Systemtheorie Teil A
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Systemtheorie Teil A - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme – Übungsaufgaben Manfred Strohrmann Urban Brunner 1 Inhalt 1 Inhalt ................................................................................................ 2 2 Übungsaufgaben - Zeitkontinuierliche Signale............................. 4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 Geschlossene Darstellung stückweise definierter Funktionen ................................................... 4 Verallgemeinerte Ableitung ......................................................................................................... 4 Rechnen mit Sprungfunktionen .................................................................................................. 4 Umwandlung von Winkelfunktionen............................................................................................ 5 Darstellung abschnittsweise definierter Funktionen ................................................................... 5 Näherung einer Rechteckfunktion durch abschnittsweise definierte Funktionen ....................... 5 Komplexe Exponentialfunktion ................................................................................................... 6 Umrechnen komplexer Exponentialfunktionen ........................................................................... 6 Darstellung und Integration von Signalen mit Sprüngen ............................................................ 6 Übungsaufgaben - Zeitkontinuierliche Systeme im Zeitbereich .. 7 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 Nachweis der Linearität .............................................................................................................. 7 Prüfung der Linearität eines Systems mit Gleitreibung .............................................................. 7 Systemantwort eines RL-Netzwerks ........................................................................................... 7 Aufheizvorgang eines Transistors .............................................................................................. 8 Einschwingverhalten eines Feder-Masse-Systems .................................................................... 8 Faltung von Signalen .................................................................................................................. 9 Grafische Faltung von Signalen ................................................................................................ 10 Berechnung des Ausgangssignals durch Faltung .................................................................... 11 Stabilitätsbewertung linearer, zeitinvarianter Systeme ............................................................. 11 Beschreibung von Systemen mit Blockschaltbildern ................................................................ 11 4 Übungsaufgaben - Laplace-Transformation zeitkontinuierlicher Signale................................................................................................. 12 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 5 Berechnung der Laplace-Transformierten über die Definitionsgleichung ................................ 12 Laplace-Transformierte geometrischer Signale ........................................................................ 12 Laplace-Transformierte einer abklingenden Schwingung ........................................................ 13 Laplace-Transformierte einer stückweise definierten Funktion ................................................ 13 Approximation einer Rechteckfunktion über Grenzwertbetrachtungen .................................... 13 Rücktransformation in den Zeitbereich ..................................................................................... 14 Impulsantwort im Zeit- und Laplace-Bereich ............................................................................ 14 Interpretation von Laplace-Transformierten.............................................................................. 15 Übungsaufgaben – Systeme im Laplace-Bereich ....................... 16 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Lösen einer homogenen linearen Differentialgleichung ........................................................... 16 Lösen eine linearen Differentialgleichung mit der Laplace-Transformation ............................. 16 Ausgangssignal eines RC-Glieds bei Anregung mit rechteckförmigem Signal ........................ 17 Impuls- und Sprungantwort eines Systems .............................................................................. 17 Impuls- und Sprungantwort eines zusammengesetzten Systems............................................ 18 Umschaltverhalten einer RLC-Schaltung.................................................................................. 18 Einschwingverhalten einer Piezo-Keramik ............................................................................... 19 Auswertung kapazitiver Sensoren ............................................................................................ 20 Operationsverstärker mit RC-Beschaltung ............................................................................... 21 6 Übungsaufgaben – Spektrum von Signalen ............................... 22 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 7 Approximation eines periodischen Signals mit einer Fourier-Reihe.......................................... 22 Fourier-Transformation über die Definitionsgleichung .............................................................. 22 Fourier-Transformation einer zeitlich begrenzten harmonischen Schwingung ......................... 22 Bestimmung des Spektrums eines Signals über Rechenregeln ............................................... 23 Betrag und Phase der Fourier-Transformierten ........................................................................ 23 Inverse Fourier-Transformation ................................................................................................. 23 Inverse Fourier-Transformation mit einer abschnittsweise definierten Funktion ....................... 24 Zusammenhang Fourier-Reihe und Fourier-Transformation .................................................... 24 Unschärfeprinzip der Fourier-Transformation ........................................................................... 25 Spektrum der periodischen Impulsfunktion ............................................................................... 26 Bestimmung des Klirrfaktors eines Messsystems ..................................................................... 26 Spektrum des Gauß-Impulses ................................................................................................... 26 Übungsaufgaben – Frequenzgang von Systemen...................... 27 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 8 Berechnung des Frequenzgangs .............................................................................................. 27 Amplitudengang und Filtereigenschaften .................................................................................. 27 Analyse eines Frequenzgangs .................................................................................................. 27 Spektrum und Impulsantwort ..................................................................................................... 27 Frequenzgang eines stabilen Systems ..................................................................................... 28 Parametrisierung eines Systems ............................................................................................... 28 Anpassung eines Tastkopfs ...................................................................................................... 29 Frequenzgang eines Filters ....................................................................................................... 30 RLC-Schaltung mit periodischer Anregung ............................................................................... 31 Störung eines Sensorsignals ..................................................................................................... 32 Übungsaufgaben – Grundlagen des Filterentwurfs ................... 33 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 9 Entwurf eines passiven Filters mit kritischer Dämpfung ............................................................ 33 Entwurf eines aktiven Bessel-Tiefpasses .................................................................................. 33 Entwurf eines Butterworth-Tiefpasses ....................................................................................... 34 Vergleich passiver Filter ............................................................................................................ 34 Entwurf und Implementierung eines aktiven Butterworth-Hochpasses ..................................... 35 Übungsaufgaben – Übertragungsglieder der Regelungstechnik 36 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 Parallelschaltung zweier Übertragungsglieder .......................................................................... 36 Reihenschaltung zweier Übertragungsglieder........................................................................... 36 Analyse eines Systems ............................................................................................................. 37 Vereinfachen eines Strukturbilds ............................................................................................... 38 Differentialgleichung und Strukturbild ........................................................................................ 39 Bode-Diagramm einer Operationsverstärkerschaltung ............................................................. 40 Parameteridentifikation für ein PT2-Glied ................................................................................. 40 Kenngrößen eines PT2-Glieds im periodischen Fall ................................................................. 41 Analyse eines Feder-Masse-Dämpfer-Systems ........................................................................ 41 10 Übungsaufgaben – Darstellung von Systemen im Zustandsraum ...................................... Fehler! Textmarke nicht definiert. 10.1 Steuer- und Beobachtberkeit bei Systemen in DiagonalformFehler! Textmarke nicht definiert. 10.2 System mit mehrfachen Eigenwerten ...................................Fehler! Textmarke nicht definiert. 11 Übungsaufgaben.......................... Fehler! Textmarke nicht definiert. 11.1 Modellierung eines Pendels .................................................Fehler! Textmarke nicht definiert. 11.2 Modellierung Feder-Masse-Systems ....................................Fehler! Textmarke nicht definiert. 11.3 Modellierung von gekoppelten Feder-Masse-Systemen ..... Fehler! Textmarke nicht definiert. 11.4 Modellierung eines Hubmagnet ........................................... Fehler! Textmarke nicht definiert. 2 Übungsaufgaben - Zeitkontinuierliche Signale 2.1 Geschlossene Darstellung stückweise definierter Funktionen Geben Sie für folgende Signale x(t) eine geschlossene Darstellung an. Bestimmen Sie die Ableitungen der geschlossenen Darstellungen und skizzieren Sie die Ableitungen. 2 Signal B Signal A 2 0 -2 0 -2 2 4 Zeit t 6 0 8 Signal D Signal C 4 6 8 0 0 -2 2 4 Zeit t 6 8 -2 0 2 Zeit t 4 Verallgemeinerte Ableitung Berechnen Sie die verallgemeinerte Ableitung des Signals x(t). a) Kausale Exponentialfunktion x (= t ) e− t ⋅ σ ( t ) b) Gestauchte Sprungfunktion x (t) = σ (a ⋅ t ) 2.3 10 2 -2 2.2 2 Zeit t 2 0 0 Rechnen mit Sprungfunktionen Gegeben sind die Signale x1(t) und x2(t). x1 ( t ) =σ ( t + 1) − 2 ⋅ σ ( t − 1) + σ ( t − 3 ) x 2 ( t )= ( t + 1) ⋅ σ ( t − 1) − t ⋅ σ ( t ) − σ ( t − 2 ) 6 a) b) 2.4 Skizzieren Sie die Signale sowie ihre Ableitungen für den Bereich x = - 2 ... 4 in ein Diagramm. Berechnen Sie die verallgemeinerten Ableitungen und Vergleichen Sie die Ergebnisse mit ihrer Skizze. Umwandlung von Winkelfunktionen Gegeben sind die Signale π x1 ( t )= 3 ⋅ sin ⋅ t − π ⋅ σ ( t ) 4 x 2 ( t )= 2 ⋅ cos ( π ⋅ t + 0.5 ) ⋅ σ ( t ) Skizzieren Sie die Signale im Bereich von - 2 ... 10 und stellen Sie die Signale in unterschiedlichen Formen dar: a) b) 2.5 als Summe von Winkelfunktionen ohne Nullphasenwinkel als Summe komplexe Exponentialfunktionen Darstellung abschnittsweise definierter Funktionen Stellen Sie das Signal x(t) durch einen geschlossenen Ausdruck mit Sprungfunktionen dar. π cos T ⋅ t für 0 ≤ t ≤ 3 ⋅ T x (t) = sonst 0 2.6 Näherung einer Rechteckfunktion durch abschnittsweise definierte Funktionen Gegeben ist das abschnittsweise definierte Signal u(t). u(t) a) b) 0 1 π ⋅ t ⋅ U0 ⋅ 1 − cos T 2 U0 1 π ⋅ t ⋅ U0 ⋅ 1 − cos 2 T 0 für t ≤ 0 für 0 < t < T für T < t < 3 ⋅ T für 3 ⋅ T < t < 4 ⋅ T für 4 ⋅ T ≤ t Stellen Sie das Signal grafisch dar. Stellen Sie das Signal als geschlossenen Ausdruck mit Sprungfunktionen dar. 2.7 Komplexe Exponentialfunktion Skizzieren Sie für die in der komplexen Ebene dargestellten Koeffizienten λ die Exponentialfunktionen als Funktion der Zeit. x ( t ) = ∑ e λi ⋅ t i Imaginarteil Im(λ) 4 (a) (e) (b) 2 (d) (c) 0 (f) -2 -4 -4 2.8 -2 2 0 Realteil Re(λ) 4 Umrechnen komplexer Exponentialfunktionen Stellen Sie folgende Signale als Summe komplexer Exponentialfunktionen x (t) = ∑A ⋅ e λn ⋅ t n n dar und skizzieren sie Lage der Koeffizienten λi in der komplexen Ebene. x1 ( t )= 2 ⋅ e−0.5⋅t ⋅ cos ( 4 ⋅ π ⋅ t ) 2.9 x2 = ( t ) e0.1⋅t ⋅ sin ( π ⋅ t ) x3 ( t ) = e− t Darstellung und Integration von Signalen mit Sprüngen Gegeben ist folgender Signalverlauf eines Signals g(t). Für t > 6 hat das Signal g(t) den Wert null. 2 Signal g(t) 1 0 -1 -2 0 a) b) 1 2 3 Zeit t 4 5 6 Beschreiben Sie das Signal g(t) durch einen geschlossenen Ausdruck mit Sprungfunktionen. Skizzieren Sie das Integral h(t) der Funktion g(t) mit h ( t )= t ∫ g ( τ ) dτ −∞ 3 Übungsaufgaben - Zeitkontinuierliche Systeme im Zeitbereich 3.1 Nachweis der Linearität Prüfen Sie, inwieweit folgende Gleichungen lineare, zeitinvariante Systeme darstellen. y1 ( t )= 2 ⋅ u3 ( t ) y 2 ( t ) = 2 ⋅ sin ( 3 ⋅ t ) ⋅ u ( t ) 3.2 Prüfung der Linearität eines Systems mit Gleitreibung Ein Feder-Masse-Dämpfer-System mit Gleitreibung wird durch die Differentialgleichung FE ( t ) = m ⋅ d2 x dx + G ⋅ sgn + c ⋅ x ( t ) dt 2 dt Prüfen Sie, ob es sich bei dem System um ein lineares, zeitinvariantes System handelt. 3.3 Systemantwort eines RL-Netzwerks Gegeben ist ein System bestehend aus einer Induktivität L und einem Widerstand R. L=2 uE ( t ) I uA ( t ) R =1 a) Stellen Sie die Differentialgleichung auf, die den Zusammenhang zwischen der Ausgangsspannung uA(t) und der Eingangsspannung uE(t) beschreibt. b) Lösen Sie die Differentialgleichung für t > 0 und eine konstante Eingangsspannung uE(t) = 1 V mithilfe der Vier-Schritt-Methode. Gehen Sie dabei von der Anfangsbedingung uA(t = 0) = 0 aus. Die Lösung ist die Sprungantwort des Systems. c) Berechnen Sie die Systemantwort auf das dargestellte rechteckförmige Eingangssignal, in dem Sie das Rechteck als Summe zweier Sprünge darstellen, für jeden Sprung einzeln die Lösung berechnen und dann beide Lösungen superponieren. Eingangssignal uE(t) 2 1 0 -2 0 2 4 Zeit t 6 8 3.4 Aufheizvorgang eines Transistors Mit einem Feldeffekttransistor wird ein Schalter realisiert. Auch im eingeschalteten Zustand weist er einen Widerstand RDS,ON auf. Damit wird im Transistor eine Leistung p(t) umgesetzt, die von dem Strom i(t) abhängt und den Transistor aufheizt. Es entsteht eine Temperaturdifferenz ϑ zur Umgebung. Der Transistor besitzt eine Wärmekapazität CTH und einen thermischen Widerstand zur Umgebung RTH. Das Aufheizverhalten wird über die Differentialgleichung RTH ⋅ CTH ⋅ dϑ + ϑ (= t ) RTH ⋅ pEL ( t ) dt Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Strom i(t) eingeschaltet, es entsteht eine Leistung von P0 = 1 W. Zum Zeitpunkt t = 0 besitzt der Transistor dieselbe Temperatur wie die Umgebung (ϑ = 0). a) Bestimmen Sie die allgemeine homogene Lösung der Differentialgleichung. b) Geben Sie eine partikuläre Lösung für die konstante Anregung p(t) = P0 an. c) Geben sie einen allgemeinen Ausdruck für ϑ(t) unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen an. d) Skizzieren Sie den Temperaturverlauf ϑ(t) für RTH = 10 K/W und CTH = 1 s⋅W/K e) Wie würde sich der Temperaturverlauf T(t) ändern, wenn die Wärmekapazität verdoppelt und der Wärmewiderstand halbiert werden würde. Skizzieren Sie auch diesen Temperaturverlauf in das vorgegebene Diagramm. 3.5 Einschwingverhalten eines Feder-Masse-Systems Ein Feder-Masse-System mit der Differentialgleichung FE ( t ) = m ⋅ d2 x dx +D⋅ + c ⋅ x (t) 2 dt dt und den Parametern m = 1, D = 2 sowie c = 2 wird zum Zeitpunkt t = 0 mit einem Kraftsprung Fe0 = 1 angeregt. Zu diesem Zeitpunkt ruht das Feder-Masse-System in seiner Ruheposition. Es gilt: x (0) = 0 und dx dt =0 t =0 Berechnen Sie das Einschwingverhalten mit der Vier-Schritt-Methode. 3.6 Faltung von Signalen Gegeben ist folgende Auswahl von Funktionen xi(t). x2(t) 0 0 -1 0 1 0 1 2 x5(t) 1 -1 0 Zeit t 1 1 -1 0 1 -1 0 Zeit t 1 2 0 0 1 0 -1 2 x4(t) 1 x6(t) x1(t) 1 2 x3(t) 2 2 1 0 -1 0 Zeit t 1 3 3 2 2 1 0 1 2 -2 1 0 -1 0 1 2 -2 3 3 2 2 1 -1 0 1 2 -2 y8(t) 2 1 -1 0 1 2 -1 0 Zeit t 1 2 2 1 -2 0 1 2 -1 0 1 2 -1 0 Zeit t 1 2 1 -2 3 0 0 -1 0 3 3 -2 1 0 y9(t) -2 y6(t) 3 2 y5(t) y4(t) -1 0 y7(t) 1 0 0 -2 y3(t) 3 2 y2(t) y1(t) Durch welche Auswahl von zwei Funktionen lassen sich folgende Faltungsergebnisse erzeugen? 2 1 0 -1 0 Zeit t 1 2 -2 3.7 Grafische Faltung von Signalen Berechnen Sie das Faltungsintegral der folgenden Funktionen: a) Faltung zweier Rechtecke Eingangssignal 4 3 3 Signal u(t) Signal g(t) Impulsantwort 4 2 1 0 -2 b) 2 1 0 2 Zeit t 0 -2 4 0 4 Faltung stückweise konstanter Signale Eingangssignal 4 4 3 3 Signal u(t) Signal g(t) Impulsantwort 2 1 0 -2 2 1 0 2 Zeit t 0 -2 4 0 2 Zeit t 4 Faltung eines Signals mit einer Impulsfolge Impulsantwort Eingangssignal 3 3 2 2 Signal u(t) Signal g(t) c) 2 Zeit t 1 0 -4 1 -1 0 1 4 Zeit t 8 0 -4 0 4 Zeit t 8 3.8 Berechnung des Ausgangssignals durch Faltung Gegeben ist die Impulsantwort g(t) eines Systems und das Eingangssignal u(t). Eingangssignal 1 Signal u(t) Signal g(t) Impulsantwort 0 -1 1 0 0 1 -1 0 Zeit t 1 Zeit t a) Stellen Sie die Signale g(t) und u(t) jeweils als geschlossenen Ausdruck dar. b) Das Ausgangssignal y(t) kann über die Faltung von u(t) mit g(t) ermittelt werden. Skizzieren Sie die Systemantwort des Systems mithilfe der grafischen Faltung. c) Bestimmen Sie die Funktionswerte für y(t) an den Stellen t1 = 0, t2 = 0.5, t3 = 1, t4 = 1.5 und t5 = 2. d) Berechnen Sie y(t) über die analytische Lösung des Faltungsintegrals. 3.9 Stabilitätsbewertung linearer, zeitinvarianter Systeme Gegeben ist ein System mit der Impulsantwort 2⋅π g ( t ) cos = ⋅ t ⋅ σ(t) T a) Berechnen Sie über das Faltungsintegral die Systemreaktion für t > T/2 auf ein Eingangssignal T u(t) = σ(t) − σ t − 2 b) Welche Stabilitätseigenschaft besitzt das System mit der Impulsantwort g(t)? 3.10 Beschreibung von Systemen mit Blockschaltbildern Ein System wird über die Differentialgleichung a2 ⋅ d2 y dy du + a1 ⋅ + a0 ⋅ y ( t ) = b1 ⋅ + b0 ⋅ u ( t ) 2 dt dt dt beschrieben. Erstellen Sie für das System ein Blockschaltbild. 4 Übungsaufgaben - Laplace-Transformation zeitkontinuierlicher Signale 4.1 Berechnung der Laplace-Transformierten über die Definitionsgleichung Berechnen Sie für die Funktion U0 ⋅ sin ( ω0 ⋅ t ) x (t) = 0 für 0 ≤ t ≤ 2⋅π ω0 sonst die zugehörige Funktion X(s) direkt über das Laplace-Integral. 4.2 Laplace-Transformierte geometrischer Signale Die Signale x1(t) … x4(t) sind durch folgende Abbildung definiert. a) Geben Sie für die Signale xi(t) einen geschlossenen Ausdruck mit Sprungfunktionen an. b) Handelt es sich bei den Signalen xi(t) um kausale Signale? c) Bestimmen Sie zugehörige Laplace-Transformierte Xi(s). 2 1 Signal x 2(t) Signal x 1(t) 2 1 0 0 -1 0 1 2 3 -2 4 0 2 Zeit t 2 4 1 2 Signal x 4(t) Signal x 3(t) Zeit t 0 -1 -2 4 0 -2 0 2 Zeit t 4 -4 0 2 4 Zeit t 6 4.3 Laplace-Transformierte einer abklingenden Schwingung Beweisen Sie durch die analytische Berechnung des Laplace-Integrals, dass das Zeitsignal x= ( t ) eδ0 ⋅t ⋅ cos ( ω0 ⋅ t ) ⋅ σ ( t ) die Laplace-Transformierte X (s) = s − δ0 ( s − δ0 ) 2 + ω02 besitzt. Stellen Sie den Lösungsweg ausführlich dar. 4.4 Laplace-Transformierte einer stückweise definierten Funktion Die Funktion x(t) ist stückweise definiert. x (t) 0 U0 2 U0 U0 2 0 für t ≤ 0 π ⋅ t ⋅ 1 − cos für 0 ≤ t ≤ T T für T < t < 3 ⋅ T π ⋅ t ⋅ 1 − cos für 3 ⋅ T ≤ t ≤ 4 ⋅ T T für t > 4 ⋅ T Berechnen Sie die Laplace-Transformierte X(s) des Signals x(t). 4.5 Approximation einer Rechteckfunktion über Grenzwertbetrachtungen Gegeben ist ein abschnittsweise definiertes Signal der Form x (t) 2⋅π 1 + sin T ⋅ ( t − 1) für 1 − T / 4 ≤ t < 1 + T / 4 für 1 + T / 4 ≤ t < 4 − T / 4 2 2⋅π 1 − sin T ⋅ ( t − 4 ) für 4 − T / 4 ≤ t < 4 + T / 4 Alle Werte, die außerhalb dieses definierten Zeitabschnitts liegen, sind null. a) Skizzieren Sie für T = 2 das Signal x(t). b) Stellen Sie das Signal x(t) für beliebige Parameter T analytisch als geschlossenen Ausdruck dar. c) Berechnen Sie die Laplace-Transformierte X(s) des Signals x(t). d) Skizzieren Sie das Signal für den Grenzwert T → 0. Welche Zeitfunktion ergibt sich für das Signal und welche Laplace-Transformierte hätte dieses Signal. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe c. Welche Frequenz weist die Sinusfunktion in diesem Fall auf? 4.6 Rücktransformation in den Zeitbereich Gegeben sich folgende Laplace-Transformierte. Berechnen Sie die zugehörigen Zeitunktionen xi(t). a) X1 ( s ) = s +1 s2 + 2 ⋅ s + 2 X2 ( s ) = s2 + 2 s3 + 1 b) 4.7 Impulsantwort im Zeit- und Laplace-Bereich Gegeben ist folgender Signalverlauf einer Impulsantwort g(t). Für t > 6 hat das Signal g(t) den Wert null. Impulsantwort g(t) 2 1 0 -1 -2 0 1 2 3 4 5 Zeit t a) Beschreiben Sie das Signal g(t) in einer mathematisch geschlossenen Form mit Sprung- und Impulsfunktionen. b) Skizzieren Sie das Signal h(t) = t ∫ g ( τ ) dτ 0 c) Berechnen Sie die Laplace-Transformierte G(s) des Signals g(t) sowie die LaplaceTransformierte H(s) des Signals h(t). d) Berechnen Sie den Wert des Signals h(t) für t → ∞. 4.8 Interpretation von Laplace-Transformierten Gegeben sind die Laplace-Transformierten zweier Signale XA ( s ) = s s + 2 ⋅ s + 65 XB ( s ) = 2 s s + 10 ⋅ s + 89 2 und normierte Signalverläufe Signal 1 und Signal 2. 1 Signal 1 Signal 2 Signal 0.5 0 -0.5 -1 0 1 Zeit t 2 a) Berechnen Sie die Pole αA1,2 beziehungsweise αB1,2 der beiden Laplace-Transformierten und skizzieren Sie Pollage in der komplexen Ebene. b) Vergleichen Sie durch Interpretation der Pollage die Signale xA(t) und xB(t) hinsichtlich Frequenz und Dämpfung. Welches Signal besitzt den Signalverlauf 1, welches Signal den Signalverlauf 2? c) Berechnen Sie das Signal xA(t) durch Rücktransformation in den Zeitbereich. d) Berechnen Sie mithilfe der Laplace-Transformation das Integral y A1 ( t )= t ∫ x ( τ ) dτ A 0 e) Berechnen Sie mithilfe der Laplace-Transformation die Faltung y= A2 ( t ) ∞ ∫ x ( t − τ ) ⋅ σ ( τ ) dτ A −∞ f) Vergleichen Sie die Ergebnisse der Aufgabenteile d) und e) anhand einer Skizze im Zeitbereich. Warum sind die Ergebnisse gleich? 5 Übungsaufgaben – Systeme im Laplace-Bereich 5.1 Lösen einer homogenen linearen Differentialgleichung Gegeben ist folgende Differentialgleichung d3u d2u du + + + u(t) = 0 dt 3 dt 2 dt mit den Anfangsbedingungen ( 0 ) = 1, u ( 0 ) = 0 , u ( 0 ) = 1 u a) Transformieren Sie die Differentialgleichung in den Laplace-Bereich. b) Berechnen Sie die Pollagen der Laplace-Transformierten U(s) und stellen Sie die Pollagen in der komplexen Ebene dar. Handelt es sich bei dem Signal u(t) um ein schwingendes Signal. Erreicht das Signal einen stationären Endwert? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Berechnen Sie das Signal u(t) für den Zeitraum t > 0 durch Rücktransformation. 5.2 Lösen eine linearen Differentialgleichung mit der Laplace-Transformation Gegeben ist ein System, das durch folgende Differentialgleichung beschrieben wird. 3⋅ a) d2 y dy + + y (t) = u(t) dt 2 dt Zunächst liegt kein Eingangssignal u(t) vor, sodass sich die homogene Differentialgleichung 3⋅ d2 y dy 0 + + y (t) = dt 2 dt ergibt. Transformieren Sie die Differentialgleichung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen y ( 0 ) = 1 , y ( 0 ) = 0 in den Laplace-Bereich und berechnen Sie Y(s). b) Berechnen Sie das Signal y(t) durch die Rücktransformation. c) An das System wird jetzt zusätzlich zu den Anfangsbedingungen ein Eingangssignal angelegt. 3⋅ d2 y dy + + y (t) = u(t) dt 2 dt Bestimmen Sie über die Laplace-Transformation die Lösung y(t) mit den oben dargestellten Anfangsbedingungen und dem Eingangssignal u ( t )= 3 ⋅ δ ( t − 1) 5.3 Ausgangssignal eines RC-Glieds bei Anregung mit rechteckförmigem Signal Ein RC-Glied hat die Impulsantwort g ( t )= 1 − Tt ⋅ e ⋅ σ(t) T wobei T die Zeitkonstantes des Systems ist mit T = R∙C. Das Signal ist normiert, sodass alle Größen dimensionslos sind. Das RC-Glied wird mit dem normierten Rechtecksignal u(t) angeregt, das in der folgenden Abbildung dargestellt ist. Eingangssignal u(t) 3 2 1 0 -1 0 1 2 3 4 Zeit t a) Geben Sie einen geschlossenen Ausdruck für u(t) an. b) Geben Sie die Übertragungsfunktion G(s) des RC-Glieds an. c) Bestimmen Sie die Systemantwort Y(s) im Laplace-Bereich. d) Berechnen Sie die Systemantwort y(t) über das Faltungsintegral. 5.4 Impuls- und Sprungantwort eines Systems Gegeben ist ein System mit der Übertragungsfunktion G (s) = s+3 s2 + 2 ⋅ s + 5 a) Berechnen Sie die Pole αi der Übertragungsfunktion G(s). b) Welche Systemeigenschaften können Sie an der Pollage ablesen? c) Berechnen Sie die Impulsantwort g(t) des Systems unter Verwendung der komplexen Partialbruchzerlegung G (s) = A A∗ + s − α1 s − α1∗ und stellen Sie g(t) durch Sinus- und/oder Kosinusterme dar. d) Berechnen Sie die Impulsantwort g(t) des Systems unter Verwendung der quadratischen Ergänzung und der Korrespondenztabelle, und stellen Sie das Ergebnis durch Sinus- und/oder Kosinusterme dar. e) Welchen Grenzwert weist die Sprungantwort für t → ∞ auf? 5.5 Impuls- und Sprungantwort eines zusammengesetzten Systems Gegeben ist ein System, das durch folgende Übertragungsfunktion beschrieben werden kann: 1 1 ⋅ G ( s ) = G1 ( s ) + s + 1 s + k 2 Von der Teil-Übertragungsfunktion G1(s) ist die Sprungantwort h1(t) bekannt. h1 ( t ) = − 1 −k1 ⋅t ⋅e ⋅ σ(t) k1 a) Berechnen Sie die Teil-Übertragungsfunktion G1(s). b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion des gesamten Systems und stellen Sie es in folgender Form dar: M G = (s) b Y (s) ∑ = X (s) m=0 N ∑a n=0 c) m n ⋅ sm ⋅ sn Berechnen Sie den stationären Endwert der Sprungantwort des gesamten Systems G(s) h∞ = lim h ( t ) t →∞ als Funktion der Parameter k1 und k2. d) Für welche Parameterkombinationen von k1 und k2 ist das System stabil? e) Die Parameter k1 und k2 sollen so bestimmt werden, dass die Sprungantwort einen stationären Endwert von h∞ = 2 hat und das System stabil ist. Bestimmen Sie die Wertepaare, die beide Bedingungen erfüllen. 5.6 Umschaltverhalten einer RLC-Schaltung Gegeben ist folgende RLC-Schaltung. Die Spannungsquelle uE(t) = U0 ist eine Gleichspannungsquelle. Der Schalter befindet sich bereits sehr lange in Stellung S1. Alle Einschwingvorgänge sind abgeschlossen und der stationäre Endwert aller Größen ist erreicht. S2 L2 R1 S1 uE ( t ) a) R2 uA ( t ) C1 L1 Bestimmen Sie für die Schalterstellung S1 die stationären Zustände für die Bauelemente C1, L1 und L2. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter von Stellung S1 in Stellung S2 geschaltet. b) Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte des Ausgangssignals UA(s) unter Berücksichtigung der unter a) berechneten Anfangsbedingungen. Die Quelle weist eine Spannung von U0 = 5 V auf, die Bauelemente haben die Werte R1 = 500 Ω, L1 = 0.1 H, L2 = 0.01 H und C1 = 2.5 µF c) Welcher der folgenden Signalverläufe a - c entspricht dem Signal uA(t). Begründen Sie Ihre Antwort. Spannung uA(t) / V 10 Signal a Signal b Signal c 5 0 -5 -10 0 5.7 10 20 30 Zeit t / ms 40 50 Einschwingverhalten einer Piezo-Keramik In dieser Aufgabe wird das Verhalten eines Piezo-Schwingers analysiert, der an eine Batterie angeschlossen wird. Die Schaltung kann durch folgendes Ersatzschaltbild beschrieben werden. Die Eingangsspannung uE(t) ist eine ideale Gleichspannungsquelle mit einer Leerlaufspannung U0. S2 RI LP RP S1 uE ( t ) uA ( t ) CP C Der Schalter S war sehr lange in Stellung S1, alle Einschwingvorgänge sind abgeschlossen. a) Berechnen Sie den Anfangszustand der Bauelemente C, CP und LP. b) Der Schalter S wird zum Zeitpunkt t = 0 geöffnet. Wie groß ist die Ausgangsspannung UA? Warum bleibt die Ausgangsspannung UA konstant? Im Folgenden wird der Piezo von außen mit einem Widerstand R beschaltet. RI S2 RP LP S1 uE ( t ) uA ( t ) R C CP Der Schalter S war sehr lange in Stellung S1, alle Einschwingvorgänge sind abgeschlossen. c) Berechnen Sie den Anfangszustand der Bauelemente C, CP und LP. d) Der Schalter S wird zum Zeitpunkt t = 0 geöffnet. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte UA(s) der Ausgangspannung. 5.8 Auswertung kapazitiver Sensoren Zur Auswertung kapazitiver Sensoren wird folgende Schaltung verwendet: S1 S2 S2 S1 RS U0 CREF uA ( t ) U0 CP RP Die Spannungen U0 sind Gleichspannungen. Die Schalter sind lange Zeit in Position S1, alle Einschwingvorgänge sind abgeschlossen. a) Berechnen Sie für diese Schalterstellung den Zustand der Kapazitäten CREF und CP. Zum Zeitpunkt t = 0 werden die Schalter in Position S2 geschaltet. b) Zeichnen Sie für diesen Zustand ein Ersatzschaltbild, in dem die Anfangszustände der Bauelemente durch ideale Quellen dargestellt sind. c) Berechnen Sie die Laplace-Transformierte der Spannung UA(s). d) Welche Spannung stellt sich ein, wenn für die Bauelemente die Näherungswerte RS = 0 Ω und RP → ∞ Ω gelten? 5.9 Operationsverstärker mit RC-Beschaltung Gegeben ist folgende Operationsverstärker-Schaltung. C2 C3 R2 R1 uE ( t ) - a) uA ( t ) R3 + Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion G(s) des Systems mit G (s) = UA ( s ) UE ( s ) Eine vergleichbare Schaltungsvariante führt zu der Übertragungsfunktion G(s). G (s) = 2⋅s s + 2.1⋅ s + 0.2 2 b) Berechnen Sie die Sprungantwort h(t) des Systems G(s). c) Vergleichen Sie Ihre Rechnung mit den folgenden Abbildungen. Welches Ausgangssignal entspricht Ihrer Lösung? 1 Ausgangssignal uA2(t) Ausgangssignal uA1(t) 1 0.5 0 0 5 10 Zeit 15 20 0.5 0 0 5 10 Zeit 15 20 Das System wird für eine rechnergestützte Berechnung der Sprungantwort durch zwei unterschiedliche Modelle modelliert. Modell 2 Modell 1 u(t) s 2 s+2 1 s + 0.1 y (t) u(t) 2 s+2 s s + 0.1 y (t) d) Zeigen beide Modelle dasselbe Verhalten? Begründen Sie Ihre Antwort. e) Welches Ausgangssignal uA1(t) und uA2(t) würden Sie dem Modell 1 und dem Modell 2 zuordnen? Begründen Sie Ihre Antwort. f) Würden Sie bei der Anregung des Systems mit einem rampenförmigen Signal gleiche Ausgangssignale oder unterschiedliche Ausgangssignale erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort. 6 Übungsaufgaben – Spektrum von Signalen 6.1 Approximation eines periodischen Signals mit einer Fourier-Reihe Die Zeitfunktion x(t) mit der Periode T = 2 ist definiert durch 1 für − 1 ≤ t < 0 x (t) = −1 für 0 ≤ t < 1 a) Skizzieren Sie das Schaubild von x(t) in dem Intervall t = - 2 … 2. b) Berechnen Sie die komplexe Fourier-Reihe von x(t) bis zur 5. Ordnung. c) Zeichnen Sie das Ergebnis in die Skizze von Teilaufgabe a) ein. 6.2 Fourier-Transformation über die Definitionsgleichung Stellen Sie die Signale xA(t), xB(t) und xC(t) als geschlossenen Ausdruck dar und berechnen Sie die Spektren der Signale über die Definitionsgleichung der Fourier-Transformation. 0 -1 -2 6.3 1 Signal x C(t) 1 Signal x B(t) Signal x A(t) 1 0 -1 0 2 Zeit t / T 4 6 -2 0 -1 0 2 Zeit t / T 4 6 -2 0 2 Zeit t / T 4 6 Fourier-Transformation einer zeitlich begrenzten harmonischen Schwingung Gegeben ist eine zeitlich begrenzte harmonische Schwingung. cos ( 4 ⋅ π ⋅ t ) für − 0.5 ≤ t ≤ 0.5 x (t) = 0 für alle übrigen Werte a) Stellen Sie das Signal x(t) in geschlossener Form dar. b) Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte X(ω) des Signals x(t) mithilfe der Definitionsgleichung. Hinweis: ∫e c) a⋅ x ⋅ cos ( b ⋅ x ) dx = ea⋅ x ⋅ ( a ⋅ cos ( b ⋅ x ) + b ⋅ sin ( b ⋅ x )) a + b2 2 Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte X(ω) des Signals x(t) mithilfe der gegebenen Korrespondenzen und Rechenregeln. 6.4 Bestimmung des Spektrums eines Signals über Rechenregeln Gegeben ist das Spektrum X(ω) eines Signals x(t). Es ist in dem folgenden Bild dargestellt. Spektrum X(ω ) 1 0 -ω 0 ω0 0 Kreisfrequenz ω Geben Sie das Spektrum Y(ω) des Signals y ( t ) sin2 ( 2 ⋅ ω0 ⋅ t ) ⋅ x ( t ) = als Funktion von X(ω) an. Nutzen Sie die Korrespondenzen und Rechenregeln der FourierTransformation. 6.5 Betrag und Phase der Fourier-Transformierten Berechnen Sie unter Verwendung des Verschiebungssatzes die Fourier-Transformierte des Signals x (t) = sin (10 ⋅ π ⋅ ( t + T ) ) 10 ⋅ π ⋅ ( t + T ) und skizzieren Sie für T = 0.2 und - 15⋅π ≤ ω ≤ 15⋅π Betrag |X(ω)| und Phase ϕ(ω) sowie Realteil Re(X(ω))und Imaginärteil Im(X(ω)). 6.6 Inverse Fourier-Transformation Berechnen Sie die zu folgenden Fourier-Transformierten gehörigen Zeitfunktionen. a) X1 ( ω) = 5⋅ j⋅ω+ 5 ( j ⋅ ω) 2 + 2 ⋅ j ⋅ ω + 17 b) sin ( 2 ⋅ ω) X2 ( ω) = 2⋅ω c) sin ( 2 ⋅ ω) X3 ( ω) = 2⋅ω 2 6.7 Inverse Fourier-Transformation mit einer abschnittsweise definierten Funktion Gegeben ist das Spektrum eines Signals x(t): 2 2 − ⋅ ω + 2 für | ω | ≤ 3 X ( ω) = 9 0 für | ω | > 3 Berechnen sie das Signal x(t). 6.8 Zusammenhang Fourier-Reihe und Fourier-Transformation Die folgende Grafik stellt ein rechteckförmiges Signal x(t) und ein in der Periodendauer T0 = 4 periodisch wiederholtes rechteckförmiges Signal y(t) dar. Signal y(t) 1 Signal x(t) 1 0 0 0 1 4 8 Zeit t 12 0 1 4 8 Zeit t 12 a) Berechnen Sie die Fourier-Transformierte des rechteckförmigen Signals x(t) durch Anwendung der Definitionsgleichung der Fourier-Transformation. b) Skizzieren Sie den Betrag der Fourier-Transformierten. c) Berechnen Sie die komplexe Fourier-Reihe des periodisch wiederholten Signals y(t) und geben Sie zu den Koeffizienten An die Frequenzen ωn an, für die sie gelten. d) Zeichnen Sie die den Betrag der komplexen Koeffizienten An in das Diagramm aus Aufgabenteil b) ein. e) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Fourier-Transformierten eines Signal x(t) und den Koeffizienten der komplexen Fourier-Reihe des periodisch wiederholten Signals y(t). 6.9 Unschärfeprinzip der Fourier-Transformation In dieser Aufgabe wird eine Eigenschaft der Fourier-Transformation untersucht, die Kollege Ulrich Karrenberg in seinem Buch als Unschärfeprinzip beschreibt: Je mehr die Zeitdauer ∆t eines Signals eingeschränkt wird, desto breiter wird zwangsläufig sein Frequenzband ∆ω. a) Zeigen Sie über die Definitionsgleichung der inversen Fourier-Transformation, dass das Spektrum X ( ω) = π ⋅ ( δ ( ω + ω0 ) + δ ( ω − ω0 ) ) zu einem harmonischen Signal der Form x (= t ) cos ( ω0 ⋅ t ) gehört. b) Das Signal x(t) wird für einen Zeitraum - ∆t/2 ≤ t ≤ ∆t/2 beobachtet. Wie lässt sich die zeitlich begrenzte Beobachtung im Zeitbereich beschreiben? Geben Sie einen Ausdruck für das zeitlich begrenzte Signal xW(t) an. c) Wie wirkt sich die zeitlich begrenzte Beobachtung des Signals auf das Spektrum aus? Berechnen Sie das Spektrum XW(ω). d) Erklären Sie anschaulich, warum das Spektrum des zeitlich begrenzten Signals xW(t) höhere Signalanteile besitzt als das unendlich lang andauernde Signal. e) Geben Sie das Spektrum des Signals yW(t) an, das sich aus einer Beobachtung des Signals y (= t ) cos ( ω1 ⋅ t ) + cos ( ω2 ⋅ t ) für einen Zeitraum - ∆t/2 ≤ t ≤ ∆t/2 ergibt. Die folgende Abbildung stellt das Spektrum für Frequenzen ω1 = 1000 krad/s und ω2 = 2000 krad/s für eine Beobachtungszeit von ∆t1 = 10 ms und ∆t2 = 20 ms. f) Warum liegen die Maxima des Spektrums nicht an den Stellen ω1 und ω2? Warum nähern sich die Maxima den Frequenzen ω1 = 1000 krad/s und ω2 = 2000 krad/s mit steigender Beobachtungszeit ∆t? Spektrum Y W (ω ) ⋅ 1000 12 ∆t2 = 20 ms 8 4 0 -4 -4 g) ∆t1 = 10 ms -3 -2 -1 0 1 Kreisfrequenz ω / krad/s 2 3 4 Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen der Aufgabe und dem beschriebenen Unschärfeprinzip her. 6.10 Spektrum der periodischen Impulsfunktion Berechnen Sie die Fourier-Transformierte der in T0 periodischen Impulsfolge mithilfe der FourierReihe. x ( t )= ∞ ∑ δ ( t − T ⋅ n) 0 n = −∞ 6.11 Bestimmung des Klirrfaktors eines Messsystems Ein Verstärker besitzt die nichtlineare Kennlinie y ( t ) =2 ⋅ u ( t ) + 0.1⋅ u2 ( t ) Er wird mit dem Eingangssignal u= ( t ) cos ( π ⋅ t ) angeregt. a) Berechnen Sie das Ausgangssignal y(t), und stellen Sie es als Fourier-Reihe dar. b) Berechnen Sie den Klirrfaktor des Systems. 6.12 Spektrum des Gauß-Impulses Gegeben ist ein Gauß-Impuls mit der Definitionsgleichung x ( t ) = e −π⋅t 2 a) Berechnen Sie die Fourier-Transformierte oder das Spektrum des Gauß-Impulses. b) Welche besondere Eigenschaft hat der Gauß-Impuls? 7 Übungsaufgaben – Frequenzgang von Systemen 7.1 Berechnung des Frequenzgangs Ein System besitzt die Übertragungsfunktion G (s) = s+2 s2 + 3 ⋅ s + 4 a) Berechnen Sie den Amplituden- und Phasengang des Systems. b) Skizzieren Sie Amplituden- und Phasengang im logarithmischen Maßstab als Funktion der Kreisfrequenz ω. 7.2 Amplitudengang und Filtereigenschaften Ein System besitzt die Übertragungsfunktion G (s) = s2 + 2 . s + 2 ⋅ s2 + 3 ⋅ s + 1 3 a) Berechnen Sie den Frequenzgang G(ω) des Systems. Bestimmen Sie den Amplitudengang A(ω) und zeichnen Sie den Amplitudengang in dB im Frequenzbereich ω = 0.1 ... 1000 rad/s. b) Welche Filtereigenschaften besitzt das System? 7.3 Analyse eines Frequenzgangs Gegeben ist die Übertragungsfunktion G (s) = s3 + a ⋅ s + 1 ( s + 2) 4 a) Berechnen Sie den Frequenzgang sowie Amplituden- und Phasengang. b) Wie müssen Sie a wählen, damit der Amplitudengang bei der Frequenz ω = 10 einen Betrag von 20 dB aufweist? Es gibt zwei mögliche Werte. Geben Sie beide an. c) Zeichnen Sie den Phasengang in Abhängigkeit von ω für einen der beiden Werte von a. Verwenden Sie eine logarithmische Darstellung der Frequenzachse im Bereich ω = 0.1 ... 100. 7.4 Spektrum und Impulsantwort Ein System mit der nicht kausalen Impulsantwort 3 g(t) = ⋅ sin (10 ⋅ t ) t wird mit einem nicht kausalen Signal u ( t )= 2 ⋅ sin ( t ) t angeregt. Berechnen Sie die Fourier-Transformierte Y(ω) des Ausgangssignals y(t) und skizzieren Sie den Amplitudengang im linearen Maßstab in das vorgegebene Diagramm. 7.5 Frequenzgang eines stabilen Systems Ein System besitzt die Übertagungsfunktion G (s) = s +1 s + 3 ⋅ s2 + s + 2 3 a) Zeigen Sie mithilfe des Hurwitz-Kriteriums, dass das System stabil ist. b) Berechnen Sie den Frequenzgang G(ω) des Systems. c) Berechnen Sie den Amplitudengang A(ω) des Systems. d) Berechnen Sie den Phasengang ϕ(ω) des Systems. e) An das System wird ein harmonisches Signal u(t) mit u ( t= ) 10 ⋅ sin ( 0.4 ⋅ π ⋅ t ) angelegt. Geben Sie das Ausgangssignal y(t) an. 7.6 Parametrisierung eines Systems Gegeben ist ein System mit der normierten Übertragungsfunktion G (s) = a) (s b1 ⋅ s + b0 2 ) + a1 ⋅ s + a0 ⋅ ( s + a1 ) Welche Bedingung muss für die Koeffizienten a1 und a0 gelten, damit das System stabil ist. Setzen Sie für die folgenden Teilaufgaben die Werte a1 = 2 und a0 = 1 ein. b) Die Sprungantwort des Systems soll einen stationären Endwert von 1 haben. Was folgt aus dieser Forderung für den Koeffizienten b0. Setzen Sie für die folgenden Teilaufgaben den Wert b0 = 1 ein. c) Berechnen Sie für diese Werte den Amplitudengang des Systems. Wie muss der Parameter b1 gewählt werden, damit der Amplitudengang bei der normierten Kreisfrequenz ω= 1 2 einen Wert von 3 dB annimmt. 7.7 Anpassung eines Tastkopfs Das Signal einer Spannungsquelle UE wird mit einem Oszilloskop gemessen. Dabei wird ein Tastkopf 1:10 eingesetzt. Es ergibt sich das folgende Ersatzschaltbild. R1 und C1 charakterisieren die Messleitung mit Tastkopf, R2 und C2 charakterisieren die Eingangsschaltung des Oszilloskops. Der Eingang des Oszilloskops wird über den Widerstand R2 = 1 MΩ und die Kapazität C2 = 0.1 nF charakterisiert. C1 R1 uE ( t ) R2 C2 uA ( t ) a) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G (s) = UA ( s ) UE ( s ) b) Wie kann im eingeschwungenen Zustand der Übertragungsfaktor k = 1/10 realisiert werden? c) Welche Bedingung müssen Sie zusätzlich stellen, damit das Oszilloskop eine Sprungfunktion dynamisch richtig wiedergibt? d) Geben Sie für den Fall die Systemreaktion uA1(t) auf einen Spannungssprung uE(t) = U0⋅σ(t). e) Bei einer sogenannten Unter- oder Überkompensation werden die oben berechneten Bedingungen nicht eingehalten. Berechnen die die Sprungantwort uA2(t) auf einen Spannungssprung uE(t) = U0⋅σ(t) für R1 = 8 MΩ und C1 = 0.016 nF. f) Die folgende Abbildung zeigt zwei unterschiedliche Amplitudengänge A und B. Welcher Amplitudengang gehört zu der der Schaltung von Aufgabenteil e). Zeichnen Sie zusätzlich den Amplitudengang für ideale Anpassung ein. Amplitudengang B -15 -16 -16 Amplitudenegang a(ω ) / dB Amplitudenegang a(ω ) / dB Amplitudengang A -15 -17 -18 -19 -20 -21 -22 -23 2 10 3 4 10 10 10 Kreisfrequenz ω / rad/s 5 10 6 -17 -18 -19 -20 -21 -22 -23 2 10 3 4 10 10 10 Kreisfrequenz ω / rad/s 5 10 6 7.8 Frequenzgang eines Filters Gegeben ist ein Filter, das als Operationsverstärkerschaltung realisiert ist. Es besitzt die normierte Bauelementwerte R1 = 1, R2 = 2, C1 = 1, C2 = 1. C2 C1 R2 R1 uE ( t ) uA ( t ) + a) Stellen Sie die Übertragungsfunktion G(s) des Filters auf. b) Berechnen Sie Frequenzgang G(ω) des Filters. c) Berechnen Sie das Ausgangssignals uA1(t) für das Eingangssignal uE1 ( t ) = 1⋅ cos ( t ) ⋅ σ ( t ) Die folgende Grafik zeigt einen Ausschnitt eines periodisch wiederholten rechteckförmigen Signals uE2(t). Signal u E2(t) 1 0 0 1 4 8 12 Zeit t d) Berechnen Sie die komplexen Fourier-Koeffizienten An des periodisch wiederholten Signals uE2(t) und geben Sie zu den Koeffizienten die Frequenz ωn an, für die sie gelten. Das periodische Signal uE2(t) ist das Eingangssignal des obigen Filters mit idealem Operationsverstärker. e) Geben Sie die Fourier-Koeffizienten des Ausgangssignals uA2(t) und eine Gleichung zur Berechnung des Ausgangssignals uA2(t) an. 7.9 RLC-Schaltung mit periodischer Anregung Eine RLC-Schaltung mit dem folgenden Ersatzschaltbild und den Bauelementwerten R = 0.01, C = 1 und L = 1 wird mit einem Spannungssignal uE(t) angeregt. R uE ( t ) L C uA ( t ) Eingangsspannung uE(t) Das Eingangssignal uE(t) ist periodisch und in der folgenden Grafik dargestellt. 2 0 -2 0 2 4 Zeit t a) Stellen Sie das Eingangssignal uE(t) als komplexe Fourier-Reihe dar. b) Beschreiben Sie mit eigenen Worten die Bedeutung der komplexen Fourier-Koeffizienten An. c) Berechnen Sie allgemein die Übertragungsfunktion der RLC-Schaltung G (s) = UA ( s ) UE ( s ) d) Geben Sie den Frequenzgang der Schaltung an. Um was für einen Filtertyp handelt es sich? e) Stellen Sie das Ausgangssignal uA(t) dar, das sich bei Anregung der Schaltung mit dem Eingangssignal uE(t) ergibt. 7.10 Störung eines Sensorsignals Ein Sensor wird über eine analoge Schnittstelle mit einer Steuerung verbunden. Störung uS ( t ) uF ( t ) Sensor Steuerung Filter + Der Sensor weist eine Grenzfrequenz von fG = 100 Hz auf. In das Kabel wird eine Störung uS (= t ) 1 V ⋅ cos ( 2 ⋅ π ⋅ 2500 Hz ⋅ t ) eingekoppelt. Das Signal soll so gefiltert werden, dass Amplituden im Frequenzbereich bis zur Grenzfrequenz fG maximal um 5 % verfälscht werden. Das Filter zu entwerfende Filter weist einen doppelten reellen Pol auf. GF ( s ) = 1 (1 + T ⋅ s ) 2 a) Bestimmen Sie die Zeitkonstante T des Filters. b) Berechnen Sie den Spannungsverlauf der Störung, die mit dem unter a) entworfenen Filter gefiltert wurde. c) Das Filter soll als analoge Schaltung realisiert werden. Zeigen Sie, dass die angegebene Schaltung für die Realisierung verwendet werden kann. R uE ( t ) d) L C uA ( t ) Dimensionieren Sie für die Schaltung die eingezeichneten Bauelemente. Verwenden Sie für den Widerstand einen Wert von R = 100 Ω. 8 Übungsaufgaben – Grundlagen des Filterentwurfs 8.1 Entwurf eines passiven Filters mit kritischer Dämpfung Ein Sensor wird über eine analoge Schnittstelle mit einer Steuerung verbunden. Störung uS(t) Sensor u(t) Filter + uF(t) Steuerung Der Sensor weist eine Grenzfrequenz von fG = 100 Hz auf. In das Kabel wird eine Störung uS (= t ) 1 V ⋅ cos ( 2 ⋅ π ⋅ 2500 Hz ⋅ t ) eingekoppelt. Das Signal soll so gefiltert werden, dass Amplituden im Frequenzbereich bis zur Grenzfrequenz fG maximal um 5 % verfälscht werden. Das Filter soll einen doppelten reellen Pol aufweisen. GF ( s ) = 1 (1 + T ⋅ s ) 2 a) Bestimmen Sie die Zeitkonstante T des Filters. b) Berechnen Sie den Spannungsverlauf der Störung, die mit dem unter a) entworfenen Filter gefiltert wurde. c) Das Filter soll als analoge Schaltung realisiert werden. Zeigen Sie, dass die angegebene Schaltung für die Realisierung verwendet werden kann. R uE ( t ) d) 8.2 L C uA ( t ) Dimensionieren Sie für die Schaltung die eingezeichneten Bauelemente. Verwenden Sie für den Widerstand einen Wert von R = 100 Ω. Entwurf eines aktiven Bessel-Tiefpasses Es soll ein Bessel-Tiefpass mit einer 3-dB-Grenzfrequenz von fG = 1 kHz und einer minimalen Dämpfung von aS = – 20 dB bei fS = 3 kHz entwickelt werden. a) Berechnen Sie die minimalen Ordnung N, mit der das Bessel-Filter realisiert werden kann. b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion des Filters. c) Realisieren Sie das Filter als Sallen-Key-Schaltung. Wählen Sie für alle Kondensatoren den Kapazitätswert C = 100 nF, bestimmen Sie die Widerstandswerte. 8.3 Entwurf eines Butterworth-Tiefpasses Es soll ein Butterworth-Tiefpass-Filter GBW(s) entworfen werden, das das folgende Toleranzschema mit der minimalen Ordnung N erfüllt. 1 Durchlassbereich 0.8 Signal Leistungsverstärkung |G(ω )| 2 1.2 1 0.5 0.6 0.4 Sperrbereich Lösung a Lösung b Lösung c 0.2 0.1 0 0 0 0 40 30 20 Kreisfrequenz / krad/s 0.25 0.5 Zeit t / ms 0.75 1 a) Berechnen Sie die minimalen Ordnung N, mit der das Butterworth-Filter realisiert werden kann. b) Berechnen und skizzieren Sie die Lage der Pole von GBW(s) in der komplexen Ebene. c) Geben Sie Übertragungsfunktion GBW(s) des Butterworth-Filters an. d) Welche der drei oben gezeigten Sprungantworten ist die des entworfenen Butterwort-Filters? Begründen Sie Ihre Antwort. 8.4 Vergleich passiver Filter Gegeben ist folgende RLC-Schaltung. R1 uE ( t ) a) L1 C2 R2 uA ( t ) Zeigen Sie, dass die Übertragungsfunktion mit der Gleichung = G (s) UA ( s ) R2 = UE ( s ) L1 ⋅ s + R1 + L1 ⋅ R2 ⋅ C2 ⋅ s2 + R1 ⋅ R2 ⋅ C2 ⋅ s + R2 beschrieben werden kann. Begründen Sie Ihr Vorgehen. b) Bestimmen Sie die stationäre Verstärkung A(0) der Schaltung. Die Schaltung soll als Butterworth-Filter zweiter Ordnung eingesetzt werden, der bei der Grenzfrequenz von ωG = 100 krad/s einen Amplitudengang A(ωG) = A(0) / √2 aufweist. c) Geben Sie die Übertragungsfunktion des Butterworth-Filters an, der diese Bedingungen erfüllt. d) Dimensionieren Sie für R1 = 50 Ω und R2 = 50 Ω die Bauelemente L1 und C2. e) Der Filter wird eingesetzt, um Störungen zu unterdrücken. Bestimmen Sie das Ausgangssignal dBW(t) des Butterworth-Filters bei Anregung mit der Störung d(t) = 1 V ⋅ cos ( 200 krad / s ⋅ t ) Alternativ kann die Schaltung als Filter mit kritischer Dämpfung zweiter Ordnung eingesetzt werden. Er soll ebenfalls bei der Grenzfrequenz von ωG = 1 krad/s einen Amplitudengang A(ωG) = A(0) / √2 aufweisen. f) Geben Sie die Übertragungsfunktion des Filters mit kritischer Dämpfung an, der diese Bedingungen erfüllt. g) Bestimmen Sie das Ausgangssignal dKD(t) des Filters mit kritischer Dämpfung bei Anregung mit der Störung d(t) = 1 V ⋅ cos ( 200 krad / s ⋅ t ) h) 8.5 Vergleichen Sie die Ergebnisse der Aufgabenteile e) und g). Entwurf und Implementierung eines aktiven Butterworth-Hochpasses Es soll ein Hochpass-Filter mit Butterworth-Charakteristik entworfen werden, das folgendes Toleranzschema erfüllt. Betrag |GHP(ω )| 2 1 0.5 0.01 2500 10000 Kreisfrequenz ω a) Konstruieren Sie das Toleranzschema eines äquivalenten Tiefpass-Filters, das dieselbe Frequenz ωG = 10 krad/s aufweist. Skizzieren Sie das Toleranzschema. b) Führen Sie für den Tiefpass einen Butterworth-Filterentwurf durch und geben Sie die Übertragungsfunktion des Tiefpasses GTP(s) an. c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Frequenztransformation die Übertragungsfunktion des äquivalenten Hochpasses. d) Für die Realisierung soll eine Sallen-Key-Schaltung verwendet werden. Dimensionieren Sie die Schaltung, mit der das Hochpass-Filter realisiert werden kann. Wählen Sie die Kapazitätswerte C1 = C2 = 10 nF, bestimmen Sie die beiden Widerstandswerte. 9 Übungsaufgaben – Übertragungsglieder der Regelungstechnik 9.1 Parallelschaltung zweier Übertragungsglieder Gegeben ist ein System, dass aus der Parallelschaltung von einem Teilsystem A mit der Übertragungsfunktion GA(s) und einem Teilsystem B mit der Übertragungsfunktion GB(s) besteht. U(s) GA ( s ) + Y (s) GB ( s ) Teilsystem A weist die Sprungantwort hA(t) auf: ( ) hA ( t )= K ⋅ 1 − e −5⋅t ⋅ σ ( t ) Von Teilsystem B ist die Übertragungsfunktion GB(s) bekannt: GB ( s ) = s s2 + 4 ⋅ s + 13 a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion GA(s) des Teilsystems A sowie die Übertragungsfunktion G(s) = Y(s) / U(s) des Gesamtsystems. b) Berechnen Sie alle Pole αn der Übertragungsfunktion G(s) und skizzieren Sie die Pollage in ein Diagramm. c) Berechnen Sie den Frequenzgang des Systems. d) Welchen Wert muss der Faktor K annehmen, damit die Sprungantwort des Systems mit der Übertragungsfunktion G(s) für t → ∞ den Wert 5 annimmt. 9.2 Reihenschaltung zweier Übertragungsglieder Gegeben ist ein System G(s), das aus einer Reihenschaltung von einem System G1(s) und einem System G2(s) besteht. U(s) G1 ( s ) G2 ( s ) Y (s) Die Übertragungsfunktionen G1(s) und G2(s) sind definiert als G1 ( s ) = b0 s + a1 ⋅ s + a0 2 und G2 ( s ) = k 1+ T ⋅ s Von der Übertragungsfunktion G2(s) ist die Impulsantwort g2(t) bekannt. Impulsantwort g 2(t) 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 Zeit t a) Bestimmen Sie aus dem Verhalten der Impulsantwort g2(t) die Konstante K und die Zeitkonstante T der Übertragungsfunktion G2(s). b) Welche Bedingungen müssen die Koeffizienten b0, a0 und a1 erfüllen, damit das System G(s) stabil ist. Im Folgenden gilt für die Koeffizienten b0 = 1, a0 = 9 und a1 = 10. Die Zeitkonstante hat den Wert T = 0.5 und der Verstärkungsfaktor den Wert K = 2. c) Stellen Sie das System als Parallelschaltung von drei Systemen erster Ordnung dar. d) Berechnen Sie die Sprungantwort des Gesamtsystems G(s). 9.3 Analyse eines Systems Gegeben ist ein System mit den Übertragungsgliedern G1(s) und G2(s). Beide Übertragungsglieder sind minimalphasige Systeme 1. Ordnung. U(s) G1 ( s ) + Y (s) G2 ( s ) Von dem Übertragungsglied G1(s) ist die Sprungantwort h1(t) bekannt. Von dem Übertragungsglied G2(s) ist der Amplitudengang bekannt. Amplitudengang a2(ω ) Sprungantwort h1(t) Amplitudengang a2(ω ) / dB Sprungantwort h1(t) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 23 20 17 14 11 0 0 5 10 Zeit t 15 20 10 -2 -1 10 10 Kreisfrequenz ω 0 10 1 a) Bestimmen Sie aus den Angaben die Übertragungsfunktionen G1(s) und G2(s). Erläutern Sie ausführlich Ihr Vorgehen. b) Stellen Sie die Übertragungsfunktion G(s) des Gesamtsystems auf. c) Mit welcher Differentialgleichung kann das System beschrieben werden. d) Berechnen Sie die Sprungantwort h(t) des Systems G(s). e) Berechnen Sie den Frequenzgang G(ω) des Systems G(s). f) Berechnen Sie den Amplitudengang A(ω) des Systems G(s). 9.4 Vereinfachen eines Strukturbilds Gegeben ist ein System, das durch folgendes Blockschaltbild beschrieben wird. a U(s) + G1 ( s ) + Y (s) b Dabei ist die Übertragungsfunktion G1(s) definiert als G1 ( s ) = a) s⋅T 1+ s ⋅ T Zeigen Sie, dass das System die Übertragungsfunktion G (s) = s ⋅ T ⋅ (1 + a ) + a s ⋅ T ⋅ (1 − b ) + 1 aufweist. Stellen Sie dazu eine algebraische Gleichung auf, lösen Sie diese Gleichung nach Y(s) auf und leiten Sie daraus die Übertragungsfunktion ab. b) Stellen Sie den Bereich der a-b-Ebene dar, in dem das System stabil ist. Erläutern Sie Ihr Vorgehen. Setzen Sie für die folgenden Aufgabenteile die Werte T = 1, a = 1 und b = 0.5 ein. c) Welches der beiden Bode-Diagramme gehört zu dem Gesamtsystem mit der Übertragungsfunktion G(s), welches zu dem System mit der Übertragungsfunktion G1(s). Begründen Sie Ihre Antwort. 20 Betrag / dB Betrag / dB 0 -10 -20 0.1 0 0.1 10 1 Phase / ° Phase / ° 9.5 1 10 1 Kreisfrequenz ω 10 45 90 45 0 0.1 10 30 15 0 0.1 10 1 Kreisfrequenz ω Differentialgleichung und Strukturbild Gegeben ist ein System mit der Differentialgleichung d2 y dy d2u du + 11 ⋅ + 10 ⋅ y t = 30 ⋅ + 31⋅ + 10 ⋅ u ( t ) ( ) 2 2 dt dt dt dt a) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G(s) des Systems. b) Welche Systemeigenschaften lassen sich direkt an der Übertragungsfunktion ablesen? Das System kann als Parallelschaltung von Funktionsblöcken dargestellt werden. U(s) GA ( s ) + GB ( s ) + Y (s) GC ( s ) c) Bestimmen Sie die Teileübertragungsfunktionen der Parallelschaltung GA(s), GB(s) und GC(s). d) Berechnen Sie die Sprungantwort h(t) des Systems. e) Das System wird mit einem nicht kausalen Signal π u ( t ) = 3 ⋅ cos 5 ⋅ t + 3 angeregt. Berechnen Sie das Ausgangssignal y(t). 9.6 Bode-Diagramm einer Operationsverstärkerschaltung Gegeben ist ein Filter, das als Operationsverstärkerschaltung realisiert ist. R1 C1 UE R3 R2 R4 UA C4 + a) Zeigen Sie, dass die Übertragungsfunktion G(s) des Filters dargestellt werden kann als UA ( s ) 1 1 G (s) = = k⋅ ⋅ UE ( s ) 1 + T1 ⋅ s 1 + T2 ⋅ s und bestimmen Sie die Größen k, T1 und T2 als Funktion der Bauelemente. b) Berechnen Sie den Frequenzgang der Schaltung. Diskutieren Sie das Frequenzverhalten für die Grenzfälle ω → 0 und ω → ∞. Um was für einen Filtertyp handelt es sich? Rechnen Sie im Folgenden mit den normierten Größen k = 2, T1 = 10 und T2 = 100. c) Zeichnen Sie das Bode-Diagramm der Schaltung. d) Berechnen Sie für das Eingangssignal uE ( t ) = 1 V ⋅ cos (10 ⋅ t ) das Ausgangssignal uA(t) des Filters. Gehen Sie dabei davon aus, dass alle Einschwingvorgänge abgeschlossen sind. 9.7 Parameteridentifikation für ein PT2-Glied Leiten Sie die Gleichungen zur Parameteridentifikation eines PT2-Glieds im Zeitbereich her. Größe Berechnung Verstärkungsfaktor K K = lim h ( t ) Dämpfungskonstante d t →∞ d= T= Zeitkonstante T ∆h ln 1 ∆h2 ∆h 4 ⋅ π2 + ln2 1 ∆h2 t 2 − t1 ∆h 4 ⋅ π2 + ln2 1 ∆h2 9.8 Kenngrößen eines PT2-Glieds im periodischen Fall Leiten Sie die Gleichungen für die charakteristischen Kenngrößen eines PT2-Glieds im periodischen Fall her. Größe Zeitpunkt bis zum ersten Erreichen des stationären Endwertes (Anregelzeit) Berechnung Zeitpunkt des Maximums Maximaler Wert Maximales Überschwingen Periodendauer Zeitpunkt bis zum Erreichen eines Toleranzbandes von ± 2 % des stationären Endwertes (Ausregelzeit) 9.9 π − arccos ( d) = tA 1 − d2 π⋅T tMAX = hMAX 1 − d2 − = K ⋅ 1 + e ∆hMAX =⋅ K e T0 = t 2 − t1 = tE = ⋅T − π⋅d 1− d2 π⋅d 1− d2 2⋅π 1 − d2 ⋅T 4⋅T d Analyse eines Feder-Masse-Dämpfer-Systems Die Auslenkung eines Feder-Masse-Systems als Funktion der angelegten Kraft kann über die Differentialgleichung F(t) = m ⋅ d2 x dx +D⋅ + c ⋅ x (t) 2 dt dt beschrieben werden. In der Regelungstechnik wird ein derartiges System als PT2-Gied beschrieben. Es weist die Übertragungsfunktion G (s) = k 1 + 2 ⋅ d ⋅ T ⋅ s + T 2 ⋅ s2 auf. a) Berechnen Sie die Parameter k, d, und T für das gedämpfte Feder-Masse-System als Funktion der Parameter m, c und D. Im Folgenden wird das Verhalten des PT2-Glieds diskutiert. b) Bestimmen Sie die Pollage für die in der Tabelle angegebenen Werte von d, gehen Sie von einer Zeit T = 1 aus. d 0 0.5 1 1.5 2 s1 s2 c) Skizzieren Sie die Lage der Pole für beliebige Werte von d in der komplexen Ebene, gehen Sie wieder von einer Zeit T = 1 aus. d) Was ändert sich, wenn die Zeitkonstante T variiert wird? e) In welchem Bereich für d schwingt die Impulsantwort? Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen der Frequenz ω, mit der die Impulsantwort schwingt, und der Dämpfung d des PT2-Glieds her. f) Berechnen Sie den Amplitudengang A(ω) des PT2-Glieds. g) Für d = 0.5 weist der Amplitudengang eine Resonanzüberhöhung auf. Leiten Sie für d = 0.5 ausgehend von dem Amplitudengang A(ω) die Frequenz ωMAX her, bei der der Amplitudengang sein Maximum aufweist. h) Wie groß ist die Resonanzüberhöhung A(ωMAX) / A(0)?
