Abi-Crash-Kurs Analytische Geometrie

Abi-Crash-Kurs
Analytische Geometrie
(G – Niveau)
ohne Anspruch auf Vollständigkeit
Abi-Crash
Analytische Geometrie
CON 2016/2017
Inhalt
1
Punkte, Vektoren und Geraden im R³ ................................................................................................... 2
2
Rechnen mit Vektoren .......................................................................................................................... 4
2.1
2.2
Skalarprodukt ............................................................................................................................... 4
Vektorprodukt .............................................................................................................................. 4
Ebenen im R3........................................................................................................................................ 6
3
3.1
3.2
Parametergleichung...................................................................................................................... 6
Normalengleichungen .................................................................................................................. 7
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
4
Punkt-Normalengleichung .................................................................................................... 7
Allgemeine Normalengleichung ............................................................................................ 7
Koordinatengleichung ........................................................................................................... 7
Hessesche Normalengleichung.............................................................................................. 7
Abstandsberechnungen........................................................................................................................ 8
4.1
4.2
4.3
4.4
Abstand zweier Punkte ................................................................................................................. 8
Abstand Punkt – Gerade ............................................................................................................... 8
Abstand Punkt – Ebene ................................................................................................................. 8
Abstand zweier Geraden..............................................................................................................10
4.4.1
4.4.2
4.5
4.6
5
Abstand paralleler Geraden..................................................................................................10
Abstand windschiefer Geraden (E-Kurs)................................................................................10
Abstand Gerade – Ebene (parallel) ...............................................................................................10
Abstand zweier zueinander paralleler Ebenen..............................................................................10
Winkelberechnungen ..........................................................................................................................12
5.1
5.2
5.3
5.4
6
Winkel zwischen Vektoren ...........................................................................................................12
Winkel zwischen Geraden ............................................................................................................12
Winkel zwischen Gerade und Ebene ............................................................................................12
Winkel zwischen Ebenen .............................................................................................................12
Lagebeziehungen ................................................................................................................................13
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Punkt – Gerade ............................................................................................................................13
Punkt – Ebene .............................................................................................................................13
Gerade – Gerade .........................................................................................................................13
Gerade – Ebene ...........................................................................................................................13
Ebene – Ebene .............................................................................................................................13
7
Figuren und Körper .............................................................................................................................14
8
Spiegelungen und Projektionen ...........................................................................................................14
9
Inhalte/Themen der Abituraufgaben ...................................................................................................15
10
Übungsaufgaben .............................................................................................................................17
1
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Analytische Geometrie
CON 2016/2017
1 Punkte, Vektoren und Geraden im R³
(Abi 2012, NT, G) Ein Einfamilienhaus besteht aus einem quaderförmigen Erdgeschoss und einem
aufgesetzten Satteldach (siehe Abbildung). Das Dach besteht aus zwei rechteckigen Dachflächen.
Die folgenden Punkte sind gegeben: C (0150), D (000), E(1003), H (003), J(10105), K (0105).
Es gilt: 1 Längeneinheit = 1 m.
Tipps „bevor‘s losgeht“:
Beschriften Sie die Zeichnung:
Wie hoch, wie breit, wie lang …
Wo liegt der Ursprung des KS?
In welche Richtung zeigen die drei (positiven)
Achsen?
Gibt es nur positive Koordinaten?
Wo erkennt man welche Figuren (Rechtecke,
Quadrate, Dreiecke) …
kurz: Vertraut machen mit der Abbildung.
1. Geben Sie die Koordinaten des Punktes F an.
F (____________)
⃗ ,
2. Bestimmen Sie die folgenden Vektoren:
⃗ , ⃗ ,
⃗,
⃗
3. Berechnen Sie die Längen der oben berechneten Vektoren (⇨ 4.1).
: ⃗ =
Punkt – Richtungsgleichung der Geraden g (PRG):
Hierbei sind:
Punkte: waagerecht
Vektoren: senkrecht
Rechte-Hand-Regel
Ortsvektoren
Verbindungsvektoren
⃗ + ∙ ⃗ ⃗: _________________________________________________________
⃗: _________________________________________________________
⃗: ___________________________________________________________
Skizze:
Hinweis: Die Punkt – Richtungsgleichung einer Gerade ist nicht eindeutig.
Jeder Punkt der Geraden kann als Aufpunkt dienen, alle zu

u
kollinearen Vektoren können als Richtungsvektor dienen.
Zweipunktegleichung der Geraden g:
2
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Übung:
Analytische Geometrie
CON 2016/2017
Prüfen Sie, ob A(1/2/3), B(0/1/2) und C(-1/2/5) auf einer gemeinsamen Geraden liegen!
Beschreibung von Strecken und Halbgeraden:
- Strecke AB :
 

AB  X  IR 3 x  a    u mit   0;1
- Strecke AE :
 

AE  X  IR3 x  a    u mit    1;0
- Strecke CG :
 

CG  X  IR 3 x  a    u mit    0,75;2 

- Halbgerade AF :

- Halbgerade AC :







 

AF  X  IR3 x  a    u mit   IR0


AC   X  IR
3

 

x  a    u mit   IR 

0
3
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2 Rechnen mit Vektoren
2.1 Skalarprodukt
⃗∙ ⃗=
∙
=
+
Besonderheit: Falls ⃗ ∙ ⃗ = 0, dann sind die Vektoren ⃗
Beispiele:
1
⃗= 2
3
b⃗ =
−2
5
1
c⃗ =
+
⃗ senkrecht zueinander.
−1
2
−1
1
−2
⃗ ∙ ⃗ = 2 ∙ 5 = −2 + 10 + 3 = 11
3
1
1
−1
⃗ ∙ ⃗ = 2 ∙ 2 = −1 + 4 − 3 = 0
3
−1
2.2 Vektorprodukt
−
−
−
Der Vektor ⃗ × ⃗ = heißt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der Vektoren a und b .
Einige Eigenschaften des Vektorprodukts:
−
−
−
= − ⃗ × ⃗ = −
−
−
−

⃗ × ⃗ =

⃗ × ⃗ ist senkrecht zu ⃗ und senkrecht zu ⃗ (Stichwort: „Rechte-Hand-Regel“)
( Normalenvektor)
Hinweis: Es existieren unendlich viele Normalenvektoren zu zwei nicht kollinearen Vektoren. Das Kreuzprodukt hilft uns dabei, einen
dieser Vektoren zu berechnen.

Übung:
0
⃗ × ⃗ = 0 0
0
⃗ × ⃗ = 0 , dann sind die Vektoren ⃗ und ⃗ kollinear.
0
1
−2
a) Berechnen Sie 2 × 5
3
1
b) Berechnen Sie
⃗ ×
⃗
E(1003), H (003), J(10105) (Abi 2012, NT, G)
Wichtige Anwendungen des Vektorproduktes:


Bestimmung eines Normalenvektors einer Ebene
Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms
4
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CON 2016/2017
Sind die Vektoren ⃗ und ⃗ nicht
kollinear, so spannen beide Vektoren
ein Parallelogramm auf.
Für den Flächeninhalt des
Parallelogramms gilt:
( ) = ⃗ × ⃗ = | ⃗| ∙ ⃗ ∙
Beispielaufgabe:
Die Punkte A (10-4), B (-211) und C (3-2-1), sind Eckpunkte eines Dreiecks.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.
5
( )
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3 Ebenen im R3
3.1 Parametergleichung
Erster Schritt: Wir bestimmen eine Ebenengleichung in Parameterform (ganz ähnlich zur PF einer
Geradengleichung – nun aber mit zwei Richtungsvektoren)
Skizze:
: ⃗ =
⃗+ ∙ ⃗+ ∙ ⃗
Die beiden Richtungsvektoren können wir durch Verbindungsvektoren der Punkte erhalten:
: ⃗ =
⃗+ ∙
⃗+ ∙
⃗
⃗+ ∙
⃗
oder
: ⃗ =
⃗+ ∙
oder oder oder ….
Übung:
Bestimmen Sie eine Parameterform einer Ebenengleichung der Ebene, in der die Punkte E, J und
K liegen. E(1003), H (003), J(10105), K (0105)
(Abi 2012, NT, G)
6
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CON 2016/2017
3.2 Normalengleichungen
3.2.1
Punkt-Normalengleichung
e: ⃗ ∙
⃗ =0
e: ⃗ ∙ 0 ⃗ −
e:
3.2.2
e: (
⃗= ⃗∙0⃗−(
+
+
)=0
Koordinatengleichung
+
3.2.4
−
Allgemeine Normalengleichung
e: ⃗ ∙ 0 ⃗ − ⃗ ∙
3.2.3
∙
⃗ =0
+
)−(
+
+
)=0
Hessesche Normalengleichung
⃗=|
⃗

Normalenvektor "normieren" (Division durch Länge):

Statt dem Normalenvektor verwenden wir den "normierten Normalenvektor" – fertig
⃗|
2
Übung: Normieren Sie den Vektor ⃗ = −3
1
Übung: Geben Sie eine Koordinatengleichung und die Hessegleichung der Ebene aus⇨ 3.1 an.
7
=0
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4 Abstandsberechnungen
4.1 Abstand zweier Punkte

Berechne Verbindungsvektor der beiden Punkte

Bestimme Betrag (= Länge) des Verbindungsvektors
( , )=
Beispiel:
−
−
−
⃗ =
⃗ =
−
) +(
−
) +(
−
)
−4 − 1
−5
2−3
= −1
−1 − (−2)
1
(−5) + (−1) + (1) = √25 + 1 + 1 = √27 = 3√3
(1|3| − 2) B(−4|2| − 1)
( , )=
(
=
⃗=
4.2 Abstand Punkt – Gerade



Hilfsebene aufstellen: Gegebener Punkt P als
Stützpunkt, Richtungsvektor ⃗ der Gerade als
Normalenvektor der Hilfsebene h verwenden
Schnittpunkt S der Gerade g mit der
Hilfsebene h bestimmen
Abstand der Punkte P und S ist der gesuchte
Abstand
4.3 Abstand Punkt – Ebene

Ebenengleichung muss in Normalenform vorliegen:
: ⃗ ⋅ ⃗ − = 0

Erstelle Lotgerade vom Punkt S zur Ebene e:
Gerade mit S als Stützpunkt und dem Normalenvektor
von e als Richtungsvektor:
: ⃗ = ⃗ + ⋅ ⃗

Setze den Geradenterm
dem Parameter r auf.

Der Betrag von r gibt unmittelbar an, wie häufig man den Normalenvektor ⃗ von Punkt P aus bis zur
( , ) = | | ⋅ | ⃗|
Ebene zurücklegen muss. Daraus erhält man den Abstand

Setzt man das Ergebnis von r in die Geradengleichung ein, so erhält man den Schnittpunkt der
⃗= ⃗+ ⋅ ⃗
Lotgerade mit der Ebene e, den so genannten „Lotfußpunkt L“:
⃗ + ⋅ ⃗ für
⃗ in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach
8
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Analytische Geometrie
3
: −4 ⋅
1
Beispiel:
−8
3
: ⃗ = 11 + ⋅ −4
4
1
Lotgerade:
3
−4 ⋅
1
⃗ + 12 = 0
−8
3
11 + ⋅ −4
4
1
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P(−8|11|4)
(in Ebenengleichung einsetzen)
+ 12 = 0 (Gleichung nach r auflösen)
3 ∙ (−8 + 3 ) + (−4) ∙ (11 − 4 ) + 1 ∙ (4 + ) + 12 = −24 + 9 − 44 + 16 + 4 + + 12 = 0
26 = 52 also r = 2
Vom Punkt P aus muss man zweimal den Normalenvektor „laufen“ um zur Ebene bzw. zum Lotfußpunkt
L in der Ebene zu kommen:
−2
−8
3
⃗ = 11 + 2 ⋅ −4 = 3
4
1
6
Abstand:
( , ) = | | ⋅ | ⃗| = 2 ∙
 Lotfußpunkt (−2|3|6)
3
−4
1
= 2 ∙ √26
Oder:
( , )=
⃗ =
(−2 − (−8)) + (3 − 11) + (6 − 4) = √36 + 64 + 4 = √104 = 2√26
Das oben beschriebene Verfahren zu beherrschen ist sicherlich sehr sinnvoll, es gibt aber zur
Berechnung des Abstandes zwischen Punkt und Ebene eine sehr viel effektivere Methode:
Abstandsbestimmung mit der Hesseschen Normalengleichung
3
: −4 ⋅
1
 HNG:
√
⃗ + 12 = 0
∙ (3
−4
Länge Normalenvektor: | ⃗| =
+
3 + (−4) + 1 = √26
+ 12) = 0
P(−8|11|4) Koordinaten in HNG einsetzen (linke Seite der GLG)
1
√26
∙ (3 ∙ (−8) − 4 ∙ 11 + 4 + 12) =
Betrag nehmen, fertig.
P ist von e 2√26
entfernt.
9
1
√26
∙ (−52) = −2 ∙ √26
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CON 2016/2017
4.4 Abstand zweier Geraden
4.4.1

Zurück zu führen auf den Fall Abstand Punkt - Gerade (⇨4.2)
4.4.2



Abstand paralleler Geraden
Abstand windschiefer Geraden (E-Kurs)
Bestimme den Vektor ⃗ = ⃗ × ⃗
(Steht senkrecht auf den beiden
Richtungsvektoren)
Prinzip: Erstelle zwei Hilfsebenen Eg und Eh
mit ⃗ = ⃗ × ⃗ als Normalenvektor und
berechnen deren Abstand (⇨4.5).
"Formel":
Berechne den Verbindungsvektor der
Stützpunkte P und Q der beiden Geraden
⃗ = ⃗ − ⃗.
Es gilt:
( , ℎ) =
⃗∙ ⃗
| ⃗|
=
⃗∙ ⃗
4.5 Abstand Gerade – Ebene (parallel)
Verläuft die Gerade g parallel (vgl. Lagebeziehung ⇨6.4) zur Ebene e, so lässt sich das Abstandsproblem
auf den Fall ⇨4.3 zurückführen. Man nimmt einen Punkt der Gerade g (z.B. Stützpunkt) und berechnet
seinen Abstand von der Ebene.
4.6 Abstand zweier zueinander paralleler Ebenen
Verlaufen beide Ebenen parallel zueinander (Normalenvektoren kollinear), so lässt sich auch dieser Fall auf
den Fall Abstand Punkt - Ebene (⇨4.3) zurückführen. Man bestimmt den Abstand eines Punktes der Ebene
e1 von der Ebene e2 (oder umgekehrt).
10
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Übung:
Analytische Geometrie
CON 2016/2017
Berechnen Sie den Abstand der Geraden g und h. Zeigen Sie zunächst, dass die Geraden
windschief sind. (Lös.: ca. 7,48 LE)
: ⃗ =
−7
0
2 + ∙ 1
−3
2
h: Q1 (-3-33) und Q2 (-2-14) liegen auf h
11
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5 Winkelberechnungen
5.1 Winkel zwischen Vektoren
DIE Winkelformel:
( )=
⃗∙ ⃗
| ⃗|∙ ⃗ 5.2 Winkel zwischen Geraden
Die Vektoren sind die beiden Richtungsvektoren der Geraden.
Zur Beachtung: Bild rechts: Ergibt sich ein Lösungswinkel α* größer als 90°: Dann α = 180° - α*
5.3 Winkel zwischen Gerade und Ebene
Mögliches Vorgehen:
1. Winkel zwischen ⃗ und ⃗ berechnen.
2. Evtl. 180° - α
3. Danach 90° - α
5.4 Winkel zwischen Ebenen
Die Vektoren sind nun die beiden Normalenvektoren der Ebenen.
Zur Beachtung: Ergibt sich ein Lösungswinkel α größer als 90°: Dann 180° - α !!!
12
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CON 2016/2017
6 Lagebeziehungen
6.1 Punkt – Gerade
Zwei Möglichkeiten:
1. Punkt P liegt auf der Gerade g (P  g)
2. Punkt P liegt nicht auf der Gerade g (P  g)
Nachweis: "Punktprobe"
 Koordinaten von P in Geradengleichung einsetzen.
6.2 Punkt – Ebene
Zwei Möglichkeiten:
1. Punkt P liegt in der Ebene e (P  g)
2. Punkt P liegt nicht auf/in der Ebene e (P  e)
Nachweis: "Punktprobe"
 Koordinaten von P in Ebenengleichung (am besten in Koordinatenform) einsetzen
Falls P  e , dann Abstandberechnung (⇨4.3)
6.3 Gerade – Gerade
Vier Möglichkeiten:
1.
2.
3.
4.
Die Geraden verlaufen parallel ( Abstandsberechnung durchführen ⇨4.4.1)
Die Geraden sind identisch (Abstand = 0)
Die Geraden schneiden sich (Schnittpunkt und Schnittwinkel ⇨ 5.2)
Die Geraden verlaufen windschief ( Abstandsberechnung durchführen ⇨4.4.2)
6.4 Gerade – Ebene
Drei Möglichkeiten:
1. Die Gerade und Ebene verlaufen parallel ( Abstandsberechnung durchführen ⇨4.3)
2. Die Geraden liegt in der Ebene (Abstand = 0)
3. Die Geraden schneidet die Ebene (Schnittpunkt und Schnittwinkel ⇨5.3)
6.5 Ebene – Ebene
Drei Möglichkeiten:
1. Die Ebenen verlaufen parallel ( Abstandsberechnung durchführen ⇨4.5)
2. Die Ebenen sind identisch (Abstand = 0)
3. Die Ebenen schneiden sich (Schnittgerade berechnen)
13
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Analytische Geometrie
7 Figuren und Körper
8 Spiegelungen und Projektionen
14
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CON 2016/2017
9 Inhalte/Themen der Abituraufgaben
Im Überblick: Die Inhalte der Abituraufgabenstellungen aus dem Saarland (G-Kurs-Niveau)
2010 HT "Wäschespinne"








Koordinaten ablesen/bestimmen
Geradengleichung bestimmen
Ebenengleichung in Parameterform bestimmen
Mittelpunkt einer Strecke bestimmen
(Endpunkte gegeben)
Länge einer Strecke (Betrag eines Vektors)
Winkel zwischen Vektoren
Senkrechte zu einer Geraden/Strecke
Abstand Ebene zu (paralleler) Gerade
2011 HT "Fabrikhalle mit Solarmodulen"
 Koordinaten ablesen/bestimmen
 Schnittpunkt der Diagonalen eines Rechtecks
 Koordinatengleichungen zweier Ebenen, eine
davon parallel zur x1-x2-Ebene
 Neigungswinkel, Schnittwinkel zwischen Ebenen
 Lotgerade und Schnittpunkt Geraden
 Winkel zwischen Gerade und Ebene (einfallende
Sonnenstrahlen)
 Schattenwurf, Projektion
2012 HT "Sonnensegel im Kindergarten"
 Nachweis gleichschenkliges Dreieck
 Flächeninhalt Dreieck
 Geradengleichung aus Punkt und
Richtungsvektor
 Schnittpunkt Gerade – Ebene (x1-x2-Ebene,
Boden)
 Parameter- und Koordinatengleichung einer
Ebene aufstellen
 Senkrechte Vektoren, Nachweis Gerade in Ebene
 Abstand Punkt-Gerade
2010 NT "Tannenbaum am Hang"
 Koordinaten eines Punktes ermitteln
 Koordinatengleichung einer Ebene aus 3
gegebenen Punkten ermitteln  "volles
Programm"
 Geradengleichung aus zwei Punkten aufstellen
 Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen
 Abstand Punkt zu Ebene bestimmen
 Abstand Punkt – Gerade
2011 NT "Vereinshaus: Quader mit
aufgesetztem Schrägdach"
 Koordinaten ablesen/bestimmen
 Normalenvektoren von Ebenen bestimmen
 Neigungswinkel bestimmen: Winkel zwischen
Ebenen
 Parametergleichung einer Ebene, Einschränkung
der Parameter zu einem Rechteck
 Flächeninhalt eines Rechtecks
 Lotgerade, Schnittpunkt Gerade-Ebene
 Abstand Punkt-Strecke
2012 NT "Einfamilienhaus, Quader mit
Satteldach"
 Koordinaten ablesen/bestimmen
 Nachweis Rechteck (kein Quadrat)
 Parameter- und Koordinatengleichung aus drei
Punkten bestimmen
 Fläche Dreieck
 Schnittwinkel zweier Ebenen
 Lotgerade, Lotfußpunkt, Länge Strecke
 Einfallende Sonnenstrahlen, Projektion
15
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Analytische Geometrie
2013 HT "Wintersporthalle"










Koordinaten ablesen/bestimmen
Länge eines Vektors
Nachweis Viereck ABCD ist ein Trapez
Ebenengleichung aufstellen, bis
Koordinatengleichung ("volles Programm")
Winkel zwischen zwei Ebenen
Lotgerade
Schnittpunkt Gerade – Ebene
Abstand Punkt – Ebene
Dreiecksfläche und Volumen eines
Dreiecksprismas (elementargeometrisch)
"Steigungswinkel"
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2013 NT "Roter Teppich"
 Koordinaten ablesen/bestimmen
 Geradengleichung "verstehen" (Richtung)
 Ebenengleichung angeben (Parallel zur x1-x2Ebene, Boden)
 Ebenengleichung aufstellen, bis
Koordinatengleichung ("volles Programm")
 Nachweis rechtwinkliges Dreieck
 Diagonalenschnittpunkt Rechteck
 Lotgerade, Schnittpunkt mit x1-x2-Ebene
 Spurpunkt Gerade mit x1-x2-Ebene
2014 HT "Baumhaus"
2014 NT "Geocaching"









Koordinaten ablesen/bestimmen
Mittelpunkt einer Strecke
Innenwinkel in einem Dreieck
Länge einer Strecke
Nachweis senkrechte Vektoren
Flächeninhalt (rechtwinkliges) Dreieck
Geradengleichung aufstellen
Schnittpunkt zweier Geraden bzw. Punktprobe
Ebenengleichung aufstellen, bis
Koordinatengleichung ("volles Programm")
 Nachweis Parallelität Ebene – Gerade
 Abstand Gerade – Ebene (Parallel zueinander)
 Koordinaten ablesen/bestimmen







2015 HT "Teelichthalter"
2015 NT "Gartenpavillon"








Koordinaten ablesen/bestimmen
Länge Vektor
Winkel zwischen Vektoren
Ebenengleichung aufstellen, bis
Koordinatengleichung ("volles Programm")
Flächeninhalt Dreieck
Koordinatengleichung angeben
(Parallel zur x1-x2-Ebene)
Länge von Vektoren (Ähnliche Rechtecke!!)
Abstand Punkt – Ebene (Lotgerade)
 Koordinaten ablesen/bestimmen
 Ebenengleichung aufstellen, bis
Koordinatengleichung ("volles Programm")
 Länge und Mittelpunkt einer Strecke
 Abstand Punkt – Ebene
 Schnittgerade zweier Ebenen
 Winkel zwischen zwei Vektoren
 Projektion (Schattenpunkt) Gerade in x1-x2Ebene
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Analytische Geometrie
CON 2016/2017
10 Übungsaufgaben
Aufgabe 1
Überprüfen Sie, ob die Punkte A(101), B(3-42) und C(4-62,5) auf einer gemeinsamen Geraden
liegen. Fertigen Sie eine Skizze der Situation (kein Koordinatensystem) an.
Aufgabe 2
E und F sind Kantenmittelpunkte.
a) Geben Sie eine Gleichung der eingezeichneten
Geraden g an.
b) Geben Sie eine Gleichung der Strecke
an.
c) Schneiden sich die beiden Geraden g und h?
Beschreiben Sie den Weg, wie Sie dies
überprüfen.
d) Berechnen Sie die Oberfläche und das Volumen
des Prismas. Sie dürfen hier auch mit der
Mittelstufenmathematik arbeiten.
Aufgabe 3
Die Punkte A(21-1143), B(37-8) und C(045) sind die Eckpunkte eines Dreiecks.
a) Berechnen Sie die Innenwinkel, den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks.
b) Das Dreieck ABC soll zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Punkt D zu wählen. Begründen Sie mit Hilfe einer geeigneten
Skizze. Geben Sie für eine der Möglichkeiten die Koordinaten von D an.
c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Diagonalen ihres Parallelogramms.
Aufgabe 4
Ein Flugzeug hebt vom Punkt S(3004000) von der Startbahn ab
(Koordinatensystem siehe Abbildung). Die Flugbahn für die ersten
fünf Flugminuten kann durch die Gleichung
300
2500
⃗ = 400 + ∙ 1600 0
1500
∈ [0; 5]
beschrieben werden.
(t: Flugzeit in Minuten nach Abheben am Punkt S, alle Angaben in
der Einheit ‚Meter‘)
a) Begründen Sie an Hand des Richtungsvektors der Flugkurve, dass sich das Flugzeug im Steigflug befindet.
b) Wie weit ist das Flugzeug eine Minute nach dem Start vom Punkt S entfernt?
Welche Geschwindigkeit hat das Flugzeug?
c) Welche Höhe hat das Flugzeug nach 5 Minuten erreicht.
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Analytische Geometrie
CON 2016/2017
Aufgabe 5
Die Ebene e1 enthält die Punkte
(2|−3|1),
(−2|0|2) und
(0|−6|3).
a)
Geben Sie eine Gleichung dieser Ebene in Normalenform an.
b)
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen und skizzieren Sie die Ebene in
einem Koordinatensystem des R³.
c)
Berechnen Sie den Abstand der Ebene zum Ursprung.
Aufgabe 6
6.1
Geben Sie die Gleichungen zweier nicht identischer Ebenen e1 und e2 an, die von der x1 – x3 –
Ebene drei Längeneinheiten entfernt sind. Hierbei geben Sie die Gleichung von e1 in
Koordinatenform, die Gleichung von e2 in Punkt-Richtungs-Form an.
6.2
Überprüfen Sie die Lagebeziehung der Geraden g und h bezüglich der Ebene e.
Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
e: 3x - 2y + z = 3
1
5
−1
−1
: ⃗ = −4 + ∙ −2 ℎ: ⃗ = −3 + ∙ 2
3
−1
−4
3
(s, t  R)
6.3
Untersuchen Sie die Lagebeziehung der beiden Ebenen zueinander.
Bestimmen Sie der Lagebeziehung entsprechend ihren Abstand zueinander bzw. die Schnittgerade.
a)
b)
e1 :
⃗=
e1 :
2
1 ∙
2
−1
1
−2
8 + ∙ −2 + ∙ 3
6
0
4
e2 :
4
2 ∙
0,5
⃗−3=0
e2 :
−4
⃗ − 15 = 0
+
=3
Aufgabe 7
Gegeben ist die zur x1-x2-Ebene parallele Ebene e1, die den Punkt (2|−3|1) enthält.
Geben Sie Gleichungen derjenigen Ebenen an, die einen Abstand von 3 Längeneinheiten zur Ebene e1
haben.
Aufgabe 8
Gegeben sind die Punkte A( - 6 ; 8 ; 7 ) , B( - 3 ; - 4 ; 4 ) , C( 1 ; - 8 ; 6 ) und D( 9 ; - 4 ; - 2 ) .
a)
Ermitteln Sie die Koordinatenform der Ebene e, die durch die drei Punkte A, B und C gegeben ist.
(mögliches Ergebnis: 2x + y – 2z = - 18)
b)
Geben Sie die Schnittpunkte Sx, Sy und Sz der Ebene e mit den Koordinatenachsen an und zeichnen Sie
das Dreieck  SxSySz in ein Koordinatensystem des R³ ein.
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Abi-Crash
Analytische Geometrie
CON 2016/2017
c)
Zeigen Sie, dass der Punkt D außerhalb der Ebene e liegt und berechnen Sie den Abstand des Punktes
D von der Ebene e.
d)
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D‘, den man durch Spiegelung des Punktes D an der Ebene
e erhält. (Tipp: Skizze)
e)
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC sowie elementargeometrisch das Volumen der
Dreieckspyramide, die das Dreieck ABC gemeinsam mit dem Punkt D bildet.
f)
Durch
g)
Entscheiden Sie, ob die Gerade durch A und C eine Gerade der obigen Geradenschar gk ist.
−6
1+2
8 + ∙ 2 − 2 mit t, k  R, ist eine Geradenschar mit dem
7
2+
gemeinsamen Punkt A gegeben. Zeigen Sie, dass alle Geraden der Schar in der Ebene e liegen.
⃗ = :
Aufgabe 9
In einem räumlichen Koordinatensystem beschreibt die x1 – x2 – Ebene eine flache Landschaft, in der sich
ein Flughafen befindet. Die x1 – Achse weist in die Ostrichtung und die x2 – Achse in die Nordrichtung.
Unmittelbar nach dem Abheben von der Startbahn im Punkt P steigt das Flugzeug F1 näherungsweise
geradlinig auf.
Die Flugbahn von F1 verläuft auf der Geraden
: ⃗ =
−10,5
21
−14 + ∙ 28
0
12
mit s  R.
4
−7,2
Ein zweites Flugzeug F2 bewegt sich entlang der Geraden ℎ: ⃗ = −9,6 + ∙ −3
12
0
mit t  R.
Die Längeneinheit ist 1 km.
a) Beschreiben Sie die Himmelsrichtungen, in welche die beiden Flugzeuge fliegen.
b) In welchem Punkt P hebt das Flugzeug F1 ab ?
c) Geben Sie eine mögliche Gleichung der Geraden an, auf der sich die Start- und Landebahn in der
Landschaft befindet.
d) Die Start- und Landebahn ist 3 km lang. Der Abhebepunkt P befindet sich 500 m vor dem Ende der
Bahn.
Geben Sie eine Gleichung an, welche die Bahn beschreibt. (Stichwort: Strecke)
e) Berechnen Sie den Steigungswinkel der Flugbahn von F1.
f)
In welcher Höhe fliegt das Flugzeug F2 ?
g) Das Flugzeug F1 überfliegt in 6 km Höhe das Zentrum einer Stadt.
Berechnen Sie den Abstand des Stadtzentrums vom Abhebepunkt P.
h) Als F1 in einer Wolkendecke verschwindet, hat es vom Abhebepunkt P einen Abstand von 37 km.
In welcher Höhe über dem Erdboden befindet sich die Wolkendecke?
i)
Zeigen Sie, dass die beiden Flugzeuge auf den angegebenen Bahnen nicht kollidieren können.
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