Probability theory
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Technische Universität Chemnitz Fakultät für Mathematik STUDIENMATERIAL – Teil 8 – für Studenten der Elektrotechnik/Informationstechnik WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Zufällige Ereignisse 1. Bei der Gütekontrolle von zwei Graugussteilen wird für jedes Teil festgestellt, ob es sofort verwendbar ist, ob sich Nacharbeit erforderlich macht oder ob ein Teil Ausschuss ist. a) Man gebe alle Elementarereignisse an. b) Stelle folgende Ereignisse mit Hilfe der Elementarereignisse dar: A: Beide Teile sind sofort verwendbar. B: Es ist keine Nacharbeit erforderlich. C: Höchstens eines der beiden Teile ist Ausschuss. 2. Beim Werfen eines Würfels bedeutet A das Ereignis, eine ”Sechs” zu werfen und B das Ereignis, eine gerade Augenzahl zu werfen. a) Welche Bedeutung haben die Ereignisse A ∩ B und A ∪ B ? b) Zeige, dass die Ereignisse A, A ∩ B und A ∪ B ein vollständiges Ereignissystem bilden. 3. In einem Lager befinden sich n elektrische Bauteile b1 , b2 ..., bn . Es bedeute das Ereignis Bi : zufällig ist das Teil bi defekt, i = 1, 2, ..., n. Man beschreibe folgende Ereignisse mit Hilfe der Ereignisse Bi und Bi : A: zufällig sind alle n Teile defekt B: zufällig ist nur das Teil b1 defekt C: zufällig ist genau ein Teil defekt D: zufällig ist kein Teil defekt E: zufällig ist höchstens ein Teil defekt F: zufällig ist wenigstens ein Teil defekt. 4. In der abgebildeten Schaltung x º· b1 @¡ ¡ @ ¹¸ º· b2 @¡ ¡@ ¹¸ º· º· b5 y @¡ ¡ @ ¹¸ b3 @¡ ¡@ ¹¸ º· b4 @¡ ¡@ ¹¸ seien die Elemente bi (i = 1, 2, 3, 4, 5) Glühlampen. Es bedeute das Ereignis Bi : zufällig ist Glühlampe bi defekt. 1 Man beschreibe folgende Ereignisse: A: zufällig ist kein Stromfluss von x nach y möglich B: zufällig ist Stromfluss von x nach y möglich. Kombinatorik 5. a) Wieviel voneinander verschiedene dreistellige (ganze positive) Zahlen kann man mit Hilfe der Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5 bilden? b) Welches Ergebnis erhält man bei Aufgabe a), wenn jede Ziffer nur höchstens einmal in der zu bildenden Zahl vorkommen darf? 6. Wieviel Kraftfahrzeuge lassen sich durch Kombination von a) zwei Buchstaben und vier Ziffern bzw. b) drei Buchstaben und drei Ziffern kennzeichnen, wobei die Umlaute ä, ü, ö ausgeschlossen bleiben sollen? 7. In der Umgebung eines Erholungsortes sollen 15 Wanderwege durch je zwei farbige, parallele Striche gekennzeichnet werden. Wieviel Farben benötigt man mindestens, wenn gleichfarbige Paare auftreten dürfen und die Anordnung der Striche keine Rolle spielt? 8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, im Lotto ”6 aus 49” mit einem einzelnen Tippschein a) einen ”Sechser”, b) einen ”Fünfer”, c) einen ”Vierer”, d) einen ”Dreier”, e) mindestens einen ”Dreier” zu erzielen? f) Wie viele Scheine muss man ankreuzen, um mindestens einen ”Fünfer” zu haben? 9. Wieviel Zeichen des Morse-Alphabetes lassen sich bilden, wenn ein Zeichen aus a) genau fünf Elementen b) höchstens fünf Elementen bestehen soll? 10. Welche natürlichen Zahlen können im Dualsystem mit den Ziffern 0 und L bei Zulassung von maximal 10 Stellen dargestellt werden? 11. Man zerlege einen Würfel, dessen Seitenflächen gleichartig gefärbt sind, in 1000 kleine Würfel gleicher Größe und mische diese gründlich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Würfel auf mindestens einer Seite gefärbt ist? 12. Es werden Morsezeichen mit höchstens 5 Elementen gesendet. Dabei soll angenommen werden, dass jedes mögliche Zeichen mit gleicher Wahrscheinlichkeit erscheinen kann. Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zeichen mit genau 5 Elementen gesendet wird. 2 13. Ein Gütekontrolleur entnimmt einem Los von N Teilen, von denen M Stück Ausschuss sind, nacheinander ohne Zurücklegen n Teile. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Pm dafür, dass sich unter diesem n Teilen genau m Ausschussteile befinden? b) Für N = 100, M = 4 und n = 10 berechne man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter diesen zehn Teilen mindestens ein Ausschussteil befindet. 14. Von 10 Schaltelementen haben genau 3 die Eigenschaft Q. Wählt man vier Elemente zufällig aus, so kann die Anzahl der darin enthaltenen Schaltelemente mit der Eigenschaft Q 0, 1, 2 oder 3 betragen. Man berechne die Wahrscheinlichkeit für diese Ereignisse! 15. Auf zwei Maschinen werden Teile gleicher Norm hergestellt und in einem Behälter gelagert. Die Anteile der von den Maschinen produzierten Teile betragen 40% bzw. 60%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Entnahme von zwei Teilen zufällig wenigstens ein Teil von der zweiten Maschine stammt, wenn sich im Behälter a) 20 Teile, b) 50 Teile, c) 100 Teile befinden? 16. In einem Posten von 100 Packungen befinden sich 5 Packungen, die anstelle von 50 elektrischen Bauteilen nur 49 Teile enthalten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Versand von a) 10 Packungen genau 2 unvollständig sind? b) 5 Packungen wenigstens eine unvollständig ist? Additionssatz, Multiplikationssatz, bedingte Wahrscheinlichkeit 17. Bei einem Wurf mit zwei Würfeln werden folgende Ereignisse betrachtet: A: Die Augensumme ist größer als 7 . B: Genau eine der beiden Augenzahlen ist eine 5 . C: Es wird keine 1 gewürfelt. a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten P (A), P (B), P (C), P (A ∩ B), P (A ∩ C), P (B ∩ C), P (A ∪ B), P (A/B), P (A/C), P (C/A), P (B/C). b) Sind die Ereignisse A und B unabhängig bzw. disjunkt? 18. A und B seien unabhängige Ereignisse. Sind dann auch a) Ā und B, b) Ā und B̄ unabhängige Ereignisse? 19. Für die Ereignisse A und B sei bekannt: P (A) = 0.25, P (B) = 0.45, P (A ∪ B) = 0.5 . Man berechne daraus die Wahrscheinlichkeiten P (A ∩ B), P (A ∩ B̄), P (Ā ∩ B̄) und P ((A ∩ B̄) ∪ (Ā ∩ B)) . 3 20. Für die zufälligen Ereignisse A und B gelte P (A) = 1 und P (B) = 1. Man zeige, dass dann auch P (A ∩ B) = 1 gilt. 21. Von einem Sportschützen sei bekannt, dass er mit einem Schuss folgende Ergebnisse erreicht Ringezahl 10 9 8 7 6 ≤5 Wkt 0.21 0.24 0.18 0.16 0.12 0.09 Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht er mit einem Schuss a) mehr als 7 Ringe b) weniger als 6 Ringe c) mehr als 7 und weniger als 10 Ringe? Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht er bei drei unabhängigen Versuchen a) wenigstens zweimal 10 Ringe b) genau einmal 10 Ringe c) 8, 9, 10 Ringe in dieser Reihenfolge d) 8, 9, 10 Ringe in irgendeiner Reihenfolge? 22. Ein Schütze gibt auf ein Ziel vier unabhängige Schüsse ab. Die Trefferwahrscheinlichkeit betrage bei jedem Schuss 1/2. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze bei vier Schüssen genau k Treffer erzielt (k = 0, 1, 2, 3, 4). 23. In einer Halle befinden sich vier unabhängig voneinander arbeitende Maschinen, die in einem bestimmten Zeitraum mit den Wahrscheinlichkeiten 0.9, 0.95, 0.8 bzw. 0.85 nicht ausfallen. Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in diesem Zeitraum a) alle vier Maschinen arbeiten b) keine Maschine arbeitet c) genau eine Maschine arbeitet d) genau zwei Maschinen arbeiten e) genau drei Maschinen arbeiten f) wenigstens eine Maschine arbeitet ! 24. Sind zwei Ereignisse A und B mit P (A) > 0 und P (B) > 0 unabhängig, wenn sie unvereinbar sind (d.h., wenn sie sich ausschließen)? 25. Ein Arbeiter bedient gleichzeitig drei unabhängig voneinander arbeitende Werkzeugmaschinen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Verlaufe einer Stunde die Maschine 1, 2, bzw. 3 durch den Arbeiter umgerüstet werden muss, beträgt 1/2, 2/3 bzw. 3/4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass während einer Stunde a) keine der drei Maschinen umgerüstet werden muss b) alle drei Maschinen umgerüstet werden müssen c) genau eine Maschine umgerüstet werden muss? 4 26. Ein Stromkreis werde genau dann unterbrochen, wenn mindestens eines der drei Elemente ausfällt. Die einzelnen Elemente fallen unabhängig voneinander mit den Wahrscheinlichkeiten 0.3, 0.4 bzw. 0.6 aus. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Stromkreis geschlossen? b) Wie ändert sich die unter a) gesuchte Wahrscheinlichkeit, wenn b1) angenommen werden darf, dass das erste Element niemals ausfällt, b2) dem dritten Element noch zwei Reserveelemente (mit derselben Ausfallwahrscheinlichkeit von 0.6) parallel geschaltet werden? 27. Eine Schaltung ist aus drei Blöcken A, B und C derart aufgebaut, dass sie noch einwandfrei arbeitet, wenn in jedem Block mindestens ein Bauelement intakt ist. Die Anzahl der Bauelemente jedes Blockes und deren Ausfallwahrscheinlichkeiten während einer bestimmten Zeiteinheit T (für alle Bauelemente eines Blockes gleich) sind: Anzahl Block A Block B Bloch C Ausfallwahrscheinlichkeit 3 4 2 0.15 0.20 0.10 Der Ausfall der Bauelemente erfolge unabhängig in der Gesamtheit. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit arbeitet die Schaltung einwandfrei? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle Bauelemente von Block B ausgefallen und alle Bauelemente der anderen Blöcke noch intakt? 28. Bei den Schaltungen a) bis d) können die jeweiligen Bauelemente (in der Gesamtheit) unabhängig mit den angegebenen Wahrscheinlichkeiten ausfallen, wobei der Ausfall eines Bauelements die Unterbrechung des Stromes an der betreffenden Stelle zur Folge habe. Man gebe die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass jeweils zwischen den Punkten A und B Strom fließen kann! º· a) A c) A º· º· 0.2 b) 0.1 ¹¸ ¹¸ º· 0.25 0.2 B A ¹¸ º· ¹¸ º· º· 0.3 ¹¸ º· 0.1 ¹¸ 0.4 ¹¸ d) º· A ¹¸ 0.1 0.2 º· 0.2 0.5 0.1 ¹¸ º· B 0.2 ¹¸ º· ¹¸ º· ¹¸ º· ¹¸ B 0.6 ¹¸ º· º· 0.15 0.2 ¹¸ º· ¹¸ B 0.1 ¹¸ 29. Ein Student sucht ein Buch, das mit der Wahrscheinlichkeit 0.2 im Schreibtisch und mit der Wahrscheinlichkeit 0.8 im Bücherschrank liegt, wobei für die 10 Regale im Schrank jeweils gleiche Wahrscheinlichkeit vorliegt. Er hat in 8 Regalen des Schranks nachgesehen und das Buch nicht gefunden. Wo muss er die Suche fortsetzen, damit die Wahrscheinlichkeit für das Finden des Buches am größten ist? 5 30. In den Räumen 1, 2, 3, 4 finden Vorträge statt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student einen Vortrag besucht sei 0.9. Die Wahrscheinlichkeit, dass er sich dann in einem der vier Räume befindet sei je 1/4 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Student im Raum 4 ist, wenn er in den Räumen 1, 2, 3 nicht gefunden wurde? Diskrete Verteilungen 31. Die Zufallsgröße X nehme die Werte 0, 1, 2, 3, 4 mit folgenden Wahrscheinlichkeiten an: X 0 1 2 3 4 Wkt. 0.1 0.25 0.5 0.05 0.1 a) Gib die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X an. b) Bestimme E(X) und D2 (X) ! 32. Die Zufallsgröße X habe eine Wahrscheinlichkeitsfunktion der folgenden Form, wobei c eine gewisse Konstante ist. c, 2c, p(xk ) = 3c, wenn xk = 0 00 xk = 1 00 xk = 2 0 sonst a) Bestimme den Wert der Konstanten c . b) Wie groß sind P (X < 2), P (X ≤ 2), P (0 < X < 2) ? c) Welches ist der kleinste Wert von x, für den P (X ≤ x) > 0.5 gilt? d) Man überzeuge sich bei diesem Beispiel von den Eigenschaften einer Verteilungsfunktion. 33. Gib Zahlen p und a = f (p) so an, dass die Zahlenfolge a · pk (k = 0, 1, 2, ....) eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert! 34. Ein bestimmtes Produkt (z.B. Sicherungen, Batterien usw.) komme in Packungen zu je N Stück in den Handel. Eine Packung enthalte M unbrauchbare Stücke. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter n willkürlich der Packung entnommenen Stücke genau k unbrauchbare Stücke befinden? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich unter n = 10 ausgewählten Stücken mehr als ein unbrauchbares Stück, wenn N = 50 und M = 5 ist? 35. Eine Zufallsgröße X besitze eine gleichmäßig diskrete Verteilung auf den Punkten x1 = 1.8 x2 = 2.0 x3 = 2.1 x4 = 2.2 . a) Man stelle die Verteilungsfunktion F (x) dar. b) Man berechne E(X) und E[(X − c)2 ] für c = 1.9 , c = 2.0 , c = E(X) . 6 36. Das Schießen auf ein Ziel wird bei einer Treffwahrscheinlichkeit von p = 0.8 bis zum ersten Treffer, höchstens aber bis zum vierten Schuss, fortgesetzt. Das Ergebnis beim i−ten Schuss (i = 1, 2, 3, 4) sei dabei unabhängig von Ergebnis der vorangehenden Schüsse. a) Man bestimme die Verteilungsfunktion F (x) der Anzahl X der abgegebenen Schüsse. b) Man berechne E(X) und D2 (X) . c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das Ziel getroffen? 37. Man berechne bei der diskreten Zufallsgröße X mit den Einzelwahrscheinlichkeiten 2k P (X = k) = e−2 , k = 0, 1, 2, .... k! a) E(X) , b) D2 (X) , c) P (1 < X < 4) , d) P (X ≥ 1) . 38. Von einem Posten von 10 Leiterplatten sei bekannt, dass 4 defekt sind. Aus diesem Posten werden zufällig 5 Stück herausgegriffen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen 5 Leiterplatten genau i defekt sind (i = 0, 1, 2, 3, 4) . Gib für die entsprechenden Zufallsvariable a) die Verteilungsfunktion , c) D2 (X) , b) E(X) , d) P (X ≤ 1) an. 39. Ein Schütze gibt auf ein Ziel drei unabhängige Schüsse ab. Die Trefferwahrscheinlichkeit betrage für jeden Schuss p = 0.8 . Man bestimme a) die Verteilungsfunktion der Anzahl X der erzielten Treffer, b) E(X) , c) D2 (X) , d) P (X ≥ 2) . 40. In einer Sendung von 500 Bauelementen beträgt die Ausschussrate 10 %. Aus dieser Sendung werden 5 Teile zufällig herausgegriffen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen 5 Teilen wenigstens ein Teil defekt ist? a) Mit welcher Verteilung ist die Aufgabe zu lösen? Man gebe die Lösung an. b) Man löse die Aufgabe näherungsweise mit der Binomialverteilung! Wie müsste man die Versuchssituation ändern, damit dieser Lösungsweg exakt ist? 41. Auf einer Hauptstraße sind 4 Verkehrsampeln zu passieren. Die Ampeln schalten unabhängig voneinander, und das Verhältnis von Rot- zu Grünphase bei jeder Ampel sei 3 : 7. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Fahrzeug die Straße ohne Halt passiert? b) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der Ampeln, die ein Fahrzeug bis zum ersten Halt passiert hat. 42. Die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Drehmeißels sei für die vorgegebene Zeit T konstant und betrage p = 0.3. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 6 unabhängig voneinander arbeitenden Drehmeißeln in der Zeit T höchstens zwei ausfallen. 7 43. Ein Großhandelskontor versorgt 10 Verkaufsstellen, von denen je eine Bestellung für den nächsten Tag unabhängig von den anderen Verkaufsstellen mit der Wahrscheinlichkeit 0.4 aufgegeben wird. Bestimme die Zahl der Bestellungen mit der höchsten Wahrscheinlichkeit und berechne diese. 44. Beim Übungsschießen betrage die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer 0.2. Wieviel voneinander unabhängige Schüsse müssen abgegeben werden, damit mindestens mit 90 % Wahrscheinlichkeit wenigstens ein Treffer erzielt wird? 45. Auf ein Ziel werden unabhängig voneinander 20 Schüsse abgegeben. Jeder einzelne Schuss trifft das Ziel mit der Wahrscheinlichkeit 0.8. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) genau 4 Treffer erzielt werden b) wenigstens ein Treffer erzielt wird c) höchstens 6 Treffer erzielt werden. Mit welcher Verteilung ist zu arbeiten? Man gebe den Erwartungswert der entsprechenden Zufallsgröße an! 46. Ein Experiment möge mit der Wahrscheinlichkeit p = 0.1 das erwartete Resultat zeigen. Man berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter 5 Experimenten a) genau ein Versuch b) höchstens ein Versuch c) wenigstens ein Versuch das erwartete Resultat zeigt. 47. In einem großen Posten von Halbleiterelementen seien 10 % defekt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät funktionstüchtig ist, in das 5 zufällig ausgewählte Elemente dieses Postens eingebaut werden? Notwendig und hinreichend für die Funktionstüchtigkeit des Gerätes ist der Einbau von 5 nicht defekten Teilen. 48. Die Anzahl der Ausfälle eines Automaten sei eine poissonverteilte Zufallsgröße, wobei in 10 000 Betriebsstunden im Mittel 10 Ausfälle beobachtet werden. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Automat in 100 Betriebsstunden nicht störungsfrei arbeitet. 49. An einer Tankstelle kommen zwischen 16.00 und 18.00 Uhr durchschnittlich 2.5 Fahrzeuge pro Minute an. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute a) kein Fahrzeug b) genau ein Fahrzeug c) genau zwei Fahrzeuge d) mehr als zwei Fahrzeuge e) weniger als fünf Fahrzeuge eintreffen. Man gehe davon aus, dass die Anzahl der ankommenden Fahrzeuge poissonverteilt ist. 8 50. Bei einem Kraftfahrzeug tritt pro Rad auf 30 000 km im Mittel eine Reifenpanne auf. a) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Rad 30 000 km ohne Panne läuft. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Kraftfahrzeug 15 000 km ohne Reifenpanne zurücklegt. c) Erörtere das Erfülltsein der Voraussetzungen für die Anwendung des gewählten Lösungsweges. 51. Die Anzahl der Webfehler auf 10 m Länge betrage im Mittel 1.6. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man annehmen, dass ein ausgewählter Stoff von 5m Länge keinen Webfehler aufweist? Begründe den Lösungsansatz. 52. Die Anzahl der Ausfälle eines Digitalrechners sei eine poissonverteilte Zufallsgröße. Im Mittel treten in 20 Betriebsstunden 5 Ausfälle auf. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Rechner in 4 Betriebsstunden nicht ausfällt. b) Für den Durchlauf eines Programmes zur Lösung eines Belegungsproblems sind 8 Stunden Rechenzeit erforderlich. Das Programm muss erneut gestartet werden, wenn während des Durchlaufs ein Ausfall am Rechner auftritt. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau dreimal gestartet werden muss, ehe der Durchlauf gelingt. 53. Die Fernsprechanlage eines Betriebes hat 300 Anschlüsse (Teilnehmer) zu bedienen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Teilnehmer im Verlaufe einer Stunde einen Anschluss verlangt, sei 0.01. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass innerhalb einer Stunde 4 Teilnehmer bedient werden müssen, wenn angenommen wird, dass die Anzahl der Anrufe poissonverteilt ist? Stetige Verteilungen 54. a) Welchen Wert muss die Konstante a haben, damit die Funktion ( f (x) = a(x2 + x) 0 x ∈ [0, 1] sonst die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X ist? b) Welche Verteilungsfunktion gehört zu f (x) ? c) Skizziere diese Funktion! d) Berechne E(X) und D2 (X) . 55. Gegeben sei die Funktion F (x) = 1 1 arctan x + π 2 a) Überprüfe, ob diese Funktion Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße X ist. b) Berechne gegebenenfalls die zugehörige Dichtefunktion f (x) . c) Skizziere diese Funktionen. 9 56. Es sei bekannt, dass die Bedienung eines Kunden durchschnittlich 10 Minuten dauert. Unter der Voraussetzung, dass die Bedienungszeit X exponentialverteilt ist, wird die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass ein Kunde innerhalb einer Viertelstunde abgefertigt wird. 57. Die Strecke X, die ein Molekül durchfliegt, ehe es mit einem anderen Molekül zusammentrifft (freie Weglänge), sei exponentialverteilt mit dem Parameter b > 0 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die freie Weglänge a) zwischen 0.3 und 3.0 liegt? b) größer als 1 ist? c) Die freie Weglänge sei mit der Wahrscheinlichkeit 0.05 kleiner als β. Bestimme β für b = 1 . 58. Die Lebensdauer einer Glühlampe sei eine exponentialverteilte Zufallsgröße X . Bekannt sei, dass im Durchschnitt 75 % der Glühlampen nicht länger als 140 Stunden brennen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Glühlampe länger als 250 Stunden brennt! 59. Wie groß sind für eine normalverteilte Zufallsgröße X mit µ = 0 und σ 2 = 1 die folgenden Wahrscheinlichkeiten: a) P (X ≤ 2.44) , b) P (X > −1.16) , c) P (X ≤ 1.92) , d) P (X > 1) , e) P (X ≥ −2.9) , f) P (2 ≤ X ≤ 10) ? 60. Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten: a) P (|X| < 1.5), P (X > 2), b) P (−2 ≤ X < 7), P (X > −1), P (−5 ≤ X ≤ −2), X : N (0, 1)-verteilt P (X > 0), X : N (1, 9)-verteilt c) σ 2 , wenn X : N (2, σ 2 )-verteilt mit P (0 < X < 4) = 0.68269 ist. d) µ , wenn X : N (µ, 16)-verteilt mit P (X < 7) = 0.3265 ist. 61. Ein Automat soll Wellen mit dem Sollmaß d = 350mm fertigen. Die zufälligen Fehler seien normalverteilt mit σ = 0.5mm . Auf Grund eines Einstellfehlers werden am Automaten 349.8 mm eingestellt. Das Ergebnis der Arbeit sind 3 Kategorien von Wellen: A-Wellen mit d < 349.2mm (unbrauchbar) B-Wellen mit 349.2 ≤ d < 350.5mm (sofort verwendbar) C-Wellen mit d ≥ 350.5mm (müssen nachgearbeitet werden) Nach Fertigung von 300 Wellen wird der Einstellfehler bemerkt. a) Wieviel Wellen entfallen im Mittel auf jede der 3 Kategorien? b) Wieviel wären es bei ordnungsgemäßer Einstellung gewesen? 62. Erfahrungsgemäß ist die Größe der aus einer bestimmten Produktion stammenden Widerstände eine normalverteilte Zufallsgröße mit den Parametern µ = 990Ω und σ = 20Ω . Alle Widerstände, die nicht in den Toleranzgrenzen von 950Ω bis 1050Ω liegen, sind als Ausschuss anzusehen. a) Wieviel % der gefertigten Widerstände sind Ausschuss? b) Durch Änderung der Technologie gelang es, den Mittelwert auf 1000Ω zu erhöhen. Welcher Nutzen entsteht? 10 c) Für den Einbau in Präzisionsgeräte sind Widerstände von 990Ω bis 1010Ω erforderlich. Wie groß darf σ maximal sein (µ = 1000) , wenn 90% der Widerstände die Bedingungen zum Einbau erfüllen sollen? 63. Die Abfüllmenge automatisch gefüllter Sprayflaschen sei eine normalverteilte Zufallsgröße mit den bekannten Parametern µ = 150cm3 und σ 2 = 3.5cm6 . In der Gütekontrolle wird eine Flasche ausgesondert, wenn sie weniger als 146cm3 enthält. Die Tagesproduktion an Sprayflaschen betrage 4000 Stück. a) Wieviel Sprayflaschen können durchschnittlich täglich zum Verkauf kommen? b) Auf welchen neuen Wert µ müsste der Abfüllautomat eingestellt werden, damit durchschnittlich nur 1% der Sprayflaschen bei der Gütekontrolle reklamiert werden? 64. Berechne näherungsweise mit einem Grenzwertsatz für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n = 80 und p = 0.3 a) P (X ≤ 20) b) P (20 ≤ X ≤ 40) c) P (X ≥ 40) ! Vermischte Aufgaben 65. Zur Bearbeitung eines Werkstückes seien 10 Arbeitsgänge in ihrer Reihenfolge austauschbar. Die ökonomisch-technologische Bewertung jeder Variante dauere 1h. Wie lange würde die Gesamtbewertung zur Findung des optimalen Maschinen-Layouts dauern? 66. Wieviele verschiedene Skatspiele kann man austeilen? 67. Ein Gerät besteht aus 100 unabhängigen Baugruppen gleicher Funktionstüchtigkeit. Zk sei das Ereignis, dass die k-te Gruppe zuverlässig arbeitet. a) Wie groß ist die Wkt dafür, dass das Gerät zuverlässig arbeitet bei P (Zk ) = 99% ? b) Wie groß muss P (Zk ) sein, damit P (ZGerät ) = 90% ist? 68. Von einem Krebstest sind gegeben: Ereignisse: T : Testergebnis positiv, d.h. Verdacht auf Krebs K: Testperson krebskrank 1 Wkts-Werte: P (T /K) = P (T /K) = 0.95, P (K) = 200 Berechne P (T ) und P (K/T ) und interpretiere die Ergebnisse! 69. In einem Betrieb wird ein bestimmtes Erzeugnis auf 4 Maschinen hergestellt. Die Maschinen haben einen Anteil von 40% 30% 20% 10% an der Gesamtproduktion. Der dabei auftretende Ausschussanteil ist 1% 2% 4% 5% Die Produkte werden in einem Lager untergebracht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein dem Lager entnommenes Teil Ausschuss ist? 70. Die Treffer eines Artilleriegeschosses seien auf ein Gebiet von 10 000 m2 gleichverteilt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine Brücke von 200 m Länge und 10 m Breite getroffen, die vollständig in diesem Gebiet liegt? 11 71. Wie kann man mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Mitteln den Wert für Rb a f (x)dx erhalten? 72. Ein Empfänger soll zwei zu beliebigen Zeitpunkten des Zeitabschnittes T gesendete (und als punktförmig anzusehende) Signale trennscharf empfangen. Das Empfangsgerät trennt jedoch nicht mehr, wenn die Zeitdifferenz zwischen den Signalen kleiner als τ wird. Mit welcher Wkt ist das Gerät für den Empfang der Signale unbrauchbar? 73. In einer Leistungskontrolle werden 10 Fragen gestellt mit je 3 Auswahlantworten A, B, C, von denen genau eine richtig ist. Wie groß ist die Wkt, durch reines Tippen weniger als 4 Richtige zu erhalten? 74. Die Anzahl der belegten Speicherplätze für einen Artikel in einem Lager ist näherungsweise POISSON-verteilt mit λ=r·t r = 0.05h−1 (mittlere Ankunftsrate) t = 160h (mittlere Lagerzeit) a) Wie viele Speicherplätze sind durchschnittlich belegt? b) Wie viele Speicherplätze muss das Lager besitzen, damit mit 95%-iger Sicherheit alle ankommenden Bauteile (z.B. in Palettenform) gespeichert werden können? 75. Die Lebensdauer T eines Gerätes sei exponentialverteilt und es sei T = 1500h. a) Wie groß ist die Zuverlässigkeit des Gerätes für eine Woche (7 Tage) ununterbrochene Arbeit? b) Wie groß sind L = T90% und T50% ? c) Berechne γ aus Tγ = 1500h . 76. Gegeben ist ein System, welches als Reihenschaltung im Sinne der Zuverlässigkeit interpretiert werden kann. Folgende Elemente benötigt das System zum einwandfreien Funktionieren: Elementgruppe Anzahl der Elemente im System λ(10−6 h−1 ) für ein Element I II III 2 20 5 0.3 0.01 0 IV 1 0.5 a) Wie groß sind die L-Werte der Elemente? b) Wie groß sind λSystem und LSystem ? c) Wie groß ist die mittlere Lebensdauer des Systems? 77. Für die Ausfallrate λ eines Elementes in Abhängigkeit von der Belastung B gelte λB ∼ B p (p > 1) . Wie ändert sich die rechnerische Lebensdauer L, wenn ein Element mit voller Belastung durch zwei Elemente ersetzt wird, die nur mit halber Belastung arbeiten müssen und als Reihenschaltung im Sinne der Zuverlässigkeit interpretiert werden können? 78. Ein Verschleißteil mit exponentialverteilter Lebensdauer sei in einem Aggregat eingebaut und habe die Ausfallrate λ = 5.2 · 10−3 h−1 . a) Wie viele solche Teile braucht man durchschnittlich in einem Jahr (365 Tage) ? b) Wie viele solche Teile muss man reservieren, damit sie mit 99%-iger Sicherheit für den Betrieb des Aggregates in einem Jahr ausreichen? c) Fragestellung wie in b), aber bei 50%-iger Sicherheit. 12
