¨Ubungsblatt 03 06.05.2014

Aufgaben zur Veranstaltung
Tutorium Stochastik, SS 2014
Yvonne Nix, M.Sc., Rebecca Sarholz, B.Sc.
FH Aachen, Campus Jülich; IT Center, RWTH Aachen
Übungsblatt 03
06.05.2014
I.04 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen
1.) Bäcker H. backt jeden Morgen frische Brötchen für ein Kurhotel. Die zufällige Anzahl
X der jeweils nachgefragten Brötchen werde durch die folgende Zähldichte pX : R → R
beschrieben:
 1
für x ∈ {1, · · · , 1000}

10000


 1
für x ∈ {1001, · · · , 1400}
pX (x) = 500
1

für x ∈ {1401, · · · , 2000}


 6000
0
sonst
(a) Zeigen Sie, dass durch pX tatsächlich eine Zähldichte einer diskreten Zufallsvariablen X gegeben ist.
(b) Bäcker H. vermag täglich maximal 1500 Brötchen zu liefern. Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass die nachfrag des Hotels die Lieferkapazität des
Bäckers übersteigt.
2.) Gegeben ist die Zufallsgröße X, deren Verteilung durch eine stetige Dichtefunktion des
Typs

0
für x < 0



ax
für 0 ≤ x < 2
f (x) =
b · (6 − x) für 2 ≤ x < 6



0
für x ≥ 6
beschrieben ist.
(a) Bestimmen Sie zuerst die Konstanten a und b mithilfe der Eigenschaften von Dichtefunktionen.
(b) Berechnen Sie danach
i. den Erwartungswert µ,
ii. den Median x0,5 und
iii. den Modalwert (wahrscheinlichster Wert) xmod .
3.) Es sei X Zufallsvariable mit einer stetigen Verteilungsfunktion F der Form


für x < −2
0
1
1
F (x) = 4 + 8 · x
für − 2 ≤ x ≤ 0


c1 + c2 · (1 − e−x ) für 0 < x
(a) Bestimmen Sie die Konstanten c1 und c2 .
(b) Berechnen Sie den Erwartungswert E[X].
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert größer −1 annimmt?
1
I.05 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung
4.) Ein gleichmäßiger Würfel hat auf seinen 6 Seiten je 2 mal die Buchstaben O, T und L
zu stehen.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dafür, dass man 6 mal würfeln muss, bis zum
ersten mal ein T erscheint?
(b) Wie oft muss man im Schnitt würfeln, bis zum ersten mal ein T gewürfelt wird?
5.) Louis Pasteur impfte im Jahr 1880 sechs Hühner mit einem Serum gegen Cholera. Als er
diese und sechs ungeimpfte Hühner mit Cholera-Erregern infizierte, waren am nächsten
Tag sechs Hühner tot.
(a) Wäre die Impfung völlig wirkungslos gewesen, so wären die sechs toten Hühner
eine rein zufällige Auswahl aus allen 12 infizierten Hühnern gewesen. Wie groß ist
unter dieser Annahme die Wahrscheinlichkeit, dass die sechs toten Hühner gerade
die sechs ungeimpften sind? (Dieser Fall trat tatsächlich ein.)
(b) Sei X die Anzahl der geimpften Hühner unter den sechs toten Hühnern. Geben Sie
unter der Annahme, dass die Impfung ohne Wirkung war, die Verteilung von X an.
(c) Berechnen Sie unter der Annahme, dass die Impfung ohne jede Wirkung war, die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den sechs toten Hühnern mindestens 2
geimpfte befinden.
6.) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zündung bei einem Auto falsch eingestellt ist, sei p =
0, 3. Es werden n = 5 Autos ausgewählt. Die betrachtete Zufallsvariable X bezeichnet
die Zahl der Autos mit falsch eingestellter Zündung.
(a) Bestimmen Sie die Werte der Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfuntkion für x =
0, 1, 2, 3, 4, 5.
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
i. bei 2 Autos die Zündung falsch eingestellt ist.
ii. bei 2 oder weniger Autos die Zündung falsch eingestellt ist.
iii. bei mehr als 3 Autos die Zündung falsch eingestellt ist.
(c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz.
7.) An einem Schalter treffen im Schnitt 0,1 Kunden pro Minute ein.
(a) Welche Verteilung besitzt dann die Anzahl der innerhalb 1 Stunde ankommenden
Kunden?
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3 Kunden ankommen.
(c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 2 und 5 Kunden am Schalter
ankommen.
2
8.) An einer Haltestelle kommt pünktlich alle 20 Minuten eine S-Bahn. Eine Person geht,
ohne auf die Uhr zu schauen, an die Haltestelle und nimmt die nächste S-Bahn. Die
Zufallsvaribale T bezeichne die Wartezeit in Minuten.
(a) Modellieren Sie die Verteilung von T mit einer geeigneten Dichtefunktion.
(b) Bestimmen Sie damit die Wahrscheinlichkeiten für
i. P (T < 10),
ii. P (T > 5),
iii. P (5 < T < 8).
9.) Für die Körpergröße von 18-20-jährigen Männern ergibt sich ein Mittelwert von 1, 80
m bei einer Standardabweichung von 7, 4 cm. Die Körpergröße kann als normalverteilt
angesehen werden.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig ausgewählter Mann dieser Altersgruppe
i. größer als 1, 85 m
ii. zwischen 1, 70 m und 1, 80 m groß?
(b) In welchem symmetrischen Bereich um den Mittelwert liegen die Größen von 50%
aller Männer dieser Altersgruppe?
(c) Wie groß muss ein Mann sein, damit er zu den 5% größten Männern gehört?
10.) Das Erzeugnis eines Produktionsprozesses ist von erster Wahl, wenn das normalverteilte
Qualitätsmerkmal größer als 110 ist, es ist von zweiter Wahl, wenn das Qualitätsmerkmal zwischen 110 und 100 liegt, die verbleibenden Erzeugnisse bilden den Ausfall der
Produktion. Für µ = 110 und σ = 5 berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden
Ereignisse:
(a)
(b)
(c)
(d)
A = {das Erzeugnis ist erste Wahl}
B = {das Erzeugnis ist zweite Wahl}
C = {das Erzeugnis ist Ausfall}
D = {von 5 Erzeugnissen sind 3 erste Wahl}
3