Quantenmechanik
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Quantenmechanik "Wer von der Quantentheorie nicht schockiert ist, hat sie nicht verstanden." Niels Bohr S.Alexandrova FDIBA 1 Grundelemente der Quantenmechanik ٭In der klassischen Mechanik beschreibt jedes Teilchen eine genau definierte Bahn, so dass zu jedem beliebigen Zeitpunkt seine Koordinaten und sein Impuls genau fixiert sind. ٭Doch wegen der Welleneigenschaften unterscheiden sich Mikroteilchen bedeutend von klassischen Teilchen. Es ist nicht möglich, von der Bewegung des Mikroteilchens entlang einer definierten Bahn zu sprechen. Genauso ist es unmöglich, von gleichzeitig genauen Werten seiner Koordinaten und seines Impulses zu sprechen. ٭Dies folgt aus dem Welle-Teilchen-Dualismus. S.Alexandrova FDIBA 2 Davisson Davisson und und Germer Germer Experiment Experiment 1927 entdeckten Davisson und Germer, dass in Elektronenbündel, das an einem natürlichen Beugungsgitter gestreut wurde (einem Nickelkristall), ein Beugungsbild ergibt. Die gebeugten Elektronen zeigen eine winkelabhängige Intensitätsverteilung. Ein solches Beugungsmuster ist nur zu erklären, wenn man annimmt, daß Elektronen Wellencharakter besitzen und deshalb an den Atomschichten des Festkörpers gebeugt werden. Beugung am Aluminiumkristall S.Alexandrova FDIBA 3 Dualismus Dualismus von von WellenWellen- und und Teilcheneigenschaften Teilcheneigenschaften “Das große Parodoxon” Doppelspalt-experimente mit Licht und mit Elektronen Interferenz von Licht: I12≠ I1 + I2 Interferenz von Elektronen: P12 ≠ P1 + P2 S.Alexandrova (I (P Intensität ) Ortsauffindungswahrscheinlichkeit) FDIBA 4 S.Alexandrova FDIBA 5 Der Der Welle-Teilchen-Dualismus Welle-Teilchen-Dualismus der der Materie Materie Louis de Broglie 1927 Hypothese von der Universalität des Welle-Teilchen-Dualismus Nicht nur Photonen, sondern auch alle anderen Materieteilchen (Elektronen, Protonen, usw.) weisen neben ihren Teilchen- auch Welleneigenschaften auf. Nach de Broglie sind mit jedem Mikroobjekt: • die Teilchencharakteristiken Energie νE und Impuls p und λ • die Wellencharakteristiken Frequenz und Wellenlänge miteinander verknüpft. Die Formel von de Broglie lautet: S.Alexandrova FDIBA 6 Relevanz des Welle-Teilchen-Dualismus im Alltag Berechnen sie die Wellenlänge eines 1000 kg schweren Autos, das sich mit 100 m/s (= 360 km/h) bewegt ! λ = h/mv = 6.6x10-34 [J s]/(1000 [kg])(100 [m/s]) = 6.6x10-39 m ►Die de-Broglie-Wellenlänge eines fahrenden Autos ist unmessbar klein, d.h. an sehr großen Objekten kann das Wellenverhalten von Materie nicht beobachtet werden. Berechnen sie die Wellenlänge eines Elektrons (m=9.1x10-31 [kg]), das sich mit 107 m/s bewegt ! λ = h/mv = 6.6x10-34 [J s]/(9.1x10-31 [kg])(107 [m/s]) = 7.3x10-11 m ►Dies ist in der Größenordnung der Wellenlänge von Röntgenstrahlung. S.Alexandrova FDIBA 7 Relevanz des Welle-Teilchen-Dualismus im Alltag de Broglie-Wellenlänge eines beschluegnten Elektrons Elektrisches Potential V; eV = p V = 104 V h 1.23 x10 −9 λ= = m 2me eV V 2 2me λ = 10-11 m Elektronen durch Kristall Energie des Elektrons eV Röntgenbereich Muster ähnlich wie bei Röntgenstrahlen S.Alexandrova FDIBA 8 Unschärferelation Elektronen sind nach de Broglie Wellen. Von Wellen kennt man genau die Energie, aber nicht den Ort, da sie im Ortsraum ausgebreitet sind. Für Wellen gilt die Unschärferelation: Räumliche Unschärfe einer Welle Für Atome bedeutet dies, dass die Impulse p der Elektronen exakt definiert und bekannt sind, dann können aber ihre Elektronenbahnen nicht gut bekannt sein. S.Alexandrova FDIBA 9 Theorie der Unschärferelation Werner Karl Heisenberg Theorie der Unschärferelation besagt, daß im subatomaren Bereich keine genauen Messungen möglich seien, da der Beobachtungsbzw. Meßvorgang auf das zu beobachtende Objekt eine Auswirkung habe, z. B. bezüglich seines Ortes, seiner Energie etc. Heisenberg schloß daraus, daß man für den subatomaren Bereich nur Wahrscheinlichkeitsaussagen machen könne. Widerlegung des Determinismus? S.Alexandrova FDIBA 10 Heisenbergsche Heisenbergsche Unschärferelation Unschärferelation Entsprechend der Heisenbergschen Unschärferelation kann ein Mikroteilchen nicht gleichzeitig sowohl genau definierte Koordinaten (x, y, z) als auch die genau definierten entsprechenden Projektionen des Impulses (px, py, pz) besitzen, wobei die Unschärfe dieser Größen folgenden Bedingungen genügt : Die Unschärferlation bedeutet: Der Messprozess beeinflusst die zu messende Größe. Diese Aussage ist von fundamentaler Bedeutung für die Physik. S.Alexandrova FDIBA 11 Heisenbergsche Heisenbergsche Unschärferelation Unschärferelation Die Unmöglichkeit, die Koordinaten und die entsprechende Impulsprojektion gleichzeitig zu bestimmen, ist nicht auf die Unvollkommenheit der Meßmethoden oder der Meßgeräte zurückzuführen. Die Unschärferelation stellt eine Quantenbegrenzung in der Anwendung der klassischen Mechanik auf Mikroobjekte. Die Welleneigenschaften spielen für makroskopische Körper keine Rolle; Koordinaten und Geschwindigkeit von Makrokörpern können gleichzeitig hinreichend genau gemessen werden. S.Alexandrova FDIBA 12 Heisenbergsche Unschärferelation S.Alexandrova FDIBA 13 Energie-Zeit-Unschärfe Energie-Zeit-Unschärfe Neben der Ort-Impuls-Unschärfe existiert noch die Energie-Zeit-Unschärfe ∆E ist die Unschärfe der Energie eines Systems in einem gewissen Zustand ∆t ist die Dauer der Existenz dieses Systems S.Alexandrova FDIBA 14 Born‘sche Interpretation der Elektronen-bewegung im Atom Max Born 1882-1970 Den Elektronen können keine konkreten Bahnen zugeschrieben werden, sondern nur Wahrscheinlichkeiten für ihre örtliche Verteilung. S.Alexandrova FDIBA 15 Quantenmechanik Quantenmechanik Entstehung der Quantenmechanik → Revolution in der Physik Louis de Broglie; Werner Heisenberg; Erwin Schrödinger; Paul Dirac Beschreibung der Bewegung der Körper: Klassische Mechanik : •Teilchen lokalisiert im Raum •Bewegung genau beschrieben Quantenmechanik : •Bewegung nicht genau beschrieben •Quantelung von Energie •Photonenkonzept Verhalten → von Planetten bis Elektronen Verhalten → von Elementarteilchen Klassische Mechanik → faktische Quantenmechanik → mögliche Gnundgesetze : Energieerahaltungsatz S.Alexandrova FDIBA 16 Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsdeutung Beschreibtung der Bewegung und Wechselwirkung von Mikroteilchen Berücksichtigung ihrer Welleneigenschaften Elektrons im Atom Materiefeld beschränkt im Raum ~ 10-9 m Amplitude Ψ (x ) Ψ (x ) •Inerhalb der Raumes •Ausserhalb des Raumes 0 S.Alexandrova FDIBA 17 Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsdeutung Ψ (x ) Wellenfunktion (oder Psi-Funktion) M. Born 1926 Komplexe Funktion * Konjugiert komplexe Ψ Reele Funktion Ψ = Ψ * 2 * Ψ ( x) = Ψ ( x)Ψ ( x) bestimmt die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zum Zeitpunkt t im Bereich mit den Koordinaten x und x+dx zu finden S.Alexandrova FDIBA x x + dx 18 Schrödingergleichung Wellenfunktion als Lösung der Schrödingergleichung Dynamischer Zustand Wirkwnde Kräfte Gesamtenergie Konservative Kräfte E p (x) p2 E= + E p ( x) Ψ (x ) 2m h 2 d 2Ψ − + E p ( x) = EΨ 2 2m dx Fundamentale Differentialgleichung Wichtig: Form der E p (x) Operator d − ih dx p Lösung Ψ (x) Stationäre Zustande 1 d 2 h2 d 2 (−ih ) + E p ( x) = E =: + E p ( x) 2 2m 2m dx dx S.Alexandrova FDIBA 19 Schrödingergleichung h2 d 2 Ψ = EΨ ( x) 2 2m dx Freies Teilchen: E p ( x) = 0 d 2Ψ dx 2 Lösungen sind harmonische Wellen: Ψ ( x ) = eikx Bewegung: +x Richtung = k 2x Ψ ( x) = e −ikx -x Richtung 2 Ψ ( x ) = Ψ * ( x )Ψ ( x ) = eikx ⋅ e −ikx = 1 D.h. Wahrscheinlichkeit an allen Orten ist gleich! Völlige Unsicherheit über den Ort: Übereinstimmung mit Unschärferelation ∆p = 0 p bekant und ∆x → ∞ Teilchen im Potentialkasten Kristalline Structur Erlaubte Bännder und verbotene Zonen S.Alexandrova FDIBA 20 Wahrscheinlichkeitsdichte Die Born´sche Interpretation S.Alexandrova FDIBA 21 Wahrscheinlichkeitsdichte In der klassischen Mechanik besitzt ein Teilchen eine wohldefinierte Bahnkurve, bei der Ort und Impuls genau angegeben werden können. Nach den Vorstellungen der Quantenmechanik gibt es eine Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort zu finden. Je dunkler die Fläche, desto höher ist die sog. Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen an diesem Ort anzutreffen. S.Alexandrova FDIBA 22 Das Teilchen im eindimensionale Potentialkasten S.Alexandrova FDIBA 23 Das Teilchen im eindimensionale Potentialkasten S.Alexandrova FDIBA 24 Randbedingungen: Die ersten fünf normierten Wellenfunktionen des Teilchens im Kasten. Jede Wellenfunktion ist eine stehende Welle. S.Alexandrova FDIBA 25 S.Alexandrova FDIBA 26 S.Alexandrova FDIBA 27
