Stochastik I Vorlesungsmitschrift

Stochastik I
Vorlesungsmitschrift
Ulrich Horst
Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
ii
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegriffe
1
Wahrscheinlichkeitsräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Diskrete Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Transformation von Wahrscheinlichkeitsräumen . . . . . . . . . . .
4
Zufallsvariable, Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Varianz und Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Schwaches und starkes Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . .
8
Vergleich von Konvergenzbegriffen, gleichmäßige Integrierbarkeit .
9
Verteilung einer Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen . . . . . . . .
11 Dynkin-Systeme, Eindeutigkeitssatz, Sätze über monotone Klassen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
3
5
6
9
9
11
12
13
15
16
2 Unhabhängigkeit
1
Unabhängige Ereignisse . . . . .
2
Unabhängige Zufallsvariablen . .
3
Starkes Gesetz der großen Zahlen
4
Gemeinsame Verteilung, Faltung
4.1
Fouriertransformation . .
5
Der zentrale Grenzwertsatz . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
19
20
20
21
23
23
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
iii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kapitel 1
Grundbegriffe
1
Wahrscheinlichkeitsräume
a) Was kann alles passieren?
b) Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten diese oder jene Ereignisse auf?
a) → Menge Ω 6= ∅ der möglichen Ereignisse
Beispiel 1.1.
a) Ein Münzwurf: Ω = {0, 1}.
b) n Münzwürfe: Ω = {(X1 , . . . , Xn ) : Xi ∈ {0, 1}}.
c) unendlich viele Münzwürfe: Ω = (Xi )i∈N : Xi ∈ {0, 1} .
d) Zufallszahl zwischen 0 und 1: Ω = [0, 1].
e) Stetige stochastische Prozesse, z.B. Brownsche Bewegung auf R:
Ω = C ([0, 1]) oder Ω = C ( [0, ∞) ).
Ereignis A ⊂ Ω: A tritt ein“, falls auftretendes ω in A liegt.
”
Elementares Ereignis: A = {ω}, ω ∈ Ω,
unmögliches Ereignis: A = ∅,
sicheres Ereignis:
A = Ω,
A tritt nicht ein“:
Ac .
”
Kombination von Ereignissen
S
A1 ∪ A2 , i Ai
mindestens eins der Ai tritt ein“,
T
”
A1 ∩ A2 , i Ai
jedes der Ai tritt ein“,
T S
”
A
unendlich viele der Ai treten ein“,
”
Sn Tm≥n m
A
bis
auf endlich viele treten alle Ai auf“,
m
n
m≥n
”
T S
S T
lim sup An = n m≥n Am , lim inf An = n m≥n Am .
Beispiel 1.2. zu a)
”
1 tritt ein“: A = {1}.
zu b) Genau k Einsen treten auf: A = {(X1 , . . . , Xn ) ∈ Ω :
1
Pn
i=1
Xi = k}.
2
KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE
Pn
zu c) Relative Häufigkeit von 1 ist p: A = (X1 , . . . , Xn ) ∈ Ω : lim n1 i=1 Xi = p .
zu d) Zahl zwischen a und b: A = [a, b].
zu e) Niveau c wird überschritten (bis zur Zeit 1): A = {ω ∈ C ([0, 1]) : max0≤t≤1 ω (t) ≥ c}.
Kollektion A der im Modell zugelassenen Ereignisse soll abgeschlossen sein unter abzählbaren
Mengenoperationen.
Definition 1.3. A ⊆ P (Ω) heißt σ-Algebra, falls
1. Ω ∈ A,
2. A ∈ A impliziert Ac ∈ A,
3. A1 , A2 , . . . ∈ A impliziert
Bemerkung 1.4.
S∞
n=1
An ∈ A.
1. Sei A eine σ-Algebra. Dann gilt:
• ∅ ∈ A,
• A1 , A2 , . . . ∈ A impliziert
T∞
n=1
S∞
c
An = ( n=1 An ) ∈ A.
2. P (Ω) ist eine σ-Algebra.
3. Seien Ai σ-Algebren, i ∈ I, dann ist
T
i∈I
Ai wieder eine σ-Algebra.
4. Typische Konstruktion einer σ-Algebra A: Sei A0 Klasse von Ereignissen, die jedenfalls dazugehören sollen. Definiere:
\
A=
B
B σ-Algebra
A0 ⊂B
= die kleinste σ-Algebra, die A0 enthält
=: σ (A0 ) ,
σ (A0 ) heißt die von A0 erzeugt σ-Algebra.
Beispiel 1.5. Sei Ω ein topologischer Raum und A0 die Familie der offenen Teilmengen auf Ω.
B (Ω) = σ (A0 ) heißt Borelsche σ-Algebra auf Ω oder σ-Algebra der Borelschen Teilmengen von Ω.
B (Ω) enthält im Allgemeinen nicht alle Mengen.
Definition 1.6. Sei Ω 6= ∅ und A eine σ-Algebra auf Ω. Eine Abbildung P : A → [0, ∞] heißt Maß auf
S∞
P∞
(Ω, A), falls P (∅) = 0 und P ( i=1 Ai ) = i=1 P (Ai ) für A1 , A2 , . . . ∈ A, die paarweise disjunkt sind
(σ-Additivität). P heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Wahrscheinlichkeitsmaß, falls P (Ω) = 1,
(Ω, A, P) heißt dann Wahrscheinlichkeitsraum. (Axiome von Kolmogorov)
Beispiel 1.7. zu a) Ω = {0, 1}, A = {∅, {0} , {1} , {0, 1}} = P (Ω), faire Münze: P (0) = P (1) = 21 .
zu c) X̄1 , . . . , X̄n ∈ {0, 1}, P (Xi )i ∈ Ω : X1 = X̄1 , X2 = X̄2 , . . . , Xn = X̄n = 2−n .
A0 = {B ⊂ Ω : B hängt nur von endlich vielen Würfen ab}
n
= {A × {0, 1} × {0, 1} × . . . : A ⊂ P ({0, 1} ) , n = 1, 2, . . .} .
P ist fortsetzbar auf σ (A0 ).
2. DISKRETE MODELLE
3
√1
2πt
zu e) A = B (R), P ({ω ∈ C ([ 0, ∞) ) : ω (t) ∈ [a, b]}) =
Rb
a
e−
x2
2
dx.
Einfache Rechenregeln 1.8. Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A1 , . . . , An paarSn
Pn
weise disjunkt. Dann gilt: P ( i=1 Ai ) = i=1 P (Ai ).
Insbesondere gilt: P (Ac ) = 1 − P (A).
Sind A, B ∈ A mit A ⊂ B, so folgt: P (B) = P (A) + P (B\A).
A, B ∈ A impliziert P (A ∪ B) = P (A) + P (B\A ∩ B) = P (A) +P (B) − P(A ∩ B).
P
S
T
|J|+1
Mit vollständiger Induktion: P i∈I Ai = ∅6=J⊂I (−1)
P
j∈J Aj mit J endliche Menge.
T
Pn
S
k+1 P
k
Für I = {1, . . . , n} gilt: P i∈I Ai = k=1 (−1)
1≤i1 ≤...≤ik ≤n P
j=1 Aij .
Satz 1.9. Sei A eine σ-Algebra auf Ω und P : A → R eine Abbildung mit P (Ω) = 1. Dann sind die
folgenden Aussagen äquivalent:
1) P ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
2) P ist additiv (d.h. A∩B = ∅ impliziert P (A ∪ B) = P (A)+P (B)) und isoton stetig, d.h. An ∈ A,
An % A impliziert P (An ) → P (A).
3) P ist additiv und antiton stetig.
Korollar 1.10. Seien A1 , A2 , . . . ∈ A. Dann gilt: P (
S
i
Ai ) ≤
P∞
n=1
P (An ).
Lemma 1.11. [Borel-Cantelli] Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A1 , A2 , . . . ∈ A
P∞
mit i=1 P (Ai ) < ∞. Dann gilt:
P lim sup An = 0.
n
Beispiel 1.12.
1. Ω = [0, 1], A Borelsche σ-Algebra = σ ({[a, b] : 0 ≤ a ≤ b ≤ 1}),
P = Lebesgue Maß[0,1] , P ([a, b]) = b − a (Existenz und Eindeutigkeit vorausgesetzt) Gleichverteilung auf [a, b].
2. Ω 6= ∅, ω ∈ Ω, δω (A) = εω (A) =
3. Ω 6= ∅, I abzählbar, αi ∈ R,
2
P∞
(
1,
ω∈A
0,
ω∈
/A
i=1
= 1A (ω) Dirac Maß.
αi = 1, ωi ∈ Ω, P =
P
αi δωi .
Diskrete Modelle
Sei Ω 6= ∅ eine (höchstens) abzählbare Menge und A = P (Ω).
P
P
Satz 2.1. Sei p : Ω → [0, 1], ω∈Ω p (ω) = 1 (p Gewichtung der Fälle). P (A) := ω∈A p (ω), A ⊂ Ω
definiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω. Jedes Maß auf Ω ist von dieser Form.
Beispiel 2.2.
1. 0 < |Ω| < ∞, p (ω) = const. =
1
|Ω| .
Laplace Modell: Für A ⊂ Ω dann P (A) = |A|
|Ω| . P ist Gleichverteilung auf Ω.
Zufällige Permutationen:
M = {1, . . . , n}, Ω Menge aller Permutationen von M , d.h. aller Bijektionen ω : M → M .
4
KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE
Dann |Ω| = n!. P sei Gleichverteilung auf Ω.
Frage z.B.: P ( mindestens ein Fixpunkt“), Ai = {ω : ω (i) = i}
”
!
n
[
P ( mindestens ein Fixpunkt“) =P
Ai
”
i=1
=
n
X
(−1)
P
n
[
(n−k)!
n! ,
!
Ai
=
i=1
n
X
gegeben
k+1
(−1)
P ( genau k Fixpunkte“) =
”
Pn
k=0
Summanden, gilt:
n
X
n (n − k)!
k 1
=−
.
(−1)
n!
k!
k
k=1
k=1
Es folgt: P ( kein Fixpunkt“) =
”
n
k
P (Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) .
1≤i1 ≤...≤n
k=1
Mit P (Ai1 ∩ Ai2 . . . ∩ An ) =
X
k+1
k 1
k!
(−1)
1
n!
|{z}
·
→ e−1 .
n
k
| {z }
· (n − k)! ·
mögliche Fälle Fixpunkte werden festgelegt
n−k
X
j
(−1)
j=0
|
{z
1
j!
}
obige Forml für n−k
n−k
1
1 X
j
(−1) j!−1 → e−1 .
=
k! j=0
k!
Poisson-Verteilung mit Parameter λ = 1.
2. n Experimente mit Zustandsraum S:
n
0 < |S| < ∞, Ω = {(X1 , . . . , Xn ) : Xi ∈ S}, |Ω| = |S| , S0 ⊂ S Erfolg, falls S0 auftritt.
0|
p := |S
|S| , Ak := genau k Erfolge,
|Ak |
|Ω|
k
n−k
n
|S0 | |S\S0 |
= k
n
|S|
n k
n−k
=
p (1 − p)
.
k
p (Ak ) =
Binomialverteilung mit Parametern n, p.
1
Für p = nλ konvergiert die Binomialverteilung für festes k gegen die Poisson-Verteilung λk e−k · k!
.
3. Meinungsumfragen, ...
N Kugeln, K rote, N − K schwarze, Stichprobe von n Kugeln (ohne Zurücklegen), davon k rote
Modell:
•) Ω Gesamtheit aller Teilmengen von {1, . . . , N } mit genau n Elementen, d.h.
Ω = {ω ∈ P ({1, . . . , N }) : |ω| = n} ,
|Ω| =
N
n
.
3. TRANSFORMATION VON WAHRSCHEINLICHKEITSRÄUMEN
•) P Gleichverteilung auf Ω,
Ak := genau k rote ⇒ P (Ak ) =
|Ak |
|Ω|
=
5
−K
(Kk )(Nn−k
)
hypergeometrische Verteilung
N
(n)
Für K
konvergiert die hypergeometrische Verteilung für N → ∞ gegen die BinomialN =: p fest
n−k
verteilung nk pk (1 − p)
.
3
Transformation von Wahrscheinlichkeitsräumen
(Ω, A), Ω̃, Ã seien messbare Räume (jeweils Menge mit σ-Algebra).
Definition 3.1. Eine Abbildung T : Ω → Ω̃ heißt messbar (A − Ã-messbar), falls
n
o
T −1 Ã ∈ A =: T ∈ Ã
für alle à ∈ Ã.
Bemerkung 3.2.
0. Wenn A = P (Ω), dann ist T messbar für alle Ã.
1. Sei à = σ Ã0 mit Ã0 ⊂ P (Ω). T : Ω → Ω̃ ist messbar genau dann, wenn T −1 à ∈ A für
alle à ∈ Ã0 .
Definition 3.3. Seien Ω, Ω̃ Mengen, Ã eine σ-Algebra auf Ω̃ und T : Ω → Ω̃ gegeben. Dann heißt
n
o
σ (T ) := T −1 Ã : Ã ∈ Ã
die von T erzeugte σ-Algebra (es ist eine!).
Satz 3.4. Sei P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf (Ω, A), Ω̃, Ã ein messbarer Raum und
h
i
T : Ω → Ω̃ messbar. Dann ist durch P̃ Ã := P T −1 Ã = P T ∈ Ã , Ã ∈ Ã eine Wahrschein
lichkeitsverteilung auf Ω̃, Ã definiert, genannt das Bildmaß von P unter der Abbildung T , oder Verteilung von T unter P.
Schreibweise: T (P), PT .
Bemerkung 3.5.
1. Nimmt T nur abzählbar viele Werte ω̃1 , ω̃n , . . . an, so ist P̃ = T (P) =
P
P
[T
=
ω̃
]
δ
i ω̃i .
i
2. Satz 3.4 löst manche Existenzprobleme:
Beispiel 3.6. Existenz des Lebesgue-Maßes auf [0, 1] vorausgesetzt, existiert
exaktes Modell für unendlich viele faire Münzwürfe: Ω = [0, 1], A = B ([0, 1]), P = Lebesgue-Maß[0,1] ,
Ω̃ =
n
o
X̃1 , X̃2 , . . . : X̃i ∈ {0, 1} ,
Xi : Ω̃ → {0, 1} ,
Projektion auf i-te Koordinate,
à := σ ({{Xi = 1} : i = 1, 2, . . .}) .
Xi
X̃n
n∈N
:= X̃i .
6
KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE
Die binäre Darstellung von ω ∈ [0, 1] liefert Abbildung
T : Ω → Ω̃, ω 7→ (T1 ω1 , T2 ω2 , . . .) ,
Xi ◦ T = Ti .
Bei Zahlen, deren Darstellung nicht eindeutig ist, z.B. 0, 5, allgemein 2−i , wählen wir die unendliche
Reihe, d.h.
X
0, 5 =
2−i .
i≥2
−1
T ist messbar: T ({Xi = 1}) = {Ti = 1} ist Vereinigung von 2i Intervallen.
Sei P̃ das Bild von P unter T . Dann für x1 , . . . , xn ∈ {0, 1}:
P̃ [X1 = x1 , . . . , Xn = xn ] =P [T1 = x1 , . . . , Tn = xn ]
=P T −1 (X1 = x1 , . . . , Xn = xn )
=P T −1 X1−1 (x1 ) , . . . , Xn−1 (xn )
h
i
−1
−1
=P (X1 ◦ T ) ({x1 }) , . . . , (Xn ◦ T ) ({xn })
=P Intervall der Länge 2−n
=2−n ,
da T1 = x1 , . . . , Tn = xn Intervall der Länge 2−n .
4
Zufallsvariable, Erwartungswert
Sei (Ω, A, P) Wahrscheinlichkeitsraum.
Definition 4.1. X : Ω → R (oder R) heißt Zufallsvariable, falls X messbar ist, d.h. X −1 (B) ∈ A
für alle Borelschen B ⊂ R.
Bemerkung 4.2.
1. X : Ω → R ist eine Zufallsvariable genau dann, wenn {X ≤ c} ∈ A für alle
c ∈ R, da σ ({[ −∞, c ) : c ∈ R}) = B (R).
2. Wenn A = P (Ω), dann ist jedes X : Ω → R eine Zufallsvariable.
3. X sei eine Zufallsvariable und h : R → R messbar. Dann ist h ◦ X = h (X) eine Zufallsvariable.
p
Insbesondere ist |X|, X 2 , |X| und eX eine Zufallsvariable.
4. Die Menge der Zufallsvariablen ist abgeschlossen unter abzählbaren Operationen. D.h. für ZuP
fallsvariablen X1 , X2 , . . . ist auch
αi Xi Zufallsvariable (soweit sinnvoll) oder sup Xi , inf Xi ,
lim inf Xi , lim sup Xi .
Wichtige Spezialfälle 4.3.
1) Indikator (charakteristische) Funktion von A ∈ A: 1A


für c < 0

∅,
{1A ≤ c} =
Ac ,


Ω,
für 0 ≤ c ≤ 1
∈ A.
1≤c
Pn
2) Elementare Zufallsvariable: X = i=1 αi 1Ai , αi ∈ R.
P
Sei X eine Zufallsvariable mit X (Ω) endlich. Dann gilt X = α∈X(Ω) α1{X=α} .
4. ZUFALLSVARIABLE, ERWARTUNGSWERT
Satz 4.4.
7
1. Jede Zufallsvariable ist von der Form X = X + − X − mit
X + = max (X, 0) , X − = max (−X, 0) = − min (X, 0) .
Insbesondere sind X + , X − Zufallsvariablen.
2. Zu jeder Zufallsvariable X ≥ 0 existiert eine isotone Folge (Xn ) von positiven Zufallsvariablen
mit sup Xn = X.
Pn
Definition 4.5. [Normaldarstellung einer elementaren Zufallsvariablen]Sei X ≥ 0, X = i=1 αi 1Ai
S
mit αi ∈ R, Ai ∈ A, Ai ∩ Aj = ∅ für alle i 6= j und Ai = Ω. Diese Darstellung ist nicht eindeutig,
P
jede elementare Zufallsvariable besitzt eine solche Darstellung, z.B. X = α∈X(Ω) α1{X=α} .
Pm
Pn
Lemma 4.6. Sei X = i=1 αi 1Ai = j=1 βj 1Bj eine Normaldarstellung für eine elementare ZuPm
Pn
fallsvariable ≥ 0. Dann gilt: i=1 αi P (Ai ) = j=1 βj P (Bj ).
P
Definition 4.7. Ist
αi 1Ai Normaldarstellung für elementare Zufallsvariable X ≥ 0, so definieren
wir
Z
n
X
E (X) := XdP :=
αi P (Ai ) .
i=1
Dies ist unabhängig von der Darstellung.
Eigenschaften 4.8.
0) E (1A ) = P (A).
1) E (αX) = αE (X), α ∈ R+ .
2) E (X + Y ) = E (X) + E (Y ).
3) Aus X ≤ Y folgt E (X) ≤ E (Y ).
P
Pn
+
4) E (X) =
[X = α]. Für X =
α∈X(Ω) α · PP
i=1 αi 1Ai , αi ∈ R , Ai ∈ A nicht notwendig
Partition folgt: E (X) = αi P (Ai ).
Lemma 4.9. Seien Xn , X ≥ 0 elementare Zufallsvariablen, Xn ≤ Xn+1 und X ≤ sup Xn . Dann gilt:
E (X) ≤ sup E (Xn ).
Korollar 4.10. Seien Xn , Yn elementare Zufallsvariablen ≥ 0, Xn ≤ Xn+1 , Yn ≤ Yn+1 und sup Xn =
sup Yn . Dann gilt: sup E (Xn ) = sup E (Yn ).
Definition 4.11. Sei X ≥ 0 eine Zufallsvariable auf Ω und Xn ≥ 0 elementare Zufallsvariablen mit
Xn % X. Dann heißt E (X) = sup E (Xn ) Erwartungswert von X, unabhängig von der Folge (Xn )n
wegen 4.10.
Eigenschaften 4.12.
0) X = 0 P-f.s. (d.h. P [X = 0] = 1) impliziert E (X) = 0.
1) E (αX) = αE (X), α ∈ R+ .
2) E (X + Y ) = E (X) + E (Y ).
3) X ≤ Y impliziert E (X) ≤ E (Y ).
4) Ist X (Ω) abzählbar, so ist E (X) =
P
α∈X(Ω)
αP [X = α].
8
KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE
Beispiel 4.13. Fairer Münzwurf
T (ω) := min {k : ω (k) = 1}, Zeitpunkt des ersten Auftretens von 1“. T ({0, 0, 0, . . .}) = ∞.
”
P [T = k] = P [X1 = 0, X2 = 0, . . . , Xk−1 = 0, Xk = 1] = 2−k .
Aus P [T = ∞] ≤ 2−k für alle k ∈ N folgt P [T = ∞] = 0. Also, da X (Ω) abzählbar:
E (T ) =
∞
X
k=1
kP [T = k] =
n
X
k2−k = 2.
k=1
Satz 4.14. [von der monotonen Konvergenz] Seien Xn ≥ 0 Zufallsvariablen und Xn % X. Dann gilt:
E (Xn ) % E (X).
P∞
P∞
Korollar 4.15. Seien Xn Zufallsvariablen und Xn ≥ 0. Dann gilt: E ( n=1 Xn ) = n=1 E (Xn ).
Definition 4.16. Für eine Zufallsvariable X auf Ω definieren wir den Erwartungswert durch
E (X) := E X + − E X − ,
falls min (E (X + ) , E (X − )) < ∞. Es sei
L1 (Ω, A, P) = L1 = {X : X reelle Zufallsvariable auf Ω mit E (|X|) < ∞} .
Für alle X ∈ L1 : kXk1 = E (|X|). X heißt integrierbar, falls E (|X|) < ∞.
Satz 4.17. L1 (Ω, A, P) ist ein Vektorraum, k·k1 ist eine Halbnorm.
Lemma 4.18. [Lemma von Fatou] Seien Xn Zufallsvariablen ≥ 0. Dann gilt:
E (lim inf Xn ) ≤ lim inf E (Xn ) ,
es reicht auch Xn ≥ Y ∈ L1 .
Bemerkung 4.19. E (lim inf Xn ) < lim inf E (Xn ) ist möglich, auch wenn Limiten existieren: z.B.
auf [0, 1] mit Gleichverteilung
R1
E (Xn ) = 0 Xn dλ = 1 ∀n, Xn → 0 und E (lim Xn ) = 0, lim E (Xn ) = 1.
2n
Xn
1
n
Oder: Fairer Münzwurf: Einsatz verdoppeln, bis 1 auftritt. Einsatz in der n-ten Runde:
Xn = 2n−1 1{T >n−1}
mit T Wartezeit auf die erste 1.
1
= 1,
Wir berechnen E (Xn ) = 2n−1 P [T > n − 1] = 2n−1 2n−1
Xn → 0 P-fast sicher.
Es folgt E (lim Xn ) = 0.
Xn (ω) → 0 für alle ω 6= (0, . . .), also
Satz 4.20. [Konvergenzsatz von Lebesgue] Seien Xn Zufallsvariablen mit |Xn | ≤ Y ∈ L1 P-fast sicher
und Xn → X (punktweise). Dann gilt E (Xn ) → E (X) und kXn − Xk1 → 0, d.h. E (|Xn − X|) = 0.
5. UNGLEICHUNGEN
5
9
Ungleichungen
Satz 5.1. [Jensen’sche Ungleichung] Sei h eine reelle konvexe Funktion auf einem Intervall I, X ∈ L1
mit X (Ω) ⊂ I. Dann gilt: h (E (X)) ≤ E (h (X)) , insbesondere ist E (X) ⊂ I.
q
2
Beispiel 5.2. Mit h (t) = t2 folgt (E (X)) ≤ E X 2 . Allgemeiner: Sei 0 < p < q und h (t) = t p .
p
1
q
1
q
p
Dann gilt für alle Zufallsvariablen X: E (|X| ) p ≤ (E (|X| )) q ,
p
p
q
> 1, I = R+ und für alle n ∈ N:
q
(E (min {|X| , n})) ≤ E ((min {|X| , n}) ) .
q
Definition 5.3. Wir definieren Lq := {X : X reelle Zufallsvariable, E (|X| ) < ∞} , und für alle
q 1
X ∈ Lq kXkq := E (|X| ) q .
Bemerkung 5.4.
1. Für 0 < p < q folgt Lp ⊃ Lq und für alle X ∈ Lq gilt: kXkp ≤ kXkq .
p
2. Für alle p ≥ 1 ist L ∼ ein Banachraum, z.B. folgt aus X, Y ∈ Lp auch X + Y ∈ Lp und
p
p
p
|X + Y | ≤ 2p (|X| + |Y | ) .
Satz 5.5. Sei X eine Zufallsvariable und h eine isotone Funktion auf R (es reicht isoton auf X (Ω),
dann aber isoton auf R fortsetzbar). Dann gilt für alle c ∈ X (Ω)
h (c) · P [X ≥ c] ≤ E (h (X)) .
für alle c > 0. Insbesondere: Es gilt E (|X|) = 0
Spezialfälle 5.6.
1. Es gilt P [|X| ≥ c] ≤ E(|X|)
c
genau dann, wenn X = 0 P-fast sicher. Weiter folgt aus E (|X|) < ∞ auch |X| < ∞ P-fast
sicher.
2. Tschebyscheff ’sche Ungleichung: Sei X eine integrierbare Zufallsvariable und c > 0. Dann gilt:
P [|X − E (X)| ≥ c] ≤
6
2
E (X − E (X))
c2
=
var (X)
.
c2
Varianz und Kovarianz
Erinnerung: E (X) Mittelwert“ von X.
”
Definition
6.1.Für eine Zufallsvariable X ∈ L1 wird der mittlere quadratische Prognosefehler“
”
2
E (X − E (X)) als Varianz von X bezeichnet,
h
i
2
var (X) := E (X − E (X)) .
σ (X) :=
p
2
var (X) heißt Streuung von X. Es gilt: var (X) = E X 2 − E (X) .
Bemerkung 6.2. Folgende Aussagen sind äquivalent:
1) var (X) = 0,
2) X = E (X) P-fast sicher,
3) X P-fast sicher konstant.
10
KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE
Es ist var (X) < ∞ genau dann, wenn X ∈ L2 .
n
Beispiel 6.3. n-facher Münzwurf mit Parameter p: p ∈ [0, 1], Ω = {0, 1} , A = P (Ω), Xi (ω) = ωi ,
Pn
n−Sn (ω)
Sn = i=1 Xi (Häufigkeit für das Auftreten von 1). αω := pSn (ω) (1 − p)
für ω ∈ Ω.
P
Pp := αω δω ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, da:
n X
X
n k
n−k
αω =
p (1 − p)
k
α∈Ω
k=0
n
= (p + 1 − p) = 1.
Weiter gilt:
P [Xi = 1] = p.
Also:
Ep (Sn ) =
n
X
(?)
kPp [Sn = k]
k=0
n
X
n k
n−k
=
k
p (1 − p)
k
k=0
n
X
n − 1 k−1
n−1−(k−1)
=
np
p
(1 − p)
k−1
k=1
n−1
X n − 1 n−1−k
=np
pk (1 − p)
k
k=0
=np.
Mit (?) folgt E (Sn ) =
bestimmen wir:
Pn
i=1
2
E (Xi ) = np. Wir wollen var (Sn ) = E Sn2 − E (Sn ) berechnen. Dazu
n
X
Ep Sn2 =
k 2 P [Sn = k]
k=0
n
X
n k
n−k
p (1 − p)
k
k=0
n
n
X
X
n k
n k
n−k
n−k
p (1 − p)
+
k
p (1 − p)
=
k (k − 1)
k
k
=
k2
k=0
k=0
=n (n − 1) p2 + np.
Wir erhalten var (Sn ) = np (1 − p).
Satz 6.4. [Cauchy-Schwarz] Seien X, Y ∈ L2 . Dann ist X · Y ∈ L1 und es gilt:
p
|E (X · Y )| ≤ E (X 2 ) · E (Y 2 ).
Definition 6.5. Für X, Y ∈ L2 heißt
E ((X − EX) (Y − EY )) =: cov (X, Y )
die Kovarianz von X und Y .
ρ (X, Y ) :=
cov (X, Y )
σ (X) · σ (Y )
7. SCHWACHES UND STARKES GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN
11
heißt Korellationskoeffizient (falls σ (X) , σ (Y ) > 0). X, Y heißen unkorelliert, falls cov (X, Y ) = 0.
Es gilt:
cov (X, Y ) = E (X · Y ) − E (X) · E (Y ) .
Rechenregeln 6.6.
1) var (aX + b) = a2 var (X) für alle a, b ∈ R.
2) var (X + Y ) = var (X) + var (Y ) + 2cov (X, Y ).
3) |cov (X, Y )| ≤ σ (X) · σ (Y ) nach Satz 6.4.
4) |ρ (X, Y )| ≤ 1.
7
Schwaches und starkes Gesetz der großen Zahlen
Es seien X1 , X2 , . . . ∈ L2 (Ω, A, P).
Annahmen:
1) Unkorelliertheit: cov (Xi , Xj ) = 0 für alle i 6= j.
Pn
2) Konvergierende Varianzen: limn→∞ n12 i=1 var(Xi ) = 0.
Sn := X1 + . . . + Xn
Ziel: Zufall mittelt sich aus: Snn(ω) ∼ E(Snn ) .
2 E(Sn )
Sn
Satz 7.1. Es gilt: E
→ 0.
n −
n
Bemerkung 7.2. Rein funktionalanalytisch: Im Hilbertraum konvergiert das Mittel von orthogonalen
Pn
normbeschränkten Vektoren gegen 0: Seien X1 , X2 , . . . ∈ H, hXi , Xj i = 0. Dann folgt: n1 i=1 Xi → 0.
2
Hier H = L ∼, hX, Y i = E (X · Y ).
Satz 7.3. [Schwaches Gesetz der großen Zahlen] Sei E (Xi ) = m für alle i = 1, . . .. Dann gilt für alle
ε > 0:
Sn
lim P − m ≥ ε = 0
n→∞
n
(stochastische Konvergenz gegen m).
Beispiel 7.4. 0 − 1 Experimente mit Parameter p ∈ [0, 1]: Sei Xi (ω) = ωi , also E (Xi ) = pi und
var (Xi ) = pi (1 − pi ) ≤ 41 . Für pi = p gilt dann:
Sn
P − p ≥ ε → 0.
n
Von stochastischer zu fast sicherer Konvergenz:
Lemma 7.5. Seien Z1 , Z2 , . . . Zufallsvariablen auf (Ω, A, P) und es gelte für alle ε > 0:
∞
X
n=1
Dann gilt lim Zn = 0 P-fast sicher.
P [|Zn | ≥ ε] < ∞.
12
KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE
Satz 7.6. [Starkes Gesetz der großen Zahlen] Seien X1 , X2 , . . . ∈ L2 unkorelliert mit supi∈N var (Xi ) <
∞. Dann gilt:
Sn
E (Sn )
−
→ 0 P − fast sicher.
n
n
Beispiel 7.7. Münzwurf mit Parameter 21 . Yi = 2Xi − 1, E (Yi ) = 0, Sn := Y1 + . . . + Yn führt
zu einem random walk auf Z. Nach Satz 7.6 gilt Snn → 0 P-fast sicher, d.h. die Fluktuation wächst
langsamer als linear. Präzisierung: Satz vom iterierten Logarithmus:
Sn
=+1
n log log n
Sn
=−1
lim inf √
n log log n
lim sup √
8
P − fast sicher,
P − fast sicher.
Vergleich von Konvergenzbegriffen, gleichmäßige Integrierbarkeit
Definition 8.1. Seien X1 , X2 , . . . Zufallsvariablen auf (Ω, A, P).
p
1) Lp -Konvergenz (p ≥ 1): E (|Xn − X| ) → 0.
2) Stochastische Konvergenz für alle ε > 0: P [|Xn − X| ≥ ε] → 0.
3) P-fast sichere Konvergenz: Xn → X P-fast sicher.
Satz 8.2.
1)
A9 +3 2)
]e
falls sup |Xn | ∈ Lp
3)
y
für Teilfolgen
Satz 8.3. Sei Xn ∈ L1 und X eine Zufallsvariable. Dann sind äquivalent:
1. Xn → X in L1 (Daraus folgt E (Xn ) → E (X).)
2. Xn → X stochastisch und (Xn )n ist gleichmäßig integrierbar.
Korollar 8.4. Sei Xn ∈ L1 , Xn → X P-fast sicher und Xn gleichmäßig integrierbar. Dann gilt:
E (Xn ) → E (X) .
Definition 8.5. (Xi )i∈I ⊂ L1 heißt gleichmäßig integrierbar, falls limc→∞ supi∈I
M = {|Xi | ≥ c}.
R
M
|Xi | dP = 0 mit
Satz 8.6. Seien (Xi )i∈I Zufallsvariablen auf (Ω, A, P). Dann sind äquivalent:
1. (Xi )i∈I ist gleichmäßig integrierbar.
2. supi E (|Xi |) < ∞ und für alle ε > 0 existiert ein δ > 0, so dass für alle i ∈ I und A ∈ A aus
R
P (A) < δ folgt, dass A |Xi | dP < ε.
Bemerkung 8.7.
1) Wenn Y ∈ L1 und |Xi | ≤ Y für alle i ∈ I, dann ist (Xi )i∈I gleichmäßig
integrierbar. Insbesondere ist jede integrierbare Zufallsvariable auch gleichmäßig integrierbar.
9. VERTEILUNG EINER ZUFALLSVARIABLEN
13
2) Seien (Xi )i∈I und (Yi )i∈I gleichmäßig integrierbar. Dann ist auch (αXi + βYi ) gleichmäßig integrierbar für alle α, β ∈ R.
Nach 1) ist insbesondere jede endliche Teilmenge von L1 gleichmäßig integrierbar.
Satz 8.8. Sei g : R+ → R+ mit limx→∞
(Xi )i∈I gleichmäßig integrierbar ist.
Folgerung 8.9.
ist.
g(x)
x
= ∞. Dann folgt aus supi E (g (|Xi |)) < ∞, dass
p
1. Aus p > 1 und sup E (|Xi | ) < ∞ folgt, dass (Xi )i∈I gleichmäßig integrierbar
2. Aus sup E |Xi | log+ |Xi | < ∞ folgt, dass (Xi )i∈I gleichmäßig integrierbar ist.
Anwendung 8.10. [Anwendung vom Gesetz der großen Zahlen] Annahme: X1 , X2 , . . . ∈ L1 (Ω, A, P),
Pn
E (Xn ) = m für alle n, Sn = i=1 Xn , n1 Sn → m P-fast sicher.
L1
Frage: Wann gilt n1 Sn → m?
Antwort: Z.B. wenn sup E |Xi | log+ |Xi | < ∞, denn: g (t) = t log+ t, t ≥ 0 konvex und es folgt:
Sn
1X
E g
≤
E (g (Xi )) < ∞.
n
n
Bemerkung 8.11. [Bemerkung zu Lebesgue] Sei Xn ∈ L1 (Ω, A, P), Xn → X P-fast sicher und
L1
Xn ≥ 0. Dann gilt Xn → X genau dann, wenn E (Xn ) → E (X).
R
Satz 8.12. [Riesz-Fischer] Sei Xn ∈ L1 mit |Xn − Xm | dP → 0 für n, m → ∞ (d.h. (Xn )n ist
L1
Cauchy in L1 ). Dann existiert ein X ∈ L1 mit Xn → X und Xnk → X P-fast sicher für eine
1
geeignete Teilfolge, d.h. insbesondere L1 ist vollständig, also L ∼ ist Banachraum.
9
Verteilung einer Zufallsvariablen
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → R eine Zufallsvariable. Sei µ die Verteilung
von X: µ (A) := P [X ∈ A], A ∈ B R . µ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf R, B R .
Annahme: P [X ∈ R] = 1, d.h. µ (R) = 1.
Definition 9.1. Die durch F (b) = µ (( −∞, b] ) = P [X ≤ b], b ∈ R auf R definierte Funktion heißt
Verteilungsfunktion von X bzw. µ.
Satz 9.2.
1. F ist isoton, rechtsseitig stetig und limx→−∞ F (x) = 0, sowie limx→+∞ F (x) = 1.
2. Zu jedem solchen F existiert genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf (R, B (R)) mit F (b) =
µ (( −∞, b] ).
Bemerkung: Sei Y eine Zufallsvariable auf Ω mit Gleichverteilung auf (0, 1), z.B. (Ω, A, P) =
((0, 1) , B, λ), Y (x) = x. Dann hat Y (x) die Verteilung µ.
Bemerkung 9.3. Für alle x ∈ R ist
Sprunghöhe von F in x =F (x) − F (−x)
1
= lim µ
x − ,x
n→∞
n
=µ (x) .
14
KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE
Insbesondere ist F genau dann stetig, wenn µ ({x}) = 0. µ heißt dann stetig. Wenn µ σ-additiv ist,
dann existiert eine höchstens abzählbare Menge S ⊂ R mit µ ({x}) = 0 für alle x ∈ S c , da es höchstens
n Punkte geben kann mit µ ({xi }) > n1 .
Definition 9.4. F bzw. µ heißt diskret, falls es eine abzählbare Menge S ⊂ R gibt mit µ (S) = 1.
P
P
P
Dann ist µ = x∈S µ ({x}) δx , F (b) = x≤b µ ({x}). µ ({x}) ist beliebig wählbar mit
µ ({x}) = 1.
P
P
P
Beispiel 9.5. S = Q, αx ∈ (0, 1) mit x∈Q αx = 1, µ = x∈Q αx δx , F (b) = x≤b αx , F streng
isoton.
Definition 9.6. µ bzw. F heißt absolut stetig, falls es eine Dichtefunktion f ≥ 0 gibt mit F (b) =
R∞
Rb
R
R
f (t) dt, bzw. µ (A) = A f (t) dt = R (1A f ) (t) dt. Insbesondere: −∞ f (t) dt = 1.
−∞
R∞
Bemerkung 9.7. Jedes f ≥ 0 mit −∞ f (t) dt = 1 definiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf R
R
Rb
durch µ (A) := A f (t) dt. Zugehöriges F : F (b) = −∞ f (t) dt.
Beispiel 9.8.
1. Gleichverteilung auf [a, b]
F
1
1
(b−a)
a
f
b
a
b
2. Exponentialverteilung:
(
f (x) =
(
F (x) =
α
αe−αx ,
α≥0
0,
sonst
1 − e−αx ,
x≥0
0,
sonst.
1
F
f
3. Normalverteilung: N m, σ 2 , m ∈ R, σ 2 > 0, fm,σ2 (x) =
Rx
R x−m
t2
1
σ
2 (t) dt = √
e− 2 dt = F0,1 x−m
f
.
m,σ
σ
−∞
2π −∞
√ 1 e−
2πσ
(x−m)2
2σ 2
und Fm,σ2 (x) =
Berechnung von E (X) bzw. allgemeiner E (h (X)) mit Hilfe der Verteilung µ von X:
R
Satz 9.9. Sei h ≥ 0 messbar auf R. Dann gilt: E (h (X)) = R h (x) µ (dx).
R∞
Bemerkung: Es gilt: E (h (X)) = −∞ h (x) · f (x) dx, falls µ absolut stetig mit Dichte f ist. Weiter
P
gilt: E (h (X)) = S h (x) µ ({x}), falls µ diskret mit µ (S) = 1.
10. SCHWACHE KONVERGENZ VON WAHRSCHEINLICHKEITSMASSEN
m-Σ
15
m+Σ
R∞
R∞
Sei nun X N m, σ 2 verteilt: E (X) = −∞ x · fm,σ2 (x) dx = m + −∞ (x − m) f (x) dx, wegen
Symmetrie. p-tes zentrales Element:
Z ∞
p
p
|x − m| fm,σ2 (x) dx
E (|X − m| ) =
−∞
Z ∞
p
=
|x| f0,σ2 (x) dx
−∞
Z ∞
p
=2
|x| f0,σ2 (x) dx
0
Z
1 p p ∞ p+1 −1 −y
=√ 22 σ
y 2
e dy.
π
0
R∞
Erinnerung: Γ (q) = 0 y q−1 e−y dy, Γ (q + 1) = qΓ (q), Γ (1) = 1, Γ
p
p
p
Es folgt: E (|X − m| ) = √1π 2 2 Γ p+1
σ und
2
p = 1: E (|X − m|) =
1
√1 2 2 Γ (1) σ
π
2
p = 2: E |X − m| =
√1 2Γ
π
3
p = 3: E |X − m| =
22 3
√
σ
π
3
2
3
=
=
q
σ2 =
q
1
2
=
√
π.
2
π σ,
√1 2
π
· 21 Γ
1
2
σ2 = σ2 ,
8 3
πσ ,
4
p = 4: E |X − m| = 3σ 4 .
10
Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
Sei (S, S) ein Messraum mit S topologischer Raum, S = B (S) und (µn )n eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (S, S). Suchen Konvergenzbegriff µn → µ. Für alle A ∈ S: µn (A) → µ (A)? Für
viele Zwecke, z.B. zentralen Grenzwertsatz zuviel verlangt.
Definition 10.1. Seien µn , µ Wahrscheinlichkeitsmaße auf (S, S). Dann µn → µ schwach, falls
R
R
f dµn → f dµ für alle stetigen, beschränkten reellen Funktionen f auf S.
Beispiel 10.2.
1) Xn , X ∈ S, Xn → X, dann folgt: δXn → δX schwach, denn: Aus f stetig folgt
R
R
f (xn ) → f (x), f (xn ) = f dδxn → f (x) = f dδx . Dies hätte man oben nicht: A = {x}. Dann
1A (xn ) = 0 für xn 6= x. Daraus folgt: µn (A) = 0 6→ µ (A).
16
KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE
2) N 0, n1 → δ0 schwach: µn := N 0, n1 . Es gilt:
Z
∞
Z
f dµn =
−∞
Mit f
f (0) =
√y
n
R∞
−∞
f (x) q
1
e
−
2π n1
→ f (0) folgt mit Lebesgue:
R
x2
1
2n
1
dx = √
2π
f dµn →
√1
2π
R
Z
∞
f
−∞
f (0) e−
y2
2
y
√
n
e−
y2
2
dy.
dµ = f (0) √12π
R
e−
y2
2
dy =
f (x) dδ0 .
Satz 10.3. Sei S ein metrischer Raum mit (µn )n , µ Wahrscheinlichkeitsmaße auf (S, S). Dann sind
äquivalent:
1. µn → µ schwach.
R
R
2. f dµn → f dµ für alle gleichmäßig stetigen f ∈ Cb (S).
3. lim sup µn (F ) ≤ µ (F ) für alle F ⊂ S abgeschlossen.
4. lim inf µn (G) ≥ µ (G) für alle G ⊂ S offen.
5. lim µn (A) = µ (A) für alle µ-randlosen A ∈ S, d.h. für alle A ∈ S mit µ (∂A) = 0.
Korollar 10.4. Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und Xn , X messbare Abbildungen von Ω
nach S mit Verteilungen µn , µ. Es konvergiere (Xn ) stochastisch gegen X, d.h. für alle ε > 0 gilt:
P [d (Xn , X) ≥ ε] → 0. Dann konvergiert (µn ) schwach gegen µ.
Korollar 10.5. Für Wahrscheinlichkeitsmaße µn , µ auf (R, B (R)) mit Verteilungsfunktionen Fn , F
sind äquivalent:
R
R
1) f dµn → f dµ für alle f ∈ C (R) mit kompaktem Träger.
2) µn → µ schwach.
3) Fn (x) → F (x) für alle Stetigkeitsstellen x von F . (Dass dies für Unstetigkeitsstellen nicht
klappt, mache man sich für die Verteilungsfunktion von Diracmaßen klar.)
4) µn (( a, b ]) → µ (( a, b ]) für alle µ-randlosen ( a, b] .
11
Dynkin-Systeme, Eindeutigkeitssatz, Sätze über monotone
Klassen
Definition 11.1. Sei Ω 6= ∅. D ⊂ P (Ω) heißt Dynkin-System, falls
i) Ω ∈ D,
ii) A ∈ D impliziert Ac ∈ D,
iii) für A1 , A2 , . . . paarweise disjunkt aus D ist auch
S∞
i=1
Ai ∈ D.
Beispiel 11.2. Wenn P1 , P2 Wahrscheinlichkeitsmaße auf (Ω, A) sind, ist {A ∈ A : P1 (A) = P2 (A)}
ein Dynkin-System.
11. DYNKIN-SYSTEME, EINDEUTIGKEITSSATZ, SÄTZE ÜBER MONOTONE KLASSEN
17
Bemerkung 11.3.
1. Wenn A, B ∈ D Elemente eines Dynkin-Systems mit A ⊂ B sind, so folgt
˙ c )c ∈ D.
B\A = (A∪B
2. Jedes durchschnittsstabile Dynkin-System ist eine σ-Algebra.
Satz 11.4. Ist M ⊂ P (Ω) durchschnittsstabil, so stimmt das von M erzeugt Dynkin-System D (M ) =
T
D Dynkin-System D mit der von M erzeugten σ-Algebra σ (D) überein.
D⊃M
Satz 11.5. Stimmen zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf einem durchschnittsstabilen Erzeuger E der
σ-Algebra A überein, so sind sie gleich.
Beispiel 11.6.
1. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf R ist durch seine Verteilungsfunktion F eindeutig bestimmt: µ (( −∞, b ]) = F (b), {( −∞, b ] : b ∈ R} durchschnittsstabiler Erzeuger von
B (R).
2. Pp auf Ω = {(X1 , X2 , . . .) : Xi ∈ {0, 1}} ist eindeutig festgelegt durch
Pp [
X1 = x1 , . . . , Xn = xn
|
{z
}
] = pk (1 − p)
n−k
durchschnittsstabiler Erzeuger der
σ−Algebra auf Ω
Pn
für k = i=1 Xi . Im Fall p =
diese später.
1
2
haben wir die Existenz bereits bewiesen, falls p 6=
1
2
zeigen wir
Sätze über monotone Klassen
Ein Vektorraum H reeller Funktionen auf Ω heißt monotoner Vektorraum, falls aus 1 ∈ H, fn ∈ H
und fn % f beschränkt folgt, dass f ∈ H.
Lemma 11.7. Jeder monotone Vektorraum H ist abgeschlossen gegenüber gleichmäßiger Konvergenz.
Satz 11.8. [über monotone Klassen, Algebraform“] Sei A eine Menge von beschränkten Funktionen
”
auf Ω, die abgeschlossen bzgl. Multiplikationen ist und H ein monotoner Vektorraum mit A ⊂ H.
Dann ist jede beschränkte, σ (A)-messbare Funktion in H enthalten. σ (A) = kleinste Mengensystem
(σ-Algebra) bzgl. derer alle Funktionen aus A messbar sind = σ ({f > α} : f ∈ A, α ∈ R).
Beispiel: Ω topologischer Raum, A = {1U : U offen in Ω}.
Satz 11.9. [über monotone Klassen, Verbandsform“] Sei K ein min-stabiler konvexer Kegel positiv
”
beschränkter Funktionen mit 1 ∈ K. Es sei H ein monotoner Vektorraum mit K ⊂ H. Dann ist jede
beschränkte σ (K)-messbare Funktion in H enthalten.
R
Korollar 11.10. Seien µ1 , µ2 Wahrscheinlichkeitsmaße auf (S, S). Für alle f ∈ Cb (S) mit f dµ1 =
R
f dµ2 gilt: µ1 = µ2 .
18
KAPITEL 1. GRUNDBEGRIFFE
Kapitel 2
Unhabhängigkeit
1
Unabhängige Ereignisse
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Definition 1.1. Eine Kollektion Ai , i ∈ I von Ereignissen heißt unabhängig, falls für alle J ⊂ I
T
Q
endlich P i∈J Ai = i∈J P (Ai ). Eine Kollektion Bi , i ∈ I von Ereignissystemen Bi ⊂ A heißt
Q
T
unabhängig, falls für alle J ⊂ I endlich und für alle Ai ∈ Bi gilt P i∈J Ai = i∈J P (Ai ).
Satz 1.2. Seien Bi , i ∈ I durchschnittsstabil und unabhängig. Dann gilt:
1. σ (Bi ), i ∈ I sind unabhängig.
2. Allgemeiner: Sind Jk , k ∈ K disjunkte Teilmengen von I, so sind σ
abhängig.
S
i∈Jk
Bi , k ∈ K un-
Beispiel 1.3. Seien Ai , i ∈ I unabhängig, Bi := Ai oder Aci . Dann sind Bi , i ∈ I unabhängig.
Bemerkung 1.4. Paarweise Unabhängigkeit reicht nicht: Wir betrachten zwei Würfe eines Würfels
mit Gleichverteilung und definieren A := 1. Wurf 3“, B := 2. Wurf 5“, sowie C := Summe = 7“.
”
”
”
1
aber P (A ∩ B ∩ C) =
Es gilt: P (A) = P (B) = P (C) = 16 , P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C) = 36
0 6= P (A) · P (B) · P (C).
Beispiel 1.5. Unabhängige 0-1-Experimente mit Erfolgsparameter p ∈ [0, 1]
Ω = {(X1 , X2 , . . .) : Xi ∈ {0, 1}}, Xi (ω) = ωi . Gesucht ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung Pp
mit a) Pp [Xi = 1] = p, b) {Xi = 1}, i ∈ N unabhängig Pp [X1 = x1 , . . . , Xn = xn ] = Pp [X1 = x1 ] ·
P
n−k
. . . · Pp [Xn = xn ] = pk (1 − p)
für k =
xi . Wir wissen, dass Pp durch diese Gleichverteilung
eindeutig bestimmt ist.
Satz 1.6. [0-1-Gesetz von Kolmogorov] Sei Bi , i ∈ I eine unabhängige Kollektion von σ-Algebren.
T∞
S∞
Wir definieren B∞ := n=1 σ ( m=n Bm ). Dann ist P (A) ∈ {0, 1} für alle A ∈ B∞ .
Vorstellung zu B∞ : Bi = zum Zeitpunkt i eintretende Ereignisse, B∞ = unendlich ferne Zukunft,
Pn
fail field, z.B. beim Münzwurf: A = 1 kommt unendlich oft vor“, A = Der Grenzwert lim n1 i=1 Xi
”
”
existiert.“
Lemma 1.7. Aus B, B unabhängig, folgt P (A) ∈ {0, 1} für alle A ∈ B.
19
20
KAPITEL 2. UNHABHÄNGIGKEIT
Speziell: Sind A1 , A2 , . . . ∈ A unabhängig und A∞ := lim sup An =
unendlich oft ein“, dann folgt P (A∞ ) ∈ {0, 1}.
T∞ S∞
n=1
m=n
Am = An tritt
”
Lemma 1.8. [Borel-Cantelli]
P∞
1. Aus A1 , A2 , . . . ∈ A, i=1 P (Ai ) < ∞ folgt: P (lim sup An ) = 0.
2. Wenn A1 , A2 , . . . ∈ A unabhängig sind und
genügt, dies für eine Teilfolge zu haben.)
P
P (Ai ) = ∞, dann gilt: P (lim sup An ) = 1. (Es
Beispiel 1.9. 0-1-Experimente mit Parameter p ∈ (0, 1), binärer Text“ der Länge N : x1 , . . . , xN ,
”
Pp [ Text kommt irgendwann vor“ = 1]
”


ω = y1 , . . . , yN , yN +1 , . . . , y2N , . . .
| {z } |
{z
}
Block 1
Block 2
N −k
Ai = i-ter Block ist der Text“. Dann folgt: A1 , . . . sind unabhängig, P (Ai ) = pk (1 − p)
=: α,
P
”
k =
xi . P (A∞ ) kommt unendlich oft vor. Sogar nach starkem Gesetz der großen Zahlen: Aus
Pn
1A1 , . . . paarweise unabhängig folgt n1 i=1 1Ai → E (1Ai ) = α.
2
Unabhängige Zufallsvariablen
Definition 2.1. Eine Kollektion Xi , i ∈ I von Zufallsvariablen auf (Ω, A, P) heißt unabhängig, falls
die σ-Algebren σ (Xi ), i ∈ I unabhängig sind, σ (Xi ) = Xi−1 B R̄
d.h. für alle J ⊂ I endlich und
T
Q
Ai ∈ B R̄ gilt P ( J [Xi ∈ Ai ]) = J P [Xi ∈ Ai ].
Bemerkung 2.2. Seien Xi , i ∈ I unabhängig und hi : R̄ → R̄ messbar. Dann gilt: hi (Xi ), i ∈ I
sind unabhängig, da σ (h ◦ Xi ) ⊂ σ (Xi ) für alle i ∈ I.
Q
Q
Satz 2.3. Seien Xi , i ∈ J unabhängig, J endlich und Xi ≥ 0. Dann gilt: E
i∈J Xi =
J E (Xi ).
Korollar 2.4. Seien X, Y ∈ L1 und X, Y unabhängig. Dann folgt X · Y ∈ L1 und E (X · Y ) =
E (X) · E (Y ). Insbesondere: Seien X, Y ∈ L2 unabhängig, so sind X, Y unkorelliert.
3
Starkes Gesetz der großen Zahlen
Satz 3.1. [Kolmogorov, 1930] Seien X1 , X2 , . . . ∈ L1 , X1 , X2 , . . . unabhängig, identisch verteilt,
Pn
E (Xi ) = m. Dann gilt: n1 i=1 Xi (ω) → m für P-fast alle ω ∈ Ω.
(Erinnerung: In § 7 brauchten wir X1 , X2 , . . . ∈ L2 .)
Satz 3.2. [Etemadi, 1983] Seien X1 , X2 , . . . ∈ L1 , X1 , X2 paarweise unabhängig und identisch verteilt,
Pn
E (Xi ) = m. Dann gilt n1 i=1 Xi (ω) → m für P-fast alle ω ∈ Ω.
Korollar 3.3. Seien X1 , X2 , . . . identisch verteilt, paarweise unabhängig mit Xi ≥ 0. Dann gilt:
Pn
1
i=1 Xi → m P-fast sicher.
n
Beispiel 3.4. Seien X0 = 1, Xn = Xn−1 · Yn , wobei Y1 , Y2 , . . . > 0 unabhängig, identisch verteilt sind
Qn
und m = E (Y1 ). Dann folgt: E (Xn ) = i=1 E (Yi ) = mn . Was tut Xn (ω)?
4. GEMEINSAME VERTEILUNG, FALTUNG
21
Z.B. Spiel: Setze Hälfte des vorhandenen Kapitals, mit Wahrscheinlichkeit 21 verloren, mit Wahrscheinlichkeit 12 erhalte man das c-fache des Einsatzes zurück (fair: c = 12 , superfair c > 2).
Xn
(
1+c
2
1
2
einmal setzen
→
1
Xn +
2
(
c · 12 Xn
mit Wahrscheinlichkeit
0
mit Wahrscheinlichkeit
mit Wahrscheinlichkeit
1
2
1
2
= Xn · Yn+1 ,
1
2
1
2
(Existenz von Modell später). E (Yn ) = 2+c
4 .
mit Wahrscheinlichkeit
Pn
Annahme: log Y1 ∈ L1 (im Spiel erfüllt), dann folgt n1 log Xn (ω) = n1 i=1 log Yi → E (log Y1 ) =: α
P- fast sicher.
wobei Yn =
•) α < 0: Es existiert ein ε > 0 mit α + ε < 0 und damit folgt: für P-fast alle ω ∈ Ω und für alle
n ≥ n0 : Xn (ω) ≥ en(α+) , d.h. Xn (ω) → 0 exponentiell schnell.
•) α > 0: Xn (ω) ≥ en(α−) , d.h. Xn (ω) → ∞ exponentiell schnell.
α < 0: Exponentieller Bankrott
α > 0: Exponentieller Gewinn
Es ist α = E (log Y1 ) ≤ log E (Y1 ) = log m (Jensen) (< falls Y1 nicht deterministisch).
Beim Spiel:
1
1+c 1
1
E (log Y1 ) = log
+ log
2
2
2
2
1
1+c
= log
<0
2
4
falls c < 3. Für 2 < c < 3 ist das Spiel superfair, trotzdem exponentiell schneller Bankrott!
Unter den Voraussetzungen von 3.1: Wie ist es mit der Verteilung µ von Xi ?
Pn
Dazu sei ρn (ω, A) := n1 i=1 1A (Xi (ω)), ω ∈ Ω, A ∈ B (R), Häufigkeit des Besuches in A, d.h.
P
n
ρn (ω, ·) = n1 i=1 δXi (ω) , empirische Verteilung der ersten n Beobachtungen.“
”
Satz 3.5. Mit Voraussetzungen von 3.1 gilt P-fast sicher ρn (ω, ·) → µ schwach, mit µ Verteilung von
R
Pn
Xi , d.h. für f ∈ Cb gilt n1 i=1 f (Xi (ω)) → f dµ.
4
Gemeinsame Verteilung, Faltung
Vorbemerkung: Annahme wie in 3.2, Sn =
Pn
i=1
Xi , es folgt var
√1 Sn
n
=
1
n var (Sn )
= var (X1 ).
√1
n
Später: Verteilung von
(Sn − ESn ) → Normalverteilung.
Bisher: Verteilung einer Zufallsvariablen X, µ (A) = P (X ∈ A), A ∈ B (R).
Definition 4.1. Die gemeinsame Verteilung µ̄ von Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn auf (Ω, A, P) ist definiert als die Verteilung von ω 7→ (X1 (ω) , . . . , Xn (ω)), ist also ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Rn :
µ̄ Ā = P X̄ ∈ Ā , Ā ∈ B (Rn ).
Bemerkung 4.2. X̄ ist messbar bezüglich B (Rn ) = σ ({A1 × . . . × An : Ai ∈ B (R)}) bzw. Ai =
(−∞, ai ] .
Satz 4.3. Seien X1 , . . . , Xn Zufallsvariablen mit Verteilungen µ1 , . . . , µn . Dann gilt: X1 , . . . , Xn unNn
Qn
abhängig genau dann, wenn µ̄ = i=1 µi , d.h. µ̄ (A1 × . . . × An ) = i=1 µi (Ai ) für alle A1 , . . . , An ∈
B (R).
22
KAPITEL 2. UNHABHÄNGIGKEIT
Bemerkung:
1. µ̄ ist festgelegt durch µ1 , . . . , µn .
2. Sei ϕ : Rn → R B (Rn )-messbar und entweder nichtnegativ oder µ̄-integrierbar. Dann gilt nach
R
R
R
Fubini: ϕ (x1 , . . . , xn ) dµ̄ (x1 , . . . , xn ) =
. . . ϕ (x1 , . . . , xn ) µ1 (dx1 ) . . . µn (dxn ).
3. Wenn alle µi absolut stetig mit zugehöriger Dichte fi sind, dann ist µ̄ absolut stetig mit Dichte
Nn
f¯ = i=1 fi (Tensor-Produkt), f¯ : (x1 , . . . , xn ) → f1 (x1 ) · . . . · fn (xn ) (Tensor).
Beispiel 4.4.
1. Seien X, Y gleichverteilt auf [0, 1] und X, Y unabhängig. Dann ist die gemeinsame
Verteilung von X, Y auf [0, 1] die Gleichverteilung auf [0, 1] × [0, 1]. Für X = Y bekommt man
die Gleichverteilung auf der Diagonalen in [0, 1].
2. Seien X, Y normalverteilt mit Parametern m, σ 2 und unabhängig. Dann hat X, Y die Verteilung
mit Dichte f (x, y) =
R=
√
−
1
2πσ 2 e
(x−m)2 +(y−m)2
2σ 2
X 2 + Y 2 hat die Dichte
.
(
2
r
r σ12 e− 2σ2 für r > 0
0
falls r ≤ 0
für m = 0 und Φ := ϕ (X, Y ) (Winkel),
ist also gleichverteilt auf [0, 2π].
Für x ∈ R definiere Tx (y) = x + y (Translation).
Satz 4.5. Seien X1 , X2 unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilung µ1 , µ2 . Dann gilt:
R
1. Die Verteilung von X1 + X2 ist gegeben durch die Faltung µ1 ∗ µ2 := µ1 (dx1 ) µ2 ◦ Tx−1 , d.h.
R
(µ1 ∗ µ2 ) (A) = µ1 (dx1 ) µ2 (A − x1 ).
R
2. Hat µ2 Dichte f2 , so gilt: (µ1 ∗ µ2 ) (·) = µ1 (dx1 ) f2 (x − x1 ). Hat µ1 zusätzlich Dichte f1 , so
R
gilt: (µ1 ∗ µ2 ) (·) = f1 (x1 ) f2 (x − x1 ) dx.
Beispiel 4.6. X1 , X2 : Ω → R seien unabhängige Zufallsvariablen.
1. Seien X1 , X2 Poisson verteilt mit Parametern λ1 , λ2 , d.h. P [Xi = k] = e−λi
Poisson verteilt mit Parameter λ1 + λ2 .
λk
i
k! .
Dann ist X1 +X2
2. Seien X1 , X2 normalverteilt mit Mittelwerten m1 , m2 und Varianzen σ12 , σ22 . Dann ist X1 + X2
normalverteilt N m1 + m2 , σ12 + σ22 (mit Fourier-Transformation).
( pi
α
xpi −1 e−αx , x ≥ 0
Dann ist
3. Seien X1 , X2 Γ-verteilt mit pi , α, d.h. mit Dichten fi (x) = Γ(pi )
0,
sonst.
X1 + X2 Γ-verteilt mit p1 + p2 , α (auch mit Fouriertransformation).
Speziell (p = 1):Summen von n unabhängigen α-exponentialverteilten Zufallsvariablen T1 , . . . , Tn
αn n−1 −αx
sind Γ-verteilt mit n, α, d.h. mit Dichte fn,α (x) = Γ(n)
x
e
(x ≥ 0).
Anwendung 4.7. Das Wartezeitenproblem: Seien T1 , . . . , Tn unabhängige, α-exponentialverteilte ZuR∞
R∞
fallsvariablen, also insbesondere E (T1 ) = 0 xαe−αx dx = α1 0 te−t dt = α1 . Sei t ∈ R+ . Frage:
E (Y ) =?, E (X) =?
Behauptung: E (Y ) = α1 , E (X) = α1 (1 − e−αt ) ≈ α1 für große t. Genauer: Sind X, Y unabhängig,
so ist Y α-exponentialverteilt und X α-exponentialverteilt gestaucht auf [0, t], d.h. P [X ≥ s] = e−αs
Rt
für 0 ≤ s ≤ t, P [X = t] = e−αt . Dann insbesondere E (X) = 0 sαe−αs ds+te−αt = . . . = α1 (1 − e−αt ).
5. DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ
23
X
0
4.1
T1
T2
Y
Ti t
Ti+1
Fouriertransformation
1
1
Sei M+
(Rn ) die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf (Rn , B (Rn )). Für µ ∈ M+
definiert man µ̂ :
R ihx,yi
R
n
R → C durch µ̂ (x) = e
µ (dy) = cos hx, yi µ (dy). µ̂ heißt dann Fourier-Transformierte von µ.
1
Satz 4.8. Für jedes µ ∈ M+
(Rn ) gilt:
1. µ̂ (0) = 1.
2. |µ̂| ≤ 1.
3. µ̂ ist gleichmäßig stetig.
4. µ̂ (−x) = µ̂ (x).
5. µ̂ ist positiv definit, d.h. für alle c1 , . . . , cn ∈ C und x1 , . . . , xm ∈ Rn gilt
0.
P
j,k cj ck µ̂ (xj
− xk ) ≥
1
(Rn ), µ̂1 = µ̂2 . Dann folgt: µ1 = µ2 .
Satz 4.9. [Eindeutigkeitssatz] Seien µ1 , µ2 ∈ M+
1
(Rn )
Satz 4.10. Ist ϕ : Rn → C stetig, positiv-definit, ϕ (0) = 1, so existiert (genau) ein µ ∈ M+
mit µ̂ = ϕ.
1
1
Satz 4.11.
i) Konvergiert eine Folge (µn ) in M+
(Rn ) schwach gegen µ ∈ M+
(Rn ), so konvergiert
(µ̂n ) lokal gleichmäßig, d.h. gleichmäßig auf jeder kompakten Menge, gegen µ̂.
1
(Rn ) die Folge (µ̂n ) punktweise gegen eine in 0 stetige Funktion ϕ, so
ii) Konvergiert für µn ∈ M+
n
1
existiert µ ∈ M+ (R ) mit µ̂ = ϕ und die Folge (µn ) konvergiert schwach gegen µ.
Sei jetzt (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X : Ω → Rn Zufallsvariable, PX die Verteilung
von X, d.h. PX (A) = P [X ∈ A], A ∈ B (Rn ). Dann heißt ϕX := P̂X die charakteristische Funktion von
R
R
X. Es ist ϕX (u) = eihu,yi PX (dy) = eihu,Xi dP = E (exp (i hu, Xi)) nach Variablentransformation.
Bemerkung: Seien X1 , . . . , Xn reelle Zufallsvariablen. Dann gilt: X1 , . . . , Xn unabhängig genau dann,
Q
N
wenn P̂(X1 ,...,Xn ) (u) = P̂Xj (uj ), d.h. P̂(X1 ,...,Xn ) =
P̂Xj .
Pn
Satz 4.12. Seien X1 , . . . , Xn unabhängige reelle Zufallsvariablen, α ∈ R, S := α i=1 Xi . Dann gilt
Qn
ϕS (u) = j=1 ϕXj (αu).
n R ihx,yi − 1 kyk2
2
1
1 2
Satz 4.13. Für alle x ∈ Rn gilt: 2π
e
e 2
dy = e− 2 kxk . Für n = 1 bedeutet dies:
2
1
N\
(0, 1) (x) = e− 2 kxk .
5
Der zentrale Grenzwertsatz
Definition 5.1. Seien X1 , X2 , . . . ∈ L2 (Ω, A, P) unabhängig, Sn =
Pn
j=1
Xj und Sn∗ = S√n −E(Sn )
var(Sn )
(Standardisierung). Dann ist E (Sn∗ ) = 0, var (Sn∗ ) = 1. Man sagt, dass X1 , X2 , . . . die zentrale Grenzwerteigenschaft besitzen, falls die Verteilung von Sn∗ für n → ∞ gegen N (0, 1) konvergiert (schwach),
Rb
y2
d.h. falls für alle b ∈ R lim P [Sn∗ ≤ b] = √12π −∞ e− 2 dy =: Φ (b).
24
KAPITEL 2. UNHABHÄNGIGKEIT
Satz 5.2. [Zentraler Grenzwertsatz] Seien X1 , X2 , . . . ∈ L2 , unabhängig. Dann hat (Xn ) die zentrale
Grenzwerteigenschaft, falls
Pn
a) lim
E[|Xj −E(Xj )|3 ]
3
Pn
( j=1 var(Xj )) 2
j=1
= 0 oder
b) X1 , X2 , . . . identisch verteilt.
(Für Dirac-Maße o.ä. mit var = 0 macht die Aussage keinen Sinn.)
Bemerkung 5.3.
1. Bald Verallgemeinerung von 5.1 mit Fourier-Transformation.
Pn
3
2. a) folgt z.B. aus i) supj E |Xj − E (Xj )| < ∞ und ii) lim inf n1 j=1 var (Xj ) > 0
Notiz: Ynk = X√k −E(Xk ) , Ynk Zufallsvariable, 1 ≤ k ≤ n, für alle n sind Yn1 , . . . , Ynn unabhängig,
var(Sn )
Pn
P 3
∗
∗
Sn :=
E |Ynk | . Dies führt zu den allgemeinen
k=1 Ynk , E (Ynk ) = 0, var (Sn ) = 1, γn :=
Bedingungen
a’) lim γn = 0
b’) Es existiert ein Y ∈ L2 so, dass Ynk dieselbe Verteilung haben wie
Y
√
.
n
Satz 5.4. (Ynk ) Dreiecksschema wie oben. Es gelte a’) oder b’). Dann gilt PSn∗ → N (0, 1) schwach.
Bemerkung: Damit ist auch 5.3 bewiesen.
Bemerkung 5.5. Seien ν1 , . . . , νm Wahrscheinlichkeitsmaße auf R, Ω = Rm , A = B (Rm ), P =
ν1 ⊗ . . . ⊗ νm (Existenz später). Da P auf einem durchschnittsstabilen Erzeuger definiert ist, ist dies
somit eindeutig. Für ω = (X1 , . . . , Xm ) sei Xk (ω) Projektion auf die k-te Koordinate. Dann sind
X1 , . . . , Xn unabhängig und jedes Xk hat die Verteilung νk .
Anwendung 5.6. 1. Ruin-Wahrscheinlichkeit für Versicherungsgesellschaft: n Verträge, bei Schaden
jeweils Leistung Xi ≥ 0.
Annahme: Xi ∈ L2 unabhängig, identisch verteilt, E (Xi ) = m, var (Xi ) = σ 2 .
Pro Vertrag Prämie π = m + λσ 2 = erwartete Leistung + Risikozuschlag. Einnahmen sind also
Pn
nπ, Ausgaben hSn = i=1 Xi . Für
K und
i ein Anfangskapital
h
den Ruin R := [Sn > K + nπ] berechnen
wir P [R] = P Sn∗ >
K+nπ−n·m
√
nσ
≈ N (0, 1)
2
K+nλσ
√
,∞
nσ
= 1 − Φ (. . .) → 0.
Für σ = 60, λ = 0, 5 ‰, n = 2000 a) K = 0: P (R) ≈ 1 − Φ (1, 343) ≈ 9% b) K = 1500:
3
.
P (R) ≈ 100
√
2. Stirlingsche Formel: n! ∼ 2πe−n nn+0,5
Seien X1 , X2 , . . . ∈ L2 unabhängig, σn2 := var (Xn ) > 0, sn :=
2
h
i
Pn R Ln (ε) := k=1 M Xksn−E dP, M := Xksn−E ≥ ε .
Pn
k=1
σk2
12
. Zu ε > 0 definiere
Lindeberg-Bedingung: lim Ln (ε) = 0 für alle ε > 0.
Ziel:
Satz 5.7. (Xn ) erfüllt die Lindeberg-Bedingung genau dann, wenn (Xn ) die zentrale Grenzwerteigenschaft hat.
Bemerkung 5.8.
1. Wenn Xn identisch verteilt sind, so erfüllen sie die Lindeberg-Bedingung.
5. DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ
2. Aus a) folgt die Lyapunov-Bedingung: Es existiert ein δ > 0, so dass lim
Aus dieser folgt wiederum die Lindeberg-Bedingung.
25
PR
|Xk −EXk |2+δ dP
s2+δ
n
= 0.
3. Wenn (Xn ) gleichmäßig beschränkt ist und Sn → ∞, dann gilt die Lyapunov-Bedingung für alle
δ > 0.
Lemma 5.9. Aus der Lindeberg-Bedingung folgt die Feller-Bedingung: limn→∞ max1≤k≤n
σk
sk
= 0.
Bemerkung 5.10. Aus der Lindeberg-Bedingung folgt die zentrale Grenzwerteigenschaft und die
Feller-Bedingung. Tatsächlich gilt auch die Umkehrung.
n−1 |t|n
Lemma 5.11. Für alle t ∈ R und n ∈ N gilt: eit − 1 − it − . . . − (it)
(n−1)! ≤ n! .
R
Satz 5.12. Sei X ∈ L0 . Dann existieren die Ableitungen ϕ0X , ϕ00X und ϕ0X = i XeiuX dP, sowie
R
ϕ00X (u) = − X 2 eiuX dP. Insbesondere sind ϕ0X , ϕ00X stetig, ϕ0X (0) = iE (X), ϕ00X (0) = −E X 2 und
|ϕ00X | ≤ E X 2 . Schließlich gilt: ϕX (u) = 1 + iuE (X) + 21 θ (u) u2 E X 2 mit |θ (u)| ≤ 1.
i
Pn h
Satz 5.13. (Xn )n erfülle die Feller-Bedingung. Ist dann limn→∞ k=1 ϕXk sun − 1 = − 21 u2 für
alle u ∈ R, so hat (Xn ) die zentrale Grenzwerteigenschaft (und umgekehrt).
Folgerung: (Xn ) erfülle die Lindeberg-Bedingung. Dann hat (Xn ) die zentrale Grenzwerteigenschaft
(5.7).