1 Übung 10-II: Induktive Statistik: Stichprobenverteilungen 19./26

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Die Lebensdauer X von serienmäßig hergestellten Halogenlampen einer Firma sei eine
normalverteilte Zufallsvariable mit einer mittleren Lebensdauer von 500 Stunden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stichprobe vom Umfang 25, eine
Standardabweichung von 50 Stunden und einen Mittelwert größer als 480 Stunden hat?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stichprobe vom Umfang 45, eine
Standardabweichung von 50 Stunden und einen Mittelwert größer als 480 Stunden hat?
Lösg: a) 0,975
b) 0,9963
Die Lebensdauer X von serienmäßig hergestellten Halogenlampen einer Firma sei eine
normalverteilte Zufallsvariable. Der Hersteller behauptet, dass die mittlere Lebensdauer
der Lampen 500 Stunden beträgt. Um diese Behauptung zu überprüfen, testet er jeden
Monat die Lebensdauer von 25 Lampen.
Falls er Stichproben-Mittelwerte erhält, die um den Mittelwert 500 liegen und deren
Wahrscheinlichkeit für Abweichungen um diesen Mittelwert höchstens 0,9 2 beträgt,
akzeptiert er seine Behauptung. (s. Abb.)
Studentsche-t-Verteilung
fν (t)
0,9
–
0,05
0,05
– tC
0
tC
t
Bei welchem der folgenden Fälle kann er seine Behauptung annehmen und bei welchem
muss er sie verwerfen?
Bei einer Stichprobe mit dem Mittelwert x = 485 [h] und der Standardabweichung
s = 45 [h] .
Bei einer Stichprobe mit dem Mittelwert x = 480 [h] und der Standardabweichung
s = 50 [h].
Lösg:
a) Der Hersteller kann annehmen, dass die Behauptung richtig ist.
b) Der Hersteller muss seine Behauptung verwerfen, die mittlere Lebensdauer ist geringer 500 [h]
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Die Lebensdauer X von serienmäßig hergestellten Halogenlampen einer Firma sei eine
normalverteilte Zufallsvariable mit einer mittleren Lebensdauer von 500 Stunden und
einer Standardabweichung von 46 Stunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
eine Stichprobe vom Umfang 25, eine Varianz größer als 2500 Stunden hat?
Lösg: 0,25
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20% der Halogenlampen der Serienproduktion einer Firma sind defekt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe vom Umfang 20, der Anteil
der defekten Halogenlampen mehr als 30% beträgt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe vom Umfang 100, der
Anteil der defekten Halogenlampen mehr als 30% beträgt?
Lösg: a) 0,0867
b) 0,0062
Ein Hersteller von Halogenlampen behauptet, dass 20% seiner serienmäßig
hergestellten Lampen defekt sind. Um diese Behauptung zu überprüfen, testet er jeden
Monat 100 Lampen.
Falls er Stichproben-Anteilswerte erhält, die um den behaupteten Anteilswert liegen und
deren Wahrscheinlichkeit für Abweichungen um diesen Mittelwert höchstens 0,95 2
beträgt, akzeptiert er seine Behauptung. (s. Abb.)
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Standard-Normal-Verteilung
%$
(z)
0,95
0,025
0,95
0,025
0,025
0,025
– zC
0
zC
z
Bei welchem der folgenden Fälle kann er seine Behauptung annehmen und bei welchem
muss er sie verwerfen?
Bei einer Stichprobe mit 30% defekten Lampen.
Bei einer Stichprobe mit 25% defekten Lampen.
Lösg:
a) Der Hersteller muss die Behauptung verwerfen, der Anteil an defekten Lampen in der
Gesamtproduktion ist mehr als 20%.
b) Der Hersteller kann annehmen, dass die Behauptung richtig ist.
2
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#
I) Angabe des Anteilswerts der Gesamtheit.
II) Angabe der Parameter der Verteilung der Stichproben-Treffer bzw. der StichprobenAnteilswerte.
"
&
"
der Stichproben-Treffer
'
&
0.1
0.1
0.06
0.06
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142
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%$
'
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142
III) Ist eine Näherung der Verteilung Stichproben-Anteilswerte durch die Normal-Verteilung
erlaubt? Wenn ja, dann kann die standardisierte Zufallsvariable berechnet werden.
IV) Berechnen der gesuchten Wahrscheinlichkeit.
3
4
5
6
7
8
9