Einführung in die Astronomie und Astrophysik I
Werbung
WS 2004 / 05 Einführung in die Astronomie und Astrophysik 2 Physik der Sterne 2.1 Überblick Die Physik der Sterne ist ein fundamentaler Teil der Astrophysik, da ein großer Teil der leuchtenden Materie sich in Sternen befindet. Das physikalische Verständnis der Sterne ist eng verbunden mit der Entwicklung der Physik, viele Berührungspunkte. Einige Meilensteine sind hier beschrieben. Methoden Parallaxen (1840) Visuelle Doppelsterne (1803) Sternphysikalische Bedeutung Bestimmung der Entfernungen der Fixsterne 61 Cyg: 0."293 ⇒ 3.4 pc bzw. 11.1 LJ Nächster Stern: Proxima Cen, 1.31 pc Massen von Sternen über 3. Kepler'sches Gesetz M 1M 2 T 2 a Photometrie (~1850) Photographische ~ (1904) Photoelektrische ~ (1911) Einführung_2.1-2_2004.sxw 3 = 1 M1 und M2 in Sonnenmassen, T in Jahren, a in Astr. Einheiten (1.49 108 km) Massensumme, Einzelmassen bei bekannten "absoluten" Bahnen Kataloge scheinbarer Helligkeiten Bei bekannten Abständen ⇒ Leuchtkräfte Seite 2-1 14.02.05 WS 2004 / 05 Spektroskopie: Spektralanalyse (~1860) Dopplereffekt ­ nuy v = = c Atomphysik Hydrodynamik Magnetohydrodynamik (~1950), Plasmaphysik Kernphysik Relativitätstheorie Helioseismologie Asteroseismologie Einführung_2.1-2_2004.sxw Einführung in die Astronomie und Astrophysik Absorptionslinien im Sonnenspektrum (1814) und in Sternspektren (1823) Chemische Zusammensetzung von Sonne und Sternen durch Vergleich mit Laborspektren Klassifikation der Sternspektren nach Temperatur (Harvard) bzw. Temperatur und Leuchtkraft (MKK) Radialgeschwindigkeiten Hertzsprung-Russell - Diagramm Strahlungstransport Theorie der Sternatmosphären Quantentheorie der Absorption Energietransport durch Konvektion Kosmische Magnetfelder Stellare Aktivität, Sonnenflecken, Dynamos Theorie des inneren Aufbaus der Sterne Späte Stadien der Entwicklung: Weiße Zwerge Neutronensterne Supernovae Neutrino-Astrophysik Gravitationswellen Schwarze Löcher Messung des inneren Aufbaus der Sonne (und Sterne) Seite 2-2 14.02.05 WS 2004 / 05 Einführung in die Astronomie und Astrophysik 2.2 Einführung in die Strahlungstheorie Dieses Kapitel befaßt sich mit Feldern elektromagnetischer Strahlung in den Atmosphären von Sternen. Ihre Beobachtung dient der Analyse des Sternaufbaus. 2.2.1 Intensität und Strahlungsstrom Die Strahlungsenergie dE des Frequenzintervalls , , welche pro Zeiteinheit dt ein Flächenelement d in den Raumwinkel d in Richtung , strömt, sei gegeben mit dE = I , d cos d d . dt (2.1) Für das Raumwinkelelement gilt d = sin d d . Die Größe I , heißt Strahlungsintensität (specific intensity). Einheit [W m-2 Hz-1 sr-1]. Die Umrechnung von Frequenz auf Wellenlänge erfolgt nach I d = I d I = I I = c I . 2 (2.2) Integriert über die Frequenz erhält man die Gesamtintensität (total intensity) ∞ I = ∫ I d ∞ = ∫ I d [W m-2 sr-1]. 0 (2.3) 0 Der spektrale Strahlungsstrom (spectral flux) durch das Flächenelement d ist gegeben mit dem Integral der Intensität über den Raumwinkel: 2 F d d = ∫ ∫ I , cossin d d d d [W m-2 Hz-1]. 0 (2.4) 0 Für ein isotropes Strahlungsfeld ( I , = const. = I ) gilt F = 0 ! Man unterscheidet daher zwischen Einstrahlung in und Ausstrahlung aus dem Flächenelement: Einführung_2.1-2_2004.sxw Seite 2-3 14.02.05 WS 2004 / 05 Einführung in die Astronomie und Astrophysik / 2 2 ∫ ∫ I , cossin d d d p F d = 0 0 2 (2.5) ∫ ∫ I , cossin d d d F m d = / 2 0 p m Fd = F d ­ F d Der Gesamt-Strahlungsstrom (total flux) ist gegeben mit ∞ F = ∫ Fd = 0 ∞ ∫ Fd [W m-2]. (2.6) 0 Bestimmung des Flusses eines Sterns: Annahme - die Intensität sei keine Funktion des Azimuths ϕ: I , = I Die mittlere Intensität ergibt sich aus dem Integral der Intensität über die Sternoberfläche. Ein Flächenelement dort läßt sich darstellen mit d = R cos d ⋅ R sin d . Somit ergibt sich durch Vergleich mit (2.5) / 2 2 R I = 2 ∫ ∫ I R2 cossin d d 0 0 / 2 2 =R 2 ∫ ∫ I cossin d d 0 (2.7) 0 2 p = R F p I = F R2 Der Raumwinkel dω, unter welchem die Sternscheibe mit dem Abstand r vom Beobachter erscheint, ist d = 2 . Damit r ergibt sich der spektrale Strahlungsstrom fυ am Ort des Beobachters mit 2 p R f = I d = F 2 r Einführung_2.1-2_2004.sxw [W Hz-1 m-2]. (2.8) Seite 2-4 14.02.05 WS 2004 / 05 Einführung in die Astronomie und Astrophysik Die gesamte (spektrale) Strahlungsleistung eines Sterns bezeichnet man als (spektrale) Leuchtkraft Lν und L: 2 ­1 L = 4 R F [W Hz ] L = 4 R 2 F [W ] . (2.9) 2.2.2 Strahlungstransport Wir betrachten die Energiebilanz durch Austausch von Strahlung eines Volumenelements dV. dV ds dσ dΩ Die Strahlungsenergie dE des Frequenzintervalls [ν,ν+δν], welche pro Zeiteinheit dt von einem Volumenelement dV in den Raumwinkel dΩ emittiert wird, sei gegeben mit dE = j d dV d . dt (2.10) Die Größe jν heißt Emissionskoeffizient, Einheit [W m-3 Hz-1 sr-1]. Die spektral integrierte, gesamte Emission des Volumenelements beträgt ∞ dE = 4 ∫ j d dV . dt 0 Die Absorption eines Strahlenbündels, welches das Volumenelement dV in Richtung von dΩ mit der Intensität Iν um eine Strecke ds durchläuft, sei gegeben mit Einführung_2.1-2_2004.sxw Seite 2-5 14.02.05 WS 2004 / 05 Einführung in die Astronomie und Astrophysik d I = ­ I . ds (2.11) Die Größe κν heißt Absorptionskoeffizient, Einheit [m-1]. Die Energiebilanz führt zu der Strahlungstransportgleichung d I = ­ I j , ds (2.12) welche die Änderung der Intensität eines Strahlungsfeldes pro Wegelement beschreibt. Für ein emissionsfreies Medium gilt d I = ­ I ds d I = d ln I = ­ ds I Durch Integration ergibt sich s I s = I 0exp ­∫ ds ' 0 (2.13) (2.14) Die Intensität hängt also exponentiell vom Integral über den Absorptionskoeffizienten ab. Eine nützliche Größe ist die optische Dicke dτν der Schicht bei der Frequenz ν - im Gegensatz zu ihrer geometrischen Dicke ds - welche gegeben ist mit d = ds . (2.15) Die Intensität in Gl. (2.14) läßt sich daher mit Hilfe der optischen Dicke einfach darstellen I s = I 0exp ­ . (2.16) Die Strahlungstransportgleichung läßt sich durch Kombination von (2.12) und (2.15) bequem in Einheiten der optischen Dicke ausdrücken: d I ds = ­I j d I d (2.17) = ­I S j Den Term S = nennt man Quellfunktion (source function) oder Ergiebigkeit, Einheit [W m-2 Hz-1 sr-1]. Einführung_2.1-2_2004.sxw Seite 2-6 14.02.05 WS 2004 / 05 Einführung in die Astronomie und Astrophysik Im allgemeinen muß man neben der Absorption (κν) auch Streuung (σν) berücksichtigen, um die Veränderung der Intensität zu berücksichtigen. Die Summe der Absorptions- und Streuungskoeffizienten heißt Extinktionskoeffizient k = . Die optische Dicke (2.15) muß ggf. entsprechend modifiziert werden. Analog kann die Emission ebenfalls einen Streuterm enthalten. 2.2.3 Strahlungsfelder im thermodynamischen Gleichgewicht 2.2.3.1 Hohlraumstrahlung In einem auf gleichförmiger Temperatur T gehaltenen Hohlraum ist die durch jedes Flächenelement dσ hindurchtretende Intensität eine Konstante (Strahlung eines Schwarzen Körpers) I = B T d d cos d (2.18) mit der Kirchhoff-Planck - Funktion Bν(T) 2h B T = c2 3 1 h exp ­1 kT [W Hz-1 m-2 sr-1] (2.19) [W m-1 m-2 sr-1] (2.20) bzw. als Funktion der Wellenlänge 2hc B T = 5 2 1 hc exp ­1 k T mit den Konstanten h Planck'sches Wirkungsquantum 6.63 10-34 [J s] k Boltzmann-Konstante 1.381 10-23 [J K-1] c Lichtgeschwindigkeit 2.998 108 [m s-1] Im kurzwelligen Spektralbereich, d. h. für Einführung_2.1-2_2004.sxw h ≫ 1 bzw. kT hc ≫ 1 gilt näherungsweise das Wien'sche Gesetz k T Seite 2-7 14.02.05 WS 2004 / 05 Einführung in die Astronomie und Astrophysik 3 B T ≈ bzw. 2h h exp ­ 2 kT c Im langwelligen Spektralbereich, d. h. für B T ≈ 2 2 k T c 2 bzw. B T ≈ 2 2hc hc exp ­ (2.21) 5 kT hc h ≪ 1 gilt näherungsweise das Rayleigh-Jeans - Gesetz ≪ 1 bzw. k T kT B T ≈ 2c k T . 4 (2.21) Die Kirchhoff-Planck-Funktion hat ein ausgeprägtes Maximum, dessen Lage im Spektrum von der Temperatur abhängt. Dieser Zusammenhang ist durch das Wien'sche Verschiebungsgesetz gegeben: ­3 max T = const = 2.90⋅10 [m K ] (2.22) Ein Hohlraum mit einer Temperatur von 1 K hat damit das Maximum der Intensität bei einer Wellenlänge von 2.9 mm, d. h. im kurzwelligen astronomischen Radiofrequenzbereich. Bei einer Temperatur von 5780 K (Effektivtemperatur der Sonne) ist das Maximum bei 502 nm, d. h. im grünen, sichtbaren Spektralbereich. Der Gesamt-Strahlungsstrom der Hohlraumstrahlung ist nach dem Stefan-Boltzmann'schen Gesetz gegeben mit ∞ F p T = ∫ B T d = T 4 (2.23) 0 mit der Stefan-Boltzmann – Konstante Einführung_2.1-2_2004.sxw 2 5 k 4 = = 5.67⋅10­8 [W m-2 K-4] 2 3 15 c h Seite 2-8 (2.24) 14.02.05 WS 2004 / 05 Einführung in die Astronomie und Astrophysik Intensität für T = 5780 K 3 bb max 1 .10 Intensität [MW µm^-1 m^-2 sr^-1] 100 bbi wwi rri 10 1 0.1 bb min 0.01 0.1 1 −1 li 10 10 1 10 µm Wellenlänge [µm] Kirchhoff-Planck Wien Rayleigh-Jeans Abbildung 2.1: Kirchhoff-Planck-Funktion für einen schwarzen Körper mit einer Temperatur von 5780 K. Wien'sche und Rayleigh-Jeans – Näherungen. Ein schwarzer Körper bei einer Temperatur von 1 K hat somit einen über alle Wellenlängen integrierten Strahlungsstrom von ca. 57 Nanowatt pro m2, während ein Hauptreihenstern (näherungsweise auch ein schwarzer Körper) mit einer Effektivtemperatur von 6000 K pro m2 Oberfläche etwa 63 Megawatt abstrahlt! Bei steigender Temperatur nimmt die Intensität eines Hohlraumstrahlers in allen Spektralbereichen stetig zu, d. h., die Kirchhoff-Planck-Funktionen bei unterschiedlicher Temperatur schneiden sich nicht. Einführung_2.1-2_2004.sxw Seite 2-9 14.02.05 WS 2004 / 05 Einführung in die Astronomie und Astrophysik Intensität [MW µm^-1 m^-2 sr^-1] 3 1 .10 bb max 100 bb1i bb2i 10 bbi bb3i 1 bb wien i 0.1 bb min 0.01 0.1 1 −1 li 10 10 1 10 µm Wellenlänge [µm] T = 12000 K T = 9000 K T = 5780 K T = 3000 K Verschiebungsgesetz Abbildung 2.2: Kichhoff-Planck-Funktionen für verschiedene Temperaturen und Wien'sches Verschiebungsgesetz. Einführung_2.1-2_2004.sxw Seite 2-10 14.02.05 WS 2004 / 05 Einführung in die Astronomie und Astrophysik 2.2.3.2 Thermodynamisches Gleichgewicht Im thermodynamischen Gleichgewicht entspricht die Intensität der Kirchhoff-Planck-Funktion. Außerdem muß die Emission und die Absorption in allen Volumenelementen gleich sein - d. h. die Änderung der Intensität verschwindet. Durch Einsetzen von (2.19) in die Strahlungstransportgleichung (2.12) und Nullsetzen der linken Seite ergibt sich der Kirchhoff'sche Satz j = B T (2.25) bzw. unter Verwendung von (2.17), j (2.26) = S = B T Im thermodynamischen Gleichgewicht bei der Temperatur T ist die Quellfunktion also gleich der Kirchhoff-Planck-Funktion zur Temperatur T. Als Beispiel einer Anwendung des Kirchhoff'schen Satzes berechnen wir die Intensität einer Materieschicht der Dicke S bei konstanter Temperatur T. Vergleichbare Probleme tauchen beim Strahlungstransport durch eine Sternatmosphäre auf. Die Emission eines Volumenelements, welches sich über das Intervall [x,x+dx] längs des Sehstrahls erstreckt, ist unter Verwendung von (2.25) gegeben mit j dx = B T dx = B T d . Die Absorption dieser Intensität längs des Weges zur x Oberfläche bei s = 0 ist gegeben durch die der geometrischen Tiefe x entsprechenden optische Tiefe = ∫ dx ' , und be0 trägt einen Faktor exp­ . Somit ist der Beitrag der Schicht im Intervall [x,x+dx] zu der Intensität an der Oberfläche d I = B T exp ­ d (2.27) Integration von (2.27) bis zur der geometrischen Dicke S entsprechenden optischen Dicke T der Schicht ergibt T I = ∫ B T exp­ d (2.28) 0 = B T 1 ­ exp­T Einführung_2.1-2_2004.sxw Seite 2-11 14.02.05 WS 2004 / 05 Einführung in die Astronomie und Astrophysik zum Beobachter 0 0 x x + dx S Tν Gesamt-Strahlungsstrom [W m^-2] geometrische optische Dicke Dicke 1 .10 9 1 .10 8 1 .10 7 1 .10 6 0.01 0.1 1 Optische Tiefe 10 100 Zeichnung 1: Zur Intensität einer Schicht mit konstanter Temperatur. Für Schichten mit einer optischen Dicke T ≪1 ist die Intensität proportional zur optischen Dicke. Solche Schichten nennt man optisch dünn. Schichten mit einer optischen Dicke T ≫1 haben eine von ihrer Dicke unabhängige Intensität, man nennt sie optisch dick. In einer optisch dicken Schicht entsteht die freiwerdende Strahlung im wesentlichen bei einer optischen Tiefe von ≈1 . 2.2.3.3 Strahlungsdichte Als spektrale Strahlungsdichte uν bezeichnet man die spektrale Energiedichte eines Strahlungsfeldes. Sie ergibt sich - pro Raumwinkeleinheit - aus der Intensität durch Division mit der Lichtgeschwindigkeit und anschließende Integration über alle Raumwinkel u = 1 c ∫ I d = 4 J c [J m-3]. (2.29) Dabei ist Jν die (über die Oberfläche des Volumenelementes) gemittelte Intensität. Für die Hohlraumstrahlung ist J = B T . In diesem Falle ist die Gesamtenergiedichte (spektral integriert) Einführung_2.1-2_2004.sxw Seite 2-12 14.02.05 WS 2004 / 05 Einführung in die Astronomie und Astrophysik ∞ u = ∫ u d nuy = a T 4 (2.30) 0 mit der Konstanten a = Einführung_2.1-2_2004.sxw 4 = 1.56⋅10­16 [J m-3 K-4]. c Seite 2-13 14.02.05
