Feedbackaufgaben_mit_Loesungen - S-Inf

Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen · Institut für Stromrichtertechnik und Elektrische Antriebe
Universitätsprofessor Dr. ir. Rik W. De Doncker
Grundgebiete der Elektrotechnik II – Feedbackaufgabe: Transiente Vorgänge
Aufgabe 1
(15 Punkte)
Gegeben sei zunächst folgende Schaltung:
S1
iL
L1
U1 = 200 V
uL
U1
S2
U2
U2 = 100 V
L = 1 mH
Zum Zeitpunkt t = 0 sei der Strom iL = 0 und beide Schalter offen.
1.1
Nun wird bei t = 0 der Schalter S1 geschlossen. Berechnen und skizzieren Sie den
Verlauf des Drosselstroms iL für 0 < t < 1 ms und berechnen Sie iL(t = 1 ms)
(4 Punkte)
1.2
Bei t = 1 ms wird der Schalter S1 geöffnet und Schalter S2 geschlossen. Skizzieren Sie
den Verlauf des Drosselstroms iL für 1 ms < t < 2 ms.
(2 Punkte)
Nun sind in der Schaltung die idealen Spannungsquellen durch Kondensatoren ersetzt.
S1
iL
L1
u1(t = 0) = 200 V
uL
u1
C1
S2
C2
u2
u2(t = 0) = 100 V
L = 1 mH
C1 = C2 =500 µF
Die Anfangsbedingungen seien dieselben wie oben, d.h. die Kondensatoren sind bei t = 0
auf die Spannungen u1 = 200 V und u2 = 100 V vorgeladen und iL(t=0) = 0.
1.3
Bei t = 0 wird der Schalter S1 geschlossen. Bestimmen Sie zunächst für diesen Fall die
allgemeine Differentialgleichung des Drosselstroms iL ohne Berücksichtigung der
Anfangsbedingungen.
(4 Punkte)
Die allgemeine Lösung dieser DGL ist iL = I1.sin(ωt) + I2.cos(ωt), ω = 2000 s-1.
Die folgenden Aufgaben können unabhängig von Aufgabe 1.3 gelöst werden.
1.4
Bestimmen Sie nun mit Hilfe der Anfangsbedingungen für iL(t = 0) und uL(t = 0) die
Konstanten I1 und I2.
(3 Punkte)
1.5
Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf von iL und u2 für 0 < t < π/ω.
(2 Punkte)
Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen · Institut für Stromrichtertechnik und Elektrische Antriebe
Universitätsprofessor Dr. ir. Rik W. De Doncker
Grundgebiete der Elektrotechnik II – Lösung Feedbackaufgabe Transiente Vorgänge
1.1:
(Summe: 4 Punkte)
Maschengleichung:
U1 = U L + U 2
Bauteilgleichung:
UL = L
Stromverlauf:
1
100 V
iL (t )= ∫ (U1 − U 2 ) dt =
⋅t
L0
L
2P
Endwert:
iL (t = 1ms)=
100 V
⋅ 1 ms = 100 A
1 mH
1P
di L
dt
t
Skizze (0 bis 1ms)
1P
iL
100 A
1 ms
2 ms
t
1.2:
(Summe: 2 Punkte)
Skizze (1 ms bis 2 ms)
1P
Symmetrischer Verlauf, da |U1 – U2| = |U2| ⇒ Stromwert bei t = 2 ms ist Null
1P
Alternativ rechnerisch:
1
− 100 V
(−U 2 ) dt ′ + iL (t = 1 ms) =
⋅ (t − 1 ms) + 100 A
∫
L t ′ =1 ms
L
t
1 ms ≤ t < 2 ms :
iL (t )=
1.3:
(Summe: 4 Punkte)
Maschengleichung:
u1 = u L + u 2
Bauteilgleichungen:
uL = L
di L
dt
i L = −C1
du1
du
, iL = C2 2
dt
dt
1P
1P
Ableiten und einsetzen:
⎛ 1
du L d(u1 − u 2 )
d 2i
1 ⎞
⎟⎟i L = L 2L
=
= −⎜⎜ +
dt
dt
dt
⎝ C1 C 2 ⎠
1P
d 2iL ⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟i L = 0
+ ⎜⎜
+
2
dt
⎝ LC1 LC 2 ⎠
1P
1.4:
(Summe: 3 Punkte)
i L (t = 0) = 0 ⇒ I 2 = 0
u L (t = 0) = L
⇒ I1 =
di L
dt
t =0
1P
= I 1 ⋅ ωL cos(ωt ) t =0 = I 1 ⋅ ωL = u1 − u 2 = 100 V
1P
100 V
= 50 A
ωL
1P
1.5:
(Summe: 2 Punkte)
i L = 50 A ⋅ sin(ωt )
iL
50 A
0.78 ms
1.57 ms
t
Skizze qualitativ richtig (positive Halbwelle, beginnt und endet bei Null)
1P
t
1
50 A
50 A ⋅ sin(ωt ) dt = 100 V +
u2 = 100 V +
⋅ (1 − cos(ωt )) =
∫
C2 0
500 μF ⋅ 2000 s -1
= 100 V + 50 V ⋅ (1 − cos(ωt )) (nicht gefordert!)
u2
200 V
100 V
0.78 ms
1.57 ms
t
Skizze qualitativ richtig (beginnt bei 100 V, cos erkennbar)
1P
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Universitätsprofessor Dr. ir. Rik W. De Doncker
Grundgebiete der Elektrotechnik II –
Feedbackaufgabe: Komplexe Wechselstromrechnung
Aufgabe 2
(15 Punkte)
Gegeben sei folgender gedämpfter Reihenschwingkreis:
ZRS
L
C
i(t)
2R
uR(t)
R
Der Schwingkreis werde seit langer Zeit von einer harmonischen Stromquelle
iˆ
π⎞
⎛
⋅ e − j90° gespeist. Der Innenwiderstand der Stromquelle
i (t ) = iˆ ⋅ cos⎜ ω ⋅ t − ⎟ bzw. I =
2
⎠
⎝
2
beträgt 2R und es gilt:
ω=
2.1
1
2 ⋅ LC
,
R=
1 L
⋅
2 C
Berechnen Sie die Impedanz ZRS des gedämpften Reihenschwingkreises.
(1 Punkt)
2.2
Berechnen Sie die komplexe Größe UR in Abhängigkeit der Größen I, ω , L, C und R.
(3 Punkte)
2.3
Ermitteln Sie (unter Verwendung der weiteren Angaben) die Größe UR nur in
Abhängigkeit der Größen I und R.
(3 Punkte)
2.4
Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf der Größe uR(t). Geben Sie das Ergebnis uR(t) in
Abhängigkeit der Größen iˆ und R im Zeitbereich an.
(4 Punkte)
2.5
Wie groß ist die am Widerstand R abgegebene effektive Wirk- und Blindleistung (PW,R
und PB,R)? Geben Sie zudem die Augenblicksleistung pA,R(t) an.
(4 Punkte)
Hinweis:
1
e j45°
=
1− j
2
und
2 ⋅ cos 2 x = 1 + cos(2 ⋅ x )
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Universitätsprofessor Dr. ir. Rik W. De Doncker
Grundgebiete der Elektrotechnik II –
Lösung Feedbackaufgabe 2: Komplexe Wechselstromrechnung
1
jωC
2.1
Z RS = R + jωL +
2.2
Stromteilerregel:
1 Punkt
2⋅ R
IR
=
I
1 Punkt
1
3 ⋅ R + jωL +
jωC
U
mit I R = R
R
2⋅R
U R = I ⋅R⋅
1
3 ⋅ R + jωL +
jωC
1 Punkt
1 Punkt
Die korrekte Lösung durch Aufstellen der Maschen- und Knotengleichungen bringt
auch die volle Punktzahl.
2.3
aus ω =
1
2 ⋅ LC
1
2
und R = ⋅
Einsetzen ergibt:
2.4
UR =
L
folgt:
C
UR =
ωL = R
1 Punkt
1
= 4⋅ R
ωC
1 Punkt
2
1
⋅I ⋅R⋅
3
1− j
1 Punkt
1
2
1
2 Iˆ - j90°
Iˆ
⋅I ⋅R⋅
= ⋅
⋅e
⋅R⋅
=
⋅ R ⋅ e - j45°
3
1− j 3 2
2 ⋅ e- j45° 3
also:
Iˆ
π⎞
⎛
uR (t ) = 2 ⋅ ⋅ R ⋅ cos⎜ ωt − ⎟
3
4⎠
⎝
2 Punkte
2 Punkte
Vergabe der letzten beiden Punkte, wenn der Scheitelwert mit Faktor
2 (1 Pkt.) und
π
die Phasenverschiebung im Zeitbereich mit ( − ) (1 Pkt.) richtig angegeben wurden.
4
2.5
Am ohmschen Widerstand gilt: PW , R = U R ⋅ I R =
PW ,B = 0
zudem gilt:
UR
R
2
=
R ˆ2
⋅I
9
1 Punkt
1 Punkt
( )
2
π ⎞⎤
π ⎞⎤ Iˆ 2 ⋅ R ⎡
u R2 (t ) Iˆ 2 ⋅ 2 ⋅ R 1 ⎡
⎛
⎛
=
⋅ ⋅ ⎢1 + cos⎜ 2 ⋅ ω ⋅ t − ⎟⎥ =
1 + cos⎜ 2 ⋅ ω ⋅ t − ⎟⎥
pA, R (t ) =
⎢
9
2 ⎣
2 ⎠⎦
9 ⎣
2 ⎠⎦
R
⎝
⎝
2 Punkte
Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen · Institut für Stromrichtertechnik und Elektrische Antriebe
Universitätsprofessor Dr. ir. Rik W. De Doncker
Grundgebiete der Elektrotechnik II – Feedbackaufgabe: Transformator
Aufgabe 3
(15 Punkte)
Gegeben sei folgender Einphasentransformator T:
T
U1N
U2N
Folgende Werte sind bekannt:
U1N = 10 kV
U2N = 400 V
SN = 400 kVA
Lh = 100 H
fN = 50 Hz
Beim Kurzschlussversuch werden folgende Werte gemessen:
Pk = 100 kW
cos ϕ k = 0,89
Weiterhin gilt für die auf die Sekundärseite bezogenen Größen:
X''1σ = X2σ << X''h
und
R''1 = R2 << R''Fe
3.1
Zeichnen Sie das sekundärseitig bezogene T-Ersatzschaltbild (inklusive Übertrager)
und beschriften Sie dessen Elemente.
(2 Punkte)
3.2
Bestimmen Sie die sekundärseitig bezogenen Wicklungswiderstände R''1 und R2.
(2 Punkte)
3.3
Bestimmen Sie die sekundärseitig bezogenen Reaktanzen X''1σ, X2σ und X''h.
(3 Punkte)
3.4
Warum darf der Transformator beim Kurzschlussversuch nicht mit Nennspannung bei
Nennfrequenz (fN) betrieben werden?
(1 Punkt)
3.5
Welcher ohmsche Widerstand darf minimal sekundärseitig angeschlossen werden,
ohne den Transformator zu überlasten. (Hinweis: Beachten Sie die oben angegebenen
Näherungen.)
(4 Punkte)
Fortsetzung auf der nächsten Seite
Nun werden drei identische Transformatoren wie folgt verschaltet.
Es gilt:
U1N1 = U1N
U1N2 = a U1N1
U1N3 = a² U1N1
IN
T
Up12
U1N1
U2N1
Us12
T
Up31
Up23
Us31
U2N2
U1N2
Us23
T
U1N3
3.6
U2N3
Wie groß ist die Klemmenspannung Us12 betragsmäßig?
(1 Punkt)
3.7
Geben Sie für den so entstandenen Dreiphasentransformator die Werte für die
Nennleistung SN und den sekundärseitigen Nennstrom IN an.
(2 Punkte)
Grundgebiete der Elektrotechnik II –
Musterlösung zur Feedbackaufgabe 3: Transformator
3.1
ü:1
I1
U1
I''1
R''1
L''1σ
U''1
L''h
L2σ
R2
R''Fe
richtig gezeichnet
richtige Bauteilbezeichnung
3.2
I
2
U2
1 Punkt
1 Punkt
sekundärseitigen Nennstrom bestimmen
S N = U 2N ⋅ I 2N ⇒ I 2N =
SN
400 kVA
=
= 1000A
U 2N
400 V
2
Pk = ( R' '1 + R2 ) ⋅ I 2N
⇒ R ' '1 + R2 =
Pk
= 100 mΩ ⇒ R' '1 = R2 = 50 mΩ
2
I 2N
1 Punkt
1 Punkt
3.3
Pk = S k cos ϕ k
Qk = S k sin ϕ k
X ' '1σ + X 2σ =
X ' 'h =
ωL
ü
2
=
⇒ Qk = Pk tan ϕ k
Pk
tan ϕ k = 51,23 mΩ ⇒ X ' '1σ = X 2σ = 25,6 mΩ
2
I 2N
2 π 50 Hz 100 H
⎛ 10000 ⎞
⎜
⎟
⎝ 400 ⎠
2
= 50,3 Ω
1 Punkt
1 Punkt
1 Punkt
3.4
Im Kurzschlussversuch bei Betrieb mit Nennspannung und Nennfrequenz würde der
Nennstrom überschritten. Durch den hohen Strom würden sich die Wicklungen so
stark erwärmen, dass sie schmelzen könnten und der Transformator somit zerstört
würde.
1 Punkt
3.5
Aufgrund der Näherungen in der Aufgabenstellung kann für diesen Betriebsfall das
Kurzschlussersatzschaltbild zur Berechnung herangezogen werden. Ohne Überlastung
des Transformators bedeutet, dass maximal Nennstrom fließen darf.
SN =
(U 2N )2
1 Punkt
Z
(R' '1 + R2 + RLast )2 + ( X ' '1σ + X 2σ )2
1 Punkt
4
(
U 2N )
(R' '1 + R2 + RLast ) + ( X ' '1σ + X 2σ ) =
2
1 Punkt
Z =
2
2
SN
RLast =
(U 2N )4 − ( X ' '
SN
2
1σ
+ X 2σ ) − ( R' '1 + R2 ) = 0,297 Ω
2
1 Punkt
Der so entstandene Dreiphasentransformator ist sowohl primärseitig als auch
sekundärseitig im Stern verschaltet.
3.6
U s12 = 3 U sN = 693 V
1 Punkt
3.7
S N_3ph = 3 S N_1ph = 1,2 MVA
1 Punkt
Der Nennstrom bleibt konstant, da aufgrund der Sternschaltung an jedem einzelnen
Transformator die gleiche Spannung wie zuvor anliegt.
IN = 1000 A
1 Punkt
Σ
15 Punkte
Grundgebiete der Elektrotechnik II
Aufgabe 37: Drehtransformator und dreiphasige Spule
1. Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild der Anordnung in αβKoordinaten, inklusive des idealen, rotierenden Übertragers.
Die folgenden Spannungen werden zyklisch jeweils für die
Zeitdauer T/6 auf der Primärseite angelegt:
Ein Drehtransformator und eine dreiphasige Spule LLast
sind wie in der Abbildung verschaltet. Der Rotor ist
gegenüber dem Stator um den Winkel ϑ verschoben. Die
Parameter des Drehtransformators und der Spule sind
L1σ = L2σ = 2 mH
Lm = 180 mH
ü=1
R1 = R2 = 0
RFe Æ ∞
LLast = 18 mH
U0 = 400 V
T = 6 ms
Es gelte weiterhin:
ϑ = 30°
Zustand
u1N / U0
u2N / U0
u3N / U0
(1)
1
−1
−1
(2)
1
1
(3)
2
−1
2
(4)
–1
(5)
−1
(6)
1
2
2
2
2
–1
1
−1
1
1
2
−1
2
–1
2
2
2
1
1
2
D. h. für 0 < t < T/6 liegt (1) an, im Bereich T/6 < t < 2T/6
liegt (2) an, usw.
2. Skizzieren Sie den primärseitig in den Transformator
fließenden Strom in αβ-Koordinaten im Bereich 0 < t < T
unter Angabe charakteristischer Werte. Nehmen Sie an,
dass die Ströme über eine Periode mittelwertfrei sind.
3. Skizzieren Sie die Ströme iR, iS, und iT im Zeitbereich
0 < t < T unter Angabe charakteristischer Werte.
ungefähre Werte, stimmt nicht 100% ig mit
den richtigen Werten überein
Uα / V
400
200
3
2
1
4
5
6
t / ms
200
400
400
Uβ / V
200
200
400
20
iα / A
10
10
iβ / A
20
20
Symmetrische Spannung
> symmetrische Ströme
mittelwertfreie Ströme
=> iα = 0 in der Mitte des
Spannungsmaximums von
uα (entsprechend für β
Komponente)
10
10
20
i'α / A
iS
iT
10
10
iR
i'β / A
10
10