Statistik - Hochschule Esslingen
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Dr. I. Fahrner Fakultät Grundlagen Hochschule Esslingen SoSe 2017 07.04.2017 Übungsblatt 4 Statistik Stichworte: Gegenereignis, zusammengesetzte Ereignisse, bedingte Wahrscheinlichkeit, mehrstufige Zufallsexperimente; Skript: Kapitel 4.3 35. Aus einem Skatspiel (32 Karten, davon sind 4 Zehnen) wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Uns interessieren die Ereignisse A = beim ersten Ziehen wird eine Zehn gezogen B = beim zweiten Ziehen wird eine Zehn gezogen (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Beschreiben Sie die Gegenereignisse A und B mit Worten. Berechnen Sie P(A) und P(A). Beschreiben Sie das zusammengesetzte Ereignis A ∩ B mit Worten. Beschreiben Sie das zusammengesetzte Ereignis A ∪ B mit Worten. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und beschriften Sie es korrekt. Wie groß ist P(A ∩ B)? Wie groß ist P(B)? Wie groß ist P(A ∪ B)? 36. Aus einem Skatspiel (32 Karten, davon sind 4 Zehnen) wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Uns interessieren die Ereignisse A = beim ersten Ziehen wird eine Zehn gezogen B = beim zweiten Ziehen wird eine Zehn gezogen (a) Wie groß ist P(B)? Wie groß ist P(B)? (b) Wie groß ist P(A ∩ B)? (c) Wie groß ist P(A ∪ B)? 37. Aus einem Kasten mit 17 roten und 28 schwarzen Kugeln werden blind 2 Kugeln nacheinander (ohne Zurücklegen) gezogen. (a) Zeichnen Sie hierfür ein Baumdiagramm. Beschriften Sie jedes Teilstück eines Pfades mit der zugehörigen (bedingten) Wahrscheinlichkeit. (b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden gezogenen Kugeln dieselbe Farbe haben. 38. Bei dem abgebildeten System sind die beiden Komponenten K1 und K2 parallel geschaltet. Das System funktioniert also, wenn K1 oder K2 funktioniert (oder beide funktionieren). Die Ausfallwahrscheinlichkeit von K1 soll 1% betragen, und die von K2 betrage 0,3%. Außerdem nehmen wir an, dass sich Ausfälle von K1 und K2 unabhängig voneinander ereignen. Berechnen Sie (a) die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt (b) die Wahrscheinlichkeit, dass das System intakt ist. K1 1% 0.3% K2 39. Bei dem abgebildeten System sind die beiden Komponenten K1 und K2 in Reihe geschaltet. Das System funktioniert also nur, wenn K1 und K2 beide funktionieren. Die Ausfallwahrscheinlichkeit von K1 soll 1% betragen, und die von K2 betrage 0,3%. Außerdem nehmen wir an, dass sich Ausfälle von K1 und K2 unabhängig voneinander ereignen. Berechnen Sie (a) die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt (b) die Wahrscheinlichkeit, dass das System intakt ist. 1% 0.3% (c) Stellen Sie die die berechneten Ausfallwahrscheinlichkeiten für die Reihenschaltung und der Parallelschlatung (siehe Aufgabe zuvor) gegenüber. K1 K2 40. Es werden n Komponenten gleicher Bauart zu einem System parallel geschaltet. Die Ausfallwahrscheinlichkeit einer einzelnen Komponente betrage 7,2%. Wie groß muss n mindestens sein, damit die Ausfallwahrscheinlichkeit des Systems unter 50ppm (ppm = 10−6 , parts per million) liegt? 41. Für die Funktionstüchtigkeit eines bestimmten Aggregates ist die Ausfallrate eines sehr teuren Bauelementes A mit 10ppm (ppm = 10−6 ) zu hoch, und es werden für den Notfall die preisgünstigeren Elemente B und C parallel geschaltet, die einen Fehleranteil von 1% (B) bzw. 0,1% (C) aufweisen. Entsprechend der Schaltung müssen bei Ausfall von A A sowohl B als auch C funktionieren, damit die Funk10ppm tionsfähigkeit des Aggregates aufrecht gehalten wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Ausfall der Schal1% 0.1% tung? Zusatz: Welche Annahme müssen Sie treffen, um B C hier überhaupt rechnen zu können? 42. Ein Kandidat ist in einer Quizshow ist bis zum vorletzten Schritt vorgedrungen. Er befindet sich vor drei gleich aussehenden Türen und weiß, dass sich hinter einer ein schickes Auto verbirgt, hinter den beiden anderen aber nur jeweils eine Ziege (die für eine Niete steht). Der Kandidat zeigt auf eine Tür ohne diese zu öffnen. Dann gebietet der Showmaster Einhalt und sagt: ”Ich helfe Ihnen ein bisschen” und öffnet eine andere Tür, hinter der eine Ziege steht. Er fragt anschließend den Kandidaten: ”Möchten Sie bei Ihrer alten Entscheidung bleiben oder wollen Sie die andere noch verbleibende Tür wählen?” Wie soll der Kandidat vorgehen, soll er bei seiner ersten Wahl bleiben oder ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit höher, wenn er die Türen wechselt? Berechnen Sie für Ihre Entscheidung jeweils die Gewinnwahrscheinlichkeiten der beiden Strategien. 43. Ein Automobilhersteller bezieht 40% seiner Scheibenwischer vom Zulieferer X, 60% vom Zulieferer Y. Die Wareneingangskontrolle stellt fest, dass 1% der von X gelieferten Scheibenwischer defekt sind und 2% der von Y gelieferten. (a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und beschriften Sie es korrekt. Verwenden Sie folgende Ereignisse: A = der Scheibenwischer ist defekt B = der Scheibenwischer wurde von X geliefert. (b) Aus dem Wareneingang wird zufällig ein Scheibenwischer herausgezogen. Er ist defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt er vom Zulieferer X? 44. In einem Krankenhaus wird mit einem Schnelltestverfahren geprüft, ob ein Patient an einer bestimmten versteckten Krankheit leidet. Wenn der Patient tatsächlich an dieser Krankheit erkrankt ist, zeigt das Verfahren in 96% der Fülle dies richtig an. Andererseits erfolgt bei 2% der Fälle, bei denen der Patient nicht erkrankt ist, trotzdem eine Testreaktion. Etwa 0,5% der Patienten leiden an dieser Krankheit. (a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm. (b) Bei einem zufällig ausgesuchten Patienten wird der Test durchgeführt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erfolgt eine Reaktion? (c) Bei einem zufällig ausgesuchten Patienten hat der Test eine Reaktion gezeigt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit leidet der Patient tatsächlich unter der Krankheit?
