Trigonometrie

Trigonometrie
Trainingsaufgaben 2
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Sinussatz und Kosinussatz
Die Sammlung wird weiter ergänzt
Klassenstufe 10
Datei Nr. 16032
November 2005
Friedrich Buckel
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
16032 Trigo Training 2
Aufgaben mit Sinussatz / Kosinussatz
Aufgabengruppe 5:
Dreiecke und Vierecke
Aufgabe 501
Gegeben sind die Seiten b = 6,0 cm und c = 8,0 cm sowie der Winkel
γ = 75,0O . Berechne die fehlenden Stücke des Dreiecks.
Aufgabe 502
Gegeben sind die Seiten a = 4,3 cm und b = 8,0 cm sowie der Winkel
γ = 75,0O . Berechne die fehlenden Stücke des Dreiecks.
Aufgabe 503
Gegeben sind die Seiten b = 6,0 cm und c = 8,0 cm sowie der Winkel
β = 75,0O . Berechne die fehlenden Stücke des Dreiecks.
Aufgabe 504
Gegeben sind die Seiten b = 6,0 cm und c = 8,0 cm sowie der Winkel
β = 35,0O . Berechne die fehlenden Stücke des Dreiecks.
Aufgabe 505
Gegeben sind die Seiten b = 6,0 cm und c = 8,0 cm sowie der Winkel
a = 10,4 cm . Berechne die fehlenden Winkel des Dreiecks.
Aufgabe 506
!!!
Gegeben sind die Seiten c = 4,2 cm und a = 9,3 cm sowie der Winkel
β = 32,3O . Berechne die fehlenden Stücke des Dreiecks.
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16032 Trigo Training 2
Aufgaben mit Sinussatz / Kosinussatz
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Aufgabe 531
Konstruiere ein Viereck aus Gegeben sind
a = 5,8 cm ; b = 4,0 cm ; α = 87,0O ; β = 49,0O ; γ = 112,0O
Berechne die fehlenden Seiten c und d sowie den Winkel δ .
Aufgabe 532
Gegeben ist ein Viereck durch
a = 10 cm , b = 11 cm, c = 14 cm , β = 100O ; γ = 55O .
Bestimme d, α und δ durch Zeichnung und Rechnung !
Aufgabe 533
D
Von einem Viereck sind gegeben
α = 75O ; β = 50O ; γ1 = )ACB = 90O ;
d = 4,0 cm und e = 5,0 cm.
c
δ
C
γ
d
a) Konstruiere das Viereck
b) Berechne a, b, f , c , γ und δ .
c) Welche Flächeninhalt hat das Viereck ?
f
e
α
A
a
Von einem Parallelogramm sind gegeben: a=13 m, b = 7 m und e = 8 m
Berechne die restlichen Stücke sowie den Flächeninhalt.
c=a
D
C
f
α
A
e
a
ε
M
b
β
B
β2
β1
Aufgabe 534
d=b
b
B
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Aufgaben mit Sinussatz / Kosinussatz
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Aufgabe 535
Berechne die fehlenden Seiten und Winkel bei einem Viereck, von dem folgende
Stücke bekannt sind:
a = 7 m , b = 4 m , c = 2,8 m , d = 5 m , α = 25O .
Aufgabe 536
Gegeben sind a = 6 cm, b = 10,5 cm , α = 112O ; β = 49O ; γ = 39O .
Berechne die fehlenden Seiten und Winkel sowie den Mittelpunktswinkel ε .
Aufgabe 537
D
C
ε
Ein Landschaftsschutzgebiet hat die
Form eines Vierecks ABCD,
β2
Die Strecke AB hat die Länge 947 m,
BC ist 538 m lang und es gilt
β2 = 28O und ε = 90O .
β1
A
B
Von B nach D führt ein gradliniger Radweg
der Länge 761 m, der rechtwinklig auf die Seite AD stößt.
a)
Berechne die Länge der Seite AD und die Größe des Winkels β1 .
b)
Es ist geplant, einen gradlinigen Fußweg von A nach C anzulegen.
Wie lang wird dieser ?
c)
Berechne die Fläche des Landschaftsschutzgebietes in Hektar.
Aufgabe 538
Gegeben ist ein Viereck ABCD durch
a = 10 cm , b = 11 cm , c = 14 cm , β = 100O und γ = 55O .
Bestimme d , α und δ durch Rechnung.
c
D
C
δ
γ
d
α
A
b
a
β
B
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Aufgabe 540
Aufgaben mit Sinussatz / Kosinussatz
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Schwer !
Gegeben sind a = 6 cm, b = 3,19 cm, d = 6 cm, α = 60O , δ = 80O .
Konstruiere daraus ein Viereck.
Berechne die fehlenden Stücke.
Aufgabe 541
Konstruiere ein Viereck, das folgende Stücke aufweist:
O
a = 61,0 m , c = 61,0 m , d = 105,0 m , α = 49 und β = 131O .
Berechne dann die fehlenden Größen einschließlich der Diagonalen.
(Wenn es 2 Lösungen gibt, sind beide verlangt).
Aufgabe 542
D
Gegeben ist ein Trapez durch
a = 10,1 cm, d = 6,8 cm,
α = 70o und β = 48o
d
c
δ1
e
α
β1
Konstruiere das Viereck.
b)
Berechne im Dreieck
ABD f , δ 1 und β1
c)
Berechne im Dreieck BCD b, c und γ .
d)
Wie lang ist die Diagonale e ?
e)
Berechne den Flächeninhalt. Die Formel lautet A Tr =
(noch ohne Lösung !)
b
f
a)
A
C
a
β
B
1
2
( a + c ) ⋅ hc .
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Aufgabe 550
Vorwärtseinschneiden:
Um die Entfernung zweier Punkte A, B
zu ermitteln, steckt man eine
Standlinie AB ab und misst in A und B
je zwei Winkel. Hier die Messwerte:
PQ = 265,0 m ,
A
B
α = 87,0O , β = 21,3O ,
γ = 38,2O , δ = 87,8O .
α
Berechne AB .
P
β
γ
δ
Q
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Aufgabengruppe 6:
Aufgaben mit Sinussatz / Kosinussatz
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Körperberechnungen und ähnliches
Aufgabe 610
Gegeben ist eine Pyramide mit einem Dreieck ABC als Grundfläche.
Dieses ist nicht gleichschenklig. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht
über der Dreiecksseite BC.
Gegeben sind dazu der Winkel α = 60,0O , die Seiten AB = 6,8 cm und
AC = 9,4 cm .
Ferner die Strecke d = BS = 12,5 cm und der Winkel δ = 68,0O .
(Achtung: Es ist nicht bekannt, ob AD senkrecht zu BC ist ! )
a)
Berechne die Seite BC und den Winkel β .
b)
Wie hoch ist die Pyramide und wie lang sind die Kanten
CS und AS ? Berechne auch den Neigungswinkel ϕ der Kante AS.
c)
Berechne den Flächeninhalt der Dachfläche ABS.
S
h
C
ϕ
A
α
D
β
δ
B
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Aufgabe 611
Eine Pyramide hat nebenstehende
Gestalt. Die Höhe AD steht auf der
Grundfläche ABC senkrecht.
D
Bekannt sind diese Maße:
h = AD = 34 cm .
C
c = AB = 15,0 cm
b = AC = 20,4 cm
a = BC = 18,0 cm
A
B
a)
Berechne die Winkel ABD, ACD, sowie die drei Innenwinkel im Dreieck BCD.
b)
Berechne die Länge des Lotes L von D auf BC.
Die Oberfläche besteht aus 4 Dreiecken. Berechne dir gesamte Oberfläche.
c)
Welchen Steigungswinkel hat die Dachfläche BCD gegenüber der
Grundfläche ?
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Aufgabe 620
Für ein Wasserkraftwerk
wird ein Stollen durch einen
Berg gegraben, und zwar vom
Punkt S hinab nach A.
Um die Länge der Röhre
AS zu bestimmen, werden
zwei weitere Punkte B und C
im Gelände festgelegt.
S
A
α
C
Da das Gelände schwierig ist,
ε
δ
kann man nur die Entfernungen
AB = 825 m und CS = 1926 m
B
β
bestimmen. Außerdem werden
folgende Winkel gemessen:
O
O
O
O
α = )BAC = 62 , β = )CBA = 81 , δ = )SBA = 57 und ε = )CBS = 42 .
Berechne die Länge des Stollens.
(Anleitung: Berechne BC und BS )
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Aufgabengruppe 7 - Anwendungsaufgaben
Aufgabe 701
Die vier Dörfer A , B , C und D
liegen in der Hohenloher Ebene.
D
A
α
Zwischen A und C befindet sich ein See.
Bei einem Schullandheimaufenthalt
soll festgestellt werden, ob der Weg von
A nach C über B oder über D der kürzere ist.
B
β
ε
C
Deshalb messen die Schüler folgende Winkel
α = 36,6O ; β = 120O ; ε = 43,2O
und diese Strecken: AB = 4,0 km und AD = 4,0 km .
a)
Berechne die direkte Entfernung von A nach C.
b)
Wie lang ist der Weg von A nach C über B ?
c)
Um festzustellen, ob der Weg über D kürzer ist als der über B ,
soll die Länge der Strecke CD berechnet werden.
Lässt sich aufgrund der vorliegenden Messwerte die Frage nach dem
kürzeren Weg beantworten ? (Begründung)
Aufgabe 702
Die Höhe h = CD eines senkrechten Turmes ist zu bestimmen.
D
Dazu werden folgende Daten gemessen:
AB = 25 m ; BC = 38 m ; AC = 42 m und α = )CAD = 57O .
a)
b)
Wie hoch ist der Turm
Unter welchem Winkel δ = )ADB
erscheint die Strecke AB von der
Turmspitze aus ?
A
α
B
δ
C
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Aufgabe 703
C
Von einer geraden Straße s zweigt am Ort A
eine Straße unter einem Winkel von α = 48O
nach links zum 12 km entfernten Ort C ab.
Fährt man auf s von A aus 6 km weiter bis zum
Ort B , trifft man auf eine nach rechts unter
β = 32O abzweigende Straße, die zum Ort D
führt, der 18 km von B entfernt ist.
a)
b)
α
B
s
β
A
D
Von B führt ein gradliniger Wanderweg nach C. Wie lang ist er ?
Wie lang ist die Luftlinie der Orte C und D ?
Aufgabe 704
An einer rechteckigen Metallplatte der Breite
PQ = 80 cm ist eine Einkerbung ABC angebracht.
O
Die Maße sind AC = 16,8 cm ; BC = 15,2 cm ; γ = 52 .
C ist vom linken und vom rechten Plattenrand
gleich weit entfernt.
Berechne die Tiefe t der Einkerbung.
Wie weit ist A von P entfernt ?
P
A
Q
B
t
γ
C
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Aufgabe 705
A
D
E
α
F
β
G
δ
γ
B
h
C
H
Vom Punkt F eines h = 24,1 m hoch gelegenen Fenster eines Hauses sieht man
die beiden Punkte A und B eines senkrechten Brückenpfeilers unter dem
Höhenwinkel
α = )EFA = 16,5O und dem Tiefenwinkel β = )BFE = 10,2O .
Der untere Punkt C des gleichfalls senkrechten zweiten Pfeilers erscheint unter dem
Tiefenwinkel γ = )CFG = 8,6O und die Strecke BC unter dem Sehwinkel
δ = )CFB = 32,3O .
Die Punkte H, B und C liegen in derselben horizontalen Ebene.
a)
Konstruiere das Viereck HBAF im Maßstab 1 : 1000.
Berechne die Höhe AB des Brückenpfeilers.
b)
Wie breit ist der Brückenteil AD zwischen den beiden Pfeilern ?
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Aufgabe 706
Die Skizze zeigt ein Moor, In den Punkten P und Q stehen zwei Bäume, deren
Entfernung voneinander bestimmt werden soll.
Dazu wird eine Standlinie AB abgesteckt, deren Länge zu 945 m gemessen wird.
Von A und B aus misst man diese Winkel:
α = 48,4O ,
β1 = 34,1 O und β2 = 53,9O .
Berechne die Länge der Strecke PQ.
A
P
α
Q
β1
β2
B
Aufgabe 707
A
Über eine Schlucht wird eine Brücke AB geplant.
Dazu wird in der Ebene PBQA die Standlinie PQ
mit der Länge 485 m abgesteckt.
Schlucht
Dann werden folgende Winkel gemessen:
)QPA = 59 , )AQP = 67
)BPQ = 41O und )PQB = 70O .
O
O
Q
P
Berechne die Entfernungen PA und PB
sowie die Länge AB der Brücke AB.
B
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Aufgabe 708
Auf einer horizontalen Ebene stehen die Kirchtürme von Adorf und Bedorf auf
verschiedenen Seiten eines Flusses. Klaus führt Messungen wie folgt durch:
a)
Klaus besteigt den Kirchturm von Adorf und misst aus 35 m Höhe den Fuß
des Kirchturms von Bedorf unter einem Tiefenwinkel von 22,4O. Welche
Entfernung e = AB ergibt sich daraus für die Kirchtürme ?
Anschließend besteigt er den höheren Kirchturm von Bedorf und misst den
Fuß des Kirchturms von Adorf unter einem Tiefenwinkel von 28,7O . Die
Punkte in den Türmen, von denen aus gemessen worden ist, liegen jeweils
gleich weit unterhalb der Kirchturmspitze. Um wie viel Meter ist dann der
Kirchturm von Bedorf höher als der von Adorf.
b)
Nun steckt Klaus in der Ebene der beiden Türme eine Standlinie PQ ab, die er
25 m lang macht. Von P und Q aus misst er folgende Winkel:
)BPA = 67O , )QPB = 48O , )AQP = 45O und )BQA = 73O .
Wie weit sind demnach die Kirchtürme von Adorf und Bedorf voneinander
entfernt ?
A
B
Fluß
P
Q
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Aufgabe 709
Der Querschnitt eines Damms eines Stausees hat die Form eines Trapezes ABCD.
Dabei ist α = β = 62O , AD = 7,4 m und CD = 2,9 m .
a)
Berechne die Basisbreite AB und die Höhe h des Damms.
b)
Der Damm soll durch eine Aufschüttung verstärkt werden. Der Querschnitt
dieser Aufschüttung ist FAG . Dabei hat FA die Länge 4,5 m und AG ist
6,5 m lang.
+
Wie groß ist der Böschungswinkel ε der Aufschüttung ?
Wie viele m3 Material verbraucht man für die Verstärkung, wenn der Damm
120 m lang ist ?
D
C
α
G
β
h
Wasser
ε
F
A
B
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Aufgabe 710
Ein Materiallift ist an einem Mast FS befestigt.
Um die Stabilität des Mastes zu erhöhen,
werden die beiden Drahtseile AS und BS
straff gespannt.
S
FS setzt senkrecht auf der Ebene FAB.
Eine Messung liefert:
AB = 5 m , ) BAF = α = 70O ,
) FBA = β = 84O und ) SAF = γ = 33O .
a)
b)
Wie weit ist A vom Fußpunkt F des
Mastes entfernt ?
B
Wie hoch ist der Mast ?
F
c)
Welchen Winkel bilden die Seile
AS und BS miteinander ?
A
Aufgabe 711
Auf der gegenüberliegenden Seite des Torgelower Sees stehen zwei markante
Bäume, die von zwei Punkten P und Q vom Seeufer aus angepeilt werden.
Man legt eine Basisstrecke PQ der Länge 152 m fest und misst folgende Winkel:
)BPQ = γ1 = 41,5o ,
)APQ = γ 2 = 107,2 ,
o
B
A
)AQP = δ1 = 56,5o
)BQP = δ2 = 122,0o
Berechne die Entfernung der Bäume A und B.
(Die Skizze ist nicht maßstäblich)
P
γ1
δ1
Q
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Auf der Mathe-CD:
53 Seiten ausführliche Lösungen
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