Das Problem der 13 Kugeln KURZ [Kompatibilitätsmodus]

Clemens Hauser
Das Problem der dreizehn Kugeln
Vortrag im Seminar für Didaktik der Mathematik
an der Universität Freiburg
1.12.2009
Kepler (1611): Dichteste Kugelpackung (?)
Kepler (1611): Dichteste Kugelpackung (?)
Die unmittelbare Umgebung einer Kugel in der
Keplerschen Packung:
Zwischen den 12 äußeren Kugeln ist noch Platz frei:
Das Problem der dreizehn Kugeln
Wie viele Kugeln können gleichzeitig eine zentrale
Kugel gleicher Größe berühren?
Gesuchte Maximalzahl: „Kusszahl“ (kissing number).
Satz (Schütte und van der Waerden, 1953):
Die Kusszahl für dreidimensionale Kugeln ist 12.
Beweisgeschichte
•
•
•
•
Isaac Newton / David Gregory (1694)
R. Hoppe (1874)
K. Schütte, B.L. van der Waerden (1953)
J. Leech (1956)
• M. Aigner, G.M. Ziegler (1998, 2002)
Proofs from THE BOOK
• H. Maehara (2007)
Beweisversuch
Projektion der berührenden Kugel auf die Zentralkugel:
60°
Kugeloberfläche
4π
=
≈ 14,93
Fläche der Kappe 2π(1 − 0,5 3 )
Beweisidee Leech / Maehara
Flächeninhalte sphärischer Dreiecke abschätzen
Grundlegende Sätze über sphärische
Dreiecke auf der Einheitskugel
Formel von Girard :
|ABC| = α + β + γ – π
A
α
B β
γ
C
Beweis:
Flächeninhalt des Zweiecks:
α
⋅ Kugeloberfläche = 2α.
2π
2α + 2β + 2γ = 2π + 2|ABC|
Seitenkosinussatz:
In jedem sphärischen Dreieck ABC gilt
cos a = cos b ⋅ cos c + sin b ⋅ sin c ⋅ cos α
Girard und Seitenkosinussatz
ermöglichen (komplizierte)
Flächenberechnung.
C
D
Gibt es auch eine bequeme
geometrische Methode,
Dreiecksflächen zu vergleichen?
A
B
Umfangswinkelsatz für sphärische Dreiecke
γ − (α + β) ist konstant.
C
γ
M
A
B
Satz von Lexell (1784)
Sei ABD ein sphärisches Dreieck, A* und B* seien die
Antipodenpunkte von A und B. Dann hat für jeden Punkt C auf dem
Bogen A*DB* das Dreieck ABC den gleichen Flächeninhalt wie das
Dreieck ABD.
B*
β*
α*
A*
Beweis:
γ − (α * +β*) ist konstant,
also ist auch
C
A
D
γ
γ + (α + β)
α
β
B
konstant.
Lemma von Fejes Tóth
Sei d die Länge der kürzesten Seite des sphärischen Dreiecks
ABC. Falls dann der sphärische Umkreisradius von ABC kleiner
als d ist, so hat das Dreieck ABC hat einen mindestens so großen
Flächeninhalt wie das aus d gebildete gleichseitige sphärische
Dreieck.
<d
d
d
d
d
d
Beweis:
C
D
B´
A´
d
A
B
Großkreis
Beweis:
C
D
B´
A´
d
A
B
Lexell-Bogen
Großkreis
C liegt „oberhalb“ des Lexell-Bogens, also ist |ABC| ≥ |ABD|.
Zurück zum Problem der 13 Kugeln
Sei n die gesuchte maximale Anzahl von berührenden Kugeln.
Zentralkugel mit n Berührpunkten
Konvexe Hülle der Berührpunkte
Projektion auf die Sphäre:
Triangulierung T:
Eigenschaften der Triangulierung T:
(1) T besteht aus 2n–4 Dreiecken.
(2) Jede Seite von T hat mindestens die Länge π/3.
(3) Der sphärische Umkreisradius eines jeden Dreiecks von T ist kleiner
als π/3.
Beweis:
(1) Eulerscher Polyedersatz (oder: betrachte Summe aller
Dreiecksflächen und benutze Girard)
(2) π/3 entspricht 60°…
Eigenschaften der Triangulierung T:
(1) T besteht aus 2n–4 Dreiecken.
(2) Jede Seite von T hat mindestens die Länge π/3.
(3) Der sphärische Umkreisradius eines jeden Dreiecks von T ist kleiner
als π/3.
Beweis:
(1) Eulerscher Polyedersatz (oder: betrachte Summe aller
Dreiecksflächen und benutze Girard)
(2) π/3 entspricht 60°…
(3) n ist maximal.
(1) T besteht aus 2n–4 Dreiecken.
(2) Jede Seite von T hat mindestens die Länge π/3.
(3) Der sphärische Umkreisradius eines jeden Dreiecks von T ist kleiner
als π/3.
• Lemma von Fejes Tóth ist anwendbar.
• Flächeninhalt ∆ des gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge π/3:
Winkel mit Seitenkosinussatz berechnen,
Flächeninhalt mit Girard: ∆ ≈ 0,551
• Nun muss gelten: (2n-4)·∆ ≤ 4π, dies liefert
n ≤ 13,4
Verfeinerte Strategie
Wir nehmen an, die Kusszahl wäre 13.
1
≥
arccos
  hat,
A) Wenn höchstens eine Dreiecksseite eine Länge
7
so weist T als Graph widersprüchliche Eigenschaften auf.
B) Wenn dagegen mehr als eine Dreiecksseite diese Mindestlänge hat, so
wird der Flächeninhalt insgesamt zu groß.
Beweisskizze zu A
Wir entfernen die eventuell vorhandene lange Seite.
G sei der neue Graph.
γ
Beweisskizze zu A
Wir entfernen die eventuell vorhandene lange Seite.
G sei der neue Graph.
γ
Jeder Winkel ist
π
>
3
(Beweis: Seitenkosinussatz und
Differentialrechnung)
Eigenschaften von G
(I)
An jedem Knoten von G treffen sich höchstens 5 Kanten.
(II)
G kann als ebener Graph dargestellt werden. Er hat 32 Kanten und
21 Flächen, wobei die Flächen sich aus 20 Dreiecken und einem
Viereck zusammensetzen.
(III) An genau einem Knoten von G treffen sich 4 Kanten, an den
anderen 12 Koten jeweils 5 Kanten.
(IV) Kein 3-Zykel des Graphen enthält im seinem Inneren einen weiteren
Knoten.
Nach (IV) verboten:
Wie sieht G aus?
Wir beginnen mit dem Viereck.
Es gibt keinen solchen Graphen!
Verfeinerte Strategie
Wir nehmen an, die Kusszahl wäre 13.
1
≥
arccos
  hat,
A) Wenn höchstens eine Dreiecksseite eine Länge
7
so weist T als Graph widersprüchliche Eigenschaften auf.
B) Wenn dagegen mehr als eine Dreiecksseite diese Mindestlänge hat, so
wird der Flächeninhalt insgesamt zu groß.
Beweisskizze zu B
Wir haben jetzt mindestens 2 „lange“ Seiten.
Ziel: Bessere Flächenabschätzung als mit Fejes Toth
a
c
b
a´
c´
b´
Unter welcher Bedingung schrumpft der Flächeninhalt, wenn Seiten
schrumpfen?
Wenn der Umkreismittelpunkt im Dreieck liegt!
Umweg über Vierecke:
A
D
D
B
A
B
C
C
Lemma („Proper diagonal lemma“)
D liege nicht im Innern des Umkreises von ABC.
Wenn man dann das Viereck so verformt, dass die Seitenlängen gleich
bleiben, aber die Länge der Diagonalen AC abnimmt, so nimmt auch der
Flächeninhalt des Vierecks ab.
Zum Beweis werden Sätze über Sehnenvierecke benötigt, z.B. der folgende
Satz
Ein konvexes Viereck mit drei festen Seitenlängen AB = a, BC = b und CD = d
(a + b + c < π) hat maximalen Flächeninhalt, wenn ABD und ACD derselbe
Halbkreis sind.
D
A
a
B
c
b
C
Lambacher/Schweizer: Kursstufe
Umweg über Vierecke:
A
D
D
B
A
B
C
C
Lemma („Proper diagonal lemma“)
D liege nicht im Innern des Umkreises von ABC.
Wenn man dann das Viereck so verformt, dass die Seitenlängen gleich
bleiben, aber die Länge der Diagonalen AC abnimmt, so nimmt auch der
Flächeninhalt des Vierecks ab.
Jetzt können wir abschätzen:
Gesamter Flächeninhalt
π π
 1 
≥ 18 ⋅ ∆ + 4 ⋅  , , arccos   ≈ 12,59 > 4π
 7 
3 3
Widerspruch !
Also ist n ≠ 13.
Literatur
• H. Maehara, The problem of thirteen spheres – a proof for
undergraduates. European Journal of Combinatorics 28 (2007)
1770 - 1778.
• B. Casselman, The difficulties of kissing in three dimensions,
Notices Amer. Math. Soc. 51 (2004), 884-885.
• F. Pfender and Günter M. Ziegler, Kissing numbers, sphere
packings, and some unexpected proofs, Notices Amer. Math. Soc.
51 (2004), 873-882.