3. Tutoriumsserie Statistik I

3. Tutoriumsserie Statistik I
1. Aufgabe: Von den 30 Einzelhändlern in einer Kleinstadt sind 10 für und 20 gegen eine Verlängerung der Ladenöffnungszeit. Im Rahmen einer Umfrage werden 6
zufällig ausgewählte Einzelhändler nach ihrer Meinung befragt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich genau zwei der befragten Einzelhändler für eine Verlängerung der Ladenöffnungszeit aussprechen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich mindestens die Hälfte der befragten Händler für eine Verlängerung der Ladenöffnungszeiten ausspricht?
c) Wie viele Einzelhändler sind in der Umfrage zu erwarten, die sich für eine
Verlängerung der Ladenöffnungszeit aussprechen?
2. Aufgabe: Ein Touristikunternehmer bietet in jedem Herbst eine exklusive Kulturreise zu den Schlössern der Loire an. Die Reise erfolgt mit einem Kleinbus, in dem
neun Touristen Platz haben. Aus langjähriger Erfahrung weiß der Unternehmer,
dass eine jede Buchung in den letzten beiden Tagen mit einer Wahrscheinlichkeit
von 5% kurzfristig storniert wird. Der Unternehmer hat wegen der kurzfristigen
Stornierungen statt neun Buchungen zehn Buchungen entgegengenommen.
a) Welches Überbelegungsrisiko geht der Unternehmer ein?
b) Um in der Gewinnzone zu bleiben, müssen mindestens acht Personen mitfahren. Wie wahrscheinlich ist es, dass der Unternehmer noch kurzfristig für
Ersatzreisende sorgen muss, um nicht in die Verlustzone zu geraten?
c) Mit wie vielen Stornierungen hat er durchschnittlich zu rechnen, d.h. wie viele
Stornierungen sind zu erwarten?
3. Aufgabe: Die Seiten eines zwölfseitiger Würfels sind mit den Zahlen 1 bis 12 bedruckt. Sei X die zufällige Augenzahl, welche nach einen Wurf oben liegt. Der Wüfel
sei symmetrisch, so dass alle Zahlen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewürfelt
werden.
a) Wie ist X verteilt.
b) Wie groß ist der Erwartungswert und die Varianz von X?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gewürfelte Augenzahl größer
als 6 aber höchsten 10 ist?
4. Aufgabe: Beim Roulette setzt ein Spieler bei 10 aufeinanderfolgenden Spielen
immer auf die roten Zahlen. Die Spielergebnisse sind unabhängig voneinander und
in jedem Spiel ist die Gewinnwahrscheinlichkeit 18
.
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a) Wie ist die Anzahl X der gewonnenen Spiele verteilt? (Parameter nicht vergessen!)
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler mehr als 2 Spiele gewinnt?
c) Der Spieler setzt in jedem der 10 Spiele 5 e ein. Gewinnt der Spieler ein Spiel,
so erhält er 10 e ausgezahlt. Verliert er hingegen ein Spiel, so erhält er nichts.
Der Gesamtgewinn des Spielers ist die Diffenz zwischen Auszahlungen und
eingesetztem Geld.
Wie groß ist der erwartete Gesamtgewinn bei den 10 Spielen? Wie interpretieren Sie dieses Ergebnis?
5. Aufgabe: In einem Schuhschrank befinden sich 14 Paar Damenschuhe und 4 Paar
Herrenschuhe.
a) Der Diener des Hauses entnimmt rein zufällig 3 Paar Schuhe. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Paar Herrenschuhe dabei ist?
b) Am nächsten Tag geht der Diener anders vor. Er entnimmt ein Paar Schuhe rein zufällig. Sind es Herrenschuhe, so hört er auf, Schuhe zu entnehmen.
Sind es Damenschuhe, so stellt er diese zurück in den Schuhschrank und entnimmt wieder rein zufällig ein Paar Schuhe. Das ganze Vorgehen wiederholt
er so lange, bis er ein Paar Herrenschuhe entnommen hat. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass es mehr als 3 Entnehmeversuche benötigt, bis er ein
Paar Herrenschuhe hat?
6. Aufgabe: In einer Telefonzentrale kommen in der Minute durchschnittlich 7 Gespräche an. Die Anzahl der Gespräche in pro Minute lässt sich durch eine Poissonverteilung mit Erwartungswert 7 beschreiben.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Minute höchsten 3 Gespräche
ankommen?
b) Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass mindesten 7, aber höchstens 10 Gespräche in einer Minute ankommen?
7. Aufgabe: Für eine diskrete Zufallsvariable X ist die folgende Verteilung gegeben.
k
2
P (X = k) 0,3
3
0,4
7
12
0,2 0,1
a) Bestimmen Sie der Erwartungswert und die Varianz von X.
b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und stellen Sie diese graphisch dar.
8. Aufgabe: Eine zweispurige Straße ist wegen Bauarbeiten auf einer Länge von
1000 m nur einspurig befahrbar. Der Verkehr wird durch eine Ampelschaltung geregelt. Wegen der sehr langen Rotphase neigen Autofahrer dazu, auch noch innerhalb
der ersten drei Sekunden der Rotphase die Ampel schnell zu passieren. Die Wahrscheinlichkeit dafür wird bei einem jeden Autofahrer auf 9% geschätzt. Rechnen Sie
in der Aufgabe mit der geschätzten Wahrscheinlichkeit als wahre Wahrscheinlichkeit und gehen Sie davon aus, dass das verkehrswidrige Verhalten eines Autofahrers
unabhängig von den anderen Autofahrern ist. In der letzten halben Stunde haben
80 Autofahrer die Ampel passiert.
a) Sei X die zufällige Anzahl der Autofahrer die sich verkehrswidrig verhalten.
i. Wie ist X verteilt?
ii. Wie groß ist der Erwartungswert und die Varianz von X?
iii. Das verkehrswidrige Verhalten wird mit eine Bußgeld von 90 e geandet.
Wie groß sind die erwarteten Bußgeldeinnahmen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich
i. höchsten 5,
ii. mindestens 8 verkehrswidrig verhalten?
9. Aufgabe: Auf einer Ausstellung von 12 Gemälden befinden sich 8 Originale. Ein
Besucher wählt zufällig 4 Bilder aus und kauft diese.
a) Wie ist die zufällige Anzahl X der Originale unter den 4 gekauften Bildern
verteilt? (Parameter nicht vergessen!)
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 3 Orginale gekauft
hat?
c) Jedes Original kann er mit einem Gewinn von 50 e weiter verkaufen. Bei
jedem Bild, welches kein Orginal ist, macht er einen Verlust von 100 e (d.h.
der Gewinn beträgt in diesem Fall -100 e). Wie groß ist der erwartete Gewinn?