Harmonische Wechselströme

Ergänzungen zu Physik II
Harmonische Wechselströme
Harmonische Wechselströme
Die Stromkreisanalyse wird vereinfacht, wenn man komplexe Spannungen und Ströme einführt. Wie bei
der Behandlung mechanischer Schwingkreise sind nur die Realteile (bzw. Imaginärteile) dieser komplexen
Ausdrücke die physikalisch messbaren Grössen. Statt der reellen elektromotorischen Kraft (EMK) Vm =
V◦ cos ωt schreiben wir also Vm = V◦ eiωt .
1) Ohmscher Widerstand
Vm
I(t)
∼mV◦ eiωt
R
iωt
Es ist Vm = V◦ e
= VR = IR , also I =
(V◦ /R)eiωt . Strom I und Spannung VR haben das
gleiche Argument in der Exponentialfunktion, sie sind also in Phase.
t
2) Selbstinduktion
∼mV◦ eiωt
q
o
L o
oq
6
∼mI V
Z
?
Mit dem Kirchhoff’schen Gesetz ist V◦ eiωt = L
dI
, also I =
dt
Z
dI =
V◦
L
Z
eiωt dt =
V◦ 1 iωt
e .
L iω
Führen wir die Abkürzung
ZL := iωL
ein, so wird
I=
Vm
V◦ eiωt
=
.
ZL
ZL
ZL nennen wir Wechselstromwiderstand oder Impedanz der Selbstinduktion. Mithilfe des Impedanzbegriffes gestattet die komplexe Schreibweise eine besonders einfache Darstellung der Strom-SpannungsBeziehungen. Z tritt bei Wechselströmen an die Stelle von R. Wollen wir den messbaren Strom erhalten,
Vm
so müssen wir den Realteil bilden:
I(t)
<{I(t)} = <{
t
3) Kondensator
Vm ∼m
V◦
V◦
(cos ωt + i sin ωt)} =
sin ωt .
iωL
ωL
Der Strom hinkt um π/2 hinter der Spannung nach, d.h. das
Maximum von I folgt zeitlich nach jenem der Spannung.
Q
Mit dem Kirchhoff’schen Gesetz ist V◦ eiωt = VC =
, und mit
C
I
iωt
I = dQ
= , also I(t) = iω C V◦ eiωt , und mit der
dt ist iω V◦ e
C
C
Vm
Impedanz des Kondensators ZC :=
I(t)
t
1
iωC
wird I =
Vm
V◦ eiωt
=
.
ZC
ZC
Die reelle Lösung lautet <{I(t)} = <{iωCV◦ (cos ωt + i sin ωt)} =
−ω C V◦ sin ωt – der Strom eilt der Spannung um π/2 voraus.
4) Serienresonanzkreis
Alle drei Impedanzen sind in Serie hintereinander geschaltet. Mit dem Kirchhoff’schen Gesetz ist V◦ eiωt
= I (R + ZC + ZL ) . Die komplexen Impedanzen dürfen addiert werden wie die Ohmschen Widerstände
1
Ergänzungen zu Physik II
C
V◦ e
∼m
iωt
R
Harmonische Wechselströme
und damit ist
q
o
Lo
oq
Mit den Impedanzen darf in komplexer
Schreibweise wie mit Ohmschen Widerständen gerechnet werden.
V◦ eiωt
I(t) =
.
R + ZC + ZL
Für den Realteil erhalten wir
V◦
<{I(t)} =
<
R + iωL +
1
iωC
eiωt
=
<
1
V◦ (R cos ωt + (ωL − ωC
) sin ωt)
=
1 2
2
R + (ωL − ωC )
V◦
q
cos(ωt − δ) =
1 2
2
)
R + (ωL − ωC
=
=
mit
tan δ =
1
V◦ (R − i(ωL − ωC
))(cos ωt + i sin ωt)
1
1
(R + i(ωL − ωC
))(R − i(ωL − ωC
))
q
1 2
)
V◦ R2 + (ωL − ωC
cos(ωt − δ)
1 2
2
R + (ωL − ωC )
I◦ cos(ωt − δ)
ωL −
R
1
ωC
und I◦ = q
V◦
R2 + (ωL −
.
(1)
(2)
1 2
ωC )
Hierzu
√ wurde in der zweiten Zeile die trigonometrische Beziehung ”a cos α + b sin α = A · cos(α − δ) mit
A = a2 + b2 , tan δ = ab “ verwendet.
Die Stromamplitude I◦ hängt in ähnlicher Weise von ω ab wie die Amplitude der stationären, erzwungenen
Schwingung eines linearen, harmonischen Oszillators. Auch die Wechselstromamplitude I◦ (ω) zeigt
Resonanz. I◦ erreicht seinen maximalen Wert
Io
b
I o max
V◦
I◦ = I0,max =
,
R
+//2
1
1
I o max
wenn ωL =
, d.h. ω 2 = ω◦2 =
.
ωC
LC
2
0
Die Resonanzfrequenz ist gerade durch die ThomsonBedingung1 beim ungedämpften LC-Schwingkreis
<//2
0
gegeben. An dieser Stelle ist δ = 0, d.h. Strom und
tk
t
Spannung sind in Phase. Die Breite der Resonanz6 t 1/2
kurve wird wie in der Mechanik durch die Dämpfung, d.h. durch R bestimmt. Der genaue Vergleich von
Gleichung (2) mit der Amplitude der erzwungenen mechanischen Schwingung zeigt, dass R/L der mechanischen Grösse b/m (mit b als Proportionalitätskonstante der Dämpfung) entspricht. Somit können wir
2
auch die in der Mechanik
√ hergeleitete Formel für die Halbwertsbreite der Resonanzkurve bei schwacher
Dämpfung (∆ω1/2 ' 3b/m) übernehmen. Mit R/L anstelle von b/m ist also die gesamte Breite bei
”
halber Höhe”(FWHM = Full Width at Half Maximum):
√
∆ω1/2 ≈ 3 R
L .
Anwendung: Mit dieser Resonanz eines Schwingkreises wird bei Radio- oder TV-Empfängern selektiv eine
Sendefrequenz herausgefiltert.
5) Parallelschaltung
q
∼m
C
q
1 Vgl.
q
R
q
RΩ
q
o
o
Lo
oq
Die Rechnung läuft analog zum vorherigen Beispiel. Es sei nur noch erwähnt,
dass bei der Parallelschaltung von Impedanzen wie bei der von Ohm’schen WiX 1
1
derständen gilt:
=
.
Ztot
Zi
i
Als 2. Dämpfung wirkt der Ohm’sche Widerstand RΩ der Spule.
dazu die (noch folgenden) Ergänzungen Der Thomsonsche Schwingkreis“.
”
Ergänzungen Der lineare Harmonische Oszillator“, Abschnitt 3, Gl.(26).
”
2 Siehe
2