Mathematik 1 nach der Vorlesung Mathematik für Physiker 1 Wiebe

Mathematik 1
nach der Vorlesung
Mathematik für Physiker 1
Wiebe
Sebastian Ritz
2
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
5
2 Mengen
2.1 Liste der Zahlenbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Rechenregeln für Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Abbildungen(vgl. Buch Kap.1.B) . . . . . . . . . . . . .
2.4 Injekt-, Surjekt- und Bijektivität . . . . . . . . . . . . .
2.5 Abbildungen und Funktionen(vgl Buch 1.B) . . . . . . .
2.6 Refferiert aus Kapitel 1.B.9 . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Refferiert aus Kapitel 1.B.11 . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Nachtrag zu Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Zusatz aus dem Buch Kap 1.B.14 . . . . . . . . . . . . .
2.10 Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Einführung des Summenzeichens . . . . . . . . .
2.10.2 Einführung des Produktzeichens . . . . . . . . .
2.11 2.A.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 2.B Endliche Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13 2.B.6; 2.B.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.1 Rechenregeln(2.B.9 . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.2 Satz über die Grundaufgaben der Kombinatorik
2.14 2.B.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.15 Polynomialsatz(vgl Buch 2.B.17) . . . . . . . . . . . . .
3
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17
4
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1
Einleitung
Dieses Skript wird parallel zur Vorlesung erstellt. Sollten Fehler gefunden werden, so bitte eine email an [email protected]. Wäre nett wenn die Angaben
dann mit Seiten- und Zeilennummer gemacht würden. Des Weiteren ist dieses
Skript natürlich nicht immer auf dem aktuellen Stand der Vorlesung, da es von
einem Studenten, der nebenher auch noch andere Fächer hören muss erstellt
wird. Wer also dem Latex mächtig könnte sich nach Möglichkeit auch an die
eine oder andere Mitschrift setzen und sie vielleicht ”texen”Dieses Dokument
kann dann gerne an die o.g. email Adresse geschickt werden.
Die in dieser Vorlesung verwendete Literatur ist:
• Storch / Wiebe - Band 1
• Kerner / van Wahl - Mathematik für Physiker - Springer Verlag
5
6
KAPITEL 1. EINLEITUNG
Kapitel 2
Mengen
”Definition”
Beispiel:
Eine Menge M ist jede Zusammenfassung von Objekten zu einer Gesamtheit.
Die Objekte, die zu A gehören heißen die Elemente von A.
a ∈ A bedeutet: a ist Element von A
a∈
/ A bedeutet: a ist nicht Element von A.
Z · 2= Menge der gerade Zahlen
3∈
/ Z2;4 ∈ Z2
Wie beschreibt man Mengen:
• aufzählende Schreibweise -1,1=1,-1,1
• nach beschreibender Eigenschaft
={x ∈ R | x2 = 1}
Definition:
A,B Mengen: A=B:⇔ jedes Element von A ist Element von B
und umgekehrt
⇒ A und B enthalten die gleichen Elemente.
7
8
KAPITEL 2. MENGEN
2.1
Liste der Zahlenbereiche
Tabelle 2.1: Zahlenbereiche
N:={0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
N∗ :={1, 2, 3, 4 . . .}
Z:={−2, −1, 0, 1, 2}
Q:={ ab | a, b ∈ Z; b 6= 0}
R
C
Definition:
Beweis:
Definition:
=
=
=
=
=
=
Menge
Menge
Menge
Menge
Menge
Menge
der
der
der
der
der
der
natürlichen Zahlen.
positiven nat. Zahlen
ganzen Zahlen
rationalen Zahlen
reellen Zahlen
komplexen Zahlen
A⊆B heißt: A ist Teilmenge von B ⇔ B⊇A(B umfaßt A)
A=B ⇔ A⊆B und B⊆A
∅:= die leere Menge. Die Menge die keine Elemente enthält = {x ∈ R | x2 = −1}
Dies ist nur ein Beispiel die leere Menge kann jedes Element nicht enthalten sie
ist schließlich leer.
Definition: Seien A,B Mengen
1. A ∩B := {x | x ∈ Aund x ∈ B} Durchschnitt von A und B
2. A∪B:= {x | x ∈ Aoder x ∈ B} Vereinigung von A und B
3. A-B:=(A\ B) := {x ∈ A und x ∈
/ B} Differenzmenge von A und B
4. ℘(A):= {B | B ⊆ A}Menge aller Teilmengen von A = Potenzmenge von
A
5. AxB:= {(a, b) | a ∈ A, b ∈
/ B} Kartesisches Produkt von A und B Dabei
(a,ab)=(a’,b’) ⇒ a=a’ und b=b’. Das Bedeutet im klartext {1, 2} = {2, 1},
aber (1,2)6=(2,1).
2.2
Rechenregeln für Mengen
A,B,C seien Mengen.
1. A∪∅=a , A∩∅ = ∅, ∅ ⊆A
2. A∪B=B∪A, A∩B=B∩A
3. (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
4. A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
5. A-(B∪C)=(A-B)∪(A-C)
A-(B∩C)=(A-B)∩(A-C)
2.3. ABBILDUNGEN(VGL. BUCH KAP.1.B)
2.3
9
Abbildungen(vgl. Buch Kap.1.B)
Definition: A,B seien Mengen
Eine Abbildung f:A→ B (von A nach B) ist eine Zuordnungs(vorschrift) die
jedem Element von A genau ein Element von B zuordnet. Für a∈A bezeichnet
f(a) das eindeutig bestimmte Element von A, dass a zugeordent ist bei f. f(a)
ist das Bild von a unter f.
{b ∈ B | b = f (a) für ein a∈A} heisst das Bild von A unter f.
Beispiel:
1. f:R → R mit f(x)=x2 für x2 ∈ R ist eine Abbildung(nicht injektiv,
da f(-1)=12 =(-12 ))
⇒ f : x → x2
Bild f = {y ∈ R | y = x2 für ein x ∈ R}
= {y ∈ R | y ≥ 0} = R+ = R≥0
= nicht negative reelle Zahlen
(2.1)
2. f:R → R f(x) := Quadratwurzel aus x ist keine Abbildung
Eine Abbildung ist erst eine Abbildung in der Form wenn man diese Beschreibung
√ ergänzt in der Form:
f(x)= x = dasjenige y≥0 mit y 2 = x
√
ist diese Abbildung
3. f:R+ → R mit f(x):= x ist eine Abbildung(außerdem
√
nicht surjektiv, da es in -5 kein x∈ R+ gibt mit x = −5. Sie ist injektiv.
Funktion ist eine Abbildung in einem Zahlenbereich(R oder C).
2.4
Injekt-, Surjekt- und Bijektivität
(vgl. Buch Kap. 1.B.4)
Definition f:A→B ist eine Abbildung
1. f heißt injektiv wenn:
• zu jedem b∈B höchsten ein a∈A mit f(a)=b existiert
• a,a’∈A Elemente mit f(a)=f(a’) sind, denn dann ist stets a=a’
2. f heißt surjektiv wenn:
• zu jedem b∈B wenigsten ein b mit f(a)=b existiert.
• Bild f=B
3. f heißt bijektiv , wenn:
• zu jedem b∈B genau ein a∈A mit f(a)=b existiert
• in diesem Fall ist f sowohl injektiv als auch surjektiv
10
2.5
KAPITEL 2. MENGEN
Abbildungen und Funktionen(vgl Buch 1.B)
f : A → B ist eine Abbildung
Graph: Γ(f ) = {(x, f (x) | x ∈ A)} ⊆ A × B
Wenn A’ ⊆ A : f (a0 ) = {f (a) | a ∈ A0 )
Beispiel:
f (x) := x2 Dann ist f ([1, 2]) = [1, 4]
f R → R mit [a, b] := {f (a) | a ∈ A0 }
(2.2)
B 0 ⊆ B mit f −1 (B 0 ) = {a ∈ A | f (a) ∈ A0 }
Bild von A’ unter f Urbild von B’ unter f.
Beispiel:
f −1 ([1, 4]) = [1, 2] ∨ [−2, −1]
(2.3)
Ist f : A → B bijektiv so bedeutet dies, dass f sowohl injektiv als auch surjektiv
ist. Dies bedeutet dann, dass zu jedem Element b ∈ B genau ein Element a ∈ A
mit f (a) = b existiert.
In dieser Situation definiert die Umkehrabbildung f −1 · B → A, dadurch, dass
man b ∈ B dieses eindeutig bestimmte a ∈ A zuordnet.
Definition:
Beispiel:
2.6
Ist f : A → B bijektiv, so ist f −1 : B → A,
durch f −1 (b) = a, wo a das eindeutig bestimmte a
und f (a) = b ist.
f · R+ → R+ ist bijektiv mit dem Umkehrfeld
√
f −1 (y) = y
2
f (x) = x − y ∈ R+
Refferiert aus Kapitel 1.B.9
f : A → B, g · B → C seien Abbildungen.
Dann sieht die Hintereinanderschaltung oder die Kompositionen folgendermaßen aus:
(g ◦ f )A → C durch (g ◦ f )(a) := (f (a))g für a ∈ A
Beispiel:
2.7
(2.4)
f (x) := x2 und g(f (x) := sin x
⇒ (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 ) = sin(x2 )
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (sin x) = sin2 a
Refferiert aus Kapitel 1.B.11
Definitionsgemäß sind zwei Abbildungen f : a → B und f˜ : A → B gleich
f = f 0 , wenn für alle a ∈ A : f (a) = f˜(a) Obige beiden gleichungen sind offenbar
gleich , denn h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f
2.8. NACHTRAG ZU ABBILDUNGEN
Beweis:
Beispiel
Sei a ∈ A beliebig.
(h ◦ (g ◦ f ))(a) = h(g ◦ f )(a) = h(g(f (a)))
((h ◦ g) ◦ f )(a) = (h ◦ g)(f (a)) = h(g(f (f (a)))
Die Abbildung
1
2
2.8
11
idA = A → A mit idA (a) = a heisst
Graph idA (Die Identität von A)
f A → B bijektiv mit Umkehrbruch
f −1 B → A ⇒ f ◦ f =idA
wegen (f ◦ f −1 = f (f −1 (w))
⇒ f ◦ f −1
Nachtrag zu Abbildungen
Wie haben gesehen: Ist f : A → B bijektiv mit Umkehrbruch f −1 B → A. so
gilt f ◦ f −1 =idA und f −1 ◦ f =idA
Umgekehrt gilt: Wann ist f surjetiv?
Tabelle 2.2: default
Satz 1.B.10
Beweis:
f A → B und g · B → B seien
Abbildungen mit f ◦ g =idB und g ◦ f =idA
f injektiv: Annahme sei f (a) = f 0 (a)
⇒ g(f (a)) = g(f (a0 ))
(g ◦ f )(a) =ida für den ersten Teil und (g ◦ f )(a0 ) =id0A für den zweiten
Teil der Gleichung
Sei b ∈ B. Für a:=b(b) gilt dann f (a) = f (g(b)) = (f ◦ g)(b) =idB (B) = b
⇒ f bijektiv⇒ Es gilt die Umkehrabbildung f −1 · B → A
→ f −1 ◦ (f ◦ g) = f −1 ◦idB = f −1
außerdem gilt (f −1 ◦ f ) ◦ g =idA ◦ g = g
Aus obigen beiden Aussagen folgt dann f −1 ◦ g
Aussagen über g folgen aus Symmetriegründen. Zusatz:(1) f · A → B bijektiv
⇒ f −1 → A und (f −1 )−1 = f
2.9
Zusatz aus dem Buch Kap 1.B.14
Es ist angeraten um die Komplexität des Nachfolgenden zu verstehen sich das
o.g. Kapitel anzusehen.
f · A → B, g · B → C bijektiv ⇒ g ◦ f : A → C bijektiv
Außerdem gilt die Umkehrabbildung:
(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1
(2.5)
12
KAPITEL 2. MENGEN
(g ◦ f ) ◦ (f −1 ◦ g −1 = g ◦ (f ◦ f −1 ) ◦ g −1
= g ◦ idB ◦ g−1
= g ◦ g −1
= idC
Beweis mit(1.B.10)
2.10
Die natürlichen Zahlen
N={0,1,2,3,...}
2.A.1:Definition:
1.Version
2. Version
Beispiel:
vgl(2.A.2)
Induktionsanfang:
Induktionsschluß
Beweis:
2.10.1
Ist M⊆ N eine Teilmenge von N und gilt n0 ∈ N und gilt
immer dann, wenn n ∈ M ist, ist auch n+1∈ M
⇒ M = {n0 , n0 + 1, . . .} = {n ∈ N | n ≥ n0 }
(vollständige Induktion) Sei A eine Aussage über natürliche Zahlen n. Für ein n0 ∈ N gelte:
Induktionsanfang Die Aussage muss für n0 gelten
Induktionsschluß (von n auf n+1) Immer dann, wenn die
Aussage für n(≥ n0 ) gilt, so auch für n+1
A(n) sei die Aussage 1+2+3+. . . + n = n(n+1)
2
(gilt für alle n ≥ 1)
n0 = 1 linke Seite =1, rechte Seite 1·(1+1)
=1
2
Somit ist dieser Anfang gültig
n ⇒ n + 1 Diese Aussage gilt für n, d.h. es sei
1,2,. . . n = n·(n+1)
2
Zu zegen ist 1+2+3. . . + n = (n+1)·((n+1)+1)
2
1+2+3+. . . + n + (n + 1)
= n(n+1)
+ (n + 1)
2
= (n + 1)( n2 + 1)
= (n + 1) 12 (n + 1)
= n+1((n+1)+1)
2
⇒ Die Aussage gilt für alle n ⊆ n0
Einführung des Summenzeichens
a1 , a2 . . . , aK seinen Elemente aus
n
X
R oder C
ak := a1 + a2 . . . + an =
k=1
n+1
X
ak−1
k=2
Sonderfälle sind:
j
X
ak
:= ai + ai+1 + aj , woj ≥ i
k=i
i
X
k+i
=
ai
(2.6)
2.11. 2.A.4
13
i−1
X
=
leere Summe=0
k+i
j
X
k=i
2.10.2
ak +
m
X
ak
k=j+i
=
m
X
ak
(2.7)
k=1
Einführung des Produktzeichens
Dies verhält sich nahezu analog zu dem Summenzeichen.
n
Y
ak
= a1 · a2 . . . · an usw.
(2.8)
k=i
Ausnahme:
i−1
Y
ak
=
leeres Produkt = 1
(2.9)
k=i
2.11
2.A.4
Sei M + ∅ eine Teilmenge von N ⇒ M enthält ein kleinstes Element, d.h. eine
natürliche Zahl mB mit m0 ≤ m∀(für alle)m ∈ M . Beweis: Wir machen einen
Induktionsbeweis über n für die folgenden Aussagen:
Enthält m eine natürliche Zahl ≤n, so enthält m auch ein kleinster Element
⇒ n + 1 ∈ M ist kleinstes Element von M
n=0
n⇒n+1
Beweis:
1.Fall
2.Fall
Enthält M die Zahl 0, so enthält M ein kleinstes Element, nämlich die
Zahl 0. Diese ist sogar ≤ allen Elementen von N.
Induktionsvoraussetzung (siehe oben)
Induktionsbehauptung: Enthält M ein Element ≤n+1, so enthält
auch ein kleinstes Element
Enthält M ein Element ≤n+1
M enthält sogar ein Element≤1
⇒ M enthält ein kleinstes Element
M enthält kein Element ≤ n+1
⇒ M enthält n+1 und keine kleinere T´natürliche Zahl
Wegen M6= ∅ enthält aber M irgendein n
14
KAPITEL 2. MENGEN
2.12
2.B Endliche Mengen
Definition:
M heißt endliche Menge mit n ∈ N
:⇔ Es gibt eine bijektive Abbildung f : Nn → M
Nn :={1,2,3,. . . ,n}={k∈ N | 1 ≤ k ≤ n}
Dann hat M die Form M = {xij , . . . , xn } mit xi + xj für i6=j
Rechenregeln:
Bemerkungen
Beweis:
finjektiv
2.13
M,N endlich | M ∪ N |=| M | + | N | falls M ∩ N = ∅
| M ∪ N |=| M | + | N | − | M ∩ N |
| M xN |=| M | · | N |
Sei M endliche Menge, f : M → M sei eine Abbildung,
Dann gilt f injektiv ⇔ f surjektiv ⇔ f bijketiv
n={xij , . . . , xn } → M = {xij , . . . , xn }
⇒ f (xi ), . . . f (xn ) sind paarweise verschieden
⇒ alle Elemente von M kommen als bild vor
→ f surjektiv
2.B.6; 2.B.8
Seien k,n∈ N; α ∈ R wir definieren:
Qk
1. k! = j=1 j = 1 · 2 · 3 . . . · k
Insbesondere 0!=1
α
2.
:= α(α−1)·...·(α−k+1)
k!
k
Dies ist der sogenannte Binomialkoeffizient
Insbesondere
gilt:
α
1
= 1 =1
0
α
= α1 = α
1
n
n!
= n(n−1)(n−2)...(n−k+1)
= k!(n−k)!
k!
k
2.13.1
Rechenregeln(2.B.9
1. (k + 1)! = (k + 1) · k!
n
n
2.
=
für 0 ≤ k ≤ n
k
n−k
Beweis:
n
k
=
n!
(n − k)!n − (n − k)!
(2.10)
2.13. 2.B.6; 2.B.8
15
n!
(2.11)
n!(n − k)!
n
=
(2.12)
k
n
= 0 für k ≥ n (2.13)
k
=
3. Die Regel vom Pascalschen Dreieck:
α+1
α
α
=
+
wobei k ≥ 1
k
n
n−1
(2.14)
Beweis:
α
k
+
α+1
k
α
k−1
(α + 1 . . . (α + 1 − k + 1)
k!
α(α − 1) . . . (α − k + 1)
=
k!
α(k!)(α − (k − 1) + 1)
+
(k + 1)!
=
(2.15)
(2.16)
Abbildung 2.1: Pascal’sches Dreieck
4.
n
k
ist für alle k, n ∈ N eine natürliche Zahl
0
Beweis: Induktion über n n = 0
ist 1 für n=0 ansonsten 0
n
n+1
n
n
n⇒n+1
=
+
∈N
(2.17)
k
k
k+1
2.13.2
Satz über die Grundaufgaben der Kombinatorik
M = {xi ; . . . ; xn } Menge mit | M |= n
I = {xi ; . . . ; xn } Menge mit | I |= k
16
KAPITEL 2. MENGEN
1. Die Anzahl der Abbildungen f : I→ M ist :
n · n · n . . . = nk
(2.18)
2. Die Anzahl der injektiven Abildungen:
f : I → M ist n(n − 1) . . . (n − k + 1)
(2.19)
3. Die Anzahl der bijektiven Abbildungen f ist:
I → f ist K(k − 1) . . . (k − k + 1) = k!
(2.20)
4. Die Anzahl der Teilmengen M ist:
2; 2; 2; 2; . . . 2 = 2n
(2.21)
5. (Hierzu siehe
2.B.8)
Die Anzahl der Teilmengen M, die genau k Elemente
n
enthält ist
.
k
Beweis: Es gibt genau n(n − 1) . . . (n − k + 1) Abbildungen f {1, . . . , k} →
M = {xi , . . . xn }
Je k! davon führen zur selben Menge {f (1), . . . f (k)} ⇒ die gesuchte anzahl
ist dann:
(n(n − 1) . . . (n − k + 1))
n
=
(2.22)
k
k!
2.14
2.B.16
n X
n
(a + b) =
an−k bk
k
(2.23)
X
n n
X
n
=
1n−k 1k = (1 + 1)n = 2n
k
(2.24)
n
k=0
Wir folgern:
k=
k=0
Tabelle 2.3: Randbemerkung
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a − b)n =
n
X
k=0
(−1)k
n
k
an−k bk
(2.25)
2.15. POLYNOMIALSATZ(VGL BUCH 2.B.17)
2.15
17
Polynomialsatz(vgl Buch 2.B.17)
(a1 + . . . + ar )n =
X n am
k
(2.26)
m∈N
Dabei haben wir für m = (M − 1, . . . , mr ) ∈ Nr definiert:
| m | := die Summe der einzelnen N-Zahlen
mr
1
2
a := (a1 , . . . , ar ), am := am
· am
und außerdem
2 · . . . · ar
1
n!
n
n
:=
:=
(Multinomialkoeffezienz)
k
m1 , . . . , m r
m1 !, m2 ! . . . , mr !
(2.27)
Beweis:
(a1 + dots + ar )n = (a1 + . . . + ar )(a1 + . . . + ar ) . . . =
X
m∈Nr
mr
1
am
(2.28)
1 ...a
mr
1
taucht dabei oft auf, wie ich m1 mal den summanden
Der Summand am
1 . . . ar
a1 , m2 -mal den Summanden a2 usw. auswähle. Dies ist:
n
n − m1
n − m1 − m2
n − m1 − . . . − mr−1
·
·
· ...
m1
m2
m2
mr
(n − m1 )!
(n − m1 − . . . − mr−1 )!
n!
·
·
m1 !(n − m1 )! m1 !(n − m1 − m2 )!
mr !0!
n
⇒ kürzen ⇒
m1 ! . . . m r !
n
=
m
=
(2.29)
Dieser Beweis ist auch über vollständige Induktion durchzuführen:
n=0 Induktionsanfang
(a + b)0 = 1,
0 X
0
a0−k bk = 1
k
(2.30)
k=0
n⇒n+1
(a + b)n+1 = (a + b)(a + b)n = (a + b)
n X
n
an−k bk
k
k=0
n+1
a
+
n X
k=1
n
k
n+1−k k
a
b +
n−1
X
k=0
n
k
an−k bk+1 + bk+1 (2.31)
Letzten endes läuft obige Gleichung, u.a. durch indexwechsel(k 0 = k + 1, d.h.
k = k 0 − 1) auf folgende heraus:
n+1
⇒a
n X
n
n
+
an+1−k bk + bk+1
k
k−1
k=0
(2.32)
18
KAPITEL 2. MENGEN
Hinweis:
n
k
n
k−1
=
n+1
Pascalsches Dreieck:
k
n+1
X
k=0
n+1
k
an+1−k bk
(2.33)
Index
Abbildung, 9, 10
Bijektivität, 9
Bild, 9
Differenzmenge, 8
Durchschnitt, 8
ganze Zahlen, 8
Induktion, 12
Injektivität, 9
komplexe Zahlen, 8
Literatur, 5
natürliche positive Zahlen, 8
natürlichen Zahlen, 8
Pascal’sches Dreieck, 15
Potenzmenge, 8
Produkt, 13
rationale Zahlen, 8
reellen Zahlen, 8
Summe, 12
Surjektivität, 9, 11
Umkehrabbildung, 10, 11
Umkehrbruch, 11
Vereinigung, 8
Zuordnung, 9
19