Quantenmechanik

Quantenmechanik
"Wer von der Quantentheorie nicht schockiert ist, hat sie nicht verstanden."
Niels Bohr
S.Alexandrova
FDIBA
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Grundelemente der Quantenmechanik
‫ ٭‬In
der klassischen Mechanik beschreibt jedes Teilchen eine genau
definierte Bahn, so dass zu jedem beliebigen Zeitpunkt
seine Koordinaten und sein Impuls genau fixiert sind.
‫٭‬Doch wegen der Welleneigenschaften unterscheiden sich
Mikroteilchen bedeutend von klassischen Teilchen.
Es ist nicht möglich, von der Bewegung des Mikroteilchens entlang
einer definierten Bahn zu sprechen.
Genauso ist es unmöglich, von gleichzeitig genauen Werten
seiner Koordinaten und seines Impulses zu sprechen.
‫٭‬Dies folgt aus dem Welle-Teilchen-Dualismus.
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Davisson
Davisson und
und Germer
Germer Experiment
Experiment
1927 entdeckten Davisson und Germer, dass
in Elektronenbündel, das an einem natürlichen
Beugungsgitter gestreut wurde (einem
Nickelkristall), ein Beugungsbild ergibt.
Die gebeugten Elektronen zeigen
eine winkelabhängige Intensitätsverteilung.
Ein solches Beugungsmuster ist nur zu
erklären, wenn man annimmt, daß
Elektronen Wellencharakter besitzen
und deshalb an den Atomschichten des
Festkörpers gebeugt werden.
Beugung am Aluminiumkristall
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Dualismus
Dualismus von
von WellenWellen- und
und Teilcheneigenschaften
Teilcheneigenschaften
“Das große Parodoxon” Doppelspalt-experimente mit Licht und mit Elektronen
Interferenz von Licht:
I12≠ I1 + I2
Interferenz von Elektronen: P12 ≠ P1 + P2
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(I
(P
Intensität )
Ortsauffindungswahrscheinlichkeit)
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S.Alexandrova
FDIBA
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Der
Der Welle-Teilchen-Dualismus
Welle-Teilchen-Dualismus der
der Materie
Materie
Louis de Broglie 1927
Hypothese von der Universalität
des Welle-Teilchen-Dualismus
Nicht nur Photonen, sondern auch alle
anderen Materieteilchen (Elektronen,
Protonen, usw.) weisen neben ihren
Teilchen- auch Welleneigenschaften auf.
Nach de Broglie sind mit jedem Mikroobjekt:
• die Teilchencharakteristiken Energie νE und Impuls p und λ
• die Wellencharakteristiken Frequenz und Wellenlänge
miteinander verknüpft.
Die Formel von de Broglie lautet:
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Relevanz des Welle-Teilchen-Dualismus im Alltag
Berechnen sie die Wellenlänge eines 1000 kg schweren Autos,
das sich mit 100 m/s (= 360 km/h) bewegt !
λ = h/mv = 6.6x10-34 [J s]/(1000 [kg])(100 [m/s]) = 6.6x10-39 m
►Die
de-Broglie-Wellenlänge eines fahrenden Autos ist unmessbar klein,
d.h. an sehr großen Objekten kann das Wellenverhalten
von Materie nicht beobachtet werden.
Berechnen sie die Wellenlänge eines Elektrons (m=9.1x10-31 [kg]),
das sich mit 107 m/s bewegt !
λ = h/mv = 6.6x10-34 [J s]/(9.1x10-31 [kg])(107 [m/s]) = 7.3x10-11 m
►Dies
ist in der Größenordnung der Wellenlänge von Röntgenstrahlung.
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Relevanz des Welle-Teilchen-Dualismus im Alltag
de Broglie-Wellenlänge eines beschluegnten Elektrons
Elektrisches Potential V;
eV = p
V = 104 V
h
1.23 x10 −9
λ=
=
m
2me eV
V
2
2me
λ = 10-11 m
Elektronen durch Kristall
Energie des Elektrons eV
Röntgenbereich
Muster
ähnlich wie bei Röntgenstrahlen
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Unschärferelation
Elektronen sind nach de Broglie Wellen.
Von Wellen kennt man genau die Energie, aber nicht
den Ort, da sie im Ortsraum ausgebreitet sind.
Für Wellen gilt die
Unschärferelation:
Räumliche Unschärfe einer Welle
Für Atome bedeutet dies, dass die Impulse p der Elektronen
exakt definiert und bekannt sind, dann können aber ihre
Elektronenbahnen nicht gut bekannt sein.
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Theorie der Unschärferelation
Werner Karl Heisenberg
Theorie der Unschärferelation besagt, daß im subatomaren Bereich
keine genauen Messungen möglich seien, da der Beobachtungsbzw. Meßvorgang auf das zu beobachtende Objekt eine Auswirkung
habe, z. B. bezüglich seines Ortes, seiner Energie etc.
Heisenberg schloß daraus, daß man für den subatomaren Bereich
nur Wahrscheinlichkeitsaussagen machen könne.
Widerlegung des Determinismus?
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Heisenbergsche
Heisenbergsche Unschärferelation
Unschärferelation
Entsprechend der Heisenbergschen Unschärferelation kann
ein Mikroteilchen nicht gleichzeitig sowohl genau definierte
Koordinaten (x, y, z) als auch die genau definierten
entsprechenden Projektionen des Impulses (px, py, pz) besitzen,
wobei die Unschärfe dieser Größen folgenden Bedingungen
genügt :
Die Unschärferlation bedeutet:
Der Messprozess beeinflusst die zu messende Größe.
Diese Aussage ist von fundamentaler Bedeutung für die Physik.
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Heisenbergsche
Heisenbergsche Unschärferelation
Unschärferelation
Die Unmöglichkeit, die Koordinaten und die entsprechende Impulsprojektion
gleichzeitig zu bestimmen, ist nicht auf die Unvollkommenheit
der Meßmethoden oder der Meßgeräte zurückzuführen.
Die Unschärferelation stellt eine Quantenbegrenzung in der Anwendung
der klassischen Mechanik auf Mikroobjekte.
Die Welleneigenschaften spielen für makroskopische Körper keine Rolle;
Koordinaten und Geschwindigkeit von Makrokörpern können gleichzeitig
hinreichend genau gemessen werden.
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Heisenbergsche Unschärferelation
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Energie-Zeit-Unschärfe
Energie-Zeit-Unschärfe
Neben der Ort-Impuls-Unschärfe existiert noch
die Energie-Zeit-Unschärfe
∆E
ist die Unschärfe der Energie eines Systems
in einem gewissen Zustand
∆t
ist die Dauer der Existenz dieses Systems
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Born‘sche Interpretation der Elektronen-bewegung
im Atom
Max Born
1882-1970
Den Elektronen können keine
konkreten Bahnen zugeschrieben
werden, sondern nur
Wahrscheinlichkeiten für
ihre örtliche Verteilung.
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Quantenmechanik
Quantenmechanik
Entstehung der Quantenmechanik → Revolution in der Physik
Louis de Broglie; Werner Heisenberg; Erwin Schrödinger; Paul Dirac
Beschreibung der Bewegung der Körper:
Klassische Mechanik :
•Teilchen lokalisiert im Raum
•Bewegung genau beschrieben
Quantenmechanik :
•Bewegung nicht genau
beschrieben
•Quantelung von Energie
•Photonenkonzept
Verhalten → von Planetten bis
Elektronen
Verhalten → von Elementarteilchen
Klassische Mechanik → faktische
Quantenmechanik → mögliche
Gnundgesetze
: Energieerahaltungsatz
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Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsdeutung
Beschreibtung der Bewegung und Wechselwirkung von
Mikroteilchen Berücksichtigung ihrer Welleneigenschaften
Elektrons im Atom
Materiefeld
beschränkt im Raum ~ 10-9 m
Amplitude Ψ (x )
Ψ (x )
•Inerhalb der Raumes
•Ausserhalb des Raumes
0
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Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsdeutung
Ψ (x )
Wellenfunktion (oder Psi-Funktion)
M. Born 1926
Komplexe Funktion
*
Konjugiert komplexe Ψ
Reele Funktion Ψ = Ψ *
2
*
Ψ ( x) = Ψ ( x)Ψ ( x)
bestimmt die Wahrscheinlichkeit, ein
Teilchen zum Zeitpunkt t
im Bereich mit den Koordinaten x und
x+dx zu finden
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x
x + dx 18
Schrödingergleichung
Wellenfunktion als Lösung der Schrödingergleichung
Dynamischer Zustand Wirkwnde Kräfte Gesamtenergie
Konservative Kräfte
E p (x)
p2
E=
+ E p ( x)
Ψ (x )
2m
h 2 d 2Ψ
−
+ E p ( x) = EΨ
2
2m dx
Fundamentale Differentialgleichung
Wichtig: Form der E p (x)
Operator
d
− ih
dx
p
Lösung Ψ (x) Stationäre Zustande
1
d 2
h2 d 2
(−ih ) + E p ( x) =
E =:
+ E p ( x)
2
2m
2m dx
dx
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Schrödingergleichung
h2 d 2
Ψ = EΨ ( x)
2
2m dx
Freies Teilchen: E p ( x) = 0
d 2Ψ
dx 2
Lösungen sind harmonische Wellen: Ψ ( x ) = eikx
Bewegung:
+x Richtung
= k 2x
Ψ ( x) = e −ikx
-x Richtung
2
Ψ ( x ) = Ψ * ( x )Ψ ( x ) = eikx ⋅ e −ikx = 1
D.h. Wahrscheinlichkeit an allen Orten ist gleich!
Völlige Unsicherheit über den Ort: Übereinstimmung mit Unschärferelation
∆p = 0
p bekant
und ∆x → ∞
Teilchen im Potentialkasten
Kristalline Structur Erlaubte Bännder und verbotene Zonen
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Wahrscheinlichkeitsdichte
Die Born´sche Interpretation
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Wahrscheinlichkeitsdichte
In der klassischen Mechanik
besitzt ein Teilchen eine
wohldefinierte Bahnkurve, bei der
Ort und Impuls genau angegeben
werden können.
Nach den Vorstellungen der
Quantenmechanik gibt es eine
Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zu
einem bestimmten Zeitpunkt an einem
bestimmten Ort zu finden.
Je dunkler die Fläche, desto höher ist
die sog. Wahrscheinlichkeitsdichte, das
Teilchen an diesem Ort anzutreffen.
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Das Teilchen im eindimensionale
Potentialkasten
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Das Teilchen im eindimensionale Potentialkasten
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Randbedingungen:
Die ersten fünf normierten
Wellenfunktionen des Teilchens
im Kasten. Jede Wellenfunktion
ist eine stehende Welle.
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