Zusammenfassung: Abstände, Winkel und Spiegelungen
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LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2016/2017 Zusammenfassung: Abstände, Winkel und Spiegelungen Inhaltsverzeichnis Abstände ............................................................................................................................................. 1 Winkel ................................................................................................................................................ 5 Spiegelungen ...................................................................................................................................... 7 Für Experten ..................................................................................................................................... 10 Abstände Abstand Punkt – Punkt: Schreibweise: Den Abstand zweier Punkte A und B bezeichnet man mit d A; B , den Abstand eines Punkts A von einer Geraden g mit d A; g usw. Bekannt: Der Abstand zweier Punkte A und B (bzw. die Länge der Strecke AB) ist d A; B AB . In der Ebene ist die Menge der Punkte, die von zwei Punkten A und B gleich weit entfernt sind, die Mittelsenkrechte der Strecke AB. Im Raum bilden diese Punkte eine Ebene: Feststellung: Gegeben sind zwei Punkte A und B. Die Menge der Punkte, die von A gleich weit entfernt sind wie von B, ist die Ebene, bezüglich der A und B symmetrisch enthält den sind. Sie Mittelpunkt M der Strecke AB, und ein Normalenvektor ist der Vektor MA (oder MB oder AB ). Aufgabe: Gegeben sind zwei Punkte A und B und eine Gerade g, die nicht parallel zu der Ebene ist, bezüglich der A und B symmetrisch sind. Bestimme den Punkt auf g, der von A und B gleich weit entfernt ist. Lösung: erste Möglichkeit: Ist Pt der allgemeine Punkt der Geraden g, dann bestimme t mithilfe der Gleichung APt BPt . zweite Möglichkeit: Bestimme die Ebene E, bezüglich der A und B symmetrisch sind. Der Schnittpunkt von E und g ist der gesuchte Punkt. Bemerkung: Eine allgemeinere Form dieser Aufgabe, beispielsweise: „Bestimme den Punkt auf g, der von A doppelt so weit wie von B entfernt ist.“ kann man nur analog zur ersten Möglichkeit lösen. Bemerkung: Die Aufgabe: „Gegeben sind zwei Punkte A und B. Bestimme die Mittelsenkrechte der Strecke AB.“ ist nicht sinnvoll, da es (im Raum) unendlich viele Lösungen gibt. Aufgabe: Gegeben sind zwei Punkte A und B sowie eine Ebene E, in der A und B liegen. Bestimme die Mittelsenkrechte der Strecke AB, die in E liegt. Lösung: Ist M der Mittelpunkt der Strecke AB und n ein Normalenvektor von E, dann ist x m t AB n eine Gleichung der gesuchten Geraden. zus_abstaendewinkelundspiegelungen 1/14 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2016/2017 Anwendung: Bestimmung der Mittelsenkrechten und des Umkreismittelpunkts eines Dreiecks. Hinweise: 1. Die Mittelsenkrechten eines gleichseitigen Dreiecks kann man einfacher bestimmen: Dies sind die Geraden durch die Seitenmittelpunkte und die gegenüberliegenden Eckpunkte. 2. Den Umkreismittelpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks kann man einfacher bestimmen: Dies ist der Mittelpunkt der Hypotenuse. Abstand Punkt – Gerade: Standardaufgabe: Bestimme den Abstand eines Punkts Q von einer Geraden g. Lösung: erste Möglichkeit (Minimierung des Abstands mit dem GTR): Ist Pt der allgemeine Punkt von g, dann bestimme mit dem GTR das Minimum des Abstands von Q und Pt , also das Minimum von QPt (als Funktion von t). zweite Möglichkeit (mit der Orthogonalitätsbedingung): Ist Pt der allgemeine Punkt von g und u der Richtungsvektor von g, dann bestimme den Fußpunkt F des Lots von Q auf g mithilfe der Bedingung PQ u 0 . t dritte Möglichkeit (mit der orthogonalen Hilfsebene): Bestimme den Fußpunkt F des Lots von Q auf g mithilfe der orthogonalen Hilfsebene. Dann ist d Q; g QF . Hinweis: Wenn der GTR verwendet werden darf, ist die erste Möglichkeit am einfachsten. Achtung: Dieser Abstand ist nicht der Abstand des Punkts vom Aufpunkt der Geraden! Anwendung: Bestimmung der Höhe eines Dreiecks, eines Parallelogramms oder eines Trapezes. Hinweis: Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks und eines symmetrischen Trapezes kann man einfacher bestimmen. Anwendung: Bestimmung des Flächeninhalts eines Dreiecks, eines Parallelogramms oder eines Trapezes. Hinweis: Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks kann man einfacher bestimmen, und den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks, eines Parallelogramms und eines beliebigen Vierecks kann man einfacher mit dem Vektorprodukt bestimmen. Aufgabe: Bestimme den Abstand zweier paralleler Geraden. Lösung: Bestimme den Abstand des Aufpunkts einer der Geraden von der anderen Geraden. Achtung: Dieser Abstand ist nicht der Abstand der Aufpunkte der Geraden! zus_abstaendewinkelundspiegelungen 2/14 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2016/2017 Abstand Punkt – Ebene: Definitionen: 1. Ist n0 ein normierter Normalenvektor einer Ebene (also n0 1 ) und ist P ein Punkt der Ebene, dann heißt n0 x p 0 eine Gleichung der Ebene in Hesse’scher Normalenform (HNF). 2. Die Koordinatendarstellung der HNF einer Ebene E: n1 x1 n2 x2 n3 x3 d ist n1 x1 n2 x2 n3 x3 d n n n 2 1 2 2 2 3 0. Merke: Man erhält die HNF, indem man d auf die linke Seite der Gleichung bringt und durch den Betrag des Normalenvektors dividiert. Satz (Beweis siehe „Für Experten“): Ist eine Ebene E durch eine Gleichung n0 x p 0 in Hesse’scher Normalenform gegeben, dann hat ein Punkt Q von E den Abstand d Q; E n0 q q . Folgerung: Der Abstand eines Punkts Q q1 | q2 | q3 von einer Ebene E: n1 x1 n2 x2 n3 x3 d ist d Q; E n1 q1 n2 q2 n3 q3 d n12 n22 n32 . Bemerkung: Da der Nenner positiv ist, kann man die Betragsstriche auch nur um den Zähler setzen. Merke: Man erhält den Abstand eines Punkts von einer Ebene, indem man die Koordinaten des Punkts in die linke Seite der HNF einsetzt und den Betrag nimmt. Angewandt auf den Fall, dass der Punkt der Ursprung ist, ergibt dies die Feststellung: Eine Ebene E: n1 x1 n2 x2 n3 x3 d hat vom Ursprung den Abstand d n12 n22 n32 . Als Sonderfall ergibt sich die bereits bekannte Tatsache, dass eine Ebene E: n1 x1 n2 x2 n3 x3 d genau dann den Ursprung enthält, wenn b 0 ist. Standardaufgabe: Bestimme den Abstand eines Punkts Q von einer Ebene E. zus_abstaendewinkelundspiegelungen 3/14 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2016/2017 Lösung: erste Möglichkeit: Setze die Koordinaten des Punkts in die linke Seite der Koordinatendarstellung der HNF von E ein und nimm den Betrag. zweite Möglichkeit: Bestimme den Fußpunkt F des Lots von Q auf E mithilfe der Lotgeraden. Dann ist d Q; E QF . Hinweis: Wenn nur der Abstand gefragt ist, dann ist die erste Möglichkeit einfacher. Wenn auch der Lotfußpunkt gefragt ist, dann muss man die zweite Möglichkeit verwenden. Anwendung: Bestimmung der Höhe einer Pyramide oder eines Prismas. Anwendung: Bestimmung des Volumens einer Pyramide oder eines Prismas. Aufgabe: Bestimme den Abstand einer Geraden von einer zu der Geraden parallelen Ebene. Lösung: Bestimme den Abstand des Aufpunkts der Geraden von der Ebene. Aufgabe: Bestimme den Abstand zweier paralleler Ebenen. Lösung: erste Möglichkeit: Wähle einen Punkt in einer der Ebenen und bestimme seinen Abstand von der anderen Ebene. zweite Möglichkeit: Sind die Ebenen durch Koordinatengleichungen mit derselben linken Seite gegeben: E: n1 x1 n2 x2 n3 x3 d E und F: n1 x1 n2 x2 n3 x3 d F , dann ist d E ; F dE dF n12 n2 2 n32 . Aufgabe: Gegeben sind eine Ebene E, eine Gerade g, die nicht parallel zu E ist, und eine positive Zahl d. Bestimme die beiden Punkte auf der Geraden g, die von der Ebene E den Abstand d haben. Lösung: erste Möglichkeit: Setze in die linke Seite der Koordinatendarstellung der HNF von E die Koordinaten des allgemeinen Punkts Pt von g ein und nimm den Betrag; dies ist d Pt ; E . Die Bedingung d Pt ; E d ergibt eine Betragsgleichung für den Parameter r. Hinweis: Diese Betragsgleichung kann man ohne weitere Umformungen mit dem GTR lösen; der Betrag ist der Befehl abs (von Absolutbetrag) im MATH-NUM-Menü. Löst man die Gleichung ohne GTR, dann muss man beachten, dass eine Gleichung der Form x y äquivalent zu den Gleichungen x y oder x y ist. zweite Möglichkeit: Bestimme die beiden zu E parallelen Ebenen, die von E den Abstand d haben. Die gesuchten Punkte sind die Schnittpunkte von g und diesen Ebenen. Hinweis: Die Aufgabe ist einfacher, wenn g orthogonal zu E ist. zus_abstaendewinkelundspiegelungen 4/14 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2016/2017 Aufgabe: Gegeben sind zwei Ebenen E und F, die nicht parallel sind, und eine Gerade g, die zu keiner der beiden „winkelhalbierenden Ebenen“ von E und F parallel ist und die die Schnittgerade von E und F nicht schneidet. Bestimme die beiden Punkte auf der Geraden g, die denselben Abstand von E wie von F haben. Lösung: Setze in die linke Seite der Koordinatendarstellungen der HNF von E bzw. F die Koordinaten des allgemeinen Punkts Pt von g ein und nimm den Betrag; dies ist d Pt ; E bzw. d Pt ; F . Die Bedingung d Pt ; E d Pt ; F ergibt eine Betragsgleichung für den Parameter t. Hinweis: Diese Betragsgleichung kann man ohne weitere Umformungen mit dem GTR lösen. Löst man die Gleichung ohne GTR, dann muss man beachten, dass eine Gleichung der Form x y äquivalent zu den Gleichungen x y oder x y ist. Standardaufgabe: Bestimme den Mittelpunkt und den Radius der Inkugel einer regelmäßigen Pyramide. Lösung: Bestimme die zu der Ebene G, in der die Grundfläche der Pyramide liegt, orthogonale Gerade g durch den Mittelpunkt der Grundfläche. Wähle eine Seitenfläche E der Pyramide. Der Mittelpunkt der Inkugel ist einer der beiden Punkte auf der Geraden g, die denselben Abstand von G wie von E haben. Der Radius der Inkugel ist der Abstand des Mittelpunkts von der Grundfläche G (oder von der Seitenfläche E). Winkel Wiederholung Trigonometrie: H G sin G H cos A H tan G A A Winkel zwischen zwei Vektoren Definition: Gegeben sind zwei Vektoren a o und b o . Derjenige Winkel, den zwei zugehörige Pfeile mit demselben Anfangspunkt bilden und der kleiner oder gleich 180° ist, heißt der Winkel zwischen den Vektoren a und b . b a a b Satz (Beweis siehe „Für Experten“): Ist der Winkel zwischen zwei Vektoren a und b , dann gilt a b a b cos . Da der Kosinus eines Winkels mit 0 180 genau dann Null ist, wenn 90 ist, folgt daraus die bekannte Tatsache, dass das Skalarprodukt zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren genau dann Null ist, wenn die Vektoren orthogonal sind. zus_abstaendewinkelundspiegelungen 5/14 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2016/2017 Folgerung: Für den Winkel zwischen zwei Vektoren a o und b o gilt a b cos . ab Aufgabe: Bestimme den Innenwinkel, den zwei Seiten eines Vielecks einschließen bzw. den Winkel, den zwei Kanten eines Körpers einschließen. Setze voraus, dass das Vieleck bzw. der Körper keine einspringende Ecke bzw. Kante hat. Lösung: Sind die Seiten bzw. Kanten die Strecken AB und AC, dann gesuchte Winkel der Winkel zwischen den Vektoren ist der AB und AC , d. h. es gilt AB AC cos . AB AC C B A Definition: Schneiden sich zwei Geraden, so entstehen vier Winkel, je zwei der Größe und je zwei der Größe 180 . Der Schnittwinkel der Geraden ist derjenige Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Satz (ohne Beweis): Für den Schnittwinkel zweier Geraden mit den Richtungsvektoren u1 und u2 gilt u1 u2 cos . u1 u2 Definition: Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E, die sich schneiden. 1. Ist g orthogonal zu E, dann ist der Schnittwinkel von g und E 90°. 2. Ist g nicht orthogonal zu E, dann ist der Schnittwinkel von g und E der Schnittwinkel der Geraden g und ihrer senkrechten Projektion auf die Ebene E. Der Schnittwinkel einer Geraden und einer Ebene ist also stets kleiner oder gleich 90°. Satz (ohne Beweis): Für den Schnittwinkel einer Geraden mit dem Richtungsvektor u und einer Ebene mit dem Normalenvektor n gilt u n sin . un Aufgabe: Bestimme den Winkel, den eine Kante und eine Fläche eines Körpers einschließen. Setze voraus, dass der Körper keine einspringende Kante hat. Lösung: Der gesuchte Winkel ist entweder der Schnittwinkel der Kante und der Fläche (eigentlich: der Schnittwinkel der Trägergeraden der Kante und der Trägerebene der Fläche), oder 180° minus diesem Winkel. Bemerkung: Man benötigt eine Zeichnung des Körpers, um dies entscheiden zu können. zus_abstaendewinkelundspiegelungen 6/14 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2016/2017 Definition: Gegeben sind zwei sich schneidende Ebenen. Man kann jede der Ebenen um die Schnittgerade in die andere Ebene hineindrehen, und zwar um einen Winkel oder um einen Winkel 180 . Der Schnittwinkel der Ebenen ist derjenige Winkel, der kleiner oder gleich 90° ist. Satz (ohne Beweis): Für den Schnittwinkel zweier Ebenen mit den Normalenvektoren n1 und n2 gilt n1 n2 cos . n1 n2 Aufgabe: Bestimme den Winkel, den zwei Flächen eines Körpers einschließen. Setze voraus, dass der Körper keine einspringende Kante hat. Lösung: Der gesuchte Winkel ist entweder der Schnittwinkel der beiden Flächen (eigentlich: der Schnittwinkel der beiden Trägerebenen der Flächen), oder 180° minus diesem Winkel. Bemerkung: Man benötigt eine Zeichnung des Körpers, um dies entscheiden zu können. Achtung: Bei den Formeln für den Schnittwinkel zweier Geraden bzw. einer Geraden und einer Ebene bzw. zweier Ebenen steht im Zähler der Betrag des Skalarprodukts, während bei der Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren das Skalarprodukt ohne Betrag im Zähler steht! Spiegelungen (Senkrechte) Projektionen: (Senkrechte) Projektion eines Punkts P auf eine Ebene E: Der Bildpunkt ist der Fußpunkt des Lots von P auf E. Sonderfall: Der Punkt P p1 | p2 | p3 hat bei der Projektion auf die x1 - x2 -Ebene den Bildpunkt P p1 | p2 | 0 . auf eine Gerade g: Der Bildpunkt ist der Fußpunkt des Lots von P auf g. Sonderfall: Der Punkt P p1 | p2 | p3 hat bei der Projektion auf die x1 -Achse den Bildpunkt P p1 | 0 | 0 . (Senkrechte) Projektion einer Geraden g: x p t u auf eine Ebene E: Bestimme den Fußpunkt F des Lots von P auf g. Prüfe, ob g und E parallel sind. Falls ja: g : x f t u (da g g ) Falls nein: Bestimme den Schnittpunkt S von g und E. g : x f t FS zus_abstaendewinkelundspiegelungen 7/14 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2016/2017 p u1 1 Sonderfall: Die Gerade g: x p2 t u2 hat bei der Projektion auf die x1 - x2 -Ebene die p u 3 3 p u1 1 Bildgerade g : x p2 t u2 . 0 0 Spiegelungen: Spiegelung eines Punkts P an einem Punkt Z: Der Bildpunkt P hat den Ortsvektor p z PZ oder p p 2 PZ . an einer Geraden g: Bestimme den Fußpunkt F des Lots von P auf g und spiegle P an F. Achtung: Nicht am Aufpunkt von g spiegeln! an einer Ebene E: Bestimme den Fußpunkt F des Lots von P auf E und spiegle P an F. Sonderfälle: Der Punkt P p1 | p2 | p3 hat bei der Spiegelung am Ursprung den Bildpunkt P p1 | p2 | p3 ; an der x1 -Achse den Bildpunkt P p1 | p2 | p3 ; an der x1 - x2 -Ebene den Bildpunkt P p1 | p2 | p3 . Spiegelung einer Geraden g: x p t u an einem Punkt Z: Spiegle den Aufpunkt P von g an Z. g : x p t u (da g g ) an einer zu g parallelen Geraden h: Spiegle den Aufpunkt P von g am Aufpunkt von h. g : x p t u (da g g ) an einer Ebene E: Spiegle den Aufpunkt P von g an E. Prüfe, ob g und E parallel sind. Falls ja: g : x p t u (da g g ) Falls nein: Bestimme den Schnittpunkt S von g und E. g : x p t P S Immer möglich, aber ungeschickt: Spiegle den Aufpunkt P und einen weiteren Punkt Q von g an dem Objekt. Dann ist g : x p t P Q zus_abstaendewinkelundspiegelungen 8/14 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2016/2017 Spiegelung einer Ebene E mit dem Normalenvektor n an einem Punkt Z: Wähle einen Punkt P, der in E liegt, und spiegle ihn an Z. E : n x p 0 (da E E ) an einer zu E parallelen Geraden g: Wähle einen Punkt P, der in E liegt, und spiegle ihn am Aufpunkt von g. E : n x p 0 (da E E ) an einer zu E parallelen Ebene F: Wähle einen Punkt P, der in E liegt, und wähle einen Punkt Q, der in F liegt. Spiegle P an Q. E : n x p 0 (da E E ) Immer möglich, aber ungeschickt: Wähle drei Punkte P, Q und R in E und spiegle sie an dem Objekt. Dann ist E : x p r P Q s P R Bestimmung des Objekts, an dem gespiegelt wird: Der Punkt, bezüglich dem zwei Punkte P und Q symmetrisch sind, ist der Mittelpunkt der Strecke PQ . Die Ebene, bezüglich der zwei Punkte P und Q symmetrisch sind, hat die Gleichung MP x m 0 oder MQ x m 0 oder PQ x m 0 . Dabei ist m der Ortsvektor des Mittelpunkts der Strecke PQ. Die Gerade, bezüglich der zwei parallele Geraden g: x p t u und h: x q t u symmetrisch sind, also die Mittelparallele von g und h, hat die Gleichung x m t u . Dabei ist m der Ortsvektor des Mittelpunkts der Strecke PQ. Die Ebene, bezüglich der zwei parallele Ebenen E: n x p 0 und F: n x q 0 symmetrisch sind, hat die Gleichung n x m 0 . Dabei ist m der Ortsvektor des Mittelpunkts der Strecke PQ. Die Ebene, bezüglich der zwei parallele Ebenen E: n1 x1 n2 x2 n3 x3 e und F: n1 x1 n2 x2 n3 x3 f symmetrisch sind, hat die Gleichung n1 x1 n2 x2 n3 x3 e f . 2 Nachweis der Symmetrie: Zeige, dass zwei Punkte P und Q symmetrisch zu einem Punkt Z sind: Zeige, dass der Mittelpunkt der Strecke PQder Punkt Z ist. einer Geraden g mit dem Richtungsvektor u sind: 1. Zeige, dass PQ u 0 ist. 2. Zeige, dass der Mittelpunkt der Strecke PQ auf g liegt. einer Ebene E mit dem Normalenvektor n sind: 1. Zeige, dass PQ und n linear abhängig sind. 2. Zeige, dass der Mittelpunkt der Strecke PQ in E liegt. Immer möglich, aber ungeschickt: Spiegle P an dem Objekt und zeige, dass der Bildpunkt der Punkt Q ist. zus_abstaendewinkelundspiegelungen 9/14 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2016/2017 Für Experten Satz (Beweis siehe unten): Gegeben sind zwei windschiefe Geraden g: x p t u und h: x q t v . Ist n0 ein Vektor mit n0 u und n0 v und n0 1 , dann haben g und h den Abstand d g ; h n0 q p . Aufgabe: Bestimme den Abstand zweier windschiefer Geraden g: x p t u und h: x q t v . Lösung: 1. Berechne n u v . 1 2. Normiere n , d. h. berechne n und notiere n0 n . n 3. Berechne q p . 4. Berechne n0 q p . 5. d g ; h n0 q p Anwendung: Berechnung des minimalen Abstands der Bahnen zweier Körper, beispielsweise zweier Flugzeuge, die sich gleichförmig längs windschiefer Geraden bewegen. Achtung: Das ist etwas anderes als der minimale Abstand der beiden Körper! Feststellung und Definition: Sind g und h windschiefe Geraden, dann gibt es einen eindeutig bestimmten Punkt Fg auf g und einen eindeutig bestimmten Punkt Fh auf h mit der Eigenschaft, dass die Strecke Fg Fh orthogonal zu g und zu h ist. Die Strecke Fg Fh heißt das gemeinsame Lot von g und h, und die Punkte Fg und Fh heißen die Lotfußpunkte. Ihr Abstand ist der kürzeste Abstand zwischen einem Punkt von g und einem Punkt von h, also gleich dem Abstand von g und h: d g ; h Fg Fh . Aufgabe: Bestimme die Fußpunkte des gemeinsamen Lots zweier windschiefer Geraden g: x p t u und h: x q t v . Lösung: 1. Notiere den allgemeinen Punkt Pr von g und den allgemeinen Punkt Qs von h. Achtung: Die Parameter (hier: r und s) müssen verschieden bezeichnet werden! 2. Die Bedingungen u Pr Qs 0 und v Pr Qs 0 führen auf ein eindeutig lösbares LGS mit zwei Gleichungen und den Unbekannten r und s. Aus den Lösungen für r und s erhält man die Punkte Fg und Fh . Bemerkung: Man kann den Abstand zweier windschiefer Geraden berechnen, indem man die Fußpunkte des gemeinsamen Lots bestimmt und deren Abstand berechnet. Die Formel zur Berechnung des Abstands ist aber einfacher. zus_abstaendewinkelundspiegelungen 10/14 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2016/2017 Aufgabe: Bestimme die zu zwei windschiefen Geraden g und h orthogonale Gerade, die g und h schneidet. Lösung: Bestimme die Fußpunkte Fg und Fh des gemeinsamen Lots von g und h. Die Gerade durch diese beiden Punkte ist die gesuchte Gerade. Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Winkel: Kosinussatz: Schließen in einem Dreieck die Seiten a und b den Winkel ein, dann gilt für die dritte Seite c: c 2 a 2 b 2 2ab cos . b Also gilt in nebenstehendem Dreieck: 2 2 2 c a b 2 a b cos . 2 2 2 2 a b cos a b c b a c a c b a a b Daraus folgt 1 2 2 2 a b cos a b c 2 1 2 2 2 a b ab 2 2 2 2 2 2 2 1 a1 a2 a3 b1 b2 b3 2 a b 2 a b 2 a b 2 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 a1 a2 a3 b1 b2 b3 2 a12 2a1b1 b12 a2 2 2a2 b2 b2 2 a32 2a3 b3 b32 2 2 2 2 2 2 1 a a a3 b1 b2 b3 1 2 2 2 a1 2a1b1 b12 a2 2 2a2 b2 b2 2 a32 2a3b3 b32 1 2a b 2a2b2 2a3b3 2 11 a1b1 a2b2 a3b3 a b Ergebnis: a b a b cos Geometrische Bedeutung des Skalarprodukts: Feststellung und Definition: Gegeben sind zwei Vektoren a o und b o . Dann gibt es zwei eindeutig bestimmte Vektoren ba und b mit folgenden Eigenschaften: 1. ba und a sind linear abhängig. 2. b a 3. ba b b Der Vektor ba heißt die (senkrechte) Projektion von b auf a . zus_abstaendewinkelundspiegelungen 11/14 b ba b a LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2016/2017 Bemerkung: In Physik nennt man dies die Zerlegung des Vektors b in eine Komponente parallel zu a und in eine hierzu orthogonale Komponente. Das Skalarprodukt zweier Vektoren hängt mit der Projektion eines Vektors auf den anderen folgendermaßen zusammen: Ist der Winkel zwischen den Vektoren a o und b o , dann, gilt 1. im Fall 90 : b a cos b b ba b cos ba a Also a b a b cos ba a . a b cos b a ab ab a cos a Also a b a b cos ab b . Im Fall 0 ist cos 0 1 und ba b und ab a ; also gilt auch in diesem Fall a b ba a ab b . 2. im Fall 90 (Beachte, dass cos 180 cos ist): ba b cos 180 b ba ba a cos b ba b cos Also a b a b cos ba a . ab cos 180 a b ab cos a a ab ab a cos Also a b a b cos ab b . Im Fall 180 ist cos180 1 und ba b und ab a ; also gilt auch in diesem Fall a b ba a ab b . zus_abstaendewinkelundspiegelungen 12/14 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2016/2017 Ergebnis: Ist der Winkel zwischen den Vektoren a o und b o , dann, gilt 1. im Fall 90 : a b ba a ab b ; 2. im Fall 90 : a b ba a ab b . Merke: Ist der Winkel zwischen zwei Vektoren kleiner als 90°, dann ist das Skalarprodukt der Vektoren gleich dem Betrag der Projektion des einen Vektors auf den anderen Vektor mal dem Betrag des anderen Vektors. Ist der Winkel größer als 90°, dann ist das Skalarprodukt das Negative hiervon. Beweis des Satzes: Ist eine Ebene E durch eine Gleichung E: n0 x p 0 in Hesse’scher Normalenform gegeben, dann hat ein Punkt Q mit dem Ortsvektor q von E den Abstand d Q; E n0 r q . Beweis: Die geometrische Deutung des Skalarprodukts zweier Vektoren a o und b o besagt: a b ab b oder a b ab b . Ist b b0 ein Einheitsvektor, also b0 1 , dann gilt also a b0 ab0 oder a b0 ab0 . Diese beiden Fälle kann man zusammenfassen: Stets gilt a b0 ab0 . Betrachte eine Ebene E mit einem Normalenvektor n0 mit n0 1 und einem Punkt P E . Aus neben- Q PQ stehendem Bild ersieht man: d Q; E PQn0 . Nach obiger Überlegung ist E n0 P PQn0 PQ n0 n0 PQ . Aus PQ q p folgt die Behauptung. Beweis des Satzes: Gegeben sind zwei windschiefe Geraden g und h. Ist P ein (beliebiger) Punkt von g mit dem Ortsvektor p und Q ein (beliebiger) Punkt von h mit dem Ortsvektor q und ist n0 ein Vektor mit n0 g und n0 h und n0 1 , dann haben g und h den Abstand d g ; h n0 q p . zus_abstaendewinkelundspiegelungen 13/14 LGÖ Ks M 12 Schuljahr 2016/2017 Beweis: Betrachte die Ebene E, die die Gerade g enthält und parallel zur Geraden h ist. Der gesuchte Abstand der Geraden g und h ist gleich dem Abstand der Ebene E und der Geraden h: d g ; h d E; h . h Da h parallel zu E ist, gilt: Ist Q ein Punkt von h, dann ist E d E ; h d Q; E . g Ist n0 ein Vektor mit n0 g und n0 h , dann ist n0 ein Normalenvektor von E. Ist P ein Punkt von g, dann liegt P auch in E. Ist n0 1 , dann ist n0 x p 0 eine Gleichung von E in Hesse’scher Normalenform. Also ist d Q; E n0 q p . Teilverhältnisse: Definition: Liegt der Punkt T auf der Strecke AB und gilt AT t TB , dann heißt die Zahl t das Teilverhältnis des Punkts T bezüglich der Strecke AB. z Ist das Teilverhältnis rational, also t (vollständig gekürzt), dann sagt man, der Punkt T teilt die n Strecke AB im Verhältnis z : n . Halbräume: Aus der geometrischen Bedeutung des Skalarprodukts folgt, dass für eine Ebene E: n x p 0 und einen Punkt R mit dem Ortsvektor r gilt: Ist n r p 0 , dann liegt R in E (klar); ist n r p 0 , dann liegt R auf derjenigen Seite von E, in die ein zu n gehörender Pfeil von E aus zeigt; ist n r p 0 , dann liegt R auf der anderen Seite von E. Angewandt auf den Fall, dass der Punkt der Ursprung ist, folgt daraus: n 1 Für eine Ebene E: n1 x1 n2 x2 n3 x3 d mit dem Normalenvektor n n2 gilt: n 3 Ist d 0 , dann liegt der Ursprung auf derjenigen Seite von E, in die ein zu n gehörender Pfeil von E aus zeigt; ist d 0 , dann liegt der Ursprung auf der anderen Seite von E. zus_abstaendewinkelundspiegelungen 14/14
