Lösung 5

Physik I
Übung 5 - Lösungshinweise
Stefan Reutter
Moritz Kütt
Franz Fujara
WS 2011/12
Stand: 22.12.2011
Aufgabe 1 May the Force be with you
Jedi possess the remarkable ability to ignore non-linear friction terms when they soar through
the air. The Force also allows them to lower their gravitational mass to a factor of λ of their
inertial mass – which, among other things, allows them to jump very high. A young Jedi-intraining called Omi-Wann is honing these skills under the strict supervision of master Yoda.
a) Write down an appropriate equation of motion idealizing Omi-Wann as a point mass in the
gravitational field of the planet Urstan with mass 1025 kg and radius 5965 km. The only re1
maining frictional force is F~ f = −β v~ with β ≈ 20
kg/s. Omi-Wann has a mass of 80 kg and a
λ-factor of 0.1
b) First, ignore the gravitational force (but not the Force or the frictional force) and find a
general solution to the remaining homogeneous differential equation
c) Calculate the equilibrium velocity Omi-Wann will have after a long time
d) Now, guess a particular solution to the inhomogeneous equation
e) Add the general solution and the particular solution, then compare to the initial value v (t =
0) = 0 to calculate Omi-Wann’s trajectory
Hint: For d), any old solution to the inhomogeneous equation will do.
Lösungshinweise:
a) Als äußere Kräfte wirken hier die Reibungskraft und die Gewichtskraft, wobei man letztere als konstant annähern kann. Da Jedi alle nichtlinearen Reibungsterme ignorieren, sieht die
Bewegungsgleichung so aus:
m
dv
dt
= −β v − mλg
b) Die homogene Gleichung ist
m
dv
dt
= −β v
1
Das kann man durch Scharfes Hinsehen oder, wenns denn sein muss, Trennung der Veränderlichen lösen (siehe Übung 4 für eine Erklärung des Verfahrens)
dv
=−
v
ln(v h) = −
β
m
β
m
dt
t + C0
β
v h = Ce− m t
c) Die Gleichgewichtsgeschwindigkeit ist erreicht, wenn v̇ = 0
ve = −
mλg
β
Zum ausrechnen muss man sich noch die Planetenbeschleunigung g aus dem Gravitationsgesetz
beschaffen
!
mg = G
Mm
R2
M
g = G 2 = 19.1 m/s2
R
Damit ergibt sich
v e = 3000 m/s
Ja, das ist hoch. In Wirklichkeit ist Luftreibung auch eher ∝ v 2 . Die Proportionalität zu v gilt
in echten physikalischen Problemen nur bei laminarer Strömung (d.h. wenn keine Turbulenzen
wie Wirbel auftreten), was beim Fallen beim besten Willen nicht der Fall ist.
d) Wie man leicht überprüfen kann, ist ein Fallen mit der Gleichgewichtsgeschwindigkeit aus c)
eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung
m
dv
= −β v − mλg
dt
0 = mλg − mλg = 0
e) Die Anfangsbedingung einzusetzen erlaubt, C zu bestimmen
β
v = v h + v i = Ce− m t −
v (t = 0) = C −
C=
mλg
β
mλg
β
!
=0
mλg
β
2
Insgesamt also
v=
mλg 
β
β
−mt
e
‹
−1
Das heißt, die Lösung läuft exponentiell in die Gleichgewichtsgeschwindigkeit hinein, egal ob
Omi-Wann mit einer höheren Geschwindigkeit (dann wird er gebremst) oder mit einer niedrigeren Geschwindigkeit (dann wird er beschleunigt) startet.
Die Trajektorie ist dann das Integral
z(t) = z(0) +
Zt
0
0
v (t )dt =
mλg
β
−
m
β
β
−mt
e
‹
− 1 − t + z(0)
0
Über die Anfangshöhe war dabei in der Aufgabenstellung nichts gesagt, sie steht also noch frei
als Variable drin.
Aufgabe 2 Extrasolare Planeten, Teil 1
Der Astronom Nigk Kopper möchte gerne die Masse eines Planeten messen, der um einen anderen Stern kreist. Dazu geht er in mehreren Schritten vor, die wir hier verdeutlichen wollen.
a) Wir betrachten ein System aus einem Stern und einem Planeten, die sich kreisförmig um ihren
gemeinsamen Schwerpunkt drehen (siehe Skizze). Die Ebene der Planetenbahn stimmt mit der
Beobachtungsebene überein. Mache eine Skizze davon, wie dies aus Nigks Sicht aussieht.
y
A
x
d
b) Zunächst misst Nigk mit Hilfe der Dopplerverschiebung die Radialgeschwindigkeit des Sterns
um den Schwerpunkt. Diese ergibt sich zu v S = 0.36 m/s. Außerdem misst er, dass die Bewegung des Sterns eine Umlaufzeit von T = 2π
= 200 d hat. Berechne daraus den Abstand A des
ω
Sterns zu seinem Schwerpunkt.
3
c) Da Nigk in seinem Studium gut aufgepasst hat, weiß er, dass ein dicker Stern mit einer Masse
von M = 1031 kg sich nicht freiwillig auf einer Kreisbahn bewegt, sondern eine gewaltige Kraft
notwendig ist, um ihn dazu zu zwingen. Berechne den Betrag dieser Kraft.
Lösungshinweise:
a) Ausnahmefehler 407: Assistent zu faul. (Achtung: In der Klausur sind Antworten dieses Typs
nicht erlaubt bzw. führen zu exzessivem Punktabzug)
b) Bei Kreisbewegungen gilt mit T = 1.73 × 107 s
v = ωA
2π
A
v=
T
vT
A=
= 9.9 × 105 m
2π
c) Das ist natürlich die Zentripetalkraft
F Z = M ω2 A
2πM v
FZ =
= 1.31 × 1024 N
T
Aufgabe 3 Extrasolare Planeten, Teil 2
In Nigks kleinem Sonnensystem muss die Kraft, die den Stern auf seiner Kreisbahn hält, die
Gravitationskraft des Planeten sein. Die Gravitationskraft, die der Planet der Masse m auf den
Stern der Masse M ausübt, berechnet sich laut dem Newtonschen Gravitationsgesetz zu
FG = G
mM
d2
(1)
wobei G = 6.67 × 10−11 m3 /(s2 kg) die Gravitationskonstante und d der Abstand der beiden
Himmelskörper ist.
Verwende diese Gleichung, um die Masse des Planeten zu bestimmen. Nigk wartet schon sehnsüchtig auf dein Resultat.
Hinweis: Wo liegt der Schwerpunkt des Systems? Es gilt M m
Lösungshinweise:
Es gilt
FG = F Z
4
Man muss noch die Formel für den Schwerpunkt verwenden (“Hebelgesetz”), um d in Beziehung
zu A zu setzen
M A = m(d − A)
M A ≈ (M + m)A = md
Dabei wurde genähert, dass M m gilt. Daher
mM
Mv 2
G € Š2 =
M
A
A
m
3
m =
M 2 Av 2
=
M2T
v3
G
2πG
‚ 2 Œ1
M T 3
m=v
= 5.8 × 1025 kg
2πG
5
Hausaufgabe 1 Gim-röf-sierk und Nhab-nes-pille
Ein neues Planetensystem wurde entdeckt. Dabei bewegen sich zwei Planeten gleicher Masse um
den Stern Ennos, der eine viel größerer Masse hat. Einer der Planeten, Gim-röf-sierk, bewegt
sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius 1011 m, er umläuft Ennos alle 2 Jahre. Der andere
Planet, Nhab-nes-pille, bewegt sich auf einer elliptischen Bahn, wobei der Abstand von Ennos minimal 1011 m und maximal 1.4 × 1011 m beträgt. Vernachlässige den Einfluss der beiden
Planeten aufeinander.
a) Berechne die Umlaufzeit von Nhab-nes-pille.
b) Wie groß ist die Masse von Ennos?
c) Nhab-nes-pille hat im sternenentferntesten Punkt eine Geschwindigkeit von v = 7.69 km/s.
Welcher der beiden Planeten hat im sternennächsten Punkt die höhere Geschwindigkeit?
Hinweis zu c): Versuche, die Geschwindigkeit von Nhab-nesp-pile im sternennächsten Punkt über
die Keplerschen Gesetze zu bestimmen.
Lösungshinweise:
a) 3. Kepler’sche Gesetz:
TG2
TN2
=
3
aG
3
aN
aG ist hier der Radius der Kreisbahn von Gim-röf-sierk bzw. auch rmin von Nhab-nesp-pile, aber
Achtung: aN muss erst berechnet werden über
aN =
TN = TG
aN
aG
3
2
rmin + rma x
= TG
2
rmin +rmax 3
2
2
rmin
= 2.63 Jahre
b) Für Gim-röf-sierk gilt das Kräftegleichgewicht
Fgravitation = −Fzentrifugal
−G
mG M Ennos
2
rmin
= −mG ω2G rmin
2
r3
2π
M Ennos = min
G
T
G
M Ennos = 1.5 × 1029 kg
6
c) Für Gim-röf-sierk ist es einfach, die Geschwindigkeit ist auch immer gleich:
ω=
vG =
2π
T
=
2πrmin
T
vG
rmin
= 9.96 km/s
Für Nhab-nes-pille: Das zweite Kepler’sche
Gesetz besagt, dass der Fahrstrahl in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht. Für
sehr kleine Zeiten kann man eine sehr kleine
Fläche an einem beliebigen Punkt definieren
als
1
v |dt sin α
dA = |~r||~
2
bzw.
dA
1
1
= |~r||~
v | sin α = |~r × v~ |
dt
2
2
Wir wissen, dass dies konstant sein muss: das sagt uns das Gesetz. Die Geschwindigkeit ist an
den Umkehrpunkten senkrecht zum Radius, daher muss der Term v r für beide Punkte gleich
sein und man kann mit der einen gegebenen Geschwindigkeit (v e , e wie entfernt) von Nhabnes-pille (sternenentferntester Punkt) die im sternennächsten Punkt berechnen (v n )
v e rmax = v n rmin
r
v n = v e rmax = 10.77 km/s
min
Mit dem jetzigen Vorlesungswissen stellt man natürlich auch fest, dass die letzte Beziehung der
Drehimpulserhaltung sehr ähnlich ist.
Hausaufgabe 2 Kommunikationssatellit ”SDW”
Der Kommunikationssatellit ”Spricht-da-Wer” (SDW) soll auf eine geostationäre Umlaufbahn
über dem Äquator geschossen werden. Bei geostationären Umlaufbahn kreisen die Satelliten so
um die Erde, dass sie sich immer über dem gleichen Ort befinden. In welche Höhe über der
Erdoberfläche muss SDW gebracht werden, damit dies erreicht werden kann?
Hinweis: Radius der Erde rer de = 6380 km, Masse der Erde Mer d e = 5.97 × 1024 kg
7
Lösungshinweise:
Fgravitation = −Fzentrifugal
−G
msat Mer de
R2
= −msat ω2 R
R3 =
G Mer de
ω2
=
G Mer de T 2
4π2
R = rer d e + h =
h=
q
3
G Mer de T 2
4π2
q
3
G Mer de T 2
4π2
− rer d e = 35.800 km
Hausaufgabe 3 Gemeine und exzentrische Ellipsen
Wenn Physiker Witze machen, wirds manchmal etwas exzentrisch. So zum Beispiel dieser hier,
den der Fiese Füsiker Friedrich seinem Freund Martin an den Kopf geworfen hat: “Dei Mudder is
so fett, dass sie ihren eigenen Asteroidengürtel mit Exzentrizität 34 braucht, um ihre Hose oben
zu halten!”
a) Berechne, wie groß der Betrag der Geschwindigkeit eines Satelliten mit Masse m, der sich mit
dφ
einer konstanten Winkelgeschwindigkeit dt = ω um Martins Mutter bewegt, mindestens ist.
b) Berechne, wie groß seine Geschwindigkeit höchstens ist.
Hinweis: Verwende die Relationen x = a cos (ωt) und y = b sin(ωt), wobei a die große und b
die kleine Halbachse ist.
Lösungshinweise:
Erstmal sollte man bemerken, dass das Problem nicht sehr realistisch ist. Martins Mutter sitzt
nämlich nicht in der Mitte der Ellipse sondern in einem Brennpunkt. Die Winkelgeschwindigkeit
ist nach den Keplerschen Gesetzen damit auch nicht konstant.
Falsche Lösung (so sollte das für die Hausaufgaben gemacht werden): Das Problem ist nicht
nur unphysikalisch, sondern der von uns gegebene Hinweis für den Ansatz auch noch falsch
(siehe unten). Nichtsdestotrotz sei hier die Lösung noch einmal angegeben, die die meisten von
euch gerechnet haben.
8
Das macht man, indem man aus dem im Hinweis gegebenen Ortsvektor die Geschwindigkeit
berechnet
d~r
d
a cos(ωt)
b sin(ωt)
−aω sin(ωt)
bω cos(ωt)
=
=
dt
dt
p
|~
v | = ω a2 sin2 (ωt) + b2 cos2 (ωt)
p
= ω a2 − a2 cos2 (ωt) + b2 cos2 (ωt)
p
= ω cos2 (ωt) b2 − a2 + a2
p
= aω 1 − " 2 cos2 (ωt)
v~ =
Wobei " die Exzentrizität " =
q
a2 −b2
a2
ist.
a) Fürs Minimum muss cos(ωt) = 1 gelten, also
|~
v |min = aω
p
1 − " 2 = aω
p
7
4
b) Fürs Maximum muss cos(ωt) = 0 gelten, also
|~
v |ma x = aω
Richtige Lösung:
Die im Hinweis angegebene Parametrisierung ergibt zwar eine Ellipse, aber diese wird nicht
mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit durchlaufen. Man kann sich anschaulich überlegen, dass bei einer konstanten Winkelgeschwindigkeit die Geschwindigkeit, wenn man an der
Ellipse am weitesten außen ist, zumindest größer sein muss, als wenn man ganz innen ist (weil
man in beiden Fällen die Ellipse momentan durch einen Kreis annähern kann) – oben ist es
genau andersherum. Möchte man tatsächlich eine konstante Winkelgeschwindigkeit, muss man
folgenden Ansatz machen:
~r(t) = r(ωt)
cos ωt
sin ωt
Der Winkel φ = ωt in den Polarkoordinaten ändert sich dann tatsächlich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit.
Den winkelabhängigen Radius r(φ) erhält man aus der Ellipsengleichung
9
x = r cos φ
y = r sin φ
y2
+
a2‚ b2
Œ
cos2 φ sin2 φ
2
1=r
+
a2
b2
1=
x2
Dementsprechend ist
~r(t) = p
ab
b2 cos2 ωt + a2 sin2 ωt
cos ωt
sin ωt
Die Zeitableitung wird damit natürlich erheblich komplizierter
dr
v~ (t) = ω p
ab
b2 cos2 ωt + a2 sin2 ωt
− sin ωt
cos ωt
dt
}|
Š
{
ab a − b sin ωt cos ωt
cos ωt
− ω€
Š3
sin ωt
b2 cos2 ωt + a2 sin2 ωt 2
z
€
2
2
Der Betrag der Geschwindigkeit ist (die Einheitsvektoren stehen senkrecht aufeinander)
È
v=
(ωr)2 +
dr
dt
2
v
u 4 2
u a sin ωt + b4 cos2 ωt
= ωabt €
Š3
b2 cos2 ωt + a2 sin2 ωt
Herauszufinden, wo das maximal ist, ist ziemlich rechenaufwändig (die Geschwindigkeit nochmal ableiten und Nullstellen suchen), deshalb sparen wir es uns hier. Unten ist ein Plot der
Geschwindigkeit für die gegebene Ellipse in Abhängigkeit von ωt für ω = 1 m/s und b = 1 m
gezeigt. Wie man sieht, gibt es in Wirklichkeit vier Maxima in der Nähe der x-Achse aber nur
zwei globale Minima an der y-Achse pro Umdrehung. Die Maxima kommen dadurch zustande, dass die große Änderung des Radius über bzw. unter der x-Achse die nur etwas kleinere
Radialgeschwindigkeit gegenüber des Extrempunktes der Ellipse mehr als ausgleicht
10
1.6
vHmsL
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0
1
2
3
4
5
6
Ωt
Hausaufgabe 4 Raumschiffsrauswurf
Das Raumschiff ”Discovery” nähert sich einem Planeten. Bislang ist alles glattgegangen, nun
jedoch dreht der Bordcomputer ”HAL9000” völlig am Rad und wirft den Astronauten Hendrik
mit einer großen Anfangsgeschwindigkeit aus dem Schiff. Hendrik bewegt sich direkt vom Zentrum des Planeten weg. Zum Glück hat er seinen Laser-Entfernungsmesser mitgenommen, mit
2
dem er häufig den Abstand zum Planeten misst. Er findet den Zusammenhang r = c t 3 ; wobei
2
er auch c bestimmen kann als c = 0.829 × 106 m s− 3 . Hendrik ist ein erfahrener Raumfahrer,
3
daher kennt er die Gravitationskonstante G = 6.67 × 10−11 kgm s2 auswendig und kann während
seines hoffnungslosen Aufenthaltes im All zumindest zum Zeitvertreib die Masse des Planeten
ausrechnen. Kannst du das auch? Welcher Planet könnte es sein?
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Lösungshinweise:
Die Gravitationskraft bewirkt eine Beschleunigung von Hendrik
ma = −G mM
r2
Aus dem bekannten Zeitverhalten berechnet man nun die Beschleunigung
a(t) =
d2 r
dt 2
=
d
dt
2
3
ct
− 13
2
4
= − c t−3
9
Zusätzlich wird r(t) eingesetzt,
4
−m 29 c t − 3 = −G
M=
2c 3
9G
mM
4
c2 t 3
= 1.9 × 1027 kg
Vorausgesetzt, Hendrik ist in unserem Sonnensystem, könnte es sich um Jupiter handeln.
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