Nachrichtentechnische Systeme 2
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Übungsaufgabensammlung für die Vorlesung Theorie statistischer Signale (Nachrichtentechnische Systeme 2) Prof. Dr.-Ing. A. Czylwik N T S Diese Unterlagen können trotz sorgfältiger Durchsicht noch Fehler enthalten. Tarik Akbudak, M.Sc. Fachgebiet Nachrichtentechnische Systeme Raum: BA 250, Durchwahl: -2944, eMail: [email protected] NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 1/38 Aufgabe 1 Gegeben sind drei Behälter mit gleichartigen Bauelementen. Behälter 1 enthält p1 = N1 % defekte Bauelemente. Behälter 2 enthält p2 = N2 % defekte Bauelemente. Behälter 3 enthält p3 = N3 % defekte Bauelemente. Die intakten und defekten Bauelemente sind in allen Behältern zufällig verteilt. Es wird nun ziellos aus irgendeinem der Behälter ein Bauelement entnommen, wobei die 1 Wahrscheinlichkeit, in einen der drei Behälter zu greifen gleich ist. 3 a) Geben Sie die Menge aller Resultate (Elementarereignisse) bei diesem Experiment an! b) Zeichnen Sie in ein Mengendiagramm über der Menge aller Resultate dieses Experimentes die folgenden Teilmengen ein: D = ˆ gezogenes Bauelement ist defekt I = ˆ gezogenes Bauelement ist intakt B1 = ˆ gezogenes Bauelement stammt aus Behälter 1 c) Geben Sie einen formalen Ausdruck an für die Wahrscheinlichkeit, dass ein aus Behälter 1 genommenes Bauelement defekt ist. Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit ? d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei diesem Experiment ein defektes Bauelement aus Behälter 1 entnommen wird! e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei diesem Experiment ein defektes Bauelement entnommen wird! f) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei diesem Experiment ein entnommenes, defektes Bauelement aus Behälter 1 stammt! Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 2/38 Aufgabe 2 Gegeben sei das Zufallexperiment ”Wurf mit einem gleichmäßigen Würfel”. Ein Elementarereignis bei diesem Experiment ist das Aufliegen einer der 6 Flächen fi , i ∈ {1 · · · 6}. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines jeden Elementarereignisses bei diesem 1 Experiment ist P (fi ) = . 6 Zu diesem Experiment wird eine Zufallsvariable x(fi ) = 10 · i definiert. a) Drücken Sie die folgenden Ereignisse durch Eingrenzung der Zufallsvariablen aus: f1 ∪ f2 ∪ f3 ? f3 ? 6 [ fi = H ? i=1 3 [ i=1 fi ! ∩ 3 [ i=1 f2·i ! ? f2 ∩ (f3 ∪ f2 ) ? b) Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung Fx (x) = P (x ≤ x) = d Fx (x). dx X P (fi ) und die Wahrscheinlichkeits dichte fx (x) = i|x(fi )≤x c) Die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung Fx|A (x|A) = P ({x ≤ x}|A) mit dem Ereignis A = 3 [ fi definiert ein neues Expe- i=1 riment, in dem nur Elementarereignisse zugelassen sind, die der Bedingung fi ⊂ A gehorchen. Ermitteln und skizzieren Sie die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung Fx|A (x|A) und die Wahrscheinlichkeitsdichte fx|A (x|A) Hinweis: Es gilt P (C|D) = Datum: 5. Oktober 2010 P (C ∩ D) P (D) NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 3/38 Aufgabe 3 Bei einem Zufallsexperiment werden drei Glühlampen gleichzeitig eingeschaltet. Es muss davon ausgegangen werden, dass jede einzelne Glühlampe defekt sein kann. Definieren Sie für dieses Zufallsexperiment einen möglichen einfachen Wahrscheinlichkeitsraum (H, A, P), bei dem das Ereignisfeld A die Ereignisse • A1 : {genau eine Lampe brennt} und • A2 : {höchstens zwei Lampen brennen} enthält. Nehmen Sie an, dass die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A1 und A2 durch P (A1 ) = gegeben sind. Datum: 5. Oktober 2010 1 4 und P (A2 ) = 1 2 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Aufgabe 4 Eine Zufallsvariable x sei durch ihre Wahrscheinlichkeitsdichte x k , x≥0 exp − fx (x) = 8 k+2 0 , sonst beschrieben. a) Geben Sie den Wert der Konstanten k an und begründen Sie das Ergebnis. (1) b) Berechnen Sie den Mittelwert E {x} = mx und die Varianz 2 (1) 2 = σx der Zufallsvariablen x. E x − mx c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (−1 ≤ x < 2). Hinweise: e ax (ax − 1) a2 Z x2 2x 2 2 ax ax x e dx = e − 2 + 3 a a a Z Datum: 5. Oktober 2010 x e ax dx = Seite 4/38 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 5/38 Aufgabe 4a Gegeben ist die folgende Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Zufallsvariablen x: fx (x) 1 5 −1 x 4 a) Bestimmen Sie die charakteristische Funktion φx (ω) der Zufallsvariablen x. (1) b) Bestimmen Sie das erste Moment mx = E {x} der Zufallsvariablen x mit Hilfe der charakteristische Funktion φx (ω). Hinweis: Aus den Hilfblättern zur Vorlesung ist bekannt: t A · rect T F b r f (t − t0 ) b r Datum: 5. Oktober 2010 F T A · T · si ω · 2 F (ω) · exp(−jωt0 ) NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 6/38 Aufgabe 5 Gegeben ist eine Funktion y = g(x) = x2 und die Wahrscheinlichkeitsdichte: x 1 · rect fx (x) = x0 x0 a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte fy (y) der Zufallsvariablen y = g(x) und skizzieren Sie diese Funktion. b) Berechnen und skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung Fy (y). Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 7/38 Aufgabe 5a Gegeben ist eine Zufallsvariable x mit der folgenden Wahrscheinlichkeitsdichte fx (x). fx (x) (0.5) 1 6 −2 −1 −0.5 1 2 x Die Zufallsvariable wird über ein zeitinvariantes System mit der Kennlinie x+1 −∞ ≤ x ≤ 0 1 0 ≤ x ≤ 0.5 y = g(x) = exp(−[x − 0.5]) 0.5 ≤ x ≤ ∞ auf die Zufallsvariable y abgebildet. a) Skizzieren Sie die Kennlinie y = g(x) in dem für die Abbildung der Zufallsvariablen x relevanten Bereich. b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte fy (y). Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 8/38 Aufgabe 6 Gegeben ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung Fx (x) der wertkontinuierlichen Zufallsvariablen x mit dem Wertebereich −∞ < x < ∞. In der folgenden Abbildung ist eine reelle Funktion y(x) der reellen Variablen x skizziert. Die Zufallsvariable x wird über dieses nichtlineare, gedächtnislose System auf die Zufallsvariable y abgebildet. ↑ y ymax y1 ymin 0 x1 x2 x3 x → a) Geben Sie die Ereignisse (Elementarereignismengen) {y < y1 } durch Eingrenzung der Zufallsvariablen x an. b) Welchen Wert hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung Fy (y) der Zufallsvariablen y für folgende Fälle: {y < ymin } und {y < ymax } Hinweis: Es gilt Fy (ymin ) = P ({y < ymin }) c) Geben Sie eine Gleichung für den Wert der Wahrscheinlichkeitsverteilung Fy (y1 ) als Funktion der Wahrscheinlichkeitsdichte fx (x) an. Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 9/38 Aufgabe 7 Die gemeinsame Dichtefunktion fx,y (x, y) der beiden kontinuierlichen Zufallsvariablen x und y ist nur innerhalb des Quadrates Q (siehe Bild) von Null verschieden und hat den Verlauf fx,y (x, y) = x + y, 0 ≤ x ≤ 1 und 0 ≤ y ≤ 1 0 , sonst y 000000000 1 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 Q 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 x 1 a) Berechnen Sie die gemeinsame Verteilungsfunktion Fx,y (x, y). b) Wie lauten die einzelnen Dichtefunktionen fx (x) und fy (y) der beiden Zufallsvariablen x und y ? c) Sind x und y statistisch unabhängig ? d) Berechnen Sie die Erwartungswerte: (1) E {x} = mx (1) E {y} = my (1,1) E {xy} = mxy und die Kovarianz n o (1) (1) (1,1) E (x − mx )(y − my ) = µxy Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 10/38 Aufgabe 8 Bei kombinierten Zufallsexperimenten besteht jedes Elementarereignis aus einem Wertetupel von n Zufallswerten der beteiligten Zufallsvariablen, z.B.: x = x; y = y; z = z; usw. Damit kann jedes Elementarereignis als Punkt in einem n-dimensionalen Koordinatensystem dargestellt werden. Skizzieren Sie für ein kombiniertes Zufallsexperiment mit zwei Zufallsvariablen x und y in je einem kartesischen Koordinatensystem x, y die folgenden Elementarereignismengen: Hinweis: Die Formulierung {A, B} kennzeichnet die Schnittmenge der Ereignisse A und B also: {A, B} = {A ∩ B} a) {x < ∞, y < ∞} b) {x < x, y < ∞} c) {x < ∞, y < y} d) {x < x, y < y} e) {x ≤ x < x + dx, y < y} f) {x ≤ x < x + dx, y ≤ y < y + dy} g) {x < x} h) {x < ∞, y < k − x} Datum: 5. Oktober 2010 mit k > 0, reell NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 11/38 Aufgabe 9 Aus den beiden Zufallsvariablen x und y mit der Verbundwahrscheinlichkeitsdichte fx,y (x, y) wird durch Addition die Zufallsvariable z = x + y gebildet. a) Stellen Sie in einem x, y Koordinatensystem die Resultatmenge {z ≤ z} dar. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung Fz (z) Hinweis: Es gilt: P ({x < x0 , y < y0 }) = Z x0 −∞ Z y0 fx,y (x, y) dy dx −∞ d Fz (z) dz Z f (x, z) dx = c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte fz (z) = d Hinweis: Benutzen Sie die Beziehung: dz Z a b a b ∂f (x, z) dx ∂z d) Unter der Voraussetzung, dass die Zufallsvariablen x und y statistisch unabhängig sind, gilt: fx,y (x, y) = fx (x) · fy (y). Zeigen Sie, dass mit dieser zusätzlichen Voraussetzung gilt: fz (z) = fx (z) ∗ fy (z) Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 12/38 Aufgabe 10 Es werden n statistisch untereinander unabhängige Zufallsvariablen xi i ∈ {1 . . . n} durch Addition zu einer neuen Zufallsvariablen z zusammengefasst. z= n X xi i=1 2 a) Berechnen Sie den Erwartungswert E {z} und die Varianz σz der Zufallsvariablen z. b) Geben Sie die resultierende Wahrscheinlichkeitsdichte fz (z) an für den Fall, dass die Zufallsvariablen xi gaußverteilt sind mit den Erwartungswerten mxi und den 2 Varianzen σx , d.h.: i 1 fxi (xi ) = √ 2π · σxi Datum: 5. Oktober 2010 1 xi − mxi ! 2 − σxi ·e 2 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 13/38 Aufgabe 11 Gegeben ist die Wahrscheinlichkeitsdichte fx (x) der Zufallsvariablen x. a) Berechnen Sie unter Verwendung der ”Charakteristischen Funktion” die Wahrscheinlichkeitsdichte fz (z) der skalierten Zufallsvariablen z = a · x + b. Hinweis 1: Der Zusammenhang der ”Charakteristischen Funktion” und der Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen a ist definiert durch Φa (ω) = E {exp(jωa)} = Z∞ −∞ fa (a) = 1 2π Z∞ −∞ n o fa (a) · exp(jωa) da = F fa (−a) n o Φa (ω) · exp(−jωa) dω = F −1 Φa (−ω) Hinweis 2: Regel der Fourier-Transformation F f (t) b r F (ω) Maßstabsänderung F F (c · ω) r b Verschiebungssatz Datum: 5. Oktober 2010 t 1 ·f |c| c F f (t − t0 ) b r F (ω) · exp(−jωt0 ) NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 14/38 Aufgabe 12 Für die Länge x eines Werkstücks ist ein Sollwert von 150 mm ± 2 mm vorgegeben. Die tatsächlichen Längen x sind nach dem Produktionsprozess normalverteilt mit dem (1) 2 Mittelwert (Erwartungswert E {x} ) mx = 150,5 mm und der Varianz σx = 4 mm2 . a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist x kleiner als 153 mm ? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gehört ein Werkstück zum Ausschuss, d.h. ist x außerhalb der Toleranz ? Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 15/38 Aufgabe 13 Eine Zufallsvariable x ist ”normalverteilt” (d.h.: die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte 2 ist eine Gaußverteilung) mit der Varianz σx und dem Mittelwert mx = E {x}. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P ({|x − mx | < σx }). b) Berechnen und skizzieren Sie die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte: fx|(|x−mx |<σx ) (x|(|x − mx | < σx )) Hinweis: Es gilt generell: fx (x) dx = P ({x ≤ x < x + dx}) und P ({C|D}) = P ({C ∩ D}) P ({D}) Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 16/38 Gegeben sind zwei statistisch unabhängige Zufallsvariablen x scheinlichkeitsdichten 0 , 0, 5 , x−1 0 , fx (x) = k1 rect und fy (y) = 4 k 2 , 0 , und y mit ihren Wahr- Aufgabe 14 y<1 1≤y<2 2≤y<3 3≤y<4 y≥4 a) Skizzieren Sie beide Wahrscheinlichkeitsdichten und bestimmen Sie die Konstanten k1 , k2 . b) Aus den beiden Zufallsvariablen x und y wird durch Addition die Zufallsvariable z = x + y erzeugt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte fz (z). c) Bestimmen Sie qualitativ die Wahrscheinlichkeitsverteilung Fz (z). Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 17/38 Aufgabe 14a Gegeben sind die Wahrscheinlichkeitsdichten fx (x) und fy (y) der zwei statistisch unabhängigen Zufallsvariablen x und y. Aus den beiden Zufallsvariablen x und y wird durch Addition die Zufallsvariable z = x + y erzeugt. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte fz (z) der Zufallsvariablen z mit Hilfe der ”Charakteristischen Funktion”. Hinweis: Der Zusammenhang der ”Charakteristischen Funktion” und der Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen a ist definiert durch Φa (ω) = E {exp(jωa)} = Z∞ −∞ fa (a) = 1 2π Z∞ −∞ Datum: 5. Oktober 2010 n o fa (a) · exp(jωa) da = F fa (−a) n o Φa (ω) · exp(−jωa) dω = F −1 Φa (−ω) NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 18/38 Gegeben sind zwei statistisch unabhängige Zufallsvariablen x scheinlichkeitsdichten 0, 0 , x < 1 k2 , k1 , 1 ≤ x < 2 1 1 , 2≤x<4 , und fy (y) = fx (x) = 3 4 k , 4 ≤ x < 5 k 1 2, 0 , x≥5 0, und y mit ihren Wahr- Aufgabe 15 y < −4 −4 ≤ y < −3 −3 ≤ y < −1 −1 ≤ y < 0 y≥0 a) Bestimmen Sie die Konstanten k1 , k2 und skizzieren Sie beide Wahrscheinlichkeitsdichten. b) Aus den beiden Zufallsvariablen x und y wird durch Addition die Zufallsvariable z = x + y erzeugt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte fz (z). Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 19/38 Aufgabe 16 Es sei x(η) eine Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte: x 1 · rect fx (x) = x0 x0 y(η, t) = x(η) · t ist damit ein Zufallsprozess! a) Skizzieren Sie drei Probenfunktionen yi (t) = y(η = ηi , t), Prozesses. i ∈ {1 . . . 3} dieses b) Berechnen Sie den Erwartungswert E {y(η, t)} des Prozesses. c) Berechnen Sie die eindimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte fy (y, t). Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 20/38 Aufgabe 17 Gegeben ist die Wahrscheinlichkeitsdichte fx (x) einer reellen Zufallsvariablen x. a) Ermitteln Sie die eindimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte fy (y, t)(y) des Zufallsprozesses y(t) = x · | sin(ω0 t)| für ω0 > 0. b) Für die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariable x gelte: fx (x) = rect(x − 1) Skizzieren π ω0 · t = . 4 Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte fy (y, t) für den Fall c) Welche Form muss die Wahrscheinlichkeitsdichte fy (y, t) für ω0 · t → 0 annehmen ? Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 21/38 Aufgabe 18 Als Zufallsprozess x(η, t) wird ein einzelner Exponentialimpuls betrachtet, der die Form exp(−a(η) · t) , t ≥ 0 x(η, t) = 0 , sonst hat. Die Abklingkonstante a(η) sei eine Zufallsvariable, die zwischen den Grenzen a1 und a2 gleichverteilt ist, wobei gilt: 0 ≤ a1 ≤ a2 . a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion Fx (x, t) und die Dichtefunktion fx (x, t) des Prozesses für t > 0. (1) b) Bestimmen Sie den linearen Mittelwert mx (t) des Prozesses für t > 0. Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 22/38 Aufgabe 19 Der allgemein gültige Zusammenhang zwischen der Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) (1) eines stationären Zufallsprozesses mit dem Erwartungswert mx = E {x(t)} und der 2 Varianz σx lautet: o2 n (1) 2 Rxx (0) = σx + mx Die Definition für die Varianz und die Autokorrelationsfunktion lauten: Z ∞ 2 (1) 2 x − mx σx = · fx (x) dx −∞ ∞ = Z −∞ 2 n (1) x · fx (x) dx − mx o2 Rxx (τ ) = E {x(t) · x(t − τ )} Z ∞Z ∞ x1 · x2 · fx(t), x(t−τ ) (x1 , x2 ) dx1 dx2 = −∞ −∞ Erklären Sie den Zusammenhang zwischen den beiden letzten Formeln für den Spezialfall τ = 0. Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 23/38 Aufgabe 20 (K) Gegeben ist ein nichtlineares, gedächtnisloses Übertragungssystem x(t) → y(t), dessen Kennlinie nach Abb. 1 gegeben ist. Das System wird gespeist mit einem stationären Zufallsprozess x(t) mit der eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsdichte nach Abb. 2. ↑ y Abb. 1 1 -1 -2 1 0 2 x → Abb. 2 ↑ fx (x) -1 -2 0 fx (x, t) = 1 x 1 · rect 4 4 Die Übertragungskennlinie wird wie folgt beschrieben: 1 x −2 y= x2 1 Datum: 5. Oktober 2010 für − ∞ < x ≤ −2 für −2≤x≤0 für 0 ≤ x < 1 für 1 ≤ x < ∞ 0.25 2 x → NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 24/38 a) Berechnen und skizzieren Sie die eindimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte fy (y, t) unter Angabe der wesentlichen Punkte auf der Abszisse und Ordinate. b) Berechnen Sie den Erwartungswert E {y(t)}. 2 c) Berechnen Sie die Varianz des Ausgangssignals σy (t). Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 25/38 Aufgabe 21 Ein Komparator K (nichtlineares gedächtnisloses System) wird mit einem wert- und zeitkontinuierlichen, stationären Zufallssignal x(t) gespeist. Die Übertragungskennlinie des Komparators kann wie folgt beschrieben werden: 1 , für x < x0 y= 0 , für x ≥ x0 Darin ist x0 der Schwellenwert des Komparators. a) Berechnen und skizzieren Sie die eindimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte fy (t) (y) des Zufallssignals am Ausgang des Komparators als Funktion der Wahrscheinlichkeitsdichte fx(t) (x). b) Berechnen Sie den Erwartungswert E {y(t)} des Ausgangssignals. Hinweis: Dieser Erwartungswert kann auf zwei verschiedene Arten ermittelt werden: ∞ 1) E {y(t)} = Z ∞ 2) E {y(t)} = Z −∞ −∞ y(t) · fy (y(t)) dy(t) = Z ∞ y(x(t)) · fx (x(t)) dx(t) = Datum: 5. Oktober 2010 y · fy (y) dy −∞ Z ∞ −∞ y(x) · fx (x) dx NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 26/38 Aufgabe 22 x(t) und y(t) seien stationäre Zufallsprozesse mit den Mittelwerten E {x} = 0, E {y} = 0 2 2 und den Varianzen σx und σy . Berechnen Sie die mittlere Leistung Pz des Zufallsprozesses z(t) = x(t) + y(t) aus den als bekannt vorausgesetzten Leistungsdichtespektren Sxx (ω) und Syy (ω) bzw. den Autokorrelationsfunktionen Rxx (τ ) und Ryy (τ ) für die folgenden Fälle: a) x(t) und y(t) sind unkorreliert. b) x(t) und y(t) sind streng korreliert, d.h. y(t) = k · x(t). Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 27/38 Aufgabe 23 Gegeben ist ein stationärer Prozess x(t) mit der Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) = A · si(2π f0 τ ) + B 2 (2) a) Ermitteln Sie die mittlere Leistung mx = E {x2 (t)}. Welche Bedeutung haben die Parameter A und B ? b) Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum Sxx (ω). Welche Bedeutung hat der Parameter f0 ? c) Wie müssen die Parameter A und B gewählt werden, damit der Zufallsprozess x(t) mittelwertfrei ist. Welcher grundlegende Prozess wird durch das sich daraus ergebende Leistungsdichtespektrum beschrieben ? Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 28/38 Aufgabe 24 (K) Gegeben sei die folgende Schaltung (stochastische Rechenschaltung), die eine sog. stochastische Multiplikation durchführt. idealer Komparator Quelle 1 C 1 A1 + E1 Wahrheitstabelle für das UND-Gatter C1 B1 - UND-Gatter 0 Quelle 2 A2 + E2 B2 B C 1 C1 C2 D 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 D - C2 0 B Die Quellen 1 und 2 sind zwei untereinander statistisch unabhängige, stationäre Rauschquellen mit gleichverteilten Zufallswerten. E1 und E2 sind Konstanten. Die Wahrscheinlichkeitsdichten für die Zufallsvariablen Ai sind gegeben zu 1 ai − m i fAi (ai ) = für i = 1, 2 · rect βi βi a) Skizzieren Sie mit Angabe charakteristischer Werte die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Signale Ai , B i , C i , D und geben Sie diese formelmäßig an. b) Geben Sie die Erwartungswerte E {C i } und E {D} an und skizzieren Sie mit Angabe charakteristischer Werte die Wahrscheinlichkeitsverteilung FD (d). c) Der Erwartungswert E {D} soll der Funktion E {D} = k · E1 · E2 gehorchen. Geben Sie hierfür mi als Funktion von βi und den zulässigen Wertebereich für die Eingangssignale Ei (i = 1, 2) an und berechnen Sie die Konstante k. Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 29/38 Aufgabe 25 Gegeben ist die Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) eines stationären Zufallsprozesses x(t). Dieser Zufallsprozess wird auf den Eingang eines ”Kurzzeitintegrators” mit der Impulsantwort h(t) gegeben. 1 h(t) = · rect T0 t − 12 · T0 T0 a) Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion Ryy (τ ) und das Leistungsdichtespektrum Syy (ω) des Ausgangsprozesses y(t). b) Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion Rxy (τ ) und das Kreuzleistungsdichtespektrum Sxy (ω) der Zufallsprozesse x(t) und y(t). Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 30/38 Aufgabe 26 Stationäres, ”weißes” Rauschen x(t) mit dem Leistungsdichtespektrum Sxx (ω) = S0 wird auf das folgende Übertragungssystem gegeben: x(t) L ↑ z R y(t) z(t) 0 y → Die beiden Blöcke sind rückwirkungsfrei in Kette geschaltet. Das System y(t) → z(t) ist ein nichtlineares, gedächtnisloses System mit der Übertragungskennlinie: 0, für y(t) < 0 z(t) = p y(t) , für y(t) ≥ 0 a) Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum Syy (ω) am Ausgang des linearen Systems. (1) b) Geben Sie den Mittelwert my = E {y(t)} an. 2 c) Berechnen Sie die Varianz σy . Z dw = arctan(w) + c Hinweis: 1 + w2 d) Geben Sie die eindimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte fy (y, t) an, wobei angenommen wird, dass es sich bei dem Eingangsrauschen x(t) um ”weißes”, gaußverteiltes Rauschen handelt. e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte fz (z, t). Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 31/38 Aufgabe 27 Gegeben ist folgender Zufallsprozess: z(t) = x(t) + y(t) Die stationären Zufallsprozesse x(t) und y(t) sind statistisch unabhängig. Folgende Größen sind bekannt: E {x(t)} = mx E {y(t)} = my |τ | , Cxx (τ ) = exp − T1 |τ | Cyy (τ ) = exp − , T2 T1 > 0 T2 > 0 Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion Rzz (τ ) und das Leistungsdichtespektrum Szz (ω) des Zufallsprozesses z(t). Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 32/38 Aufgabe 28 Gegeben ist der Zufallsprozess x(t) = z · sin(ω t) mit ω= const. Die Zufallsvariable z 1 besitzt die Wahrscheinlichkeitsdichte fz (z) = rect z − 2 a) Skizzieren Sie zwei Probenfunktionen xj (t) dieses Zufallsprozesses mit Angabe einer 4π . Skalierung für die Abszisse und Ordinate im Zeitbereich 0 ≤ t ≤ ω b) Der Zufallsprozess liegt am Eingang eines Kurzzeitintegrators, dessen Ausgangssignal y(t) sich nach folgender Formel ermitteln lässt: 1 y(t) = · T Z t+ T2 x(ξ) dξ t− T2 Geben Sie eine Formel für den Zufallsprozess y(t) an. c) Geben Sie den Erwartungswert E {y(t)} an. d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte fy (t) (y). Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 33/38 Aufgabe 29 Die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Ausgangssignal x(t) eines Empfangsfilters zum Abtastzeitpunkt ist: fx|s1 (x) = rect(x − 0.25) wenn das Signal s1 (t) gesendet wird und fx|s2 (x) = rect(x + 0.25) wenn das Signal s2 (t) gesendet wird. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Signal si gesendet wird ist P (si ) = pi und es gilt: p1 = 1 − p2 . Berechnen Sie als Funktion von p1 , p2 und k, (k aus dem Bereich −0.25 < k < 0.25): a) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zum Abtastzeitpunkt das Ausgangssignal x größer ist als k unter der Bedingung, dass s1 gesendet wurde. b) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zum Abtastzeitpunkt das Ausgangssignal x größer ist als k. c) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Überschreiten des Wertes k das Signal s1 gesendet wurde. d) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Signal s1 gesendet und der Schwellenwert k überschritten wird. Ein Detektor mit dem Schwellenwert k entscheidet, dass das Signal s1 gesendet wurde, wenn x > k, bzw. dass das Signal s2 gesendet wurde, wenn x ≤ k. e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Entscheidung? Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 34/38 Aufgabe 30 (K) Am Eingang des in der folgenden Abbildung skizzierten Übertragungssystems liegt eine Probenfunktion des reellen, stationären, ergodischen Zufallsprozesses x(t). x(t) s(t) LZI-System h(t) g(t) s(t) = x(t) · e j Ω t e jΩ t a) Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion Rss (τ ) = E {s(t) · s∗ (t − τ )} des komplexen Zufallsprozesses s(t) als Funktion der Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) und Ω. b) Geben Sie in der Faltungsschreibweise den Zusammenhang zwischen der Autokorrelationsfunktion Rgg (τ ) des Ausgangssignals g(t), der Autokorrelationsfunktion Rxx (τ ) des Eingangssignals x(t) und der Stoßantwort h(t) an. c) Das LZI-System ist ein Kurzzeitintegrator mit der Stoßantwort 1 1 t h(t) = · rect − 2T 2T 2 Geben Sie den Integralausdruck für Rgg (τ ) als Funktion der Autokorrelationsfunktion Rxx und Ω an. d) Der Messwert eines Instrumentes am Ausgang des Kurzzeitintegrators ist proportional zu Rgg (0). Welche Beziehung ist an die Integrationszeit T des Kurzzeitintegrators zu stellen, wenn der gemessene Wert näherungsweise proportional der Leistungsdichte Z ∞ Rxx (τ )e−jΩτ dτ Sxx (Ω) = −∞ sein soll, wenn vorausgesetzt wird, dass Rxx (τ ) = 0 für alle |τ | > τ0 Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 35/38 Aufgabe 31 Gegeben ist eine Zufallsvariable a(η), die den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit p0 = 41 und den Wert 1 mit der Wahrscheinlichkeit p1 = 43 annehmen kann. Ein Zufallsprozess x(η, t) werde wie folgt definiert: 4 T 1 − · t · a(η) , 0≤t< T 2 T 4 x(η, t) = · t − 2 · a(η) , ≤t<T −1 + T 2 0 , sonst a) Zeichnen Sie alle voneinander verschiedenen Musterfunktionen des Zufallsprozesses x(η, t). (1) b) Berechnen Sie den Mittelwert mx (t). c) Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion Rxx (t1 , t2 ). 2 d) Berechnen Sie die Varianz σx (t). Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 36/38 Aufgabe 32 Zwei Signale x1 (t) und x2 (t) sollen mithilfe eines Matched Filters empfangen und detektiert werden. T +∆ x1 (t) h1 (t) A1 T 2 T ỹ1 (t) ỹ1 (T + ∆) t y(t) ≥ < x2 (t) T +∆ A2 h2 (t) T 2 T t ỹ2 (T + ∆) ỹ2 (t) Entscheider Die abgebildeten Matched Filter empfangen das Signal y(t) = xi (t) + n(t), i = 0, 1. n(t) ist weißes, Gauß-verteiltes Rauschen. Zunächst sei der Synchronisationsfehler bei der Abtastung vernachlässigt, d.h. ∆ = 0. a) Bestimmen Sie die Impulsantworten h1 (t) und h2 (t) der an die Signale x1 (t) bzw. x2 (t) angepassten Matched Filter. b) Skizzieren Sie die Signale ỹ1 (t) und ỹ2 (t) für beide Fälle, dass x1 (t) bzw. x2 (t) gesendet wird (4 Skizzen). c) Welchen maximalen Synchronisationsfehler ∆ erlaubt das System für den Fall A1 = A2 ? Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 37/38 Aufgabe 33 Am Eingang eines ”Matched Filter” mit der Stoßantwort 1 t − h(t) = k · x0 (T − t) = k · A · rect T 2 liegt das Signal y(t) = x(t) + n(t). Das Signal x(t) ist ein Zufallsprozess und hat zwei Musterfunktionen: x0 (t) : Sendeimpuls gesendet x(t) = 0 : Sendeimpuls nicht gesendet Der Rauschanteil n(t) ist stationär und Gauß-verteilt mit dem Leistungsdichtespektrum Snn (ω) = N0 . a) Berechnen Sie die Ausgangssignalamplitude z(T ) = x0,f (T ) zum Abtastzeitpunkt t = T für den Fall n(t) = 0 und x(t) = x0 (t). b) Berechnen Sie das Leistungsdichtespektrum Rauschanteils n0 (t) am Ausgang des Filters. Sn0 n0 (ω) des c) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte des Ausgangssignals z(T ) zum Abtastzeitpunkt t = T für den Fall x(t) = 0 an. d) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte des Ausgangssignals z(T ) zum Abtastzeitpunkt t = T an, wenn der Sendeimpuls x0 (t) gesendet wurde. e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ausgangssignal z(T ) zum Abx0,f (T ) tastzeitpunkt t = T den Wert überschreitet für die beiden Fälle x(t) = 0 2 und x(t) = x0 (t) Datum: 5. Oktober 2010 NTS/IW UDE Übungsaufgaben zur Vorlesung Nachrichtentechnische Systeme 2 Seite 38/38 Aufgabe 34 Am Eingang eines Empfängers liegt ein Signalgemisch y(t) = x(t)+n(t). Der Nutzsignalanteil x(t) ist deterministisch und zeitbegrenzt auf den Bereich [0 ≤ t ≤ T ]. Der Störsignalanteil n(t) ist weißes Rauschen mit dem Leistungsdichtespektrum Snn (ω) = S0 . Mit einem Matched Filter mit der Stoßantwort h(t) = kx(T −t) wird dieses Signalgemisch verarbeitet. a) Berechnen Sie den Nutzsignalanteil gf (t) am Ausgang des Filters. b) Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion Rn0 n0 (τ ) des Störsignalanteils am Ausgang des Filters und zeigen Sie, dass Rn0 n0 (τ ) sich mithilfe von gf (τ ) ausdrücken lässt. c) Berechen Sie das Signal-/Rauschleistungsverhältnis γa am Ausgang des Filters zum Zeitpunkt t = T , dass wie folgt definiert ist: gf2 (T ) γa = E {n20 (T )} Datum: 5. Oktober 2010
