Großkreisnavigation
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Wolfgang Kösling Ausbildungsinhalt Fahren auf dem Großkreis Allgemeines Elemente des Großkreises und ihre Berechnung Berechnung der Distanz Berechnung des Anfangskurses Berechnung der Scheitelpunktkoordinaten Berechnung der Zwischenpunkte Mischsegeln Wolfgang Kösling Liste der zugelassenenTaschenrechner Wolfgang Kösling Funktionen für den Taschenrechner Wolfgang Kösling Die Erde Das geographische Koordinatensystem Wolfgang Kösling Grundlagen der sphärischen Trigonometrie Bringt man eine Ebene mit der Kugeloberfläche zum Schnitt, ergibt sich als Schnittlinie ein Kreis. Schneidet diese Schnittebene den Kugelmittelpunkt, ergibt sich ein Großkreis. Meridiane und der Äquator sind Großkreise. Schneidet diese Schnittebene den Kugelmittelpunkt nicht, ergibt sich ein Kleinkreis. Breitenparallele sind Kleinkreise. Großkreis Wolfgang Kösling Kleinkreis Grundlagen der sphärischen Trigonometrie Zwei Grenzfälle bei der Darstellung eines sphärischen Dreiecks 1.) Das Dreieck ist auf eine Kugel geprägt. Verkleinert man es derart, dass es sich dem ebenen Dreieck annähert, muss man dennoch feststellen, dass seine Seitenlängen stets länger, als bei einem ebenen Dreieck sind. 2.) Vergrößert man andererseits das sphärische Dreieck solange bis sich eine Halbkugel bildet, so tritt dreimal (in den Punkten A; B; C) ein Winkel von 180° auf. Ein ebenes Dreieck ließe sich nicht konstruieren. Die obere Grenze für die Winkelsumme im sphärischen Dreieck ist somit gefunden, sie kann maximal 3 x 180° = 540° betragen. Somit gilt im sphärischen Dreieck die Relation: 180° 540° Wolfgang Kösling Grundlagen der sphärischen Trigonometrie Die Beziehung = 180° der ebenen Trigonometrie, wonach durch zwei bekannte Winkel bereits der dritte Winkel definiert ist, findet in der sphärischen Trigonometrie somit keine Anwendung mehr. Es folgt aus Kenntnis zweier Winkel nicht sofort der dritte, sondern es müssen alle drei Winkel berechnet werden. Während in der ebene Trigonometrie vier Fälle zur Berechnung eines Dreiecks bekannt sind, muss in der sphärischen Trigonometrie mit sechs Fällen gerechnet werden, wobei hier drei gegebene Stücke vorhanden sein müssen. Wolfgang Kösling Anwendung der Großkreisnavigation Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf er als Kugel angenommenen Erde ist der Großkreis. Schiffe, die sich mit konstantem Kurs bewegen, fahren auf einer Loxodromen. Der Unterschied zwischen dlox und dort kann in hohen Breiten zwischen A und B und bei großen Entfernungen recht erheblich sein. Daher wird man hier das Fahren auf dem Großkreis vorziehen (Hochseenavigation). Dabei ist zu beachten: • Meteorologische und hydrologische Bedingungen • Hindernisse, wie Land und Eis • Hindernisse aus den Ozeanhandbüchern In vielen Fällen wird man das Mischsegeln, eine Kombination zwischen Großkreis- und Loxodromensegeln anwenden. In der Seekarte lässt sich die Orthodrome nicht als gerade Linie darstellen, so dass man die Elemente des Großkreises errechnen bzw. auf Spezialkarten darstellen muss. Beim Fahren auf dem Großkreis ist ständig der Kurs zu ändern. Hier hilft man sich, indem man den Großkreis durch Zwischenpunkte unterteilt und zwischen diesen Punkten auf der Loxodromen fährt (Annäherung an den Großkreis durch Loxodromstücke mit Kursänderungen von 001°). Die Berechnung von Zwischenpunkten ermöglicht den Überblick. Man bestimmt die Breite auf der der Großkreis einen vorgegeben Meridian schneidet. Wolfgang Kösling Grundlagen der sphärischen Trigonometrie B a Δφ A α d Eine Loxodrome (gr. loxos „schief“, dromos „Lauf“) ist eine Kurve auf einer Kugeloberfläche z. B. der Erdoberfläche, die die Meridiane im Geographischen Koordinatensystem immer unter dem gleichen Winkel schneidet und daher auch Kursgleiche, Winkelgleiche oder Kurve konstanten Kurses genannt wird. Beginnend am Äquator endet diese in den Polen als Spirale, auch als logarithmische Spirale bezeichnet. Sie ist somit nicht die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf der Kugel. Auf der Mecartorseekarte stellt sich die Loxodrome als gerade Linie da, die alle Meridiane unter dem gleichen Winkel schneidet! Grundlagen der sphärischen Trigonometrie B A α Die Orthodrome (griech. orthos für „gerade“, dromos für „Lauf“) ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche. Die Orthodrome ist eine Geodäte für den speziellen Fall auf einer Kugeloberfläche. Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises. In der Mercartorkarte stellt sich dieses Bogenstück als Kurve dar und kann somit nicht dort gezeichnet werden. Der Großkreis ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf der als Kugel angenommenen Erde. Auf der Mecartorkarte ergibt sich folgende Darstellung, wobei deutlich die Wegeinsparung beim Fahren auf dem Großkreis erkennbar ist. Wolfgang Kösling Werden zwei Orte auf der als Kugel angenommenen Erde durch eine Gerade und nicht durch einen Großkreis verbunden, ist dieses nicht die kürzeste Entfernung. Alle Meridiane werden jedoch unter dem gleichem Winkel geschnitten. Diese Gerade bezeichnet sich als Loxodrome. Wolfgang Kösling B G M B Der Großkreis ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf der als Kugel angenommenen Erde. Dieser Kreisbogen wird als Orthodrome bezeichnet und schneidet alle Meridiane unter einem anderen Winkel. Wolfgang Kösling G M Die Höhengleiche Beobachtungsort Line Of Position Gestirnsbildpunkt Distanz aus 90° - Höhenwinkel Meridian Breitenparallel Wolfgang Kösling Die Höhengleiche Zwei Schnittpunkte ergeben sich aus den Abstandskreisen. Jedoch sagt uns der Koppelort, welcher Schnittpunkt der Richtige ist! Wolfgang Kösling Die Azimutgleiche Beobachtungsort A B Gestirnsbildpunkt A Gestirnsbildpunkt B gleiches Azimut der Gestirnsbildpunkte A und B Meridian Breitenparallel Wolfgang Kösling Wahres Kursdreieck in der Ebene φA A Das wahre Kursdreieck in der Ebene α λA Kurs und Distanz b A Abfahrtsort B Bestimmungsort c Δφ φB C a Δλ Wolfgang Kösling B λB α Kurswinkel Zählweise des Kurses N 135° E S 45° E rwK = 135° Elemente des Großkreises Abfahrtsort : Bestimmungort: Breitenunterschied: Abfahrtsort : Bestimmungsort: A Längenunterschied: B Wolfgang Kösling φA φB Δφ λA λB Δλ Orthodrome Distanz zw. A und B Orthodromer Anfangskurs von A Scheitelpunkt des Großkreises Zwischenpunkte Zi Koordinaten dort rwKA φS, λS φi, λi Sphärisches Grunddreieck bei der Astron. Navigation Geographischer Nordpol der Erde Stundenwinkel (t) Deklinationskomplement (90° - δ) Geographisches Breitenkomplement (90° - φ) Geographischer Bildpunkt des Gestirns Azimut Beobachtungsort Höhe bzw. Distanz vom Beobachtungsort zum Gestirnsort Wolfgang Kösling Paralaktischer Winkel Sphärisches Grunddreieck beim Fahren auf Großkreis Geographischer Nordpol der Erde Geographischer Längenunterschied (Δλ) Geographischer Breitenkomplement (90° - φ) Geographischer Breitenkomplement (90° - φ) Bestimmungsort Kurswinkel Abfahrtsort Distanz vom Abfahrtsort zum Bestimmungsort Wolfgang Kösling Paralaktischer Winkel Das nautische Grunddreieck für die Goßkreisnavigation Als Winkel im nautischen Grunddreieck bilden sich: am Punkt A als Abfahrtsort: Anfangskurs (αA) am Punkt B als Bestimmungsort: Endkurs (βE), am Punkt C als Pol (P): der Längenunterschied (Δλ), Als Seiten im nautischen Grunddreieck bilden sich: Seite a als Δφ‘B (90° - B) Seite b als Δφ‘A (90° - φA) Seite c Distanz (dort) Wolfgang Kösling Die Elemente des Großkreises P Δλ 90° − φA α A 90° − φB S Mit Hilfe des Sinussatzes, des Seitenkosinussatzes und des Winkelkosinussatzes kann man sämtliche allgemeinen sphärischen Dreiecke berechnen, sofern drei Stücke eines solchen Dreiecks gegeben sind. Es werden sechs Fälle der Berechnung der Seiten und Winkel für die Navigation verwendet. In der Regel müssen der Kurs und die Distanz sowie der Scheitelpunkt berechnet werden. β B α Δλ β = Kurswinkel am Abfahrtsort = Längenunterschied = Kurswinkel am Bestimmungsort P A B S = geographischer Pol = Abfahrtsort = Bestimmungsort = Scheitelpunkt des Großkreises Wolfgang Kösling Gegeben: • φA → Koordinaten des Abfahrtsortes • φB → Koordinaten des Bestimmungsortes) • Δλ → aus der algebraischen Summe λA - λB Gesucht: • Distanz und Kurswinkel • Scheitelpunkt S des Großkreises Das nautische Grunddreieck Die sechs Fälle zur Berechnung des nautischen Grunddreiecks! Fall 1: Berechnung des Anfangskurses Fall 3: Berechnung der Distanz Es ist nicht notwendig, dass jeweils mit den Komplementen der Seitenwerte (90° - φ) gearbeitet werden muss. Diese Werte können direkt benutzt werden. Wolfgang Kösling Gegeben Auflösung 1. Fall zwei Seiten und ein eingeschlossener Winkel a) Anwendung des Sinussatzes zur Berechnung des zweiten gegenüberliegenden Winkels; b) Fällen des sphärischen Lotes, Berechnen des dritten Winkels oder der dritten Seite durch zweimaliges Anwenden der Neperschen Regel; c) Berechnung des letzten Stückes mit dem Sinussatz. 2. Fall zwei Winkel und eine Gegenseite a) Anwendung des Sinussatzes zur Bestimmung der zweiten gegenüberliegenden Seite; b) und c) wie im 1. Fall. 3. Fall zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel a) Anwendung des Seitenkosinussatzes zur Berechnung der dritten Seite; b) zweimaliges Anwenden des Sinussatzes zur Bestimmung der fehlenden Winkel. 4. Fall alle drei Seiten a) Anwendung des Seitenkosinussatzes zur Bestimmung eines Winkels; b) zweimaliges Anwenden des Sinussatzes zur Bestimmung der anderen beiden Winkel. 5. Fall zwei Winkel und eine Zwischenseite a) Anwendung des Winkelkosinussatzes zur Berechnung des dritten Winkels; b) zweimaliges Anwenden des Sinussatzes zur Berechnung der restlichen zwei Seiten. 6. Fall alle drei Winkel a) Anwendung des Winkelkosinussatzes zur Bestimmung einer Seite; b) zweimaliges Anwenden des Sinussatzes zur Berechnung der restlichen zwei Seiten. Berechnung der Distanz Nach dem Seitenkosinussatz gilt im Dreieck APB: cos d = cos (90° - φA ) cos (90°- φB ) + sin (90°- φA ) sin (90°- φB ) cos Δλ (Diese Umstellung gilt sinngemäß für alle folgende Formeln) Daraus folgt: cos d = sin φA sin φB + cos φA cos φB cos Δλ Die Distanz zwischen folgenden Orten ist gesucht! Abfahrtsort: φA = 37° 42‘ N λA = 123° 04‘ W Zielort: φB = 34° 50‘ N λB = 139° 53‘ E Δλ = 097° 03‘ W cos d = sin 37° 42‘ sin 34° 50‘ + cos 37° 42‘ cos 34° 50‘ cos 97° 03‘ d = 74, 36023° = 4461,6 sm Wolfgang Kösling Berechnung des Anfangskurses cos α = Unter Verwendung der bereits errechneten Distanz von 74° 21,6‘ ist der Anfangskurs zu berechnen! Abfahrtsort: φA = 37° 42‘ N λA = 123° 04‘ W Merkt Ihr was? Zielort: φB = 34° 50‘ N λB = 139° 53‘ E Hier überlaufen wir die Δλ = 097° 03‘ W Datumsgrenze von West nach Ost ( ° ° ° , ) cos α = ° : ° , α = N 57,772°W rwKA = 302,2° Soll der Anfangskurs ohne Benutzung der Distanz berechnet werden, so ist die folgende mathematische Beziehung anzuwenden: Wolfgang Kösling tan = Berechnung der Scheitelpunktkoordinaten Im Scheitelunkt S erreicht der Großkreis seine größte Breite. Der Meridian durch S steht senkrecht auf dem Großkreis. Es gilt das rechtwinklig sphärisches Dreieck APS. Nach der NERPERSCHEN Regel gilt dann: cos φS = sin α cos φA und tan ΔλA = Die Länge des Scheitelpunktes ergibt sich wie folgt: λS = λA ± ΔλA Hinweis: Man beachte, dass für ΔλA ≤ 180° der gesuchte Scheitelpunkt bei spitzem Winkel α in Richtung des Anfangskurses und bei stumpfen Winkeln α in entgegengesetzter Richtung liegt! Wolfgang Kösling Berechnung der Scheitelpunktkoordinaten Abfahrtsort: φA = 37° 42‘ N Zielort: φB = 34° 50‘ N λA = 123° 04‘ W λB = 139° 53‘ E Δλ = 097° 03‘ W d = 74, 36023° = 4461,6 sm α = N 57,772°W Scheitelpunktberechnung: cos φS = sin α cos φA und tan ΔλA = Die Länge des Scheitelpunktes: λS = λA ± ΔλA Ergebnisse: φS = 47° 59,1‘ N ΔλA = 45° 52,3‘ damit λA = 123° 04,0‘ W ΔλA = 045° 52,3‘ W λS = 168° 56,3‘ W Wolfgang Kösling T-rechner: 37,7 sin x 57,772 cos = 1/x = shift tan shift DEG Grunddreieck Bei Anwendung mathematischer Beziehungen aus der astronomischen Navigation für die Großkreisberechnung, ersetze: hr durch d dabei ist (dsm = (90° - hr) : 60‘ φ durch φA δ durch φ t durch Δλ Az durch α Wolfgang Kösling Das astronomische Grunddreieck Wolfgang Kösling Das astronomische Grunddreieck Wolfgang Kösling Berechnung von Zwischenpunkten Mit der Berechnung von Zwischenpunkten kann der Großkreis durch Polygonzug loxodromer Teildistanzen und zugehöriger Kurse annähernd auf der Mecartorseekarte dargestellt werden. Für die nautische Praxis haben sich zwei Methoden bewährt: Erste Methode: Vorgabe der geographischen Länge und Berechnung der entsprechend dazu gehörigen Breiten (lt. Beispiel): Abfahrtsort: φA = 37° 42‘ N λA = 123° 04‘ W Zielort: φB = 34° 50‘ N λB = 139° 53‘ E Δλ = 097° 03‘ W rwK A ort = 302,2° d = 4461,6 sm Wie richtig erkannt, wird dabei die Datumsgrenze von West nach Ost übersegelt! Als Zwischenpunkte in der Länge lassen sich festlegen: 140° W, 160° W, 180°nach West, 160° E. Dach errechnen sich die Breiten nach der Formel tan φZp = cos ΔλZp tan φS gemäß dieser Längenvorgabe wie folgt: Zwischenpunkte: Zp 1 Zp 2 Zp 3 Zp 4 . 140° 00,0‘ W 160° 00,0‘W 180° 00,0‘W 160° 00,0‘ E festgelegte Länge 44° 10,2‘ N 47° 38,4‘ N 47° 27,0‘ N 43° 33,4‘ N dazu berechnete Breite Mit der Besteckrechnung können wir dann Kurs und Distanz neu berechnen und mit dem Großkreis abgleichen. Auch können wir diese Koordinaten in die Seekarte eintragen und somit Kurs und Distanz (Loxodrom) direkt entnehmen! Wolfgang Kösling Berechnung von Zwischenpunkten Hat man eine Großkreiskarte (siehe Bild) zur Verfügung, kann man durch Einzeichnen des Großkreises die Zwischenpunkte als Schnittpunkte mit den vorgegebenen Meridianen (λZ) bestimmen und Breiten (φZ) der Karte entnehmen. Die loxodromen Kurse und Distanzen werden dann durch Übertragung in die Mercatorkarte bestimmt. Wolfgang Kösling Berechnung von Zwischenpunkten Zweite Methode: Vorgabe der Kursänderungsrate um je 1° von Zwischenpunkt zu Zwischenpunkt. Zunächst erfolgt die Berechnung des Scheitelpunktes cos sin Die αZ werden von einem Anfangspunkt α1 um jeweils 1° oder allgemein um Δα verändert. sin Um ganzgradzahlige Kurse zu erhalten, sollte man bei der Wahl von α1 beachten, dass sich die loxodromen Kurse aus folgender Beziehung ergeben: cos = αλZ = αZ ± ∆ Richtung der Orthodrome und der Loxodrome Wolfgang Kösling Berechnung von Zwischenpunkten Die geographische Länge der Zwischenpunkte wird mit Hilfe des Längenunterschiedes gegen die Scheitellänge berechnet: cos ΔλZ = Damit gilt: λZ = λS ± ΔλZ Zur Bestimmung der loxodromen Kurse und Distanzen überträgt man die Koordinatern der Zwischenpunkte in eine Mercartorkarte oder berechnet diese nach dem Verfahren der Besteckrechnung. Beispiel: Abfahrtsort: φA = 37° 42‘ N Zielort: φB = 34° 50‘ N rwK A ort = 302,2° Scheitelpunkt: φS = 47° 59,1‘ N Wolfgang Kösling λA = 123° 04‘ W λB = 139° 53‘ E Δλ = 097° 03‘ W d = 4461,6 sm λS = 168° 56,3‘ W Berechnung von Zwischenpunkten Für die ersten Zwischenpunkte entsprechend dem Beispiel erhält man nach den beschriebenen Verfahren folgende Werte: Z φZ λZ A 37°42,0‘N Z1 rwKZ (°) dZ (sm) 123°04,0‘W 057,7 058,1 65,9 38°16,8‘N 124°15,0‘W 058,5 059 87,5 Z2 39°01,8‘N 125°51,1‘W 059,5 060 84,3 Z3 39°44,0‘N 127°25,6‘W 060,5 061 81,7 Z4 40°23,6‘N 128°58,9‘W 061,5 062 79,0 Wolfgang Kösling αZ (°) Mischsegeln Führt der Großkreis der Orte A und B in zu hohe Breiten, die eine unmittelbare Gefahr für das Schiff darstellen könnte, so wird bei Erreichen der maximalen Breite vom Segeln auf der Orthodrome auf das Segeln auf der Loxodromen solange übergegangen, bis man wieder orthodrom Segeln kann. Man legt an dem Breitenparallel, der nicht übersegelt werden soll, zwei Großkreise an, die sich in den Punkten S1 und S2 berühren. Vom Ort A segelt man bis zum Punkt S1 und von dort aus, dem Breitenparallel folgend weiter bis zum Punkt S 2. Ist S2 erreicht, so segelt man auf dem Großkreis bis zum Ort B. Wolfgang Kösling Mischsegeln Beispiel: Ein Schiff ist von Wellington (Neuseeland) nach Valparaiso (Chile) bestimmt. Der Breitengrad von 50° S soll nicht übersegelt werden! Wellington φA = 42° 00,0‘ S λA = 175° 00,0‘ E Valparaiso φB = 32° 58,0‘ S λB = 071° 41,0‘ W Die loxodrome Distanz und der rwK zwischen den Scheitelpunkten S1 und S2 sind zu berechnen! cos ΔλA = cos ΔλB = ΔλA = 040° 55,7‘ E Wolfgang Kösling ΔλB = 057° 01,7‘ W λS1 = λA ₋ ΔλA = 134° 04,3‘ W λS2 = λB ₋ ΔλB = 128° 42,7‘ W φS1 = 50° 00,0‘ S φS2 = 50° 00,0‘ S Dlox = (λS2 ₋ λS1) cos φmax = 592,3 sm rwK = 090°
