Gleichungen!
Die angegebene Schaltung mit U1 = 8V ,
U2 = 6V , IA = 14A und IB = 4A enthält
die Widerstände R1 = 1Ω, R2 = 2Ω und
R3 = 0,5Ω.
Die in den Widerständen R1 , R2 und R3
fließenden Ströme IR1 , IR2 und IR3 sind
mit der Maschenanalyse zu bestimmen.
[email protected]ünster.de
I1
U1
I2
R1
U2
R2
R3
IR1
U2
IA
R1
R2
IR2
U1
R3
IR3
IB
GdE1-73
3.9
Übungsaufgaben
Aufgabe 3.9.6
(Netzwerk)
-> Seite 155
Aufgabe 3.9.7
(Netzwerk)
-> Seite 155
3. Gleichstromnetzwerke
Die angegebene Schaltung mit Uq = 120V
und Iq = 1,8A enthält die Widerstände
R1 = R2 = 100Ω, R3 = 50Ω und R4 =
200Ω.
Die in den Widerständen R1 , R2 , R3 und
R4 fließenden Ströme IR1 , IR2 , IR3 und
IR4 sind sind mit der Maschenanalyse zu
bestimmen.
R2
R1
IR1
IR2
Uq
IR3
Iq
Die angegebene Schaltung mit U = 120V
und I = 6A enthält die Widerstände R1 =
25Ω, R2 = 30Ω, R3 = 35Ω und R4 =
20Ω.
Welcher Strom IAB fließt in der Verbindungsleitung zwischen den Punkten A und
B?
A
R1
Aufgabe 3.9.9
(Netzwerk)
-> Seite 155
Aufgabe 3.9.10
(Netzwerk)
-> Seite 156
I
GdE1-74
R4
U1 U2
Die angegebene Schaltung mit U1 = 20V ,
U2 = 10V , I = 6,3A enthält die Widerstände R1 = 4Ω, R2 = 2,5Ω und R3 =
5Ω.
Es sind die in den Widerständen R1 , R2
und R3 fließenden Ströme mit dem Knotenpotentialverfahren zu bestimmen.
[email protected]ünster.de
B
R2
Die angegebene Schaltung mit U1 = 30V
und U2 = 24V enthält die Widerstände
R1 = 5Ω und R2 = R3 = 10Ω.
Es sind die in den Widerständen R1 , R2
und R3 fließenden Ströme mit dem Knotenpotentialverfahren zu bestimmen.
Die angegebene Schaltung mit U1 = 36V ,
U2 = 9V , U3 = 10V und U4 = 12V
enthält die Widerstände R1 = R5 = 5Ω,
R2 = 6Ω, R3 = R6 = 3Ω und R4 = 4Ω.
Die in den Widerständen R1 bis R6 fließenden Ströme sind zu bestimmen.
IAB
U
R3
Aufgabe 3.9.8
(Netzwerk)
-> Seite 155
IR4
R4
R3
U1
R1
R2
R3
IR1
IR2
IR3
U2
R3
U2
U1
R1
R2
IR1
IR2
I
IR3
I
R5 R5 R6
R2
IR2 U3
IR6U4
R1
R3
R4
IR1
IR3
IR4
1. Februar 2017
3. Gleichstromnetzwerke
Aufgabe 3.9.11
(ESQ)
-> Seite 156
3.9
Die angegebene Schaltung mit
U = 11V , R1 = 4Ω, R2 = 3,5Ω,
R3 = 6Ω, R4 = 9Ω und R5 = 3Ω
soll bezüglich der Punkte A und
B durch eine elektrisch gleichwertige Ersatzspannungsquelle ersetzt
werden.
R1
Übungsaufgaben
R2
A
R5
U
A
Uq
B
Ri
R3
R4
B
Berechnen Sie die Werte für Uq und Ri mit Hilfe der Kirchhoffschen Gleichungen!
Aufgabe 3.9.12
(ESQ)
-> Seite 156
Die angegebene Schaltung mit
U = 9V , R1 = R4 = 3Ω,
R2 = R3 = 1,5Ω und R5 = 6Ω
soll bezüglich der Punkte A und
B durch eine elektrisch gleichwertige Ersatzspannungsquelle ersetzt
werden.
A
R2
R1
A
Uq
U
R5
Ri
R3
R4
B
B
1. Welche Werte sind für Uq und Ri erforderlich?
2. Überprüfen Sie den Zahlenwert für Uq mit der Knotenpotentialanalyse!
Aufgabe 3.9.13
(Netzwerk)
-> Seite 156
Die angegebene Schaltung mit U = 24V
enthält die Widerstände R1 = 3Ω, R2 =
9Ω, R3 = 6Ω, R4 = 4,5Ω und R5 = 11Ω.
Berechnen Sie den Strom im Widerstand
R5 mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle?
R1
R5
U
R3
Aufgabe 3.9.14
(Netzwerk)
-> Seite 156
Die angegebene Schaltung mit U1 = 12V ,
U2 = 18V und U3 = 5V enthält die Widerstände R1 = 6Ω, R2 = 8Ω, R3 = 12Ω,
R4 = 4Ω und R5 = 10Ω.
Berechnen Sie den Strom im Widerstand
R5 mit Hilfe des Verfahrens der Ersatzspannungsquellen!
R2
R5
R3
R4
I5
R4
U1
U2
U3
R1
R2
Verwenden Sie dazu einmal zwei ESQs UND einmal nur eine ESQ!
Aufgabe 3.9.15
(ESQ)
-> Seite 156
1. Februar 2017
Die angegebene Schaltung mit U = 12V , R1 = 4Ω, R2 = 6Ω und R3 = 12Ω soll
bezüglich der Punkte A und B durch eine elektrisch gleichwertige Ersatzstromquelle
ersetzt werden.
[email protected]ünster.de
GdE1-75
3.9
Übungsaufgaben
3. Gleichstromnetzwerke
Welche Werte sind für Iq
und Ri erforderlich?
R1
R3
U
A
Ri
Iq
R2
Aufgabe 3.9.16
(ESQ)
-> Seite 157
A
B
B
Die angegebene Schaltung mit U = 12V , R1 = 2Ω, R2 = 4Ω, R3 = 3Ω, R4 = 6Ω
und R5 = 9Ω soll bezüglich der Punkte A und B durch eine elektrisch gleichwertige
Ersatzstromquelle ersetzt werden.
Welche Werte sind für Iq
und Ri erforderlich?
R2
U
R3
A
R1
R4
A
Ri
Iq
R5
B
B
Aufgabe 3.9.17
Die angegebene Schaltung mit U1 = 12V , U2 = 6V und U3 = 4V enthält die
(Leistungsanpassung) Widerstände R1 = 80Ω und R2 = 40Ω.
-> Seite 157
1. Wie groß muss der Widerstand R3
sein, damit er die maximal mögliche
Leistung aufnimmt?
R1
U2
U3
U1
R3
2. Wie groß ist diese maximale Leistung?
R2
Aufgabe 3.9.18
In der angegebenen Schaltung mit U = 120V , R1 = 16Ω, R2 = 120Ω, R3 = 40Ω
(Leistungsanpassung) und R4 = 60Ω soll der Widerstand R5 so eingestellt werden, dass er die maximal
-> Seite 157
mögliche Leistung aufnimmt.
1. Welcher Widerstandswert ist für R5
erforderlich?
2. Wie groß ist die Leistung, die von
R5 maximal aufgenommen werden
kann?
GdE1-76
[email protected]ünster.de
R5
R2
R1
U
R3
R4
1. Februar 2017
3. Gleichstromnetzwerke
Aufgabe 3.9.19
(Netzwerk)
-> Seite 158
3.9
In der angegebenen Schaltung mit U1 =
12V , U3 = 8V , R1 = 3Ω, R2 = 4Ω,
R3 = 5Ω und R4 = 6Ω ist I2 = 0,4A.
1. Wie groß ist die Spannung U2 ?
Übungsaufgaben
R3
R1
I2
U1
U3
U2
R2
R4
2. Kontrollieren Sie Ihre Zahlenwerte mit der Maschenanalyse!
Aufgabe 3.9.20
(Netzwerk)
-> Seite 158
Die angegebene Schaltung mit I1 = 0,2A
und I2 = 0,1A enthält die Widerstände
R1 = 20Ω, R2 = 40Ω, R3 = 50Ω und
R4 = 60Ω.
I1
R1 N1 R2
IR1
I2
IR3
N2
U1
1. Berechnen Sie mit dem Überlagerungsverfahren die Spannungen U1
und U2 !
IR2
N3
IR4
U2
R3 N0 R4
2. Überprüfen Sie Ihre Zahlenwerte mit der Knotenanalyse!
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-77
Teil II.
Wechselstrom
GdE1-78
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
4. Wechselströme
Ziele:
Schwerpunkt der Anwendungen in der Elektrotechnik liegt im Gebiet der Wechselströme und -spannungen.
→ Allgemein als zeitabhängige Vorgänge: Einschalten, Ausschalten, Impuls und periodische Prozesse
→ Bleiben die Grundlagen der Gleichstromtechnik gültig?
Gleichstrom:
Die allgemeinen Grundlagen der Elektrotechnik sind:
1. Ohm’sches Gesetz,
2. Kirchhoff’sche Gesetze,
3. Eigenschaften von Kondensator, Spule und Widerstand
4. und deren Anwendungen in elektrischen Netzwerken.
→ zeitunabhängige Vorgänge (eingeschwungen, stationär)
Bauteile:
Alte und neue Bauteile sind
• Kondensator, Spule und Widerstand
• Generator, Transformator, Leitung und Motor
• Halbleiter → nur Dioden (spannungsabhängige Schalter)
Energietechnik:
• Energieerzeugung erfolgt mit Synchron-Generatoren.
→ 90% als Wechselspannungsenergie erzeugt und verteilt.
• Energietransport über weite Strecken nach Herauftransformation der Spannung
mit Transformatoren.
→ Wärmeverluste auf den Leitungen nehmen mit I 2 ab. Spannungen in Europa
400kV , in Russland und Kanada 700kV .
• Umwandlung der elektrischen in mechanische Energie durch Motoren.
→ Einfache und robuste Asynchron-Motoren mit elektronischer Drehzahlregelung (Frequenzumsetzer) .
• Frequenzwahl: Bahnstromversorgung mit 16 32 Hz, Europäisches Energienetz im
Verbund 50Hz und USA Energienetz im Verbund 60Hz.
→ Frequenz so niedrig wie möglich, aber so hoch, dass bei Beleuchtung keine
Lichtschwankungen sichtbar sind.
• Drehstromnetz: Netz mit drei miteinander verketteten Wechselspannungen.
→ 2 verschiedene Verbraucherspannungen: 230V und 400V .
• Verständnisfragen: Warum nehmen wir keine Gleichspannung? Warum flackert
das Licht im Zug nicht?
Nachrichtentechnik:
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GdE1-79
4.1
Formen und Arten von Wechselströmen
4. Wechselströme
• Analog- und Digitaltechnik: Verarbeitung von Sprache (beim Telefon 300Hz −
3400Hz) und Musik (16Hz − 20kHz) mit µPs und DSPs.
→ Mikroprozessortechnik
→ Integrierte Schaltungen
• Kommunikationstechnik: 10kHz bis 10GHz für leitungsgeführte Dienste (Sprache, Daten, Bilder) auf Datenleitungen.
→ Nachrichtentechnik
→ Nachrichtenübertragung
• Hochfrequenztechnik: Modulation mit hochfrequenten Wechselströmen (Trägerfrequenzen) zur Funkübertragung mit elektromagnetischen Wellen (Maxwell’sche Gleichungen).
→ Theoretische Elektrotechnik
4.1. Formen und Arten von Wechselströmen
Sinusförmig:
Am einfachsten mathematisch zu behandeln sind sinusförmige Wechselgrößen nach
Teilbild (a) in Abb. 4.1.1 , da bewährte und leistungsfähige Rechenvorschriften existieren.
→ Keine Änderung der Kurvenform im Zeitdiagramm für Funktionen mit gleicher
Periodendauer bei
• Addition von Funktionen und
• Differentiation von Funktionen.
→ Komplexe Rechnung zur mathematischen Beschreibung von Zeigerdiagrammen.
Dreieck-/ Rechteckförmig: Diese einfach aussehenden Funktionen im Teilbild (b) und (c) können mit Hilfe
der Fouriertheorie in eine Summe von einfachen sinusförmigen Wechselgrößen zerlegt
werden.
Allgemein:
Periodische Größen (mit überlagertem Gleichanteil) entsprechend Teilbild (d) können
nicht mehr mathematisch geschlossen sondern nur approximativ durch Fourierreihen
angenähert werden.
4.2. Kenngrößen von Wechselströmen
Definition:
Als Wechselgröße bezeichnet man eine Größe, die
1. nach einer periodischen Zeitfunktion verläuft und
2. den arithmetischen Mittelwert Null hat.
Periodizität:
Wechselgrößen sind dadurch gekennzeichnet, dass alle Werte im Abstand T periodisch
wiederkehren
i(t + nT ) = i(t)
(4.2.1)
Der zeitliche Abstand zwischen 2 beliebigen Punkten gleicher Amplitude mit gleicher
Phasenlage wird als Periodendauer T bezeichnet.
→ Der Reziprokwert
f=
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1
T
(4.2.2)
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4. Wechselströme
4.2
i
Kenngrößen von Wechselströmen
i
T
t
t
T/2
T/2
T
(a)
i
(b)
i
T
t
i
t
T
T/2
(c)
(d)
Abbildung 4.1.1.: Beispiele verschiedener „Wechsel“-ströme
ist die Frequenz, mit der sich die Wechselgröße pro Zeit wiederholt. Die Einheit der
Frequenz ist Hertz1 :
[f ] = Hz
→ Formal gilt 1Hz = 1s−1 . Die Einheit s−1 wird aber nur für die Kreisfrequenz
ω = 2πf verwendet.
Gleichwert:
Wechselgrößen enthalten keinen Gleichwert, d.h. der zeitliche oder arithmetische Mittelwert über eine Periode ist Null
1
ī =
T
tZ
0 +T
i(t) dt = 0
(4.2.3)
t0
Das bedeutet anschaulich, dass die Flächen F + und F − in Abb. 4.2.1 gleich groß
sind. Die periodische Funktion g(t) = i(t) − ī ist immer eine Wechselgröße2 !
Scheitelwert:
Der Maximalwert einer Wechselgröße wird auch als Scheitelwert î bezeichnet.
→ Er hat als Amplitude für sinusförmige Wechselgrößen
i(t) = î sin
2π
t = î sin 2πf t = î sin ωt
T
(4.2.4)
eine größere Bedeutung3 .
1 Zu
Ehren von Heinrich Rudolf Hertz, 1857 – 1894, deutscher Physiker
Größen - Spannungsquellen in Reihe oder Stromquellen parallel - aus Gleich- und Wechselgrößen werden als Mischgröße
bezeichnet.
3 Man unterscheidet bei Sinusfunktionen zwischen einer Zeitfunktion i(t) und einer Winkelfunktion i(ϕ) mit dem Drehwinkel ϕ = ωt,
sichtbar an der Zeitachse oder Winkelachse der gezeichneten Funktion.
2 Überlagerte
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GdE1-81
4.3
Eigenschaften sinusförmiger Wechselgrößen
i
4. Wechselströme
T
F+
^i~
i
^
−i~
t/s
F−
π
ϕ/ o
180
Abbildung 4.2.1.: Periodendauer, Mittelwert und Scheitelwert einer Mischgröße
Bemerkung:
Im folgenden werden alle Ausführungen für sinusförmige Wechselgrößen gemacht
• und zwar ohne Beschränkung der Allgemeinheit, da fast alle Wechselgrößen als
Summe von sinusförmigen Wechselgrößen darstellbar sind (Fourieranalyse).
Die Ergebnisse bezüglich
• dem Scheitelwert, dem Gleichrichtwert, dem Effektivwert, dem Scheitelfaktor,
dem Formfaktor und der Leistung lassen sich daher auch wieder auf nicht sinusförmige Wechselgrößen übertragen.
4.3. Eigenschaften sinusförmiger Wechselgrößen
Zeigerdiagramm:
Anstelle der Darstellung von Wechselgrößen im Zeitbereich kann ein Zeigerdiagramm
verwendet werden.
→ Der Scheitelwert î der Wechselgröße in Abb. 4.3.1 entspricht der Länge des Zeigers i, der mit der Winkelgeschwindigkeit ω mathematisch positiv (also entgegen dem
Uhrzeiger) dreht.
→ Bezugsachse: Willkürlich die Waagerechte.
π/2
3
4
ωt
0 2π
12
11
7
8
9
3
1
i 1
6
2
i
2
5
π
i
4
5
0
3/2 π
6
π/2
π
11
8
3/2 π
ωt
12
7
10
(a) Zeigerdiagramm
2π
9
10
(b) Zeitdiagramm
Abbildung 4.3.1.: Zusammenhang zwischen (a) Dreh-Zeigerdiagramm und (b) Zeitdiagramm
Kreisfrequenz:
GdE1-82
Anstelle der Zeit t wird bei Sinusschwingungen im allgemeinen der proportionale
Drehwinkel ϕ = ωt verwendet. Für die Kreisfrequenz ω einer Sinusschwingung gilt
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4. Wechselströme
4.3
Eigenschaften sinusförmiger Wechselgrößen
dann
ω = 2πf = 2π
1
T
(4.3.1)
mit der Einheit [ω] = s−1 . Sie wird nicht in Hertz angegeben!
Periodendauer:
Mit der Kreisfrequenz ω wird die Periodendauer einer Sinusschwingung dann analog
T =
Mittelwert:
2π
ω
(4.3.2)
Der arithmetische Mittelwert einer Wechselgröße muss definitionsgemäß Null sein.
Für t0 = 0 folgt mit Gln. 4.2.3 für den Mittelwert (mit ωT = 2π)
1
ī =
T
ZT
î sin ωt dt =
−î
t=T
[cos ωt]t=0
ωT
0
=
Substitution:
−î
(cos ωT − cos 0) = 0
ωT
(4.3.3)
Werden Sinusgrößen nicht als Funktion der Zeit t sondern als Funktion des Drehwinkels ϕ dargestellt
i(ϕ) = î sin(ϕ) = î sin(ωt)
(4.3.4)
muss bei der Integration dann anstelle nach der Zeit dt nach dem Winkel dϕ = d(ωt)
integriert werden. Mit
ϕ = ωt →
dϕ
d(ωt)
=
=ω
dt
dt
, bzw. dt =
dϕ
ω
(4.3.5)
und den entsprechenden Anfangs- und Endwerten
Ergebnis:
0 → ϕ = ω0 = 0
t
=
t
= T → ϕ = ωT = 2π
(4.3.6)
Mit dieser Substitution kann alternativ
1
ī =
2π
Z2π
î sin(ωt) d(ωt) =
−î
ωt=2π
[cos ωt]ωt=0 = 0
2π
(4.3.7)
0
berechnet werden, was aber zum selben Ergebnis führt4 .
Phasenwinkel:
Ein sinusförmiger Strom entsprechend Abb. 4.3.2 kann beschrieben werden mit
i = î sin(ωt + ϕi )
(4.3.8)
und eine Spannung entsprechend mit
u = û sin(ωt + ϕu )
4 Zur
(4.3.9)
Kennzeichnung der Integrationsvariablen dϕ = d(ωt) wird diese geklammert.
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GdE1-83
4.3
Eigenschaften sinusförmiger Wechselgrößen
4. Wechselströme
2
i(t)
u(t)
1.5
I/A und U/V
1
ϕi
0.5
ϕ
ϕu
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
1
2
3
wt/s
4
5
6
Abbildung 4.3.2.: Sinusförmiger Strom- und Spannungsverlauf mit Phasenverschiebung
Bezug:
In Gln. 4.3.8 ist ϕi der Nullphasenwinkel des Stromes i(t = 0) bezogen auf die yAchse. Positive Winkel verschieben die Kurve nach links (in die Vergangenheit) und
negative nach rechts.
→ ϕi = −60◦ ist in Abb. 4.3.2 negativ, da der Nullpunkt des Stromes entgegen der
eingezeichneten Zähl-Pfeilrichtung von der Bezugsachse verschoben ist. Tatsächlich
wurde für Abb. 4.3.2 auch die Funktion i = 2A · sin(t − π/3) verwendet.
→ ϕu = −180◦ ist in Abb. 4.3.2 negativ, da der Nullpunkt der Spannung entgegen
der Pfeilrichtung von der Bezugsachse verschoben ist. Auch hier wurde für Abb. 4.3.2
die Funktion u = 2V · sin(t − π) mit negativen Phasenwinkel verwendet.
Verschiebung:
Das Vorzeichen der Phasenverschiebung ϕ der Spannung gegen den Strom (Bezug
Strom)
ϕ = ϕu − ϕi = −180◦ − (−60◦ ) = −120◦
(4.3.10)
ist ebenfalls negativ, da man den Nullpunkt des Stromes nach rechts (entgegen dem
Zählpfeil, also negativ) verschieben müsste, um zum Nulldurchgang der Spannung zu
kommen.
→ Der Strom eilt der Spannung voraus, d.h. der Nulldurchgang des Stromes in
Abb. 4.3.2 ist (zeitlich) vor dem der Spannung.
Betrag:
Da der arithmetische Mittelwert (Gleichwert) einer Wechselgröße definitionsgemäß
Null ist, bildet man den arithmetischen Mittelwert aus dem Betrag der Wechselgröße5
entsprechend Abb. 4.3.3
1
|i| =
T
tZ
0 +T
|i(t)| dt
(4.3.11)
t0
Berechnung:
Mit Gln. 4.3.11 berechnet sich der Gleichrichtwert einer Sinusschwingung i = î sin ωt
als Funktion von (ωt) zu
1
|i| =
2π
Z2π
î| sin(ωt)| d(ωt)
(4.3.12)
0
5 Dabei
ist zu beachten, dass der Betrag des Gleichrichtwertes |ī| 6= |i| ist!
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4. Wechselströme
4.3
Eigenschaften sinusförmiger Wechselgrößen
2
i(t)
i_1(t)
i_g(t)
1.5
1
I/A
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
1
2
3
wt/s
4
5
6
Abbildung 4.3.3.: Gleichrichtwert eines sinusförmigen Stromes
Symmetrie:
Da nach der Gleichrichtung eine pulsierende Gleichspannung mit Periode π entsteht,
vereinfacht sich die Berechnung mit |i(ωt)| = i(ωt) zu
1
|i| =
π
Zπ
î sin(ωt) d(ωt) =
î
ωt=π
(− cos(ωt))|ωt=0
π
(4.3.13)
0
Einsetzen der Grenzen ergibt
î
(− cos π + cos 0)
π
Der Gleichrichtwert eines Sinusstromes ist dann
|i| =
|i| =
Gleichrichtwert:
î
2î
=
≈ 0.6366î
π
π/2
(4.3.14)
(4.3.15)
Bei Wechselgrößen kann die Betragsbildung mit einer Vollweg-Gleichrichterbrücke
(Zweiwegegleichrichtung) erreicht werden.
→ Die negative Halbwelle einer Sinusgröße wird ins Positive geklappt.
→ Der arithmetische Mittelwert der gleichgerichteten Wechselgröße wird als Gleichrichtwert bezeichnet.
→ Die gelieferte elektrische Ladung einer Gleichrichterschaltung ist bei elektrolytischen Vorgängen oder beim Aufladen von Akkumulatoren von besonderer Bedeutung.
Vergleich:
Einem ohmschen Widerstand R, der an der Gleichspannung U angeschlossen ist, wird
während der Zeit T die Energie
U2
T
(4.3.16)
R
zugeführt. Welche Energie wird dem Widerstand in der gleichen Zeit an der Wechselspannung u zugeführt? Entspricht |i| = U ?
W = P T = U IT = RI 2 T =
Energie:
Bei der Umrechnung von Wechselgrößen in Gleichgrößen soll die mit der Leistung P
oder der Energie W = P T verbundenen Kenngröße zu einer äquivalenten Leistungsberechnung führen. Für den ohmschen Widerstand bedeutet dieses
tZ
0 +T
W = p̄T = R
i2 dt = RI 2 T
(4.3.17)
t0
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4.3
Eigenschaften sinusförmiger Wechselgrößen
4. Wechselströme
4
i(t)
i_2(t)
i_e_2(t)
i_e(t)
3
I/A
2
1
0
-1
-2
0
1
2
3
wt/s
4
5
6
Abbildung 4.3.4.: Effektivwert eines sinusförmigen Stromes
Effektivwert:
Der Effektivwert I = ief f eines Wechselstromes kann demnach aus Gln. 4.3.17 so
definiert werden, dass er einem Widerstand R in der Zeit T die gleiche Energie W
zuführt wie ein Gleichstrom I mit
v
u tZ0 +T
u
u1
i2 dt
I=t
T
(4.3.18)
t0
Bemerkung:
1. Die Augenblicksleistung
p = Ri2 = R(î sin t)2 = Rî2 sin2 t = p̂ sin2 t
(4.3.19)
wechselt periodisch zwischen Null und einem Maximalwert p̂.
2. Die Energie W einer Periode entspricht der schraffierten Fläche unter der Leistungskurve in Abb. 4.3.4 . Sie ist gleich der Rechteckfläche aus der mittlerer
Leistung
p̄ = P = RI 2
(4.3.20)
und der Periodendauer T , wie direkt aus Gln. 4.3.17 ersichtlich ist.
Berechnung:
Mit Gln. 4.3.18 berechnet sich der Effektivwert einer Sinusschwingung
i = î sin ωt
als Funktion von (ωt) zu
ief f
v
u
Z2π
u
2
u 1
=t
î sin(ωt) d(ωt)
2π
(4.3.21)
0
Mittelwert:
Für die quadratische Funktion (siehe Abb. 4.3.4)
i2 = î2 sin2 (ωt) =
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î2
(1 − cos 2ωt)
2
(4.3.22)
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4. Wechselströme
4.3
Eigenschaften sinusförmiger Wechselgrößen
wird der quadratische Mittelwert zu
I
2
=
Z2π
(1 − cos 2ωt) d(ωt)
î2
2 · 2π
0

 2π
Z2π
Z
 d(ωt) − cos 2ωt d(ωt)
2
=
î
2 · 2π
=
î2
2π
[(ωt)]0
2 · 2π
0
0
Ergebnis:
(4.3.23)
Da der Mittelwert der Wechselgröße cos 2ωt definitionsgemäß Null ist, bleibt nur das
erste Integral über mit dem Ergebnis der Integration
I2 =
î2
î2
· 2π =
4π
2
Mit der Wurzel ergibt sich direkt der Effektivwert einer Sinusgröße zu
s
î2
î
I=
= √ ≈ 0,7071î
2
2
Scheitelfaktor:
(4.3.24)
(4.3.25)
Das Verhältnis des Scheitelwertes zum Effektivwert einer Wechselgröße mit beliebiger
Kurvenform
kS =
Scheitelwert
î
=
Ef f ektivwert
I
(4.3.26)
wird als Scheitelfaktor bezeichnet.
Werte:
Speziell für einen Sinusstrom ergibt sich damit
kS =
√
î
î
= √ = 2
I
î/ 2
(4.3.27)
→ Zahlenwerte für Scheitelfaktoren einfacher Kurvenformen:
Gleichgröße
Symmetrische Rechteckgröße
Sinusförmiger Größe
Symmetrisches Dreieckgröße
Formfaktor:
→
→
→
→
kS
kS
kS
kS
=1
=1
= 1.414
= 1,732
Das Verhältnis des Effektivwertes zum Gleichrichtwert einer Wechselgröße mit beliebiger Kurvenform
kF =
I
Ef f ektivwert
=
Gleichrichtwert
|i|
(4.3.28)
wird als Formfaktor bezeichnet. Speziell für einen Sinusstrom ergibt sich damit
√
π
I
î/ 2
kF =
=
= √
(4.3.29)
2 2
2î/π
|i|
→ Zahlenwerte für Formfaktoren einfacher Kurvenformen:
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4.3
Eigenschaften sinusförmiger Wechselgrößen
4. Wechselströme
→
→
→
→
Gleichgröße
Symmetrische Rechteckgröße
Sinusförmiger Größe
Symmetrisches Dreieckgröße
Beispiel 4.3.1
(Kenngrößen)
kF
kF
kF
kF
=1
=1
= 1,111
= 1,155
Gegeben seien ein symmetrischer Dreieckstrom und ein symmetrischer Rechteckstrom mit der Periodendauer T = 2s und dem Scheitelwert î = 2A.
i
i
i
i
T
2
T
t
t
0
0
T
4
T
2
3
T
4
T
4
T
−i
3
T
4
−i
1. Wie groß sind die Gleichrichtwerte der beiden Ströme?
2. Wie groß sind die Effektivwerte der beiden Ströme?
3. Wie groß sind die Scheitelfaktoren der beiden Ströme?
4. Wie groß sind die Formfaktoren der beiden Ströme?
Hilfe:
Für alle, die in der Mathematik noch keine Integralrechnung hatten, hier die notwendigen Integrale und deren Stammfunktionen:
1. Fläche unter der Konstanten
i(t) = a
in den Grenzen von t = u bis t = o:
Zo
Zo
Zo
i(t) dt = a dt = a
1 dt = a
u
u
u
o
[t]u
|{z}
= a (o − u)
Stammf unktion
| {z }
Integral
2. Fläche unter der Geraden
i(t) = at
in den Grenzen von t = u bis t = o:
Zo
Zo
Zo
i(t) dt = at dt = a
t dt = a
u
u
u
| {z }
Integral
o
1 2
t
2
| {z u}
=
a 2
o − u2
2
o
1 3
t
3
| {z u}
=
a 3
o − u3
3
Stammf unktion
3. Fläche unter der Parabel
i(t) = at2
in den Grenzen von t = u bis t = o:
Zo
Zo
Zo
2
i(t) dt = at dt = a t2 dt = a
u
u
u
| {z }
Integral
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Stammf unktion
1. Februar 2017
4. Wechselströme
4.4
Messung und Darstellung der Kennwerte
4. Fläche unter der e-Funktion
i(t) = aebt
in den Grenzen von t = u bis t = o:
Zo
Zo
u
u
| {z }
Integral
Lösung:
o
1 bt
e
b
| {z u}
bt
e dt = a
ae dt = a
i(t) dt =
u
Zo
bt
=
a bo
e − ebu
b
Stammf unktion
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
1. Gleichrichtwert Rechteckstrom
|i|Rechteck =
1
T î = î
T
und Gleichrichtwert Dreieckstrom
|i|Dreieck =
1
T î
î
·4·
=
T
8
2
2. Effektivwert Rechteckstrom
IRecheck
v
u
r
u ZT
1 2
u1
2
t
=
i dt =
· î T = î
T
T
0
und Effektivwert Dreieckstrom
v
s
u
T /4
Z
u
u1
î2 T
î
1
IDreieck = t · 4
i2 dt =
·4·
=√
T
T
12
3
0
3. Scheitelfaktor Rechteckstrom
kS =
î
Scheitelwert
î
=
= =1
Ef f ektivwert
IRechteck
î
und Scheitelfaktor Dreieckstrom
kS =
√
Scheitelwert
î
î
=
= √ = 3
Ef f ektivwert
IDreieck
î/ 3
4. Formfaktor Rechteckstrom
kF =
Ef f ektivwert
IRechteck
î
=
= =1
Gleichrichtwert
î
|i|Rechteck
und Formfaktor Dreieckstrom
√
Ef f ektivwert
IDreieck
î/ 3
2
kF =
=
=
=√
Gleichrichtwert
3
î/2
|i|Dreieck
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GdE1-89
4.4
Messung und Darstellung der Kennwerte
4. Wechselströme
u~
t
u~
−
+
u=
V
u=
u
t
Abbildung 4.4.1.: Gleichrichterschaltung Schaltung mit Spannungen vor und nach der Gleichrichtung
4.4. Messung und Darstellung der Kennwerte
Messung:
Mit einem Drehspulinstrument kann man wegen der Trägheit des Messwerks keine
Wechselgrößen messen. Dazu ist eine Gleichrichterschaltung (siehe Abb. 4.4.1) erforderlich, die anschaulich gesprochen „die negative Welle der Sinuskurve in die positive
Richtung umklappt“.
→ Durch die Trägheit des Messwerks wird bei der Messung von pulsierenden Gleichgrößen der Gleichrichtwert der zugehörigen Wechselgröße angezeigt.
Eichung:
Mit einem Drehspulmessgerät läßt sich nur der Gleichrichtwert messen. Zur Anzeige des Effektivwertes muss eine Eichung des Messgerätes mit dem Formfaktor als
Maßstabsfaktor berücksichtigt werden.
→ Handelsübliche Messgeräte
√ sind für die Effektivwertmessung bei Wechselgrößen
auf einen Scheitelfaktor von 2 = 1,414 geeicht.
→ Für andere Wechselgrößen ergeben sich aufgrund der unterschiedlichen Scheitelfaktoren Fehler bei der Messung von Effektivwerten.
Zeitverlauf:
Die Darstellung des zeitlichen Verlaufs einer Wechselgröße erfolgt mit einem Elektronenstrahloszilloskop, bei dem der trägheitslose Elektronenstrahl die Wechselgröße
auf einem Leuchtschirm anzeigt. Damit kann der Spitze-Spitze-Wert Uss = 2û einer
Wechselgröße bestimmt werden.
Netzteil:
Durch Ergänzung einer Vollweg-Gleichrichterschaltung um
• eine Zenerdiode (in Sperrrichtung geschaltet) zur Stabilisierung der Spannung
und
• einem Elektrolytkondensator zur Siebung
erhält man ein einfaches Gleichspannungs-Netzteilwie es in Abb. 4.4.2 dargestellt ist .
Behauptung:
Die Nullphasenwinkel eines Zeigers gegen die Bezugsachse ändern ihren Zahlenwert
mit der Wahl der Bezugsachse.
→ Stimmt das? Warum ist das so? Schauen wir uns dazu ein bekanntes Beispiel aus
der Gleichspannungstechnik an, wie es in Abb. 4.4.3 dargestellt ist .
Werte:
Die Spannung zwischen den Punkten 1 und 2 wechselt ihr Vorzeichen je nach Bezugspunkt:
U12 = UR = −UR0
U21 = −UR = UR0
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4. Wechselströme
4.4
Messung und Darstellung der Kennwerte
u~
−
+
+
u=
−
Abbildung 4.4.2.: Einfaches Netzteil mit Gleichrichterschaltung mit einfacher Siebung und Stabilisierung
1
Uq
R
UR
U’R
U12
2
Abbildung 4.4.3.: Spannungswerte in einer Gleichspannungsschaltung
Achse:
Die Nullphasenwinkel eines Zeigers gegen die Bezugsachse ändern ihren Zahlenwert
mit der Wahl der Bezugsachse.
Im
Im
ϕ= ϕ − ϕ
i
u
i
i
Im
i
ϕ= ϕ > 0
i
ϕ <0
u
ϕ >0
i
ϕ >0
i
Re
u
Re
ϕ <0
u
Bezug: a) reelle Achse
Re
u
b) Spannungszeiger
u
ϕ= ϕ < 0
u
b) Stromzeiger
Abbildung 4.4.4.: Phasenwinkel zwischen Zeigern und Bezugsachse
Zeiger:
Die vorzeichenbehafteten Phasenwinkel zwischen zwei Zeigern ändern ihr Vorzeichen
mit der Wahl des Bezugszeigers.
→ Die Aussage „der Strom eilt der Spannung voraus“ ist unabhängig von der Wahl
des Bezugszeigers gültig!
Kennwerte:
Für Zeigerdiagramme sind 4 Kennwerte interessant:
1. Die Art der Winkelgröße (z.B. Spannung, Strom), wobei das Formelzeichen für
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GdE1-91
4.5
Addition im Zeitdiagramm
4. Wechselströme
einen Zeiger unterstrichen wird.
2. Der Betrag der Winkelgröße (z.B. Scheitelwert, Effektivwert), der durch die Länge des Zeigers gegeben ist. Es ist ein Maßstabsfaktor (z.B. 1cm=1A)
ˆ
notwendig!
3. Den Phasenwinkel zwischen zwei Zeigern (z.B. Spannung und Strom an einem
Bauelement), die gleichzeitig rotieren.
4. Die Frequenz der Wechselgröße, die die Winkelgeschwindigkeit ω = 2πf der
drehenden Zeiger bestimmt. Ein gezeichnetes Zeigerdiagramm ist eine Momentaufnahme.
→ Für Wechselgrößen mit gleicher Frequenz sind die Phasenwinkel zwischen den
Zeigern konstant. Daher wird die synchrone Drehung der Zeiger i.a. nicht dargestellt!
4.5. Addition im Zeitdiagramm
Gegeben seien 2 Spannungsquellen u1 (t) und u2 (t). Gesucht ist die Summenspannung
u12 (t) = u1 (t) + u2 (t), die sich durch Hintereinanderschalten der beiden Quellen wie
in Abb. 4.5.1 ergibt.
Zeit:
→ Die Wechselspannungen in Abb. 4.5.1 sind:
u1
=
0,6V · sin(2π · 50Hz · t + π/12)
u2
=
0,8V · sin(2π · 50Hz · t + 5π/12)
1.5
u12
1
u1
u12
u2
u/V
0.5
u1
0
u2
-0.5
-1
-1.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
wt
(a)
(b)
Abbildung 4.5.1.: Addition von Spannungen: (a) Schaltung und (b) im Zeitdarstellung
1.:
Addition im Zeitdiagramm: Die beiden Spannungen werden punktweise addiert zur
Summenspannung(siehe Abb. 4.5.1) .
2.:
Berechnung im Zeitdiagramm: Die beiden Spannungen
u1
= û1 sin(ωt + ϕ1 )
u2
= û2 sin(ωt + ϕ2 )
(4.5.1)
werden zur Gesamtspannung
u12 = û1 sin(ωt + ϕ1 ) + û2 sin(ωt + ϕ2 )
GdE1-92
[email protected]ünster.de
(4.5.2)
1. Februar 2017
4. Wechselströme
4.6
Addition im Zeigerdiagramm
überlagert. Mit Hilfe des Additionstheorems (Papula, 2006, Seite 94)
sin(ωt + ϕ) = sin(ωt) cos ϕ + cos(ωt) sin ϕ
(4.5.3)
wird die Summe der beiden Teilspannungen
u12
= û1 (sin(ωt) cos ϕ1 + cos(ωt) sin ϕ1 ) +
û2 (sin(ωt) cos ϕ2 + cos(ωt) sin ϕ2 )
=
(û1 cos ϕ1 + û2 cos ϕ2 ) sin ωt +
(û1 sin ϕ1 + û2 sin ϕ2 ) cos ωt
(4.5.4)
und die Summe selbst
u12
=
û12 sin(ωt + ϕ12 )
=
û12 cos ϕ12 sin(ωt) + û12 sin ϕ12 cos(ωt)
(4.5.5)
Sind beide Gleichungen zu jedem Zeitpunkt identisch, so müssen die Scheitelwerte der
Zeitgrößen selbst zu jedem Zeitpunkt identisch sein6 . Gleichsetzen der Scheitelwerte
liefert dann
Phasenwinkel:
û12 cos ϕ12
= û1 cos ϕ1 + û2 cos ϕ2
(4.5.6)
û12 sin ϕ12
= û1 sin ϕ1 + û2 sin ϕ2
(4.5.7)
Durch Division erhalten wir eine Beziehung für den Phasenwinkel
arctan
û1 sin ϕ1 + û2 sin ϕ2
û12 sin ϕ12
= ϕ12 = arctan
û cos ϕ
û1 cos ϕ1 + û2 cos ϕ2
| 12 {z 12}
(4.5.8)
tan ϕ12
Scheitelwert:
Zur Bestimmung von û12 können Gln. 4.5.6 und Gln. 4.5.7 quadriert und addiert werden. Für die linke Seite ergibt sich
û212 sin2 ϕ12 + û212 cos2 ϕ12 = û212
(4.5.9)
wobei berücksichtigt wurde, dass sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1 ist.
Und für die rechte Seite erhalten wir damit
û212
=
(û1 sin ϕ1 + û2 sin ϕ2 )2 + (û1 cos ϕ1 + û2 cos ϕ2 )2
= û21 + û22 + 2û1 û2 (cos ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ1 sin ϕ2 )
= û21 + û22 + 2û1 û2 cos(ϕ2 − ϕ1 )
(4.5.10)
wobei das Additionstheorem (Papula, 2006, Seite 94)
cos ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ1 sin ϕ2 = cos(ϕ2 − ϕ1 )
(4.5.11)
verwendet wurde. Der Scheitelwert der Summenspannung ist dann
û12 =
1. Februar 2017
q
û21 + û22 + 2û1 û2 cos(ϕ2 − ϕ1 )
[email protected]ünster.de
(4.5.12)
GdE1-93
4.6
Addition im Zeigerdiagramm
4. Wechselströme
u12
u2
u1
ϕ2− ϕ1
ϕ2
u12
ϕ2
u2
u1 ϕ1
(a)
u12 = a
180°− (ϕ2− ϕ1 )
ϕ1
180°− (ϕ2− ϕ1 )
u2 = c
u1 = b
(b)
Abbildung 4.6.1.: Geometrische Addition von 2 Spannungszeigern
4.6. Addition im Zeigerdiagramm
Zeiger:
Im Zeigerdiagramm in Abb. 4.6.1 lassen sich die beiden Spannungszeiger zu dem
Summenzeiger addieren
(4.6.1)
u12 = u1 + u2
Der Kosinussatz (Winkel α gegenüber Seite a)
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
(4.6.2)
kann auf das Spannungsdreieck angewendet werden.
Die Länge des Zeigers berechnet sich damit zu
q
û12 = û21 + û22 − 2û1 û2 cos(π − (ϕ2 − ϕ1 ))
(4.6.3)
Für den Kosinus gilt als gerade Funktion cos(−α) = cos(α) und damit auch
cos(π − α) = − cos(−α) = − cos(α)
(4.6.4)
→ Damit lässt sich Gln. 4.5.12 in Gln. 4.6.3 überführen.
Ergebnis:
Bei der Berechnung des Phasenwinkels ϕ12 und des Scheitelwertes û12 treten keine
zeitabhängigen Größen auf.
→ Die Berechnung der Kenngrößen des Zeigers û12 kann daher eleganter und einfacher mit Hilfe des Zeigerdiagramms durchgeführt werden.
→ Notwendige Rechenverfahren: „Komplexe Rechnung“.
Prinzip:
Die Berechnung von Wechselstromnetzwerken verwendet mit der komplexen Rechnung bekannte Verfahren von Gleichstromschaltungen (siehe Abb. 4.6.2) .
4.7. Zusammenfassung
Netzwerke:
Elektrotechnisch bedeutende Kenngrößen von Wechselströmen sind:
• Gleichwert oder arithmetischer Mittelwert
• Gleichrichtwert oder arithmetischer Mittelwert des Betrages
• Scheitelwert
• Effektivwert
6 Für
u12 (t) = a1 · f1 (t) + a2 · f2 (t) und u12 (t) = b1 · f1 (t) + b2 · f2 (t) folgt a1 = b1 und a2 = b2 .
GdE1-94
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
4. Wechselströme
4.8
Zeitdiagramm
Differentialgleichung
Übungsaufgaben
Zeigerdiagramm
Transformation
algebraische Gleichung
aufwendiger
Lösungsweg
Lösung der
Differentialgleichung
Rücktransformation
(Originalbereich)
Lösung der
algebraischen Gleichung
(komplexer Bildbereich)
Abbildung 4.6.2.: Zusammenhang von Originalbereich und komplexem Bildbereich
4.8. Übungsaufgaben
Aufgabe 4.8.1
(Effektivwert)
-> Seite 158
Ein Strom hat den angegebenen zeitlichen Verlauf. (T = Periodendauer, î = größter Augenblickswert)
i
i
1. Geben Sie die Zeitfunktion i(t) an!
2. Wie groß ist der Gleichrichtwert des
Wechselstromes?
T
4
0
−
T
2
3
T
4
T
t
i
2
3. Welchen Effektivwert hat der Strom?
Aufgabe 4.8.2
(Effektivwert)
-> Seite 158
Eine Wechselspannung hat den angegebenen zeitlichen Verlauf (T = Periodendauer, û = größter Augenblickswert).
u
u
t
0
1. Stellen Sie die Zeitfunktion der
Spannung auf!
T
2
−u
T
2. Wie groß ist der Gleichrichtwert der
Spannung?
3. Welchen Effektivwert hat die Spannung?
Aufgabe 4.8.3
(Effektivwert)
-> Seite 159
1. Februar 2017
Ein periodisch zeitabhängiger elektrischer Strom hat den angegebenen Verlauf
(T = Periodendauer, î = größter Augenblickswert).
Es ist der Effektivwert des Stromes zu
bestimmen.
[email protected]ünster.de
i
i
t
0
T
3
2
T
3
T
GdE1-95
4.8
Übungsaufgaben
Aufgabe 4.8.4
(Effektivwert)
-> Seite 159
Aufgabe 4.8.5
(Effektivwert)
-> Seite 159
Aufgabe 4.8.6
(Effektivwert)
-> Seite 159
4. Wechselströme
u
Eine periodisch zeitabhängige elektrische Spannung hat den angegebenen Verlauf (T = Periodendauer, û = größter Augenblickswert).
Es ist der Effektivwert der Spannung zu
bestimmen.
Ein Widerstand ist über einen Einweggleichrichter mit einer Wechselspannungsquelle verbunden. Der fließende Strom hat
den angegebenen Verlauf (î = Scheitelwert).
Wie groß ist der Effektivwert des Stromes?
Einer sinusförmigen Wechselspannung
mit dem Scheitelwert û ist eine Gleichspannung U0 überlagert (Skizze).
Es ist der Effektivwert der Gesamtspannung zu ermitteln.
u
−
Aufgabe 4.8.8
(Effektivwert)
-> Seite 159
GdE1-96
Eine sinusförmige Spannung erhält
durch eine Amplitudenbegrenzerschaltung
die in der Skizze angegebene Form.
Es ist der Effektivwert der Spannung zu
bestimmen. (û (s. Skizze) ist als gegeben
anzusehen.)
Eine periodisch zeitabhängige elektrische Spannung fällt jeweils innerhalb einer Periodendauer nach einer e-Funktion
ab. Im Bereich 0 < t < T kann die Spannung durch die Funktion u = û · e−t/T
dargestellt werden (T = Periodendauer, û
= größter Augenblickswert).
Wie groß ist der Effektivwert der Spannung?
[email protected]ünster.de
T
3
T
4
0
i
i
i = i sin ω t
ωt
i=0
π
0
2π
u
u+U0
U0
ωt
π
0
Aufgabe 4.8.7
(Effektivwert)
-> Seite 159
t
0
2π
u
u
u=
u
2
0
u
−
2
−u
u
2
u = u sin ω t
π
2π
ωt
u
u
u=ue
0
−t/T
T
t
1. Februar 2017
5. Komplexe Rechnung
Ziele:
In diesem Kapitel werden die (hoffentlich bekannten) Grundlagen der komplexen
Rechnung kurz und knapp wiederholt.
Die komplexe Rechnung ermöglicht eine effiziente Berechnung von Wechselstromschaltungen, wobei die zu lösenden Gleichungen denen der Gleichstromtechnik entsprechen.
→ So gibt es als Erweiterung des Spannungsteilers einen komplexen Spannungsteiler.
Anwendung:
Aufgrund der Leistungsfähigkeit selbst „kleiner“ Taschenrechner werden Aufgaben
mit komplexen Zahlen in der Elektrotechnik heute wie Aufgaben mit reelen Zahlen
direkt mit dem Taschenrechner durchgeführt — und zwar ohne explizite Umrechnung
von Polarkoordinaten in Kartesische.
Zahlen:
Für die Gleichstromtechnik seien folgende Zahlenwerte gegeben: R1 = 1Ω, R2 = 1Ω
und U = 2V .
Lösung:
Damit wird die Ausgangsspannung zu
U2 =
1Ω
R2
· 2V = 1V
·U =
R1 + R2
1Ω + 1Ω
Zahlen:
Für die Wechseltromtechnik seien folgende Zahlenwerte gegeben: Z 1 = (1Ω + j1Ω),
Z 2 = (1Ω + j1Ω) und U = (2V + j0V )
Lösung:
Damit wird die Ausgangsspannung zu
U2
=
=
=
=
Z2
·U
Z1 + Z2
(1Ω + j1Ω)
· (2V + j0V )
(1Ω + j1Ω) + (1Ω + j1Ω)
(1Ω6 45◦ )(2V 6 0◦ )
(2Ω6 45◦ )
=
◦
(2Ω6 45 )
(2Ω6 45◦ )
(1V 6 0◦ ) = 1V
5.1. Die komplexe Zahlenebene
Imaginäre Zahl:
Senkrecht zur reellen Achse wird eine zweite Achse errichtet mit der imaginären Einheit
√
j = −1
(5.1.1)
wodurch sich die komplexe Zahlenebene ergibt.
Komplexe Zahl:
1. Februar 2017
Eine komplexe Zahl besteht aus einem reellen Teil a und einem imaginären Teil jb
(siehe Abb. 5.1.1)
r = a + jb
(5.1.2)
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GdE1-97
5.1
Die komplexe Zahlenebene
5. Komplexe Rechnung
Im
jb
j
−j
ϕ
ϕ∗
r = a + j b Die komplexe Zahl r hat einen Wert a
auf der reellen Achse und einen Wert
Re b auf der imaginären Achse. Alterna.
tiv kann der Betrag r und der Winkel
a
ϕ mit der reellen Achse zur Beschrei5 6
r* = a − j b bung verwendet werden.
Abbildung 5.1.1.: Darstellung der komplexen Zahl
Konjugiert:
Zu der komplexen Zahl r läßt sich eine konjugiert komplexe Zahl definieren
r∗ = a − jb
(5.1.3)
Winkel:
Die Winkel ϕ und ϕ∗ der komplexen Zahlen mit der reellen Achse (Nullphasenwinkel)
sind
b
ϕ = arctan
a
−b
ϕ∗ = arctan
(5.1.4)
a
Betrag:
Für den Betrag der komplexen Zahl oder die Länge des Zeigers gilt
p
|r| = |r∗ | = r = a2 + b2
Komponenten:
Für den Real- und Imaginärteil kann man damit auch schreiben1
a
b
Alternativ:
(5.1.5)
= r cos ϕ
= r sin ϕ
(5.1.6)
Wir erhalten damit als gleichwertige Darstellungen
r = a + jb
= r cos ϕ + rj sin ϕ
= r(cos ϕ + j sin ϕ)
Euler:
(5.1.7)
Die Eulerschen Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Sinus und
Kosinus und der Exponentialfunktion sind
r = a + jb = r · ejϕ = r(cos ϕ + j sin ϕ)
(5.1.8)
Da die e-Funktion hier nur als „Träger für den Winkel“ ϕ dient, kann man vereinfachend schreiben
r · ejϕ = r · exp(jϕ) = r6 ϕ
(5.1.9)
Winkelfaktor:
Der Winkelfaktor ejϕ = 6 ϕ zählt mathematisch positiv (entgegen dem Uhrzeigersinn). Beispiele für häufige Winkelfaktoren sind
ϕ = 0◦ : exp(j0)
= cos(0)
+ j sin(0)
= 1
ϕ = 90◦ : exp(jπ/2) = cos(π/2) + j sin(π/2) = j
ϕ = 180◦ : exp(jπ) = cos(π) + j sin(π) = −1
ϕ = 270◦ : exp(j3π/2)= cos(3π/2)+ j sin(3π/2)= −j
1 Dreiecksbeziehungen
GdE1-98
im rechtwinkligen Dreieck: sin ϕ = b/r und cos ϕ = a/r
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
5. Komplexe Rechnung
5.2
Rechenregeln für komplexe Zahlen
5.2. Rechenregeln für komplexe Zahlen
Addition:
Für die Addition von zwei Zeigern gilt
r1 + r2 = (a1 + jb1 ) + (a2 + jb2 ) = (a1 + a2 ) + j(b1 + b2 )
r1+r2
Im
(5.2.1)
r1
Im
r1−r2
r2
jb1
j(b1 +
b2)
j(b1−b2)
jb2
ϕ2
r2
r1
jb1
jb2
Re
ϕ1
ϕ1
a2
ϕ2
Re
a1−a2
a1
a2
a1 + a2
a1
Abbildung 5.2.1.: Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
Subtraktion:
Für die Subtraktion von zwei Zeigern gilt
r1 − r2 = (a1 + jb1 ) − (a2 + jb2 ) = (a1 − a2 ) + j(b1 − b2 )
Multiplikation:
(5.2.2)
Für die Multiplikation von zwei Zeigern in Exponentialform gilt
r1 r2 = r1 ejϕ1 r2 ejϕ2 = r1 r2 ej(ϕ1 +ϕ2 )
(5.2.3)
und für die Darstellung in Komponentenform gilt
r1 r2 = (a1 + jb1 )(a2 + jb2 ) = (a1 a2 − b1 b2 ) + j(a1 b2 + a2 b1 )
Division:
(5.2.4)
Für die Division von zwei Zeigern in Exponentialform gilt
r1
r1 ejϕ1
r1
=
= ej(ϕ1 −ϕ2 )
r2
r2 ejϕ2
r2
(5.2.5)
und für die Darstellung in Komponentenform gilt
a2 b1 − a1 b2
r1
(a1 + jb1 )
a1 a2 + b1 b2
+j
=
=
2
2
r2
(a2 + jb2 )
a 2 + b2
a22 + b22
Potenzieren:
Radizieren:
Ein Zeiger wird in die n-te Potenz erhoben
n
rn = r · ejϕ = rn ejnϕ = rn 6 nϕ
(5.2.7)
Aus einem Zeiger wird in die n-te Wurzel gezogen
√
n
1. Februar 2017
(5.2.6)
r=
√
n
r · ejϕ =
√
n
r · ejϕ/n =
[email protected]ünster.de
√
n
r6 ϕ/n
(5.2.8)
GdE1-99
5.3
Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen
Differenzieren:
5. Komplexe Rechnung
Die Differentiation eines Zeigers nach dem Drehwinkel ϕ liefert
dr
d
dr jϕ
d
=
r · ejϕ =
e + r ejϕ
dϕ
dϕ
dϕ
dϕ
(5.2.9)
Unter der Annahme, daß die Zeigerlänge konstant bleibt, gilt
dr
=0
dϕ
(5.2.10)
dr
d
= r ejϕ = r · j · ejϕ = jr
dϕ
dϕ
(5.2.11)
und damit bekommen wir als Ergebnis
Durch die Differentiation wird der Ursprungszeiger mit j multipliziert, d.h. um den
Winkel +90◦ = +π/2 (gegen den Uhrzeiger) gedreht.
Integrieren:
Die Integration eines Zeigers über dem Drehwinkel ϕ liefert
Z
Z
Z
1
1
jϕ
rdϕ = r · e dϕ = r ejϕ dϕ = r ejϕ = r = −jr
j
j
(5.2.12)
Durch die Integration wird der Ursprungszeiger mit −j multipliziert, d.h. um den Winkel −90◦ = −π/2 (im Uhrzeigersinn) gedreht.
Gleichung:
Komplexe Gleichungen in Komponentenform
a1 + jb1 = a2 + jb2
(5.2.13)
zerfallen grundsätzlich in 2 getrennte reelle Gleichungen für
a1
= a2
b1
= b2
(5.2.14)
→ Entsprechendes gilt für Gleichungen in Exponentialform!
5.3. Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen
Zeiger:
Beim Übergang von Zeitgrößen zu Zeigergrößen ergibt sich der Zusammenhang
• Scheitelwert der Wechselgröße → Betrag des Zeigers
• Phasenwinkel der Wechselgröße → Phase des Zeigers
Drehzeiger:
Der komplexe Drehzeiger in Abb. 5.3
u = ûej(ωt+ϕu ) = ûejωt ejϕu
(5.3.1)
stellt symbolisch eine Sinusschwingung dar.
Zeit:
Für den Zeitwert der Sinusschwingung gilt
u = Im{u} = û sin(ωt + ϕu )
GdE1-100
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(5.3.2)
1. Februar 2017
5. Komplexe Rechnung
5.3
Im{u}
ωt
u(t) = u e
u(t=0) = u e
j ϕu
ϕu
j( ω t+ ϕ )
u
Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen
Re{u}
Mit dem Drehfaktor ejωt wird
die Drehung des Einheitszeigers
auf einem Einheitskreis mit der
Winkelgeschwindigkeit ω beschrieben.
Abbildung 5.3.1.: Komplexer Drehzeiger
Amplitude:
In der Wechselstromtechnik sind die Zeitwerte oft uninteressant.
→ Man kann die Zeiger dann als stillstehende Größen betrachten bei denen der Drehfaktor nicht betrachtet wird. Aus dem komplexen Drehzeiger
u = ûejωt ejϕu = ûejωt
(5.3.3)
wird so ein ruhender Scheitelwertzeiger
û = ûejϕu
(5.3.4)
der die komplexe Amplitude der Schwingung darstellt.
Bemerkung:
Im folgenden wird anstelle eines komplexen Scheitelwertzeigers der komplexe Effektivwertzeiger verwendet.
→ Beide lassen sich durch den Scheitelfaktor ineinander überführen.
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-101
6. Wechselstromelemente
Zweipole:
Netzwerke, die nur zwei Anschlussklemmen haben nennt man Zweipole. Enthalten sie
zusätzlich nur passive Bauteile (keine Quellen) nennt man sie passive Zweipole.
→ Einfache Beispiele in Abb. 6.0.1 sind: (1) Ohm’scher Widerstand, (2) Spule und
(3) Kondensator.
I
U
Z
R
L
C
Abbildung 6.0.1.: Einfache passive Wechselstrom-Zweipole
Ideal:
Als ideale Bauelemente bezeichnen wir
• eine Spule, die nur ein magnetisches Feld hat,
• einen Kondensator, der nur ein elektrisches Feld hat und
• einen Widerstand, der nur ein ohmsches Verhalten hat.
Impedanz:
An dem Zweipol in Abb. 6.0.1 liegt die komplexe Spannung U = U ejϕU an, die
einen komplexen Strom I = IejϕI zur Folge hat. Der Quotient aus Spannung und
Strom definiert den komplexen Widerstand (Bezugszeiger Strom)
Z=
Widerstand:
U
U ejϕU
U
=
= ej(ϕU −ϕI ) = Zejϕ
jϕ
I
I
Ie
I
(6.0.1)
Der Betrag der Impedanz wird als Scheinwiderstand bezeichnet
Z = |Z| =
U
I
(6.0.2)
→ Hier gilt „scheinbar“ das ohmsche Gesetz direkt für Effektivwerte von Sinusgrößen.
Phase:
Der Phasenwinkel der Impedanz
ϕ = arctan
Im{Z}
= ϕU − ϕI
Re{Z}
(6.0.3)
entspricht dem Phasenverschiebungswinkel der Spannung bezogen auf den Strom.
Gleichstrom:
Für Gleichstrom im eingeschwungenen Zustand ist
• eine Spule ein Kurzschluss,
GdE1-102
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1. Februar 2017
6. Wechselstromelemente
6.1
Widerstand
• ein Kondensator ein Leerlauf und
• ein Widerstand ein Energiewandler.
→ Zeitabhängige Vorgänge treten beim Ein- oder Ausschalten eines Stromes oder
einer Spannung auf.
Wechselstrom:
Spannung und Strom am Bauelement ändern sich periodisch mit der Zeit. Die Bauelemente haben teilweise geänderte Funktionen:
• Eine Spule wird ein Energiespeicher,
• ein Kondensator wird ein Energiespeicher und
• ein Widerstand bleibt ein Energiewandler.
Bedeutung:
Von zentraler Bedeutung werden die stetigen Änderungen der Zustandsgrößen Spulenstrom und Kondensatorspannung sein.
6.1. Widerstand
Strom:
Liegt an einem Widerstand (siehe Abb. 6.1.1) eine Wechselspannung u, so erhält man
für den Strom den zeitabhängigen Wert1
i=
û
u
= Gu = sin ωt = Gû sin ωt = î sin ωt
R
R
2
i
u(t)
i(t)
1.5
u sin wt
1
u
0.5
I
u, i
u
(6.1.1)
R
0
-0.5
U
-1
i sin wt
-1.5
-2
0
(a)
1
2
(b)
3
4
5
6
7
8
9
(c)
Abbildung 6.1.1.: Wechselspannung und -strom am Widerstand
Mit dem Spannungszeiger U R als Bezugszeiger weist der Stromzeiger I R in die selbe
Richtung.
Zeiger:
U R = RI R
Bemerkung:
(6.1.2)
• In dem Zeigerdiagramm in Abb. 6.1.1 sind U und I parallel zur reellen Achse.
Auf eine komplexe Rechnung kann verzichtet werden, da keine Komponente in
Richtung der imaginären Achse auftritt.
• Die Gleichung für die Scheitelwerte
û = R · î
1 Dieses
ist die Bauelementegleichung des Widerstandes!
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-103
6.1
Widerstand
6. Wechselstromelemente
√
kann durch Division durch √ 2 in eine Darstellung√für die Effektivwerte bei Sinusgrößen U = uef f = û/ 2 und I = ief f = î/ 2 überführt werden
û
√
2
U
î
R· √
2
RI
=
=
• Diese Darstellung ist vollkommen identisch zur Gleichstromtechnik. Es wird
im folgenden auch für die anderen Bauelemente versucht, Darstellungen in der
Wechselstromtechnik analog zur Gleichstromtechnik zu erhalten.
6.1.1. Leistung am Widerstand
Leistung:
Für den Zeitwert der Leistung p gilt
p = ui = i2 R =
u2
R
(6.1.3)
Da Spannung und Strom am Widerstand in Phase sind, nimmt die Leistung am Widerstand entsprechend Abb. 6.1.2 periodisch von Null (Spannung und Strom sind Null)
bis zu einem Maximalwert (Spannung und Strom sind maximal) zu.
3
2.5
u(t)
i(t)
P(t)
2
p sin wt
2
1.5
P
1
0.5
0
-0.5
i sin wt
-1
u sin wt
-1.5
-2
0
1
2
3
4
5
6
Abbildung 6.1.2.: Leistung am Widerstand
Mittelwert:
Anstelle der periodischen Wirkleistung lässt sich eine mittlere Leistung P = p̄ definieren, die während der Periodendauer T dieselbe Energie W umsetzt, wie die schwingende Leistung p(t)
ZT
W = PT =
2
ZT
p̂ sin ωt dt = ûî
0
sin2 ωt dt
(6.1.4)
0
|
{z
√ √
T / 2· 2
}
→ Flächengleichheit entsprechend der Definition des Effektivwertes nach Gln. 4.3.18.
Mit dem ohmschen Gesetz für Scheitelwerte û = Rî bzw. î = û/R erhalten wir die
mittlere Leistung zu
P =
GdE1-104
W
U2
= UI =
= I 2R
T
R
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(6.1.5)
1. Februar 2017
6. Wechselstromelemente
Wirkleistung:
6.2
Kondensator
Die Wirkleistung ist das Produkt der Effektivwerte von Strom und Spannung.
→ Die Einheit ist entsprechend der Einführung in der Gleichstromlehre das Watt (W);
die Einheit der Energie die Wattsekunde (Ws).
6.2. Kondensator
Strom:
Wenn am Kondensator (siehe Abb. 6.2.1) die Spannung u anliegt, erhalten wir den
Strom2 zu
duC
iC = C
(6.2.1)
dt
2
i
u sin wtu(t)
i(t)
1.5
1
I
u
0.5
u, i
u
C
0
-0.5
U
-1
i cos wt
-1.5
(a)
-2
(c)
(b)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Abbildung 6.2.1.: Spannung und Strom beim Kondensator
Für eine sinusförmige Spannung uC = û sin ωt ergibt sich
Zeit:
iC = C
d
(û sin ωt) = Cωû cos ωt
dt
(6.2.2)
Mit der mathematischen Beziehung cos ωt = sin(ωt + π/2) wird daraus
iC = Cωû sin(ωt + π/2) = î sin(ωt + π/2)
(6.2.3)
Mit dem Spannungszeiger U C als Bezugszeiger weist der Stromzeiger I C in die Richtung der positiven imaginären Achse.
Zeiger:
IC = C
dU C
d
= C UC ejωt = jωCU C
dt
dt
(6.2.4)
→ Der Strom I C eilt der Spannung U C um +90◦ voraus. In der Zeigerdarstellung
entspricht dieses einer Multiplikation mit +j.
Leitwert:
Wir führen die kapazive Admittanz mit dem kapazitiven Blindleitwert ein (analog zu
I = GU )
IC
=
Y CUC
=
jBC U C
=
jωCU C
(6.2.5)
mit Betrag und Phasenwinkel
Y C = jBC = jωC = (|BC |6 90◦ )
2 Dieses
(6.2.6)
ist die Bauelementegleichung des Kondensators!
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-105
6.2
Kondensator
6. Wechselstromelemente
Widerstand:
Wir erhalten dann die kapazitive Impedanz mit dem kapazitiven Blindwiderstand (analog zu U = RI)
UC
=
=
=
=
ZC IC
1
I
jBC C
1
−j
I
ωC C
jXC I C
(6.2.7)
mit Betrag und Phasenwinkel
Z C = jXC = −j
Kehrwerte:
1
= (|XC |6 − 90◦ )
ωC
(6.2.8)
Damit erhalten wir für den kapazitiven Blindwiderstand und den kapazitiven Blindleitwert3 (analog zu R = 1/G)
XC = −
1
1
=−
BC
ωC
(6.2.9)
Blindwiderstand XC und Blindleitwert BC sind eine Funktion der Kreisfrequenz ω
(siehe Abb. 6.2.2) . Dies ist in der Energietechnik nicht von Bedeutung, wohl aber in
der Nachrichten- und Regelungstechnik4 .
Frequenz:
B
+90 o
ϕ
ϕB
B C = ωC
X
ω
ϕ
ω
ϕX
−90o
XC= −
1
ωC
Abbildung 6.2.2.: Phasenwinkel und Frequenzgang des kapazitiven Blindleitwerts und Blindwiderstands
→ Der Leitwert wächst proportional zur Kreisfrequenz von Null an. Der Widerstand
geht von sehr großen negativen Werten aus gegen Null.
→ Die Phasenwinkel ϕB und ϕX zwischen Strom und Spannung sind konstant, d.h.
keine Funktion der Kreisfrequenz.
6.2.1. Kapazitive Blindleistung
Jeweils nach 90◦ ist entweder i = 0 oder u = 0, so dass dann auch die Leistung Null
wird. Der Verlauf der Leistungsschwingung ist in Abb. 6.2.3 dargestellt.
Leistung:
→ Definition der kapazitiven Blindleistung (XC < 0) zu
QC = U I = U 2 /XC = I 2 XC < 0
(6.2.10)
3 Verständnisfrage:
4 Anwendung:
GdE1-106
Welche Einheit haben BC und XC ?
Filter, besser Frequenzfilter, z.B. Hochpass, Tiefpass und Bandpass bei Lautsprecherweichen.
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
6. Wechselstromelemente
6.3
2
u(t)
i(t)
P(t)
q sin wt cos wt
1.5
Spule
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
i cos wt
-2
0
1
2
u sin wt
3
4
5
6
7
8
9
Abbildung 6.2.3.: Kapazitive Blindleistung beim Kondensator
Einheit:
Die Einheit der Blindleistung ist „Voltampere reaktive“ (Var), zur Unterscheidung von
der Wirkleistung (Einheit Watt).
Schwingung:
Es entsteht eine Leistungsschwingung:
• 0 bis T/4: Der Kondensator wird vom Generator aufgeladen mit der Energie
T /4
T /4
Z
Z
Zû
duC
1
W =
uC iC dt =
uC C
dt = C uC duC = C û2
dt
2
0
0
(6.2.11)
0
• T/4 bis T/2: Der Kondensator entlädt die eben aufgenommene Energie in den
Generator zurück.
• T/2 bis 3T/4: Der Generator liefert die Energie bei umgekehrtem Vorzeichen von
Strom und Spannung.
• 3T/4 bis T: Die Energie fließt wieder in den Generator zurück.
Wirkleistung:
Beim idealen Kondensator geht keine Energie als Wärme oder mechanische Energie
verloren, sondern sie pendelt zwischen Generator und Kondensator hin und her.
→ Die Wirkleistung beim Kondensator ist damit
P =0
(6.2.12)
6.3. Spule
Strom:
Bei der Spule (siehe Abb. 6.3.1) setzen wir aufgrund der einfacheren mathematischen
Behandlung einen kosinusförmigen Strom voraus
iL = −î cos ωt
Wir erhalten die Spannung5 zu
Zeit:
uL
diL
d
= L (−î cos ωt)
dt
dt
= Lω î sin ωt = Lω î cos(ωt − π/2)
= L
= û sin ωt = û cos(ωt − π/2)
5 Dieses
(6.3.1)
(6.3.2)
ist die Bauelementegleichung der Spule!
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-107
6.3
Spule
6. Wechselstromelemente
2
i
u sin wt u(t)
i(t)
1.5
1
u
u, i
0.5
u
L
I
0
-0.5
U
-1
-1.5
−i cos wt
-2
0
(a)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(c)
(b)
Abbildung 6.3.1.: Spannung und Strom bei der Spule
Zeiger:
Mit dem Spannungszeiger U L als Bezugszeiger weist der Stromzeiger I L in die Richtung der negativen imaginären Achse.
UL = L
d
dI L
= L IL ejωt = jωLI L
dt
dt
(6.3.3)
→ Die Spannung U L eilt dem Strom I L um +90◦ voraus. (Negative Amplitude →
−180◦ und −90◦ Phasenwinkel.) In der Zeigerdarstellung entspricht dieses einer Multiplikation mit +j.
Widerstand:
Wir führen wieder die induktive Impedanz mit dem induktiven Blindwiderstand ein
UL
=
Z LI L
=
jXL I L
=
jωLI L
(6.3.4)
mit Betrag und Phasenwinkel
Z L = jXL = jωL = (|XL |6 90◦ )
Leitwert:
(6.3.5)
Wir erhalten dann ebenso die induktive Admittanz mit dem induktiven Leitwert
IL
=
=
=
=
Y LU L
1
U
jXL L
1
−j
U
ωL L
jBL U L
(6.3.6)
mit Betrag und Phasenwinkel
Y L = jBL = −j
Kehrwerte:
GdE1-108
1
= (|BL |6 − 90◦ )
ωL
(6.3.7)
Damit erhalten wir für den induktiven Blindwiderstand und den induktiven Blindleitwert ebenfalls
1
1
BL = −
=−
(6.3.8)
XL
ωL
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1. Februar 2017
6. Wechselstromelemente
X
+90 o
6.3
ϕ
ϕX
X L = ωL
ϕ
B
ω
ϕB
−90o
ω
Spule
BL = −
1
ωL
Abbildung 6.3.2.: Phasenwinkel und Frequenzgang des induktiven Blindleitwerts und Blindwiderstands
Frequenz:
Blindwiderstand XL und Blindleitwert BL sind auch hier entsprechend Abb. 6.3.2 eine Funktion der Kreisfrequenz ω (Bedeutung → Nachrichten- und Regelungstechnik).
→ Der Widerstand wächst proportional zur Kreisfrequenz von Null an. Der Leitwert
geht von sehr großen negativen Werten aus gegen Null.
→ Die Phasenwinkel ϕB und ϕX zwischen Strom und Spannung sind konstant, d.h.
keine Funktion der Kreisfrequenz.
6.3.1. Induktive Blindleistung
Leistung:
Jeweils nach 90◦ ist entweder i = 0 oder u = 0 Null, so dass dann auch die Leistung
Null wird. (Siehe Abb. 6.3.3, analog zum Kondensator.)
2
−q sin wt cos wt
1.5
u(t)
i(t)
P(t)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
−i cos wt
-2
0
1
2
3
u sin wt
4
5
6
7
8
9
Abbildung 6.3.3.: Induktive Blindleistung bei der Spule
→ Definition der induktiven Blindleistung (XL > 0) zu
QL = U I = U 2 /XL = I 2 XL > 0
Einheit:
Die Einheit der Blindleistung war „Voltampere reactive“ (Var).
Schwingung:
Es entsteht eine Leistungsschwingung:
(6.3.9)
• T/4 bis T/2: Die Spule wird vom Generator aufgeladen mit der Energie
T /4
T /4
Z
Z
Zî
diL
1
W =
iL uL dt =
iL L
dt = L iL diL = Lî2
dt
2
0
1. Februar 2017
0
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(6.3.10)
0
GdE1-109
6.3
Spule
6. Wechselstromelemente
• T/2 bis 3T/4: Die Spule entlädt die eben aufgenommene Energie in den Generator
zurück.
• 3T/4 bis T: Der Generator liefert die Energie bei umgekehrtem Vorzeichen von
Strom und Spannung.
• T bis 5T/4: Die Energie fließt wieder in den Generator zurück.
Wirkleistung:
Auch bei der idealen Spule geht keine Energie verloren, sondern sie pendelt zwischen
Generator und Induktivität hin und her.
→ Die Wirkleistung bei der Spule ist damit
P =0
Beispiel 6.3.1
(RC-Reihe)
(6.3.11)
Ein Lötkolben für 110V und 30W soll am Lichtnetz 220V und 50Hz angeschlossen
werden. Um Wirkleistung einzusparen, wird kein Vorwiderstand verwendet, sondern
die Überspannung durch einen Kondensator übernommen. Berechnen Sie folgende
Größen:
1. Strom durch die Schaltung
2. Scheinleistung und Blindleistung
3. Spannungsabfall am Kondensator
4. Kapazität des Kondensators
5. Phasenwinkel und Leistungsfaktor und
6. Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm
Lösung:
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
1.
I = (0,273A6 0◦ )
2.
S = U I = 60V A
und
p
Q = − S 2 − P 2 = −52V ar
3.
UC =
Q
= −190,5V
I
4.
C=−
1
= 4,56µF
2πf · XC
5.
ϕ = −60◦
und
λ = cos ϕ = 0,5
GdE1-110
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1. Februar 2017
6. Wechselstromelemente
6.4
Allgemeiner Wechselstromzweipol
6.4. Allgemeiner Wechselstromzweipol
Zweipol:
Als Wechselstromzweipol (siehe Abb. 6.4.1 bezeichnet man eine beliebige Kombination der Einzelelemente Widerstand (Wirkwiderstand R), Kondensator (Kapazität C)
und Spule (Induktivität L), die nach außen durch zwei Anschlüsse elektrisch charakterisierbar ist.
I
U
L
Z
R
C
Abbildung 6.4.1.: Netzwerk als Wechselstrom-Zweipole
→ Die dargestellte Parallelschaltung stellt nur eines von vielen möglichen Netzwerken
dar, deren Impedanz bestimmt werden kann aus
• einer Messung von Spannung und Strom oder
• einer Netzwerkberechnung mit den Bauelentewerten.
6.4.1. Spannung, Strom und Phasenwinkel
Messung:
Ebenso wie bei einem „einfachen“ Zweipol mit einem idealen Bauelement ergibt der
Quotient aus der Spannung U und dem Strom I über das ohmsche Gesetz die Impedanz zu
Z=
U
= ZejϕZ
I
(6.4.1)
→ Ebenso kann der komplexe Leitwert oder die Admittanz berechnet werden. Oder
einfacher als Kehrwert der Impedanz zu
Y =
Kehrwerte:
I
1
1
=
= e−jϕZ = Y ejϕY
U
ZejϕZ
Z
(6.4.2)
Damit gilt auch für die komplexen Wechselgrößen
Z=
1
Y
(6.4.3)
→ Das gilt aber i.a. nicht für den Real- und Imaginär getrennt!
Phasenwinkel:
1. Februar 2017
Durch den induktiven Anteil (XL > 0) und den kapazitiven Anteil (XC < 0) wird der
resultierende Phasenwinkel ϕ beschränkt. In Abb. 6.4.2 sind Zeigerdarstellungen für
einige spezielle komplexe Widerstände bzw. Leitwerte dargestellt.
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GdE1-111
6.4
Allgemeiner Wechselstromzweipol
6. Wechselstromelemente
Im
Im
Z L = jXL =
UL
IL
Z=
U
I
ϕZ
I
C
UC
I
YG = G =
ϕY
UR
Re
IR
Y=
UC
Y L = jB L =
IC
G
UG
Re
ZR= R =
Z C = jXC =
Y C = jB C =
I
I
U
L
UL
(b) Admittanzen
(a) Impedanzen
Abbildung 6.4.2.: Komplexer Widerstand und Leitwert: Zusammenstellung der Impedanzen und Admittanzen
für exemplarische Fälle
i
I
u
u
P
Z
U
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
S
i sin (wt +ϕ )
0
(a)
1
(b)
2
3
4
5
u(t)
i(t)
P(t)
u sin wt
6
7
8
9
(c)
Abbildung 6.4.3.: Scheinleistung beim allgemeinen Zweipol
GdE1-112
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1. Februar 2017
6. Wechselstromelemente
6.4
Allgemeiner Wechselstromzweipol
6.4.2. Leistung im Zeitbereich
Leistung:
Aufgrund der Spannung u = û sin ωt fließt durch die Impedanz Z der Strom i =
î sin(ωt + ϕ) (siehe Abb. 6.4.3) .
→ Wie groß sind die Schein-, Wirk- und Blindleistungen?
Zeitwerte:
Für den Zeitwert der Leistung erhalten wir dann
s(t) = s = ui
= û sin ωt · î sin(ωt + ϕ)
= ûî sin ωt · sin(ωt + ϕ)
|
{z
}
Gln. 6.4.5
Theorem:
Im folgenden benötigen wir diese vier mathematischen Additionstheoreme
sin(a + b)
=
sin a cos b + cos a sin b
(6.4.5)
− cos(a + b)
=
(6.4.6)
sin2 a
=
− cos a cos b + sin a sin b
1
(1 − cos 2a)
2
1
sin 2a
2
sin a cos a =
Rechnung:
(6.4.4)
(6.4.7)
(6.4.8)
Wir setzen Additionstheorem 6.4.5 in Gln. 6.4.4 ein
s =
=
ûî sin ωt(sin ωt cos ϕ + cos ωt sin ϕ)
2
ûî( sin
| {zωt} cos ϕ + sin
| ωt{zcos ωt} sin ϕ)
Gln. 6.4.7
Gln. 6.4.8
(6.4.9)
und mit den beiden Additionstheoremen Gln. 6.4.7 und 6.4.8 ergibt sich weiter
s =
=
Ergebnis:
1
1
ûî( (1 − cos 2ωt) cos ϕ + sin 2ωt sin ϕ)
2
2
1
ûî(cos ϕ − cos 2ωt cos ϕ + sin 2ωt sin ϕ)
|
{z
}
2
Gln. 6.4.6
(6.4.10)
Wir verwenden√nun das Additionstheorem
Gln. 6.4.6 und erhalten mit den Effektiv√
werten U = û/ 2 und I = î/ 2 das Ergebnis
1
ûî(cos ϕ − cos(2ωt + ϕ))
2
= U I cos ϕ − |{z}
U I cos(2ωt + ϕ)
| {z }
s =
P
Scheinleistung:
(6.4.11)
S
Das Produkt
S = U I = I 2Z =
U2
Z
(6.4.12)
wird in Analogie zum Scheinwiderstand als Scheinleistung des Zweipols bezeichnet.
Wir können Gln. 6.4.11 damit einfacher schreiben als
s = S cos ϕ − S cos(2ωt + ϕ)
(6.4.13)
Es wird ein konstanter Wert der Leistung, S cos ϕ, von einer Leistungsschwingung,
S cos(2ωt + ϕ), mit doppelter Frequenz 2ω überlagert.
1. Februar 2017
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GdE1-113
6.4
Allgemeiner Wechselstromzweipol
Wirkleistung:
6. Wechselstromelemente
Der konstante Anteil der Scheinleistung ist die Wirkleistung
P = S cos ϕ = U I cos ϕ
Blindleistung:
(6.4.14)
Für den zweiten Anteil der Scheinleistung in Gln. 6.4.11 konnten wir mit dem Additionstheorem Gln. 6.4.6 schreiben
−U I cos(2ωt + ϕ)
= − U I cos ϕ cos 2ωt + U I sin ϕ sin 2ωt
| {z }
| {z }
P
Q
= −P cos 2ωt + Q sin 2ωt
(6.4.15)
Für die Wirkleistung hatten wir bereits P = U I cos ϕ eingeführt. Entsprechend gilt
nun für die Blindleistung
Q = S sin ϕ = U I sin ϕ
(6.4.16)
Einheiten:
Nur zur besseren Unterscheidung der Leistungsarten werden diese Unterschiedlich
bezeichnet: [P ] = W (Watt), [S] = V A (Voltampere) und [Q] = V ar (Voltampere
reactive).
Leistungsfaktor:
Das Verhältnis von Wirkleistung zu Scheinleistung wird als Leistungsfaktor bezeichnet
P
λ=
= cos ϕ
(6.4.17)
S
→ Der Leistungsfaktor gibt an, welcher Anteil der Scheinleistung in Wirkleistung
(z.B. Wärme, mechanische Arbeit) umgesetzt wird.
Blindfaktor:
Analog zum Leistungsfaktor definieren wir das Verhältnis von Blindleistung zu
Scheinleistung als Blindfaktor
β=
Bemerkung:
Q
= sin ϕ
S
(6.4.18)
Aufgrund der trigonometrischen Beziehung
sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1 =
erhalten wir aus Gln. 6.4.17 und Gln. 6.4.18
p
S = P 2 + Q2
Q2
P2
+ 2
2
S
S
(6.4.19)
(6.4.20)
6.4.3. Komplexe Leistungsberechnung
Zeiger:
Aufgrund einer komplexen Spannung
U = U ejϕU
fließt der komplexe Strom
I = IejϕI
GdE1-114
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1. Februar 2017
6. Wechselstromelemente
6.4
Allgemeiner Wechselstromzweipol
durch die Impedanz
Z = Zeϕ
und erzeugt dort die komplexe Leistung
S
U 2
I
I
=
ZI 2 =
=
U ejϕU 2
I = U ejϕU · Ie−jϕI
IejϕI
(6.4.21)
Mit dem konjugiert komplexen Strom I ∗ erhalten wir das Ergebnis
S = U I∗
Vorher:
(6.4.22)
Diese Darstellung entspricht der Leistungsdefinition für Gleichstrom mit
P = RI 2
Warum ist die Scheinleistung dann nicht einfach
= U ·I
S
= U ejϕU · IejϕI = U · Iej(ϕU +ϕI )
Dieses ist aber ersichtlich falsch, da bei einem Widerstand Spannung und Strom in
Phase sind, aber außer im Trivialfall ϕU + ϕI 6= 0 ist.
Alternativ:
Eine andere Darstellung entsprechend P = U 2 /R erhält man mit
S
2
= I ·Z =
U
Z
2
·Z
ZejϕZ
1
= U 2 · · ejϕZ
2
Z
Z
2
U
∗
= U2 · Y = ∗
Z
= U2 ·
Komponenten:
(6.4.23)
Mit den Ergebnissen der Berechnung zur Zeitdarstellung ergibt sich die komplexe
Leistung aus der Wirkleistung
P = Re{S}
und der Blindleistung
Q = Im{S}
zu
S = P + jQ
Beispiel 6.4.1
(RL-Reihe)
(6.4.24)
Eine unbekannte Spule L wird in Reihe mit dem Wirkwiderstand R = 80Ω an die
sinusförmige Wechselspannung 110V und 50Hz gelegt. Der Strommesser zeigt 0,7A
an. Berechnen Sie folgende Größen:
1. Scheinwiderstand und induktiver Widerstand
2. Induktivität der Spule und Phasenwinkel
3. Wirkspannung und Blindspannung
4. Scheinleistung, Wirkleistung und Blindleistung
1. Februar 2017
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GdE1-115
6.5
Zusammenfassung
6. Wechselstromelemente
5. Leistungsfaktor und
6. Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm
Lösung:
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
1.
Z=
und
XL =
p
U
= 157,1Ω
I
Z 2 − R2 = 135,2Ω
2.
L=
XL
= 0,43H
2πf
und
ϕ = 59,4◦
3.
UZ = Z · I
=
(56,0V + j94,7V )
4.
S = U I ∗ = (77,0V A6 59,4◦ )
=
(39,2W + j66,3V ar)
6.5. Zusammenfassung
Bauelemente:
Elektrotechnisch bedeutende Wechselstrombauelemente sind:
• Widerstand mit dem Widerstand R und dem komplexen Bauelement
ZR = R
und der komplexen Bauelementegleichung
U R = ZR · IR
• Kondensator mit der Kapazität C und dem Leitwert bzw. dem Widerstand
XC = −
1
1
=−
BC
ωC
und dem komplexen Bauelement
Z C = jXC
und der komplexen Bauelementegleichung
U C = ZC · IC
GdE1-116
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1. Februar 2017
6. Wechselstromelemente
6.6
Übungsaufgaben
• Spule mit der Induktivität L und dem Leitwert bzw. dem Widerstand
XL = −
1
= ωL
BL
und dem komplexen Bauelement
Z L = jXL
und der komplexen Bauelementegleichung
U L = ZL · IL
Schaltungen:
Elektrotechnisch bedeutende Zusammenschaltungen von Bauelementen sind:
• Reihenschaltung von 2 Bauelementen
Z 12 = Z 1 + Z 2
• Parallelschaltung von 2 Bauelementen
Y 12 = Y 1 + Y 2
• Umwandlung zwischen Impedanz und Admittanz
Z=
Leistungen:
1
Y
Die komplexe Scheinleistung von Bauelementen ist
S = P + jQ = U · I ∗ = I 2 · Z =
U2
Z∗
mit der (Verlust-) Wirkleistung P und der (schwingenden) Blindleistung Q.
6.6. Übungsaufgaben
Aufgabe 6.6.1
(Spule)
-> Seite 160
Eine Spule mit der Induktivität L = 0,1H wird an eine Wechselspannungsquelle mit
der Spannung U = 230V und der Frequenz f = 50Hz angeschlossen.
1. Wie groß ist der induktive Widerstand der Spule?
2. Welchen Strom nimmt die Spule auf? (Der ohmsche Widerstand der Spule sei
vernachlässigbar klein.)
3. Welcher Phasenverschiebungswinkel besteht zwischen Spannung und Strom?
Aufgabe 6.6.2
(Kondensator)
-> Seite 160
Ein Kondensator mit der Kapazität C = 10nF wird an eine Wechselspannungsquelle
mit der Spannung U = 50V und der Frequenz f = 800Hz angeschlossen.
1. Wie groß ist der kapazitive Widerstand des Kondensators?
2. Welchen Strom nimmt der Kondensator auf?
3. Welcher Phasenverschiebungswinkel besteht zwischen Spannung und Strom?
1. Februar 2017
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GdE1-117
6.6
Übungsaufgaben
Aufgabe 6.6.3
(RL-Reihe)
-> Seite 160
6. Wechselstromelemente
Die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes R = 50Ω und einer Spule mit der
Induktivität L = 0,2H liegt an einer Wechselspannung von U = 230V , f = 50Hz.
1. Wie groß ist der Scheinwiderstand Z der Reihenschaltung?
2. Welcher Strom I fließt durch die Reihenschaltung?
3. Welche Teilspannung liegt am Widerstand R?
4. Welche Teilspannung liegt an der Spule?
5. Welchen Wert müsste ein ohmscher Vorschaltwiderstand Rv haben, wenn der
Strom auf I 0 = 2A herabgesetzt werden soll?
Aufgabe 6.6.4
(RL-Reihe)
-> Seite 161
Die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes R und einer Spule mit der Induktivität L soll sowohl an einer Gleichspannungsquelle mit U0 = 100V als auch an einer
Wechselspannungsquelle mit U1 = 230V , f = 50Hz vom Strom I = 1A durchflossen werden.
Welche Werte sind für R und L vorzusehen?
Aufgabe 6.6.5
(RC-Reihe)
-> Seite 161
Die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes R = 20Ω und eines Kondensators
mit der Kapazität C = 8µF liegt an einer Wechselspannung von U = 10V , f =
1kHz.
1. Wie groß ist der Scheinwiderstand Z der Reihenschaltung?
2. Welcher Strom I fließt durch die Schaltung?
3. Welche Teilspannung liegt am Widerstand R?
4. Welche Teilspannung liegt am Kondensator C?
Aufgabe 6.6.6
(RC-Reihe)
-> Seite 162
Eine Glühlampe nimmt bei der Spannung U = 230V die Leistung P = 60W auf.
Die Glühlampe soll über einen Kondensator an eine Wechselspannungsquelle mit der
Spannung U 0 = 400V , f = 50Hz, angeschlossen werden.
1. Wie groß muss die Kapazität des Kondensators sein, damit die Glühlampe an
U = 230V liegt?
2. Welchen Wert müsste die Induktivität einer Spule haben, die statt des Kondensators verwendet würde?
3. Stellen Sie beide Lösungen für die Spannung graphisch dar!
Aufgabe 6.6.7
(RL-Parallel)
-> Seite 162
Die Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes R = 40Ω und einer Spule mit
der Induktivität L = 0,1H wird an eine Wechselspannungsquelle mit der Spannung
U = 100V , f = 50Hz, angeschlossen.
1. Wie groß ist der Scheinleitwert Y der Parallelschaltung?
2. Wie groß ist der Scheinwiderstand Z der Parallelschaltung?
3. Welchen Strom I liefert die Spannungsquelle?
GdE1-118
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
6. Wechselstromelemente
6.6
Übungsaufgaben
4. Von der gegebenen Parallelschaltung sind die Größen Rr und Lr der elektrisch
gleichwertigen Reihenersatzschaltung zu bestimmen.
Aufgabe 6.6.8
(Spule)
-> Seite 163
Eine Spule nimmt bei der anliegenden Spannung U = 230V , f = 50Hz den Strom
I = 3A auf. Der zwischen Spannung und Strom bestehende Phasenverschiebungswinkel beträgt ϕ = 60◦ .
1. Wie groß sind die Induktivität L und der ohmsche Widerstand R der Spule in der
Reihenersatzschaltung?
2. Es sind die Größen Rp und Lp der elektrisch gleichwertigen Parallelersatzschaltung zu bestimmen.
Aufgabe 6.6.9
(Kondensator)
-> Seite 163
Das Ersatzschaltbild eines verlustbehafteten Kondensators ist für die Frequenz f =
50Hz durch die Parallelschaltung eines Kondensators mit der Kapazität C = 1µF
und eines Wirkwiderstandes (Verlustwiderstandes) R = 1M Ω gegeben.
1. Wie groß sind der Verlustfaktor tan δ und der Verlustwinkel δ des Kondensators?
2. Von dem Kondensator sind die Größen Cr und Rr der elektrisch gleichwertigen
Reihenersatzschaltung zu bestimmen.
Aufgabe 6.6.10
(Kondensator)
-> Seite 163
Von einem verlustbehafteten Kondensator werden bei einer Wechselspannung der Frequenz f = 50Hz durch Messungen folgende Größen bestimmt: C = 10µF (= Kapazität der Parallelersatzschaltung), tan δ = 2 · 10−2 .
1. Wie groß ist der Verlustwiderstand R in der Paral1ersatzschaltung?
2. Von dem Kondensator sind für die angegebene Frequenz die Größen Cr und Rr
der elektrisch gleichwertigen Reihenersatzschaltung zu bestimmen.
3. Welcher Phasenverschiebungswinkel besteht zwischen Spannung und Strom?
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-119
7. Wechselstromnetzwerke
7.1. Reale Bauelemente
Bauelemente:
Reale, konzentrierte Bauelemente verhalten sich wie Kombinationen mehrerer idealer
Bauelemente.
Widerstand:
Widerstände sind aufgrund des Stromflusses von einem magnetischen Feld umgeben
und zwischen ihren Drahtenden breitet sich ein elektrisches Feld aus.
Nichtidealitäten sind:
L
R
• Wicklungsinduktivität
C
• Wicklungskapazität
Abbildung 7.1.1.: Hochfrequenz-Ersatzschaltbild eines realen Widerstandes
• Berücksichtigung einer Reiheninduktivität und einer Parallelkapazität, wie in
Abb. 7.1.2 zu sehen ist, bei den üblichen gewickelten Drahtwiderständen. Die
Resonanzfrequenz liegt im M Hz-Bereich.
• Bis 100kHz ist die RL-Reihenschaltung ausreichend.
• Weiterhin vernachlässigt ist der Skin-Effekt (Hauteffekt) , mit einer Stromverdrängung nach Außen (Zunahme des wirksammen Widerstandes, da die stromdurchflossene Fläche kleiner wird) .
Spule:
Spulen ohne magnetischem Kern können bei niedrigen Frequenzen durch eine einfache RL-Reihenschaltung (siehe Abb. 7.1.2) ersetzt werden.
Im{ Z }
RFe
ZSp
XL
RCu
L
ϕ
C
δ
Re{ Z }
RCu
Abbildung 7.1.2.: Hochfrequenz-Ersatzschaltbild einer realen Spule
→ Nichtidealitäten sind: Kupferwiderstand, Eisenverlustwiderstand und Wicklungskapazität
Verlustfaktor:
Aufgrund des Kupferwiderstandes tritt ein Verlustwinkel auf
tan δ =
GdE1-120
RCu
RCu
1
=
=
XL
ωL
Q
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(7.1.1)
1. Februar 2017
7. Wechselstromnetzwerke
7.1
Reale Bauelemente
→ Der Kehrwert wird auch als Güte bezeichnet.
Kondensator:
Kondensatoren können bei hohen Frequenzen meistens als ideal betrachtet werden, da
der frequenzabhängige Verlustwiderstand (siehe Abb. 7.1.3) i.d.R. mindestens 100mal größer ist als der kapazitive Widerstand.
Im{ Y }
GIso
L
YKon
BC
C
ϕ
δ
Re{ Y }
GIso
Abbildung 7.1.3.: Hochfrequenz-Ersatzschaltbild eines realen Kondensators
→ Nichtidealitäten sind: Isolationswiderstand des Dielektrikums und Zuleitungs- und
Platteninduktivität
Verlustfaktor:
Aufgrund des Isolationswiderstandes tritt ein Verlustwinkel auf
tan δ =
Netzwerke:
GIso
GIso
1
=
=
BC
ωC
Q
(7.1.2)
In technischen Geräten sind die elementaren Zweipole Wirkwiderstand, Kondensator
und Spule als Kombination vorhanden.
→ Berechnung von Wechselstromnetzwerken.
I
R
L
U
U
Im
Im
U
U
R
L
U
Z
Z
L
ϕ
I
R
Re
U
L
Z
ϕ
I
R
Re
Abbildung 7.1.4.: Zählpfeile im Schaltbild und Bezugszeiger im Zeigerdiagramm
Regeln:
Anhand der einfachen RL-Reihenschaltung in Abb. 7.1.4 lassen sich folgende Regeln
aufstellen:
1. Im Schaltbild: Zählpfeile eintragen.
2. Ohmsches Gesetz und Kirchhoffsche Regeln sind gültig.
3. Bezugszeiger: Ein Zeiger der mehreren Bauteilen gemeinsam ist (Reihenschaltung: Strom; Parallelschaltung: Spannung).
4. Im Zeigerdiagramm: Rechenregeln der komplexen Rechnung.
Vorgehen:
1. Februar 2017
Zuerst werden komplexe Bauelemente eingeführt, die dann als Parallel- und / oder
Reihenschaltungen zusammengefasst werden (siehe Abb. 7.1.5) .
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GdE1-121
7.2
Impedanz
7. Wechselstromnetzwerke
R
u
L
1.
C
R
L
3.
ZP
ZR
u
ZL
2.
ZC
ZR
ZL
Abbildung 7.1.5.: Netzwerkberechnung mit komplexen Bauelementen
7.2. Impedanz
Impedanz:
Der allgemeine komplexe Widerstand (Impedanz) enthält reale (Resistanz) und imaginäre (Reaktanz) Anteile von Wirkwiderstand, Spule und Kondensator.
Im
U
I
XL
L
R
C
R
ϕ
R
U
U
L
Re
XB
Z
XC
U
I
C
Abbildung 7.2.1.: Widerstand, Spule und Kondensator in Reihe: Schaltbild und Zeigerdiagramm für
Widerstände
Zeiger:
Wir erhalten damit für eine Reihenschaltung der 3 idealen Zweipole nach Abb. 7.2.1
Z
=
ZR + ZL + ZC
=
R + jXL + jXC
1
R + j ωL −
ωC
|
{z
}
(7.2.1)
p
R2 + (ωL − 1/ωC)2
(7.2.2)
Im{Z}
ωL − 1/ωC
= arctan
Re{Z}
R
(7.2.3)
=
XB
Betrag:
Z = |Z| =
Phasenwinkel:
ϕ = arctan
GdE1-122
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1. Februar 2017
7. Wechselstromnetzwerke
7.2
Impedanz
Reeller Widerstand:
R = Re{Z} = Z cos ϕ
(7.2.4)
XB = Im{Z} = Z sin ϕ
(7.2.5)
Imaginärer Blindwiderstand:
Bemerkung:
Da die beiden Blindwiderstände XL und XC verschiedene Vorzeichen haben, unterscheidet man:
XB < 0: Kapazitive Impedanz → negativer Phasenwinkel
XB = 0: Resonanz: Nur Wirkwiderstand → Phasenwinkel ist Null
→ Anwendung: Schwingkreise, Bandfilter und -sperren
XB > 0: Induktive Impedanz → positiver Phasenwinkel
Schaltbild:
Durch die RLC-Reihenschaltung fließt derselbe Strom:
→ Als Bezugszeiger wird der Strom I gewählt.
Teilspannungen:
Nach dem Maschensatz und dem Ohmschen Gesetz gilt
U
Impedanz:
=
U R + U L + U C = I · ZR + I · ZL + I · ZC
=
I(R + jωL − j/ωC)
Division durch den Strom I ergibt identisch
Z=
Leistungen:
U
1
= R + j ωL −
= Z6 ϕ
I
ωC
S
P
=
U · I ∗ = ZI · I ∗ = ZI 2
=
U (U /Z)∗ = (U · U ∗ )/Z ∗ = U 2 /Z ∗
= U ·I
=
Q =
(7.2.8)
(7.2.9)
2
Re{S} = UR I = I R = UR2 /R
Im{S} = UB I = I 2 XB = UB2 /XB
(7.2.10)
(7.2.11)
Es ergeben sich ähnliche Dreiecke für die Spannungen wegen
S2
(U I)2
U2
Widerstände:
(7.2.7)
Beachten: Rechenregeln für komplexe Zahlen! Bezugszeiger Strom, konjugiert komplexer Strom I ∗ .
S
Spannungen:
(7.2.6)
= P 2 + Q2
=
(UR I)2 + (UB I)2
= UR2 + UB2
(7.2.12)
Es ergeben sich ähnliche Dreiecke für die Widerstände wegen
S2
=
P 2 + Q2
(I 2 Z)2
=
(I 2 R)2 + (I 2 XB )2
Z2
=
2
R2 + XB
(7.2.13)
→ Die gezeichneten Zeigerdiagramme in Abb. 7.2.2 unterscheiden sich nur durch den
Maßstabsfaktor!
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-123
7.3
Admittanz
7. Wechselstromnetzwerke
Im{}
Im{}
Q
S
Im{}
UB
U
Re{}
XB
Z
Re{}
P
Re{}
UR
R
Abbildung 7.2.2.: Ähnliche Dreiecke für Leistungen, Spannungen und Impedanzen
U
Z1
R3
Im
I
Z2
Z2
Z3
R2
Z1
U1
U2
X
U3
Z3
R1
X
2
Z
1
X
3
Re
I
Abbildung 7.2.3.: Addition von beliebigen Impedanzen bei einer Reihenschaltung: (a) Schaltbild, (b) Zeigerdiagramm für Widerstände
7.2.1. Reihenschaltungen
Impedanzen:
Gegeben seien n Impedanzen Z i = Ri + jXi , i = 1,n in Reihenschaltung nach
Abb. 7.2.3 .
Addition:
Mit den Rechenregeln der komplexen Zahlen folgt direkt
Z
= Z1 + Z2 + . . . + Zn
= R1 + R2 + . . . + Rn + j(X1 + X2 + . . . + Xn )
n
n
X
X
=
Ri + j
Xi
i=1
(7.2.14)
i=1
mit Xi = XLi = ωLi oder Xi = XCi = −1/ωCi
7.3. Admittanz
Admittanz:
Der allgemeine komplexe Leitwert (Admittanz) enthält ebenfalls reele (Konduktanz)
und imaginäre (Suszeptanz) Anteile.
Zeiger:
Wir erhalten damit für eine Parallelschaltung der 3 idealen Zweipole nach Abb. 7.3.1
Y
= YG+YC +YL
= G + jBC + jBL )
1
= G + j ωC −
ωL
|
{z
}
(7.3.1)
BB
Betrag:
Y = |Y | =
GdE1-124
p
G2 + (ωC − 1/ωL)2
[email protected]ünster.de
(7.3.2)
1. Februar 2017
7. Wechselstromnetzwerke
7.3
Admittanz
Im
I
I
G
I
I
C
L
BC
Y
U
G
ϕ
L
C
BL
BL
U
G
Re
Abbildung 7.3.1.: Leitwert, Spule und Kondensator parallel: (a) Schaltbild, (b) Zeigerdiagramm für Leitwerte
Phasenwinkel:
ϕ = arctan
Im{Y }
ωC − 1/ωL
= arctan
Re{Y }
G
(7.3.3)
Reeller Leitwert:
G = Re{Y } = Y cos ϕ
(7.3.4)
BB = Im{Y } = Y sin ϕ
(7.3.5)
Imaginärer Blindleitwert:
Bemerkung:
Da die beiden Blindleitwerte BL und BC verschiedene Vorzeichen haben, unterscheidet man:
BB > 0: Kapazitive Admittanz → positiver Phasenwinkel
BB = 0: Resonanz: Nur Wirkleitwert → Phasenwinkel ist Null
BB < 0: Induktive Admittanz → negativer Phasenwinkel
Schaltbild:
An der RLC-Parallelschaltung liegt dieselbe Spannung:
→ Als Bezugszeiger wird die Spannung U gewählt.
Teilströme:
Nach der Kirchhoffschen Knotenregel und dem Ohmschen Gesetz gilt:
I
= IG + IC + IL
= U ·YG+U ·YC +U ·YL
= U (G + jωC − j/ωL)
Admittanz:
Division durch die Spannung U ergibt identisch
I
1
Y =
= G + j ωC −
=Y6 ϕ
U
ωL
Leistungen:
1. Februar 2017
(7.3.6)
(7.3.7)
Beachten: Rechenregeln für komplexe Zahlen! Bezugszeiger Spannung.
S
= I ∗ · U = U 2 Y ∗ = I 2 /Y
S
= U ·I
P
2
= Re{S} = IG U = U 2 G = IG
/G
(7.3.10)
2
Q = Im{S} = IB U = U 2 BB = IB
/BB
(7.3.11)
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(7.3.8)
(7.3.9)
GdE1-125
7.3
Admittanz
7. Wechselstromnetzwerke
Ströme:
Es ergeben sich ähnliche Dreiecke für die Teilströme wegen
S2
=
P 2 + Q2
(U I)2
=
(U IG )2 + (U IB )2
2
=
2
2
IR
+ IB
I
Leitwerte:
(7.3.12)
Es ergeben sich ähnliche Dreiecke für die Leitwerte wegen
S2
(U 2 Y )2
Y2
= P 2 + Q2
=
(U 2 G)2 + (U 2 BB )2
2
= G2 + BB
(7.3.13)
7.3.1. Parallelschaltungen
Gegeben seien n Admittanzen Y i = Gi + jBi , i = 1,n in Parallelschaltung nach
Abb. 7.3.2 .
Scheinleitwerte:
I
I
I
1
I
2
G
Im
3
Y
U
Y
1
Y
2
Y
Y
3
Y
2
3
3
B
Y
3
1
U
Re
Abbildung 7.3.2.: Addition von beliebigen Scheinleitwerten bei einer Parallelschaltung: (a) Schaltbild, (b)
Zeigerdiagramm für Leitwerte
Addition:
Mit den Rechenregeln der komplexen Zahlen folgt
Y
= Y 1 + Y 2 + ... + Y n
= G1 + G2 + . . . + Gn + j(B1 + B2 + . . . + Bn )
n
n
X
X
=
Gi + j
Bi
i=1
(7.3.14)
i=1
mit Bi = BCi = ωCi oder Bi = BLi = −1/ωLi
Beispiel 7.3.1
(Scheinwiderstand)
Gegeben sei die Schaltung mit
den Werten L1 = 0,2H, C2 =
1µF , R2 = 300Ω, R3 =
250Ω und U1 = 15V, 400Hz.
I
1
3
L1
C2
U
2
R3
R2
U2
4
1. Bestimmen Sie die Impedanz Z (komplexer Ersatzwiderstand) zwischen den
Klemmen 1 und 2!
2. Welchen Strom I nimmt die Schaltung auf?
3. Welchen Phasenwinkel hat der Eingangstrom I gegen die Eingangsspannung U ?
GdE1-126
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1. Februar 2017
7. Wechselstromnetzwerke
7.4
Ersatzimpedanz einer Schaltung
4. Wie groß ist die Dämpfung v = U2 /U1 ?
5. Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm der Spannungen!
6. Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm der Ströme!
Lösung:
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
1.
Z 1234
Z 3 + Z 2 + Z 1 = (568,6Ω6 39,1◦ )
=
2.
I=
U
= (26,38mA6 − 39,1◦ )
Z 123
3.
ϕU,I = −39,1◦
4.
v=
U2
= 0,42
U1
7.4. Ersatzimpedanz einer Schaltung
Mit dem Ersatzwiderstand Ri und der Leerlaufspannung UL verhält sich die Ersatzschaltung in Abb. 7.4.1 genauso wie die originale Gleichstromschaltung, z.B. gleicher
Kurzschlussstrom IK .
Gleichstrom:
R2
Uq
R1
R3
UL
IK
UL
Ri
UL IK
Abbildung 7.4.1.: Ersatzwiderstand einer Gleichstrom-Schaltung
Widerstand:
Aus der gemessenen Leerlaufspannung und dem gemessenen Kurzschlussstrom ergibt
sich der Innenwiderstand zu
UL
Ri =
(7.4.1)
IK
→ Alternativ: Berechnung mit Netzwerkanalyse mit dem Verfahren einer Ersatzspannungsquelle!
Wechselstrom:
1. Februar 2017
Mit der Ersatzimpedanz Z i und der Leerlaufspannung U L verhält sich die Ersatzschaltung in Abb. 7.4.2 genauso wie die originale Wechselstromschaltung, z.B. gleicher
Kurzschlussstrom IK mit demselben Phasenwinkel ϕK .
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GdE1-127
7.5
Umwandlung komplexer Widerstände
7. Wechselstromnetzwerke
Z2
Uq
Z1
U
Z3
L
I
U
K
Zi
U
L
L
I
K
Abbildung 7.4.2.: Ersatzimpedanz einer Wechselstrom-Schaltung
Widerstand:
Aus der gemessenen komplexen Leerlaufspannung und dem gemessenen komplexen
Kurzschlussstrom ergibt sich die Innenimpedanz zu
Zi =
UL
IK
(7.4.2)
→ Alternativ: Berechnung mit Netzwerkanalyse mit dem Verfahren einer komplexen
Ersatzspannungsquelle!
Messung:
Die aus den Messwerten berechnete Impedanz lässt sich sowohl als Parallelschaltung oder Reihenschaltung eines Wirk- und eines Blindwiderstandes entsprechend
Abb. 7.4.3 realisieren wenn gilt
ZS = ZP =
Z
U
Rs
1
YP
Xs
(7.4.3)
Gp
U
U
Bp
Reihenschaltung
Parallelschaltung
Abbildung 7.4.3.: Realisierung einer Impedanz als Reihen- oder Parallelschaltung
Bauteile:
Kondensator oder Spule?
• Positiver Phasenwinkel ϕZ > 0: Spule
→ XS = XL und BP = BL
• Negativer Phasenwinkel ϕZ < 0: Kondensator
→ XS = XC und BP = BC
7.5. Umwandlung komplexer Widerstände
Exponentialform:
Die Impedanz der Reihenschaltung
Z S = ZejϕZ
(7.5.1)
und die Admittanz der Parallelschaltung
Y P = Y ejϕY
GdE1-128
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(7.5.2)
1. Februar 2017
7. Wechselstromnetzwerke
7.5
Umwandlung komplexer Widerstände
sind äquivalent für eine feste Frequenz f , d.h. es gilt
Z S = ZejϕZ =
1
1
1
=
= e−jϕY
YP
Y ejϕY
Y
(7.5.3)
wenn für ihre Beträge
Z=
1
Y
(7.5.4)
und ihre Phasenwinkel
ϕZ = −ϕY
(7.5.5)
Z S = RS + jXS
(7.5.6)
gilt.
Komponentenform:
Die Impedanz der Reihenschaltung
und die Admittanz der Parallelschaltung
Y P = GP + jBP
(7.5.7)
sind äquivalent für eine feste Frequenz f , d.h. es gilt
Z S = RS + jXS =
1
1
GP − jBP
=
= 2
YP
GP + jBP
GP + BP2
(7.5.8)
wenn für den Realteil
RS =
GP
G2P + BP2
(7.5.9)
XS =
−BP
G2P + BP2
(7.5.10)
Z S = RS + jXS
(7.5.11)
und den Imaginärteil
gilt.
Komplex:
Aus der Impedanz der Reihenschaltung
mit den Bauelementen RS , CS oder LS in Reihenschaltung erhalten wir direkt die
Admittanz der Parallelschaltung
YP =
1
= GP + jBP
ZS
(7.5.12)
mit den Bauelementen RP = 1/GP , CP oder LP in Parallelschaltung.
Umwandlung:
Schaltungsgleichheit der Stern- und Dreieckschaltung in Abb. 7.5.1 bedeutet, dass die
Impedanzen zwischen je zwei Knoten identisch sind.
ESB:
Bei der komplexen Stern-Dreieck-Umwandlung handelt es sich um eine Ersatzschaltung zur Berechnung des Betriebsverhaltens eines realen Netzwerkes.
→ Die Impedanzen nach der Transformation können negative Realteile haben. Sie
sind dann technisch nicht realisierbar.
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-129
7.6
Leistungsanpassung
7. Wechselstromnetzwerke
1
1
Z 10
Z 13
0
3
Z 12
Z 20
Z 30
Z 23
3
2
2
Abbildung 7.5.1.: Stern-Dreieck-Umwandlung komplexer Widerstände
Äquivalenz:
Formell sich entsprechende Größen können bei der Berechnung von Wechselstromnetzwerken in den Formeln für Gleichstromnetzwerke ersetzt werden.
Gleichstrom
Gleichspannung
Gleichstrom
Gleichstromwiderstand
Gleichstromleitwert
Impedanz:
U
I
Z
Y
Entsprechend der Dreieck-Stern-Transformation wird für ∆ → Y
Z 30 =
Admittanz:
U
I
R
G
Wechselstrom
komplexe Spannung
komplexer Strom
Impedanz
Admittanz
Produkt der Anliegerimpedanzen
Z 13 Z 23
=
Z 12 + Z 23 + Z 13
Maschenumlaufimpedanz
(7.5.13)
Analog zur Stern-Dreieck-Transformation wird für Y → ∆
Y 13 =
Produkt der Anliegeradmittanzen
Y 10 Y 30
=
Y 10 + Y 20 + Y 30
Knotenadmittanz
(7.5.14)
7.6. Leistungsanpassung
Quelle:
Analog zur Leistungsanpassung bei Gleichstromquellen gibt es einen Lastwiderstand
Z a , bei dem die von der Quelle abgegebene Wirkleistung Pa maximal wird.
Zi
I
I
Iq
Za
Uq
Uk
Ersatzspannungsquelle
Za
Yi
Uk
Ersatzstromquelle
Abbildung 7.6.1.: Leistungsanpassung realer Wechselstromquellen
GdE1-130
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
7. Wechselstromnetzwerke
Strom:
7.7
Blindleistungskompensation
Für den Strom entsprechend Abb. 7.6.1 erhalten wir bezogen auf die Quellenspannung
I=
Uq
Uq
=
Zi + Za
(Ri + jXi ) + (Ra + jXa )
(7.6.1)
und für den Betrag entsprechend
I=p
Leistung:
Uq
(Ri + Ra
+ (Xi + Xa )2
(7.6.2)
Die abgegebene Wirkleistung wird damit
Pa = R a I 2 =
Maximum:
)2
Uq2 Ra
(Ri + Ra )2 + (Xi + Xa )2
(7.6.3)
Das Maximum erhalten wir für folgende Bedingungen:
1. Es muss für die Blindwiderstände gelten
Xa = −Xi
(7.6.4)
2. Analog zum Gleichstromfall erhalten wir dann die Wirkleistung zu
Pa =
Uq Ra
(Ri + Ra )2
(7.6.5)
Damit muss aber für die Wirkwiderstände analog gelten
Ra = Ri
Komplex:
Beide Gleichungen lassen sich zur komplexen Anpassbedingung zusammenfassen zu
Z a = Z ∗i
Beispiel 7.6.1
(Anpassung)
(7.6.6)
(7.6.7)
Als ergänzendes Beispiel dient die Anpassung eines realen Außenwiderstandes Z a =
Ra an eine Quelle mit einem reinen Blidwiderstand Z i = jXi .
Welchen Wert muss Ra beim Leistungsmaximum haben, wenn Xi bekannt ist?
Lösung:
Die Lösung wird in der Vorlesung erarbeitet. Ergebnisse für den Vergleich der eigenen
Lösung sind:
Anpassbedingung:
0
1. Februar 2017
= Ra2 + Xi2 − 2Ra2
Ra2
= Xi2
Ra
=
+Xi
[email protected]ünster.de
GdE1-131
7.7
Blindleistungskompensation
7. Wechselstromnetzwerke
IR
IW
U
I
IC
Ck
U
IR I
L
IL
R
I
IC
L
IW
Erzeuger
Verbraucher
Kompensation
Abbildung 7.7.1.: Blindleistungskompensation
7.7. Blindleistungskompensation
Verbraucher:
Insbesondere Motoren verhalten sich nicht als reine Wirkwiderstände, sondern zeigen
induktives Verhalten, wie es in Abb. 7.7.1 als Ersatzschaltung dargestellt ist . Auf der
Zuleitung vom Erzeuger zum Verbraucher fließt ein Strom I, dessen Wirkanteil I W
beim Verbraucher abgerechnet wird.
→ Blindleistungskompensation beim Verbraucher. Ideal cos ϕ = 1 bedeutet Resonanz. Real: cos ϕ ≈ 0,9.
→ Ohmsch-induktive Verbraucher mit Kondensatoren betreiben oder Kondensatorbatterien zentral zuschalten.
Wirkleistung:
Der Wirkstrom I R des Verbrauchers soll als Wirkstrom I W über die Zuleitung fließen
und dem Verbraucher die Nutzleistung
2
P = IR
R = U I cos ϕ
(7.7.1)
zuführen.
Blindleistung:
Der induktive Blindstrom I L des Verbrauchers soll durch den kapazitiven Blindstrom
I C kompensiert werden. Damit pendelt die Blindleistung
QL = IL2 XL = U I sin ϕ
(7.7.2)
nur beim Verbraucher und belastet nicht die Zuleitung.
Kondensator:
Entsprechend der zu kompensierenden Blindleistung
QC =
U2
= −U 2 ωCk = −QL
XC
(7.7.3)
muss der Kondensator die Kapazität
Ck =
QL
ωU 2
(7.7.4)
haben.
GdE1-132
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1. Februar 2017
7. Wechselstromnetzwerke
7.8
Zusammenfassung
7.8. Zusammenfassung
Netzwerke:
Elektrotechnisch bedeutende Verfahren zur Berechnung von Spannungen und Strömen
in Wechselstrom-Netzwerken sind:
• Dieselben, wie bei der Berechnung von Gleichstromnetzen.
• Es werden lediglich kompexe Spannungen, komplexe Ströme und komplexe
Bauelemente (Admitanzen und Impedanzen) verwendet.
7.9. Übungsaufgaben
Aufgabe 7.9.1
(Netzwerk)
-> Seite 164
Die angegebene Schaltung mit U =
100V , f = 50Hz enthält zwei Kondensatoren mit den Kapazitäten C1 = 10µF ,
C2 = 3,18µF und den Widerstand R =
2kΩ.
C1
I
U
I1
I2
C2
R
1. Es sind die Ströme I, I 1 und I 2 zu bestimmen.
2. Welcher Phasenverschiebungswinkel besteht zwischen den Strömen I und I 2 ?
3. Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm der Ströme!
Aufgabe 7.9.2
(Netzwerk)
-> Seite 164
Die angegebene Schaltung mit R =
25Ω, L = 0,159H und C = 127,2µF liegt
an der Spannung U = 24V , f = 50Hz.
I1
I
U
I2
R
C
L
1. Welchen Strom I liefert die Spannungsquelle?
2. Welcher Phasenverschiebungswinkel besteht zwischen den Strömen I 1 und I 2 ?
3. Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm der Ströme!
Aufgabe 7.9.3
(Netzwerk)
-> Seite 164
In der angegebenen Schaltung mit R =
50Ω, L = 100mH und C = 50µF beträgt
der von der Spannungsquelle eingespeiste
Strom I = 2A, f = 50Hz.
Wie groß sind die Teilströme I 1 und I 2 ?
I1
I
U
I2
R
C
L
1. Februar 2017
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GdE1-133
Übungsaufgaben
Aufgabe 7.9.4
(Ersatzschaltung)
-> Seite 165
Aufgabe 7.9.5
(Ersatzschaltung)
-> Seite 165
Aufgabe 7.9.6
(Netzwerk)
-> Seite 165
Aufgabe 7.9.7
(Netzwerk)
-> Seite 165
Aufgabe 7.9.8
(Spule)
-> Seite 165
7. Wechselstromnetzwerke
Die angegebene Schaltung mit R1 =
30Ω, R2 = 200Ω und C = 10µF soll für
die Frequenz f = 50Hz durch eine elektrisch gleichwertige Parallelschaltung, bestehend aus einem Wirkwiderstand Rp und
einem Kondensator mit der Kapazität Cp
ersetzt werden.
Welche Werte sind für Rp und Cp erforderlich?
R1
R2 C
Die angegebene Schaltung mit R =
30Ω, L = 100mH und C = 20µF soll für
die Frequenz f = 50Hz durch eine elektrisch gleichwertige Reihenschaltung, bestehend aus einem Wirkwiderstand Rr und
einer Spule mit der Induktivität Lr , ersetzt
werden.
Welche Werte sind für Rr und Lr erforderlich?
Rp Cp
R
Rr
C
L
Lr
Ein ohmsch-induktiver Spannungsteiler
mit R = 200Ω und L = 10mH liegt
R
U2
U1
an einer Eingangsspannung der Frequenz
L
C
f = 1kHz.
Um wieviel Prozent ändert sich die Ausgangsspannung U2 , wenn der Teiler mit einem
Kondensator der Kapazität C = 500nF belastet wird?
In der angegebenen Schaltung mit R1 =
200Ω, R2 = 50Ω, C = 10µF und L =
0,5H beträgt der Strom I2 = 1A, f =
50Hz.
Es sind die Ströme I 1 , I 3 , I 4 und I sowie die Eingangsspannung U zu bestimmen.
I
I2
I1
I4
I3
R2
U L
C
R1
Zur Bestimmung des ohmschen Widerstandes R und der Induktivität L einer Spule
wird diese mit einem ohmschen Widerstand Rv = 15Ω in Reihe geschaltet und die
Reihenschaltung an eine Spannungsquelle angeschlossen.
Anschließend werden folgende Spannungen gemessen (s. Skizze): U = 70V ,
Uv = 30V und Us = 50V (f = 50Hz).
Wie groß sind R und L?
Rv
U
Uv
R
Spule
7.9
Us
L
GdE1-134
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1. Februar 2017
7. Wechselstromnetzwerke
Aufgabe 7.9.9
(Netzwerk)
-> Seite 166
7.9
Die angegebene Schaltung enthält zwei
Glühlampen, die bei den Spannungen U1 =
U2 = 110V die Leistungen P1 = 60W
und P2 = 100W aufnehmen.
U
Übungsaufgaben
U1
P1
U2
P2
C
1. Was würde passieren, wenn beide Lampen einfach in Reihe an 220V geschaltet
würden?
2. Wie groß müssen die Kapazität C bei f = 50Hz und
3. die Versorgungsspannung U sein, damit U1 = U2 = 110V beträgt?
Aufgabe 7.9.10
(Netzwerk)
-> Seite 166
Die angegebene Schaltung mit R1 =
100Ω und R2 = 120Ω soll für f = 50Hz
so ausgelegt werden, dass I1 = I2 = 1A
und der zwischen I1 und I2 bestehende
Phasenverschiebungswinkel 60◦ beträgt.
U
I1
I2
R1
R2
L
C
1. Welche Werte sind für L, C und U erforderlich?
2. Stellen Sie alle Spannungen und Ströme in einem maßstäblichen Zeigerdiagramm dar!
Aufgabe 7.9.11
(Schalter)
-> Seite 166
In der angegebenen Schaltung mit U =
150V , f = 50Hz, R2 = 100Ω liefert die
Spannungsquelle bei geöffnetem Schalter
den Strom I = 2,5A und bei geschlossenem Schalter den Strom I 0 = 3,5A.
I (I’)
R1
U
R2
C
Wie groß sind der Widerstand R1 und die Kapazität C?
Aufgabe 7.9.12
(Netzwerk)
-> Seite 167
Durch die angegebene Schaltung mit
C1 = C2 = C3 = 10µF soll zwischen
den Punkten A und B eine Spannung U AB
erzeugt werden, die gegenüber der Versorgungsspannung U um 50◦ phasenverschoben ist (f = 50Hz).
C1
U
R
UAB
A
C2
B
C3
Welchen Wert muss der Widerstand R haben?
1. Februar 2017
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GdE1-135
7.9
Übungsaufgaben
Aufgabe 7.9.13
(Netzwerk)
-> Seite 167
7. Wechselstromnetzwerke
Die angegebene Schaltung mit R1 =
10Ω, R2 = 20Ω, R3 = 100Ω, L1 = 0,1H,
L2 = 0,2H und C = 10µF liegt an der
Spannung U = 100V , f = 50Hz.
Welche Spannung U AB liegt zwischen
den Punkten A und B?
R1
C
B
U
L1
UAB R3
A
L2
R2
Aufgabe 7.9.14
(Schalter)
-> Seite 167
Die angegebene Schaltung mit R =
100Ω, L = 0,318H soll für die Frequenz f = 50Hz so ausgelegt werden,
dass der Betrag (Effektivwert) des von
der Spannungsquelle gelieferten Stromes I
sich beim Schließen des Schalters S nicht
verändert (U = konst.).
S
I
C
U
R
L
Welche Kapazität C muss der Kondensator haben?
Aufgabe 7.9.15
(Schalter)
-> Seite 167
In der angegebenen Schaltung mit R =
50Ω, L = 0,1H, f = 50Hz soll die Kapazität C so gewählt werden, dass sich der
Betrag (Effektivwert) des Stromes I beim
Schließen des Schalters nicht verändert (U
= konst.).
S
I
R
L
C
U
1. Bestimmen Sie C als Funktion der Bauelementewerte!
2. Welcher Wert ergibt sich für C bei den gegebenen Werten?
Aufgabe 7.9.16
(Netzwerk)
-> Seite 167
Aufgabe 7.9.17
(Netzwerk)
-> Seite 167
GdE1-136
In der angegebenen Schaltung mit R1 =
80Ω, C = 50µF und R2 = 40Ω bleibt
der Effektivwert der zwischen den Punkten A und B liegenden Spannung beim Anschließen der RL-Reihenschaltung unverändert (f = 50Hz).
Wie groß ist die Induktivität L?
Drei gleiche Glühlampen (U1 = U2 =
U3 = 110V , P1 = P2 = P3 = 40W )
sind entsprechend Skizze geschaltet. Zwischen U1 und U2 sowie zwischen U2 und
U3 soll jeweils ein Phasenverschiebungswinkel von 60◦ bestehen (f = 50Hz).
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R1
C
U
A
R2
U
AB
L
B
U1
P1 U2
P2 U3
P3
U
L
R
C
1. Februar 2017
7. Wechselstromnetzwerke
7.9
Übungsaufgaben
1. Zeichnen Sie ein maßstäbliches Zeigerdiagramm aller Spannungen und Ströme!
2. Welche Werte sind für L, R, C, und U vorzusehen?
Aufgabe 7.9.18
(Ersatzschaltung)
-> Seite 168
Ein ohmsch-induktiver Verbraucher für U = 230V , f = 50Hz, mit dem Leistungsfaktor cos ϕ = 0,75 und der Wirkleistungsaufnahme P = 120W soll durch die Parallelschaltung eines Wirkwiderstandes R und einer Spule mit der Induktivität L nachgebildet werden.
Welche Werte sind für R und L erforderlich?
Aufgabe 7.9.19
(Ersatzschaltung)
-> Seite 168
Ein ohmsch-kapazitiver Verbraucher mit dem Leistungsfaktor cos ϕ = 0,65 nimmt
bei der Spannung U = 110V , f = 50Hz die Wirkleistung P = 200W auf. Der
Verbraucher soll durch eine Reihenschaltung aus einem Wirkwiderstand R und einem
Kondensator mit der Kapazität C nachgebildet werden.
Welche Werte sind für R und C vorzusehen?
Aufgabe 7.9.20
(Leitung)
-> Seite 168
Ein Verbraucher mit dem Leistungsfaktor cos ϕ = 0,75 (induktiv) nimmt bei der Spannung U = 230V den Strom I = 8A auf. Er soll über eine Leitung, deren Wirkwiderstand R = 3Ω und deren Induktivität L = 0,015H beträgt, an eine Spannungsquelle
mit f = 50Hz angeschlossen werden.
Welche Spannung U 0 muss am Leitungsanfang liegen, damit der Verbraucher an U =
230V liegt?
Aufgabe 7.9.21
(Netzwerk)
-> Seite 168
Aufgabe 7.9.22
(Netzwerk)
-> Seite 168
Zwei
parallelgeschaltete
ohmschinduktive Verbraucher für U = 110V mit
den Daten P1 = 200W , cos ϕ1 = 0,5,
P2 = 500W , cos ϕ2 = 0,94 sollen über
eine Spule mit der Induktivität L an
eine Spannungsquelle von U 0 = 230V ,
f = 50Hz, angeschlossen werden.
Wie groß muss L sein, damit U = 110V wird?
L
U’
P1
U
cos ϕ1
P2
cos ϕ
2
Ein ohmsch-induktiver Verbraucher für
U = 230V mit der WirkleistungsaufnahC
P
R
U
U’
me P = 100W und dem Leistungsfaktor
ϕ
cos
cos ϕ = 0,82 ist parallel zu einem Wirkwiderstand R = 500Ω geschaltet.
Die Anordnung soll über einen Kondensator C an eine Spannungsquelle mit U 0 =
400V , f = 50Hz, angeschlossen werden.
Welche Kapazität C ist erforderlich, damit U = 230V wird?
1. Februar 2017
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GdE1-137
7.9
Übungsaufgaben
Aufgabe 7.9.23
(ESQ)
-> Seite 169
Aufgabe 7.9.24
(ESQ)
-> Seite 169
Aufgabe 7.9.25
(ESQ)
-> Seite 169
Aufgabe 7.9.26
(Anpassung)
-> Seite 169
7. Wechselstromnetzwerke
Die angegebene Schaltung mit C1 =
6µF , C2 = 3µF , R1 = 700Ω, R2 =
500Ω, R3 = 200Ω und L = 0,3H liegt
an der Spannung U = 120V , f = 50Hz.
Der Strom I 3 im Widerstand R3 ist mit
Hilfe einer Ersatzspannungsquelle zu berechnen!
Die angegebene Schaltung mit R1 =
R2 = R3 = R4 = R5 = 1kΩ, C =
300nF und L = 400mH liegt an der Spannung U = 120V , f = 800Hz.
Der Strom I 5 im Widerstand R5 ist mit
Hilfe einer Ersatzspannungsquelle zu berechnen!
Die angegebene Schaltung mit R =
250Ω, X1 = −300Ω, X2 = −600Ω,
X3 = −200Ω und X4 = −400Ω liegt an
der Wechselspannung U = 240V .
Der Strom I R im Widerstand R ist mit
Hilfe einer Ersatzspannungsquelle zu berechnen!
C1
R3
L
R1
U
R2
C2
R1
U
R3
C
L
R2
R4
X1
R5
X2
X4
U
X3
R
In der angegebenen Schaltung mit U = 100V , f = 50Hz sind R1 = 120Ω und
L = 0,5H.
1. Wie groß sind R2 und C zu wählen,
damit der Widerstand R2 die maximal mögliche Leistung aufnimmt?
R1
U
2. Welche Leistung wird in diesem Fall
von R2 aufgenommen?
R2
L
C
Aufgabe 7.9.27
In der angegebenen Schaltung mit U = 100V , f = 50Hz sind R1 = 40Ω, R2 = 50Ω
(Leistungsanpassung) und C = 100µF .
-> Seite 169
1. Wie groß sind R3 und L zu wählen,
damit der Widerstand R3 die maxiR1
R3
mal mögliche Leistung aufnimmt?
U
R2
2. Welche Leistung wird in diesem Fall
L
von R3 aufgenommen?
C
GdE1-138
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
7. Wechselstromnetzwerke
7.9
Aufgabe 7.9.28
In der angegebenen Schaltung mit Ri =
(Leistungsanpassung)
50Ω soll der Außenwiderstand Ra = 500Ω
-> Seite 170
mit Hilfe des Kondensators C und der Spule L an den Innenwiderstand Ri der Spannungsquelle angepasst werden (Leistungsanpassung).
Ri
Übungsaufgaben
L
U
C
Ra
Wie groß sind die Induktivität L und die Kapazität C bei der Frequenz f = 1kHz zu
wählen, damit der Außenwiderstand Ra die maximal mögliche Leistung aufnimmt?
Aufgabe 7.9.29
(Anpassung)
-> Seite 170
Ein ohmsch-induktiver Verbraucher für
U = 230V , f = 50Hz nimmt bei dem
Leistungsfaktor cos ϕ = 0,5 die Wirkleistung P = 1kW auf.
U
C
P
cos ϕ
1. Welchen Strom I nimmt der Verbraucher auf?
2. Welche Kapazität C muss ein parallel zum Verbraucher geschalteter Kondensator
haben, damit der Gesamtleistungsfaktor cos ϕ0 = 0,94 (induktiv) wird?
3. Welcher Strom I 0 wird nach dem Zuschalten des unter (2) bestimmten Kondensators insgesamt von der Spannungsquelle geliefert?
Aufgabe 7.9.30
(Anpassung)
-> Seite 170
Ein ohmsch-induktiver Verbraucher mit
der Wirkleistungsaufnahme P = 400W
und dem Leistungsfaktor cos ϕ = 0,5 ist
parallel zu einer RL-Reihenschaltung (R =
30Ω, L = 35mH) geschaltet. Die Anordnung liegt an der Spannung U = 230V ,
f = 50Hz.
R
I
U
P
cos ϕ
C
L
1. Welcher Strom I wird von der Spannungsquelle geliefert?
2. Wie groß müsste die Kapazität eines parallel zur Spannungsquelle geschalteten
Kondensators sein, damit der Gesamtleistungsfaktor cos ϕ0 = 0,97 (induktiv)
wird?
Aufgabe 7.9.31
(Anpassung)
-> Seite 170
1. Februar 2017
Der Leistungsfaktor eines ohmsch-induktiven Verbrauchers wird durch das Zuschalten
eines Kondensators von cos ϕ = 0,7 auf cos ϕ0 = 0,9 erhöht.
Um wieviel Prozent sinkt hierdurch die in den Netzzuleitungen auftretende Verlustleistung?
[email protected]ünster.de
GdE1-139
Literatur
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GdE1-140
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
Literatur
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für Informatiker gut. – ISBN 3-519-00360-0
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[Vömel und Zastrow 2001] VÖMEL, Martin ; Z ASTROW, Dieter: Aufgabensammlung Elektrotechnik 1 & 2.
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[Weißgerber 2007b] W EISSGERBER, Wilfried: Elektrotechnik für Ingenieure 1 – 3. Wiesbaden : Vieweg
Verlag, 2007. – Bewertung: Sehr Gut für Praktiker. – ISBN 978-3-8348-0058-9, -0191-3 und 3-528-34918-5
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Bewertung: Eine braucht man auf jeden Fall. – ISBN 3-519-20012-0
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-141
Index
A
Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Admittanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Amperemeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Analog-Digital-Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Anliegerleitwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Anliegerwiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Arbeitsgerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Augenblicksleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Ausgangsleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Außenwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
B
Basiseinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Baum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Betrag der Wechselgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Betriebskennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Beweglichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Bezugsachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Bezugspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Blindfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Blindleistung
induktive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
kapazitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Blindleistungskompensation . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Blindleitwert
induktiver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
kapazitiver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Blindwiderstand
induktiver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
kapazitiver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Brückenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
C
E
E-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Effektivwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86, 90
Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Elektronenstrahloszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Elektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Elementarladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Energietechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Ersatzimpedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Ersatzquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Ersatzschaltbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Ersatzwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
F
Farbcode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Flächenwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Formfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87, 90
Fotowiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Fouriertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
G
Coulombsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
D
Dehnungsmessstreifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Dioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
GdE1-142
Drehspulinstrument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Drehwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Drehzeiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Dreieck-Stern-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . 58
komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Dreiecksleitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Dreieckspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Duale Schaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Gleichanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Gleichrichterschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Gleichrichtwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85, 90
Gleichspannungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 50
Gleichwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
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1. Februar 2017
INDEX
INDEX
Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Güte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
H
Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Hall-Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Heißleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Hochfrequenz-Ersatzschaltbild . . . . . . . . . . . . . . 120
Hochspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I
I-U-Kennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Ideale Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Impedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Innenwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 55
Isolationswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
K
Kaltleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Kirchhoffsche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Kirchhoffsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Kleinspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Klemmenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Knotenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Knotengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Knotenleitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Knotenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Kompensationsschreiber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Komplexe Rechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Komplexe Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Kondensatorbatterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Kopplungswiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Kreisfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Kurzschlussstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 55
L
Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Ladungsträger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Lautstärkeregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Leerlaufspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 55
Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Leistungsanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Leistungsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41, 114
Leistungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Leitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1. Februar 2017
Leitungswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Leitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Linienintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
LTspice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
M
Masche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Maschenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Maschengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Maschenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Maschenstrom-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Maschenströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 16, 38, 41
MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Messbereich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
Messfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Messwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
MHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Mikroprozessoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Modifizierte Knotenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Momentaufnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
N
Nachrichtentechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Nebendiagonalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Nebenwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Netztopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Newtonmeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Nichtidealitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 f.
Nichtlineare Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Niederspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
NTC-Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Nullphasenwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84, 90
Nullspannungsabgleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
O
octave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Ohmsches Gesetzt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
P
Parallelschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Periodendauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Phasenwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
[email protected]ünster.de
GdE1-143
INDEX
INDEX
Physikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Potentiometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
PTC-Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
pulsierende Gleichspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Q
Quellenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
R
T-Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Temperaturbeiwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Temperaturkoeefizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
U
Umlaufwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Reaktanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Reale Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Reale Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Rechteckspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
RLC-Parallelschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
RLC-Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Rundfunktechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
S
Scheinleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Scheitelfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87, 90
Scheitelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Scheitelwertzeiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Schiebewiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Schutzmaßnahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Shunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
SI Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Sicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Siemens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Sinusschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Spannungsmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Spannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Stern-Dreieck-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . 58
komplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Sternknotenleitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Sternwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Stromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
realer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Strommesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Stromquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Stromteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Suszeptanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
GdE1-144
T
V
Var . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Verbindungszweig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Verbraucher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Verlustfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Verlustwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Verlustwirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Vollausschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Volt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Voltmeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Vorwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
W
Watt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Wattsekunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Wechselgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Wechselstromzweipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Wheatstone Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 f.
spezifischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Widerstandsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Wirkleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Z
Zahlenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Zeigerdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Zeitdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Zweig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Zweigströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Ü
Überlagerungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Überstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
Formeln
Gleichstromelemente
Ohm’sches Gesetz:
Vorlesung: Gln. 2.2.1, Seite 16
U = RI
Draht-Widerstand:
(7.9.1)
Vorlesung: Gln. 2.2.6, Seite 18
%l
l
=
A
κA
R=
(7.9.2)
Temperaturabhängigkeit Draht-Widerstand: Vorlesung: Gln. 2.2.7, Seite 18
R = R20 (1 + α20 ∆T + β20 (∆T )2 )
(7.9.3)
Kirchhoff’sche Knotenregel: Vorlesung: Gln. 2.3.2, Seite 22
n
X
Ik = 0
(7.9.4)
k=1
Parallele Leitwerte:
Vorlesung: Gln. 2.3.8, Seite 23
GG =
n
X
Gk
(7.9.5)
k=1
Stromteiler:
Vorlesung: Gln. 2.3.13, Seite 24
I2 =
G2
I
G1 + G2
(7.9.6)
Kirchhoff’sche Maschenregel: Vorlesung: Gln. 2.3.16, Seite 25
n
X
Uk = 0
(7.9.7)
k=1
Reihenschaltung Widerstände: Vorlesung: Gln. 2.3.21, Seite 25
RG =
n
X
Rk
(7.9.8)
k=1
Spannungsteiler:
Vorlesung: Gln. 2.3.26, Seite 26
U2 =
1. Februar 2017
R2
U
R1 + R2
[email protected]ünster.de
(7.9.9)
GdE1-145
INDEX
INDEX
Abgleichbedingung Brückenschaltung: Vorlesung: Gln. 2.4.15, Seite 34
R1
R3
=
R2
R4
(7.9.10)
W =U ·Q=U ·I ·t
(7.9.11)
Elektrische Energie: Vorlesung: Gln. 2.5.1, Seite 36
Elektrische Leistung: Vorlesung: Gln. 2.5.6, Seite 36
W
U2
= U · I = I 2R =
t
R
(7.9.12)
verwendbare Energie
WN
PN
=
=
angebotene Energie
Wges
Pges
(7.9.13)
P =
Wirkungsgrad:
Vorlesung: Gln. 2.5.7, Seite 37
η=
Gleichstromnetzwerke
Dreieck-Stern:
Vorlesung: Gln. 3.3.20, Seite 58
Sternwiderstand =
Stern-Dreieck:
Produkt der Anliegerwiderstände
Umlaufwiderstand
(7.9.14)
Produkt der Anliegerleitwerte
Sternknotenleitwert
(7.9.15)
Vorlesung: Gln. 3.3.22, Seite 58
Dreiecksleitwert =
Wechselströme
Gleichwert:
Vorlesung: Gln. 4.2.3, Seite 81
1
ī =
T
tZ
0 +T
i(t) dt = 0
(7.9.16)
t0
Kreisfrequenz:
Vorlesung: Gln. 4.3.1, Seite 83
ω = 2πf = 2π
Gleichrichtwert:
1
T
(7.9.17)
Vorlesung: Gln. 4.3.11, Seite 84
1
|i| =
T
tZ
0 +T
|i(t)| dt
(7.9.18)
t0
Effektivwert:
Vorlesung: Gln. 4.3.18, Seite 86
I = ief f
v
u tZ0 +T
u
u1
=t
i2 dt
T
(7.9.19)
t0
GdE1-146
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
INDEX
Scheitelfaktor:
INDEX
Vorlesung: Gln. 4.3.26, Seite 87
Scheitelwert
î
=
Ef f ektivwert
I
(7.9.20)
I
Ef f ektivwert
=
=I
Gleichrichtwert
|i|
(7.9.21)
kS =
Formfaktor:
Vorlesung: Gln. 4.3.28, Seite 87
kF =
Mathematik
Additionstheorem:
Vorlesung: Gln. 4.5.3, Seite 93
sin(ωt + ϕ) = sin(ωt) cos ϕ + cos(ωt) sin ϕ
Kosinussatz:
Vorlesung: Gln. 4.6.2, Seite 94
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
Vektor:
=
r cos ϕ + rj sin ϕ
=
r(cos ϕ + j sin ϕ)
(7.9.24)
Vorlesung: Gln. 5.3.1, Seite 100
u = ûej(ωt+ϕu ) = ûejωt ejϕu
Scheitelwertzeiger:
(7.9.23)
Vorlesung: Gln. 5.1.7, Seite 98
r = a + jb
Drehzeiger:
(7.9.22)
(7.9.25)
Vorlesung: Gln. 5.3.4, Seite 101
û = ûejϕu
(7.9.26)
Wechselstromelemente
Impedanz:
Vorlesung: Gln. 6.0.1, Seite 102
Z=
U
U ejϕU
U
=
= ej(ϕU −ϕI ) = Zejϕ
I
IejϕI
I
(7.9.27)
Komplexer Widerstand: Vorlesung: Gln. 6.1.2, Seite 103
U R = RI R
Mittlere Leistung:
Vorlesung: Gln. 6.1.5, Seite 104
P̄ =
Kapazitiven Strom:
W
U2
= UI =
= I 2R
T
R
(7.9.29)
Vorlesung: Gln. 6.2.4, Seite 105
IC = C
1. Februar 2017
(7.9.28)
dU C
d
= C UC ejωt = jωCU C
dt
dt
[email protected]ünster.de
(7.9.30)
GdE1-147
INDEX
INDEX
Kapazitiven Blindleitwert: Vorlesung: Gln. 6.2.6, Seite 105
Y C = jBC = jωC = (|BC |6 90◦ )
(7.9.31)
Kapazitiven Blindwiderstand: Vorlesung: Gln. 6.2.8, Seite 106
Z C = jXC = −j
1
= (|XC |6 − 90◦ )
ωC
(7.9.32)
Kapazitive Blindleistung: Vorlesung: Gln. 6.2.10, Seite 106
QC = UC IC = UC2 BC = IC2 XC < 0
(7.9.33)
Induktive Spannung: Vorlesung: Gln. 6.3.3, Seite 108
UL = L
dI L
d
= L IL ejωt = jωLI L
dt
dt
(7.9.34)
Induktiver Blindwiderstand: Vorlesung: Gln. 6.3.5, Seite 108
Z L = jXL = jωL = (|XL |6 90◦ )
(7.9.35)
Induktiver Blindleitwert: Vorlesung: Gln. 6.3.7, Seite 108
Y L = jBL = −j
1
= (|BL |6 − 90◦ )
ωL
(7.9.36)
Induktive Blindleistung: Vorlesung: Gln. 6.3.9, Seite 109
QL = UC IC = UC2 BL = IC2 XL > 0
Impedanz:
Vorlesung: Gln. 6.4.1, Seite 111
U
= ZejϕZ
I
(7.9.38)
I
1
1
=
= e−jϕZ = Y ejϕY
jϕ
Z
U
Ze
Z
(7.9.39)
Z=
Admittanz:
Vorlesung: Gln. 6.4.2, Seite 111
Y =
Scheinleistung:
Vorlesung: Gln. 6.4.12, Seite 113
S = U I = I 2Z =
Wirkleistung:
U2
Z
Blindfaktor:
(7.9.41)
Vorlesung: Gln. 6.4.16, Seite 114
Q = S sin ϕ = U I sin ϕ
Leistungsfaktor:
(7.9.40)
Vorlesung: Gln. 6.4.14, Seite 114
P = S cos ϕ = U I cos ϕ
Blindleistung:
(7.9.37)
(7.9.42)
Vorlesung: Gln. 6.4.17, Seite 114
λ=
P
= cos ϕ
S
(7.9.43)
β=
Q
= sin ϕ
S
(7.9.44)
Vorlesung: Gln. 6.4.18, Seite 114
Komplexe Leistung: Vorlesung: Gln. 6.4.22, Seite 115
S = U I∗
GdE1-148
[email protected]ünster.de
(7.9.45)
1. Februar 2017
INDEX
INDEX
Wechselstromnetzwerke
Impedanz:
Vorlesung: Gln. 7.2.7, Seite 123
Z=
Admittanz:
U
= R + j(ωL − 1/ωC) = Z 6 ϕ
I
(7.9.46)
Vorlesung: Gln. 7.3.7, Seite 125
Y =
I
= G + jωC − j/ωL = Y 6 ϕ
U
(7.9.47)
Ersatzscheinwiderstand: Vorlesung: Gln. 7.4.2, Seite 128
UL
IK
(7.9.48)
Z a = Z ∗i
(7.9.49)
Zi =
Komplexe Anpassbedingung: Vorlesung: Gln. 7.6.7, Seite 131
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
GdE1-149
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.1. Übungsaufgaben zu Gleichstromelemente
Lösung zur
Aufgabe 2.10.1
(Spannung)
Gesuchte Spannung
Lösung zur
Aufgabe 2.10.2
(Widerstand)
Gesuchte Widerstand des Bleimantel
Lösung zur
Aufgabe 2.10.3
(Widerstand)
Gesuchte Drahtlänge
Lösung zur
Aufgabe 2.10.4
(Temperatur)
Lösung zur
Aufgabe 2.10.5
(Temperatur)
Lösung zur
Aufgabe 2.10.6
(Temperatur)
GdE1-150
U=
R=
l
∆U
16,8V
=
= 240V
p
0,07
(A.1.1)
ρl
21 · 10−8 Ωm · 100m
= 0,921Ω
=
A
22,8 · 10−6 m2
(A.1.2)
= RκA
=
500Ω · 2 · 106 S/m · 0,126 · 10−6 mm2
=
126m
(A.1.3)
Widerstand der Wicklung
R2
=
R1 [1 + α(T2 − T1 )]
=
0,325Ω · [1 + 3,9 · 10−3 K −1 · (95◦C − 20◦C)]
=
0,420Ω
(A.1.4)
Temperatur
T2
R2
1
−1
+ T1
R1
α
55Ω
1
=
−1
+ 20◦C
44Ω
4,2 · 10−3 K −1
= 79,5◦C
=
(A.1.5)
Gesuchter Temperaturkoeffizient
α=
p
0,0084
=
= 1,40 · 10−4 K −1
T2 − T1
60◦C
[email protected]ünster.de
(A.1.6)
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.1
Lösung zur
Aufgabe 2.10.7
(Leistung)
Leistungsverhältnis
Lösung zur
Aufgabe 2.10.8
(Leistung)
Spannungsverhältnis
Lösung zur
Aufgabe 2.10.9
(Leistung)
Leistung
Lösung zur
Aufgabe 2.10.10
(Leistung)
Übungsaufgaben zu Gleichstromelemente
(230V )2
P2
U2
= 1,093
= 22 =
P1
U1
(220V )2
(A.1.7)
U2
1
1
=√
=√
= 0,877
U1
1+p
1 + 0,3
(A.1.8)
P =
W
=
t
8
1800 kW h
5
60 h
= 0,053kW
(A.1.9)
Pab
3,3kW
= 0,83
=
Pzu
3,96kW
(A.1.10)
1. Wirkungsgrad
η=
2. Energiekosten
K = 3,96kW · 5h · 0,15Euro/kW h = 2,97Euro
(A.1.11)
U12 ∆t
(200V )2 · 5min
=
= 23,8min
U22 − U12
(220V )2 − (200V )2
(A.1.12)
Lösung zur
Aufgabe 2.10.11
(Leistung)
Gesuchte Zeit
Lösung zur
Aufgabe 2.10.12
(Widerstand)
Damit ergibt sich
t2 =
I2 =
U
24V
=
= 3A
R234
8Ω
(A.1.13)
Gesamtstrom der Quelle
I5 = I1 + I2 = 8A + 3A = 11A
Stromteilerzu
I3 =
G3
I2 =
G3 + G4
1
3Ω
1
3Ω
+
1
6Ω
· 3A = 2A
(A.1.14)
(A.1.15)
Knotenregel
I4 = I2 − I3 = 3A − 2A = 1A
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
(A.1.16)
GdE1-151
A.1
Übungsaufgaben zu Gleichstromelemente
Lösung zur
Aufgabe 2.10.13
(Netzwerk)
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Strom
I3 =
UR2
18V
=
= 0,45A
R345
40Ω
Stromteiler
I4 =
G4
I3 =
G4 + G5
1
30Ω
1
30Ω
+
1
60Ω
· 0,45A = 0,3A
(A.1.17)
(A.1.18)
Knotenregel
I5 = I3 − I4 = 0,45A − 0,3A = 0,15A
(A.1.19)
I1 = I2 + I3 = 0,3A − 0,45A = 0,75A
(A.1.20)
U = UR2 + UR1 = 18V + 15V = 33V
(A.1.21)
Knotenregel
Quellenspannung
Lösung zur
Aufgabe 2.10.14
(Leitung)
Spannung am Leitungsanfang
Lösung zur
Aufgabe 2.10.15
(Leitung)
Gesuchte Leiterquerschnitt
Lösung zur
Aufgabe 2.10.16
(Spannung)
Gesuchte Spannung
Lösung zur
Aufgabe 2.10.17
(Widerstand)
Gesuchtes Verhältnis der Widerstände
Lösung zur
Aufgabe 2.10.18
(Widerstand)
Gesuchtes Verhältnis
Lösung zur
Aufgabe 2.10.19
(ESQ)
Quellenspannung
GdE1-152
U 0 = U + IRL = 110V + 36,4A · 0,293Ω = 121V
A=
2lρ
2 · 71m · 17,6 · 10−9 Ωm
= 2,5mm2
=
RL2
1Ω
UAB = UR2 + UR4 = 3,64V + 4,55V = 8,19V
RAB
K · 1,26
=
= 1,68
RCD
K · 0,752
x=
a
= 1,5
b
Uq = U1 + I1 Ri = 20V + 1A · 4Ω = 24V
[email protected]ünster.de
(A.1.22)
(A.1.23)
(A.1.24)
(A.1.25)
(A.1.26)
(A.1.27)
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.1
Lösung zur
Aufgabe 2.10.20
(Last)
Änderung der Ausgangsspannung
Lösung zur
Aufgabe 2.10.21
(Last)
Gesuchter Widerstand
Lösung zur
Aufgabe 2.10.22
(Last)
Erste rgesuchter Widerstand
Übungsaufgaben zu Gleichstromelemente
U20
0,3571 · U1
=
= 0,786
U2
0,4545 · U1
p
0,9
Ri =
· 8,33Ω = 75Ω
1−p
1 − 0,9
R≥
R2 = (
(A.1.28)
(A.1.29)
1
5
1
5
− )R3 = (
− ) · 360Ω = 0,1388 · 360Ω = 50Ω (A.1.30)
0,8p 4
0,8 · 0,9 4
Der zweite
R1 = 4R2 = 4 · 50Ω = 200Ω
Lösung zur
Aufgabe 2.10.23
(Kennlinie)
(A.1.31)
Erster Widerstand
UL
Uq
R1 = − UL
Uq
=−
−1
Ri = −
UL
Ri
UL − Uq
8V
· 2,4Ω = 4,8Ω
8V − 12V
(A.1.32)
Zweiter gesuchte Widerstand
R2 =
Lösung zur
Aufgabe 2.10.24
(Kennlinie)
Uq
IK − R i
Ri
R1 + 1
=
12V
1,6A − 2,4Ω
2,4Ω
4,8Ω + 1
=
17
Ω = 3,4Ω
5
(A.1.33)
Gesuchter Innenwiderstand
Ri
=
=
=
UL
IK (R1
+ R2 ) − R2 R1
R2 −
18V
0,8A (24Ω
UL
IK
+ 90Ω) − 90Ω · 24Ω
90Ω −
18V
0,8A
6,0Ω
(A.1.34)
Quellenspannung
Uq = IK (Ri + R1 ) = 0,8A · (6Ω + 24Ω) = 24V
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
(A.1.35)
GdE1-153
A.2
Übungsaufgaben zu Gleichstromnetzwerke
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.2. Übungsaufgaben zu Gleichstromnetzwerke
Lösung zur
Aufgabe 3.9.1
(Wandlung)
Für die Y-∆-Wandlung erhalten wir
Ra
=
=
=
Rb
=
Rc0
=
R12 R134 + R134 R235 + R235 R12
R235
1Ω · 5,5Ω + 5,5Ω · 8Ω + 8Ω · 1Ω
8Ω
7,19Ω
P
Ri1 Ri2
57,5Ω
=
= 10,45Ω
R
5,5Ω
P 134
Ri1 Ri2
57,5Ω
=
= 57,5Ω
R12
1Ω
(A.2.1)
(A.2.2)
(A.2.3)
Parallelschaltung
Rc = Rc0 ||R6 =
Lösung zur
Aufgabe 3.9.2
(Netzwerk)
Gesuchte Spannung
Lösung zur
Aufgabe 3.9.3
(Netzwerk)
Gesuchter Strom
Lösung zur
Aufgabe 3.9.4
(Netzwerk)
Erster Quellenstrom
Ux =
1
=
G0c + G6
1
+
= 7,02Ω
(A.2.4)
Rb
6,67Ω
· 10V = 5,38V
U=
Rb + Ra
6,67Ω + 5,71Ω
(A.2.5)
1
57,5Ω
1
8Ω
Ix = IR2 + IR4 = 0,75A + 0,5A = 1,25A
I1
=
=
U1 − U2
R2
36V − 24V
= 0,30A
40Ω
(A.2.6)
(A.2.7)
Zweiter Quellenstrom
I2 = I3 − I1 = 0,80A − 0,30A = 0,50A
Lösung zur
Aufgabe 3.9.5
(Netzwerk)
GdE1-154
(A.2.8)
Maschenstrom
I2
U2 − U1 + R2 IA + R3 IB
R1 + R2 + R3
6V − 8V + 2Ω · 14A + 0,5Ω · 4A
=
1Ω + 2Ω + 0,5Ω
= 8,0A
=
[email protected]ünster.de
(A.2.9)
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.2
Übungsaufgaben zu Gleichstromnetzwerke
Physikalische Ströme
Lösung zur
Aufgabe 3.9.6
(Netzwerk)
IR1
= I2 = 8A
(A.2.10)
IR2
= IA − I2 = 14A − 8A = 6A
(A.2.11)
IR3
= I2 − IB = 8A − 4A = 4A
(A.2.12)
Gesuchte physikalische Ströme
IR1
=
I1 − I2 = 0,6A + 0,8A = 1,4A
(A.2.13)
IR2
=
−I2 = 0,8A
(A.2.14)
IR3
=
I2 + IA − I1
=
−0,8A + 1,8A − 0,6A = 0,4A
(A.2.15)
=
IA + I2 = 1,8A − 0,8A = 1,0A
(A.2.16)
IR4
Lösung zur
Aufgabe 3.9.7
(Netzwerk)
Lösung
IAB
=
=
=
Lösung zur
Aufgabe 3.9.8
(Netzwerk)
Lösung zur
Aufgabe 3.9.9
(Netzwerk)
1. Februar 2017
30V −30Ω
330V
85Ω
55Ω −30Ω
−30Ω 85Ω
30V · 85Ω + 330V · 30Ω
55Ω · 85Ω − 30Ω · 30Ω
3,298A
(A.2.17)
Gesuchten Ströme
I1
=
I2
=
I3
=
I1
=
I2
=
I3
=
UK1 − U1
21V − 30V
=
= −1,8A
R1
5Ω
UK1 − U2
21V − 24V
=
= −0,3A
R2
10Ω
UK1
21V
=
= 2,1A
R3
10Ω
(A.2.18)
(A.2.19)
(A.2.20)
Gesuchten Ströme
UK1 − U1
18V − 20V
=
= −0,5A
R1
4Ω
UK1 − U2
18V − 10V
=
= 3,2A
R2
2,5Ω
UK1
18V
=
= 3,6A
R3
5Ω
[email protected]ünster.de
(A.2.21)
(A.2.22)
(A.2.23)
GdE1-155
A.2
Übungsaufgaben zu Gleichstromnetzwerke
Lösung zur
Aufgabe 3.9.10
(Netzwerk)
Lösung zur
Aufgabe 3.9.11
(ESQ)
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Fehlende Ströme
I2 = I1 − I5 = 2,2A − 1,8A = 0,4A
(A.2.24)
I3 = I1 − I4 = 2,2A − 1,0A = 1,2A
(A.2.25)
I6 = I5 − I4 = 1,8A − 1,0A = 0,8A
(A.2.26)
Gesuchte Quellenspannungzu
Ra
2,52Ω
U=
· 11V = 3,5V
Rb + Ra
2,52Ω + 5,4Ω
Uq =
(A.2.27)
Innenwiderstand
Ri
=
=
Lösung zur
Aufgabe 3.9.12
(ESQ)
RAB = Ra ||Rb =
1
2,52Ω
1
+
1
5,4Ω
1
Ga + Gb
= 1,72Ω
(A.2.28)
Gesuchte Innenwiderstand
Ri
=
(R12 + R34 )||R5 =
=
1
2Ω
1
+
1
6Ω
1
G1234 + G5
= 1,5Ω
(A.2.29)
Quellenspannung der Ersatzquelle
Uq = Ri IK = 1,5Ω · (−1,5A) = −2,25V
Lösung zur
Aufgabe 3.9.13
(Netzwerk)
Gesuchte Strom
Lösung zur
Aufgabe 3.9.14
(Netzwerk)
Gesuchte Strom
I5 =
I5
Uq
8,0V
= 0,5A
=
Ri + R5
5,0Ω + 11Ω
=
=
GdE1-156
Uq1 + Uq2 − U3
Ri1 + R5 + Ri2
8V + 6V − 5V
= 0,54A
4.0Ω + 10Ω + 2,67Ω
[email protected]ünster.de
(A.2.30)
(A.2.31)
(A.2.32)
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Lösung zur
Aufgabe 3.9.15
(ESQ)
A.2
Übungsaufgaben zu Gleichstromnetzwerke
Der Innenwiderstand ergibt sich zu
Ri
= R3 + (R1 ||R2 ) = R3 +
=
12Ω +
1
+
1
4Ω
1
6Ω
1
G1 + G2
= 14,4Ω
(A.2.33)
Gesuchter Quellenstrom
Iq =
Lösung zur
Aufgabe 3.9.16
(ESQ)
G3
I=
G3 + G2
1
12Ω
1
12Ω
+
1
6Ω
· 1,5A = 0,5A
(A.2.34)
Gesuchter Innenwiderstand
1
= R1234 ||Ri =
Ri
1
1
3,21Ω +
=
1
9Ω
G1234 + Gi
= 2,37Ω
(A.2.35)
Gesuchter Quellenstrom
Iq = IK = I4 − I1 = 1,2A − 2,4A = −1,2A
Lösung zur
Aufgabe 3.9.17
(Leistungsanpassung)
(A.2.36)
1. Gesuchter Widerstand
= Ri = R1 ||R2 =
R3
=
1
80Ω
1
+
1
G1 + G2
= 26,67Ω
(A.2.37)
(6V )2
= 1,35W
26,67Ω
(A.2.38)
1
40Ω
2. Gesuchte maximale Leistung
P3 =
Lösung zur
Aufgabe 3.9.18
(Leistungsanpassung)
Uq
2
2
R3
=
1. Gesuchter Widerstand
R5
= Ri = R134 ||R2 =
=
1
40Ω
1
G134 + G2
1
= 30,0Ω
1
+ 120Ω
(A.2.39)
2. Gesuchte maximale Leistung
P5 =
1. Februar 2017
Uq
2
2
R5
=
(42,0V )2
= 59,0W
30,0Ω
[email protected]ünster.de
(A.2.40)
GdE1-157
A.3
Übungsaufgaben zu Wechselströme
Lösung zur
Aufgabe 3.9.19
(Netzwerk)
Lösung zur
Aufgabe 3.9.20
(Netzwerk)
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Gesuchte Spannung
U2
=
Uq1 − Uq2 − (Ri1 + Ri2 )I2
=
6,86V − 4,36V − (1,71Ω + 2,73Ω) · 0,4A
=
6,86V − 4,36V − 1,776V
=
0,724V
(A.2.41)
Gesuchte Spannungen
U1
U2
= R1 IR1 + R3 IR3
=
20Ω · 0,183A + 50Ω · 0,083A
=
7,76V
(A.2.42)
= R4 IR4 − R3 IR3
=
60Ω · 0,117A − 50Ω · 0,083A
=
2,94V
(A.2.43)
A.3. Übungsaufgaben zu Wechselströme
Lösung zur
Aufgabe 4.8.1
(Effektivwert)
1. Zeitfunktion
i(t) =



î
1
2 î
0
:
:
:
0 ≤ t ≤ T4
T
3T
4 ≤t≤ 4
3T
4 ≤t≤T
(A.3.1)
2. Gleichrichtwert
1
|i| =
T
ZT
|i(t)| dt =
1 T
î
· î =
T 2
2
(A.3.2)
0
3. Effektivwert
v
u
r
r
u ZT
1 3 2
3
u1
2
I=t
i dt =
· T î = î ·
T
T 8
8
(A.3.3)
0
Lösung zur
Aufgabe 4.8.2
(Effektivwert)
1. Zeitfunktion
u(t) =
2û
t − û
T
(A.3.4)
2. Gleichrichtwert
1
|u| =
T
ZT
|u(t)| dt =
1 T û
û
·
=
T 2
2
(A.3.5)
0
GdE1-158
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.3
Übungsaufgaben zu Wechselströme
3. Effektivwert
v
u
r
u ZT
1 û2
û
u1
2
U =t
u dt =
· T =√
T
T 3
3
(A.3.6)
0
Lösung zur
Aufgabe 4.8.3
(Effektivwert)
Effektivwert
v
u
r
u ZT
2
1 24
u1
2
I=t
i dt =
· î T = î
T
T
9
3
(A.3.7)
0
Lösung zur
Aufgabe 4.8.4
(Effektivwert)
Effektivwert
v
u
r
√
u ZT
7
1
7
u1
u2 dt =
· û2 T = û
I=t
T
T
36
6
(A.3.8)
0
Lösung zur
Aufgabe 4.8.5
(Effektivwert)
Effektivwert
v
u
r
Z2π
u
1 2π
î
u 1
I=t
i2 d(ωt) =
· î
=
2π
2π
2
2
(A.3.9)
0
Lösung zur
Aufgabe 4.8.6
(Effektivwert)
Effektivwert
U
=
v
u
r
Z2π
u
1
u 1
2
t
u d(ωt) =
· û2 π + U02 2π
2π
2π
0
s
=
Lösung zur
Aufgabe 4.8.7
(Effektivwert)
uˆ2
+ U02
2
(A.3.10)
Effektivwert
U
v
s
u
Z2π
u
2
π − sin( π3 )
u 1
= t
u2 d(ωt) = û · 3
2π
2π
0
s
= û ·
1. Februar 2017
√
4π − 3 3
= 0,442 · û
12π
[email protected]ünster.de
(A.3.11)
GdE1-159
A.4
Übungsaufgaben zu Wechselstromelemente
Lösung zur
Aufgabe 4.8.8
(Effektivwert)
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Effektivwert
U
=
v
u
r
u ZT
1
1 − e−2
u1
2
t
u dt =
· û2 T ·
T
T
2
0
r
=
û ·
1 − e−2
= 0,657 · û
2
(A.3.12)
A.4. Übungsaufgaben zu Wechselstromelemente
Lösung zur
Aufgabe 6.6.1
(Spule)
1. Induktiver Widerstand der Spule
Xl = ωL = 2πf L = 2π · 50Hz · 0,1H = 31,4Ω
(A.4.1)
2. Strom
I=
U
230V
= 7,3A
=
XL
31,4Ω
(A.4.2)
3. Phasenverschiebungswinkel
I
Lösung zur
Aufgabe 6.6.2
(Kondensator)
U
230V
U
=
=
ZL
jXL
j31,4Ω
= −j7,3A = (7,3A6 − 90◦ )
=
(A.4.3)
1. Kapazitiver Widerstand des Kondensators
XC
1
1
=−
ωC
2πf C
1
= −19,9kΩ
−
2π · 800Hz · 10 · 10−9 F
−
=
=
(A.4.4)
2. Strom
I=
U
50V
=
= 2,51mA
|XC |
19,9 · 103 Ω
(A.4.5)
3. Phasenverschiebungswinkel
I
=
=
Lösung zur
Aufgabe 6.6.3
(RL-Reihe)
GdE1-160
U
U
50V
=
=
ZC
−jXC
−j19,9 · 103 Ω
j2,51mA = (2,51mA6 90◦ )
(A.4.6)
Die Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes R = 50Ω und einer Spule mit der
Induktivität L = 0,2H liegt an einer Wechselspannung von U = 230V , f = 50Hz.
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.4
Übungsaufgaben zu Wechselstromelemente
1. Scheinwiderstand der Reihenschaltung
= Z 6 ϕZ
Z
= R + jωL = 50Ω + j2π · 50Hz · 0,2H
50Ω + j62,8Ω = (80,27Ω6 51,5◦ )
(A.4.7)
U
230V
=
= (2,87A6 − 51,5◦ )
Z
(80,27Ω6 51,5◦ )
(A.4.8)
=
2. Strom
I=
3. Teilspannung am Widerstand
= I · ZR = I · R
UR
=
(2,87A6 − 51,5◦ ) · 50Ω
=
(143,26V 6 − 51,5◦ )
(A.4.9)
4. Teilspannung an der Spule
UL
= I · Z L = I · jXL
=
(2,87A6 − 51,5◦ )(62,8Ω6 90◦ )
=
(179,9V 6 38,5◦ )
(A.4.10)
5. Vorwiderstand
Rv
Lösung zur
Aufgabe 6.6.4
(RL-Reihe)
=
q
Z 02 − XL2 − R
p
(115Ω)2 − (62,8Ω)2 − 50Ω
=
46,33Ω
(A.4.11)
100V
U0
=
= 100Ω
I
1A
(A.4.12)
(230Ω)2 − (100Ω)2
= 0,659H
2π · 50Hz
(A.4.13)
=
Ohmsche Anteil
R=
Induktivität
√
L=
Lösung zur
Aufgabe 6.6.5
(RC-Reihe)
Z 2 − R2
=
ω
p
1. Scheinwiderstand
Z
= Z 6 ϕZ
1
1
= 20Ω − j
ωC
2π · 1000Hz · 8 · 10−6 F
20Ω − j19,9Ω = (28,2Ω6 − 44,9◦ )
= R−j
=
(A.4.14)
2. Strom
I=
1. Februar 2017
U
10V
=
= (0,355A6 44,9◦ )
Z
(28,2Ω6 − 44,9◦ )
[email protected]ünster.de
(A.4.15)
GdE1-161
A.4
Übungsaufgaben zu Wechselstromelemente
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
3. Teilspannung am Widerstand
= I · ZR = I · R
UR
=
(0,355A6 44,9◦ ) · 20Ω
=
(7,106 44,9◦ )
(A.4.16)
4. Teilspannung am Kondensator
UC
Lösung zur
Aufgabe 6.6.6
(RC-Reihe)
=
I · Z C = I · (−jXC )
=
(0,355A6 44,9◦ ) · (19,9Ω6 − 90◦ )
=
(7,06V 6 − 45,1◦ )
1. Kapazität
C=−
1
1
=
= 2,54µF
ωXC
2π · 50Hz · 1254Ω
2. Induktivität
L=
Lösung zur
Aufgabe 6.6.7
(RL-Parallel)
(A.4.17)
(A.4.18)
−XC
1254Ω
=
= 3,99H
ω
2π · 50Hz
(A.4.19)
Die Parallelschaltung eines ohmschen Widerstandes R = 40Ω und einer Spule mit
der Induktivität L = 0,1H wird an eine Wechselspannungsquelle mit der Spannung
U = 100V , f = 50Hz, angeschlossen.
1. Scheinwleitwert
Y 6 ϕY
1
1
1
1
=
−j
=
−j
R
ωL
40Ω
2π · 50Hz · 0,1H
= 0,025S − j0,0318S
Y
=
(0,0405S 6 − 51,8◦ )
=
(A.4.20)
2. Scheinwiderstand
Z=
1
1
=
= (24,8Ω6 51,8◦ )
6
Y
(0,0405S − 51,8◦ )
(A.4.21)
3. Strom
I
= U · Y = 100V · (0,0405S 6 − 51,8◦ )
=
(4,05A6 − 51,8◦ )
(A.4.22)
4. Widerstand
Rr = 15,3Ω
Induktivität
Lr =
GdE1-162
XL
19,5Ω
=
= 62mH
2πf
2π · 50Hz
[email protected]ünster.de
(A.4.23)
(A.4.24)
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Lösung zur
Aufgabe 6.6.8
(Spule)
A.4
Übungsaufgaben zu Wechselstromelemente
1. Widerstand
R = 38,4Ω
Induktivität
L=
XL
66,4Ω
=
= 211mH
2πf
2π · 50Hz
2. Widerstand
Rp =
1
= 153Ω
0,00652S
(A.4.25)
(A.4.26)
(A.4.27)
Induktivität
1
1
=
= 282mH
BL · 2πf
0,01129S · 2π · 50Hz
(A.4.28)
1
1
G
106 Ω
= 3,18 · 10−3
= R =
BC
ωC
2π · 50Hz · 10−6 F
(A.4.29)
Lp = −
Lösung zur
Aufgabe 6.6.9
(Kondensator)
1. Verlustfaktor
tan δ =
Verlustwinkel
δ ≈ tan δ = 3,18 · 10−3 ·
360◦
= 0,182◦
2π
(A.4.30)
2. Widerstand
Rr = 10,1Ω
(A.4.31)
1
1
= 1,0µF
=
ωXC
2π · 50Hz · 3180Ω
(A.4.32)
Kondensator
C=−
Lösung zur
Aufgabe 6.6.10
(Kondensator)
1. Verlustwiderstand
R=
1
1
=
= 15,9kΩ
BC tan δ
2π · 50Hz · 10 · 10−6 F · 2 · 10−2
(A.4.33)
2. Widerstand
Rr = 6,37Ω
(A.4.34)
1
1
=
= 10,0µF
ωXC
2π · 50Hz · 318Ω
(A.4.35)
Kondensator
C=−
3. Phasenverschiebungswinkel
ϕ = 90◦ − δ = 90◦ − 1,15◦ = 88,85◦
1. Februar 2017
[email protected]ünster.de
(A.4.36)
GdE1-163
A.5
Übungsaufgaben zu Wechselstromnetzwerke
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
A.5. Übungsaufgaben zu Wechselstromnetzwerke
Lösung zur
Aufgabe 7.9.1
(Netzwerk)
1. Gesamtstrom
I
=
U
Z ges
=
100V
= (84,2mA6 70,3◦ )
(1188,3Ω6 − 70,3◦ )
(A.5.1)
Teilströme
I1
=
=
=
Z C2
·I
Z C2 + Z R
−j1001Ω
· (84,2mA6 70,3◦ )
−j1001Ω + 2 · 103 Ω
(37,7mA6 6,9◦ )
(A.5.2)
und
I2
=
=
=
ZR
·I
Z C2 + Z R
2 · 103 Ω
· (84,2mA6 70,3◦ )
−j1001Ω + 2 · 103 Ω
(75,3mA6 96,9◦ )
(A.5.3)
2. Phasenverschiebungswinkel
ϕI,I2 = ϕI2 − ϕI = 96,9◦ − 70,3◦ = 26,6◦
Lösung zur
Aufgabe 7.9.2
(Netzwerk)
(A.5.4)
1. Strom
I
= I1 + I2
=
(0,192A − j0,384A) + j0,959A
=
0,192A + j0,575A = (0,607A6 71,5◦ )
(A.5.5)
2. Phasenverschiebungswinkel
ϕI1 ,I2 = ϕI2 − ϕI1 = 90◦ − (−63,4◦ ) = 153,4◦
Lösung zur
Aufgabe 7.9.3
(Netzwerk)
(A.5.6)
Teilströme
I1
=
U · Y RL
=
(126,4V 6 − 25,0◦ ) · (16,3mS 6 − 32,1◦ )
=
(2,14A6 − 57,2◦ )
(A.5.7)
und
I2
GdE1-164
= U ·YC
=
(126,4V 6 − 25,0◦ ) · (15,7mS 6 90◦ )
=
(1,99A6 65,0◦ )
(A.5.8)
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Lösung zur
Aufgabe 7.9.4
(Ersatzschaltung)
A.5
Bauteilewerte
Cp =
Lösung zur
Aufgabe 7.9.5
(Ersatzschaltung)
1
1
=
= 220,3Ω
Re{Y }
4,54mS
(A.5.9)
−Im{Y }
2,36mS
=
= 7,51µF
2π50Hz
2π · 50Hz
(A.5.10)
Rp =
und
Übungsaufgaben zu Wechselstromnetzwerke
Bauteilewerte
Rr = Re{Z} = 44,14Ω
und
Lr =
Lösung zur
Aufgabe 7.9.6
(Netzwerk)
Änderung
Lösung zur
Aufgabe 7.9.7
(Netzwerk)
Strom
(A.5.12)
U20 − U2
0,363 − 0,3
0,363 − 0,3
=
=
= 0,21
U2
0,3
0,3
(A.5.13)
5mS
· (1A6 0◦ ) = (0,847A6 − 32,1◦ )
5mS + j3,14mS
(A.5.14)
∆U2 =
I1 =
Im{Z}
28,78Ω
=
= 91,7mH
2π50Hz
2π · 50Hz
(A.5.11)
Strom
I3
= I 2 − I 1 = (1A6 0◦ ) − (0,847A6 − 32,1◦ )
=
(0,532A6 57,9◦ )
(A.5.15)
Quellenspannung
U
= I 2 R2 + I 1 R1
=
(1A6 0◦ ) · 50Ω + (0,847A6 − 32,1◦ ) · 200Ω
=
(213,3V 6 − 25,0◦ )
(A.5.16)
Strom
I4
=
=
U
(213,3V 6 − 25,0◦ )
=
jωL
j2π · 50Hz · 0,5H
(1,36A6 − 115,0◦ )
(A.5.17)
Quellenstrom
I
1. Februar 2017
=
I 2 + I 4 = (1A6 0◦ ) + (1,36A6 − 115,0◦ )
=
(1,30A6 − 70,9◦ )
[email protected]ünster.de
(A.5.18)
GdE1-165
A.5
Übungsaufgaben zu Wechselstromnetzwerke
Lösung zur
Aufgabe 7.9.8
(Spule)
Widerstand
R = Re{Z} − RV = 27,5Ω − 15Ω = 12,5Ω
Induktivität
L=
Lösung zur
Aufgabe 7.9.9
(Netzwerk)
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
(A.5.19)
Im{Z}
XL
21,6Ω
=
=
= 68,6mH
ω
2πf
2π · 50Hz
(A.5.20)
1. Lampe 1 wird zerstört
2. Kapazität
IC
0,728A
=
= 21,1µF
U1 ω
110V · 2π · 50Hz
C=
(A.5.21)
3. Quellenspannung
U
Lösung zur
Aufgabe 7.9.10
(Netzwerk)
=
U1 + U2
=
(110V 6 0◦ ) + (110V 6 53,2◦ )
=
(196,70V 6 26,6◦ )
(A.5.22)
1
1
= 68,9µF
=
ωXC
2π · 50Hz · 46,19Ω
(A.5.23)
1. Kapazität
C=−
Induktivität
80,8Ω1
XL
=
= 0,257H
ω
2π · 50Hz
L=
(A.5.24)
Quellenspannung
U
=
U 1 + U L = I 1 · (R1 + jXL )
=
1A · (100Ω + j80,8Ω)
=
(128,6V 6 38,9◦ )
(A.5.25)
2. Graphische Darstellung
U
I1
I2
R1
R2
C
UL
I1 U1
Widerstand
R1 = Re{Z} = 30Ω
(A.5.26)
Kapazität
C
=
=
GdE1-166
U
I2
L
Lösung zur
Aufgabe 7.9.11
(Schalter)
UC
U2
1
1
=−
ωIm{Z}
ωXC
1
= 61,2µF
2π · 50Hz · 52Ω
−
[email protected]ünster.de
(A.5.27)
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Lösung zur
Aufgabe 7.9.12
(Netzwerk)
A.5
Widerstand
R
=
=
=
Lösung zur
Aufgabe 7.9.13
(Netzwerk)
Lösung zur
Aufgabe 7.9.14
(Schalter)
Lösung zur
Aufgabe 7.9.15
(Schalter)
Übungsaufgaben zu Wechselstromnetzwerke
XC
tan(−25◦ )
1
2π · 50Hz · 10 · 10−6 F · tan 25◦
682,6Ω
(A.5.28)
Spannung
= U R2 − U Z3
U AB
=
(46,0V 6 − 46,3◦ ) − (43,0V 6 100,8◦ )
=
(85,4V 6 − 62,2◦ )
(A.5.29)
Kapazität
C=
1
1
=
= 31,8µF
2bω
2 · 50Ω · 2 · π · 50Hz
(A.5.30)
1. Formel zur Berechnung der Kapazität
C
=
C
=
2ωL/ω
R2 + XL2
2L
R2 + (ωL)2
(A.5.31)
2. Zahlenwert der Kapazität
C
Lösung zur
Aufgabe 7.9.16
(Netzwerk)
(A.5.32)
Induktivitätzu
L =
=
=
1. Februar 2017
2L
R2 + (ωL)2
2 · 0,1H
=
(50Ω)2 + (2π · 50Hz · 0,1H)2
= 57,4µF
=
R12 + 2R1 R2 +
1
2 ωC
ω
1 2
ωC
(80Ω)2 + 2 · 80Ω · 40Ω +
2
1
2π·50Hz·50·10−6 F
2
50·10−6 F
0,421H
[email protected]ünster.de
(A.5.33)
GdE1-167
A.5
Übungsaufgaben zu Wechselstromnetzwerke
Lösung zur
Aufgabe 7.9.17
(Netzwerk)
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
1. Maßstäbliches Zeigerdiagramm aller Spannnungen und Ströme
U1
P1 U2
P2 U3
P3
U
L
R
C
I3
α
α
I1
UC
U3
U2
I2
U
UR
U1
UL
2. Versorgungsspannung
U = 220V
(A.5.34)
Bauelementewerte
L =
Lösung zur
Aufgabe 7.9.18
(Ersatzschaltung)
R
=
C
=
Bauelementewerte
L=
(A.5.36)
(230V )2
U2
=
= 1,59H
Qω
105,8V ar · 2π · 50Hz
(A.5.37)
Bauteilewerte
R = Re{Z} = 25,5Ω
und
C = Im{Z} =
Lösung zur
Aufgabe 7.9.20
(Leitung)
Lösung zur
Aufgabe 7.9.21
(Netzwerk)
GdE1-168
(A.5.35)
(230V )2
U2
=
= 440,8Ω
P
120W
R=
und
Lösung zur
Aufgabe 7.9.19
(Ersatzschaltung)
UL
191V
=
= 1,67H
ωI1
·2π · 50Hz · 0,364A
110V
UR ω
=
= 302Ω
I2
0,364A
UC ω
191V · 2π · 50Hz
= 6,08µF
=
I3
0,364A
1
= 106,5µF
29,9Ω · 2π · 50Hz
(A.5.38)
(A.5.39)
Spannung
U 0 = U + U RL
Induktivität
L=
=
230V + (44,67V 6 16,1◦ )
=
(273,2V 6 2,6◦ )
UL
146,3V
=
= 58,4mH
Iω
7,98A · 2π · 50Hz
[email protected]ünster.de
(A.5.40)
(A.5.41)
1. Februar 2017
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
Lösung zur
Aufgabe 7.9.22
(Netzwerk)
Kapazität
Lösung zur
Aufgabe 7.9.23
(ESQ)
Strom
A.5
C=
I R3
1
1
=
= 7,35µF
XC · ω
−433,0Ω · 2π · 50Hz
=
=
=
Lösung zur
Aufgabe 7.9.24
(ESQ)
30V
(291,7Ω − j353,7Ω) + (200Ω + j94Ω)
(54,0mA6 27,9◦ )
(A.5.43)
Strom
I R5
Uq
Zi + Z5
=
=
24V
600Ω + (1000Ω + j1348Ω)
(11,5mA6 − 40,1◦ )
(A.5.44)
Uq
220V
=
Zi + R
250Ω − j150Ω
(0,755A6 31,0◦ )
(A.5.45)
R2 = Re{Z a } = 75,8Ω
(A.5.46)
Strom
IR
=
=
Lösung zur
Aufgabe 7.9.26
(Anpassung)
(A.5.42)
Uq
Zi + Z3
=
Lösung zur
Aufgabe 7.9.25
(ESQ)
Übungsaufgaben zu Wechselstromnetzwerke
1. Lastwiderstand
Kapazität
C=
−1
1
=
= 55,0µF
ωIm{Z a }
2π · 50Hz · 57,9Ω
(A.5.47)
2. Leistung
P2 =
Lösung zur
Aufgabe 7.9.27
(Leistungsanpassung)
2
R2
=
Uq2
79,5V 2
=
= 20,8W
4Ri
4 · 75,8Ω
(A.5.48)
1. Lastwiderstand
R3 = Re{Z a } = 25,3Ω
Induktivität
L=
1. Februar 2017
Uq
2
Im{Z a }
8,73Ω
=
= 27,8mH
ω
2π · 50Hz
[email protected]ünster.de
(A.5.49)
(A.5.50)
GdE1-169
A.5
Übungsaufgaben zu Wechselstromnetzwerke
A. Ergebnisse der Übungsaufgaben
2. Leistung
P3 =
Lösung zur
Induktivität
Aufgabe 7.9.28
(Leistungsanpassung)
Kapazität
Lösung zur
Aufgabe 7.9.29
(Anpassung)
Uq
2
2
R3
=
Uq2
52,4V 2
=
= 27,1W
4Ri
4 · 25,3Ω
(A.5.51)
L=
XL
150Ω
=
= 23,9mH
ω
2π · 1000Hz
(A.5.52)
C=
BC
0,006S
=
= 0,955µF
ω
2π · 1000Hz
(A.5.53)
1. Strom
I
=
=
P
1000W
6 ϕI ) = (
6 − 60◦ )
U · cos ϕ
230V · 0,5
8,7A6 − 60◦ )
(
(A.5.54)
2. Die Kapazität
C=
QC
1368V ar
=
= 82,3µF
−U 2 ω
(230V )2 · 2π · 50Hz
(A.5.55)
3. Strom
I0
1000W
P
6 ϕ0 ) = (
6 − 20◦ )
U · cos ϕ0 I
230V · 0,94
(4,63A6 − 20◦ )
=
(
=
Lösung zur
Aufgabe 7.9.30
(Anpassung)
(A.5.56)
1. Quellenstrom
I
= I1 + I2
=
(7,20A6 − 20,1◦ ) + (3,48A6 − 60◦ )
=
8,5A − j5,5A = (10,12A6 − 32,9◦ )
C
=
(A.5.57)
2. Kapazität
=
Lösung zur
Aufgabe 7.9.31
(Anpassung)
IC
Im{I 0 } − Im{I}
=
Uω
Uω
−2,11A + 5,5A
= 46,9µF
230V · 2π · 50Hz
(A.5.58)
Verlustleistung
2
Iw
2
2 cos ϕ0
I 02 R
cos ϕ
0,7
= 0,605
pv = 2 = =
2 =
I R
cos ϕ0
0,9
Iw
(A.5.59)
cos ϕ
GdE1-170
[email protected]ünster.de
1. Februar 2017