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FELD DER MATURAPRÜFUNG
ANALYSIS
1. Integralrechnung
Voraussetzung für die Integralrechnung ist natürlich die Differentialrechnung : Zum Integrieren muss man deshalb
auch die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel, beherrschen.
1.1. Bedeutung des Hauptsatzes der Integral und Differentialrechnung
x
Hauptsatz Teil 1 : für eine stetige Funktion f ist die Integralfkt. I a ( x) =∫ f ( x ) dx eine Stammfunktion von f
a
Um das Integral einer Funktion f zu ermitteln, muss man also eine Stammfunktion F von f finden. d.h. eine Fkt. F
so dass F' = f gilt.
Es gilt also
∫f
=F + c
mit c ∈ ℝ eine Konstante.
Anwendungsbeispiel : Problem des Zuges (Aufg. 41) : Man bestimmt die Stammfunktion der
Beschleunigungsfunktion a(t) (diese entspricht der Geschwin-digkeitsfunktion). Die Konstante c wird dann durch
die Anfangsgeschwindigkeit oder die Endgeschwindigkeit bestimmt. Hat man die Geschwindigkeitsfunktion v(t)
gefunden, so bildet man die Stammfunktion dieser Funktion, um die Weg-Zeit-Funktion s(t) zu rekonstruieren.
Das Integral, oder graphisch die Flächenbilanz, entspricht der Rekonstruktion einer Grösse aus seiner
momentanen Änderungsrate : Ist zum Beispiel die Zuflussrate einer Flüssigkeit in einem Tank in Abhängigkeit der
Zeit gegeben, so entspricht das Integral des insgesamt zu- oder abgeflossenen Volumens dieser Flüssigkeit, ist die
Geschwindkigkeit eines Körpers gegeben, so entspricht das Integral dem zurückgelegten Weg, usw.
b
Hauptsatz Teil 2 : für eine im Intervall [a;b] stetige Funktion gilt
∫ f ( x ) dx = F ( b) − F (a)
, wobei F eine
a
Stammfunktion von f ist.
b
Dieser zweite Teil erlaubt uns das bestimmte Integral
∫f
einer stetigen Funktion leicht zu bestimmen. Man
a
muss „nur“ eine Stammfunktion F von f finden und die Differenz F(b) – F(a) bilden.
1.2. Mittelwert der Funktionswerte (Mittelwertsatz)
Der Mittelwert fm der Funktionswerte einer stetigen
Funktion in einem Intervall [a;b] ist gegeben durch
b
Flächenbilanz
1
fm=
=
∫ f ( x )dx
Intervallbreite b −a a
Bemerkung : Der Flächeninhalt des Rechtecks
f m ⋅(b −a ) entspricht der Flächenbilanz der Funktion f im Intervall [a;b] :
b
b
1
fm=
∫ f ( x ) dx ⇔ f m ⋅( b −a) =∫ f ( x )dx
b −a a
a
1.3. Eigenschaften des bestimmten Integrals
...die am häufigsten benutzten Eigenschaften des Integrals sind wohl...
b
...die Linearität des Integrals
•
b
∫ f ( x ) + g ( x ) dx =∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx
a
b
a
b
. Achtung :
a
•
...die Intervalladditivität
b
∫ f ( x ) ⋅g ( x)dx ≠∫ f ( x) dx ⋅∫ g (x ) dx
a
c
a
c
∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx =∫ f ( x )dx
a
•
b
a
b
und
a
b
∫ λ f ( x )dx = λ ∫ f ( x) dx
a
b
b
a
...natürlich müssen die anderen auch bekannt sein (vgl. Kurs S.16-18)
1.4. Bestimmte Stammfunktionen und Integrationsmethoden
Einige bekannte Stammfunktionen (vgl. CRM-Tabelle, Seite 78)
f ( x ) = x n mit n≠−1 , dann
f ( x) =
1
, dann
x
∫ x n dx = n 1+ 1 x n + 1 + c
∫ 1x dx =ln (∣x∣) + c
;
f ( x ) =sin( x ) , dann
f ( x) =cos( x ) , dann
∫ cos (x ) dx =sin ( x ) + c
f ( x ) =ln ( x ) , dann
∫ ln ( x )dx = x ln ( x) − x + c
…
(vgl. CRM-Tabelle)
∫ sin ( x )dx =−cos( x ) + c
f ( x) =e x , dann
;
;
f ( x) =a x , dann
∫ e x dx =e x + c
∫ a x dx = ln 1(a ) a x + c
Wenn man eine Funktion f integrieren (eine Stammfunkton F von f finden) will, so stehen folgende Methoden zur
Verfügung :
∫ 2 x + cos x dx = x 2 + sin ( x )
1. Man findet direkt eine Stammfunktion : zB.
2. Im Falle eines Produktes : Wir können die Stammfunktion nur bestimmen, wenn ...
a) ...ein Faktor eine verkettete Funktion ist und der zweite Faktor (bis auf einen Faktor) der Ableitung
der inneren Funktion entspricht :
Beispiele :
∫ f ( g ( x )) ⋅g ' ( x )dx = F ( g ( x)) + c
∫ x cos ( x 2 ) dx =0.5 ∫ 2 x cos ( x 2 ) dx =0.5 sin ( x 2 ) + c
∫ 12 x 2 ( x 3 −1 )
4
4
dx =4 ∫ 3 x 2 ( x 3 −1 ) dx
.
oder
5
4 3
( x −1 ) + c .
5
b) ...das Produkt nach Ausmultiplizieren eine Summe ergibt, deren Summanden leicht integrierbar sind.
5
1
7
3
2 2 2 2
2
2
2
2
2
(
)
x
x
+
1
dx
=
x
+
x
dx
=
x
+
x
+ c = √ x7 + √ x3 + c
√
∫
∫
Beispiel :
7
3
7
3
3. Im Falle eines Quotienten haben wir folgenden Möglichkeiten :
a) Wir verwandeln unseren Quotienten in ein Produkt und gehen wenn möglich wie in 2. vor.
2
Beispiele :
∫ (x 35x−1) 2 dx = 53 ∫ 3x2 ⋅( x 3 −1)−2 dx =−53 ( x 3 −1)−1 + c =− 3 ( x 35−1 ) + c
1
1
1
−
−
7
7
7
2
2
2
2
dx
=
7x
⋅(
x
−1
)
dx
=
2x
⋅(x
−1
)
dx = ( x 2 −1) 2 + c = √ x 2 −1 +c
∫ 7x
∫
∫
2
2
2
2
√ x −1
b) Wir führen die Division durch und erhalten eine Summe, die sich leicht integrieren lässt.
Beispiele :
2
3
x 3 −1
x3
dx
=
∫ 3x 2
∫ 3x2 − 3x1 2 dx =∫ 13 x − 13 x −2 dx = 61 x 2 + 3x1 + c und
2
1
3
3
1
5
5
−
+c
∫ x √+x√ x dx =∫ x 1 + x 1 dx =∫ x 2 + x 6 dx= 52 x 2 + 65 x 6 = 25 √ x 5 + 65 √6 x 5 + c
x2 x2
c) Der Quotient ist von der Form
u ' ( x)
u (x )
, dann gilt :
u ' ( x)
∫ u( x) dx =ln( ∣u( x)∣) + c
Beispiele : ( bei rationalen Funktionen : Grad Zähler = Grad Nenner - 1)
+1
1
3x + 1
1
6x + 2
dx = ∫ 2 ⋅ 2
dx = ∫ 2
dx =ln ( ∣3x 2 + 2x −5∣) + c
∫ 3x 23x+ 2x
2
2
−5
3x + 2x −5
3x + 2x −5
sin ( x )
∫ tan ( x )dx =∫ cos ( x ) dx =−∫
−sin( x)
dx =−ln( ∣cos ( x )∣) + k
cos( x )
d) Im Falle einer rationalen Funktion mit Grad Zähler grösser gleich Grad Nenner führen wir eine
Polynomdivision durch . Beispiel :
∫ 4x
2
−5x + 1
52
dx =∫ 4x −17 +
dx =2x 2 −17x + 52 ln( ∣x + 3∣) +k
x +3
x+3
k ∈ℝ
1.5 Uneigentliche Integrale
Man kann auch Integrale über offene oder halb-offene Intervalle wie zum Beispiel ] a ; b ] oder [ a ; ∞[
bestimmen. In diesen Fällen hat man „ins Unendlich reichende“ Flächenbilanzen.
Beispiel :
Nach rechts (oder links) ins Unendlich reichende Flächenbilanzen :
∞
z
2
2 − =2
∫ x22 dx =lim
∫ x22 dx =lim
z
z →∞
z →∞
1
1
Somit sehen wir, das ins Unendlich reichende Flächen durchaus
einen endlichen Flächeninhalt besitzen können.
1.6 Flächenberechnungen
Dank des Integrals können wir den Inhalt von Flächen bestimmen, die von
den Graphen zweier Funktionen f und g eingeschlossen sind :
1. Man bestimmt die Schnittstellen a, b und c der Funktionen f und g.
2. Für jedes Teilintervall bestimmt man welche der beiden Funktionen
über der anderen liegt :
•
Im Intervall [a;b] gilt f(x)>g(x)
•
Im Intervall [a;b] gilt g(x)>f(x)
b
c
Somit A =∫ ( f ( x) − g ( x ))dx + ∫ ( g ( x ) − f ( x)) dx .
a
b
Bemerkung : Die Kurven können auch mithilfe einer Gleichung gegeben sein, wie zum Beispiel,
y = x 3 −3x 2 + 1. Manchmal muss man diese Gleichung auch umformen : 6x + 2y =8
y =−3 x + 4 .
⇔
1.7. Volumen eines Rotationskörper
Ein Rotationskörper entsteht, wenn man die Fläche unter einem Graphen einer stetigen Funktion f um die x-Achse
rotiert. Dann kann man mithilfe des Integrals das Volumen des Rotationskörpers berechnen.
b
2
Es gilt : V =π ∫ ( f ( x) ) dx
a
f (x ) = √ 2x+3
Beispiel :
Betrachten wir das Flächenstück, das von dem Graphen von f , der xAchse und den Geraden x = 0 und x = 3 eingeschlossen wird.
In diesem Falle gibt die obige Formel:
3
3
3
2
V =π ∫ ( √ 2x + 3 ) dx =π ∫ 2x + 3 dx =π [ x 2 + 3 ]0
0
0
Wenn der Rotationskörper ein „Loch“ aufweist, zieht man vom äussern
Volumen das innere weg :
b
b
2
b
2
2
2
V = π ∫ ( f ( x ) ) dx − π ∫ ( g( x) ) dx = π ∫ ( f ( x) ) − ( g ( x) ) dx
a
a
a
b
2
Achtung : V ≠ π ∫ ( f ( x ) − g ( x )) dx
Häufige Fehlerquelle !
a
Beispiel : Siehe Graphik nebenan.
11
2
11
f (x ) = √ x − 2 und g ( x) = x − 8
2
V = π ∫ ( √ x − 2 ) dx − π ∫ ( x − 8 ) dx
2
8
2. Logarithmus- und Exponentialfuntktion
Kurvendiskussion einer Funktion f, nach dem üblichen Plan :
1. Definitionsbereich
2. eventuelle Symmetrie
3. Schnittstellen mit den Koordinatenachsen
4. Verhalten an den Definitionslücken und/oder am Definitionsrand.
Angeben eventueller senkrechter Asymptoten oder Löcher.
5. Verhalten der Funktion im Unendlichen. Angeben eventueller waagrechter Asymptoten.
6. Monotonie und Extremwertstellen : Ableitung der Funtktion bestimmen und die kritischen Stellen
(x-Werte mit f'(x) = 0) ermitteln. Vorzeichentafel von f' und Monotonietafel für f erstellen. Koordinaten
eventueller Tief- und/oder Hochpunkte und Sattelpunkte berechenen.
7. Graphische Darstellung der Funktion f
Zur Untersuchung des Verhaltens der Funktion bei Definitionslücken, am Rande des Definitionsbereichs oder im
Unendlichen wird auf die Grenzwertrechnung zurückgegriffen. Dabei ist folgendes zu beachten :
•
±∞ , ∞ − ∞, 0 ⋅∞ und 0 sind unbestimmte Fälle. Die Unbestimmtheit muss durch algebraisches
±∞
0
Umformen aufgehoben werden. Dabei können die bekannten Grenzwerte in der CRM-Tabelle auf Seite
72 benutzt werden.
•
0
Ausdrücke der Form ∞ oder
−∞
sind bestimmt :
+
0
0
−∞
∞ = 0 und
+ =− ∞
0
3. Bemerkungen und einige Aufgabenangaben
Wichtig ist es sicher, die in der 4. Klasse absolvierten Prüfungen gut zu verstehen, und fähig sein, sie zu lösen.
Ausserdem sind hier noch einige relevante Aufgaben zu jedem Abschnitt aufgelistet.
Abschnitt 1.1 : vgl. Kap5 Aufg 29, 30a), 31, Anwendungsaufgaben 27, 40, 41, 43, 44, 45, 46, 49
Abschnitt 1.2 : vgl. Kap5 Aufg. 38, 39, 43, 49
Abschnitt 1.4 : vgl. Kap5, Aufg. 8, 9, 14, 15, 16, 25, 26, 36, 37, (50, 51, Kap6, Aufg. 4., 5, 11, 16
Abschnitt 1.5 : vgl. Kap5 Aufg. 52 und Kap6 Aufg. 11d)
Abschnitt 1.6 : vgl. Kap5 Aufg. 57 – 65, 70,72 und Kap6 Aufg. 9, 13, 17, 22, 23
Abschnitt 1.7 : vgl. Kap5 Aufg. 73 -76 und Kap6 Aufg. 9, 18
Abschnitt 2 : vgl. Kap 6 Aufg. 26, auch Aufg. 1, 3, 6, 7, 10, 25, denn für die Kurvendiskussion muss man fähig
sein, Gleichungen zu lösen, Grenzwerte und Ableitungen zu bestimmen.
VEKTORGEOMETRIE
1. Grundbegriffe
1.
⃗
AB + ⃗
BC = ⃗
AC
2. Die Koordinaten eines Punktes A entsprechen den Komponenten des Ortsvektors ⃗
OA.
3. Die Komponenten eines Verbindungsvektors ⃗
AB sind gegeben durch ⃗
AB = ⃗
OB −⃗
OA .
AB erhält man indem man die Koordinaten des Punktes A
Das heisst : die Komponenten des Vektors ⃗
von den Koordinaten des Punktes B abzieht (subtrahiert).
4. Die Mitte M eines Segmentes [AB] ist gegeben durch
1
⃗
OM = ( ⃗
OA + ⃗
OB ) .
2
5. 3 Punkte A, B, C liegen auf einer Geraden genau dann wenn (zB.) die Vektoren ⃗
AB und ⃗
AC kollinear
sind.
2. Skalarprodukt und Norm
1. Definition der Norm/Betrag eines Vektors (Länge)
2. Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren
3. Zwei Vektoren sind senkrecht/orthogonal zueinander genau dann wenn ihr Skalarprodukt null ist.
4. Den Winkel zwischen zwei Vektoren mithilfe des Skalarproduktes bestimmen
5. Dank dem Skalarprodukt können wir einen Normalenvektor ⃗n bestimmen, der senkrecht zu zwei
Vektoren ⃗u und ⃗v
steht :
()
n1
Beispiel : Wir suchen ⃗n = n2
()
2
und ⃗n = 3
1
2
n3
(1)
( )()
n1
2
⋅
n2
5 =0 da ⃗n ⊥ ⃗u
1
n3
()
−1
senkrecht zu m ⃗n = 5
und
(2)
( )( )
n1 −1
n 2 ⋅ 3 =0 da ⃗n ⊥ ⃗v
2
n3
Wir erhalten ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und 2 Gleichungen.
(1) 2n 1 + 5n 2 + n 3 =0
(2) −n1 + 3n 2 + 2n 3 =0 | ⋅2
⇔
(1)
2n 1 + 5n 2 + n 3 =0
(2') −2n 1 + 6n 2 + 4n 3 =0 | ⋅2
Wir eliminieren eine Unbekannte. Dann bleibt uns eine Gleichung mit zwei Unbekannten :
(1) + (2) (3)
11n 2 + 5n 3 =0
Eine diese Unbekannten ist frei wählbar. Wählt man zum Beispiel n3 =11 , so erhält man mit (3)
n 2=−5 und mit (1) n1 =7 .
()
7
Somit ist ⃗n = −5
ein Vektor, der senkrecht zu den Vektoren ⃗u und ⃗v steht.
11
Einen solchen Normalenvektor sucht man zum Beispiel, wenn man von der Gleichung einer Ebene in
Parameterform zur Koordinatengleichung der Ebene übergehen will (vgl. Prüfungsfeld der
Semesterprüfung vom Dezember).
6. Den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden bestimmen können.
7. Den Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene bestimmen können.
8. Den Winkel zwischen zwischen zwei Ebenen bestimmen können.
9. Den Abstand eines Punktes Q zu einer Geraden oder einer Ebene berechnen können. Dazu wird die
orhtogonale Projektion benutzt. Die Koordinaten des Lotfusspunktes oder des bezüglich der Gerade oder
Ebene symmetrischen Punktes Q' bestimmen.
3. Geraden
p o + λ ⃗u
1. Parametergleichung einer Geraden g : ⃗x = ⃗
mit dem Stützvektor p⃗0 und dem
Richtungsvektor ⃗u .
2. Gegenseitige Lage von Geraden bestimmen (vgl. Kurs Seite 33-34, Aufgabe 79).
4. Ebenen
p o + λ ⃗u + µ⃗v mit dem Stützvektor p⃗0 und den zwei
1. Parmetergleichung der Ebene E : ⃗x = ⃗
Richtungsvektoren ⃗u und ⃗v.
2. Koordinatengleichung der Ebene E :
ax + by + cz + d =0 .
()
a
⃗n = b
c
ist Normalenvektor der
Ebene E und steht somit senkrecht zu den Richtungsvektoren ⃗u und ⃗v.
3. Normalengleichung der Ebene E : (⃗x − p⃗o ) ⋅⃗n =0 mit dem r p⃗0 und dem Normalenvektor ⃗n .
4. Von einer Form von Gleichung der Ebene auf eine andere übergehen können.
5. Relative Lage einer Geraden und einer Ebene im Raum E bestimmen können. Gegebenenfalls den
Durchstosspunkt bestimmen.
6. Relative Lage zweier Ebenen bestimmen können. Gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden der
zwei Ebenen bestimmen.
7. Die Spurpunkte (Schnittstellen der Ebene mit den Koordinatenachsen) einer Ebene bestimmen und die
Ebene in einem Koordinatensystem graphisch darstellen. (vgl Kurs Seite 38-40, Aufgaben 94,95,96).
5. Bemerkungen und einige Aufgabenangaben
Die Prüfungen aus dem ersten Semester der 4. Klasse beherrschen. Zum Studium der oben aufgelisteten Punkte
kann auch das Prüfungsfeld der ersten Semesterprüfung hilfreich sein.
Aufgaben Kurs : Aufgabe 94, 95, 96, 97, 99, 103, 105, 106a)b), 110 – 116
Aufgaben Buch : S. 333 1, 2, 4 und S.335 10, 11 und S. 353 2,5,10,11 und S. 357 4,6
WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
3.1 Grundbegriffe
Den Ergebnisraum eines Zufallsexperiments angeben können. Ereignisse in Worten oder als Teilmenge des
Ergebnisraumes ausdrücken können.
Schnitt, Differenz und Vereinigung zweier Ergebnisse angeben können.
B ∖ A : " Ereignis B aber nicht Ereignis A"
A ∪ B : " Ereignis A oder Ereignis B"
A ∩ B : " Ereignis A und Ereignis B"
Diese Ereignisse auch in einem Diagramm von Venn graphisch darstellen können.
A und B unvereinbare Ereignisse, wenn A ∩ B = ∅ . Das heisst die Ereignisse A und B haben keine
gemeinsamen Elemente.
Ein Baumdiagramm mit den dazugehörenden Wahrscheinlichkeiten eines mehrstufigen Zufallsexperiments
erstellen können. Mit den Wahrscheinlichkeiten am Baumdiagramm rechnen können (Pfadregeln).
3.2 Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeitsfunktion und daraus folgende Eigenschaften
Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion P ist eine Funktion P: Ω  ℝ mit
(1) P (Ω ) = 1
(2) P( A) ⩾ 0
(3) A ∩ B = ∅ ⇒ P (A ∪ B) = P ( A) + P ( B)
Daraus lassen sich weitere Eigenschaften herleiten
1.
P( A) = 1 − P ( A) insbesondere
P(∅) = 0
2.
P( B ∖ A) = P ( B) − P (B ∩ A)
3.
A ⊂ B ⇒ P ( A) ⩽ P ( B ) insbesondere 0 ⩽ P( A) ⩽ 1
4.
P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B)
Diese Eigenschaften sind nützlich um die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse zu berechnen.
3.3 Laplace-Experimente
Treten alle Elementarereignisse (alle Elemente eines Ergebnisraumes Ω) mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, so
spricht man von einem Laplace-Experiment.
In diesem Falle lässt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A folgendermassen berechnen :
P( A) =
∣A∣
Anzahl der günstigen Fälle
.
=
Anzahl der möglichen Fälle ∣Ω∣
Haben die Mengen Ω und A sehr viele Elemente, so können sie nicht mehr aufgezählt werden. Man benützt dann
zur Bestimmung von ∣Ω∣ und ∣A∣ wenn nötig die Abzählmethoden der Kombinatorik.
3.4 Kombinatorik
Reihenfolge wird beachtet
Keine Beachtung der Reihenfolge
VARIATIONENEN
KOMBINATIONEN
Bezeichnung
Ohne
Wiederholung
Notation und
Formel
V nk =
Mit
Wiederholung
n!
(n −k )!
n
k
V =n
k
Ohne Wiederholung
V nk
n!
C =
=
k! ( n −k )! ⋅k !
n
k
Mit Wiederholung
C nk =
( n + k −1)!
(**)
(n −1)! ⋅k !
PERMUTATIONEN
P n =V nn =n!
(*)
(*) Permutationen mit Wiederholung :
Betrachten wir eine Menge mit n Elementen, in der sich das...
das erste Element n1 mal wiederholt,
das zweite Element n2 mal wiederholt, …,
das k-te Element nk mal wiederholt, so gilt für die Anzahl Permutationen dieser n Elemente
Pn =
n!
wobei n1 + n2 + … + nk = n
n 1! ⋅n 2! ⋅... ⋅n k !
(**) ausser Prüfungsfeld, nur der Vollständigkeit halber in dieser Tabelle aufgelistet.
Alle diese Formeln befinden sich in der CRM-Tabelle auf den Seiten 8-9.
3.5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
1. Bedingte Wahrscheinlichkeiten erkennen und berechnen können. Dabei kann mit einem Baumdiagramm,
oder wenn möglich eine Vierfeldtafel, gearbeitet werden.
Erinnerung : P (B | A) =
P ( A ∩B)
P ( A)
2. Fähig sein zu entscheiden ob Ereignisse (stochastisch) abhängig oder unabhängig sind.
3. Bei einer Zerlegung/Partition des Ergebnisraumes durch (2 oder) 3 Ereignisse L1, L2, und L3 die totale
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses D berechnen können. Diese entspricht den Pfadregeln im
Baumdiagramm entsprechend :
P (D) = P ( D ∩L 1 ) + P ( D ∩ L 2) + P (D ∩L 3 )
=P ( D | L1 ) ⋅P ( L 1 ) + P (D | L 2 ) ⋅P (L 2 ) + P ( D| L 3 ) ⋅P (L 3 )
Zwischen den bedingten Wahrscheinlichkeiten P (L i | D) und P ( D | L i ) besteht folgender
Zusammenhang (Regel von Bayes) :
P (L i | D) =
P ( D ∩L i )
P ( D| L i ) ⋅P (L i )
=
P ( D)
P ( D | L1 ) ⋅P ( L1 ) + P ( D | L2 ) ⋅P ( L 2 ) + P ( D | L3 ) ⋅P ( L 3)
(Vgl. Kurs Beispiel Seite 18 ff. und dazugehörende Aufgaben)
3.6 Diskrete Zufallsvariablen
1. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable angeben und derer Erwartungswert, deren
Varianz und deren Standardabweichung bestimmen.
2. Bernoulli-Experiment, Binomialverteilung
Beispiel : Betrachten wir das Werfen zweier Würfel.
Sei X die Zufallsvariable, die dem Wurf der zwei Würfel die Augensumme zuordnet. Dann ist die
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X in der untenstehenden Tafel wiedergegeben :
Summe X = xi
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P(X = xi)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Man kann oft von einer Zufallsvariable ausgehen, um eine zweite zu definieren. Zum Beispiel kann man jetzt die
Zufallsvariable Y, mit den zwei Ausgängen „Augensumme grösser als 8“ oder „Augensumme kleiner gleich 8“
definieren. Diese Zufallsvariable nimmt nur zwei Werte a : 0, falls die Augensumme kleiner gleich 8 ist, und 1,
falls die Augensumme grösser als 8 ist. Es handelst sich also um ein Bernoulli-Experiment. Ihre
Wahrscheinlichkeitsverteilung kann von der obigen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X abgleitet
werden :
Y= yi
0
1
P(Y= yi)
26
36
10
36
Betrachtet man nun das vierstufige Experiment : Zwei Würfel werden 4 mal geworfen.
Man kann nun die Zufallsvariable Z betrachten die die Anzahl Würfe zählt, bei denen man eine Augensumme, die
grösser als 8 ist, erhalten hat. Da das Experiment eine Bernoulli-Kette ist, ist die Zufallsvariable Z binomialverteilt
und wir erhalten folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für Z :
Z=k
0
P(Y = k)
( )
26
36
k
26
⋅
36
1
4
und somit :
2
3
( )( )
10
26
C ⋅
⋅
36
36
4
1
4 −k
( )( )
10
P (Z =k ) =C ⋅
36
4
k
2
2
( )( )
10
C ⋅
36
4
2
3
26
⋅
36
3
( )( )
10
C ⋅
36
4
3
4
26
⋅
36
4
( )
10
36
Gehören zum Prüfungsfeld Fragen der Art : Wie viele male muss man die zwei Würfel werfen, damit man mit
einer Sicherheit von 90% mindestens einmal mehr als 8 in einem Wurf würfelt?
( )
(( ) )
Antwort : P ( Z ⩾1) =1 −P ( Z =0) =1 −
n
⇔
( )
⩽0.1
⇔
n ⋅log
( )
⇔
n⩾
26
36
⇔
log
26
36
26
⩽log( 0.1)
36
26
36
⩾0.9 man erhält eine Ungleichung
n
⩽log (0.1)
Achtung :
log(0.1)
−1
=
≈7.07
26
26
log
log
36
36
( ) ( )
3.7 Bemerkungen und einige Aufgabenangaben.
Im Unterricht gelöste Aufgaben des Kapitel 7.
n
log
⇔
n ⋅log
( )
26
⩽log( 0.1)
36
( )
26
26
ist negativ, da
kleiner als 1 ist.
36
36
⇒ 8 maliges Werfen der zwei Würfel.