Ubungsaufgaben zur Vorlesung ” Quantenmechanik I

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Quantenmechanik I“
”
Prof. Dr. Peter van Dongen
Institut für Physik, KOMET 337, Johannes Gutenberg-Universität
Abgabetermin: 10. 02. 2006
Aufgabe 34. Elektron in gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern (8 Punkte)
Wir betrachten ein Elektron (Ladung e, Masse m) in zeitunabhängigen und räumlich konstanten elektrischen und magnetischen Feldern, die entlang der x1 - bzw. x3 -Achse ausgerichtet sind.
Das Elektron befindet sich in einem Kasten, der in x1 -Richtung unendlich ausgedehnt ist und
in x2 - und x3 -Richtung die Länge L hat. Die Wellenfunktion des Elektrons erfüllt in x2 - und
x3 -Richtung periodische Randbedingungen: ψ(x + Lek ) = ψ(x) für k = 2, 3.
(a)
Zeigen Sie, dass die elektrischen und magnetischen Felder mit Hilfe des skalaren Potentials
Φ(x) = −Ex1 bzw. des Vektorpotentials A = (0, Bx1 , 0) beschrieben werden können und
dass dieses Vektorpotential die Coulomb-Eichung erfüllt.
(b) Zeigen Sie, dass der Hamilton-Operator in der Coulomb-Eichung die folgende Form hat:
Ĥ =
p̂2
+ 2ωL x1 p̂2 − eEx1 + 2mωL2 x21 + 2ωL Ŝ3
2m
,
ωL =
|e|B
,
2m
wobei für den gyromagnetischen Faktor g = 2 angenommen wird.
(c)
Zeigen Sie, dass die normierten Eigenfunktionen von Ĥ die Form
Z
1 i(k2 x2 +k3 x3 )
ϕ(x1 )χλ ,
dx1 |ϕ(x1 )|2 = 1 ,
Φλ (x) = e
L
λ=±,
haben, bestimmen Sie die möglichen Werte von k2 und k3 und zeigen Sie, dass ϕ die folgende
eindimensionale Wellengleichung erfüllt:
"
2 #
~k̄2
~2 d2
2
1
−
ϕ = Ēϕ ,
(1)
+ m(2ωL ) x1 +
2m dx21 2
|e|B
wobei
k̄2 ≡ k2 +
|e|E
2~ωL
,
Ē = E +
~2 2
(k̄ − k22 − k32 ) − λ~ωL
2m 2
definiert wurde und E der entsprechende Eigenwert von Ĥ ist.
(d) Woher kennen Sie die Differentialgleichung (1) für ϕ? Zeigen Sie aufgrund der Ihnen bekannten Ergebnisse für (1), dass die möglichen Eigenwerte von Ĥ durch
En = ~ωL (2n + 1 + λ1) +
~2 2
[k + k22 − k̄22 ]
2m 3
gegeben sind. Bestimmen Sie den Entartungsgrad des Grundzustands von Ĥ für E = 0 pro
Flächeneinheit in der (x1 , x2 )-Ebene.
Aufgabe 35. Paramagnetische Resonanz (12 Punkte)
Betrachten Sie das folgende Anfangswertproblem für den Spinor ψ = (ψ1 , ψ2 ):


B1 cos(ωt)
d ψ1
ψ1 (0)
ψ1
ψ1
1
, B =  −B1 sin(ωt)  ;
≡A
= iB · σ
=
,
ψ2
ψ2 (0)
ψ2
0
dt ψ2
B0
(2)
wobei σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) die Pauli-Matrizen darstellt, die bereits in Aufgabe 24, Teil (f), und Aufgabe 32, Teil (b) - (d), behandelt wurden. Gleichung (2) beschreibt ein lokalisiertes quantenmechanisches Spin- 12 -Teilchen (z.B. ein Elektron oder einen Kernspin) in einem zeitlich veränderlichen
Magnetfeld. Das Gesamtmagnetfeld B(t) enthält eine statische Komponente in x3 -Richtung und
eine hochfrequente Störung, die senkrecht zum statischen Feld in der x1 -x2 -Ebene rotiert. Dies ist
die typische Anordnung in Kernspinresonanz- bzw. Elektronenspinresonanzexperimenten. Wir
nehmen an, dass zur Zeit t = 0 der Spin in x3 -Richtung polarisiert ist.
(a)
Zerlegen Sie die Matrix A(t) = iB(t) · σ in die allgemeine Form A(t) = A0 + A1 (ωt) und
transformieren Sie Gleichung (2) auf das Wechselwirkungsbild“, ψ → χ ≡ e−A0 t ψ. Zeigen
”
Sie insbesondere, dass der Spinor χ = (χ1 , χ2 ) die folgende Gleichung erfüllt:
d
0
eiω̃t
χ = Ã1 (t)χ
;
Ã1 (t) = iB1
,
(3)
e−iω̃t 0
dt
wobei ω̃ ≡ ω − 2B0 ist.
(b) Lösen Sie die Gleichung (3). Lösungshinweis: Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeitsamplitude χ1 die Gleichung χ̈1 − iω̃ χ̇1 + B12 χ1 = 0 erfüllt und machen Sie einen geeigneten
Ansatz für χ1 (t).
(c)
Zeigen Sie mit Hilfe des Ergebnisses aus (b), dass die mittlere x3 -Spinkomponente S3 (t) ≡
1
2
2
2 ~(|ψ1 (t)| − |ψ2 (t)| ) durch den folgenden Ausdruck gegeben ist:
q
8B12
1
2 1
2
2
.
t ω̃ + 4B1
S3 (t) = ~ 1 − 2
sin
2
2
ω̃ + 4B12
p
Hierbei heißt ω̃ 2 + 4B12 die Rabi-Frequenz . Diskutieren Sie das Verhalten von S3 (t) als
Funktion von ω̃/2B1 . (Sie dürfen davon ausgehen, dass B0 ≫ B1 gilt.) Was passiert im
<
Parameterbereich |ω̃/2B1 | ∼ 1?
(d) Wie könnte man den unter (c) gefundenen Effekt experimentell ausnutzen, um Information über die mikroskopischen Eigenschaften eines Festkörpers oder einer Flüssigkeit zu
erlangen?