Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Professur für

Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Professur für Wirtschaftsmathematik
Prof. Dr. Heinrich Rommelfanger
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WIRTSCHAFTSMATHEMATIK
3. Aufgabenblatt
WS 2004/05
1.
Sei Ω eine beliebige Menge.
Seien A, B und C paarweise disjunkte Teilmengen von Ω mit Ω = A ∪ B ∪ C.
Geben Sie die kleinste σ-Algebra in Ω an, welche die drei Mengen A, B und C enthält.
Geben Sie alle Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse aus ι an, wenn P(A) = P(A ∪ B) = P(C)
sein soll.
2.
Für den Stichprobenraum Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} bestimme man den kleinsten BOOLEschen
Mengenring, der von den Ereignissen E1 = {2, 3, 4} und E 2 = {4, 5, 6} erzeugt wird.
3.
Nach dem „Statistischen Jahrbuch für die BRD, 1973“, S. 228 f., gehörten im September
1971 29.000 Betriebe der BRD einschließlich Westberlins der Investitionsgüterindustrie an.
Die Betriebe seien in folgender Weise klassifiziert:
Weniger als 50 Beschäftigte, 50 bis 199 Beschäftigte, 200 bis 499 Beschäftigte, mehr als 499
Beschäftigte.
Laut Statistischem Jahrbuch hatten im September 1971 22.500 Betriebe weniger als 50 oder
mehr als 199 Beschäftigte, 20.500 Betriebe weniger als 50 oder mehr als 499 Beschäftigte
(Zahlen gerundet).
Wie groß war der relative Anteil der Firmen mit 200 bis 499 Beschäftigten?
Zur Beantwortung der Frage konstruiere man einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,ι, P), wobei
man die absoluten Häufigkeiten der vier Klassen von Firmen normiert.
Lösungshinweis: P ≈ 0,07.
4.
Aus dem Intervall [0, 2] wurde ganz zufällig ein Punkt herausgegriffen. Geben Sie für dieses
Zufallsexperiment einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an.
Lösungshinweis: a = 1 .
2
5.
Ein Trickwürfel zeigt die Augenzahl 1 bis 6 mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten an.
Mittels einer langen Versuchsreihe wurden die Wahrscheinlichkeiten einiger Ereignisse
festgestellt:
2
5
5
1
1
; P({1, 6}) =
; P({5, 6}) = ; P({6}) =
P({1, 2, 3}) = ; P({3, 4, 5}) =
3
12
12
6
12
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der übrigen Elementarereignisse.
(Lösungs-Tipp: Aus den gegebenen Wahrscheinlichkeiten lassen sich leicht die Wahrscheinlichkeiten der Komplementärereignisse berechnen!)
6.
2
In Urne 1 befinden sich 2 rote und 8 schwarze Kugeln; in Urne 2 befinden sich 5 rote und 5
schwarze Kugeln. Man wählt eine Urne zufällig aus, zieht daraus gleichzeitig 3 Kugeln und
stellt fest, dass alle Kugeln schwarz sind.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie aus der 1. Urne stammen?
Lösungshinweis: 28
:
33
7.
Bei der Auswertung eines diagnostischen Tests zur Feststellung einer Krankheit hat sich bei
1050 von 1500 Kranken und bei 180 von 2000 gesunden Versuchspersonen eine positive
Reaktion ergeben. Man schätzt, dass 5% der Gesamtbevölkerung an dieser Krankheit leiden.
Herr X unterzieht sich dem Test. Das Ergebnis ist positiv.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Herr X wirklich an der Krankheit leidet?
Lösungshinweis: 0,29.
8.
Es liegen drei äußerlich gleiche Kästchen A, B, C mit je drei Lädchen vor. In Kästchen A
liegt in jedem Lädchen eine Goldmünze, in Kästchen B enthält jedes Lädchen eine
Silbermünze, und in Kästchen C enthalten zwei Lädchen je eine Goldmünze und das dritte
Lädchen enthält eine Silbermünze.
Man wählt nun zufällig ein Lädchen, öffnet dieses und stellt fest, dass
a. eine Goldmünze,
b. eine Silbermünze
zum Vorschein kommt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Kästchen C ausgewählt wurde.
Lösungshinweise: a. 25 ; b. 14 .
9.
Eine Straßenbahn verkehrt zwischen den Haltestellen G und H. Die Schwarzfahrer unter den
Fahrgästen sind zu 60% jugendlich und zu 40% erwachsen. Um diesen das Leben zu
erschweren, werden alle Fahrgäste zwischen G und H zweimal kontrolliert, und zwar zuerst
von Kontrolleur Nr. 1 und dann von Kontrolleur Nr. 2.
Kontrolleur Nr. 1 entdeckt 60% der erwachsenen Schwarzfahrer und 40% der jugendlichen
Schwarzfahrer. Kontrolleur Nr. 2 entdeckt 50% der erwachsenen Schwarzfahrer und 50% der
jugendlichen Schwarzfahrer.
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schwarzfahrer entdeckt wird?
b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein entdeckter Schwarzfahrer noch jugendlich
ist?
21
Lösungshinweise: a. 37
; b. 37
.
50
10.
In einer Urne befinden sich 6 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 6 nummeriert sind. Es werden
zufällig 3 Kugeln (ohne Zurücklegen) gezogen.
a. Schreiben Sie alle möglichen Ergebnisse dieses Zufallsexperiments auf und ordnen Sie
jedem Ergebnis die Summe der Zahlen auf den gezogenen Kugeln zu.
b. Definieren Sie eine geeignete Zufallsvariable X, wenn die Summe der Zahlen auf den
gezogenen Kugeln von Interesse bei diesem Zufallsexperiment sind! Welche Werte kann X
annehmen?
c. Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Verteilungsfunktion dieser Zufallsvariablen an.
3
d. Definieren Sie als weitere Zufallsvariable Y das Maximum der Zahlen auf den gezogenen
Kugeln und geben sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y an.
e. Wie groß ist P(Y ≥ 4)?
Lösungshinweis:
11.
e. P(Y ≥ 4) = 19 .
20
Eine faire Münze werde dreimal hintereinander geworfen. Die Zufallsvariable X gebe an, wie
oft dabei Kopf erscheint.
a. Wie viele Elemente besitzt der Stichprobenraum Ω ?
b. Berechnen sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.
c. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X.
⎛ 2X − 1
⎞
d. Berechnen Sie P ⎜
> 1 X ≤ 2⎟ .
⎝ 2
⎠
12.
a. In zwei Schubladen A und B befinden sich insgesamt 6 schwarze und 10 weiße Kugeln,
und zwar in A: 5s und 2w und in B: 1s und 8w.
Aus einer der beiden Schubladen wird eine Kugel zufällig gezogen, sie ist schwarz. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie aus A stammt?
b. Ab welcher Anzahl von Würfen ist es von Vorteil, auf Dreierkopf (gleichzeitig dreimal
Kopf) beim gleichzeitigen Werfen von drei idealen Münzen zu wetten? Ist es z. B.
vorteilhaft, darauf zu wetten, dass in den nächsten drei Würfen Dreierkopf kommt?
13.
Es wird gleichzeitig mit 3 idealen Würfeln geworfen.
a. Geben Sie den Stichprobenraum Ω an. Wie groß ist die Mächtigkeit von Ω?
b. Die Zufallsvariable X ordne den Stichprobenelementen die Summe der oben liegenden
Augenzahlen. Wie lautet die Bildmenge X(Ω) und die Wahrscheinlichkeitsverteilung
PX ( x j ) ? Geben Sie weiterhin die Verteilungsfunktion FX ( x ) an.
14.
In der Straßenbahn befinden sich 4 Fahrgäste. An der nächsten Haltestelle steigt jeder
Fahrgast unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit ½ aus, und es steigt
höchstens ein neuer Fahrgast ein. Die Wahrscheinlichkeit, dass in die Straßenbahn kein neuer
Fahrgast einsteigt, beträgt ¼.
Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach Abfahrt der Straßenbahn von der
Haltestelle sich in ihr wieder 4 Fahrgäste befinden.
15.
Drei Personen A, B und C überlegen sich unabhängig voneinander jeden Abend, ob sie ins
Kino oder ins Theater gehen oder sonst etwas unternehmen sollen. Die Wahrscheinlichkeiten
für Kino (K) bzw. Theater (T) für die drei Personen entnehme man nachfolgender Tabelle:
4
A
B
C
K
1
4
1
5
1
3
T
1
5
1
4
1
8
a. Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der Kinogänger (von den 3 Personen) an
irgendeinem Abend an.
Man bestimme die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.
b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass binnen einer Woche die drei sich höchstens
einmal im Theater treffen?
Lösungshinweis:
a.
16.
X
0
1
2
3
P(X)
2
5
13
20
3
20
1
60
b. 0,99919
Gegeben sei die Funktion f: R→R mit
⎧⎪a (3 + x ) für − 3 ≤ x ≤ 0
f ( x ) = ⎨a (3 − x ) für 0 < x ≤ 3
⎪⎩ 0
sonst.
a. Bestimmen Sie a so, dass f(x) die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X wird.
b. Wie sieht die Verteilungsfunktion aus?
c. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X einen Wert aus dem
Intervall [ 1 ,1] annimmt.
2
Lösungshinweise:
a. 1 ;
9
b. P( 1 ≤ x ≤ 1) = 1
2
8
17.
Eignet sich der Ausdruck
f (x ) = e −x
(0 ≤ x < ∞)
als mögliche Beschreibung der Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen X?
18.
Gegeben sei die Dichtefunktion
f(x) = 1 – ax.
Man bestimme die untere Grenze von x für eine vorgegebene obere Grenze von x =
1
.
a
19. Eine Maschine produziert Werkstücke, und zwar sind erfahrungsgemäß 4% ihrer Produktion
Ausschuss. Die Produktion verschiedener Stücke sei bezüglich der Frage „Ausschuss oder
nicht“ als unabhängig anzusehen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 100 in einer
Stunde produzierten Stücken
a. genau 4
b. mindestens 7
c.
höchstens 8 Ausschuss sind?