Gesetze der Ganze Zahlen Grundwissen Mathematik

5. Jahrgangsstufe – Mathematik – Trigonometrie – Arbeitsblatt
Gesetze der Ganze Zahlen
Grundwissen Mathematik
von
Markus Baur, StR
Werdenfels-Gymnasium
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5. Jahrgangsstufe – Mathematik – Trigonometrie – Arbeitsblatt
Das Spiegelzahlkonzept
Negative Zahlen
Man erweitert den Zahlenstrahl zur Zahlengerade, indem man den Zahlenstrahl am
Nullpunkt spiegelt:
b
−6
−5
A
−4
b
−3
B′
−2
b
−1
0
1
B
2
b
3
A′
4
5
Generell ist in diesem Modell die negative Zahl die Spiegelzahl von der positiven
Zahl, also gilt:
−2 ist Spiegelzahl von 2
Allgemein gilt:
Spiegelzahl = −Originalzahl
Will man nun die Spiegelzahl von −4 bestimmen, dann ist die Spiegelzahl 4. Verwendet man zur Bildung das obenstehende Gesetz, dann gilt:
−(−4) = 4
Damit ergibt sich eine Regel:
Die Spiegelzzahl einer negativen Zahl ist eine positive Zahl
Unter dem Betrag einer Zahl versteht man immer den Abstand der Zahl zum
Nullpunkt der Zahlengerade. Da der Abstand immer eine positive Zahl ist, ist
der Betrag stets positiv, es gilt also:
| − 3| = 3 und|3| = 3
Anwendung des Spiegelzahlkonzepts
1. Bestimme die Spiegelzahl von den folgenden Zahlen: 15, −19 und −69.
Spiegelzahl von 15 = −15
Spiegelzahl von − 19 = −(−19) = 19
Spiegelzahl von − 69 = −(−69) = 69
2. Bestimme den Betrag von den folgenden Zahlen: −145, 56 und −296:
| − 145| = 145 |56| = 56 | − 296| = 296
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5. Jahrgangsstufe – Mathematik – Trigonometrie – Arbeitsblatt
1 Addition von ganzen Zahlen
Addition einer positiven und negativen Zahl
Betrachten wir zwei Beispiele:
4 + (−3) =?
4 + (−5) =?
b
−3
−2
C′
b
−1
0
B′
b
1
2
3
A
b
4
5
6
B
b
7
8
C
9
Das Addieren einer Spiegelzahl zu einer zweiten Zahl bedeutet das Spiegeln der Zahl
an der zweiten Zahl. Damit erhalten wir im ersten Fall
4 + (−3) = 1 = 4 − 3
4 + (−5) = −1 = 4 − 5
Das Addieren einer Spiegelzahl zu einer zweiten Zahl ist gleibedeutend mit der Subtraktion der Zahl von der zweiten Zahl. Ist der
Subtrahend größer als der Minuend, dann ist das Ergebnis negativ,
im anderen Fall ist es positiv.
Addition zweier negativen Zahlen
(−2) + (−3) =?
b
−6
G′
−5
b
−4
−3
E
−2
b
−1
0
H
b
1
2
F
b
3
4
5
G
6
Das Ergebnis ist auf der Zahlengerade −5. Daraus lässt sich die folgende Regel
erklären:
Das Addieren zweier negativen Zahlen ist die Spiegelzahl der Summe der gleichen positiven Zahlen.
Damit fehlt noch der letzte Fall, das Addieren einer positiven Zahl zu einer negativen
Zahl
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5. Jahrgangsstufe – Mathematik – Trigonometrie – Arbeitsblatt
Addition einer negativen und positiven Zahl
Dazu betrachten wir das folgende Beispiel:
−3 + 2 = −1
3 − 2 = 3 + (−2) = 1
Man erkennt an diesem Beispiel: Das Ergebnis einer postiven Zahl zu einer negativen
Zahl ist die Spiegelzahl von der Addition einer negativen Zahl zu einer postiven Zahl.
Damit gilt in diesem Fall folgender Regel:
Die Addition einer positiven Zahl zu einer negativen Zahl ist gleichbedeutend mit der Differenz der positiven Zahl mit der negativen
Zahl. Ist der Minuend größer als der Subtrahend, dann ist das Ergebnis positiv, anderenfalls ist es negativ
Rechenregeln
+(−) = −
−(+) = −
−(−) = +
+(+) = +
Anwendung der Additionsgesetze
1. Berechne
−34 + 29 =
−34 + 29 = 29 − 34 = −(34 − 29) = −5
2. Berechne
−56 + (−67)
−56 + (−67) = −(56 + 67) = −123
3. Berechne
−34 + 71
−34 + 71 = −(34 + (−71)) = −(34 − 71) = −(−(71 − 34)) = −(−37) = 37
4. Berechne
21 − | − 67 + 31|
21−|−67+31| = 21−|−(31+(−67))| = 21−|−(−(67−31))| = 21−|−36| = 21−36 = −(36−21) = −
4
5. Jahrgangsstufe – Mathematik – Trigonometrie – Arbeitsblatt
Multiplikation und Verbindung mit der Addition
Multiplikation ganzer Zahlen
5 · 3 = 15
−5 · 3 = −15
5 · (−3) = −15
(−5) · (−3) = 15
Aus diesen Beispielen läßt sich die folgende Regel ableiten:
Werden zwei positive oder zwei negative Zahlen miteinander multipliziert, dann ist das Ergebnis eine positive Zahl. In allen anderen
Fällen ist das Ergebnis der Multiplikation eine negative Zahl.
Verbindung der Multiplikation mit der Addition
(−8) · 7 + (−15) · (−3) =?
(−8) · 7 + (−15) · (−3) = −56 + 45 = −(56 − 45) = −11
Man muss bei Terme, die eine Verbindung von Addition und Multiplikation sind, immer erst die Produkte berechnen und anschließend
die Summe bilden (Punkt-vor-Strich-Regel)
Damit hat man eine Regel für die Verbindung der Rechenarten gefunden.
Anwendung der Regeln
1. Berechne das folgende Produkt: −45 · 12
−45 · 12 = −(45 · 12) = −540
2. Berechne den Wert des folgenden Terms:
−34 · [−21 · 3 + (−3) · (−20)] =
−34 · [−21 · 3 + (−3) · (−20)] = −34 · [−63 + 60] = −34 · (−3) = 102
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